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Fläche zwischen zwei Graphen

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Fläche zwischen zwei Graphen

Kannst du schon mithilfe des Integrals die Fläche zwischen einem Graph und der x-Achse berechnen? Dann bist du jetzt bereit für das nächste Level: In diesem Artikel lernst du, wie du die Fläche zwischen zwei Graphen ermittelst!

Die Fläche zwischen zwei Graphen

Oft berechnest du die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse. Es kann aber auch der Fall eintreten, dass du die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen ausrechnen musst. Die Berechnung erfolgt auch in diesem Fall durch die Berechnung des bestimmten Integrals.

Falls du dir unsicher bist, wie die Fläche zwischen eines Graphens und der x-Achse berechnet wird, dann schau' dir den entsprechenden Artikel an. Dieser befindet sich auch in diesem Kapitel!

Der Gedanke, die Fläche zwischen zwei Graphen zu berechnen, ist bis hierhin gar nichts Neues. In der Tat, hast du das wahrscheinlich schon gemacht, indem du die Fläche einer Funktion beispielsweise oberhalb der x-Achse berechnet hast! Denn die x-Achse kann als die Funktion verstanden werden. Ohne es also zu wissen, hast du schon vorher die Fläche zwischen zwei Graphen berechnet.

In der folgenden Abbildungen sind zwei Funktionen gegeben, die eine türkise Fläche umschließen, die berechnet werden soll:

Fläche zwischen zwei Graphen eingeschlossene Fläche im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 1: Zwei Funktionen, die eine Fläche umschließen

Wie auch bei anderen Aufgaben zur Flächenberechnung komplexerer Sachverhalte können wir zuerst die große Fläche berechnen und dann die kleinere Fläche davon abziehen. In diesem Fall ist die orange Fläche die große Fläche und die hellblaue Fläche die kleine Fläche:

Fläche zwischen zwei Graphen große eingeschlossene Fläche im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 2: Die große orangene Fläche Fläche zwischen zwei Graphen kleine eingeschlossene Fläche im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 3: Die kleine blaue Fläche

Falls dir die Berechnung bestimmter Integrale bzw. die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung schwerfällt, dann schau' dir am besten die entsprechenden Artikel unter Integralrechnung an!

Um die beiden Teilflächen auszurechnen, verwendest du wie gewohnt die Berechnung über das bestimmte Integral. Die beiden Funktionen genügen den Funktionsgleichungen:

Die Integrationsgrenzen entsprechen den x-Werten der Schnittpunkte der beiden Funktionen. Um die Schnittpunkte zweier Funktionen zu berechnen, setzt du diese gleich:

Das zu integrierende Intervall lautet also: .

Beide Funktionen besitzen eine Ableitung, da sie Polynomfunktionen sind und das Intervall abgeschlossen ist. Daher darfst du zur Berechnung den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verwenden. Die Fläche berechnest du dann wie folgt:

Eine Stammfunktion der gegebenen Funktionen bilden:

Dann kannst du die bestimmten Integrale aufstellen und den Flächeninhalt berechnen:

Alternativ kannst du hier in der Berechnung auch die Achsensymmetrie der beiden Funktionen benutzen. Durch die Symmetrie ist die Fläche links von der y-Achse genauso groß wie die Fläche rechts von der x-Achse. Dann kannst du nur eine Fläche berechnen und diese anschließend verdoppeln. Für die erste Fläche würde die Berechnung dann wie folgt lauten:

Dann musst du die kleinere von der größeren Fläche abziehen und schon bist du fertig! Du hast die türkise Fläche berechnet:

Fläche zwischen zwei Graphen berechnen

Damit du nicht immer zwei bestimmte Integrale ausrechnen musst, kann die Berechnung der Fläche etwas vereinfacht werden. Statt die Flächen am Ende voneinander zu subtrahieren, tun wir dies am Anfang, aber mit den Funktionen.

Die Differenzfunktion

Wenn zwei Funktionen und voneinander subtrahiert werden, dann nennt man die neu entstandene Funktion Differenzfunktion:

Fläche zwischen zwei Graphen Differenzfunktion StudySmarter

Bei der Flächenberechnung zwischen einer Funktion und der x-Achse ist es von Bedeutung zu wissen, ob die Funktion oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft. Dies ist hier irrelevant. Allerdings musst du dafür etwas anderes beachten!

Es ist wichtig zu wissen, welche Funktion ober- und welche unterhalb der jeweils anderen Funktion verläuft:

Fläche zwischen zwei Graphen eingeschlossene Fläche im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 4: Zwei Funktionen, die eine Fläche umschließen

In unserem Beispiel von oben wäre die obere Funktion im Intervall und die untere Funktion. Die untere Funktion wird bei der Bildung der Differenzfunktion von der oberen Funktion abgezogen:

Fläche zwischen zwei Graphen Differenzfunktion im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 5: die Differenzfunktion

In der Grafik kannst du dann erkennen, dass wenn die Funktionswerte der beiden Funktionen stark voneinander abweichen, dass dann die Differenzfunktion dort einen hohen Funktionswert hat. Sind die Funktionswerte aber gleich, also wenn sich die beiden Funktionen schneiden, dann ist die Differenzfunktion an der Stelle gleich null.

Flächenberechnung mit Differenzfunktion

Um die Fläche zwischen den beiden Graphen nun auszurechnen, nimmst du dir die Differenzfunktion und berechnest das bestimmte Integral im gegebenen Intervall.

Die Differenzfunktion ist gegeben durch:

Das Intervall ist abgeschlossen und du kannst bei der Differenzfunktion eine Ableitung bilden. Daher dürfen wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung benutzen.

Eine Stammfunktion von lautet:

Die Fläche berechnet sich nun durch das bestimmte Integral:

Mehrere Flächen zwischen zwei Graphen

Es kann auch der Fall eintreten, dass sich zwei Funktionen mehrfach schneiden und somit mehrere Flächen ergeben, die du berechnen kannst. Dann kannst du nicht mehr nur die Differenzfunktion bilden und diese dann ausrechnen. Das liegt daran, dass das Integral nur eine Flächenbilanz ist. Wenn mehrere Flächen eingeschlossen werden, dann ist es sehr wahrscheinlich, dass die Differenzfunktion dann unter der x-Achse verläuft.

In dem Artikel Fläche zwischen Funktion und x-Achse kannst du zu diesem Phänomen noch einmal Genaueres nachlesen. Hier schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:

Die folgende Abbildung soll diesen Sachverhalt noch einmal verdeutlichen:

Fläche zwischen zwei Graphen eingeschlossene Fläche im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 6: Zwei Funktionen mit mehreren Schnittflächen

Dabei sind die Funktionen durch die folgenden Funktionsgleichungen gegeben:

Um die Fläche zu errechnen, musst du erstmal wissen, was deine Intervallgrenzen sind. Dazu musst du wie im ersten Beispiel die Schnittpunkte der beiden Funktionen berechnen:

Danach bildest du die Differenzfunktion, prüfst, ob sich diese ableiten lässt und bildest eine Stammfunktion. Dabei musst du aber wieder beachten, welche Funktion ober- und welche unterhalb der jeweils anderen verläuft. Im ersten Intervall von -1 bis 0 ist die Differenzfunktion:

Für das andere Intervall ist die Differenzfunktion eine andere:

Dann berechnest du die Fläche durch die bestimmten Integrale:

Somit beträgt die Gesamtfläche Flächeneinheiten.

Fläche zwischen zwei Graphen – Übungsaufgaben

Um dein Verständnis für die Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen zu vertiefen, haben wir hier noch eine Übung für dich:

Aufgabe

Berechne die Fläche, die von den beiden Graphen der folgenden Funktionen eingeschlossen wird!

Lösung

Zuerst müssen die Schnittpunkte der beiden Funktionen berechnet werden:

Nun musst du durch eine Rechnung oder einer Skizze ermitteln, welche Funktion oberhalb der jeweils anderen verläuft. Schau' dir doch mal die Funktionswerte an der Stelle an:

Daran kannst du erkennen, dass die Funktion oberhalb verläuft, da der Funktionswert größer ist. Nun bildest du die Differenzfunktion:

Davon bilden wir nun eine Stammfunktion und setzen alles in das bestimmte Integral ein:

Fläche zwischen zwei Graphen - Das Wichtigste

  • Die Fläche zwischen zwei Graphen wird durch das bestimmte Integral der Differenzfunktion berechnet.
  • Bei der Berechnung der Differenzfunktion ist es wichtig, welche Funktion ober- bzw. unterhalb der jeweils anderen Funktion verläuft.
  • Die Integrationsgrenzen sind die x-Werte der Schnittpunkte der beiden Funktionen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Fläche zwischen zwei Graphen

Der Flächeninhalt zwischen zwei Graphen ist das bestimmte Integral der Differenzfunktion mit den Integrationsgrenzen der x-Werte der Schnittpunkte der beiden Funktionen miteinander.

Das ist die Fläche, die zwei Graphen im Koordinatensystem einschließen.

Im Prinzip ist das Integral eine unendliche Summe von kleinen Rechtecken, die die Fläche unterhalb des Funktionsgraphen annähern. Dabei ist die Länge dieser Rechtecke der Funktionswert der Funktion und die Breite unendlich kleine Teilintervalle auf der x-Achse. Da diese Teilintervalle gegen 0 gehen schreibt man statt eines Summenzeichens ein Integralzeichen. Die besagten Rechtecke können fast jede Fläche unter einer Funktion näherungsweise beschreiben.

Das Integral ist die Flächenbilanz einer Funktion. Bedeutet, dass die Fläche oberhalb der x-Achse subtrahiert wird von der Fläche unterhalb der x-Achse.

Finales Fläche zwischen zwei Graphen Quiz

Frage

Beschreibe dein Vorgehen bei der Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen!

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Schnittpunkte der beiden Funktionen berechnen
  2. Die Differenzfunktion berechnen (Achte dabei welche oberhalb der anderen Funktion verläuft)
  3. Das bestimmte Integral bzw. die bestimmten Integrale aufstellen
  4. Die bestimmten Integrale ausrechnen
Frage anzeigen

Frage

Warum ist es wichtig zu wissen, welche Funktion oberhalb der jeweils anderen Funktion verläuft?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Bestimmung der Differenzfunktion ist der Verlauf wichtig. Ziehst du die größere Funktion von der Kleineren ab, dann ist deine Differenzfunktion negativ. Damit auch das bestimmte Integral und somit auch die auszurechnende Fläche.

Frage anzeigen

Frage

Widerlege die folgende These:


"Für die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen kann ich die Integrationsgrenzen aus der Zeichnung ablesen!"

Antwort anzeigen

Antwort

Das ist generell falsch, da eine Zeichnung nicht immer akkurat ist. Das menschliche Auge, kann nicht auf einen hundertstel Millimeter genau gucken, daher können Zeichnung genutzt werden, um Rechnungen zu überprüfen, aber ersetzen diese nicht.

Frage anzeigen
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