Kurvendiskussion e-Funktion

Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, ist wichtiger Bestandteil der Analysis. Da es sich um eine spezielle Exponentialfunktion handelt, die besondere Eigenschaften besitzt, hat sie eine besondere Bedeutung. Deshalb lohnt es sich, diese Funktion ausführlich anzuschauen, um bei Bedarf darauf zurückgreifen zu können.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Allgemeines zur Kurvendiskussion der Exponentialfunktion

    Eine Kurvendiskussion wird an einer speziellen Funktion durchgeführt, um alle Eigenschaften und das Verhalten der Funktion herauszufinden.

    Dafür wird der Wertebereich, die Nullstellen, der y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Extremstellen, die Symmetrie, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten betrachtet.

    Betrachte zunächst einmal die folgende Tabelle, um dir die Funktionsgleichung und die Ableitung der reinen und erweiterten e-Funktion verinnerlichen. Die Ableitung wird später für die Extrem- und Wendepunkte benötigt.

    FunktionAbleitung
    Allgemeine Funktionf(x)=exf'(x)=ex
    Erweiterte Funktionf(x)=b·ecxf'(x)=bc·ecx

    Zur Erinnerung:

    • Die Parameterb und c sind reelle Zahlen, sie dürfen aber beide nicht 0 sein.
    • Der Parameterb ist die Streckung in y-Richtung. Ein negativer Parameterb führt zu einer Spiegelung an der x-Achse.
    • Der Parameterc ist die Streckung in x-Richtung. Ein negativer Parameterc führt zu einer Spiegelung an der y-Achse.

    Komplette Kurvendiskussion e-Funktion

    Dieser Artikel führt an der Funktion f(x)=3·e-12x eine komplette Kurvendiskussion durch.

    Hierzu kannst du dir zuerst einmal das Schaubild der Funktion f(x) anschauen.

    Kurvendiskussion e-Funktion Schaubild StudySmarterAbbildung 1: Schaubild der Funktion f(x)

    Kurvendiskussion e-Funktion – Wertebereich

    Um den Wertebereich Wf bei der e-Funktion zu bestimmen, musst du den Parameter b berücksichtigen. Dieser verursacht eine Spiegelung an der x-Achse, wenn er negativ ist.

    Zur Erinnerung:

    • Falls b>0: Wf=+
    • Falls b<0: Wf=-
    • Dabei bezeichnet die Menge aller reellen Zahlen, während + die Menge aller positiven und - die Menge aller negativen reellen Zahlen beinhaltet.

    Gib nun den Wertebereich der Funktion f(x)=3e-12x an.

    Zuerst musst du den Parameter b identifizieren.

    b=3

    Da dieser positiv ist, lautet der Wertebereich Wf wie folgt.

    Wf=+

    Kurvendiskussion e-Funktion – Nullstellen

    Bei der e-Funktion wirkt sich weder der Parameter b noch der Parameter c auf die Nullstellen aus.

    Da der Wertebereich entweder Wf=+ oder Wf=- beträgt, ist die Null nicht im Wertebereich enthalten. Das bedeutet, dass die e-Funktion keine Nullstellen besitzt.

    Dementsprechend kannst du das Thema Nullstellen bei der Funktion f(x)=3·e-12x schnell abhaken.

    Die Funktion f(x)=3·e-12x besitzt keine Nullstellen.

    Kurvendiskussion e-Funktion – y-Achsenabschnitt

    Bei der e-Funktion wirkt sich lediglich der Parameter b auf den y-Achsenabschnitt aus.

    Zur Erinnerung:

    Die allgemeine e-Funktion besitzt einen y-Achsenabschnitt von y=1, da e0=1.

    Da der Parameter b die Streckung in y-Richtung um den Faktor b ist, muss dieser nur mit dem y-Achsenabschnitt der reinen e-Funktion multipliziert werden. Du erhältst dann folgenden y-Achsenabschnitt für die erweiterte e-Funktion.

    y=1·b=b

    Als kleine Übersicht dient dir folgende Tabelle.

    y-Achsenabschnitt
    Reine Funktiony=1
    Erweiterte Funktiony=b

    Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Funktion f(x)=3·e-12x.

    Das dazugehörige Schaubild mit dem y-Achsenabschnitt sieht wie folgt aus.

    Kurvendiskussion e-Funktion y-Achsenabschnitt StudySmarterAbbildung 2: y-Achsenabschnitt der Funktion f(x)

    Damit hat die Funktion f(x) folgenden y-Achsenabschnitt.

    y=3

    Das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert der e-Funktion

    Das Grenzwertverhalten der e-Funktion wird sowohl von dem Parameter b und Parameter c beeinflusst, da dadurch jeweils eine Spiegelung an einer Achse entsteht.

    Zur Erinnerung:

    • Es gilt für x gegen : limxex=
    • Es gilt für x gegen -: limx-ex=0

    Nun musst du jeweils die Spiegelung an der x- und an der y-Achse berücksichtigen.

    • Durch Spiegelung an der y-Achse vertauschen sich die Grenzwerte für x und x-.
    • Durch Spiegelung an der x-Achse ändert sich das Vorzeichen für den Grenzwert .

    Du kannst dir das Ganze an der folgenden Tabelle inklusive Abbildungen verdeutlichen.

    c>0c<0
    b>0

    Kurvendiskussion e-Funktion Verhalten im Unendlichen 1 StudySmarterAbbildung 3: Grenzwerte für c>0 und b>0

    limxb·ecx=limx-b·ecx=0

    Kurvendiskussion e-Funktion Verhalten im Unendlichen 2 StudySmarterAbbildung 4: Grenzwerte für c<0 und b>0

    limxb·ecx=0limx-b·ecx=
    b<0

    Kurvendiskussion e-Funktion Verhalten im Unendlichen 3 StudySmarterAbbildung 5: Grenzwerte für c>0 und b<0

    limxb·ecx=-limx-b·ecx=0

    Kurvendiskussion e-Funktion Verhalten im Unendlichen 4 StudySmarterAbbildung 6: Grenzwerte für c<0 und b<0

    limxb·ecx=0limx-b·ecx=-

    Gib nun das Verhalten im Unendlichen für die Funktion f(x)=3·e-12x an.

    Zuerst musst du die Parameter b und c identifizieren.

    b=3>0c=-12<0

    Dementsprechend ergibt sich folgendes Verhalten im Unendlichen für die Funktion f(x)=3·e-12x.

    limx3·e-12x=0limx-3·e-12x=

    Kurvendiskussion e-Funktion – Symmetrie

    Bei der e-Funktion wirken sich beide Parameter b und c nicht auf die Symmetrie aus.

    Zur Erinnerung:

    Um nun zu überprüfen, ob die e-Funktion symmetrisch ist, müssen die Bedingungen für Punkt- und Achsensymmetrie geprüft werden.

    Überprüfe zuerst, ob die Bedingung -f(x)=f(-x) für Punktsymmetrie zum Ursprung erfüllt ist.

    f(-x)=be-cx-becx=-f(x)

    Überprüfe als Nächstes, ob die Bedingung f(x)=f(-x) für Achsensymmetrie zur y-Achse erfüllt ist.

    f(-x)=be-cxbecx=f(x)

    Beachte, dass das Negieren der Parameter Auswirkungen auf den Graphen hat. Daher sind beide Bedingungen nicht erfüllt. Die e-Funktion weist also keine Symmetrie auf. Dementsprechend kannst du die Symmetrie bei der Funktion f(x)=3e-12x schnell behandeln.

    Überprüfung der Punktsymmetrie zum Ursprung:

    f(-x)=3e12x-3e-12x=-f(x)

    Überprüfung der Achsensymmetrie zur y-Achse:

    f(-x)=3e12x3e-12x=f(x)

    Die Funktion f(x)=3e-12x besitzt also keine Symmetrie.

    Extremstellen und Wendepunkte der e-Funktion

    Bei der e-Funktion wirkt sich weder der Parameter b noch der Parameter c auf die Extremstellen oder Wendepunkte aus.

    Zur Erinnerung:

    • Extremstellen: Du musst die Ableitung f'(x) gleich 0 setzen.
    • Wendepunkte: Du musst die zweite Ableitung f''(x) gleich 0 setzen.

    Extremstellen der e-Funktion

    Du kennst bereits die Ableitung f'(x) der erweiterten e-Funktion.

    f'(x)=bc·ecx

    Möchtest du diese Ableitung nun 0 setzen, erhältst du folgende Gleichung.

    bc·ecx=0

    Wendepunkte der e-Funktion

    Die zweite Ableitung erhältst du, wenn du die erste noch einmal ableitest. Dabei kannst du den Ausdruck bc wieder wie den Parameter b behandeln. Du erhältst dann folgende zweite Ableitung.

    f''(x)=bc2·ecx

    Wenn du die zweite Ableitung f''(x) gleich 0 setzt, erhältst du folgende Gleichung.

    bc2·ecx=0

    Schlussfolgerung zu den Extremstellen und Wendepunkte

    Um Extremstellen oder Wendepunkte zu berechnen, müsstest du zuerst die Nullstellen der ersten und der zweiten Ableitung bilden.

    bc·ecx=0 und bc2·ecx=0

    Damit die Ausdrücke 0 werden können, muss einer der Faktoren 0 sein. Die Parameter b und c sind so definiert, dass sie nicht 0 sein dürfen. Dementsprechend müsste ecx dem Wert 0 entsprechen.

    Da du bereits weißt, dass die reine und die erweiterte e-Funktion keine Nullstellen besitzt, kann auch ecx nicht 0 sein.

    Damit hat die e-Funktion keine Extremstellen, also weder einen Hochpunkt noch einen Tiefpunkt, und keine Wendepunkte.

    Dementsprechend kannst du die Themen Extremstellen und Wendepunkte bei der Funktion f(x)=3·e-12x schnell abhaken.

    Die Funktion f(x)=3·e-12x besitzt keine Extremstellen und keine Wendepunkte.

    Monotonie und Krümmungsverhalten der e-Funktion

    Die Monotonie und die Krümmung der e-Funktion werden sowohl vom Parameter b als auch vom Parameter cbeeinflusst, da durch diese jeweils eine Spiegelung an einer Achse entstehen kann.

    Da die e-Funktion keine Extremstellen und Wendepunkte hat, besitzt sie durchgehend dieselbe Monotonie und Krümmung.

    Zur Erinnerung:

    • Monotonie der reinen e-Funktion: Die Funktion ist streng monoton wachsend.
    • Krümmungsverhalten der reinen e-Funktion: Die Funktion ist linksgekrümmt.

    Da die e-Funktion durchgehend dieselbe Monotonie und Krümmung besitzt, lässt sich die Monotonie und Krümmung am besten mit einem Ausschnitt des jeweiligen Schaubildes bestimmen. Schau dir dazu die nachfolgende Tabelle an.

    c>0c<0
    b>0

    Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 1 StudySmarterAbbildung 7: Monotonie und Krümmung für c>0 und b>0

    • Die Funktion f(x) ist streng monoton wachsend.
    • Die Funktion f(x) ist linksgekrümmt.

    Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 2 StudySmarterAbbildung 8: Monotonie und Krümmung für c<0 und b>0

    • Die Funktion f(x) ist streng monoton fallend.
    • Die Funktion f(x) ist linksgekrümmt.
    b<0

    Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 3 StudySmarterAbbildung 9: Monotonie und Krümmung für c>0 und b<0

    • Die Funktion f(x) ist streng monoton fallend.
    • Die Funktion f(x) ist rechtsgekrümmt.

    Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 4 StudySmarterAbbildung 10: Monotonie und Krümmung für c<0 und b<0

    • Die Funktion f(x) ist streng monoton wachsend.
    • Die Funktion f(x) ist rechtsgekrümmt.

    Gib nun die Monotonie und das Krümmungsverhalten der Funktion f(x)=3·e-12x an.

    Zuerst musst du wieder die Parameter b und c identifizieren.

    b=3>0c=-12<0

    Dementsprechend ist die Funktion f(x)=3·e-12x streng monoton fallend und linksgekrümmt.

    Kurvendiskussion der e-Funktion – Beispiel

    Um dir noch einen gesamten Überblick über deine fertige Kurvendiskussion zu geben, kannst du dir noch die komplette Kurvendiskussion der Funktion f(x)=3·e-12x anschauen.

    Schaubild:

    Kurvendiskussion e-Funktion Schaubild StudySmarterAbbildung 11: Schaubild der Funktion f(x)

    Wertebereich:

    Wf=+

    Nullstellen:

    Es gibt keine Nullstellen.

    y-Achsenabschnitt:

    y=3

    Verhalten im Unendlichen – Grenzwert:

    limx3·e-12x=0limx-3·e-12x=

    Symmetrie:

    Es gibt keine Symmetrie

    Extremstellen:

    Es gibt keine Extremstellen

    Wendepunkte:

    Es gibt keine Wendepunkte

    Monotonie:

    Streng monoton fallend

    Krümmungsverhalten:

    Linksgekrümmt

    Kurvendiskussion e-Funktion - Das Wichtigste

    • Der Wertebereich der e-Funktion ist:
      • Für b>0: Wf=+
      • Für b<0: Wf=-
    • Das Verhalten im Unendlichen, die Monotonie und das Krümmungsverhalten der e-Funktion sieht folgendermaßen aus:
      c>0c<0
      b>0
      • Verhalten im Unendlichen:
      limxb·ecx=limx-b·ecx=0
      • streng monoton wachsend
      • linksgekrümmt
      • Verhalten im Unendlichen:
      limxb·ecx=0limx-b·ecx=
      • streng monoton fallend
      • linksgekrümmt
      b<0
      • Verhalten im Unendlichen:
      limxb·ecx=-limx-b·ecx=0
      • streng monoton fallend
      • rechtsgekrümmt
      • Verhalten im Unendlichen:
      limxb·ecx=0limx-b·ecx=-
      • streng monoton wachsend
      • rechtsgekrümmt
    • Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen, keine Symmetrie, keine Extremstellen und keine Wendepunkte.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Kurvendiskussion e-Funktion

    Hat eine E-Funktion Extrempunkte?

    Eine Funktion wie f(x)=ex oder g(x)=b*ecx besitzt keine Extrempunkte. Wenn die e-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet wird, können Extrempunkte entstehen.

    Kann eine E-Funktion einen Wendepunkt haben?

    Eine Funktion wie f(x)=ex oder g(x)=b*ecx besitzt keine Wendepunkte. Wenn die e-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet wird, können Wendepunkte entstehen.

    Warum hat die E-Funktion keine Nullstellen?

    Weil sie entweder oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft.

    Was gehört alles zu einer Kurvendiskussion?

    Der Wertebereich, die Nullstellen, das Verhalten im Unendlichen - Grenzwert  die Extremstellen, die Symmetrie, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsveralten gehören zu einer Kurvendiskussion.

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