Der Graph einer linearen Funktion ist, wie Du in der Abbildung siehst, eine Gerade, welche oft beide Koordinatenachsen in jeweils einem Punkt schneidet. Diese Punkte nennt man Achsenschnittpunkte, genauer heißt der Schnittpunkt mit der y-Achse y-Achsenabschnitt und der mit der x-Achse Nullstelle. Diese Erklärung zeigt Dir, wie Du die Schnittpunkte mit den jeweiligen Achsen berechnest und welche besonderen linearen Funktionen es gibt.
Abbildung 1: Beispiel einer linearen Funktion
Achsenschnittpunkte berechnen linearer Funktionen Definition
Der Graph – also der Verlauf einer linearen Funktion – wird in einem Koordinatensystem dargestellt. Die Stellen, an denen der Graph die Koordinatenachsen schneidet, nennst Du Achsenschnittpunkte. Ein Achsenschnittpunkt mit der y-Achse nennt sich y-Achsenabschnitt. Der Schnittpunkt einer Funktion mit der x-Achse nennt sich Nullstelle.
Achsenschnittpunkte sind die Schnittpunkte einer linearen Funktion mit der x-Achse und der y-Achse eines Koordinatensystems.
Achsenschnittpunkte im Koordinatensystem ablesen
Wenn Du zu einer Funktion bereits einen Graphen gegeben hast, kannst Du die Achsenschnittpunkte ablesen, anstatt sie berechnen zu müssen. Das machst Du, indem Du Dir die x- und y-Achse anschaust und die Stellen suchst, an denen diese vom Graphen geschnitten werden. Dort hast Du die Achsenschnittpunkte gegeben.
In der Abbildung siehst Du den Graphen der linearen Funktion \(f(x) = 3x + 3\).
Abbildung 2: Beispiel für eine lineare Funktion
Achsenschnittpunkte können sowohl im negativen als auch im positiven Bereich der x- und y-Achse liegen.
Wie Du siehst, schneidet der Graph der Funktion \(f(x) = 3x + 3\) sowohl die x-Achse, als auch die y-Achse.
Der Schnittpunkt mit der x-Achse, die sogenannte Nullstelle, liegt bei \(x = -1\), während der Schnittpunkt mit der y-Achse, der y-Achsenabschnitt, bei \(y = 3\) liegt.
Achsenschnittpunkte lineare Funktionen - Bedeutung
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen haben eine große Bedeutung für das Verständnis einer linearen Funktion. Wenn Du wichtige Punkte einer Funktion berechnen willst, sind die Achsenschnittpunkte mit die wichtigsten Berechnungen. Mit ihnen kannst Du Dir schon im Kopf ein Bild des Graphen machen, noch bevor Du ihn eigentlich zeichnest.
Achsenschnittpunkte lineare Funktionen - Berechnung der x-Achse
Jetzt betrachtest Du Dir die lineare Funktion, ohne vorher eine Darstellung des Graphen gesehen zu haben.
Wenn eine Funktion \(f(x)\) mit der x-Achse geschnitten wird, dann ist der y-Wert an diesem Punkt gleich null, d.h. Du setzt die Funktionsgleichung gleich 0.
Wenn \(y = 0\), folgt daraus:
\[\begin{align} f(x) &= m\cdot x + b\\y &= m\cdot x + b\\0 &= m\cdot x + b\end{align}\]
Der Achsenschnittpunkt einer Funktion mit der x-Achse wird auch Nullstelle der Funktion genannt.
Die oben erwähnten Nullstellen sind x-Werte, die einen Funktionswert von 0 haben. Wenn Du also die x-Koordinate eines Schnittpunkts mit der x-Achse in Deine Funktion \(f(x)\) einsetzt und nach der Berechnung 0 als Ergebnis herauskommt, ist dieser Schnittpunkt eine Nullstelle.
Achsenschnittpunkte mit der x-Achse – Darstellung in Koordinaten
Um den Punkt in einem Koordinatensystem festzustellen und einzuzeichnen, benötigst Du die passenden Koordinaten. Jeder Punkt, der auf der x-Achse liegt, hat eine Null als y-Koordinate.
Allgemein lauten die Koordinaten eines Achsenschnittpunktes mit der x-Achse:
\[S1(x|0)\]
Achsenschnittpunkte mit der x-Achse – Berechnung
1. Schritt: Formuliere die Funktion als Gleichung:
\[\begin{align} f(x) &= m\cdot x + b\\y &= m\cdot x + b\end{align}\]
2. Schritt: Setze den allgemeinen Punkt \(S1(x|0)\) ein, x bleibt gleich und für y setzt Du 0 ein:
\[0 = m\cdot x + b\]
3. Schritt: Löse die Gleichung nach x auf:
\[x = \frac{0-b}{m}\]
4. Schritt: Setze den x-Wert in den Achsenschnittpunkt ein:
\[S1(x|0)\]
Berechne, an welcher Stelle die lineare Funktion \(f(x) = 3x-2\) die x-Achse schneidet.
1. Schritt: \(f(x) = 3x-2\) wird umgeschrieben als:
\[y = 3x-2\]
2. Schritt: Setze den allgemeinen Punkt \(S1(x|0)\) ein:
\[0 = 3x-2\]
3. Schritt: Löse die Gleichung nach x auf:
\[\begin{align} 3x-2 &= 0~~~~~~| +2\\3x &= 2~~~~~~| : 3\\x &= \frac{2}{3}\end{align}\]
4. Schritt: Der x-Wert wird als Koordinate in den allgemeinen Punkt \(S1(x|0)\) eingefügt:
\[S1\left(\frac{2}{3}|0\right)\]
Zeichne anschließend den Schnittpunkt \(S1\left(\frac{2}{3}|0\right)\) in ein Koordinatensystem ein.
Abbildung 3: Erster Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der x-Achse
Achsenschnittpunkte lineare Funktionen – Berechnung der y-Achse
Die Berechnung eines Achsenschnittpunktes mit der y-Achse folgt fast dem gleichen Prinzip wie die Berechnung an der x-Achse.
Wenn eine Funktion \(f(x)\) mit der y-Achse geschnitten wird, dann ist der x-Wert an diesem Punkt gleich null.
Wenn \(x=0\), folgt daraus:
\[\begin{align} f(x) &= m\cdot x + b\\y &= m\cdot x + b\\y &= m \cdot 0 + b\end{align}\]
Achsenschnittpunkt mit der y-Achse – Darstellung in Koordinaten
Um den Punkt in einem Koordinatensystem festzustellen und einzuzeichnen, benötigst Du die passenden Koordinaten.
Jeder Punkt, der auf der y-Achse liegt, hat eine 0 als x-Koordinate.
Allgemein lauten die Koordinaten eines Achsenschnittpunktes mit der y-Achse:
\[S(0|y)\]
Achsenschnittpunkt mit der y-Achse - Berechnung
1. Schritt: Formuliere die Funktion in eine Gleichung:
\[\begin{align}f(x) &= m \cdot x + b\\y &= m \cdot x + b\end{align}\]
2. Schritt: Setze den allgemeinen Punkt \(S(0|y)\) ein:
\[\begin{align}f(0) &= m \cdot x + b\\y &= m \cdot 0 + b\end{align}\]
3. Schritt: Löse die Gleichung dann nach y auf:
\[y = b\]
4. Schritt: Setze den y-Wert in den Achsenschnittpunkt ein:
\[S2(0|y)\]
Wie Du in der Berechnung des y-Achsenabschnittes siehst, entspricht der y-Wert des Schnittpunkts dem Parameter b aus der Gleichung. Aus diesem Grund kannst Du den y-Achsenabschnitt auch aus der Gleichung ablesen und musst ihn nicht immer berechnen, wenn es die Aufgabe nicht verlangt.
Berechne den y-Achsenabschnitt der Funktion \(f(x) = 3x - 2\).
1. Schritt: Schreibe die Funktion \(f(x) = 3x-2\) als Gleichung mit den Variablen x und y:
\[y = 3x - 2\]
2. Schritt: Setze den allgemeinen Punkt \(S(0|y\) ein:
\[y = 3 \cdot 0 - 2\]
3. Schritt: Löse die Gleichung nach y auf:
\[\begin{align} y &= 3 \cdot 0 - 2\\y &= -2\end{align}\]
4. Schritt: Füge den berechneten y-Wert in den Punkt \(S(0|y)\) ein:
\[S2(0|-2)\]
Zeichne diesen Schnittpunkt auch in das Koordinatensystem ein.
Abbildung 4: Zweiter Schnittpunkt der Funktion f(x)
Da Du die zwei Achsenschnittpunkte der linearen Funktion \(f(x) = 3x - 2\) berechnet hast, kannst Du die Funktion durch die beiden Punkte zeichnen. Dafür verbindest Du lediglich die zwei Punkte durch eine Gerade.
Jede lineare Funktion läuft unendlich lang und hat keinen definierten Start- und Endpunkt, weswegen Du beim Zeichnen einer linearen Funktion nicht nur die Punkte miteinander verbindest, sondern die Funktion noch über die Punkte hinaus zeichnest.
Abbildung 5: komplette Funktion eingezeichnet
Achsenschnittpunkte berechnen lineare Funktionen – Besonderheiten
Es gibt eine unendlich große Menge an unterschiedlichen linearen Funktionen. Diese Funktionen haben nicht immer zwei Achsenschnittpunkte, die Du berechnen kannst. Bei manchen kommt es vor, dass sie nur einen Achsenschnittpunkt oder einen gemeinsamen Achsenschnittpunkt besitzen.
Achsenschnittpunkte berechnen lineare Funktionen – nur ein y-Achsenschnittpunkt
Funktionsgraphen, die parallel zu der x-Achse verlaufen, haben nur einen y-Achsenschnittpunkt. Sie werden auch Konstante Funktionen genannt, da sie keine Steigung besitzen und immer konstant parallel zur x-Achse verlaufen.
Die konstanten Funktionen haben immer die Form \(f(x) = b\).
Bei einer linearen Funktion mit dem Steigungsparameter m gleich null, zählt nur der Parameter b.
Das heißt, es wird jedem x-Wert der Funktion der gleiche y-Wert zugewiesen.
Den Schnittpunkt mit der y-Achse kannst Du nach dem Schema, welches Dir weiter oben gezeigt wurde, berechnen.
Wenn \(m = 0\), dann folgt daraus:
\[\begin{align} f(x) &= m \cdot x + b \to y = m \cdot x + b\\f(0) &= 0 \cdot 0 + b \to y = 0 \cdot 0 + b\end{align}\]
\[f(0) = b \to y = b\]
\[S(0|y) \to S(0|b)\]
Wie Du in der Rechnung siehst, ist das b in der allgemeinen Funktionsgleichung für lineare Funktionen mit dem y-Wert des y-Achsenschnittpunkts gleichzusetzen. Das heißt, dass Du den y-Achsenabschnitt schnell aus einer linearen Funktionsgleichung herauslesen kannst, indem Du das b suchst.
Wie oben schon erwähnt ist es nicht möglich einen Schnittpunkt mit der x-Achse zu berechnen, da eine Konstante Funktion immer parallel zur x-Achse verläuft.
Wenn \(m = 0\), dann folgt daraus:
\[f(x) = m\cdot x + b \to y = m\cdot x + b \to 0 = 0\cdot x + b\]
Diese Funktionsgleichung kommt auf kein gleiches Ergebnis. Wenn Du die Rechnung weiterführst, kommst Du auf \(0 = b\). Das ist nur für den Fall richtig, wenn b 0 ist. Das ist auch die einzige konstante Funktion, welche Nullstellen besitzt.
Abbildung 6: konstante Funktion
In der Abbildung siehst Du die konstante Funktion \(f(x) = 2\). Ihr einziger Schnittpunkte mit einer Koordinatenachse ist ihr y-Achsenabschnitt bei \(y = 2\).
Achsenschnittpunkte berechnen lineare Funktion - ein gemeinsamer x- und y-Achsenschnittpunkt
Es gibt noch einen weiteren besonderen Fall, und zwar wenn eine lineare Funktion einen gemeinsamen Schnittpunkt an der x- und y-Achse besitzt. Diese Art von Funktion wird auch als Ursprungsgerade bezeichnet.
Eine Funktionsgleichung einer Ursprungsgerade ist \(f(x) = x\). Wenn Du hier den ersten Schritt aus den beiden Berechnungen zu Achsenschnittpunkten anwendest und für \(f(x)\) \(y\) einsetzt, erhältst Du die Gleichung \(y = x\). Diese Gleichung sagt Dir, dass der y-Wert des dazugehörigen Funktionsgraphen dem x-Wert entspricht. Somit hat diese Funktion als Graphen eine Gerade, welche genau im 45° Winkel durch den Koordinatenursprung verläuft.
Aber nicht nur die Funktion \(f(x) = x\) ist eine Ursprungsgerade, sondern auch jede Funktion der Form \(f(x) = a \cdot x\), wobei gilt: \(a \in \mathbb{R}\backslash0\). Somit kannst Du für a jede Zahl außer die 0 einsetzen.
Abbildung 7: Ursprungsgerade
Neben der Ursprungsgerade als lineare Funktion gibt es noch weitere Funktionsgraphen, die mehr oder weniger als zwei Achsenschnittpunkte haben können. Etwa die e-Funktion oder die quadratischen Funktionen.
Achsenschnittpunkte berechnen lineare Funktionen – Übungen
In diesem Abschnitt der Erklärung findest Du ein paar Übungen, um das gelernte Wissen zu vertiefen.
Achsenschnittpunkte berechnen – Aufgabe 1
Berechne die Achsenschnittpunkte der linearen Funktion \(f(x) = 5x-3\).
Lösung
Bei dieser Funktion sollst Du die beiden Achsenschnittpunkte berechnen. Gehe dabei so vor, wie es Dir in der Erklärung gezeigt wurde.
Bevor Du entscheidest, welchen Schnittpunkt Du als Erstes berechnest, kannst Du den 1. Schritt aus den obigen Berechnungen durchführen.
1. Schritt: Funktionsgleichung umschreiben, sodass \(x\) und \(y\) vorkommen.
\[\begin{align}f(x) &= 5x - 3\\y &= 5x - 3\end{align}\]
x-Achsenschnittpunkt (Nullstelle) berechnen:
2. Schritt: allgemeinen Punkt \(S1(x|0)\) einsetzen.
\[0 = 5x - 3\]
3. Schritt: nach \(x\) auflösen.
\[\begin{align} 0 &= 5x - 3~~~~~~| + 3\\3 &= 5x~~~~~~~~~~~~~| : 5\\x &= \frac{3}{5}\end{align}\]
Wenn Du als Letztes noch den berechneten x-Wert in den allgemeinen Punkt S1 einsetzt, erhältst Du den Schnittpunkt mit der x-Achse.
\[S1\left(\frac{3}{5}\bigg|0\right)\]
y-Achsenschnittpunkt (y-Achsenabschnitt) berechnen:
Da Du den 1. Schritt vor der Berechnung der Nullstelle schon erledigt hast, brauchst Du ihn nun nicht erneut zu machen.
2. Schritt: allgemeinen Punkt \(S2(0|y)\) einsetzen
\[y = 5\cdot0 - 3\]
3. Schritt: Gleichung berechnen
\[\begin{align} y &= 5\cdot0 - 3\\y &= -3\end{align}\]
Auch hier setzt Du nur noch den berechneten y-Wert in den Punkt S2 ein und hast den Schnittpunkt mit der y-Achse.
\[S2(0|-3)\]
Somit hast Du für die Funktion \(f(x) = 5x-3\) die Schnittpunkte \(S1\left(\frac{3}{5}\big|0\right)\) und \(S2(0|-3)\) berechnet.
Achsenschnittpunkte berechnen – Aufgabe 2
Erkläre mit einer Rechnung, warum die Funktion \(f(x) = x\) nur einen gemeinsamen Schnittpunkt mit der x- und y-Achse hat.
Lösung
Um diese These beweisen zu können, berechnest Du einfach die Schnittpunkte für beide Achsen und überprüfst, ob diese gleich sind.
Schnittpunkt mit der x-Achse:
\[\begin{align}f(x) &= x\\y &= x\end{align}\]
\(S1(x|0)\) einsetzen:
\[0 = x\]
Damit ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der x-Achse beim Punkt \(S1(0|0)\).
Schnittpunkt mit der y-Achse:
\(S2(0|y)\) in umgestellte Funktionsgleichung einsetzen:
\[y = 0\]
Der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der y-Achse liegt also bei \(S2(0|0)\).
\[S1 = S2\]
Da beide Schnittpunkte identisch sind, hast Du mit dieser kleinen Rechnung bewiesen, dass die Funktion \(f(x) = x\) nur einen gemeinsamen Schnittpunkt bei \(S(0|0)\) besitzt.
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen - Das Wichtigste
- Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind die Punkte, an denen der Graph einer Funktion die Achse schneidet
- x-Achsenschnittpunkte, auch Nullstelle genannt, berechnest Du, indem Du den allgemeinen Punkt \(S1(x|0)\) einsetzt und die Gleichung nach x auflöst
- y-Achsenschnittpunkte, auch y-Achsenabschnitte genannt, berechnest Du, indem Du den Punkt \(S2(0|y)\) einsetzt und nach y auflöst
- Wenn der Steigungsfaktor \(m = 0\) ist, sprichst Du von einer konstanten Funktion. Diese hat bis auf einen Sonderfall keine Nullstellen, sondern nur einen y-Achsenabschnitt
- Die Ursprungsgerade \(f(x) = a \cdot x\) hat nur einen gemeinsamen Schnittpunkt mit der x- und y-Achse im Koordinatenursprung
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