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In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, ableiten kannst. Diese Ableitung brauchst du in mehreren Bereichen, wie zum Beispiel den Extremstellen oder Wendepunkten.Wenn du noch einmal die Eigenschaften der e-Funktion einsehen möchtest, dann lies dich in das Kapitel "Exponentialfunktion" rein. Dort findest du alles, was du über diese Funktion wissen musst.Es ist bereits…
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Jetzt kostenlos anmeldenIn diesem Artikel zeigen wir dir, wie du die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, ableiten kannst. Diese Ableitung brauchst du in mehreren Bereichen, wie zum Beispiel den Extremstellen oder Wendepunkten.
Wenn du noch einmal die Eigenschaften der e-Funktion einsehen möchtest, dann lies dich in das Kapitel "Exponentialfunktion" rein. Dort findest du alles, was du über diese Funktion wissen musst.
Es ist bereits bekannt, dass die e-Funktion aus der Exponentialfunktion entsteht. Deshalb schauen wir uns zuerst die allgemeine Exponentialfunktion in ihrer reinen Form an.
Du weißt bereits, was herauskommt, wenn du die Exponentialfunktion ableitest. Halten wir das Ganze noch einmal mathematisch fest.
Die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion lautet:
Wenn du erfahren möchtest, wie die Ableitung der Exponentialfunktion zustande kommt, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt ansehen.
Die Ableitung kannst du dir mithilfe des Differentialquotienten herleiten. Damit du dafür gut vorbereitet bist, solltest du die Inhalte der Artikel Differentialquotient und Potenzen beherrschen.
Die Ableitung ist mithilfe des Differentialquotienten wie folgt definiert.
Setzt du nun die allgemeine Exponentialfunktion ein, erhältst du folgenden Ausdruck.
An dieser Stelle kannst du die Rechenregeln für Potenzen anwenden.
Zur Erinnerung:
Daraus ergibt sich Folgendes:
Nun kannst du ausklammern und die Rechenregeln für Grenzwerte anwenden.
Jetzt müsstest du für den Ausdruck noch den Grenzwert bilden, der einer Konstante entspricht. Da es an dieser Stelle aber zu weit führen würde, wird dir dieser Wert vorgegeben.
Damit erhältst du folgende Ableitung für die allgemeine Exponentialfunktion:
Die e-Funktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, bei der die Basis der Eulerschen Zahl entspricht. Formulieren wir nun die Ableitung der e-Funktion.
Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion lautet:
Du kannst die reine e-Funktion so oft ableiten, wie du willst, sie wird sich nie verändern. Als kleine Eselsbrücke kannst du dir merken: "Bleib so wie du bist – so wie die e-Funktion beim Ableiten!".
Wenn du erfahren möchtest, warum die e-Funktion abgeleitet wieder die e-Funktion ist, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt anschauen.
Hier musst du die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion betrachten.
Für die Basis setzt du jetzt die Eulersche Zahl ein und erhältst den folgenden Ausdruck.
Anschließend musst du den Ausdruck bestimmen. Diesen kennst du bereits.
Damit ergibt sich folgende Ableitung für die e-Funktion:
Oftmals hast du in Aufgaben nicht die reine Version der e-Funktion vorliegen, sondern mit verschiedenen Parametern. Wie du auch diese ableiten kannst, erfährst du im nächsten Abschnitt.
Interessanter ist die Ableitung der erweiterten e-Funktion mit Parametern. Diese benötigst du hauptsächlich, wenn du Extrempunkte und Wendepunkte berechnen sollst.
Betrachte zuerst die e-Funktion mit einem Vorfaktor , während ist.
Dabei musst du auf die Faktorregel zurückgreifen.
Hier die Faktorregel zur Erinnerung:
Da du weißt, dass die Ableitung der e-Funktion die e-Funktion ist, erhältst du folgende Ableitung der Funktion .
Du kannst also auch die e-Funktion mit einem Vorfaktor so oft ableiten, wie du willst, sie wird sich nie verändern.
Halten wir diese Erkenntnis noch in einer Definition fest.
Die Ableitung der e-Funktion mit einem Vorfaktor lautet:
Wende gleich die erlernte Ableitung der e-Funktion mit Vorfaktor an dieser Übung an:
Aufgabe 1
Bilde die Ableitung der Funktion mit .
Lösung
Da sich eine e-Funktion mit einem Vorfaktor nicht verändert, erhältst du folgende Ableitung .
Nun kannst du die Ableitung für die gesamte erweiterte e-Funktion bilden. Dazu benötigst du die Kettenregel und die Faktorregel.
Zur Erinnerung, die Kettenregel lautet:
Um die Kettenregel anzuwenden, musst du zuerst die äußere Funktion und die innere Funktion definieren.
Du benötigst von diesen Funktionen dann noch jeweils die Ableitung. Da die e-Funktion wieder die e-Funktion ergibt, bilden sich folgende Ableitungen.
Nun kannst du die letzten Schritte der Kettenregel anwenden. Zusätzlich musst du noch den Vorfaktor mit der Faktorregel berücksichtigen, um die Ableitung für die gesamte erweiterte e-Funktion zu erhalten. Damit ergibt sich folgende gesamte Ableitung für die erweiterte e-Funktion.
Immer dann, wenn im Exponenten nicht nur steht, musst du die Kettenregel anwenden.
Halten wir das Ganze noch in einer Definition fest.
Die Ableitung der erweiterten e-Funktion lautet:
Wende auch hier zuerst einmal dein neu erlerntes Wissen zur Ableitung der erweiterten e-Funktion an einem Beispiel an.
Aufgabe 2
Bilde die Ableitung der Funktion mit .
Lösung
Identifiziere zuerst den Parameter .
Als Nächstes kannst du direkt die Formel für die Ableitung der erweiterten e-Funktion anwenden. Du erhältst dann folgende Ableitung der Funktion .
Oftmals gibt es Funktionen, in der nicht nur eine e-Funktion vorkommt, sondern diese mit einer weiteren Funktion multipliziert wird. Um auf eine solche Aufgabe vorbereitet zu sein, schaue dir die nächste Übung an.
Aufgabe 3
Bilde die Ableitung der Funktion mit .
Lösung
Dazu benötigst du zuallererst die Produktregel.
Dazu identifizieren wir die Funktionen und .
Es ergeben sich folgende einzelne Ableitungen.
Damit ergibt sich folgende gesamte Ableitung .
Ja, die e-Funktion lässt sich ableiten. Die Ableitung der Funktion f(x)=ex ist f'(x)=ex.
Die Ableitung an einer Stelle x0 ist immer die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle x0.
Die Ableitung der Funktion f(x)=ex ist f'(x)=ex.
Die Ableitung der Funktion f(x)=ebx ist f'(x)=b*ebx.
Die Ableitung der Funktion f(x)=ex ist f'(x)=ex.
Die Ableitung der Funktion f(x)=ebx ist f'(x)=b*ebx.
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