Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Kurvendiskussion e-Funktion

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
X
Illustration Du hast bereits eine Erklärung angesehen Melde dich kostenfrei an und greife auf diese und tausende Erklärungen zu
Mathe

Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, ist wichtiger Bestandteil der Analysis. Da es sich um eine spezielle Exponentialfunktion handelt, die besondere Eigenschaften besitzt, hat sie eine besondere Bedeutung. Deshalb lohnt es sich, diese Funktion ausführlich anzuschauen, um bei Bedarf darauf zurückgreifen zu können.

Allgemeines zur Kurvendiskussion der Exponentialfunktion

Eine Kurvendiskussion wird an einer speziellen Funktion durchgeführt, um alle Eigenschaften und das Verhalten der Funktion herauszufinden.

Dafür wird der Wertebereich, die Nullstellen, der y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Extremstellen, die Symmetrie, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten betrachtet.

Betrachte zunächst einmal die folgende Tabelle, um dir die Funktionsgleichung und die Ableitung der reinen und erweiterten e-Funktion verinnerlichen. Die Ableitung wird später für die Extrem- und Wendepunkte benötigt.

FunktionAbleitung
Allgemeine Funktion
Erweiterte Funktion

Zur Erinnerung:

  • Die Parameter und sind reelle Zahlen, sie dürfen aber beide nicht sein.
  • Der Parameter ist die Streckung in . Ein negativer Parameter führt zu einer Spiegelung an der .
  • Der Parameter ist die Streckung in . Ein negativer Parameter führt zu einer Spiegelung an der .

Komplette Kurvendiskussion e-Funktion

Dieser Artikel führt an der Funktion eine komplette Kurvendiskussion durch.

Hierzu kannst du dir zuerst einmal das Schaubild der Funktion anschauen.

Kurvendiskussion e-Funktion Schaubild StudySmarterAbbildung 1: Schaubild der Funktion f(x)

Kurvendiskussion e-Funktion – Wertebereich

Um den Wertebereich bei der e-Funktion zu bestimmen, musst du den Parameter berücksichtigen. Dieser verursacht eine Spiegelung an der , wenn er negativ ist.

Zur Erinnerung:

  • Falls :
  • Falls :
  • Dabei bezeichnet die Menge aller reellen Zahlen, während die Menge aller positiven und die Menge aller negativen reellen Zahlen beinhaltet.

Gib nun den Wertebereich der Funktion an.

Zuerst musst du den Parameter identifizieren.

Da dieser positiv ist, lautet der Wertebereich wie folgt.

Kurvendiskussion e-Funktion – Nullstellen

Bei der e-Funktion wirkt sich weder der Parameter noch der Parameter auf die Nullstellen aus.

Da der Wertebereich entweder oder beträgt, ist die Null nicht im Wertebereich enthalten. Das bedeutet, dass die e-Funktion keine Nullstellen besitzt.

Dementsprechend kannst du das Thema Nullstellen bei der Funktion schnell abhaken.

Die Funktion besitzt keine Nullstellen.

Kurvendiskussion e-Funktion – y-Achsenabschnitt

Bei der e-Funktion wirkt sich lediglich der Parameter auf den y-Achsenabschnitt aus.

Zur Erinnerung:

Die allgemeine e-Funktion besitzt einen y-Achsenabschnitt von , da .

Da der Parameter die Streckung in um den Faktor ist, muss dieser nur mit dem y-Achsenabschnitt der reinen e-Funktion multipliziert werden. Du erhältst dann folgenden y-Achsenabschnitt für die erweiterte e-Funktion.

Als kleine Übersicht dient dir folgende Tabelle.

y-Achsenabschnitt
Reine Funktion
Erweiterte Funktion

Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Funktion .

Das dazugehörige Schaubild mit dem y-Achsenabschnitt sieht wie folgt aus.

Kurvendiskussion e-Funktion y-Achsenabschnitt StudySmarterAbbildung 2: y-Achsenabschnitt der Funktion f(x)

Damit hat die Funktion folgenden y-Achsenabschnitt.

Das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert der e-Funktion

Das Grenzwertverhalten der e-Funktion wird sowohl von dem Parameter und Parameter beeinflusst, da dadurch jeweils eine Spiegelung an einer Achse entsteht.

Zur Erinnerung:

  • Es gilt für gegen :
  • Es gilt für gegen :

Nun musst du jeweils die Spiegelung an der und an der berücksichtigen.

  • Durch Spiegelung an der vertauschen sich die Grenzwerte für und .
  • Durch Spiegelung an der ändert sich das Vorzeichen für den Grenzwert .

Du kannst dir das Ganze an der folgenden Tabelle inklusive Abbildungen verdeutlichen.

Kurvendiskussion e-Funktion Verhalten im Unendlichen 1 StudySmarterAbbildung 3: Grenzwerte für c>0 und b>0

Kurvendiskussion e-Funktion Verhalten im Unendlichen 2 StudySmarterAbbildung 4: Grenzwerte für c<0 und b>0

Kurvendiskussion e-Funktion Verhalten im Unendlichen 3 StudySmarterAbbildung 5: Grenzwerte für c>0 und b<0

Kurvendiskussion e-Funktion Verhalten im Unendlichen 4 StudySmarterAbbildung 6: Grenzwerte für c<0 und b<0

Gib nun das Verhalten im Unendlichen für die Funktion an.

Zuerst musst du die Parameter und identifizieren.

Dementsprechend ergibt sich folgendes Verhalten im Unendlichen für die Funktion .

Kurvendiskussion e-Funktion – Symmetrie

Bei der e-Funktion wirken sich beide Parameter und nicht auf die Symmetrie aus.

Zur Erinnerung:

  • Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung:
  • Bedingung für Achsensymmetrie zur :

Um nun zu überprüfen, ob die e-Funktion symmetrisch ist, müssen die Bedingungen für Punkt- und Achsensymmetrie geprüft werden.

Überprüfe zuerst, ob die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung erfüllt ist.

Überprüfe als Nächstes, ob die Bedingung für Achsensymmetrie zur erfüllt ist.

Beachte, dass das Negieren der Parameter Auswirkungen auf den Graphen hat. Daher sind beide Bedingungen nicht erfüllt. Die e-Funktion weist also keine Symmetrie auf. Dementsprechend kannst du die Symmetrie bei der Funktion schnell behandeln.

Überprüfung der Punktsymmetrie zum Ursprung:

Überprüfung der Achsensymmetrie zur :

Die Funktion besitzt also keine Symmetrie.

Extremstellen und Wendepunkte der e-Funktion

Bei der e-Funktion wirkt sich weder der Parameter noch der Parameter auf die Extremstellen oder Wendepunkte aus.

Zur Erinnerung:

  • Extremstellen: Du musst die Ableitung gleich setzen.
  • Wendepunkte: Du musst die zweite Ableitung gleich setzen.

Extremstellen der e-Funktion

Du kennst bereits die Ableitung der erweiterten e-Funktion.

Möchtest du diese Ableitung nun setzen, erhältst du folgende Gleichung.

Wendepunkte der e-Funktion

Die zweite Ableitung erhältst du, wenn du die erste noch einmal ableitest. Dabei kannst du den Ausdruck wieder wie den Parameter behandeln. Du erhältst dann folgende zweite Ableitung.

Wenn du die zweite Ableitung gleich setzt, erhältst du folgende Gleichung.

Schlussfolgerung zu den Extremstellen und Wendepunkte

Um Extremstellen oder Wendepunkte zu berechnen, müsstest du zuerst die Nullstellen der ersten und der zweiten Ableitung bilden.

Damit die Ausdrücke werden können, muss einer der Faktoren sein. Die Parameter und sind so definiert, dass sie nicht sein dürfen. Dementsprechend müsste dem Wert entsprechen.

Da du bereits weißt, dass die reine und die erweiterte e-Funktion keine Nullstellen besitzt, kann auch nicht sein.

Damit hat die e-Funktion keine Extremstellen, also weder einen Hochpunkt noch einen Tiefpunkt, und keine Wendepunkte.

Dementsprechend kannst du die Themen Extremstellen und Wendepunkte bei der Funktion schnell abhaken.

Die Funktion besitzt keine Extremstellen und keine Wendepunkte.

Monotonie und Krümmungsverhalten der e-Funktion

Die Monotonie und die Krümmung der e-Funktion werden sowohl vom Parameter als auch vom Parameter beeinflusst, da durch diese jeweils eine Spiegelung an einer Achse entstehen kann.

Da die e-Funktion keine Extremstellen und Wendepunkte hat, besitzt sie durchgehend dieselbe Monotonie und Krümmung.

Zur Erinnerung:

Da die e-Funktion durchgehend dieselbe Monotonie und Krümmung besitzt, lässt sich die Monotonie und Krümmung am besten mit einem Ausschnitt des jeweiligen Schaubildes bestimmen. Schau dir dazu die nachfolgende Tabelle an.

Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 1 StudySmarterAbbildung 7: Monotonie und Krümmung für c>0 und b>0

Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 2 StudySmarterAbbildung 8: Monotonie und Krümmung für c<0 und b>0

Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 3 StudySmarterAbbildung 9: Monotonie und Krümmung für c>0 und b<0

  • Die Funktion ist streng monoton fallend.
  • Die Funktion ist rechtsgekrümmt.

Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 4 StudySmarterAbbildung 10: Monotonie und Krümmung für c<0 und b<0

  • Die Funktion ist streng monoton wachsend.
  • Die Funktion ist rechtsgekrümmt.

Gib nun die Monotonie und das Krümmungsverhalten der Funktion an.

Zuerst musst du wieder die Parameter und identifizieren.

Dementsprechend ist die Funktion streng monoton fallend und linksgekrümmt.

Kurvendiskussion der e-Funktion – Beispiel

Um dir noch einen gesamten Überblick über deine fertige Kurvendiskussion zu geben, kannst du dir noch die komplette Kurvendiskussion der Funktion anschauen.

Schaubild:

Kurvendiskussion e-Funktion Schaubild StudySmarterAbbildung 11: Schaubild der Funktion f(x)

Wertebereich:

Nullstellen:

Es gibt keine Nullstellen.

y-Achsenabschnitt:

Verhalten im Unendlichen – Grenzwert:

Symmetrie:

Es gibt keine Symmetrie

Extremstellen:

Es gibt keine Extremstellen

Wendepunkte:

Es gibt keine Wendepunkte

Monotonie:

Streng monoton fallend

Krümmungsverhalten:

Linksgekrümmt

Kurvendiskussion e-Funktion - Das Wichtigste

  • Der Wertebereich der e-Funktion ist:
    • Für :
    • Für :
  • Das Verhalten im Unendlichen, die Monotonie und das Krümmungsverhalten der e-Funktion sieht folgendermaßen aus:
    • Verhalten im Unendlichen:
    • streng monoton wachsend
    • linksgekrümmt
    • Verhalten im Unendlichen:
    • streng monoton fallend
    • linksgekrümmt
    • Verhalten im Unendlichen:
    • streng monoton fallend
    • rechtsgekrümmt
    • Verhalten im Unendlichen:
    • streng monoton wachsend
    • rechtsgekrümmt
  • Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen, keine Symmetrie, keine Extremstellen und keine Wendepunkte.

Kurvendiskussion e-Funktion

Eine Funktion wie f(x)=ex oder g(x)=b*ecx besitzt keine Extrempunkte. Wenn die e-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet wird, können Extrempunkte entstehen.

Eine Funktion wie f(x)=ex oder g(x)=b*ecx besitzt keine Wendepunkte. Wenn die e-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet wird, können Wendepunkte entstehen.

Weil sie entweder oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft.

Der Wertebereich, die Nullstellen, das Verhalten im Unendlichen - Grenzwert  die Extremstellen, die Symmetrie, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsveralten gehören zu einer Kurvendiskussion.

60%

der Nutzer schaffen das Kurvendiskussion e-Funktion Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.