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Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, ist wichtiger Bestandteil der Analysis. Da es sich um eine spezielle Exponentialfunktion handelt, die besondere Eigenschaften besitzt, hat sie eine besondere Bedeutung. Deshalb lohnt es sich, diese Funktion ausführlich anzuschauen, um bei Bedarf darauf zurückgreifen zu können.
Eine Kurvendiskussion wird an einer speziellen Funktion durchgeführt, um alle Eigenschaften und das Verhalten der Funktion herauszufinden.
Dafür wird der Wertebereich, die Nullstellen, der y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Extremstellen, die Symmetrie, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten betrachtet.
Betrachte zunächst einmal die folgende Tabelle, um dir die Funktionsgleichung und die Ableitung der reinen und erweiterten e-Funktion verinnerlichen. Die Ableitung wird später für die Extrem- und Wendepunkte benötigt.
| Funktion | Ableitung | |
| Allgemeine Funktion |  |  |
| Erweiterte Funktion |  |  |
Zur Erinnerung:
Dieser Artikel führt an der Funktion 
eine komplette Kurvendiskussion durch.
Hierzu kannst du dir zuerst einmal das Schaubild der Funktion 
anschauen.
Abbildung 1: Schaubild der Funktion f(x)
Um den Wertebereich 
bei der e-Funktion zu bestimmen, musst du den Parameter 
berücksichtigen. Dieser verursacht eine Spiegelung an der 
, wenn er negativ ist.
Zur Erinnerung:
Gib nun den Wertebereich der Funktion 
an.
Zuerst musst du den Parameter 
identifizieren.
Da dieser positiv ist, lautet der Wertebereich 
wie folgt.
Bei der e-Funktion wirkt sich weder der Parameter 
noch der Parameter 
auf die Nullstellen aus.
Da der Wertebereich entweder 
oder 
beträgt, ist die Null nicht im Wertebereich enthalten. Das bedeutet, dass die e-Funktion keine Nullstellen besitzt.
Dementsprechend kannst du das Thema Nullstellen bei der Funktion 
schnell abhaken.
Die Funktion 
besitzt keine Nullstellen.
Bei der e-Funktion wirkt sich lediglich der Parameter 
auf den y-Achsenabschnitt aus.
Zur Erinnerung:
Die allgemeine e-Funktion besitzt einen y-Achsenabschnitt von 
, da 
.
Da der Parameter 
die Streckung in 
um den Faktor 
ist, muss dieser nur mit dem y-Achsenabschnitt der reinen e-Funktion multipliziert werden. Du erhältst dann folgenden y-Achsenabschnitt für die erweiterte e-Funktion.
Als kleine Übersicht dient dir folgende Tabelle.
| y-Achsenabschnitt | |
| Reine Funktion |  |
| Erweiterte Funktion |  |
Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Funktion 
.
Das dazugehörige Schaubild mit dem y-Achsenabschnitt sieht wie folgt aus.
Abbildung 2: y-Achsenabschnitt der Funktion f(x)
Damit hat die Funktion 
folgenden y-Achsenabschnitt.
Das Grenzwertverhalten der e-Funktion wird sowohl von dem Parameter 
und Parameter 
beeinflusst, da dadurch jeweils eine Spiegelung an einer Achse entsteht.
Zur Erinnerung:
gegen 
: 
gegen 
: 
Nun musst du jeweils die Spiegelung an der 
und an der 
berücksichtigen.
vertauschen sich die Grenzwerte für 
und 
.
ändert sich das Vorzeichen für den Grenzwert 
.Du kannst dir das Ganze an der folgenden Tabelle inklusive Abbildungen verdeutlichen.
 |  | |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Gib nun das Verhalten im Unendlichen für die Funktion 
an.
Zuerst musst du die Parameter 
und 
identifizieren.
Dementsprechend ergibt sich folgendes Verhalten im Unendlichen für die Funktion 
.
Bei der e-Funktion wirken sich beide Parameter 
und 
nicht auf die Symmetrie aus.
Zur Erinnerung:
: 
Um nun zu überprüfen, ob die e-Funktion symmetrisch ist, müssen die Bedingungen für Punkt- und Achsensymmetrie geprüft werden.
Überprüfe zuerst, ob die Bedingung 
für Punktsymmetrie zum Ursprung erfüllt ist.
Überprüfe als Nächstes, ob die Bedingung 
für Achsensymmetrie zur 
erfüllt ist.
Beachte, dass das Negieren der Parameter Auswirkungen auf den Graphen hat. Daher sind beide Bedingungen nicht erfüllt. Die e-Funktion weist also keine Symmetrie auf. Dementsprechend kannst du die Symmetrie bei der Funktion 
schnell behandeln.
Überprüfung der Punktsymmetrie zum Ursprung:
Überprüfung der Achsensymmetrie zur 
:
Die Funktion 
besitzt also keine Symmetrie.
Bei der e-Funktion wirkt sich weder der Parameter 
noch der Parameter 
auf die Extremstellen oder Wendepunkte aus.
Zur Erinnerung:
gleich 
setzen.
gleich 
setzen.Du kennst bereits die Ableitung 
der erweiterten e-Funktion.
Möchtest du diese Ableitung nun 
setzen, erhältst du folgende Gleichung.
Die zweite Ableitung erhältst du, wenn du die erste noch einmal ableitest. Dabei kannst du den Ausdruck 
wieder wie den Parameter 
behandeln. Du erhältst dann folgende zweite Ableitung.
Wenn du die zweite Ableitung 
gleich 
setzt, erhältst du folgende Gleichung.
Um Extremstellen oder Wendepunkte zu berechnen, müsstest du zuerst die Nullstellen der ersten und der zweiten Ableitung bilden.
Damit die Ausdrücke 
werden können, muss einer der Faktoren 
sein. Die Parameter 
und 
sind so definiert, dass sie nicht 
sein dürfen. Dementsprechend müsste 
dem Wert 
entsprechen.
Da du bereits weißt, dass die reine und die erweiterte e-Funktion keine Nullstellen besitzt, kann auch 
nicht 
sein.
Damit hat die e-Funktion keine Extremstellen, also weder einen Hochpunkt noch einen Tiefpunkt, und keine Wendepunkte.
Dementsprechend kannst du die Themen Extremstellen und Wendepunkte bei der Funktion 
schnell abhaken.
Die Funktion 
besitzt keine Extremstellen und keine Wendepunkte.
Die Monotonie und die Krümmung der e-Funktion werden sowohl vom Parameter 
als auch vom Parameter 
beeinflusst, da durch diese jeweils eine Spiegelung an einer Achse entstehen kann.
Da die e-Funktion keine Extremstellen und Wendepunkte hat, besitzt sie durchgehend dieselbe Monotonie und Krümmung.
Zur Erinnerung:
Da die e-Funktion durchgehend dieselbe Monotonie und Krümmung besitzt, lässt sich die Monotonie und Krümmung am besten mit einem Ausschnitt des jeweiligen Schaubildes bestimmen. Schau dir dazu die nachfolgende Tabelle an.
 |  | |
 |
|
|
 |
|
|
Gib nun die Monotonie und das Krümmungsverhalten der Funktion 
an.
Zuerst musst du wieder die Parameter 
und 
identifizieren.
Dementsprechend ist die Funktion 
streng monoton fallend und linksgekrümmt.
Um dir noch einen gesamten Überblick über deine fertige Kurvendiskussion zu geben, kannst du dir noch die komplette Kurvendiskussion der Funktion 
anschauen.
Schaubild:
Abbildung 11: Schaubild der Funktion f(x)
Nullstellen:
Es gibt keine Nullstellen.
y-Achsenabschnitt:
Verhalten im Unendlichen – Grenzwert:
Symmetrie:
Es gibt keine Symmetrie
Es gibt keine Extremstellen
Wendepunkte:
Es gibt keine Wendepunkte
Monotonie:
Streng monoton fallend
Linksgekrümmt
: 
: 
| | |
|
|
|
|
|
|
Eine Funktion wie f(x)=ex oder g(x)=b*ecx besitzt keine Extrempunkte. Wenn die e-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet wird, können Extrempunkte entstehen.
Eine Funktion wie f(x)=ex oder g(x)=b*ecx besitzt keine Wendepunkte. Wenn die e-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet wird, können Wendepunkte entstehen.
Weil sie entweder oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft.
Der Wertebereich, die Nullstellen, das Verhalten im Unendlichen - Grenzwert die Extremstellen, die Symmetrie, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsveralten gehören zu einer Kurvendiskussion.
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und 
sind reelle 
sein.
ist die Streckung in 
. Ein negativer Parameter
führt zu einer Spiegelung an der 
.
ist die Streckung in 
. Ein negativer Parameter
führt zu einer Spiegelung an der 
.
: 
: 
die Menge aller reellen 
die Menge aller positiven und 
die Menge aller negativen reellen 
ist streng monoton wachsend.
ist linksgekrümmt.
ist streng monoton fallend.
ist linksgekrümmt.
ist streng monoton fallend.
ist rechtsgekrümmt.
ist streng monoton wachsend.
ist rechtsgekrümmt.
