Substitution Nullstellen: Erklärung, Formel, Beispiel

Inhaltsangabe

Auch in der Mathematik spielt das eine Rolle: Hier bezeichnet die Substitution den Vorgang, in dem ein Teil eines Terms durch einen anderen ersetzt wird. Meistens vereinfacht Dir dabei die Anwendung der p/q-Formel die Rechnung.

Substitution – Erklärung

Mithilfe der Substitution kannst Du Gleichungen nach x auflösen. Vor allem bei solchen mit hohen Polynomen ist das häufig mit großem Aufwand verbunden. Durch die Substitution kannst Du Dir den Weg erleichtern, indem Du x² durch z ersetzt. Dadurch kannst Du die Gleichung auflösen und anschließend wieder x einsetzen (Resubstitution). So gelingt es Dir, die Nullstellen zu ermitteln.

Doch bevor Du die Definition zur Substitution kennenlernst, solltest Du wissen, was Nullstellen überhaupt sind.

Eine Nullstelle einer Funktion $f (x)$ ist eine Zahl a aus der Definitionsmenge $D$ der Funktion, für die $f (a) = 0$ gilt.

Grafisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnitt- oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.

Dabei ist die Nullstelle einer der wichtigsten Schnittpunkte einer Funktion. Sie gehört neben dem y-Achsenabschnitt zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen.

Substitution Nullstellen StudySmarter Abbildung 1: Nullstellen

Häufig berechnest Du Nullstellen mithilfe der pq-Formel.

Mithilfe der p/q-Formel kannst Du Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen. Dafür benötigst Du folgenden Ausdruck:

$x_{\frac{1}{2}} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

Voraussetzung dafür ist die quadratische Funktion in Normalform:

$x^{2} + p x + q = 0$

Substitution Nullstellen – Ganzrationale Funktionen

Nun wirst Du lernen, wie man die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion mithilfe der Substitution berechnet.

Unter der Substitution versteht man den Austausch eines Terms durch einen neuen. Dabei erfüllt der Term denselben Zweck:

$x^{2} = z$

Die Resubstitution stellt die Wiederherstellung des Terms dar. Die Veränderung wird rückgängig gemacht:

$z = x^{2}$

Substitutionsverfahren – Anleitung

Für das Substitutionsverfahren benötigst Du die vier folgenden Schritte:

1. Schritt:

Hier ersetzt Du jedes x²durch ein z.

2. Schritt

Die neue Gleichung kannst Du jetzt mit der Mitternachtsformel oder der p/q-Formel berechnen und nach z auflösen.

3. Schritt

Nun gelangst Du zur Resubstitution, bei der Du den Parameter z wieder mit x² tauschst.

4. Schritt

Zum Schluss musst Du noch die Wurzel ziehen, um x zu erhalten.

Häufig wird die Substitution bei der Ermittlung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen angewendet. Daher wirst Du jetzt mehr über diese Funktionen erfahren.

Ganzrationale Funktionen – Formel

Diese Funktionen werden auch als Polynomfunktionen (mehrgliedrige Terme) bezeichnet.

Unter einer ganzrationalen Funktion oder Polynomfunktion des Grades n versteht man eine reelle Funktion mit

Substitution Nullstellen Ganzrationale Funktionen Formel StudySmarter

Substitution Nullstellen Polynomfunktion StudySmarter

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ .

Dabei verändert sich die Funktion entsprechend dem Wert, den Du für n einsetzt.

Substitution ganzrationale Funktion StudySmarter Abbildung 2: Ganzrationale Funktion

Die Parameter des Funktionsterms nennst Du folgendermaßen:

Koeffizienten		$f (x) = a_{n} x^{n} \to f (x) = 2 x^{2} + 3 x^{3}$
Exponenten	n, n-1, 2, 1, 0	$f (x) = a_{n} x^{n} \to f (x) = 2 x^{2} + 3 x^{3}$
Grad	der höchste vorkommende Exponent (hier n)	$f (x) = a_{n} x^{n} \to f (x) = 2 x^{2} + 3 x^{3}$
Leitkoeffizient	Koeffizient vor dem größten vorkommenden Exponenten (hier)	$f (x) = a_{n} x^{n} \to f (x) = 2 x^{2} + 3 x^{3}$

Nullstellen mit der pq-Formel ermitteln

Da die Ermittlung der Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen kompliziert ist, kannst Du hier die Substitution anwenden.

Aufgabe

Löse die folgende Gleichung mithilfe der Substitution:

$f (x) = x^{4} + x^{2} + 4 = 8$

Da Du diese Gleichung nicht einfach nach x auflösen kannst, nutzt Du die Substitution zur Vereinfachung. Hierbei gehst Du nach den oben genannten Schritten vor.

1. Schritt: x² durch z ersetzen

$x^{2} = z x^{4} = z^{2}$

$f (z) = z^{2} + z + 4 = 8$

In diesem Schritt siehst Du, wie Du x² durch z ersetzen kannst. Somit gelingt es Dir im nächsten Schritt, die Nullstellen mithilfe der pq-Formel zu ermitteln.

2. Schritt: pq-Formel

$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

Um die p/q-Formel anzuwenden, musst Du die Gleichung gleich 0 setzen:

$z^{2} + z + 4 = 6 - 6 z^{2} + z - 2 = 0$

Nun kannst Du p und q ermitteln:

$p = 1 q = - 2$

Setze p und q in die Formel ein:

$\begin{array}{rcl} z_{\frac{1}{2}} & = & - \frac{1}{2} \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2} \\ z_{1} & = & - \frac{1}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)} = 1 \\ z_{2} & = & - \frac{1}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)} = - 2 \end{array}$

In diesem Schritt hast Du die Nullstellen mithilfe der p/q-Formel berechnet. Nun kannst Du im nächsten Schritt resubstituieren.

3. Schritt: Resubstitution

Ersetze z mit x²:

$z_{1} = 1 \leftrightarrow x^{2} = 1 z_{2} = - 2 \leftrightarrow x^{2} = - 2$

Damit Du wieder zu Deinem Ursprungsformat gelangst, musst Du Deine Nullstellen für Deine eigentliche Gleichung berechnen. Das machst Du, indem Du die Wurzeln ziehst.

4. Schritt: Wurzel ziehen

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 1 \\ x_{\frac{1}{2}} & = & \pm 1 \\ x^{2} & = & - 2 \\ x_{\frac{3}{4}} & = & K e i n e L ö s u n g \end{array}$

Da Du aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kannst, gibt es in diesem Fall nur zwei Lösungen, welche $x_{1} = 1$ und $x_{2} = - 1$ lauten.

Substitution Nullstellen StudySmarter Abbildung 3: Nullstellen

Durch die Substitution konntest Du soeben die Nullstellen Deiner Gleichung ermitteln.

Nullstellen mithilfe der Polynomdivision berechnen – Beispiel

Du kannst dieses Verfahren nicht immer anwenden. Bei manchen Funktionen musst Du auf die Polynomdivision zurückgreifen.

Mithilfe der Polynomdivision kannst Du die Nullstellen einer Polynomfunktion ermitteln. Dabei verfährst Du wie folgt.

Du kannst dabei die Regeln der schriftlichen Division beachten. Mehr zur Polynomdivision findest Du in der gleichnamigen Erklärung.

Stell Dir vor, Du hast die Polynomfunktion

$f (x) = 2 x^{2} - x - 1$

gegeben und möchtest ihre Nullstellen herausfinden.

1. Schritt

Eine Nullstelle durch Ausprobieren ermitteln:

$f (1) = 2 \cdot 1^{2} - 1 - 1 = 0$

Die Funktion besitzt eine Nullstelle bei $x = 1$ .

2. Schritt

Teile die Funktion durch x minus der Nullstelle aus Schritt 1:

$(2 x^{2} - x - 1) : (x - 1)$

3. Schritt

Teile $x^{2}$ durch $x$ :

$(2 x^{2} - x - 1) : (x - 1) = 2 x$

Womit musst Du x multiplizieren, um x² zu erhalten?

4. Schritt

Multipliziere das Ergebnis mit der Klammer hinter dem Divisionszeichen und schreibe es unter das Polynom:

$\begin{array}{cl} (2 x^{2} - x - 1) : (x - 1) = 2 x \\ - & (2 x^{2} - 2 x) \end{array}$

Du darfst dabei nicht vergessen, ein Minus vor Dein Ergebnis zu setzen.

5. Schritt

Subtrahiere das ursprüngliche Polynom mit dem Ergebnis aus Schritt 4:

$\begin{array}{cl} (2 x^{2} - x - 1) : (x - 1) = 2 x \\ - & (2 x^{2} - 2 x) \\ x - 1 \end{array}$

6. Schritt

Teile Dein Zwischenergebnis $x$ wie im zweiten Schritt durch x:

$\begin{array}{cl} (2 x^{2} - x - 1) : (x - 1) = 2 x + 1 \\ - & (2 x^{2} - 2 x) \\ x - 1 \end{array}$

7. Schritt

Multipliziere Dein Ergebnis 1 mit der zweiten Klammer und subtrahiere anschließend:

$\begin{array}{cl} (2 x^{2} - x - 1) : (x - 1) = 2 x + 1 \\ - & (2 x^{2} - 2 x) \\ x - 1 \\ - & (x - 1) \\ 0 \end{array}$

Nun hast Du Dein Ergebnis der Polynomdivision ermittelt. Du kannst weitere Nullstellen der Funktion finden, indem Du das Ergebnis nach x auflöst:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 2 x + 1 = 0 & | - 1 \\ 2 x = - 1 & | : 2 \\ x = - 0, 5 \end{matrix} \end{array}$

Die Funktion besitzt zwei Nullstellen: $x_{1} = 1; x_{2} = - 0, 5$ .

Substitution Nullstellen – Aufgaben mit Lösung

Damit Du das Thema gut verinnerlichen kannst, folgen hier ein paar Übungsaufgaben.

Aufgabe 1

Löse die folgende Gleichung mithilfe der Substitution:

$x^{4} - 18 x^{2} + 18 = 0$

Lösung

1. Schritt: x² durch z ersetzen

$x^{2} = z x^{4} = z^{2}$

$f (z) = z^{2} - 18 z + 18 = 0$

2. Schritt: p/q-Formel

$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

$z^{2} - 18 z + 18 = 0$

Nun kannst Du p und q ermitteln:

$p = - 18 q = 18$

Setze p und q in die Formel ein:

$\begin{array}{rcl} z_{\frac{1}{2}} & = & - (- \frac{18}{2}) \pm \sqrt{{(\frac{18}{2})}^{2} - 18} \\ z_{1} & = & \frac{18}{2} + \sqrt{{(\frac{18}{2})}^{2} - 18} = 16, 937 \\ z_{2} & = & \frac{18}{2} - \sqrt{{(\frac{18}{2})}^{2} - 18} = 1, 063 \end{array}$

3. Schritt: Resubstitution

Jetzt ersetzt Du z mit x²:

$z_{1} = 16, 937 \leftrightarrow x^{2} = 16, 937 z_{2} = 1, 063 \leftrightarrow x^{2} = 1, 063$

4. Schritt: Wurzel ziehen

Um x zu erhalten, ziehst Du nun die Wurzel:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 16, 937 \\ x_{\frac{1}{2}} & = & \pm 4, 115 \\ x^{2} & = & 1, 063 \\ x_{\frac{3}{4}} & = & \pm 1, 031 \end{array}$

Du erhältst somit die Nullpunkte an den Stellen $x_{\frac{1}{2}} = \pm 4, 115, x_{\frac{3}{4}} = \pm 1, 031$ .

Aufgabe 2

Löse die folgende Gleichung mithilfe der Substitution:

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 = 0$

Lösung

1. Schritt: x² durch z ersetzen

$x^{2} = z x^{4} = z^{2}$

2. Schritt: p/q-Formel

$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

$p = - 3 q = 2$

Setze p und q in die Formel ein:

$\begin{array}{rcl} z_{\frac{1}{2}} & = & - (- \frac{3}{2}) \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2} \\ z_{1} & = & \frac{3}{2} + \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2} = 2 \\ z_{2} & = & \frac{3}{2} - \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2} = 1 \end{array}$

3. Schritt: Resubstitution

Jetzt ersetzt du z mit x²:

$z_{1} = 2 \leftrightarrow x^{2} = 2 z_{2} = 1 \leftrightarrow x^{2} = 1$

4. Schritt: Wurzel ziehen

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 2 \\ x_{\frac{1}{2}} & = & \pm 1, 414 \\ x^{2} & = & 1 \\ x_{\frac{3}{4}} & = & \pm 1 \end{array}$

Du erhältst somit die Nullpunkte an den Stellen $x_{\frac{1}{2}} = \pm 1, 414, x_{\frac{3}{4}} = \pm 1$ .

Substitution Nullstellen StudySmarter Abbildung 4: Nullstellen

Aufgabe 3

Löse die folgende Gleichung mithilfe der Substitution:

$f (x) = 2 x^{4} - 16 x^{2} + 4$

Lösung

1. Schritt:

$x^{2} = z x^{4} = z^{2}$

2. Schritt:

$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

$\begin{array}{rcl} 2 z^{2} - 16 z + 4 & = & 0 \div 2 \\ z^{2} - 8 z + 2 & = & 0 \end{array}$

$p = - 8 q = 2$

Setze p und q in die Formel ein:

$\begin{array}{rcl} z_{\frac{1}{2}} & = & - (- \frac{8}{2}) \pm \sqrt{{(\frac{8}{2})}^{2} - 2} \\ z_{1} & = & \frac{8}{2} + \sqrt{{(\frac{8}{2})}^{2} - 2} = 7, 741 \\ z_{2} & = & \frac{8}{2} - \sqrt{{(\frac{8}{2})}^{2} - 2} = 0, 258 \end{array}$

3. Schritt:

$z_{1} = 7, 741 \leftrightarrow x^{2} = 7, 741 z_{2} = 0, 258 \leftrightarrow x^{2} = 0, 258$

4. Schritt:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 7, 741 \\ x_{\frac{1}{2}} & = & \pm 2, 782 \\ x^{2} & = & 0, 258 \\ x_{\frac{3}{4}} & = & \pm 0, 508 \end{array}$

Du erhältst somit die Nullpunkte an den Stellen $x_{\frac{1}{2}} = \pm 2, 782, x_{\frac{3}{4}} = \pm 0, 508$ .

Substitution Nullstellen StudySmarter Abbildung 5: Nullstellen

Substitution Nullstellen – Das Wichtigste

Mithilfe der Substitution kannst Du Gleichungen nach x auflösen.
Sie ermöglicht Dir meistens die Anwendung der p/q-Formel und vereinfacht Dir somit die Rechnung.
Unter der p/q-Formel versteht man den Austausch eines Terms durch einen neuen: $x^{2} = z$
Die Resubstitution ist die Wiederherstellung des ursprünglichen Terms: $z = x^{2}$
Für die Substitution benötigst Du vier Schritte:
- 1. Schritt: x² durch z ersetzen.
- 2. Schritt: p-q-Formel
- 3. Schritt: z durch x² ersetzen
- 4. Schritt: Wurzel ziehen

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Substitution Nullstellen

Wie geht das Substitutionsverfahren?

Das Substitutionsverfahren besteht aus der Substitution und Resubstitution. Das heißt, du ersetzt einen Term in einer Funktion mit einem Term, welcher die gleiche Bedeutung hat. Somit gelingt es dir einfacher, eine Funktion nach x aufzulösen. Bei der Resubstitution änderst du diesen Term wieder zum Ausgangsterm.

Wann Substitution und wann Polynomdivision?

Du kannst die Substitution verwenden, wenn alle Exponenten der Funktion gerade sind. Ist dies nicht der Fall musst du auf die Polynomdivision zurückgreifen.

Was ist das Substitutionsverfahren?

Unter der Substitution versteht man den Austausch eines Terms durch einen neuen. Dabei erfüllt der Term den selben Zweck.

Warum ist die Grenzrate der Substitution negativ?

Die Grenzrate der Substitution ist immer negativ. Denn wenn der Konsument auf eine Einheit von Gut 1 verzichtet, muss er die konsumierte Menge von Gut 2 erhöhen, damit der erreichte Nutzen konstant bleibt. Darum ist die Grenzrate der Substitution negativ.

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