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Betragsfunktion

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Mathe

In diesem Artikel geht es um die Betragsfunktion. Du erfährst hier, was genau die Betragsfunktion ist, wie ihr Graph aussieht, und was du sonst noch über sie wissen musst.

Falls du nicht mehr sicher bist, was der Betrag genau ist, solltest du dir zuerst unseren Artikel dazu im Bereich Algebra unter der Rubrik Zahlenlehre anschauen.

Dieser Artikel gehört zum Fach Mathe und im Bereich Analysis zur Rubrik Funktionen.

Definition der Betragsfunktion

Zunächst einmal ganz formal: Die Betragsfunktion ist definiert durch

Dabei ist f(x) eine beliebige Funktion, von der der Betrag genommen wird.

Die Definitionsmenge der Betragsfunktion sprich genau derselbe Definitionsbereich wie von der eingesetzten Funktion f(x). Der Wertebereich umfasst den Betrag aller Elemente, die in der Wertemenge von f(x) sind.

Die Betragsfunktion ist eine abschnittsweise definierte Funktion. Das bedeutet, dass sie sich aus mehreren Funktionen zusammensetzt, die nicht auf ganz definiert sind. Das können nur zwei Funktionen sein, aber auch drei, vier oder unendlich viele.

Möchtest du nun den Funktionswert der Betragsfunktion für einen bestimmten x-Wert berechnen, musst du darauf achten, aus welchem der beiden Intervalle der x-Wert ist, und dann entsprechend in die richtige der beiden Funktionen einsetzen.

Beachte: Die Betragsfunktion hängt immer davon ab, welche Funktion f(x) du in sie einsetzt!

Das klingt alles erstmal sehr kompliziert, aber nach den folgenden Beispielen hast du die Betragsfunktion bestimmt verstanden.

Beispiel 1

Als erstes schauen wir uns die Betragsfunktion der folgenden Funktion an:

f(x) ist eine Ursprungsgerade.

Formal sieht die Betragsfunktion folgendermaßen aus:

Der Definitionsbereich ist der gleiche Definitionsbereich wie von der Funktion f(x). Der Wertebereich ist Wf=[0; [, diese Betragsfunktion nimmt also alle positiven y-Werte und den Wert 0 an.

Beispiel 2

Schauen wir uns jetzt die Funktion g(x)=sin(x) an.

Die zugehörige Betragsfunktion lautet

g(x)=sin(x)=sin(x) für x[2kπ; (2k+1)π], k-sin(x) für x[(2k+1)π; (2k+2)π], k

Diese Definition sieht sehr kompliziert aus, ist sie aber eigentlich nicht: die obere Zeile ist für alle x-Werte, die zwischen 0 und π, 2π und 3π, 4π und 5π usw. liegen. Die untere Zeile für diejenigen x-Werte, die dann zwischen π und 2π, 3π und 4π usw. liegen. Um das nachvollziehen zu können, wähle dir mal eine beliebige Zahl k und überprüfe, ob du im richtigen Bereich landest.

Der Definitionsbereich Dg ist wieder ganz , denn auch die Sinus-Funktion ist auf ganz definiert. Der Wertebereich der Sinusfunktion Wg ist das Intervall [-1; 1] und das der dazugehörigen Betragsfunktion Wg=[0; 1], also nur die positiven y-Werte.

Wie sieht der Graph einer Betragsfunktion aus?

Da die Betragsfunktion von der eingesetzten Funktion abhängt, tut dies natürlich auch der Graph der Betragsfunktion. Eines kann man aber allgemein sagen:

Um den Graph der Betragsfunktion einer Funktion zu erhalten, werden vom Graphen der eingesetzten Funktion alle Abschnitte nach oben gespiegelt, die unterhalb der x-Achse liegen. Die Abschnitte, die oberhalb der x-Achse liegen, bleiben unverändert.

Schauen wir uns das gleich an den beiden Beispielen von oben an.

Beispiel 1

Der Graph der Funktion f(x) sieht folgendermaßen aus:

Quelle: Mathebibel.de

Für alle positiven x-Werte liegt der Funktionsgraph schon oberhalb der x-Achse, für alle negativen x-Werte müssen wir ihn aber nach oben spiegeln. Das sieht dann so aus:

Quelle: Mathebibel.de

Das ist dann der Graph der Betragsfunktion zur Funktion f(x)=x

Beispiel 2

Der Graph der Funktion g(x) sieht folgendermaßen aus:

Hier liegen mehrere Abschnitte unter der x-Achse, beispielsweise zwischen -π und 0 und zwischen π und 2π. Diese Abschnitte müssen alle nach oben gespiegelt werden. Das sieht dann so aus:

Und fertig ist der Graph der Betragsfunktion zur Funktion g(x)=sin(x).

Weitere Beispiele

So funktioniert das auch mit allen anderen Funktionsgraphen. Damit es ganz klar wird, zeigen wir dir hier nochmal zwei weitere Beispiele.

Wie stelle ich eine Betragsfunktion betragsfrei dar?

Funktionen mit Betragsstrichen können oft verwirrend aussehen und es kann schnell zu Problemen kommen, wo du dich fragst, wie du jetzt diese Funktion lesen sollst. Damit dies nicht vorkommt, solltest du die Beträge auflösen.

Im Folgenden zeigen wir dir dies anhand lineare und quadratischer Funktionen.

Wenn du genau auf die Definition schaust, wirst du sehen, dass es einen x-Wert gibt, der in beiden Intervallen bzw. in der oberen und unteren Zeile der Definition vorkommt, nämlich x=0. Das macht aber nichts, denn beide abschnittsweise definierten Funktionen bilden die 0 auf den gleichen Wert ab, nämlich f(0)=0=0.

Gegeben sei die Funktion y = |x−2| . Stelle diese Funktion a) ohne Beträge dar und b) zeichne ihren Graphen dazu.

a) Betragsfreie Darstellung

Als erstes musst du die Definition der Betragsfunktion ersetzen:

Das x durch x-2 ersetzen, dann erhältst du:

Als nächstes musst du die Bedingung (das was nach “für” steht) nach x auflösen. Genauso löst du auch zwei lineare Ungleichungen:

In beiden Funktionen rechnest du also +2, damit die 2 auf die andere Seite kommt.

b) Graph der Funktion

Die folgende Abbildung zeigt den Graphen zur Funktion y = |x−2| :

Quelle: Mathebibel.de

Der Unterschied zu y = x-2 (die gestrichelte Linien) liegt darin, dass alle Punkte, die unter der x-Achse waren, an der x-Achse nach oben gespiegelt wurden.

Wie stelle ich eine quadratische Funktion betragsfrei dar?

Gegeben sei die Funktion y = |x²−4x + 3| . Stelle die Funktion a) ohne Beiträge dar und b) zeichne ihren Graphen.

a) Betragsfreie Darstellung

Als erstes setzen wir wieder die Betragsfunktion in die Definition:

Das x ersetzt du durch x²−4x + 3 und erhältst somit:

Auch hier lösen wir die Bedingung nach x auf. Wir lösen die quadratische Funktion in drei Schritten:

1. Löse die Quadratische Gleichung

Die Lösungen für die gegebene quadratische Gleichung x²−4x + 3 = 0 sind:

Graphisch gesehen sind das die Nullstellen der quadratischen Funktion y= x²−4x+3=0

2. Stelle potenzielle Lösungsintervalle auf

Die möglichen Lösungsintervalle dieser quadratischen Ungleichung x²−4x + 3≥0 sind :

L1 =]−∞; 1]

L2 =]1; 3[ und

L3 = [3; ∞[

3. Überprüfe, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören

Um zu überprüfen, welche Intervalle zur Lösung gehören, setzen wir Werte ein.

Aus dem ersten Intervall L1 setzen wir 0 in die Ungleichung ein:

x²−4x + 3 ≥ 0

0²−4⋅0 + 3 ≥ 0 → 3 ≥ 0 ✓ STIMMT

Aus dem zweiten Intervall L2 setzen wir 2 in die Ungleichung ein:

x²−4x + 3 ≥ 0

2²−4⋅2 + 3 ≥ 0 → −1 ≥ 0 × STIMMT NICHT

Aus dem dritten Intervall L3 setzen wir 4 in die Ungleichung ein:

x²−4x + 3 ≥ 0

4²−4⋅4 + 3 ≥ 0 → 3 ≥ 0 ✓STIMMT

Zusammenfassend gilt:

Die quadratische Gleichung x²−4x + 3 ≥ 0 ist für x ≤ 1 und für x ≥ 3 erfüllt.

Daraus ergibt sich, dass das Intervall 1 < x < 3 für die Ungleichung x²−4x + 3 ≥ 0 erfüllt ist.

Damit sieht die betragsfreie Darstellung der quadratischen Funktion so aus:

b) Graph der Funktion

Die folgende Abbildung zeigt den Graphen für die Funktion y = |x²−4x + 3| . Die gestrichelte Linie zeigt, wie die Funktion ohne Betragsstriche ( y = x²−4x + 3 ) aussehen würde:

Quelle: Mathebibel.de

Betragsfunktion - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Zur betragsfreien Darstellung musst du die lineare oder quadratische Funktion in die Definition einsetzen. Du ersetzt dabei das x.
  • Dann löst du die Gleichung nach x auf. Fertig bist du bei linearen Gleichungen. 3. Bei quadratischen Gleichungen musst du nun überprüfen welche Intervalle passen. Hierbei stellst du potenzielle Intervalle auf und setzt Werte ein.
  • Bei quadratischen Gleichungen musst du nun überprüfen welche Intervalle passen. Hierbei stellst du potenzielle Intervalle auf und setzt Werte ein.
  • Passen die Werte, setzt du das Intervall um sie herum.

Finales Betragsfunktion Quiz

Frage

Was versteht mann unter der Betragsfunktion von f(x)?

Antwort anzeigen

Antwort

Unter der Betragsfunktion von f(x) versteht man die Funktion | f(x) | .

Frage anzeigen

Frage

Wie entsteht der Graph der Betragsfunktion | f(x) |?

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Antwort

Der Graph der Betragsfunktion |f(x)| entsteht aus dem Graphen der Funktion f(x), indem alle unterhalb der x-Achse liegenden Teile des Graphen an der x-Achse nach oben gespiegelt werden.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die zugehörige Funktion?


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Antwort

|g(x)| = | 2/3 x |

Frage anzeigen

Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion

abschnittsweise.

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Antwort

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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion

abschnittsweise.


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Antwort

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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion

abschnittsweise.

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Antwort


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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion

abschnittsweise.


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Antwort

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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion


abschnittsweise.

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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion

abschnittsweise.

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Frage

Zeichne die folgende Betragsfunktion


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Antwort

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Frage

Zeichne die folgende Betragsfunktion


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Antwort

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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise!


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Antwort

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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise!


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Antwort

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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise!


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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise!


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Antwort

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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise!


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Antwort

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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise! 


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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise! 


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Antwort

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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise! 


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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise! 


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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise und zeichne die Funktion! 


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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise und zeichne die Funktion! 


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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise und zeichne die Funktion! 



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Antwort


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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise und zeichne die Funktion! 


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Antwort


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Frage

Vervollständige die Definition des Betrages und zeichne die Funktion.

Antwort anzeigen

Antwort



Frage anzeigen

Frage

Was ist wahr für die Betragsfunktion?


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Antwort

Die Betragsfunktion ist im gesamten Definitionsbereich differenzierbar

Frage anzeigen

Frage

Zeichne die Betragsfunktion und definiere die Funktionswerte in der angegebenen Schreibweise.



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Zeichne die Betragsfunktion und definiere die Funktionswerte in der angegebenen Schreibweise. 


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Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Betragsfunktion?


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie lauten die Betragsfunktionen von f und g?



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie kann erreicht werden, dass eine Betragsfunktion auch negative Funktionswerte annimmt? Gehe von der folgenden Funktion aus:



Antwort anzeigen

Antwort

Indem außerhalb der Betragsstriche eine negative Zahl addiert wird

Frage anzeigen

Frage

Finde die Nullstellen der angegebenen Betragsfunktion. Zeichne die Funktion.


Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt keine Nullstellen.



Frage anzeigen

Frage

Finde die Nullstellen der angegebenen Betragsfunktion. Zeichne die Funktion.



Antwort anzeigen

Antwort

Nullstellen bei x=2 und x=-4


Frage anzeigen

Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise und zeichne die Funktion!


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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise und zeichne die Funktion! 



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Antwort


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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise und zeichne die Funktion! 




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Antwort


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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise und zeichne die Funktion!



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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise und zeichne die Funktion! 


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Frage

Definiere die folgende Betragsfunktion f(x) abschnittsweise und zeichne die Funktion! 



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Antwort



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