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Quadratische Funktionen

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Quadratische Funktionen

Was haben eine Brücke, ein Tunnel, ein Regenbogen und ein Hügel gemeinsam?

Quadratische Funktionen Alltagsbeispiel Parabel StudySmarter

Die Antwort lautet: Alle vier haben die Form einer Parabel. Eine Parabel entsteht durch eine quadratische Funktion. Doch was versteht man unter einer quadratischen Funktion?

Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion ist ein Sonderfall einer Potenzfunktion. Quadratische Funktionen haben immer ein Polynom zweiten Grades, enthalten also immer ein in der Funktion. Sie haben jedoch keine höheren Potenzen, wie sie zum Beispiel , enthalten.

Eine quadratische Funktion mit den reellen Koeffizienten a, b und c ist eine Funktion der Form:

Quadratische Funktionen Form einer quadratischen Funktion StudySmarter

Der Koeffizient a ist eine reelle Zahl. Dabei ist es wichtig, dass diese Zahl nicht 0 ist. Im Gegensatz dazu können die Koeffizienten b und c alle reellen Zahlen annehmen – auch die 0.

wird als quadratisches Glied bezeichnet, als lineares Glied und als absolutes Glied.

Mehr zu diesem Thema findest Du im Artikel "Quadratische Gleichungen".

Darstellungsformen der quadratischen Funktion

Es gibt verschiedenen Darstellungsformen einer quadratischen Gleichung. Eine hast Du eben schon kennengelernt: die allgemeine Form. Es gibt aber auch noch die Scheitelpunktform und die faktorisierte Form.

Name
Form
Beispiel
Allgemeine FormBei der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion hat der Parameter a Auswirkungen auf die Form des Graphen. Der Parameter c gibt den y-Achsenabschnittspunkt an und der Parameter b gibt an, wie steil der Graph an diesem Punkt steigt.
ScheitelpunktformBei einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform kann der Scheitelpunkt auf den ersten Blick abgelesen werden. a ist hier der Streckfaktor.
Faktorisierte FormBei der faktorisierten Form können auf den ersten Blick die Nullstellen abgelesen werden.

Gerade ging es jetzt schon um die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Aber was ist das eigentlich?

Der höchste Punkt einer nach unten offenen, beziehungsweise der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel wird als Scheitel oder Scheitelpunkt bezeichnet. Er hat folgende Form:

Quadratische Funktionen Scheitelpunkt StudySmarter

Die verschiedenen Darstellungsweisen einer quadratischen Funktion können durch verschiedenen mathematische Verfahren ineinander umgerechnet werden.

Ursprüngliche Form
umgewandelte Form
Verfahren
Allgemeine Form
Scheitelpunktform
quadratische Ergänzung
ScheitelpunktformAllgemeine Formbinomische Formel
Allgemeine FormFaktorisierte Form

Nullstellen mit Mitternachtsformel berechnen und in faktorisierter Form einsetzten.

Faktorisierte FormAllgemeine FormAusmultiplizieren

Die Scheitelpunktform und die faktorisierte Form lassen sich jeweils in die allgemeine Form und umgekehrt umwandeln. Um die Scheitelpunktform in die faktorisierte Form und umgekehrt umzuwandeln, kannst Du den Zwischenschritt über die allgemeine Form einbauen oder über die Achsensymmetrie der Nullstellen den Scheitelpunkt bestimmen und so die Scheitelpunktform erhalten.

Mehr zur Umwandlung von Scheitelpunktform zur allgemeinen Form und umgekehrt findest Du im Artikel "Scheitelpunkt berechnen".

Funktionen verändern – Beispiel

Im folgenden Beispiel lernst Du, wie Du die faktorisierte Form in die allgemeine Form und umgekehrt umwandeln kannst.

Aufgabe 1

Wandle die Funktion in die allgemeine Funktion um und dann wieder zurück in die faktorisierte Form.

Lösung

faktorisierte Form → allgemeine Form

Hier kannst Du direkt sehen, dass die Klammern noch ausmultipliziert werden können. Du musst also jede Zahl der einen Klammer mit jeder Zahl der anderen Klammer multiplizieren.

allgemeine Form → faktorisierte Form

Hier musst Du als Erstes die Nullstellen der allgemeinen Form mit der Mitternachtsformel berechnen.

Zur Erinnerung: Mitternachtsformel

Die Nullstellen betragen also . Diese kannst Du jetzt in die faktorisierte Form einsetzen.

Hier musst Du aufpassen, weil Du für die Zahl -2 einsetzt. Da aber schon ein Minus in der faktorisierten Form enthalten ist, musst Du beachten, dass Minus und Minus Plus ergibt.

Berechnen der Nullstellen einer quadratischen Funktion

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen, gibt es vier verschiedenen Möglichkeiten. Eine davon hast Du eben verwendet. Insgesamt kann eine quadratische Funktion entweder 0, 1 oder 2 Nullstellen besitzen.

Name und Anwendung
Formel

Mit der Mitternachtsformel kannst Du die Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen.

pq–Formel

Mit der pq–Formel kannst Du die Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen. Wichtig dabei ist, dass gilt.

Satz von VietaMit dem Satz von Vieta kannst Du die Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen. Wichtig dabei ist, dass gilt. Mit diesem Satz überlegst Du Dir, welche Lösungen möglich sind und prüfst diese dann mit den Formeln.
quadratische ErgänzungBei der quadratischen Ergänzung wird die Funktionsgleichung so umgewandelt, dass sie die nebenstehende Form enthält. Anschließend kann dann eine binomische Formel angewendet werden.

Wie die Berechnungsverfahren genau funktionieren, erfährst Du in den jeweiligen Artikeln.

Der Graph einer quadratischen Funktion

Bis jetzt hast Du viel über die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion gelernt, aber wie sieht es mit dem Graphen einer quadratischen Funktion aus?

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Diese Parabel kann entweder nach unten oder nach oben geöffnet sein. Der höchste Punkt einer nach unten offenen bzw. der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel wird Scheitel oder auch Scheitelpunkt genannt.

Eine Parabel kann zum Beispiel so aussehen:

Quadratische Funktionen Parabel StudySmarterAbbildung 3: Parabel

Parabeln dienen jedoch nicht nur zur Visualisierung von quadratischen Funktionen. Du kannst verschiedene charakteristische Parameter, wie den Scheitelpunkt oder den Schnittpunkt einer Parabel mit einer Geraden auch berechnen. Außerdem kannst Du beispielsweise auch eine Tangente an einer Parabel konstruieren. Darüber hinaus gibt es noch weiere verschiedene Möglichkeiten, mit Parabeln zu rechnen.

Wie Du die eben genannten Punkte berechnen kannst, findest Du in den zugehörigen Artikeln.

Die Normalparabel

Um zu wissen, wie der Graph einer quadratischen Funktion verläuft, ist es wichtig den Verlauf der sogenannten Normalparabel zu kennen. Von ihr ausgehend, kannst Du andere Parabeln dann beschreiben.

Der zur Funktion Quadratische Funktionen Funktion einer Normalparabel StudySmarter gehörende Graph heißt Normalparabel.

Eine Normalparabel sieht folgendermaßen aus:

Quadratische Funktionen Normalparabel StudySmarterAbbildung 4: Normalparabel

Eine Normalparabel hat folgende Eigenschaften:

  • Sie ist nach oben geöffnet
  • Der Scheitelpunkt liegt bei
  • Sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Sie geht durch die Punkte .

Veränderung der Parabel

Die Parameter a, b und c haben einen Einfluss auf die Form und Lage einer Normalparabel. Die Veränderungen der Parabel werden immer anhand der Normalparabel verglichen und ausgedrückt.

  • Skalierung (Strecken, Stauchen)
  • Spiegeln an der x-Achse, y-Achse oder am Ursprung
  • Verschieben entlang der x-Achse oder y-Achse

Richtung der Öffnung, Strecken und Stauchen von Parabeln

Der Parameter a einer quadratischen Funktion gibt an, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Des Weiteren ist er für die Streckung oder Stauchung zuständig.

Zur Erinnerung!

Die Formel für die allgemeine quadratische Funktion lautet: .

Voraussetzung
Effekt
Abbildung
Parabel ist nach oben geöffnet.

Quadratische Funktionen Parabel nach oben geöffnet StudySmarterAbbildung 5: Parabel nach oben geöffnet

Parabel ist nach unten geöffnet.

Quadratische Funktionen Parabel nach unten geöffnet StudySmarterAbbildung 6: Parabel nach unten geöffnet

Parabel ist in Richtung der x-Achse gestaucht, also ist sie schmaler als die Normalparabel.

Quadratische Funktionen gestauchte Parabel StudySmarterAbbildung 7: Parabel stauchen

Parabel ist in Richtung der x-Achse gestreckt, also ist sie breiter als die Normalparabel.

Quadratische Funktionen gestreckte Parabel StudySmarterAbbildung 8: Parabel strecken

Spiegelung von Parabeln

Die Normalparabel, mit der Funktionsgleichung , ist hier die Ausgangsgleichung.

Voraussetzung
Effekt
Abbildung
Spiegelung der Parabel an der x-Achse.

Quadratische Funktionen Spiegelung an der x-Achse StudySmarterAbbildung 9: Spiegelung an der x-Achse

Spiegelung der Parabel an der y-Achse.

Quadratische Funktionen Spiegelung an der y-Achse StudySmarterAbbildung 10: Spiegelung an der y-Achse

Spiegelung der Parabel am Ursprung.

Quadratische Funktionen Spiegelung am Ursprung StudySmarterAbbildung 11: Spiegelung am Ursprung

Verschiebung von Parabeln

Um eine Funktion an der x-Achse zu verschieben, gilt Folgendes:

Parabel verschieben Funktion StudySmarter

Um eine Funktion entlang der y-Achse zu verschieben, gilt Folgendes:

Parabel verschieben y Achse StudySmarter

Voraussetzung
Effekt
Abbildung
Die Parabel wird an der x-Achse nach rechts verschoben.

Quadratische Funktionen Parabel nach rechts verschieben StudySmarterAbbildung 12: Parabel nach rechts verschoben

Die Parabel wird an der y-Achse nach links verschoben.

Quadratische Funktionen Parabel nach links verschieben StudySmarterAbbildung 13: Parabel nach links verschoben

Die Parabel wird an der y-Achse nach oben verschoben.

Quadratische Funktionen Parabel nach oben verschieben StudySmarterAbbildung 15: Parabel nach oben verschoben

Die Parabel wird an der y-Achse nach unten verschoben.

Quadratische Funktionen Parabel nach unten verschieben StudySmarterAbbildung 16: Parabel nach unten verschoben

Genauere Erklärungen sowie Beispiele, findest Du im Artikel "Quadratische Funktion verändern".

Zeichnen einer Parabel

Um eine Parabel zu zeichnen, reicht es nicht, wie bei linearen Funktionen, die Werte aus der Funktionsgleichung abzulesen. Die Funktionen können Dir bei ein paar Punkten helfen, Du kannst jedoch keine gesamte Parabel damit zeichnen.

Im Folgenden wird das Vorgehen beim Zeichnen einer Parabel anhand eines Beispiels erklärt.

Aufgabe 2

Zeichne die Parabel f zu folgender Funktionsgleichung .

Lösung

1. Schritt

Als Erstes kannst Du, wie gerade erwähnt, alle Werte aufschreiben, die Du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. In diesem Fall sind das die Nullstellen und .

2. Schritt

Als Nächstes musst Du, wenn Du ihn nicht schon ablesen konntest, den Scheitelpunkt berechnen.

Wie das funktioniert, lernst Du im Artikel "Scheitelpunkt berechnen".

Da das hier zu weit führen würde, ist hier der Scheitelpunkt S der gefragten Funktionsgleichung gegeben.

3. Schritt

Danach kannst Du eine Wertetabelle anlegen.

Wenn Du schon einen Taschenrechner hast, dann kannst Du sehr viele Werte ausrechnen. Dein Taschenrechner kann eine Wertetabelle erstellen, die von einem von Dir definierten Wert a bis zu einem ebenfalls von Dir definierten Wert b geht. Auch die Größe der Schritte, also die Abstände, in denen x-Werte eingesetzt und berechnet werden, kannst Du Dir so berechnen lassen.

Rechnest Du per Hand, dauert das deutlich länger und Du musst Dir besser überlegen, welche Werte Du berechnest. Es reicht jedoch immer, wenn Du nur Werte auf einer Seite des Scheitelpunkts berechnest, da eine Parabel ja immer achsensymmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt S ist.

Für dieses Beispiel kann eine Wertetabelle beispielsweise so aussehen:

x
-5
-4-3-2-1012
y
-8-14-18-20-20-18-14-8

4. Schritt

Zum Schluss kannst Du dann noch die Punkte, die Du mit der Wertetabelle berechnet hast, in Dein Koordinatensystem eintragen und diese verbinden.

Quadratische Funktionen Parabel zeichnen StudySmarterAbbildung 16: Parabel zeichnen

Quadratische Funktionen – Das Wichtigste

  • Eine quadratische Funktion mit den reellen Koeffizienten a, b und c ist eine Funktion der Form: .

  • Quadratische Funktionen können in 3 verschiedenen Varianten dargestellt werden

    • allgemeine Form:

    • Scheitelpunktform:

    • Faktorisierte Form: .

  • Der höchste Punkt einer nach unten offenen beziehungsweise der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel wird als Scheitel oder Scheitelpunkt bezeichnet: .

  • Die Nullstellen einer quadratischen Funktion können mit 4 verschiedenen Mitteln berechnet werden:

    • Mitternachtsform

    • pq–Formel

    • Satz von Vieta

    • quadratische Ergänzung.

  • Der Graph einer quadratischen Funktion wird Parabel genannt.

  • Der zur Funktion gehörende Graph heißt Normalparabel.

  • Es gibt folgende Möglichkeiten, eine Parabel zu verändern:

    • Skalierung (Strecken, Stauchen)
    • Spiegeln an der x-Achse, y-Achse oder am Ursprung
    • Verschieben entlang der x-Achse oder y-Achse.
  • Folgende Schritte müssen befolgt werden, um eine Parabel zu zeichnen

Häufig gestellte Fragen zum Thema Quadratische Funktionen

Eine quadratische Gleichung hat folgende allgemeine Form:


f(x) = ax2 + bx + c


Der Parameter a hat Auswirkungen auf die Form des Graphen. c ist das absolute Glied und gibt den y-Achsenabschnittspunkt an. Und b gibt an, wie steil der Graph am Punkt c ist.

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel, welche entweder 0, 1 oder 2 Nullstellen hat.

Quadratische Funktionen haben die Form einer Parabel. Diese kann entweder nach oben oder nach unten geöffnet sein.

Objekte, die die Form einer Parabel haben, sind zum Beispiel:


  • Regenbogen
  • Brücke
  • Tunnel
  • Hügel

Quadratische Funktionen werden verwendet, um die Nullstellen einer Parabel herauszufinden, eine Parabel zu zeichnen, den Scheitelpunkt einer Parabel zu bestimmen und vieles mehr. Quadratische Funktionen sind in Mathe ein Thema, das Dich bis zum Abitur begleiten wird.

Finales Quadratische Funktionen Quiz

Frage

Was sind und q?

Antwort anzeigen

Antwort

und sind die Koeffiziente der quadratische Gleichung.

Frage anzeigen

Frage

​Ist die PQ Formel den Satz von Vieta?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, die PQ Formel ist nicht den Satz von Vieta aber die PQ Formel kann den Satz von Vieta beweisen.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man die Koeffiziente und q finden?

Antwort anzeigen

Antwort

die Kombination von 2 Zahlen als Teiler von q sollte die Koeffizient p auch erfüllen.

Frage anzeigen

Frage

Satz von Vieta kann nur für die Polynomfunktion von Grad 2 benutzen.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, du kannst auch für höherer Grad anwenden.

Frage anzeigen

Frage

Benutzt man den Satz von Vieta nur um die Nullstelle der quadratischen Gleichung zu rechnen?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, man kann Satz von Vieta als eine Methode für Überprüfung der richtigen Lösungen anwenden.

Frage anzeigen

Frage

Anwendung von Satz von Vieta

Antwort anzeigen

Antwort

Überprüfung der richtigen Nullstellen

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einer Veränderung von einer quadratischen Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Unter einer Veränderung von einer Quadratischen Funktion versteht man die Manipulation am Funktionsterm oder am Graph selbst.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird eine Veränderung einer quadratischen Funktion sonst noch genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Veränderung wird manchmal auch als Transformation bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Welche Möglichkeiten gibt es, um eine quadratische Funktion zu transformieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Man kann eine quadratische Funktion folgendermaßen transformieren:


  • Skalierung ( Strecken, Stauchen)
  • Spiegeln an der x-Achse, y-Achse oder am Ursprung
  • Verschieben entlang der x-Achse oder y-Achse
  • Kombination verschiedener Veränderungen
Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Parameter?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Parameter steht vor der Funktionsvariable x. Er ist veränderbar und bestimmt das Verhalten der Funktion mit.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man eine quadratische Funktion verschieben?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt folgende Arten eine Funktion zu verschieben:


  • Verschiebung entlang der x-Achse (nach rechts oder nach links)
  • Verschiebung entlang der y-Achse (nach oben oder nach unten)
Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Skalierung?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn wir eine Parabel strecken oder stauchen wollen, dann verändern wir unsere Form der Parabel. Das ganze nennt man dann Skalierung.

Frage anzeigen

Frage

Kann man auch verschiedene Veränderungen an einer quadratischen Funktion gleichzeitig vornehmen?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, man kann auch verschiedene Veränderungen gleichzeitig vornehmen.

Dafür eignet sich besonders die Scheitelpunktsform.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe das Vorgehen mit dem du die Nullstellen einer quadratischen Funktion mithilfe der Mitternachtsformel berechnen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion mit der Mitternachtsformel zu berechnen, kannst du dich an dieser Vorgehensweise orientieren.


  1. a, b und c aus der allgemeinen Form der quadratischen Funktion bestimmen.
  2. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen.
  3.  x1 und x2 berechnen.
Frage anzeigen

Frage

Nenne unterschiedliche Methoden, um Nullstellen quadratischer Funktionen zu bestimmen.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Ausklammern
  • Verwenden der Mitternachtsformel
  • Verwenden der pq-Formel
  • quadratische Ergänzung
  • ...
Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wofür die quadratische Ergänzung verwendet wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Durch die quadratische Ergänzung werden Terme, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, so umgeformt, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann.


Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann eine quadratische Funktion von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform überführt werden.


Außerdem kann sie genutzt werden, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe das Vorgehen der quadratischen Ergänzung bei einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form.

Antwort anzeigen

Antwort

Schritt 1: Ausklammern des Leitkoeffizienten a

Schritt 2: d bestimmen

Schritt 3: Quadratische Ergänzung

Schritt 4: Anwenden der binomischen Formel 

Schritt 5: Klammer auflösen und Konstanten zusammenfassen

Frage anzeigen

Frage

Was ist der letzte Schritt der quadratischen Ergänzung?

Antwort anzeigen

Antwort

Nachdem du die Funktion mit dem Term b2 für die binomische Formel ergänzt hast, musst du den gleichen Wert (b2) als letzten Schritt der quadratischen Ergänzung direkt wieder abziehen.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe das Vorgehen für die Umwandlung der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion!

Antwort anzeigen

Antwort

  • Ausklammern des Vorfaktors
  • Auswählen der passenden binomischen Formel
  • Bestimmen von a und b der binomischen Formel
  • quadratische Ergänzung & direktes Abziehen
  • Anwenden der binomischen Formel 
Frage anzeigen

Frage

Beschreibe das Vorgehen für die Umwandlung der Scheitelpunktform in die Allgemeine Form einer quadratischen Funktion!

Antwort anzeigen

Antwort

  • Anwenden der binomischen Formel
  • Ausmultiplizieren & Zusammenfassen
Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Tangente?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem Punkt P berührt, heißt Tangente.

Frage anzeigen

Frage

Was gibt die Tangente an einer Parabel an?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Tangente gibt in einem Punkt einer Funktion an, wie die Steigung des Graphens in diesem Punkt ist.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Schritte zur Berechnung einer Tangentengleichung ohne Ableitung an.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Setze die Funktionsgleichung und allgemeine Tangentengleichung gleich.
  2. Setze den Punkt P in die Tangentengleichung ein und stelle nach n um.
  3. Ersetze das n mit der Gleichung aus Schritt 2 in der Gleichung von Schritt 1.
  4. Löse die Gleichung so auf das Du die pq-Formel anwenden kannst.
  5. In der pq-Formel darf nur eine Lösung rauskommen, setze deshalb den Wurzelterm gleich null.
  6. Löse den Wurzelterm mithilfe der pq-Formel. Du erhältst den Anstieg m.
  7. Setze m in die Gleichung von Schritt 2 ein und berechne n.
  8. Stelle die Tangentengleichung auf.
Frage anzeigen

Frage

Wie kannst Du eine Tangente an einer Parabel konstruieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Steigungsdreieck

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Sekante?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Funktion oder Figur schneidet.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Passante?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Passante ist eine Gerade, die eine Funktion oder Figur weder berührt noch schneidet. Sie verläuft daran vorbei.


Frage anzeigen

Frage

Wie erkennst Du, ob eine Geraden zu einer Funktion eine Passante, Tangente oder Sekante ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Du setzt die Geradengleichung und Funktionsgleichung gleich.

Wenn Du: 

  • nur eine Lösung bekommst, handelt es sich bei der Geraden um eine Tangente.
  • zwei Lösungen bekommst, handelt es sich bei der Geraden um eine Sekante.
  • keine Lösung bekommst, handelt es sich bei der Geraden um eine Passante.


Frage anzeigen
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