Kurvendiskussion e-Funktion

Q: Hat eine E-Funktion Extrempunkte?

Eine Funktion wie f(x)=ex oder g(x)=b*ecx besitzt keine Extrempunkte. Wenn die e-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet wird, können Extrempunkte entstehen.

Q: Kann eine E-Funktion einen Wendepunkt haben?

Eine Funktion wie f(x)=ex oder g(x)=b*ecx besitzt keine Wendepunkte. Wenn die e-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet wird, können Wendepunkte entstehen.

Q: Warum hat die E-Funktion keine Nullstellen?

Weil sie entweder oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft.

Q: Was gehört alles zu einer Kurvendiskussion?

Der Wertebereich, die Nullstellen, das Verhalten im Unendlichen - Grenzwert die Extremstellen, die Symmetrie, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsveralten gehören zu einer Kurvendiskussion.

Algebra

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Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, ist wichtiger Bestandteil der Analysis. Da es sich um eine spezielle Exponentialfunktion handelt, die besondere Eigenschaften besitzt, hat sie eine besondere Bedeutung. Deshalb lohnt es sich, diese Funktion ausführlich anzuschauen, um bei Bedarf darauf zurückgreifen zu können.

Allgemeines zur Kurvendiskussion der Exponentialfunktion

Eine Kurvendiskussion wird an einer speziellen Funktion durchgeführt, um alle Eigenschaften und das Verhalten der Funktion herauszufinden.

Dafür wird der Wertebereich, die Nullstellen, der y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Extremstellen, die Symmetrie, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten betrachtet.

Betrachte zunächst einmal die folgende Tabelle, um dir die Funktionsgleichung und die Ableitung der reinen und erweiterten e-Funktion verinnerlichen. Die Ableitung wird später für die Extrem- und Wendepunkte benötigt.

	Funktion	Ableitung
Allgemeine Funktion	$f (x) = e^{x}$	$f' (x) = e^{x}$
Erweiterte Funktion	$f (x) = b \cdot e^{c x}$	$f' (x) = b c \cdot e^{c x}$

Zur Erinnerung:

Die Parameter $b$ und $c$ sind reelle Zahlen, sie dürfen aber beide nicht $0$ sein.
Der Parameter $b$ ist die Streckung in $y - Richtung$ . Ein negativer Parameter $b$ führt zu einer Spiegelung an der $x - Achse$ .
Der Parameter $c$ ist die Streckung in $x - Richtung$ . Ein negativer Parameter $c$ führt zu einer Spiegelung an der $y - Achse$ .

Komplette Kurvendiskussion e-Funktion

Dieser Artikel führt an der Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ eine komplette Kurvendiskussion durch.

Hierzu kannst du dir zuerst einmal das Schaubild der Funktion $f (x)$ anschauen.

Kurvendiskussion e-Funktion Schaubild StudySmarter Abbildung 1: Schaubild der Funktion f(x)

Kurvendiskussion e-Funktion – Wertebereich

Um den Wertebereich $W_{f}$ bei der e-Funktion zu bestimmen, musst du den Parameter $b$ berücksichtigen. Dieser verursacht eine Spiegelung an der $x - Achse$ , wenn er negativ ist.

Zur Erinnerung:

Falls $b > 0$ : $W_{f} = ℝ^{+}$
Falls $b < 0$ : $W_{f} = ℝ^{-}$
Dabei bezeichnet $ℝ$ die Menge aller reellen Zahlen, während $ℝ^{+}$ die Menge aller positiven und $ℝ^{-}$ die Menge aller negativen reellen Zahlen beinhaltet.

Gib nun den Wertebereich der Funktion $f (x) = 3 e^{- \frac{1}{2} x}$ an.

Zuerst musst du den Parameter $b$ identifizieren.

$b = 3$

Da dieser positiv ist, lautet der Wertebereich $W_{f}$ wie folgt.

$W_{f} = ℝ^{+}$

Kurvendiskussion e-Funktion – Nullstellen

Bei der e-Funktion wirkt sich weder der Parameter $b$ noch der Parameter $c$ auf die Nullstellen aus.

Da der Wertebereich entweder $W_{f} = ℝ^{+}$ oder $W_{f} = ℝ^{-}$ beträgt, ist die Null nicht im Wertebereich enthalten. Das bedeutet, dass die e-Funktion keine Nullstellen besitzt.

Dementsprechend kannst du das Thema Nullstellen bei der Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ schnell abhaken.

Die Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ besitzt keine Nullstellen.

Kurvendiskussion e-Funktion – y-Achsenabschnitt

Bei der e-Funktion wirkt sich lediglich der Parameter $b$ auf den y-Achsenabschnitt aus.

Zur Erinnerung:

Die allgemeine e-Funktion besitzt einen y-Achsenabschnitt von $y = 1$ , da $e^{0} = 1$ .

Da der Parameter $b$ die Streckung in $y - Richtung$ um den Faktor $|b|$ ist, muss dieser nur mit dem y-Achsenabschnitt der reinen e-Funktion multipliziert werden. Du erhältst dann folgenden y-Achsenabschnitt für die erweiterte e-Funktion.

$y = 1 \cdot b = b$

Als kleine Übersicht dient dir folgende Tabelle.

	y-Achsenabschnitt
Reine Funktion	$y = 1$
Erweiterte Funktion	$y = b$

Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ .

Das dazugehörige Schaubild mit dem y-Achsenabschnitt sieht wie folgt aus.

Kurvendiskussion e-Funktion y-Achsenabschnitt StudySmarter Abbildung 2: y-Achsenabschnitt der Funktion f(x)

Damit hat die Funktion $f (x)$ folgenden y-Achsenabschnitt.

$y = 3$

Das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert der e-Funktion

Das Grenzwertverhalten der e-Funktion wird sowohl von dem Parameter $b$ und Parameter $c$ beeinflusst, da dadurch jeweils eine Spiegelung an einer Achse entsteht.

Zur Erinnerung:

Es gilt für $x$ gegen $\infty$ : $\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$
Es gilt für $x$ gegen $- \infty$ : $\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$

Nun musst du jeweils die Spiegelung an der $x -$ und an der $y - Achse$ berücksichtigen.

Durch Spiegelung an der $y - Achse$ vertauschen sich die Grenzwerte für $x \to \infty$ und $x \to - \infty$ .
Durch Spiegelung an der $x - Achse$ ändert sich das Vorzeichen für den Grenzwert $\infty$ .

Du kannst dir das Ganze an der folgenden Tabelle inklusive Abbildungen verdeutlichen.

	$c > 0$	$c < 0$
$b > 0$	Abbildung 3: Grenzwerte für c>0 und b>0 $\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & \infty \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \end{array}$	Abbildung 4: Grenzwerte für c<0 und b>0 $\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & \infty \end{array}$
$b < 0$	Abbildung 5: Grenzwerte für c>0 und b<0 $\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & - \infty \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \end{array}$	Abbildung 6: Grenzwerte für c<0 und b<0 $\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & - \infty \end{array}$

Gib nun das Verhalten im Unendlichen für die Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ an.

Zuerst musst du die Parameter $b$ und $c$ identifizieren.

$\begin{array}{rcl} b & = & 3 > 0 \\ c & = & - \frac{1}{2} < 0 \end{array}$

Dementsprechend ergibt sich folgendes Verhalten im Unendlichen für die Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ .

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x} & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x} & = & \infty \end{array}$

Kurvendiskussion e-Funktion – Symmetrie

Bei der e-Funktion wirken sich beide Parameter $b$ und $c$ nicht auf die Symmetrie aus.

Zur Erinnerung:

Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung: $- f (x) = f (- x)$
Bedingung für Achsensymmetrie zur $y - Achse$ : $f (x) = f (- x)$

Um nun zu überprüfen, ob die e-Funktion symmetrisch ist, müssen die Bedingungen für Punkt- und Achsensymmetrie geprüft werden.

Überprüfe zuerst, ob die Bedingung $- f (x) = f (- x)$ für Punktsymmetrie zum Ursprung erfüllt ist.

$f (- x) = b e^{- c x} \neq - b e^{c x} = - f (x)$

Überprüfe als Nächstes, ob die Bedingung $f (x) = f (- x)$ für Achsensymmetrie zur $y - Achse$ erfüllt ist.

$f (- x) = b e^{- c x} \neq b e^{c x} = f (x)$

Beachte, dass das Negieren der Parameter Auswirkungen auf den Graphen hat. Daher sind beide Bedingungen nicht erfüllt. Die e-Funktion weist also keine Symmetrie auf. Dementsprechend kannst du die Symmetrie bei der Funktion $f (x) = 3 e^{- \frac{1}{2} x}$ schnell behandeln.

Überprüfung der Punktsymmetrie zum Ursprung:

$\begin{array}{rcl} f (- x) & = & 3 e^{\frac{1}{2} x} \neq - 3 e^{- \frac{1}{2} x} = - f (x) \end{array}$

Überprüfung der Achsensymmetrie zur $y - Achse$ :

$\begin{array}{rcl} f (- x) & = & 3 e^{\frac{1}{2} x} \neq 3 e^{- \frac{1}{2} x} = f (x) \end{array}$

Die Funktion $f (x) = 3 e^{- \frac{1}{2} x}$ besitzt also keine Symmetrie.

Extremstellen und Wendepunkte der e-Funktion

Bei der e-Funktion wirkt sich weder der Parameter $b$ noch der Parameter $c$ auf die Extremstellen oder Wendepunkte aus.

Zur Erinnerung:

Extremstellen: Du musst die Ableitung $f' (x)$ gleich $0$ setzen.
Wendepunkte: Du musst die zweite Ableitung $f'' (x)$ gleich $0$ setzen.

Extremstellen der e-Funktion

Du kennst bereits die Ableitung $f' (x)$ der erweiterten e-Funktion.

$f' (x) = b c \cdot e^{c x}$

Möchtest du diese Ableitung nun $0$ setzen, erhältst du folgende Gleichung.

$b c \cdot e^{c x} = 0$

Wendepunkte der e-Funktion

Die zweite Ableitung erhältst du, wenn du die erste noch einmal ableitest. Dabei kannst du den Ausdruck $b c$ wieder wie den Parameter $b$ behandeln. Du erhältst dann folgende zweite Ableitung.

$f'' (x) = b c^{2} \cdot e^{c x}$

Wenn du die zweite Ableitung $f'' (x)$ gleich $0$ setzt, erhältst du folgende Gleichung.

$b c^{2} \cdot e^{c x} = 0$

Schlussfolgerung zu den Extremstellen und Wendepunkte

Um Extremstellen oder Wendepunkte zu berechnen, müsstest du zuerst die Nullstellen der ersten und der zweiten Ableitung bilden.

$b c \cdot e^{c x} = 0 und b c^{2} \cdot e^{c x} = 0$

Damit die Ausdrücke $0$ werden können, muss einer der Faktoren $0$ sein. Die Parameter $b$ und $c$ sind so definiert, dass sie nicht $0$ sein dürfen. Dementsprechend müsste $e^{c x}$ dem Wert $0$ entsprechen.

Da du bereits weißt, dass die reine und die erweiterte e-Funktion keine Nullstellen besitzt, kann auch $e^{c x}$ nicht $0$ sein.

Damit hat die e-Funktion keine Extremstellen, also weder einen Hochpunkt noch einen Tiefpunkt, und keine Wendepunkte.

Dementsprechend kannst du die Themen Extremstellen und Wendepunkte bei der Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ schnell abhaken.

Die Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ besitzt keine Extremstellen und keine Wendepunkte.

Monotonie und Krümmungsverhalten der e-Funktion

Die Monotonie und die Krümmung der e-Funktion werden sowohl vom Parameter $b$ als auch vom Parameter $c$ beeinflusst, da durch diese jeweils eine Spiegelung an einer Achse entstehen kann.

Da die e-Funktion keine Extremstellen und Wendepunkte hat, besitzt sie durchgehend dieselbe Monotonie und Krümmung.

Zur Erinnerung:

Monotonie der reinen e-Funktion: Die Funktion ist streng monoton wachsend.
Krümmungsverhalten der reinen e-Funktion: Die Funktion ist linksgekrümmt.

Da die e-Funktion durchgehend dieselbe Monotonie und Krümmung besitzt, lässt sich die Monotonie und Krümmung am besten mit einem Ausschnitt des jeweiligen Schaubildes bestimmen. Schau dir dazu die nachfolgende Tabelle an.

c > 0

c < 0

b > 0

Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 1 StudySmarter Abbildung 7: Monotonie und Krümmung für c>0 und b>0

Die Funktion $f (x)$ ist streng monoton wachsend.
Die Funktion $f (x)$ ist linksgekrümmt.

Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 2 StudySmarter Abbildung 8: Monotonie und Krümmung für c<0 und b>0

Die Funktion $f (x)$ ist streng monoton fallend.
Die Funktion $f (x)$ ist linksgekrümmt.

b < 0

Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 3 StudySmarter Abbildung 9: Monotonie und Krümmung für c>0 und b<0

Die Funktion $f (x)$ ist streng monoton fallend.
Die Funktion $f (x)$ ist rechtsgekrümmt.

Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 4 StudySmarter Abbildung 10: Monotonie und Krümmung für c<0 und b<0

Die Funktion $f (x)$ ist streng monoton wachsend.
Die Funktion $f (x)$ ist rechtsgekrümmt.

Gib nun die Monotonie und das Krümmungsverhalten der Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ an.

Zuerst musst du wieder die Parameter $b$ und $c$ identifizieren.

$\begin{array}{rcl} b & = & 3 > 0 \\ c & = & - \frac{1}{2} < 0 \end{array}$

Dementsprechend ist die Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ streng monoton fallend und linksgekrümmt.

Kurvendiskussion der e-Funktion – Beispiel

Um dir noch einen gesamten Überblick über deine fertige Kurvendiskussion zu geben, kannst du dir noch die komplette Kurvendiskussion der Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ anschauen.

Schaubild:

Kurvendiskussion e-Funktion Schaubild StudySmarter Abbildung 11: Schaubild der Funktion f(x)

Wertebereich:

$W_{f} = ℝ^{+}$

Nullstellen:

Es gibt keine Nullstellen.

y-Achsenabschnitt:

$y = 3$

Verhalten im Unendlichen – Grenzwert:

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x} & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x} & = & \infty \end{array}$

Symmetrie:

Es gibt keine Symmetrie

Extremstellen:

Es gibt keine Extremstellen

Wendepunkte:

Es gibt keine Wendepunkte

Monotonie:

Streng monoton fallend

Krümmungsverhalten:

Linksgekrümmt

Kurvendiskussion e-Funktion - Das Wichtigste

Der Wertebereich der e-Funktion ist:
- Für $b > 0$ : $W_{f} = ℝ^{+}$
- Für $b < 0$ : $W_{f} = ℝ^{-}$

Das Verhalten im Unendlichen, die Monotonie und das Krümmungsverhalten der e-Funktion sieht folgendermaßen aus:

c > 0

c < 0

b > 0

Verhalten im Unendlichen:

\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & \infty \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \end{array}

streng monoton wachsend
linksgekrümmt

Verhalten im Unendlichen:

\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & \infty \end{array}

streng monoton fallend
linksgekrümmt

b < 0

Verhalten im Unendlichen:

\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & - \infty \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \end{array}

streng monoton fallend
rechtsgekrümmt

Verhalten im Unendlichen:

\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & - \infty \end{array}

streng monoton wachsend
rechtsgekrümmt

Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen, keine Symmetrie, keine Extremstellen und keine Wendepunkte.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kurvendiskussion e-Funktion

Eine Funktion wie f(x)=e^x oder g(x)=b*e^cx besitzt keine Extrempunkte. Wenn die e-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet wird, können Extrempunkte entstehen.

Eine Funktion wie f(x)=e^x oder g(x)=b*e^cx besitzt keine Wendepunkte. Wenn die e-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet wird, können Wendepunkte entstehen.

Weil sie entweder oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft.

Der Wertebereich, die Nullstellen, das Verhalten im Unendlichen - Grenzwert die Extremstellen, die Symmetrie, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsveralten gehören zu einer Kurvendiskussion.

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