Differentialquotient

Eine sehr zentrale Rolle bei der Differentialrechnung, also dem Ableiten von Funktionen, spielt der Differenzialquotient sowie lokale Änderungsrate. Bei nicht-linearen Funktionen lässt sich die Steigung nicht so einfach ablesen. Um diese trotzdem von einer differenzierbaren Funktion bestimmen zu können, verwenden wir die lokale Änderungsrate und den Differenzialquotienten. Dieses Thema wird dem Fach Mathematik zugeordnet.

Der Differenzialquotient und die momentane/lokale Änderungsrate

Wandert der Punkt Q immer weiter an den Punkt P heran, bis er ihn grenzwertig erreicht, so ergibt sich aus der Sekante s die Tangente t an den Graphen der Funktion f(x) im Punkt P und somit die momentane Änderungsrate im Punkt P.

Für die Tangentensteigung und damit die lokale Änderungsrate erhält man:

Dieser Grenzwert heißt Differenzialquotient und entspricht der 1. Ableitung an der Stelle .

Beispielaufgabe

Das Wachstum einer Blume kann mit beschrieben werden. f(x), also y, gibt die Höhe in cm an und x die Dauer in Wochen. Wie stark wächst die Blume im Zeitpunkt =9?

Zuerst berechnen wir f(x) und f(), indem wir x undin die Funktion einsetzen.

Vor allem bei Wachstumsaufgaben werden häufig Wurzelfunktionen verwendet. Es wird die dritte binomische Formel benutzt um den Term zu erweitern und umzuformen und das Wurzelzeichen „loszuwerden“. Wir erweitern den Term mit .

Jetzt können wir den Term nicht mehr weiter vereinfachen und haben oben die „1“stehen und können damit die x=9 einsetzen und erhalten die momentane Änderungsrate.

Die Blume wächst um 0,167 cm pro Woche zum Zeitpunkt 9.

Die mittleren Änderungsrate und der Differenzenquotient

Es gibt einen wesentlichen Unterschied zwischen dem Differenzialquotienten und dem Differenzenquotient. Wir haben dir hier nochmal das wichtigste zusammengefasst:

• Die mittlere Änderungsrate zwischen den zwei Punkten einer Funktion, ist die Steigung der Sekante s, welche durch diese beiden Punkte der Funktion läuft.
• Für die Steigung der Sekante s durch die beiden Graphenpunkte ergibt sich der sog. Differenzenquotient:

Beispielaufgabe

Die folgende Beispielaufgabe verdeutlicht den Unterschied zwischen der mittleren und der momentanen Änderungsrate.

Bezeichnet x die Zeit in min (unser betrachteter Zeitraum ist zwischen 3 und 10 min) seit Beobachtungsbeginn und y die Anzahl von Keimen im Wasser (bei Minute 3 haben wir 210 Keime und bei Minute 10 560 Keime), so gibt die mittlere Änderungsrate an, um welche Anzahl (f(x) - ()) sich die Keime im betrachteten Zeitraum (x-)vermehren ( dann ist >0 und falls sie sich verringern sollten, gilt <0).

Die mittlere Änderungsrate erhalten wir durch einsetzen der Werte in den Differenzenquotient:

Im Zeitraum zwischen 3 und 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn werden es somit im Durchschnitt pro Minute 50 Keime mehr.

Die momentane Änderungsrate gibt an, um wie viel die Anzahl der Keime zum Zeitpunkt anwächst oder schrumpft. Um diese zu erhalten nutzen wir den Differenzialquotienten.

Im Zeitpunkt nimmt die Anzahl der Keime pro Minute um 90 zu.

Zur Wiederholung: Wann ist eine Funktion differenzierbar?

Eine reelle Funktion ist an der Stelle differenzierbar, wenn sie an dieser Stelle stetig ist, also wenn der Graph der Funktion dort keine Ecken hat. Nur dann lässt sich im Punkt eindeutig eine Tangente legen. Die Funktion hat an dieser Stelle eine eindeutige Ableitung.

Wann ist eine Funktion stetig?

Eine Funktion ist in einem Intervall stetig, wenn du die Funktion „ohne Absetzen“ oder „ohne Sprünge“ zeichnen kannst.

Mit einer dieser Optionen kannst du kannst du rechnerisch die Differenzierbarkeit einer Funktion an der Stelle nachweisen:

• Die Existenz des linksseitigen Differenzialquotienten:

Hier nähern wir uns an die Stelle von der linken Seite an.

• Die Existenz des rechtsseitigen Differenzialquotienten: Hier nähern wir uns an die Stelle von der rechten Seite an.
• Die Gleichheit beider Grenzwerte
• Die Stetigkeit von f an der Stelle

Allgemein lässt sich sagen:

Die rationalen Funktionen, Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen, Logarithmusfunktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrischen Funktionen sind an jeder Stelle ihrer maximalen Definitionsmenge differenzierbar.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit beschreiben unterschiedliche Eigenschaften reeller Funktionen. Jedoch kann man sagen:

Wenn eine Funktion an einer Stelle ihrer Definitionsmenge differenzierbar ist, dann ist sie dort auch stetig. Aber nicht jede an einer Stelle ihrer Definitionsmenge stetige Funktion ist dort auch differenzierbar. Beispielsweise ist die Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0 zwar stetig, aber nicht differenzierbar.

Beispielaufgabe zum Beweis der Differenzierbarkeit mithilfe des Differenzialquotienten

Zeige, dass die zusammengesetzte Funktion an der Stelle differenzierbar ist.

Lösung:

Wir untersuchen ob der linksseitige und der rechtsseitige Differenzialquotient gleich sind.

Wir nähern uns von links an die Stelle an und setzen in die Gleichung ein:

Wir nähern uns von rechts an die Stelle an und setzen in die Gleichung ein:

Der links- und rechtsseitige Differenzialquotient stimmen überein. Da die beiden Funktionszweige an der Stelle =1 den gemeinsamen Funktionswert 0 besitzen, ist f an der Stelle = 1 auch stetig. F ist daher in= 1

differenzierbar.

Das wichtigste auf einen Blick

Differenzialquotient und momentane Änderungsrate:

• Wenn der Punkt Q immer näher an den Punkt P heranrückt, bis er ihn grenzwertig erreicht, ergibt sich die momentane Änderungsrate.
• Für die Tangentensteigung und damit die momentane Änderungsrate erhält man:

• Dieser Grenzwert heißt Differenzialquotient und entspricht der 1. Ableitung an der Stelle .

Unser Tipp für Euch

Zuerst wirkt der Unterschied zwischen mittlerer und momentaner bzw. Differenzenquotient und Differenzialquotient oft nicht sehr klar. Schau dir das oben genannte Beispiel mit den Wachstum von Keimen an. Dort wird der Unterschied zwischen der momentanen und der mittleren Änderungsrate an einem Beispiel verständlich erklärt.