Select your language

Suggested languages for you:
Login Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Symmetrie von Funktionen

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Symmetrie von Funktionen

"Wie untersucht man die Symmetrie einer Funktion?", "Wann ist eine Funktion symmetrisch oder punktsymmetrisch?" und "wann hat eine Funktion keine Symmetrie?", sind Fragen, die Dir öfter im Matheunterricht begegnen werden. Im Folgenden findest Du mögliche Antworten.

Symmetrie von Funktionen – Definition und Erklärung

Es gibt drei unterschiedliche Fälle für Symmetrien, die Teil der Analysis sind:

  1. Keine Symmetrie

Wenn Du eine Funktion drehst, spiegelst oder verschiebst und die Funktion nach wie vor seine Form beibehält, handelt es sich in der Analysis um eine Achsen-bzw. Punktsymmetrie.

Uns interessiert die Symmetrie hauptsächlich als Teil der Analysis, aber auch außerhalb der Mathematik gibt es Beispiele, in denen man Symmetrien betrachten kann:

  1. Magier und Magierinnen benutzen spiegeln und erzeugen optische Illusionen z. B. die sogenannte leere Box.
  2. Kunstschaffende sowie Architekten und Architektinnen benutzen die Symmetrie für Ästhetik und zur Stabilisierung z. B. die gotische Architektur, die farbenprächtigen Muster auf orientalischen Teppichen oder Leonardo Da Vincis Skizzen zum Thema Anatomie.
  3. Die meisten Menschen und Lebewesen haben fast immer eine inhärente Symmetrie, z. B. Hände, Beine oder Gesicht sind nahezu symmetrisch. Auch bei vielen Tieren ist das zu beobachten, z. B. weisen Vögel an ihren Flügeln identische Form und Ausprägung auf beiden Seiten auf.

Doch wie ist die Symmetrie in der Analysis/Kurvendiskussion zu betrachten?

Art der SymmetrieAbbildung der Beispiele

Symmetrie von Funktionen Beispiel für die Achsensymmetrie StudySmarterAbbildung 1: Beispiel für Achsensymmetrie

  • Punktsymmetrie (=Zentralsymmetrie)
  • Bsp.:

Symmetrie von Funktionen Beispiel für die Punktsymmetrie StudySmarterAbbildung 2: Beispiel für die Punktsymmetrie

Die für Dich wichtigsten Formen sind zunächst die Achsensymmetrie zur y-Achse und die Punktsymmetrie zum Ursprung.

Symmetrie zu Parallelen der y-Achse

Bei der Achsensymmetrie von Funktion unterscheidet man die Symmetrie zur y-Achse selbst und die Symmetrie zu einer, der y-Achse verschiedenen, aber parallelen Achse.

Achsensymmetrie zur y-Achse bestimmen

Eine Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Graph auf der linken Seite der y-Achse ein Spiegelbild der rechten Seite ist.

Daher muss Folgendes gelten:

Symmetrie Bedingung zum feststellen der Symmetrie an der Y-Achse StudySmarter

Wie das in der Praxis aussieht, siehst Du im folgenden Beispiel:

Für den Anfang betrachtest Du hier ein klassisches Beispiel einer ganzrationalen Funktion.

Aufgabe 1

Überprüfe, ob die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist!

Lösung 1

Du setzt zunächst in die Funktion ein und überprüfst anschließend, ob:

Symmetriebetrachtung Bedingung zum feststellen der Symmetrie an der Y-Achse StudySmarter

gegeben ist.

Kontrolliere nun, ob die Bedingung erfüllt wird.

Symmetriebetrachtung Bedingung zum feststellen der Symmetrie an der Y-Achse kontrollieren StudySmarter

Die Bedingung wurde erfüllt.

Bedingung zum feststellen der Symmetrie an der Y-Achse

Somit hast Du die Achsensymmetrie der Funktion zur y-Achse nachgewiesen.In der Abbildung ist die Symmetrie gut zu erkennen und die Symmetrieachse ist durch eine Gerade g dargestellt, welche genau auf der y-Achse liegt.

Symmetrie von Funktionen Achsensymmetrische Funktion StudySmarterAbbildung 3: Achsensymmetrische Funktion

Hier nochmal eine allgemeine Zusammenfassung des Lösungsweges:

Schritte zur Ermittlung der Symmetrie:

  1. in einsetzen.
  2. Kontrollieren, ob die Bedingung erfüllt ist oder nicht.
    1. Wenn die Bedingung erfüllt ist, dann ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.
    2. Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, dann ist die Funktion nicht symmetrisch zur y-Achse.

Aufgabe 2

Untersuche, ob die Funktion Symmetriebetrachtung Aufgabe zum Thema Symmetrie an der Y-Achse StudySmarter achsensymmetrisch zur y-Achse ist!

Lösung 2

Schritt 1:

Setze zunächst in die Funktion ein und überprüfe anschließend, ob

Symmetriebetrachtung Bedingung zum feststellen der Symmetrie an der Y-Achse StudySmarter

gegeben ist.

Schritt 2:

Kontrollieren, ob die Bedingung erfüllt wird.

Symmetriebetrachtung Aufgabe zum Thema Symmetrie an der Y-Achse StudySmarter

Die Bedingung wurde erfüllt, also gilt:

Schritt 2.1 und die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Symmetriebetrachtung Bedingung zum feststellen der Symmetrie an der Y-Achse StudySmarter

Somit hast Du erneut die Achsensymmetrie der Funktion zur y-Achse nachgewiesen.

In der Abbildung ist die Symmetrie entlang der y-Achse verschoben, aber trotzdem zu erkennbar und die Symmetrieachse ist auch hier durch eine Gerade g dargestellt.

Symmetrie von Funktionen Beweis Symmetrie y-Achse StudySmarterAbbildung 4: Graph zum Beweis der Achsensymmetrie

Die Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse

Bislang hast Du gelernt, dass du die y-Achse zur Symmetriebestimmung verwenden musst. Diese wird durch die Gleichungbeschrieben.

Deine Bedingung bleibt das, was im letzten Abschnitt verwendet wurde: .

Funktionen sind aber nicht immer entlang der y-Achse symmetrisch und die bislang verwendete Bedingung ist nur für diesen einen Spezialfall gültig, wenn die Symmetrieachse beiliegt.

Betrachte kurz die Abbildung 5 und frag Dich, was dargestellt wird.

Symmetrie von Funktionen verschieben der Symmetrieachse StudySmarterAbbildung 5: Verschieben der Symmetrieachse

Richtige Antwort:

Es sind alternative Symmetrieachsen zur y-Achse dargestellt.

Was ist der entscheidende Unterschied zwischen diesen Achsen?

Jede Achse hat einen anderen x-Wert.

Die Achse, dargestellt durch den Graphen h, ist die y-Achse und die anderen beiden Achsen unterscheiden sich dadurch, indem sie nach links/rechts verschoben sind.

Für alle anderen, zur y-Achse parallelen, vertikalen Achsen wird eine andere Methode benötigt. Darum findest Du folgende Definition, um Symmetrie an beliebigen Achsen zu überprüfen:

Der Graph der Funktion f(x) ist genau dann symmetrisch zu einer beliebigen Achse, wenn für alle gilt:

Symmetrie Bedingung zum feststellen der Symmetrie an einer beliebigen Achse StudySmarter

Du hast bisher wiederholt den Begriff Symmetrieachse gelesen und das ist genau das, worauf es jetzt im nächsten Schritt ankommt.

Die Definition ist nur dazu da, Symmetrie entlang einer potenziellen Symmetrieachse zu prüfen. Jetzt musst Du zunächst überlegen, welche Achsen infrage kommen.Dazu gibt es drei Möglichkeiten:

Fall A: gegebene Symmetrieachse

Wenn Du Glück hast, wird die zu prüfende Symmetrieachse in der Aufgabenstellung explizit genannt.

Lösungsweg a)

Setze die angegebene Achsengleichungin die Formel Symmetriebetrachtung Bedingung zum feststellen der Symmetrie an einer beliebigen Achse StudySmarter ein und Du bist fertig.

Fall B: verschobene Funktion

Du hast es mit einer in x-Richtung verschobenen Funktion zu tun, auch kein Problem.

Lösungsweg b)

Schaue Dir einfach an, um welchen Wert die Funktion in x-Richtung verschoben wurde.

Die Funktion wurde in x-Richtung um 4 nach rechts verschoben.

Die Symmetrieachse ist dargestellt durch die Gerade.

Symmetrie von Funktionen Beispiel für eine verschobene Symmetrieachse StudySmarterAbbildung 6: Beispiel für eine verschobene Symmetrie

Die Achse mit der Gleichung ist ein guter Kandidat für eine Achsensymmetrie und meistens hast Du vorher schon den Hoch- bzw. Tiefpunkt ermittelt und kannst daraus ableiten, ob es eine Symmetrie gibt.

Solltest Du zum Thema Graphen zeichnen oder Hoch- und Tiefpunkte noch offene Fragen haben, kannst Du Dir den dazugehörigen Artikel durchlesen.

Fall C: Symmetrieachse an einer Extremstelle

Du vermutest die Symmetrieachse an einer Extremstelle.

Lösungsweg c)

Berechne die Extremstellen der Funktion.

Ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch?

Dein erster Schritt ist die Bestimmung der Extremwerte, um potentielle Symmetrieachsen zu finden:

Symmetriebetrachtung Aufgabe zum Thema Symmetrie an einer beliebigen Achse StudySmarter

Durch das Berechnen der notwendigen Bedingung und durch Überprüfen der hinreichenden Bedingung erhältst Du als potentielle Symmetrieachse.

Als Nächstes überprüfst Du die Bedingung aus der Definition:

Symmetriebetrachtung Bedingung zum feststellen der Symmetrie an einer beliebigen Achse StudySmarter

Symmetriebetrachtung Aufgabe zum Thema Symmetrie an einer beliebigen Achse StudySmarter

Fazit: Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zu der Achse .

Symmetrie von Funktionen Beweis Symmetrie an einer beliebigen Achse StudySmarterAbbildung 7: Beweis der Achsensymmetrie an einer beliebigen Achse

Bei ganzrationalen Funktionen, also Funktionen der Form

Symmetriebetrachtunug ganzrationale Funktion StudySmarter

kannst Du spezielle Symmetrien auf einen Blick erkennen. Hat das ausmultiplizierte Polynom ausschließlich gerade Exponenten, ist die Funktion achsensymmetrisch zum Ursprung.

Punktsymmetrie

Auch bei der Punktsymmetrie unterscheidest Du zwischen zwei Fällen:

Symmetrie zum Ursprung erkennen

Die Punktsymmetrie ist eine weitere Form der Symmetrie und wird auch Zentralsymmetrie genannt.

Der Unterschied ist, dass hier eine Funktion nicht entlang einer Achse, sondern über einen Punkt gespiegelt wird. Eine Funktion ist dann punktsymmetrisch, wenn sie durch eine Spiegelung am Symmetriepunkt auf sich selbst abgebildet werden kann. Das kannst Du in Abbildung 2 schon gut erkennen.

Gilt:

Symmetrie Bedingung zum feststellen der Punktsymmetrie zum Ursprung StudySmarter

dann ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Eine punktsymmetrische Funktion hat die Eigenschaft, dass sich die Vorzeichen der y-Werte vor und nach dem Ursprung unterscheiden, d. h. jeden Punkt der Funktion kannst Du am Ursprungspunkt spiegeln und landest auf der anderen Seite ebenfalls wieder auf dem Funktionsgraphen.

Aufgabe 3

Betrachte nun die Funktion: Symmetriebetrachtung Aufgabe zum Thema Punktsymmetrie zum UrsprungStudySmarter.

Wo hat diese Funktion ihren Symmetriepunkt?

Lösung 3

Symmetrie von Funktionen Punktsymmetrie zum Ursprung StudySmarterAbbildung 8: Punktsymmetrie zum Ursprung

Dreht man den Graphen in Abbildung 8 um 180° um den Symmetriepunkt, dann erhält man den Ursprungsgraphen und zeigt, dass die Funktion punktsymmetrisch ist.

Bei ganzrationalen Funktionen, also Funktionen der Form

Symmetriebetrachtung ganzrationale Funktion StudySmarter

kannst Du spezielle Symmetrien auf einen Blick erkennen. Hat das ausmultiplizierte Polynom ausschließlich ungerade Exponenten, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

Symmetrie von e-Funktionen

Im folgenden Beispiel betrachtest Du die Symmetrie einer e-Funktion und kontrollierst, ob es sich um eine Punkt- oder Achsensymmetrie handelt.

Betrachte die Funktion Symmetriebetrachtung Aufgabe e-Funktion Symmetrie zum Ursprung StudySmarter.

Kontrolliere nun die Funktion f(x) auf Achsensymmetrie mit der Bedingung :

Symmetriebetrachtung Aufgabe e-Funktion Symmetrie zum Ursprung StudySmarter

Also: stimmt nicht mit f(x) überein.

Die Funktion ist nicht achsensymmetrisch.

Kontrolliere jetzt, ob die Funktion f(x) auf punktsymmetrisch ist, mit der Bedingung Symmetriebetrachtung Bedingung zum feststellen der Punktymmetrie zum Ursprung StudySmarter

Symmetriebetrachtung Aufgabe e-Funktion Symmetrie zum Ursprung StudySmarter

und stimmen miteinander überein.

Die Funktion ist Punktsymmetrisch zum Ursprung.

Symmetrie von Funktionen e-Funktion StudySmarterAbbildung 9: Punktsymmetrie der e-Funktion

Die Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt

Nun gilt es nur noch, die Punktsymmetrie für einen beliebigen Punkt auf dem Koordinatensystem zu erkennen und nachzuweisen.

Dabei verfährst Du ähnlich wie beim Abschnitt "Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse".

Auch hier wird beim Überprüfen die Funktion auf den Ursprung zurückgeführt und getestet, ob sie dort symmetrisch ist.

Der Graph einer Funktion ist genau dann symmetrisch zu dem Punkt , falls

Symmetrie Bedingung zum feststellen der Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt StudySmarter

gilt.

Die Koordinaten a und b entsprechen x und y Koordinaten des Punktes.

Abfolge der Schritte zum Ermitteln der Lösung:

  1. a und b in einsetzen und berechnen.
  2. a und b in einsetzen und berechnen.
  3. Ergebnisse aus diesen beiden Schritten vergleichen.

Symmetrie von Funktionen – Das Wichtigste

  • Bei ganzrationalen Funktionen sind die Exponenten ein Indiz für die Art der Symmetrie:
  • Fall a: ausschließlich gerade Exponenten = achsensymmetrisch
  • Fall b: ausschließlich ungerade Exponenten = punktsymmetrisch
  • Fall c: gemischte Exponenten = Keine Symmetrie
  • Ansonsten untersuchen, ob die Bedingung erfüllt wird.
  • Es gibt zwei Arten der Symmetrie. Es wird jeweils noch zwischen Spezialfall und beliebigem Punkt oder Achse, also insgesamt vier möglichen Fällen, unterschieden:
Art der SymmetrieBedingung
Achsensymmetrie zur y-Achse (Spezialfall)
Symmetriebetrachtung Achsensymmetrie zur y-Achse StudySmarter
Punktsymmetrie zum Ursprung (Spezialfall)
Symmetriebtrachtung Punktsymmetrie zum Ursprung StudySmarter
Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse
Symmetriebetrachtung Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse StudySmarter
Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt
Symmetriebetrachtung Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt StudySmarter

Häufig gestellte Fragen zum Thema Symmetrie von Funktionen

Die Symmetrie einer Funktion erkennst du durch das Prüfen der Kriterien für Achsen- und Punktsymmetrie.

Funktionen müssen nicht, aber können symmetrisch sein. Bei Funktionen kann eine Punkt- oder Achsensymmetrie vorliegen. 

Symmetrie von Funktionen beweist man mit den entsprechenden Bedingungen für Achsen- oder Punktsymmetrie.

Gibt es bei einer ganzrationalen Funktion f(x) nur ungerade Exponenten, ist f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung. 

Ansonsten muss die Bedingung für die Punktsymmetrie nachgewiesen werden. Diese lautet: f (-x) = - f (x).

Besitzt eine ganzrationale Funktion f(x) nur gerade Exponenten, ist f(x) achsensymmetrisch zur y-Achse. 

Ansonsten muss die Bedingung für die Achsensymmetrie nachgewiesen werden. Diese lautet: f (-x) = f (x).

Eine Funktion ist unsymmetrisch, wenn weder eine Achsen- noch eine Punktsymmetrie vorliegt. Bei ganzrationalen Funktionen ist das der Fall, wenn diese sowohl gerade als auch ungerade Exponenten besitzt.

Finales Symmetrie von Funktionen Quiz

Frage

Welche Arten von Symmetrien gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt zum einen die

Achsensymmetrie und zum anderen die Punktsymmetrie.

Frage anzeigen

Frage

Wie lauten die wichtigsten Spezialfälle von Symmetrien?

Antwort anzeigen

Antwort

  • die Achsensymmetrie zur y-Achse 
  • Punktsymmetrie

    zum Ursprung

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn der Graph auf der linken Seite der y-Achse ein Spiegelbild der rechten Seite wiedergibt. Rechnerisch heißt das, dass f(-x) = f(x) gelten muss.

Frage anzeigen

Frage

Wann sind 

ganzrationale Funktionen achsensymmetrisch zur y-Achse?


Antwort anzeigen

Antwort

Wenn das ausmultiplizierte Polynom

nur gerade Exponenten hat, dann ist der Graph symmetrisch zur y-Achse.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse vorhanden?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Graph der Funktion f(x) ist genau symmetrisch zu der Achse x = h,

wenn f(h-x) = f(h+x) für alle x gilt.


Frage anzeigen

Frage

In welchen drei Optionen können vermutete Symmetrieachsen vorkommen?

Antwort anzeigen

Antwort

a) Die zu prüfende Symmetrieachse wird in der Aufgabenstellung explizit genannt.

b) Es handelt sich um eine in x-Richtung verschobene Funktion.

c) Wir berechnen die Extremstellen der Funktion.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann die Symmetrie nachgewiesen werden, wenn die die zu prüfende Symmetrieachse in der Aufgabenstellung explizit genannt wird?

Antwort anzeigen

Antwort

Setze die angegebene Achsengleichung x = h in die Formel f(h-x) = f(h+x) ein.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Funktion gilt als punktsymmetrisch, wenn sie durch eine Spiegelung am Symmetriepunkt auf sich selbst abgebildet wird:

Es gilt f(-x) = -f(x), damit f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann sind ganzrationale Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn das ausmultiplizierte Polynom

nur ungerade Exponenten hat, dann ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt vorhanden?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Graph einer Funktion f(x) ist genau Symmetrisch zum Punkt P(a|b), falls

f(a+x)-b = -(f(a-x)-b) gilt.

Frage anzeigen

Frage

Welche Stellen sind potenzielle Symmetriepunkte?

Antwort anzeigen

Antwort

Potenzielle Symmetriepunkte sind Wendestellen.

Frage anzeigen

Mehr zum Thema Symmetrie von Funktionen
60%

der Nutzer schaffen das Symmetrie von Funktionen Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.