In einem Fußballstadion befindet sich ein Fußballfeld, das eine gewisse Größe aufweist. Dabei gibt es verschiedene festgelegte Längen, zum Beispiel die Länge der Torlinie oder die Länge des Strafraums.
Die Seitenlinie ist circa 105 Meter lang. Wichtig für Fußballmannschaften ist jetzt, dass die Seitenlinie unbedingt zwischen 100 und 110 Metern liegen muss. Alle Werte darunter oder darüber sind nicht erlaubt.
Schon hast Du Deinen ersten Definitionsbereich aufgestellt. Den Definitionsbereich zu bestimmen, ist oftmals Aufgabe einer Kurvendiskussion und wird in dieser Erklärung näher erläutert.
Definitionsbereich bestimmen – Wiederholung Zahlenmengen
Zu Beginn ist es von Vorteil noch einmal kurz alles zu den verschiedenen Zahlenmengen zu wiederholen.
Eine Menge ist nämlich die Verknüpfung von verschiedenen Objekten, wie ein Apfelbaum und ein Nussbaum allgemein zu den Bäumen gezählt werden können. Auch bei Zahlen ist dies der Fall.
Es gibt verschiedene Zahlen, die Du zu Zahlenmengen zusammenfassen kannst.
Die kleinste Form sind die sogenannten natürlichen Zahlen. Weiter gibt es die ganzen Zahlen, rationalen Zahlen, irrationale Zahlen und die reelen Zahlen in der Schulmathematik.
Die Tabelle fasst alle wichtigen Zahlenmengen zusammen.
| Zahlenmenge | Angabe |
| Natürliche Zahlen | \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}\) |
| Ganze Zahlen | \( \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \} \) |
| Rationale Zahlen | \( \mathbb{Q} = \{ \frac{m}{n} | n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\}\) |
| Reelle Zahlen | \(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \) |
Das Ganze kannst Du auch in einem Bild darstellen.
Abbildung 1: Definitionsbereich bestimmen - Zahlenmengen
Die natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) sind also alle ganzzahligen positiven Zahlen inklusive der Null.
Für die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) kommen die ganzzahligen negativen Zahlen mit dazu.
Bei den rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) sind dann auch alle Zahlen enthalten, die als Bruch darstellbar sind. Ist dies nicht mehr möglich, so werden diese Zahlen wiederum in die Menge der irrationalen Zahlen \(\mathbb{I}\) gegeben.
Zuletzt gibt es ein paar spezielle Zahlen, wie die Kreiszahl \( \pi \) , die Eulersche Zahl \( e\) oder auch \(3 \cdot \sqrt{2}\) , die zu den reelen Zahlen \(\mathbb{R}\) zählen, die unendlich viele Nachkommastellen besitzen.
Kurvendiskussion – Definitionsbereich bestimmen
Eine Funktion \(f\) ist allgemein eine Zuordnung, wobei jedem Element \(x\) aus einer Definitionsmenge \(\mathbb{D}\) ein Element aus \(y\) zugeordnet wird.
Definitionsbereich einer Funktion bestimmen
Dabei kann jedoch die sogenannte Definitionsmenge beziehungsweise der Definitionsbereich eingeschränkt werden.
Der Definitionsbereich \( \mathbb{D}\) beziehungsweise die Definitionsmenge beschreibt, welche x-Werte in einer Funktion \(f(x)\) verwendet werden können.
Ist nach einem Definitionsbereich über eine spezifische Funktion wie \(f(x)\) gefragt, so kann dies auch als \( \mathbb{D_f}\) geschrieben werden.
Bei dem Definitionsbereich wird also die Frage beantwortet, welche x-Werte in die Funktion eingesetzt werden dürfen.
Es ist Dir beispielsweise die folgende Funktion gegeben:
\[f(x) = 3x\]
Außerdem soll für die Definitionsmenge gelten:
\[\mathbb{D} = \{1, 2, 3, 4 \} \]
Das bedeutet also, dass Du nur für diese angegebenen x-Werte die Funktion erstellen kannst. Es handelt sich also um folgende Werte für die y-Koordinaten:
- \(f(1) = 3 \cdot 1 = 3\)
- \(f(2) = 3 \cdot 2 = 6\)
- \(f(3) = 3 \cdot 3 = 9\)
- \(f(4) = 3 \cdot 4 = 12\)
Die y-Werte sind dabei Teil der Wertemenge, die Du gleich kennenlernen wirst.
Es ist also möglich, dass bei einer Aufgabe nach Belieben der Definitionsbereich, und damit die möglichen Werte zum Einsetzen, eingeschränkt wird.
Wertebereich bestimmen
Die Einschränkung eines Definitionsbereiches hat oft direkte Auswirkungen auf den sogenannten Wertebereich.
Der Wertebereich \( \mathbb{W}\) beziehungsweise auch die Wertemenge einer Funktion \(f(x)\) sind die y-Werte, die eine Funktion annehmen kann (abhängig vom jeweiligen Definitionsbereich).
Ist der Definitionsbereich eingeschränkt, so wird auch der Wertebereich dieser Funktion verkleinert.
Bei den meisten Funktionen ist es so, dass der Definitionsbereich nicht beschränkt ist und damit alles von \(- \infty \,bis + \infty \) eingesetzt werden darf.
Das bedeutet dann auch für die Wertemenge, dass alle Werte Deiner Zahlenmenge herauskommen dürfen.
Wird bei der Definitionsmenge jedoch eine Einschränkung gemacht (wie im Kapitel zuvor) so kann auch die Wertemenge eingeschränkt werden.
Auch hierbei handelt es sich um die Funktion
\[f(x) = 3x\]
Hierbei ist die Definitionsmenge eingeschränkt. Es sollen alle Punkte auf der Funktion für den x-Wert 1 bis 4 verwendet werden können. Dabei ist nun auch die Wertemenge eingeschränkt.
Für die Wertemenge gilt ebenso:
\[ \mathbb{W} = [1; 4] \]
Das bedeutet, dieses Mal können alle x-Werte von 1 bis 4 verwendet werden und alle y-Werte zwischen 1 und 4, die als Punkte zusammengenommen sich auf dieser Strecke befinden. Hier sind auch die Ganzen Zahlen in dem Intervall als Punkte angegeben.
Abbildung 2: Definitionsbereich bei Gerade
Intervallschreibweise
Die Definitionsmenge wird größtenteils in der Intervallschreibweise angegeben. Diese beschreibt, welche Zahlen innerhalb festgelegter Grenzen gewählt werden können.
Möchtest Du angeben, dass für x Zahlenwerte von 3 bis 5 angegeben werden, kannst Du das auf diese Weise wiedergeben.
\[ 3 \leq x \leq 5 \]
Gesprochen bedeutet das "Der Wert von x ist größer oder gleich 3 und kleiner oder gleich 5".
Meist wird das allerdings als Intervall angegeben. Die erste Zahl nach der geöffneten Klammer ist der (eingeschlossene) Startwert, die zweite Zahl gibt den (eingeschlossenen) Endwert an.
\[ x \in [3; 5] \]
Diese Schreibweise wird anders gesprochen: "x ist ein Element des Intervalls von (inklusive der Zahl) 3 bis (einschließlich der Zahl) 5".
Möchtest Du nun angeben, dass wiederum die Zahlen zwischen 3 und 5 eingesetzt werden können, die Grenzwerte (also die Zahlen 3 und 5 selbst) aber nicht, wird das ein wenig anders geschrieben.
\[ 3 < x < 5 \]
Bei der Intervallschreibweise sind jetzt besonders die Klammern wichtig. Werden diese falsch herum geschrieben (als nach außen gedreht), bedeutet dies, dass der Grenzwert nicht in dem Intervall enthalten ist.
\[ x \in ] 3; 5 [ \]
Man spricht: "x ist Element des Intervalls von (ausgeschlossen) 3 bis (ausgeschlossen) 5".
Das bedeutet also, Du verwendest die Intervallschreibweise, falls nicht alle Zahlen aus einer Zahlenmenge mit ein paar Ausnahmen verwendet werden dürfen, sondern explizit bestimmte Zahlenbereiche.
Nähere Informationen dazu findest Du jedoch in der Erklärung Intervalle.
Unterschied Lösungsmenge und Definitionsmenge
Hast Du eine Funktion vor Dir, gibst Du zunächst die Definitionsmenge an, indem Du bestimmst, welche x-Werte eingesetzt werden dürfen.
Wird darauffolgend die Lösung einer Gleichung berechnet, erhältst Du eine sogenannte Lösungsmenge. Diese gibt an, für welche x-Werte eine Gleichung erfüllt ist.
Es gilt danach noch zu prüfen, ob die Werte der Lösungsmenge auch in der Definitionsmenge bestimmt sind.
Werte, die dort nicht definiert sind, müssen aus der Lösungsmenge gestrichen werden.
Wenn Du davon ausgehst, Du hast zwei Informationen gegeben:
- Gleichung \(x = -2\)
- Definitionsmenge sind die natürlichen Zahlen \( \mathbb{N}\)
1. Schritt (Gleichung lösen):
Diese Gleichung ist bereits gelöst, hier hat x den Wert \(-2\).
\[x = -2\]
2. Schritt (Vergleich Lösungs- mit Definitionsmenge):
Vergleiche nun die Lösungsmenge (Deine berechnete Zahl) mit der Definitionsmenge.
Die Lösung der Gleichung ist negativ und daher nicht in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten.
\[x = -2\]
Damit muss diese Lösung gestrichen werden. Es bleiben keine weiteren Lösungen mehr übrig, daher ergibt sich für die Lösungsmenge die leere Menge.
\[ \mathbb{L} = \{ \}\]
Anderer Fall:
Sollte die Definitionsmenge allerdings die Ganzen Zahlen, oder die Rationalen bzw. Reellen Zahlen sein, dann gilt für die Lösungsmenge:
\[ \mathbb{L} = \{-2\}\]
Maximalen Definitionsbereich bestimmen
Es gibt nun für verschiedene Funktionen unterschiedliche Definitionsbereiche.
Du gehst dabei immer von der größten Zahlenmenge aus, die Du bisher kennst. Hier wird allgemein mit den Rationalen Zahlen \( \mathbb{R}\) gearbeitet, wähle aber gerne die für Dich passende.
Solltest Du nun also aufgefordert werden, den Definitionsbereich zu bestimmen, dann ist der maximale Definitionsbereich gemeint.
Ganzrationale Funktionen und Exponentialfunktion
Grundsätzlich ist es möglich für eine Ganzrationale Funktion jeden Wert aus den Reellen Zahlen einzusetzen.
Für die Ganzrationalen Funktionen, wie die lineare Funktion, aber auch die quadratische Funktion und Funktionen höheren Grades, gilt für die Definitionsmenge \( \mathbb{D} = \mathbb{R}\). Der Definitionsbereich ist nicht eingeschränkt.
Auch für die Exponentialfunktion ist der Definitionsbereich nicht eingeschränkt \(mathbb{D} = \mathbb{R}\).
Die Grundmenge ist eben nicht eingeschränkt, und damit ist auch die Wertemenge grundsätzlich uneingeschränkt.
Dass Du die ganzen Reellen Zahlen verwenden kannst, gilt genauso bei einer Exponentialfunktion \( e^x \).
Aufgabe 1
Bestimme für folgende Beispiele jeweils den Definitionsbereich.
(Tipp: Du benötigst nur eine Lösung)
\[f(x) = 5x - 2\]
\[g(x) = 2x^3 - 4x - 2 \]
\[h(x) = e^x - 4 \]
Lösung
Es handelt sich ausschließlich um Funktionen, deren Definitionsbereich nicht eingeschränkt ist. Damit ergibt sich als Definitionsmenge die gesamte Menge der Reellen Zahlen, die von \(- \infty\) bis \( + \infty \) laufen.
\[ \mathbb{D}_f = \mathbb{D}_g = \mathbb{D}_h = \mathbb{R} \]
Gebrochen Rationale Funktionen – Definitionslücken
Bei den Gebrochen Rationalen Funktionen ist entscheidend, dass der Nenner niemals 0 werden kann, da Du bekanntlich nicht durch 0 teilen kannst.
Einen Kuchen auf 0 Personen zu verteilen ist schließlich nicht möglich.
Für den Definitionsbereich einer Gebrochen Rationalen Funktion der Form \( \frac{a}{x} \) ist entscheidend, dass der Nenner ungleich 0 sein soll.
Dazu wird also der Nenner mit 0 verglichen, um den Definitionsbereich zu bestimmen.
Das bedeutet also, Du siehst Dir konkret den Nenner der Funktion an und setzt diesen gleich 0. Die Werte, die dabei ermittelt werden – manchmal über eine lineare Gleichung, oder auch über die Mitternachtsformel oder Substitution – sind aus dem Definitionsbereich zu entnehmen.
So wird also für den schlichtesten Fall eine gebrochen rationale Funktion betrachtet:
\[ f(x) = \frac{2}{x}\]
Für diesen Fall kann x den Wert 0 nicht annehmen. Das bedeutet, es werden grundsätzlich die reellen Zahlen verwenden, jedoch ohne diesen Wert.
\[ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} \backslash \{0 \} \]
Diese Schritte kannst Du für eine weniger intuitive Funktion selbst erproben.
Aufgabe 2
Bestimme die Definitionsmenge für die folgende Funktion.
\[k(x) = \frac{5}{x^2 + 3x - 2x - 6} \]
Lösung
Schritt 1:
Grundsätzlich ist der Nenner der Funktion zu betrachten und dieser mit 0 gleichzusetzen. Den Zähler kannst Du für den Definitionsbereich ignorieren.
\begin{align} 0 &= x^2 + 3x - 2x - 6 \end{align}
Schritt 2:
Den Term kannst Du erst noch zusammen fassen und danach für die Mitternachtsformel verwenden.
\begin{align} 0 &= x^2 + 3x - 2x - 6 \\ &= x^2 + x - 6\end{align}
Die Mitternachtsformel lautet:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \]
\begin{align} x_{1,2} &= \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}} {2 \cdot 1} \\ &= \frac{ -1 \pm \sqrt{25}}{2} \\ &= \frac{-1 \pm 5}{2} \\ x_1 &= \frac{-1 + 5}{2} \\ &= 2 \\ x_2 &= \frac{-1 - 5}{2} \\ &= -3 \end{align}
Das bedeutet also diese beiden Werte sollen im Definitionsbereich nicht enthalten sein, also schreibst Du diesen wie folgt:
\[ \mathbb{D}_k = \mathbb{R} \backslash \{-3; 2 \}\]
(Natürliche) Logarithmusfunktion
Als Einstieg ist Dir zwei Logarithmus Funktionen gegeben, bei denen Dir vielleicht bereits eine Besonderheit auffällt, was den Definitionsbereich angeht.
Abbildung 3: Definitionsbereich log-Funktion und verschobene ln-Funktion
In dieser Grafik sind alle x-Werte jeweils größer 0 für die log-Funktion. Für den natürlichen Logarithmus sind auch negative x-Werte möglich. Dies wird im Folgenden erläutert.
Der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion der Form \(y = \log{b}\) x enthält alle positiven reellen Zahlen:
\[ \mathbb{R}^+\]
Das gilt auch für den natürliche Logarithmus \( \ln x\).
Bei einer Verschiebung der Funktion in x-Richtung ändert sich jedoch der Definitionsbereich.
Für eine allgemeine Logarithmusfunktion ist es entscheidend, dass also alle Werte des Definitionsbereiches positiv sind. Das gilt grundsätzlich auch für den natürlichen Logarithmus.
Beispielsweise haben folgende Funktionen die positiven reellen Zahlen als Definitionsmenge:
- \(f(x) = \log_2 x\)
- \(g(x) = \log_3 x + 2\) – Hierbei handelt es sich nur um eine Verschiebung in y-Richtung, dabei ändert sich der Definitionsbereich nicht.
- \(h(x) = \ln(2x)\) – Auch bei einer Streckung oder Stauchung einer Funktion ändern sich die Definitionsmenge nicht.
Abbildung 4: Gleicher Definitionsbereich (Verschiebung nach y; Streckung/Stauchung)
Die Definitionsmenge ist also für alle Funktionen \(\mathbb{D} = \mathbb{R}^+\)
Wird eine Logarithmusfunktion in x-Richtung verschoben werden, musst Du folgendes beachten: Das Innere der Funktion, der sogenannte Numerus, muss größer als Null sein. Das kommende Beispiel soll dazu auch noch die sogenannte Fallunterscheidung behandeln.
Aufgabe 3
Betrachte die nachfolgende Funktion:
\[f(x) = \log_3 (x+9)\]
Lösung
1. Schritt:
Das Innere des Logarithmus muss größer oder gleich Null sein. Betrachte deshalb zunächst nur diesen Teil der Funktion.
\begin{align} x+9 \geq 0 \end{align}
2. Schritt:
Löse dann die Ungleichung für den aufgestellten Term.
\begin{align} x+9 &\geq 0 \\ x &\geq -9\end{align}
3. Schritt:
Die Definitionsmenge für diese Logarithmusfunktion lautet also
\begin{align} \mathbb{D} = [ -9; \infty [ \end{align}
Wurzelfunktion
Den Definitionsbereich für eine Wurzelfunktion kannst Du hier ebenfalls aus der Grafik ablesen.
Abbildung 5: Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Der maximale Definitionsbereich der Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{x}\) ist \( \mathbb{D}_f = \mathbb{R}_0^+\).
Die Wurzel ist allgemein nur für positive Werte des Radikanden (der Term unterhalb der Wurzel) definiert.
Eine Wurzel darf also nur gezogen werden, wenn der Radikand unterhalb der Wurzel größer oder gleich 0 ist.
Aufgabe 4
Gegeben ist eine Wurzelfunktion. Bestimme den Definitionsbereich:
\begin{align} f(x) = \sqrt{x} + 2 \end{align}
Lösung
Wichtig ist der Radikand. Schau dir deshalb nur den Term unter der Wurzel genauer an.
\begin{align} f(x) = \sqrt{x} > 0 \end{align}
Dies ist der Fall für alle Werte größer oder gleich Null. Also ist hierbei die Definitionsmenge genau das, was zuvor definiert wurde.
\[ \mathbb{D}_f = \mathbb{R}_0^+\]
Definitionsbereich bestimmen – Aufgaben
Nun kannst Du Dein erlangtes Wissen praktisch erproben, damit Du im Thema des Definitionsbereichs den Durchblick behältst.
Aufgabe 5
Gegeben ist folgende gebrochen rationale Funktion. Ermittle den Definitionsbereich.
\begin{align} f(x) = \frac{3x}{(3x + 2)^2} \end{align}
Lösung
1. Schritt (Nenner ausmultiplizieren):
Für die Definitionsmenge ist bei gebrochen rationalen Funktionen der Nenner wichtig, betrachte also zunächst nur diesen genauer und vereinfache ihn.
\begin{align} 0 &= (3x + 2)^2 \\ 0 &= 9x^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 \\ 0 &= 9x^2 + 12x + 4 \end{align}
2. Schritt (Lösungsformel anwenden):
Nun ist als Nächstes die Lösungsformel an der Reihe, mit der Du nun die Werte bestimmst, mit dem der Nenner 0 werden würde.
\begin{align} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\ &= \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9} \\ &= \frac{-12 \pm 0}{18} \\ x_1 &= - \frac{2}{3} \\ x_2 &= - \frac{2}{3} \end{align}
3. Schritt (Definitionsbereich aufschreiben):
Der Definitionsbereich lautet also...
\[\mathbb{D} = {R} \backslash \{- \frac{2}{3}\} \]
Aufgabe 6
Bestimme den Definitionsbereich für die folgende Wurzelgleichung.
\begin{align} f(x) = 2 + \sqrt{5x - 2} - 3 \end{align}
Lösung
Das Wichtige bei dieser Aufgabe ist der Radikand unterhalb der Wurzel. Dieser soll größer oder gleich 0 sein.
\begin{align} 5x - 2 & \ge 0 &&| + 2 \\ 5x & \ge 2 &&| : 5 \\ x & \ge \frac{2}{5} \end{align}
Daraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[ \mathbb{D} = [\frac{2}{5}; \infty [ \]
Definitionsbereich bestimmen – Das Wichtigste
- Es gibt die natürlichen Zahlen, die Ganzen Zahlen, die Rationalen Zahlen und die Reellen Zahlen als Zahlenmengen.
- Der Definitionsbereich \( {\mathbb{D}}\), auch Definitionsmenge genannt, beschreibt, welche x-Werte in einer Funktion \(f(x)\) vorkommen können.
- Der Wertebereich\( {\mathbb{W}}\) sind dabei die y-Werte für die x-Werte aus dem Definitionsbereich.
- Der Maximale Definitionsbereich einer Ganzrationalen Funktion sind die reellen Zahlen.
- Für den Definitionsbereich einer Gebrochen Rationalen Funktion gilt grundsätzlich, dass der Nenner nie Null werden soll.
- Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion sind die positiven reellen Zahlen \( \mathbb{R}^+\).
- Für die Wurzelfunktion gelten die positiven reellen Zahlen mit der \(0\).
Nachweise
- Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufe I und II. Cornelsen Verlag, Berlin
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