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In einigen Fällen kann das Medikament eines Herstellers mit einem ähnlichen Heilmittel eines anderen Produzenten ersetzt werden, ohne dass die gewünschte Wirkung verloren geht. Das ersetzende Medikament stellt dann ein Substitut dar.
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Jetzt kostenlos anmeldenIn einigen Fällen kann das Medikament eines Herstellers mit einem ähnlichen Heilmittel eines anderen Produzenten ersetzt werden, ohne dass die gewünschte Wirkung verloren geht. Das ersetzende Medikament stellt dann ein Substitut dar.
Auch in der Mathematik spielt das eine Rolle: Hier bezeichnet die Substitution den Vorgang, in dem ein Teil eines Terms durch einen anderen ersetzt wird. Meistens vereinfacht Dir dabei die Anwendung der p/q-Formel die Rechnung.
Mithilfe der Substitution kannst Du Gleichungen nach x auflösen. Vor allem bei solchen mit hohen Polynomen ist das häufig mit großem Aufwand verbunden. Durch die Substitution kannst Du Dir den Weg erleichtern, indem Du x2 durch z ersetzt. Dadurch kannst Du die Gleichung auflösen und anschließend wieder x einsetzen (Resubstitution). So gelingt es Dir, die Nullstellen zu ermitteln.
Doch bevor Du die Definition zur Substitution kennenlernst, solltest Du wissen, was Nullstellen überhaupt sind.
Eine Nullstelle einer Funktionist eine Zahl a aus der Definitionsmengeder Funktion, für diegilt.
Grafisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnitt- oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.
Dabei ist die Nullstelle einer der wichtigsten Schnittpunkte einer Funktion. Sie gehört neben dem y-Achsenabschnitt zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen.
Häufig berechnest Du Nullstellen mithilfe der pq-Formel.
Mithilfe der p/q-Formel kannst Du Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen. Dafür benötigst Du folgenden Ausdruck:
Voraussetzung dafür ist die quadratische Funktion in Normalform:
Nun wirst Du lernen, wie man die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion mithilfe der Substitution berechnet.
Unter der Substitution versteht man den Austausch eines Terms durch einen neuen. Dabei erfüllt der Term denselben Zweck:
Die Resubstitution stellt die Wiederherstellung des Terms dar. Die Veränderung wird rückgängig gemacht:
Für das Substitutionsverfahren benötigst Du die vier folgenden Schritte:
1. Schritt:
Hier ersetzt Du jedes x2 durch ein z.
2. Schritt
Die neue Gleichung kannst Du jetzt mit der Mitternachtsformel oder der p/q-Formel berechnen und nach z auflösen.
3. Schritt
Nun gelangst Du zur Resubstitution, bei der Du den Parameter z wieder mit x2 tauschst.
4. Schritt
Zum Schluss musst Du noch die Wurzel ziehen, um x zu erhalten.
Häufig wird die Substitution bei der Ermittlung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen angewendet. Daher wirst Du jetzt mehr über diese Funktionen erfahren.
Diese Funktionen werden auch als Polynomfunktionen (mehrgliedrige Terme) bezeichnet.
Unter einer ganzrationalen Funktion oder Polynomfunktion des Grades n versteht man eine reelle Funktion mit
,.
Dabei verändert sich die Funktion entsprechend dem Wert, den Du für n einsetzt.
Die Parameter des Funktionsterms nennst Du folgendermaßen:
Koeffizienten | ||
Exponenten | n, n-1, 2, 1, 0 | |
Grad | der höchste vorkommende Exponent (hier n) | |
Leitkoeffizient | Koeffizient vor dem größten vorkommenden Exponenten (hier) |
Da die Ermittlung der Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen kompliziert ist, kannst Du hier die Substitution anwenden.
Aufgabe
Löse die folgende Gleichung mithilfe der Substitution:
Da Du diese Gleichung nicht einfach nach x auflösen kannst, nutzt Du die Substitution zur Vereinfachung. Hierbei gehst Du nach den oben genannten Schritten vor.
1. Schritt: x2 durch z ersetzen
In diesem Schritt siehst Du, wie Du x2 durch z ersetzen kannst. Somit gelingt es Dir im nächsten Schritt, die Nullstellen mithilfe der pq-Formel zu ermitteln.
2. Schritt: pq-Formel
Um die p/q-Formel anzuwenden, musst Du die Gleichung gleich 0 setzen:
Nun kannst Du p und q ermitteln:
Setze p und q in die Formel ein:
In diesem Schritt hast Du die Nullstellen mithilfe der p/q-Formel berechnet. Nun kannst Du im nächsten Schritt resubstituieren.
3. Schritt: Resubstitution
Ersetze z mit x2:
Damit Du wieder zu Deinem Ursprungsformat gelangst, musst Du Deine Nullstellen für Deine eigentliche Gleichung berechnen. Das machst Du, indem Du die Wurzeln ziehst.
4. Schritt: Wurzel ziehen
Da Du aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kannst, gibt es in diesem Fall nur zwei Lösungen, welcheundlauten.
Durch die Substitution konntest Du soeben die Nullstellen Deiner Gleichung ermitteln.
Du kannst dieses Verfahren nicht immer anwenden. Bei manchen Funktionen musst Du auf die Polynomdivision zurückgreifen.
Mithilfe der Polynomdivision kannst Du die Nullstellen einer Polynomfunktion ermitteln. Dabei verfährst Du wie folgt.
Du kannst dabei die Regeln der schriftlichen Division beachten. Mehr zur Polynomdivision findest Du in der gleichnamigen Erklärung.
Stell Dir vor, Du hast die Polynomfunktion
gegeben und möchtest ihre Nullstellen herausfinden.
1. Schritt
Eine Nullstelle durch Ausprobieren ermitteln:
Die Funktion besitzt eine Nullstelle bei.
2. Schritt
Teile die Funktion durch x minus der Nullstelle aus Schritt 1:
3. Schritt
Teiledurch:
Womit musst Du x multiplizieren, um x2 zu erhalten?
4. Schritt
Multipliziere das Ergebnis mit der Klammer hinter dem Divisionszeichen und schreibe es unter das Polynom:
Du darfst dabei nicht vergessen, ein Minus vor Dein Ergebnis zu setzen.
5. Schritt
Subtrahiere das ursprüngliche Polynom mit dem Ergebnis aus Schritt 4:
6. Schritt
Teile Dein Zwischenergebniswie im zweiten Schritt durch x:
7. Schritt
Multipliziere Dein Ergebnis 1 mit der zweiten Klammer und subtrahiere anschließend:
Nun hast Du Dein Ergebnis der Polynomdivision ermittelt. Du kannst weitere Nullstellen der Funktion finden, indem Du das Ergebnis nach x auflöst:
Die Funktion besitzt zwei Nullstellen:.
Damit Du das Thema gut verinnerlichen kannst, folgen hier ein paar Übungsaufgaben.
Aufgabe 1
Löse die folgende Gleichung mithilfe der Substitution:
Lösung
1. Schritt: x2 durch z ersetzen
2. Schritt: p/q-Formel
Nun kannst Du p und q ermitteln:
Setze p und q in die Formel ein:
3. Schritt: Resubstitution
Jetzt ersetzt Du z mit x2:
4. Schritt: Wurzel ziehen
Um x zu erhalten, ziehst Du nun die Wurzel:
Du erhältst somit die Nullpunkte an den Stellen.
Aufgabe 2
Löse die folgende Gleichung mithilfe der Substitution:
Lösung
1. Schritt: x2 durch z ersetzen
2. Schritt: p/q-Formel
Setze p und q in die Formel ein:
3. Schritt: Resubstitution
Jetzt ersetzt du z mit x2:
4. Schritt: Wurzel ziehen
Du erhältst somit die Nullpunkte an den Stellen .
Aufgabe 3
Löse die folgende Gleichung mithilfe der Substitution:
Lösung
1. Schritt:
2. Schritt:
Setze p und q in die Formel ein:
3. Schritt:
4. Schritt:
Du erhältst somit die Nullpunkte an den Stellen .
Das Substitutionsverfahren besteht aus der Substitution und Resubstitution. Das heißt, du ersetzt einen Term in einer Funktion mit einem Term, welcher die gleiche Bedeutung hat. Somit gelingt es dir einfacher, eine Funktion nach x aufzulösen. Bei der Resubstitution änderst du diesen Term wieder zum Ausgangsterm.
Du kannst die Substitution verwenden, wenn alle Exponenten der Funktion gerade sind. Ist dies nicht der Fall musst du auf die Polynomdivision zurückgreifen.
Unter der Substitution versteht man den Austausch eines Terms durch einen neuen. Dabei erfüllt der Term den selben Zweck.
Die Grenzrate der Substitution ist immer negativ. Denn wenn der Konsument auf eine Einheit von Gut 1 verzichtet, muss er die konsumierte Menge von Gut 2 erhöhen, damit der erreichte Nutzen konstant bleibt. Darum ist die Grenzrate der Substitution negativ.
Wie kann man die Substitution an einer ganzrationalen Funktion anwenden?
Für die Substitution einer ganzrationalen Funktion benötigst du 4.Schritte:
1.Schritt:
Im ersten Schritt ersetzt du jedes x2 durch ein z.
2.Schritt
Da du nun eine Gleichung mit z hast, welche du mit der Mitternachtsformel oder der p-q-Formel berechnen kannst, kannst du die sie nun nach z auflösen
3.Schritt
Nun kommst du zur Resubstitution, bei welcher du den Parameter z wieder mit x2 tauschst.
4.Schritt
Nun musst du nur noch die Wurzel ziehen, um x zu erhalten
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