"Wie untersucht man die Symmetrie einer Funktion?", "Wann ist eine Funktion symmetrisch oder punktsymmetrisch?" und "wann hat eine Funktion keine Symmetrie?", sind Fragen, die Dir öfter im Matheunterricht begegnen werden. Im Folgenden findest Du mögliche Antworten.
Symmetrie von Funktionen – Definition und Erklärung
Es gibt drei unterschiedliche Fälle für Symmetrien, die Teil der Analysis sind:
Die Achsensymmetrie
Die Punktsymmetrie
Keine Symmetrie
Wenn Du eine Funktion drehst, spiegelst oder verschiebst und die Funktion nach wie vor seine Form beibehält, handelt es sich in der Analysis um eine Achsen-bzw. Punktsymmetrie.
Uns interessiert die Symmetrie hauptsächlich als Teil der Analysis, aber auch außerhalb der Mathematik gibt es Beispiele, in denen man Symmetrien betrachten kann:
- Magier und Magierinnen benutzen spiegeln und erzeugen optische Illusionen z. B. die sogenannte leere Box.
- Kunstschaffende sowie Architekten und Architektinnen benutzen die Symmetrie für Ästhetik und zur Stabilisierung z. B. die gotische Architektur, die farbenprächtigen Muster auf orientalischen Teppichen oder Leonardo Da Vincis Skizzen zum Thema Anatomie.
- Die meisten Menschen und Lebewesen haben fast immer eine inhärente Symmetrie, z. B. Hände, Beine oder Gesicht sind nahezu symmetrisch. Auch bei vielen Tieren ist das zu beobachten, z. B. weisen Vögel an ihren Flügeln identische Form und Ausprägung auf beiden Seiten auf.
Doch wie ist die Symmetrie in der Analysis/Kurvendiskussion zu betrachten?
| Art der Symmetrie | Abbildung der Beispiele |
- Achsensymmetrie (=Axialsymmetrie)
- Bsp.:
|  Abbildung 1: Beispiel für Achsensymmetrie
|
- Punktsymmetrie (=Zentralsymmetrie)
- Bsp.:
|  Abbildung 2: Beispiel für die Punktsymmetrie
|
Die für Dich wichtigsten Formen sind zunächst die Achsensymmetrie zur y-Achse und die Punktsymmetrie zum Ursprung.
Symmetrie zu Parallelen der y-Achse
Bei der Achsensymmetrie von Funktion unterscheidet man die Symmetrie zur y-Achse selbst und die Symmetrie zu einer, der y-Achse verschiedenen, aber parallelen Achse.
Achsensymmetrie zur y-Achse bestimmen
Eine Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Graph auf der linken Seite der y-Achse ein Spiegelbild der rechten Seite ist.
Daher muss Folgendes gelten:
Wie das in der Praxis aussieht, siehst Du im folgenden Beispiel:
Für den Anfang betrachtest Du hier ein klassisches Beispiel einer ganzrationalen Funktion.
Aufgabe 1
Überprüfe, ob die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist!
Lösung 1
Du setzt zunächst in die Funktion ein und überprüfst anschließend, ob:
gegeben ist.
Kontrolliere nun, ob die Bedingung erfüllt wird.
Die Bedingung wurde erfüllt.
Somit hast Du die Achsensymmetrie der Funktion zur y-Achse nachgewiesen.In der Abbildung ist die Symmetrie gut zu erkennen und die Symmetrieachse ist durch eine Gerade g dargestellt, welche genau auf der y-Achse liegt.
Abbildung 3: Achsensymmetrische Funktion
Hier nochmal eine allgemeine Zusammenfassung des Lösungsweges:
Schritte zur Ermittlung der Symmetrie:
- in einsetzen.
- Kontrollieren, ob die Bedingung erfüllt ist oder nicht.
- Wenn die Bedingung erfüllt ist, dann ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.
- Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, dann ist die Funktion nicht symmetrisch zur y-Achse.
Aufgabe 2
Untersuche, ob die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist!
Lösung 2
Schritt 1:
Setze zunächst in die Funktion ein und überprüfe anschließend, ob
gegeben ist.
Schritt 2:
Kontrollieren, ob die Bedingung erfüllt wird.
Die Bedingung wurde erfüllt, also gilt:
Schritt 2.1 und die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Somit hast Du erneut die Achsensymmetrie der Funktion zur y-Achse nachgewiesen.
In der Abbildung ist die Symmetrie entlang der y-Achse verschoben, aber trotzdem zu erkennbar und die Symmetrieachse ist auch hier durch eine Gerade g dargestellt.
Abbildung 4: Graph zum Beweis der Achsensymmetrie
Die Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse
Bislang hast Du gelernt, dass du die y-Achse zur Symmetriebestimmung verwenden musst. Diese wird durch die Gleichungbeschrieben.
Deine Bedingung bleibt das, was im letzten Abschnitt verwendet wurde: .
Funktionen sind aber nicht immer entlang der y-Achse symmetrisch und die bislang verwendete Bedingung ist nur für diesen einen Spezialfall gültig, wenn die Symmetrieachse beiliegt.
Betrachte kurz die Abbildung 5 und frag Dich, was dargestellt wird.
Abbildung 5: Verschieben der Symmetrieachse
Richtige Antwort:
Es sind alternative Symmetrieachsen zur y-Achse dargestellt.
Was ist der entscheidende Unterschied zwischen diesen Achsen?
Jede Achse hat einen anderen x-Wert.
Die Achse, dargestellt durch den Graphen h, ist die y-Achse und die anderen beiden Achsen unterscheiden sich dadurch, indem sie nach links/rechts verschoben sind.
Für alle anderen, zur y-Achse parallelen, vertikalen Achsen wird eine andere Methode benötigt. Darum findest Du folgende Definition, um Symmetrie an beliebigen Achsen zu überprüfen:
Der Graph der Funktion f(x) ist genau dann symmetrisch zu einer beliebigen Achse, wenn für alle gilt:
Du hast bisher wiederholt den Begriff Symmetrieachse gelesen und das ist genau das, worauf es jetzt im nächsten Schritt ankommt.
Die Definition ist nur dazu da, Symmetrie entlang einer potenziellen Symmetrieachse zu prüfen. Jetzt musst Du zunächst überlegen, welche Achsen infrage kommen.Dazu gibt es drei Möglichkeiten:
Fall A: gegebene Symmetrieachse
Wenn Du Glück hast, wird die zu prüfende Symmetrieachse in der Aufgabenstellung explizit genannt.
Lösungsweg a)
Setze die angegebene Achsengleichungin die Formel ein und Du bist fertig.
Fall B: verschobene Funktion
Du hast es mit einer in x-Richtung verschobenen Funktion zu tun, auch kein Problem.
Lösungsweg b)
Schaue Dir einfach an, um welchen Wert die Funktion in x-Richtung verschoben wurde.
Die Funktion wurde in x-Richtung um 4 nach rechts verschoben.
Die Symmetrieachse ist dargestellt durch die Gerade.
Abbildung 6: Beispiel für eine verschobene Symmetrie
Die Achse mit der Gleichung ist ein guter Kandidat für eine Achsensymmetrie und meistens hast Du vorher schon den Hoch- bzw. Tiefpunkt ermittelt und kannst daraus ableiten, ob es eine Symmetrie gibt.
Solltest Du zum Thema Graphen zeichnen oder Hoch- und Tiefpunkte noch offene Fragen haben, kannst Du Dir den dazugehörigen Artikel durchlesen.
Fall C: Symmetrieachse an einer Extremstelle
Du vermutest die Symmetrieachse an einer Extremstelle.
Lösungsweg c)
Berechne die Extremstellen der Funktion.
Ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch?
Dein erster Schritt ist die Bestimmung der Extremwerte, um potentielle Symmetrieachsen zu finden:
Durch das Berechnen der notwendigen Bedingung und durch Überprüfen der hinreichenden Bedingung erhältst Du als potentielle Symmetrieachse.
Als Nächstes überprüfst Du die Bedingung aus der Definition:
Fazit: Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zu der Achse .
Abbildung 7: Beweis der Achsensymmetrie an einer beliebigen Achse
Bei ganzrationalen Funktionen, also Funktionen der Form
kannst Du spezielle Symmetrien auf einen Blick erkennen. Hat das ausmultiplizierte Polynom ausschließlich gerade Exponenten, ist die Funktion achsensymmetrisch zum Ursprung.
Punktsymmetrie
Auch bei der Punktsymmetrie unterscheidest Du zwischen zwei Fällen:
Symmetrie zum Ursprung erkennen
Die Punktsymmetrie ist eine weitere Form der Symmetrie und wird auch Zentralsymmetrie genannt.
Der Unterschied ist, dass hier eine Funktion nicht entlang einer Achse, sondern über einen Punkt gespiegelt wird. Eine Funktion ist dann punktsymmetrisch, wenn sie durch eine Spiegelung am Symmetriepunkt auf sich selbst abgebildet werden kann. Das kannst Du in Abbildung 2 schon gut erkennen.
Gilt:
dann ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Eine punktsymmetrische Funktion hat die Eigenschaft, dass sich die Vorzeichen der y-Werte vor und nach dem Ursprung unterscheiden, d. h. jeden Punkt der Funktion kannst Du am Ursprungspunkt spiegeln und landest auf der anderen Seite ebenfalls wieder auf dem Funktionsgraphen.
Aufgabe 3
Betrachte nun die Funktion: .
Wo hat diese Funktion ihren Symmetriepunkt?
Lösung 3
Abbildung 8: Punktsymmetrie zum Ursprung
Dreht man den Graphen in Abbildung 8 um 180° um den Symmetriepunkt, dann erhält man den Ursprungsgraphen und zeigt, dass die Funktion punktsymmetrisch ist.
Bei ganzrationalen Funktionen, also Funktionen der Form
kannst Du spezielle Symmetrien auf einen Blick erkennen. Hat das ausmultiplizierte Polynom ausschließlich ungerade Exponenten, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
Symmetrie von e-Funktionen
Im folgenden Beispiel betrachtest Du die Symmetrie einer e-Funktion und kontrollierst, ob es sich um eine Punkt- oder Achsensymmetrie handelt.
Betrachte die Funktion .
Kontrolliere nun die Funktion f(x) auf Achsensymmetrie mit der Bedingung :
Also: stimmt nicht mit f(x) überein.
Die Funktion ist nicht achsensymmetrisch.
Kontrolliere jetzt, ob die Funktion f(x) auf punktsymmetrisch ist, mit der Bedingung
und stimmen miteinander überein.
Die Funktion ist Punktsymmetrisch zum Ursprung.
Abbildung 9: Punktsymmetrie der e-Funktion
Die Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt
Dabei verfährst Du ähnlich wie beim Abschnitt "Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse".
Auch hier wird beim Überprüfen die Funktion auf den Ursprung zurückgeführt und getestet, ob sie dort symmetrisch ist.
Der Graph einer Funktion ist genau dann symmetrisch zu dem Punkt , falls
gilt.
Die Koordinaten a und b entsprechen x und y Koordinaten des Punktes.
Abfolge der Schritte zum Ermitteln der Lösung:
- a und b in einsetzen und berechnen.
- a und b in einsetzen und berechnen.
- Ergebnisse aus diesen beiden Schritten vergleichen.
Symmetrie von Funktionen – Das Wichtigste
- Bei ganzrationalen Funktionen sind die Exponenten ein Indiz für die Art der Symmetrie:
- Fall a: ausschließlich gerade Exponenten = achsensymmetrisch
- Fall b: ausschließlich ungerade Exponenten = punktsymmetrisch
- Fall c: gemischte Exponenten = Keine Symmetrie
- Ansonsten untersuchen, ob die Bedingung erfüllt wird.
- Es gibt zwei Arten der Symmetrie. Es wird jeweils noch zwischen Spezialfall und beliebigem Punkt oder Achse, also insgesamt vier möglichen Fällen, unterschieden:
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