Ableitung ganzrationaler Funktionen

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Ganzrationale Funktionen lassen sich oft mit Bergen und Tälern vergleichen. Wärst Du ein Bergsteiger, wäre es relevant, wie die Steigung oder das Gefälle, also eine negative Steigung, auf Deinem Wanderweg ist. Aber wie erhältst Du die Steigung an den unterschiedlichen Stellen, wenn Deine Berge und Täler durch ganzrationale Funktionen beschrieben werden können? Die Lösung ist das Ableiten.

Ableitung Polynomfunktion ganzrationale Funktion ableiten Beispiele StudySmarter Abbildung 1: Beispiele für ganzrationale Funktionen

Ableitung ganzrationaler Funktionen – Wiederholung

Zum Ableiten von ganzrationalen Funktionen sind zwei einzelne Teile relevant. Die ganzrationale Funktion an sich und die Ableitung allgemein. In den folgenden Abschnitten findest Du deswegen eine Wiederholung dieser Grundlagen.

Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktion)

Die erste, wichtige Basis für das Verständnis der Ableitung ganzrationaler Funktionen ist die ganzrationale Funktion an sich.

Eine ganzrationale Funktion wird auch Polynomfunktion genannt. Sie ist eine reelle Funktion n-ten Grades und besteht aus einem Polynom.

Ein Polynom ist ein Term, in dem mehrere Glieder mit Koeffizienten und Variablen mit verschiedenen Exponenten vorkommen, die mit Rechenoperatoren, wie zum Beispiel $+ / -$ verbunden sind.

Falls Du nochmal etwas zu ganzrationalen Funktionen nachlesen möchtest, findest Du hier einen ausführlichen Artikel. Darin wird Dir erklärt, wo ganzrationale Funktionen in der Mathematik, genauer gesagt in der Analysis, angewendet werden, wie die Graphen der Funktionen aussehen und wie Du deren Nullstellen berechnest.

In den folgenden Kapiteln lernst Du alles über die Ableitung ganzrationaler Funktionen. Von der Wiederholung der Formel, Graderkennung und Nullstellenberechnung bis hin zu den Ableitungsregeln und Anwendung bei Polynomfunktionen 2., 3. und 4. Grades und die Anwendung der Ableitung dieser Funktionen.

Ganzrationale Funktion – Formel

Ganzrationale Funktionen haben wie andere Arten von Funktionen eine bestimmte Funktionsgleichung.

Die allgemeine Form einer Polynomfunktion n-ten Grades ist:

$f (x) = a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + . . . + a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0}$

Dabei gilt: $a_{n} \neq 0$

$a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + . . . + a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0}$ sind die Glieder des Terms der Funktion.

Parameter des Funktionsterms:

$a_{n}, a_{n - 1}, a_{2}, a_{1}, a_{0}$ sind die Koeffizienten.
Leitkoeffizient: Koeffizient vor dem größten vorkommenden Exponenten (hier $a_{n}$ ).
$n, n - 1, 2, 1, 0$ sind die Exponenten und die Indizes von $a$ .

Grad einer ganzrationalen Funktion erkennen

Den Grad einer ganzrationalen Funktion erkennst Du an seinem Exponenten. Der höchste Exponent n, also der Exponent mit dem größten Wert ist gleichzeitig der Grad der ganzrationalen Funktion.

Hier siehst Du zum Beispiel die Polynomfunktion $f (x) = x^{5} + 4 x^{3} + x - 9$ .

Der höchste Exponent ist hier die 5, also ist der Grad der Polynomfunktion auch 5.

Der Grad der Polynomfunktion ist wichtig, da er die Eigenschaften dieser Funktion bestimmt. Die maximale Anzahl der Nullstellen einer Polynomfunktion kannst Du beispielsweise durch den Grad der Funktion erkennen. Der Grad einer Polynomfunktion gibt nämlich die maximale Anzahl an Nullstellen dieser Funktion an.

Nullstellen einer ganzrationalen Funktion berechnen

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen.

Die Polynomfunktion $f (x) = x^{6} - 6 x^{4} + 3$ hat den Grad 6 und kann somit höchstens 6 Nullstellen haben.

Bei einer Polynomfunktion 2. Grades, auch quadratische Funktion genannt, kannst Du die Mitternachtsformel oder die p-q-Formel verwenden, um die Nullstellen zu bestimmen. Um die Nullstellen für Polynomfunktionen von Grad 3 oder höher zu bestimmen, kannst Du eine Polynomdivision durchführen.

Alles zum Thema Polynomdivision kannst Du in der entsprechenden Erklärung nachlesen.

Je höher der Grad, desto mehr Zwischenrechnungen sind für die Bestimmung der Nullstellen nötig.

Die Ableitung einer Funktion

Die Differenzialrechnung ist ein großer Bestandteil der Analysis in der Mathematik. Die Ableitung $f' (x)$ einer Funktion $f (x)$ benötigst Du für die Berechnung der Steigung m einer Funktion:

Ist die Ableitung $f' (x)$ negativ, dann fällt die Funktion $f (x)$ .
Ist die Ableitung $f' (x)$ gleich null, dann ist die Steigung m der Funktion $f (x)$ gleich null.
Ist die Ableitung $f' (x)$ positiv, dann steigt die Funktion $f (x)$ .

In der nachfolgenden Tabelle siehst Du die Zusammenhänge zwischen Ableitung $f' (x)$ und Steigung m zusammengefasst und grafisch dargestellt.

Ableitung $f' (x)$		Funktion $f (x)$
$f' (x) < 0$	Abbildung 2: negative Ableitung f'(x)	fällt: $m < 0$	Abbildung 3: negative Steigung m der Funktion f(x)
$f' (x) = 0$	Abbildung 4: Ableitung f'(x) gleich null	$m = 0$	Abbildung 5: Steigung m=0 der Funktion f(x)
$f' (x) > 0$	Abbildung 6: positive Ableitung f'(x)	steigt: $m > 0$	Abbildung 7: positive Steigung m der Funktion f(x)

Alles zum Thema Ableiten und Ableitungsregeln ist im Artikel Ableitungsregeln genau beschrieben.

Um eine Funktion ableiten zu können, gibt es einige Regeln. Wichtige Ableitungsregeln, die Du für die rechnerische Ableitung einer ganzrationalen Funktion brauchst, sind folgende:

Faktorregel
Potenzregel
Summen-/Differenzregel

So sieht die Anwendung der wichtigsten Ableitungsregeln aus:

Ableitungsregel	Funktion	Ableitung
Faktorregel	$f (x) = a \cdot g (x)$	$f' (x) = a \cdot g' (x)$
Potenzregel	$f (x) = x^{r}$	$f' (x) = r \cdot x^{r - 1}$
Summenregel	$f (x) = g (x) + h (x)$	$f' (x) = g' (x) + h' (x)$
Differenzregel	$f (x) = g (x) - h (x)$	$f' (x) = g' (x) - h' (x)$

Ganzrationale Funktionen rechnerisch ableiten

Die Ableitung wird auch bei Polynomfunktionen gebraucht, um die Steigung der Funktion an jedem beliebigen Punkt anzugeben. Außerdem kannst Du über die erste Ableitung Hochpunkte und Tiefpunkte der Polynomfunktion bestimmen. Wie Du ganzrationale Funktionen rechnerisch ableitest, wird Dir in den folgenden Kapiteln erklärt.

Ableitung ganzrationaler Funktionen – Formel

Um ganzrationale Funktionen ableiten zu können, gibt es eine Grundformel, die Du für die Glieder der Polynome anwenden kannst:

	Allgemeine Funktion	Erklärung	Beispiel
Funktion	$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a \cdot x^{n} \end{array}$	Der Koeffizient $a$ ist ein konstanter Faktor. $n$ ist der Exponent von $x$ .	$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 3 \cdot x^{6} \end{array}$
Ableitung	$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & a \cdot n \cdot x^{n - 1} \end{array}$	Hier findet die Faktor- und Potenzregel Anwendung. Der konstante Faktor $a$ bleibt erhalten. Der Exponent $n$ wird als Faktor vor das $x$ geschrieben und mit diesem und $a$ multipliziert. Der Exponent von $x$ ist nun um 1 reduziert, also $n - 1$ .	$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 3 \cdot 6 \cdot x^{6 - 1} \\ = & 3 \cdot 6 \cdot x^{5} \\ = & 18 x^{5} \end{array}$

Möchtest Du Polynome mit mehreren Gliedern ableiten, so wendest Du diese Formel an, jedoch zusätzlich die Summen- bzw. Differenzregel:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + . . . + a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0} \\ f' (x) & = & a_{n} \cdot n \cdot x^{n - 1} + a_{n - 1} \cdot (n - 1) \cdot x^{n - 2} + . . . + a_{2} \cdot 2 \cdot x + a_{1} \end{array}$

Leitest Du eine Funktion ab, ist der höchste Grad der Ableitung somit um 1 reduziert.

Nach diesem Grundprinzip lassen sich auch die Ableitungen höhergradiger Funktionen, wie Polynomfunktionen 2., 3. und 4. Grades, bestimmen.

Ableitung einer ganzrationalen Funktion 2. Grades

Bei ganzrationalen Funktionen 2. Grades hat der höchste Exponent den Wert 2. Darum handelt es sich bei Polynomfunktionen mit dieser Eigenschaft um quadratische Funktionen.

Polynome einer Polynomfunktion 2. Grades haben höchstens 3 Glieder. Die Ableitung kann somit nur noch höchstens 2 Glieder haben. Die Formel für die Ableitung dieser Art von Funktionen lautet:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0} \\ f' (x) & = & a_{2} \cdot 2 \cdot x + a_{1} \end{array}$

Um die Ableitung ganzrationaler Funktionen 2. Grades zu zeigen, findest Du im Folgenden einige Beispiele.

Gesucht ist die erste Ableitung folgender Funktion:

$f (x) = 3 x^{2} + 8 x + 1$

Zum Ableiten der Funktion wendest Du die Formel an, die Du oben gelernt hast:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0} \\ f' (x) & = & a_{2} \cdot 2 \cdot x + a_{1} \end{array}$

Dadurch kannst Du Deine Ableitung berechnen:

$f (x) = 3 \cdot x^{2} + 8 x + 1 f' (x) = 3 \cdot 2 \cdot x + 8 = 6 x + 8$

Deine Funktion $f (x)$ hatte im ersten Glied $3 \cdot x^{2}$ den Exponenten 2. Die 2 wird beim Ableiten vor das $x$ gezogen und mit diesem und dem Koeffizienten 3 multipliziert. Die Potenz zwei wird dann noch um eins verringert. Im zweiten Glied $8 x$ hat $x$ den Exponenten 1. $x^{1}$ ergibt beim Ableiten durch den um 1 reduziertem Exponenten $x^{0}$ , was wiederum 1 ergibt, da gilt: $x^{0} = 1$ . Die 1 wird mit dem Koeffizienten 8 multipliziert, was 1 ergibt. Das letzte Glied enthält kein $x$ , sondern ist nur die Zahl 1. Die Ableitung einer Zahl ist 0, somit fällt dieser Teil beim Ableiten weg.

Jetzt hast Du Deine Ableitung ermittelt. Der Grad der Ableitung ist um 1 reduziert. Somit ist die Ableitung Deiner Funktion $f (x)$ eine ganzrationale Funktion 1. Grades.

Um die zweite Ableitung zu berechnen, kannst Du die Grundformel für die einzelnen Glieder anwenden:

\begin{array}{rcl} f (x) & = & a \cdot x^{n} \\ f' (x) & = & a \cdot n \cdot x^{n - 1} \end{array}

Damit gilt hier die Formel:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{1} \cdot x^{1} + a_{0} \\ f' (x) & = & a_{1} \cdot 1 \end{array}$

Die zweite Ableitung kannst Du damit ermitteln:

$f' (x) = 6 x^{1} + 8 f'' (x) = 6 \cdot 1 = 6$

Ein weiteres Beispiel zum Ableiten ganzrationaler Funktionen 2. Grades siehst Du hier:

Du willst die erste Ableitung folgender Funktion bestimmen:

$f (x) = - x^{2} + 7 x - 9$

Zum Ableiten der ganzrationalen Funktion, wendest Du wieder die Formel an:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0} \\ f' (x) & = & a_{2} \cdot 2 \cdot x + a_{1} \end{array}$

Dadurch kannst Du Deine Ableitung berechnen:

$f (x) = (- 1) \cdot x^{2} + 7 x - 9 f' (x) = (- 1) \cdot 2 \cdot x + 7 = - 2 x + 7$

Bei der zweiten Ableitung ist der Grad um 1 reduziert und Du wendest diese Formel an:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{1} \cdot x^{1} + a_{0} \\ f' (x) & = & a_{1} \cdot 1 \end{array}$

Die zweite Ableitung wäre dann:

$f' (x) = - 2 x^{1} + 7 f'' (x) = - 2 \cdot 1 = - 2$

Ableitung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Die Ableitung ganzrationaler Funktionen 3. Grades funktioniert nach demselben Prinzip wie die Ableitung von Polynomfunktionen mit dem Grad 2. Der Unterschied ist der höchste Exponent. Dieser hat bei ganzrationalen Funktionen 3. Grades den Wert 3.

Beim Ableiten von Polynomfunktionen 3. Grades haben die Polynome höchstens 4 Glieder. Die Formel dazu lautet:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{3} \cdot x^{3} + a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0} \\ f' (x) & = & a_{3} \cdot 3 \cdot x^{2} + a_{2} \cdot 2 \cdot x + a_{1} \end{array}$

Im folgenden Beispiel kannst Du diese nun anwenden:

Du willst die erste Ableitung folgender Funktion bestimmen:

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 4 x - 10$

Dazu wendest Du die Formel an, die Du oben gelernt hast:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{3} \cdot x^{3} + a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0} \\ f' (x) & = & a_{3} \cdot 3 \cdot x^{2} + a_{2} \cdot 2 \cdot x + a_{1} \end{array}$

Dadurch kannst Du Deine Ableitung berechnen:

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 4 x - 10 f' (x) = 3 \cdot x^{2} - 8 \cdot 2 x + 4 = 3 x^{2} - 16 x + 4$

Für die zweite Formel wendest Du nun die Formel für Polynomfunktionen zweiten Grades an:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0} \\ f' (x) & = & a_{2} \cdot 2 \cdot x + a_{1} \end{array}$

Die zweite Ableitung wäre dann:

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 4 f'' (x) = 3 \cdot 2 \cdot x - 16 = 6 x - 16$

Du willst die erste Ableitung folgender Funktion bestimmen:

$f (x) = - 5 x^{3} - 3 x + 1$

Dazu wendest Du wieder die Formel an:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{3} \cdot x^{3} + a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0} \\ f' (x) & = & a_{3} \cdot 3 \cdot x^{2} + a_{2} \cdot 2 \cdot x + a_{1} \end{array}$

Dadurch kannst Du die Ableitung berechnen:

$f (x) = - 5 x^{3} - 3 x + 1 f' (x) = (- 5) \cdot 3 \cdot x^{2} - 3 = - 15 x^{2} - 3$

Für die zweite Formel wendest Du nun die Formel für Polynomfunktionen zweiten Grades an:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0} \\ f' (x) & = & a_{2} \cdot 2 \cdot x + a_{1} \end{array}$

Die zweite Ableitung wäre dann:

$f' (x) = - 15 x^{2} - 3 f'' (x) = (- 15) \cdot 2 \cdot x$

Ableitung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

Auch beim Differenzieren ganzrationaler Funktionen 4. Grades gibt es eine Grundformel, die Du anwenden kannst.

Polynomfunktionen 4. Grades haben höchstens 5 Glieder in ihren Polynomen. Die Formel zur Ableitung dieser lautet:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{4} \cdot x^{4} + a_{3} \cdot x^{3} + a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0} \\ f' (x) & = & a_{4} \cdot 4 \cdot x^{3} + a_{3} \cdot 3 \cdot x^{2} + a_{2} \cdot 2 \cdot x + a_{1} \end{array}$

Um ganzrationale Funktionen 4. Grades abzuleiten, siehst Du im Folgenden ebenfalls Beispiele zum besseren Verständnis:

Du willst die erste Ableitung folgender Funktion bestimmen:

$f (x) = 6 x^{4} - x^{3} + x^{2} + 9 x - 1$

Dazu wendest Du die Formel an, die Du oben gelernt hast:

Damit kannst Du die Ableitung ausrechnen:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 6 \cdot x^{4} - x^{3} + x^{2} + 9 x - 1 \\ f' (x) & = & 6 \cdot 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 9 = 24 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 9 \end{array}$

Da der Grad der Ableitung wieder um 1 reduziert ist, wendest Du für die Berechnung der zweiten Ableitung die Formel für Polynomfunktionen 3. Grades an:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{3} \cdot x^{3} + a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0} \\ f' (x) & = & a_{3} \cdot 3 \cdot x^{2} + a_{2} \cdot 2 \cdot x + a_{1} \end{array}$

Die zweite Ableitung wäre dann:

$f' (x) = 24 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 9 f'' (x) = 24 \cdot 3 \cdot x^{2} - 3 \cdot 2 \cdot x + 2 = 72 x^{2} - 6 x + 2$

Es ist die erste Ableitung folgender Funktion gesucht:

$f (x) = x^{4} + 5 x^{2} - 3 x$

Du wendest wieder die Formel zum Ableiten an:

Damit kannst Du die Ableitung ausrechnen:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{4} + 5 \cdot x^{2} - 3 \cdot x \\ f' (x) & = & 4 \cdot x^{3} + 5 \cdot 2 \cdot x - 3 = 4 x^{3} + 10 x - 3 \end{array}$

Da der Grad der Ableitung wieder um 1 reduziert ist, wendest Du für die Berechnung der zweiten Ableitung die Formel für Polynomfunktionen 3. Grades an:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{3} \cdot x^{3} + a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0} \\ f' (x) & = & a_{3} \cdot 3 \cdot x^{2} + a_{2} \cdot 2 \cdot x + a_{1} \end{array}$

Die zweite Ableitung wäre dann:

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 4 x^{3} + 10 x - 3 \\ f'' (x) & = & 4 \cdot 3 \cdot x^{2} + 10 = 12 x^{2} + 10 \end{array}$

Ableitung von Polynomfunktionen höheren Grades

Willst Du Polynomfunktionen mit Grad 5 oder höher ableiten, so kannst Du eine Grundformel anwenden. Du kannst ganzrationale Funktionen mit jedem Grad ableiten, wenn Du das Prinzip verstanden hast. Konzentriere Dich dabei am besten auf die Ableitung der einzelnen Glieder, um nicht durcheinanderzukommen. Leite also die Glieder der Polynome der Reihe nach ab.

Die Formel für die Ableitung n-gradiger Polynomfunktionen hast Du oben bereits gesehen:

Ein Beispiel zum Ableiten höhergradiger Funktionen siehst Du hier:

Gesucht ist die erste Ableitung folgender Funktion:

$f (x) = 2 x^{10} - x^{8} - 2 x^{6} + 6 x^{4} - 3 x^{2} - 9 x + 2$

Dazu wendest Du die Formel an, die Du oben gelernt hast:

Damit kannst Du die Ableitung ausrechnen:

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 2 \cdot 10 \cdot x^{9} - 8 \cdot x^{7} - 2 \cdot 6 \cdot x^{5} + 6 \cdot 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot 2 \cdot x - 9 \\ = & 20 x^{9} - 8 x^{7} - 12 x^{5} + 24 x^{3} - 6 x - 9 \end{array}$

Die zweite Ableitung ermittelst Du nach derselben Formel. Diese wäre dann:

$\begin{array}{rcl} f'' (x) & = & 20 \cdot 9 \cdot x^{8} - 8 \cdot 7 \cdot x^{6} - 12 \cdot 5 \cdot x^{4} + 24 \cdot 3 \cdot x^{2} - 6 \\ = & 180 x^{8} - 56 x^{6} - 60 x^{4} + 72 x^{2} - 6 \end{array}$

Anwendung der Ableitung von ganzrationalen Funktionen

Polynomfunktionen werden aus mehreren Gründen abgeleitet. Du brauchst die Differenzialrechnung, also das Ableiten, zum Beispiel in einer Kurvendiskussion in der Analysis. In einer Kurvendiskussion werden oft Extrema, also Hoch- und Tiefpunkte, sowie Wendepunkte einer Funktion gesucht.

Um zu erfahren, wo sich Extrema befinden, musst Du eine Funktion ableiten. Um die Extremstelle zu berechnen, musst Du die Nullstelle der ersten Ableitung berechnen. An solchen Stellen ist die Steigung gleich null.

Um die Extrema zu klassifizieren oder Wendepunkte zu berechnen, brauchst Du die zweite Ableitung. Die Nullstellen der zweiten Ableitung einer ganzrationalen Funktion sind die Wendepunkte dieser.

Extrempunkte werden die Minima (Tiefpunkte) oder Maxima (Hochpunkte) einer Funktion bezeichnet, also die Stellen, die im Graphen am tiefsten oder höchsten liegen. Sie sind in der Mathematik in der Analysis vor allem in der Kurvendiskussion bei der Lösung von Extremwertaufgaben relevant, die dann extremale Lösung genannt wird.

Wendepunkte sind Punkte auf dem Graphen einer Funktion, an dem dieser sein Krümmungsverhalten ändert. Er wechselt dort entweder von einer Links-in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Das kannst Du Dir in etwa vorstellen, als wäre dein Graph Deine Straße und Du würdest auf der linken Seite starten. Bei jedem Übergang von einer Kurve in die Nächste, wo Du Deine Richtung änderst, findest Du einen Wendepunkt. Sie sind ebenfalls relevant für Kurvendiskussionen in der Analysis.

Wenn Dich das Thema der Kurvendiskussion interessiert, findest Du hierzu eine ausführliche Erklärung auf StudySmarter.

Die Differenzialrechnung wird neben der Mathematik auch in der Physik gebraucht, um Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen, wie Ort, Geschwindigkeit und Zeit darstellen zu können. Hier sind vorwiegend Polynome 1. und 2. Grades relevant.

Ganzrationale Funktionen graphisch ableiten

Eine Funktion $f (x)$ kann auch graphisch abgeleitet werden. Wichtig ist dafür, dass Du erkennst, wie die Graphen von Funktionen mit unterschiedlichen Graden ungefähr aussehen. Als kleines Beispiel: Eine Funktion mit dem Grad 2 ist beispielsweise eine Parabel und kann höchstens einen Hoch- oder Tiefpunkt haben. Eine Funktion mit dem Grad 3 kann wiederum höchstens zwei Hoch- oder Tiefpunkt haben.

Falls Dir die Graphen ganzrationaler Funktionen noch fremd sind, findest Du im entsprechenden Artikel mehr Informationen.

Grafisch ableiten bedeutet, den Graphen der Ableitung einer Funktion $f (x)$ ohne Rechnen zu zeichnen. Dafür werden bestimmte Punkte auf dem Graphen der Funktion $f (x)$ betrachtet. Diese Punkte geben Rückschlüsse auf den Graphen der Ableitung $f' (x)$ , wodurch dieser gezeichnet werden kann. Der neu entstandene Graph ist der Graph der Ableitung $f' (x)$ .

Für die graphische Ableitung sind verschiedene Punkte entscheidend:

Verhalten des Graphens der Funktion $f (x)$	Rückschlüsse auf den Graphen von $f' (x)$
Extrempunkte (Hochpunkte H, Tiefpunkte T )	Nullstellen N von $f' (x)$
Wendepunkte W	Extrempunkte (Hochpunkte H, Tiefpunkte T)
Sattel-/Terrassenpunkte S	Berührpunkte B mit x-Achse
Graph steigt	Graph oberhalb x-Achse
Graph fällt	Graph unterhalb x-Achse

Extrem-, Wende- und Sattel- bzw. Terrassenpunkte identifizierst Du für Deinen Funktionsgraphen $f (x)$ und überträgst sie, in der Weise wie in der Tabelle gegeben, in das Koordinatensystem für Deine Ableitungsfunktion $f' (x)$ . Anschließend verbindest Du die Punkte der Reihe nach. Danach kannst Du das Steigungsverhalten bzw. den Verlauf Deines neuen Graphens ober- und unterhalb der x-Achse überprüfen.

Als Sattel- oder Terrassenpunkt wird ein Punkt einer Funktion $f (x)$ bezeichnet, der keinen Extrempunkt, sondern einen Spezialfall eines Wendepunktes darstellt. Er ist ein Wendepunkt, der eine waagerechte Wendetangente besitzt. Würdest Du also in diesem Punkt eine waagerechte Linie anlegen, würde diese für ein gewisses Intervall näherungsweise durch den Graphen verlaufen. Die Bedingungen für einen Sattelpunkt sind die folgenden:

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 0 \\ f'' (x) & = & 0 \\ f''' (x) & \neq & 0 \end{array}$

Bei Extrempunkten ist die zweite Ableitung $f'' (x)$ dementgegen nicht 0.

Um das Ganze besser nachvollziehen zu können, findest Du nachfolgend ein Beispiel:

Gesucht ist die grafische Ableitung des Graphens der folgenden Funktion $f (x)$ :

Ableitung ganzrationaler Funktionen ganzrationale Funktionen grafisch ableiten StudySmarter Abbildung 8: Graph der Funktion f(x)

Als Erstes markierst Du Hochpunkte H, Tiefpunkte T und Wendepunkte W. Sattelpunkte gibt es in diesem Beispiel keine. Außerdem zeichnest Du Dir ein, wo Dein Funktionsgraph steigt und fällt.

Du kannst im Graphen sehen, dass er ein Maximum im Punkt $(- 1 | 2)$ und ein Minimum im Punkt $(0 | 1)$ besitzt.

Außerdem gibt es einen Wechsel von einer Rechtskurve in eine Linkskurve. Dieser Wechsel findet auf der Hälfte zwischen Hochpunkt H und Tiefpunkt T statt. Hier befindet sich ein Wendepunkt W im Punkt $(- 0, 5 | 1, 5)$ . Die Besonderheit hier: der Graph der Funktion $f (x)$ ist zu diesem Punkt punktsymmetrisch. Weiterhin erkennst Du, dass der Graph bis zum Hochpunkt H steigt, zwischen Hochpunkt H und Tiefpunkt T fällt und ab dem Tiefpunkt T wieder steigt.

Ableitung ganzrationaler Funktionen ganzrationale Funktionen grafisch ableiten StudySmarter Abbildung 9: Graph f(x) mit markierten Punkten

Durch die Punkte und die Rückschlüsse, die Du aus den Stellen ziehen kannst, lassen sich bestimmte Punkte Deines gesuchten Graphens der Ableitungsfunktion einzeichnen. Der Hochpunkt H liegt bei $(- 1 | 2)$ , deshalb weißt Du, dass die Ableitung eine Nullstelle N bei $(- 1 | 0)$ hat. Durch den Tiefpunkt T bei $(0 | 1)$ weißt Du ebenfalls, dass die Ableitung eine zweite Nullstelle N im Punkt $(0 | 0)$ hat.

Der Wendepunkt W ist an der Stelle $(- 0, 5 | 1, 5)$ . Daher weißt Du, dass an der Stelle $x = - 0, 5$ eine Extremstelle sein muss. Durch die Steigung des Funktionsgraphen $f (x)$ siehst Du, dass der Ableitungsgraph bis zur ersten Nullstelle über der x-Achse verläuft, zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der x-Achse und nach der zweiten Nullstelle wieder oberhalb. Bei der Extremstelle des Ableitungsgraphen muss es sich also um einen Tiefpunkt T handeln. Die Steigung des Graphens von $f (x)$ an dieser Stelle ist der y-Wert der Extremstelle der Ableitung.Dafür kannst Du ein Lineal anlegen und Dir ein Steigungsdreieck zeichnen. Hier beträgt die Steigung $- 1, 5$ .Das heißt, der Wendepunkt W liegt bei $(- 0, 5 | 1, 5)$ .

Ableitung ganzrationaler Funktionen ganzrationale Funktionen grafisch ableiten StudySmarter Abbildung 10: neue Punkte des Graphens der Ableitung f'(x)

Jetzt kannst Du die Punkte zu einem Graphen verbinden, unter Berücksichtigung des vorher analysierten Verhaltens des Ableitungsgraphens über und unter der x-Achse. Dieser sieht dann so aus. Zur Kontrolle kannst Du die Ableitung im Nachhinein ausrechnen.

Ableitung ganzrationaler Funktionen ganzrationale Funktionen grafisch ableiten StudySmarter Abbildung 11: Abbildungsgraph f'(x)

Ableitung ganzrationaler Funktionen – Übungsaufgaben

Mit den nachfolgenden Aufgaben zur Ableitung von ganzrationalen Funktionen, kannst Du Dein Verständnis für das Ableiten von Polynomfunktionen überprüfen.

Aufgabe 1

Bilde die erste Ableitung folgender Polynomfunktionen:

$1 . f (x) = x^{5} - 4 x + 3 2 . g (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + x 3 . h (x) = 10 x^{2} - 5 x 4 . i (x) = 9 x^{3} + 5 x^{2} - 6 x 5 . j (x) = x^{6} - 3 x^{3} - 4 x$

Lösung

$1 . f' (x) = 5 x^{4} - 4 2 . g' (x) = 3 \cdot 4 \cdot x^{3} - 2 \cdot 2 \cdot x + 1 = 12 x^{3} - 4 x 3 . h (x) = 10 \cdot 2 \cdot x - 5 = 20 x - 5 4 . i (x) = 9 \cdot 3 \cdot x^{2} + 5 \cdot 2 \cdot x - 6 = 27 x^{2} + 10 x - 6 5 . j (x) = 6 \cdot x^{5} - 3 \cdot 3 \cdot x^{2} - 4 = 6 x^{5} - 9 x^{2} - 4$

Auch zum graphischen Ableiten hast Du hier eine Aufgabe:

Aufgabe 2

Zeichne den Graphen der Ableitung folgender Funktion $f (x)$ :

Ableitung ganzrationaler Funktionen ganzrationale Funktionen grafisch ableiten StudySmarter Abbildung 12: Aufgabe grafisches Ableiten

Lösung

Zuerst identifizierst Du wieder Extremstellen (Hochpunkte H, Tiefpunkte T), Wendepunkte W, Sattelpunkte S und das Steigungsverhalten Deiner Funktion $f (x)$ .

Ableitung ganzrationaler Funktionen ganzrationale Funktionen grafisch ableiten StudySmarter Abbildung 13: Graph f(x) mit markierten wichtigen Punkten

Danach ziehst Du aus diesen Stellen die Rückschlüsse auf Deinen Ableitungsgraphen. Diese entnimmst Du wieder der Tabelle:

Verhalten des Graphens der Funktion $f (x)$	Rückschlüsse auf den Graphen von $f' (x)$
Extrempunkte (Hochpunkte H, Tiefpunkte T )	Nullstellen N von $f' (x)$
Wendepunkte W	Extrempunkte (Hochpunkte H, Tiefpunkte T)
Sattel-/Terrassenpunkte S	Berührpunkte B mit x-Achse
Graph steigt	Graph oberhalb x-Achse
Graph fällt	Graph unterhalb x-Achse

Anhand des Tiefpunktes T, des Wendepunktes W und des Sattelpunktes S der Funktion $f (x)$ kannst Du die Nullstelle N, den Hochpunkt H und den Berührpunkt B des Ableitungsgraphens von $f' (x)$ einzeichnen.

Ableitung ganzrationaler Funktionen ganzrationale Funktionen grafisch ableiten StudySmarter Abbildung 14: neue Punkte des Ableitungsgraphens f'(x)

Abschließend kannst Du Deinen Graphen zeichnen!

Ableitung ganzrationaler Funktionen ganzrationale Funktionen grafisch ableiten StudySmarter Abbildung 15: Ableitungsgraph f'(x)

Ableitung ganzrationaler Funktionen – Das Wichtigste

Polynomfunktionen sind reelle Funktionen n-ten Grades.
Polynomfunktionen bestehen aus einem Polynom mit verschiedenen Gliedern aus Koeffizienten und Variablen mit Exponenten.
Der Grad einer Polynomfunktion entspricht seinem höchsten Exponenten.
Bei der Ableitung von Polynomfunktionen brauchst Du die Faktorregel, Potenzregel sowie Summen- und Differenzregel.
Die Ableitung der Glieder von Polynomen funktioniert nach der Formel: $\begin{array}{rcl} f (x) & = & a \cdot x^{n} \to f' (x) = a \cdot n \cdot x^{n - 1} \end{array}$ .
Für die Ableitung n-gradiger Polynomfunktionen kannst Du diese Formel anwenden: $\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + . . . + a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0} \to f' (x) = a_{n} \cdot n \cdot x^{n - 1} + a_{n - 1} \cdot (n - 1) \cdot x^{n - 2} + . . . + a_{2} \cdot 2 \cdot x + a_{1} \end{array}$ .
Der Grad der Polynomfunktion reduziert sich nach jedem ableiten um 1.
Um ganzrationale Funktionen graphisch abzuleiten, musst Du Extrempunkte, Wendepunkte und Sattelpunkte Deiner Funktion f(x) identifizieren und in Nullstellen, Extrempunkte und x-Achsen-Berührpunkte Deines Ableitungsgraphens übertragen.
Du benötigst die Ableitung von Polynomfunktionen in der Kurvendiskussion bei der Berechnung der Extrema und Wendepunkte.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ableitung ganzrationaler Funktionen

Bei der Ableitung ganzrationaler Funktionen ist es wichtig, dass Du die Potenz und Faktorregel anwendest. Es gibt eine einfache Grundformel zu Ableitung der Glieder.

Der Grad der Ableitung wird immer um 1 reduziert.

Beim graphischen Ableiten musst Du aus dem Graphen Deiner gegebenen Funktion f(x) Extrempunkte, Wendepunkte, Sattelpunkte und das Steigungsverhalten identifizieren. Anschließend kannst Du daraus Rückschlüsse auf Deinen Ableitungsgraphen ziehen und diesen mit den ermittelten Informationen zeichnen.

Karteikarten in Ableitung ganzrationaler Funktionen10 Lerne jetzt

Wie wird eine Polynomfunktion noch genannt?

ganzrationale Funktion

Welche Teile hat eine Polynomfunktion?

Eine Polynomfunktion besteht aus einem Polynom (Term), bestehend aus Koeffizienten, Variablen und Exponenten

Wie bestimmst Du den Grad einer Polynomfunktion?

Der Grad einer Polynomfunktion ist sein höchster Exponent.

Wie viele Nullstellen kann eine Polynomfunktion mit dem Grad 6 höchstens haben?

Höchstens 6 Nullstellen

Wie berechnest Du die Nullstellen von Polynomfunktionen mit Grad 3 oder höher?

Die Nullstellen von Polynomfunktionen mit Grad 3 werden mit der Polynomdivision berechnet.

Nenne wichtige Ableitungsregeln für die Ableitung von Polynomfunktionen.

Faktorregel
Potenzregel
Summenregel
Differenzregel

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