Parabel verschieben, strecken und stauchen

Inhaltsangabe

Parabel verschieben – Grundwissen

Ganz zum Anfang kannst du hier wiederholen, was eine Parabel beziehungsweise eine quadratische Funktion ist.

Eine quadratische Funktion ist ein Funktionsterm mit einem Polynom zweiten Grades. Sie wird oftmals auch Parabel genannt.

Ihre allgemeine Form lautet:

f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

Normalparabel

Unter der Normalparabel bezeichnet man die Funktion: $f (x) = x^{2}$

Diese sieht folgendermaßen aus:

Parabel verschieben Normalparabel StudySmarter Abbildung 1: Normalparabel

Die Normalparabel ist auch die Ausgangsform für alle weiteren Veränderungen des Funktionsterms.

Parabel verändern

Wie kann man eine quadratische Funktion verändern? Du kannst eine Funktion am Graph verändern oder ihren Funktionsterm abwandeln. Beides hängt so miteinander zusammen, dass wenn du das eine änderst, sich das andere auch verändert. Diese Funktionsveränderungen werden auch Transformationen genannt.

Es gibt folgende Möglichkeiten, eine Funktion zu verändern:

Skalierung (Strecken, Stauchen)
Spiegeln an der x-Achse, y-Achse oder am Ursprung
Verschieben entlang der x-Achse oder y-Achse
Kombination verschiedener Veränderungen

An diesem Beispiel siehst du, auf wie viele verschiedene Arten du eine Funktion transformieren kannst.

Parabel verschieben Funktionen verändern StudySmarter Abbildung 2: Funktionen verändern

Parabel – Scheitelpunktform

Als Grundlage für die Veränderung einer quadratischen Funktion benötigst du zunächst die Scheitelpunktform dieser Funktion. Diese zeigt dir alle Parameter, die du bei einer quadratischen Funktion anwenden und verändern kannst.

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet:

$f (x) = a \cdot {(x - d)}^{2} + e$

Aus ihrem Funktionsterm kann sofort der Scheitelpunkt $S (d | e)$ abgelesen werden.

Diese Scheitelpunktform ist besonders für die Kombination von verschiedenen Transformationen wichtig.

Parabel – Veränderung von Parametern

Nun hast du schon die verschiedenen Transformationsarten kennengelernt und gesehen, wie viele unterschiedliche Veränderungen möglich sind. Doch wie genau kannst du eine Funktion verändern?

Eine Veränderung einer Funktion wird immer durch die Veränderung eines Parameters veranlasst.

Der Parameter steht vor der Funktionsvariable x. Er ist veränderbar und bestimmt das Verhalten der Funktion mit.

Du musst also den Parameter verändern, um eine Funktion zu transformieren. Wie genau das in verschiedenen Fällen funktioniert, wird dir im Folgenden gezeigt.

Parabel verschieben

Nachdem du dir angeschaut hast, was eine quadratische Funktion ist und wie man sie verändern (transformieren) kann, wird nun die Verschiebung etwas näher betrachtet. So wie du etwa eine Kiste im Regal in deinem Zimmer von weiter rechts nach weiter links oder ein Brett weiter nach oben oder unten legen kannst, lässt sich auch eine Funktion verschieben.

Dafür gibt es folgende Möglichkeiten:

Verschiebung entlang der x-Achse (nach rechts oder nach links)
Verschiebung entlang der y-Achse (nach oben oder nach unten)

Parabel verschieben entlang der x-Achse

Wie du bereits erfahren hast, kannst du eine Funktion nach rechts oder links verschieben. Das nennt man "Verschieben entlang der x-Achse" und funktioniert, indem du den Funktionswert f(x) veränderst. Den Parameter d kannst du so anpassen, dass die Funktion sich entweder nach rechts oder nach links verschiebt. Das wird als Veränderung des Parameters d bezeichnet.

Um eine Funktion an der x-Achse zu verschieben, gilt Folgendes:

$g (x) = (x - d)^{2}$

Wenn für den Wert von $d > 0$ gilt, dann wird der Graph nach rechts verschoben.

Wenn für den Wert von $d < 0$ gilt, dann wird der Graph nach links verschoben.

Hier wird das Ganze bildlich dargestellt:

Parabel verschieben x Achse StudySmarter Abbildung 3: Funktion entlang der x-Achse verschieben

Anhand der Abbildung kannst du die Verschiebung noch einmal gut nachvollziehen. Bei der orangen Funktion wurde der Parameter $d = - 4$ gewählt. Dadurch wurde der Graph nach links verschoben. Bei der grünen Funktion wurde der Parameter $d = 4$ gewählt und damit die Funktion um 4 Stellen nach rechts verschoben. Somit hast du die Funktion transformiert, indem du sie verschoben hast.

Achte auf die Vorzeichen: Wählst du für d einen negativen Wert, wird der Term innerhalb der Klammer positiv.

Denn es gilt ja $f (x) = {(x - d)}^{2}$ , das bedeutet für $d = - 4$ wird der Ausdruck positiv $f (x) = (x - {(- 4))}^{2} = {(x + 4)}^{2}$ .

Parabel verschieben entlang der y-Achse

Du kannst eine Funktion natürlich nicht nur entlang der x-Achse verschieben, sondern auch entlang der y-Achse. Hierbei liegt der Unterschied darin, dass die Funktion nicht nach rechts oder links verschoben wird, sondern nach oben oder unten.

Um eine Funktion entlang der y-Achse zu verschieben, gilt Folgendes:

$g (x) = x^{2} + e$

Wenn für $e > 0$ gilt, dann wird der Graph entlang der y-Achse nach oben verschoben

Wenn für $e < 0$ gilt, wird der Graph entlang der y-Achse nach unten verschoben

Diese Abbildung veranschaulicht das:

Parabel verschieben y Achse StudySmarter Abbildung 4: Verschiebung entlang der y-Achse

Hier wurde wieder die Normalparabel, also $f (x) = x^{2}$ zur Veranschaulichung verwendet. Sie wurde bei g(x) um 4 Stellen nach oben und bei h(x) um vier Stellen nach unten verändert, dadurch folgt die Verschiebung entlang der y-Achse.

Skalierung einer Parabel

Wenn du eine Parabel strecken oder stauchen willst, dann veränderst du die Form der Parabel. Das nennt man dann Skalierung.

Dafür gibt es zwei Möglichkeiten:

Stauchung einer Parabel
Streckung einer Parabel

Um eine Parabel zu strecken oder zu stauchen, verwendest du die Form: $f (x) = a x^{2}$

Der Parameter a wird so verändert, dass sie entweder gestreckt oder gestaucht wird.

Eine Parabel strecken

Unter dem Strecken einer quadratischen Funktion versteht man, dass man die Parabel schmaler verändern möchte – sie zieht sich gewissermaßen zusammen.

Wenn für die Funktion $f (x) = a \cdot x^{2}$ gilt $a > 1$ , dann wird die Parabel gestreckt.

In dieser Abbildung kannst du erkennen, wie eine gestreckte Funktion aussieht. Der Parameter a ist größer als 1 und die Funktion daher gestreckt. Zum Vergleich ist die Normalparabel blau eingezeichnet.

parabel verschieben strecken StudySmarter Abbildung 5: Streckung einer Parabel

Eine Parabel stauchen

Möchte man eine Parabel breiter machen, so wird das als das Stauchen einer quadratischen Funktion bezeichnet. Man könnte auch sagen, wir wollen sie weiter öffnen.

Wenn $0 < a < 1$ gilt , dann wird die Parabel $f (x) = a \cdot x^{2}$ gestaucht.

Wenn der Parameter a also zwischen 0 und 1 gewählt wird, dann wird die Funktion gestaucht.

In der folgenden Abbildung kannst du genau das deutlicher erkennen. Der Parameter a liegt zwischen 0 und 1. Daher ist die Funktion gestaucht und im Vergleich zur Normalparabel breiter.

Parabel verschieben stauchen StudySmarter Abbildung 6: Parabel stauchen

Spiegeln einer Parabel

Wenn du eine Parabel spiegeln willst, kannst du das entweder an der x-Achse, y-Achse oder an dem Ursprung tun. Die folgende Tabelle zeigt dir diese drei Möglichkeiten der Spiegelung genauer.

Als Ausgangsform war die Funktion $f (x) = x^{2}$ gegeben, die Normalparabel.

Spiegelung an der x-Achse	Spiegelung an der y-Achse	Spiegelung am Ursprung
$g (x) = - f (x) g (x) = - (x^{2}) g (x) = - x^{2}$	$h (x) = f (- x) h (x) = {(- x)}^{2} h (x) = x^{2}$	$k (x) = - f (- x) k (x) = - {(- x)}^{2} k (x) = - x^{2}$
Abbildung 7: Spiegelung an der x-Achse	Abbildung 8: Spiegelung an der y-Achse	Abbildung 9: Spiegelung am Ursprung

Du siehst anhand des grün markierten Vorzeichen, wie die Koeffizienten verändert wurden. Demnach kannst du mithilfe eines Vorzeichenwechsels Funktionen spiegeln.

Zum einen kannst du einfach das Vorzeichen vor f(x) verändern. Dadurch wird die Funktion an der x-Achse gespiegelt. Zum anderen kannst du das Vorzeichen von x verändern, also f(-x). Dadurch erfolgt eine Spiegelung des Graphen entlang der y-Achse.

Wenn du sowohl vor f(x), als auch vor dem x das Vorzeichen änderst, spiegelst du die Funktion am Ursprung.

Kombination verschiedener Transformationen

Nun hast du bereits alle Transformationsarten einer quadratischen Funktion kennengelernt. Dennoch gibt es die Möglichkeit, mehrere verschiedene Transformationen zu kombinieren.

Gegeben ist ein Beispiel der Normalparabel

$f (x) = x^{2}$

Diese willst du jetzt um zwei Stellen nach links und um 3 Stellen nach oben verschieben.

1. Schritt: Schaue dir dafür zunächst an, wie du die Funktion verändern musst, um sie 2 Stellen nach links zu verschieben.

d muss für eine Verschiebung nach links kleiner 0 sein, das heißt $d = - 2$ für eine Verschiebung um zwei Stellen nach links.

Die veränderte Funktion würde so aussehen:

$g (x) = (x - {d)}^{2} = (x - {(- 2))}^{2} = (x + 2)^{2}$

2. Schritt: Im nächsten Schritt nimmst du deine neue Funktion g(x) als Ausgangsfunktion, da diese bereits verändert ist. Anschließend wendest du dein Verfahren an, um den Graphen um 3 Stellen nach oben zu transformieren.

Für eine Verschiebung (um 3 Stellen) nach oben muss $e > 0$ sein. Es gilt also $e = 3$ .

Das würde dann so ausschauen:

$h (x) = (x + 2)^{2} + e = {(x + 2)}^{2} + 3$

Du hast nun eine neue Funktion erschaffen, die zwei verschiedene Transformationen miteinander kombiniert. Visualisiert, sieht das folgendermaßen aus:

Parabel verschieben Kombination StudySmarter Abbildung 10: Kombination verschiedener Transformationen

Natürlich kannst du nicht nur diese beiden Arten miteinander kombinieren, sondern auch alle weiteren.

Parabel verschieben – Übungsaufgabe

Nachdem du alle Arten von Transformationen kennengelernt hast, kannst du sie anhand einer Übungsaufgabe durchgehen.

Aufgabe

Gegeben ist die Normalparabel $f (x) = x^{2}$

Verändere die Normalparabel so, dass sie um 2 Stellen nach rechts verschoben wird und gestaucht wird.

Lösung

1. Schritt: Parabel nach rechts entlang der x-Achse verschieben

Um die Parabel um zwei Stellen nach rechts zu verschieben, musst du für den Parameter $d = 2$ einsetzen.

$g (x) = {(x - 2)}^{2}$

2. Schritt: Parabel stauchen

Um die Parabel zu stauchen, musst du einen Parameter wählen, der zwischen 0 und 1 liegt. Welchen du nimmst, ist dir überlassen. In diesem Beispiel wurde der Parameter 0,5 gewählt.

$h (x) = 0, 5 {(x - 2)}^{2}$

Zum Abschluss findest du hier eine Abbildung, die dir die ursprüngliche Funktion $f (x)$ im Vergleich zu der veränderten Funktion $h (x)$ zeigt. Du kannst erkennen, dass die veränderte Funktion breiter ist und um 2 Stellen nach rechts verschoben wurde.

Parabel verschieben Verändern Beispiel StudySmarter Abbildung 11: Veränderung einer Funktion

Parabel verschieben - Das Wichtigste

Eine quadratische Funktion wird auch eine Parabel genannt.
Die Grundform einer Parabel lautet: $f (x) = a x^{2} + b x + c$
Die Parabel $f (x) = x^{2}$ wird als Normalparabel bezeichnet.
Eine Veränderung des Funktionsterms wird auch Transformation genannt.
Wenn man den Funktionsterm ändert, verändert sich auch der Graph. Andersherum ist es genau so.
Um die Funktion nach links an der x-Achse zu verschieben, muss der Parameter d kleiner als 0 gewählt werden.
Um die Funktion nach rechts an der x-Achse zu verschieben, muss der Parameter d größer als 0 gewählt werden.
Eine Funktion wird nach oben verschoben, wenn der Parameter e größer als 0 ist.
Eine Funktion wird nach unten verschoben, wenn der Parameter e kleiner als 0 ist.
Wenn man die Funktion stauchen möchte, dann muss der Parameter a größer als 1 gewählt werden.
Wenn man die Funktion strecken möchte, dann muss der Parameter a zwischen 0 und 1 gewählt werden.
Eine Funktion kann an der x-Achse, y-Achse und am Ursprung gespiegelt werden.
Man kann auch mehrere Transformationsarten kombinieren.

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Welche Möglichkeiten gibt es, um eine quadratische Funktion zu transformieren?

Man kann eine quadratische Funktion folgendermaßen transformieren:

Skalierung ( Strecken, Stauchen)
Spiegeln an der x-Achse, y-Achse oder am Ursprung
Verschieben entlang der x-Achse oder y-Achse
Kombination verschiedener Veränderungen

Was ist eine Skalierung?

Wenn wir eine Parabel strecken oder stauchen wollen, dann verändern wir unsere Form der Parabel. Das ganze nennt man dann Skalierung.

Kann man auch verschiedene Veränderungen an einer quadratischen Funktion gleichzeitig vornehmen?

Ja, man kann auch verschiedene Veränderungen gleichzeitig vornehmen.

Dafür eignet sich besonders die Scheitelpunktsform.

Was ist ein Parameter?

Der Parameter steht vor der Funktionsvariable x. Er ist veränderbar und bestimmt das Verhalten der Funktion mit.

Was versteht man unter einer Veränderung von einer quadratischen Funktion?

Unter einer Veränderung von einer Quadratischen Funktion versteht man die Manipulation am Funktionsterm oder am Graph selbst.

Wie kann man eine quadratische Funktion verschieben?

Es gibt folgende Arten eine Funktion zu verschieben:

Verschiebung entlang der x-Achse (nach rechts oder nach links)
Verschiebung entlang der y-Achse (nach oben oder nach unten)

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Parabel verschieben

Wie verschiebt man eine Parabel?

Man verschiebt eine Parabel entlang der x-Achse, indem man den Parameter d von f(x)=(x+d)² verändert. Für Werte kleiner als 0 handelt es sich um eine Verschiebung nach rechts, für Werte größer als 0 um eine Verschiebung nach links.

Wenn wir eine Funktion entlang der y-Achse verschieben möchten, wird der Parameter e hinten an die Funktion angefügt ( f(x)=x²+e ).

Ist e größer als 0 ist, wird der Graph nach oben verschoben, ist e kleiner als 0 ist, wird der Graph nach unten verschoben.

Wie verschiebt man eine Parabel nach oben?

Man verschiebt eine Parabel nach oben, indem der Parameter e bei f(x)= x²+e größer als 0 gewählt wird.

Was ist Strecken und Stauchen?

Beim Strecken wird eine Parabel schmäler, die Normalparabel näherst sich zum Beispiel immer mehr der y-Achse an.

Das Stauchen verändert eine Parabel soweit, dass sie breiter wird. Sie ist also weiter geöffnet.

Wann Strecken und Stauchen?

Der Parameter a bei f(x)= ax² wird gewählt je nach dem ob man die Funktion strecken oder stauchen möchte.

Wenn a größer als 1 ist, wird die Funktion gestreckt. Wenn a zwischen 0 und 1 liegt, dann wird sie gestaucht.

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