Ein Auto fährt aus der Einfahrt und auf eine Landstraße. Es fährt 15 Minuten und legt insgesamt 12 Kilometer Strecke hinter sich, wobei es unterwegs mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten fährt. Wie schnell fährt es genau zu Beginn der zweiten Minute?
Wie Du vielleicht bereits weißt, kannst Du die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos auf der Strecke mithilfe des Differenzenquotienten berechnen. Doch kann die Geschwindigkeit des Autos in einem bestimmten Zeitpunkt bestimmt werden? Dies ist mit dem sogenannten Differentialquotienten möglich.
In dieser Erklärung lernst Du alles Wichtige zum Differentialquotienten, zur Ableitung und h-Methode sowie zur Berechnung des Differentialquotienten.
Differentialquotient Grundwissen – Wiederholung Tangente, Differenzenquotient und
Damit Du nachvollziehen kannst, was der Differentialquotient ist und warum er eine wichtige Rolle spielt, ist bestimmtes Grundwissen nötig.
Wiederholung Tangente
Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine geometrische Figur in einem Punkt P berührt, jedoch nicht schneidet. In diesem Punkt P besitzt die Kurve die gleiche Steigung wie die Tangente.
Mehr Wissenswertes über Tangenten findest Du in der Erklärung Tangente.
Wiederholung Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate
Die mittlere Änderungsrate beschreibt die Steigung \(m\) der Sekante zwischen zwei Punkten \(A(a|f(a))\) und \(B(b|f(b))\) auf dem Graphen einer Funktion \(f\). Sie kann mit dem sogenannten Differenzenquotienten berechnet werden: \[m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
Weitere Erklärungen sowie Beispielrechnungen zum Differenzenquotienten kannst Du Dir in der Erklärung mittlere Änderungsrate ansehen.
Differenzenquotient und Differentialquotient
Der Differenzenquotient bildet eine Basis für den Differentialquotienten. Rücken die Punkte \(A\) und \(B\) immer näher aneinander, so wird das Intervall immer kleiner. Das Ziel ist es, die Sekante zu einer Tangente werden zu lassen, die nur einen Punkt \(P\) der Funktion berührt, um dort die lokale Änderungsrate bestimmen zu können.
Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für ein immer kleiner werdendes Intervall.
Differentialquotient berechnen
Wie genau der Differentialquotient definiert ist, wie Du ihn berechnest und was das mit der sogenannten h-Methode zu tun hat, erfährst Du jetzt.
Lokale Änderungsrate und Differentialquotient Definition
Der Differentialquotient beschreibt die lokale bzw. momentane Änderung einer Funktion in einem Punkt \(P\).
Die lokale Änderungsrate beschreibt die Steigung \(m\) der Tangente an die Funktion \(f\) im Punkt \(P(x_0|f(x_0))\) auf dem Graphen. Sie kann mit dem sogenannten Differentialquotienten berechnet werden.
Das kann zum Beispiel so aussehen:
Abb. 1 – Tangentensteigung als lokale Änderung
Differentialquotient Formel
Der Differentialquotient kann als Grenzwert des Differenzenquotienten berechnet werden. Der Differenzenquotient für ein Intervall \([x_0,x]\) lautet \[m=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\] Lässt Du nun \(x\) gegen \(x_0\) laufen, wird das Intervall unendlich klein.
Der Differentialquotient \(f^\prime\left(x_0\right)\) an der Stelle \(x_0\) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für \(x \longrightarrow x_0\): \[f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}\]
Wäre nun eine Funktion bekannt, die die zurückgelegte Strecke des Autos aus obigem Beispiel zu den einzelnen Zeitpunkten darstellt, so könntest Du mit ihr und dem Differentialquotienten die genaue Geschwindigkeit bestimmter Zeitpunkte ausrechnen.
Differentialquotient Ableitung
Der Differentialquotient spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik: Bestimmst Du den Differentialquotienten einer Funktion, so bestimmst Du ihre Ableitung.
Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle \(x_0\) ist die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt \(P\left(x_0|f(x_0)\right)\). Sie wird mit dem Differentialquotienten bestimmt.
Differenzierbarkeit
Mithilfe des Differentialquotienten lässt sich überprüfen, ob eine Funktion eine Ableitung besitzt und damit differenzierbar ist.
Eine Funktion \(f\) ist genau dann an der Stelle \(x_0\) differenzierbar, wenn an dieser Stelle eine Ableitung \(f^\prime(x_0)\) existiert.
Anders gesagt ist eine Funktion an der Stelle \(x_0\) genau dann differenzierbar, wenn Du am Graphen genau eine eindeutig definierte Tangente an dieser Stelle anlegen kannst.
Differentialquotient h-Methode
Die genaue Berechnung der Ableitung ist mit der bisher bekannten Formel des Differentialquotienten eher unpraktisch. Daher wird die sogenannte „h-Methode“ genutzt. Hier wird im Differentialquotienten das \(x\) durch \(x_0+h\), wofür dann der Grenzwert \(h \longrightarrow 0\) berechnet wird.
Die h-Methode ist ein Verfahren zur Bestimmung der Ableitung \(f^\prime\) einer Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\). Die Formel dafür lautet: \[f^\prime\left(x_0\right)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0 + h\right)-f\left(x_0\right)}{h}\]
Hier kann also für \(x_0\) ein konkreter Wert eingesetzt und der Differentialquotient direkt ausgerechnet werden.
Mithilfe des Differentialquotienten kann nicht nur die Ableitung an einer bestimmten Stelle \(x_0\) bestimmt werden. Du kannst auch die gesamte Ableitungsfunktion bestimmen, sofern sie existiert.
Die Ableitungsfunktion \(f^\prime(x)\) einer Funktion \(f(x)\) kann mithilfe des Differentialquotienten hergeleitet werden: \[f^\prime\left(x\right)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x + h\right)-f\left(x\right)}{h}\]
Differentialquotient Beispiel mit Lösung
Nach so viel Theorie kannst Du Dir hier Anwendungsbeispiele des Differentialquotienten mit Lösung ansehen.
Bestimme die Ableitung der Funktion \(f(x)=3x^2\) an der Stelle \(x_0=3\).
Zunächst setzt Du also \(x_0=3\) in den Differentialquotienten ein. Hier bietet sich die h-Methode an: \begin{align} f^\prime\left(x_0\right)&=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0 + h\right)-f\left(x_0\right)}{h}\\[0.3cm] f^\prime(3)&=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(3 + h)-f(3)}{h} \\[0.2cm] &= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{3 \cdot (3+h)^2-3\cdot3^2}{h} \\[0.2cm] &= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{3h^2+18h+27-27}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{3h^2+18h}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \, 3h+18 \\[0.2cm]&=18\end{align}
Die Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_0=3\) ist also \(f^\prime(3)=18\).
Berechne nun einmal die Ableitung einer gesamten Funktion, ohne dass eine bestimmte Stelle gegeben ist.
Bestimme die Ableitung der Funktion \(f(x)=3x+7\).
Hier setzt Du ebenfalls wieder in den Differentialquotienten ein, nur dass anstelle des konkreten Wertes ein \(x\) stehen bleibt: \begin{align} f^\prime(x)&=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h)-f(x)}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{3(x+h)+7-(3x+7)}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{3x+3h+7-3x-7}{h}\\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{3h}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} 3 \\[0.2cm] &=3\end{align}
Die Ableitung der Funktion \(f(x)\) lautet \(f^\prime(x)=3\).
Falls Du Dir ansehen möchtest, wie Du mit Grenzwerten rechnest, kannst Du Dir das in der Erklärung Grenzwerte ansehen.
Differentialquotient Aufgaben
Jetzt bist Du dran! Überprüfe hier Dein Wissen zum Differentialquotienten und der lokalen Änderungsrate!
Aufgabe 1
Entscheide, welche der folgenden Geraden dieselbe Steigung wie der Funktionsgraph von \(f\) im Punkt \(P\) besitzt.
a)
Abb. 2 – Gerade t
b)
Abb. 3 – Gerade s
Lösung
Die Gerade \(t\) beschreibt die Steigung von \(f\) im Punkt \(P\), da sie die Tangente im Punkt \(P\) ist. Somit ist a) richtig.
Die Gerade \(s\) dagegen beschreibt die Steigung von \(f\) im Intervall \([p,q]\), da sie die Sekante zwischen den Punkten ist.
Aufgabe 2
Bestimme die Ableitung der Funktion \(f(x)=x^3\) an der Stelle \(x_0=1\) mit der h-Methode.
Lösung
Setze also \(x_0=1\) in den Differentialquotienten ein: \begin{align}f^\prime(1)&=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(1 + h)-f(1)}{h} \\[0.2cm] &= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{ (1+h)^3-1^3}{h} \\[0.2cm] &= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h^3+3h^2+3h+1-1}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h^3+3h^2+3h}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \, h^2+3h+3 \\[0.2cm]&=3\end{align}
Die Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_0=3\) ist also \(f^\prime(1)=3\).
Aufgabe 3
Bestimme die Ableitung der Funktion \(f(x)=2x^2\) mit der h-Methode.
Lösung
Hier setzt Du die Funktion wieder in den Differentialquotienten ein, nur dass anstelle des konkreten Wertes ein \(x\) stehen bleibt: \begin{align} f^\prime(x)&=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h)-f(x)}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{2(x+h)^2-2x^2}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{2x^2+4hx+2h^2-2x^2}{h}\\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{4hx+2h^2}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \, 4x+2h \\[0.2cm] &=4x\end{align}
Die Ableitung von \(f(x)\) lautet also \(f^\prime(x)=4x\)
Differentialquotient – Das Wichtigste
- Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für ein immer kleiner werdendes Intervall.
- Die lokale Änderungsrate beschreibt die Steigung \(m\) der Tangente an die Funktion \(f\) im Punkt \(P(x_0|f(x_0))\) auf dem Graphen. Sie kann mit dem Differentialquotienten \(f^\prime\left(x_0\right)\) berechnet werden: \[f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}\]
- Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle \(x_0\) ist die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt \(P(x_0|f(x_0))\).
- Die h-Methode ist ein Verfahren zur Bestimmung der Ableitung \(f^\prime\) einer Funktion \(f\). Die Formel dafür lautet: \[f^\prime\left(x_0\right)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0 + h\right)-f\left(x_0\right)}{h}\]
- Die Ableitungsfunktion \(f^\prime(x)\) einer Funktion \(f(x)\) kann mithilfe des Differentialquotienten hergeleitet werden: \[f^\prime\left(x\right)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x + h\right)-f\left(x\right)}{h}\]
Nachweise
- Aubeck (2022). Wirtschaftsmathematik für Schule und Ausbildung. BoD - Books on Demand.
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