E Funktion ableiten

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, ableiten kannst. Diese Ableitung brauchst du in mehreren Bereichen, wie zum Beispiel den Extremstellen oder Wendepunkten.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Wenn du noch einmal die Eigenschaften der e-Funktion einsehen möchtest, dann lies dich in das Kapitel "Exponentialfunktion" rein. Dort findest du alles, was du über diese Funktion wissen musst.

    Allgemeines zur Ableitung der e-Funktion

    Es ist bereits bekannt, dass die e-Funktion aus der Exponentialfunktion entsteht. Deshalb schauen wir uns zuerst die allgemeine Exponentialfunktion in ihrer reinen Form f(x)=ax an.

    f(x)=axableitenf'(x)=ln(a)·ax

    Reine Exponentialfunktion ableiten

    Du weißt bereits, was herauskommt, wenn du die Exponentialfunktion ableitest. Halten wir das Ganze noch einmal mathematisch fest.

    Die Ableitung f'(x) der allgemeinen Exponentialfunktion f(x)=ax lautet:

    f'(x)=ln(a)·ax

    Wenn du erfahren möchtest, wie die Ableitung f'(x) der Exponentialfunktion zustande kommt, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt ansehen.

    Die Ableitung f'(x) kannst du dir mithilfe des Differentialquotienten herleiten. Damit du dafür gut vorbereitet bist, solltest du die Inhalte der Artikel Differentialquotient und Potenzen beherrschen.

    Die Ableitung f'(x) ist mithilfe des Differentialquotienten wie folgt definiert.

    f'(x)=limh0f(x+h)-f(x)h

    Setzt du nun die allgemeine Exponentialfunktion ein, erhältst du folgenden Ausdruck.

    f'(x)=limh0ax+h-axh

    An dieser Stelle kannst du die Rechenregeln für Potenzen anwenden.

    Zur Erinnerung:xa+b=xa·xb

    Daraus ergibt sich Folgendes:

    f'(x)=limh0ax·ah-axh

    Nun kannst du ax ausklammern und die Rechenregeln für Grenzwerte anwenden.

    f'(x)=limh0ax·ah-axh=limh0ax·(ah-1)h=ax·limh0ah-1h

    Jetzt müsstest du für den Ausdruck limh0ah-1h noch den Grenzwert bilden, der einer Konstante entspricht. Da es an dieser Stelle aber zu weit führen würde, wird dir dieser Wert vorgegeben.

    limh0ah-1h=ln(a)

    Damit erhältst du folgende Ableitung f'(x) für die allgemeine Exponentialfunktion:

    f'(x)=ax·limh0ah-1h=ax·ln(a)

    Reine e-Funktion ableiten

    Die e-Funktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, bei der die Basis a der Eulerschen Zahl e entspricht. Formulieren wir nun die Ableitung f'(x) der e-Funktion.

    Die Ableitung f'(x) der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=ex lautet:

    f'(x)=ex

    Du kannst die reine e-Funktion f(x)=ex so oft ableiten, wie du willst, sie wird sich nie verändern. Als kleine Eselsbrücke kannst du dir merken: "Bleib so wie du bist – so wie die e-Funktion beim Ableiten!".

    Wenn du erfahren möchtest, warum die e-Funktion abgeleitet wieder die e-Funktion ist, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt anschauen.

    Hier musst du die Ableitung f'(x) der allgemeinen Exponentialfunktion betrachten.

    f'(x)=ln(a)·ax

    Für die Basis a setzt du jetzt die Eulersche Zahl e ein und erhältst den folgenden Ausdruck.

    f'(x)=ln(e)·ex

    Anschließend musst du den Ausdruck ln(e) bestimmen. Diesen kennst du bereits.

    ln(e)=1

    Damit ergibt sich folgende Ableitung f'(x) für die e-Funktion:

    f'(x)=1·ex=ex

    Oftmals hast du in Aufgaben nicht die reine Version der e-Funktion vorliegen, sondern mit verschiedenen Parametern. Wie du auch diese ableiten kannst, erfährst du im nächsten Abschnitt.

    Ableitungen der erweiterten e-Funktion

    Interessanter ist die Ableitung der erweiterten e-Funktion mit Parametern. Diese benötigst du hauptsächlich, wenn du Extrempunkte und Wendepunkte berechnen sollst.

    Zur Erinnerung:

    • Erweiterte e-Funktion: f(x)=b·ecx
    • Dabei dürfen die Parameterb und c nie 0 sein, da ansonsten keine e-Funktion mehr vorliegt.
    • Wenn beide Parameter1 sind, liegt die e-Funktion wieder in ihrer reinen Version f(x)=ex vor.

    e-Funktion mit Vorfaktor ableiten

    Betrachte zuerst die e-Funktion mit einem Vorfaktor b, während c=1 ist.

    f(x)=b·ex

    Dabei musst du auf die Faktorregel zurückgreifen.

    Hier die Faktorregel zur Erinnerung: f(x)=a·g(x)ableitenf'(x)=a·g'(x)

    Da du weißt, dass die Ableitung der e-Funktion die e-Funktion ist, erhältst du folgende Ableitung der Funktion f(x)=b·ex.

    f'(x)=b·ex

    Du kannst also auch die e-Funktion mit einem Vorfaktor f'(x)=b·ex so oft ableiten, wie du willst, sie wird sich nie verändern.

    Halten wir diese Erkenntnis noch in einer Definition fest.

    Die Ableitung f'(x) der e-Funktion mit einem Vorfaktor f(x)=b·ex lautet:

    f'(x)=b·ex

    Wende gleich die erlernte Ableitung der e-Funktion mit Vorfaktor an dieser Übung an:

    Aufgabe 1

    Bilde die Ableitung der Funktion f(x) mit f(x)=9·ex.

    Lösung

    Da sich eine e-Funktion mit einem Vorfaktor nicht verändert, erhältst du folgende Ableitung f'(x).

    f'(x)=9·ex

    e-Funktion mit Kettenregel ableiten

    Nun kannst du die Ableitung f'(x) für die gesamte erweiterte e-Funktion f(x)=b·ecx bilden. Dazu benötigst du die Kettenregel und die Faktorregel.

    Zur Erinnerung, die Kettenregel lautet: f(x)=g(h(x))ableitenf'(x)=g'(h(x))·h'(x)

    Um die Kettenregel anzuwenden, musst du zuerst die äußere Funktion g(x) und die innere Funktion h(x) definieren.

    g(x)=eh(x)=ecxh(x)=cx

    Du benötigst von diesen Funktionen dann noch jeweils die Ableitung. Da die e-Funktion wieder die e-Funktion ergibt, bilden sich folgende Ableitungen.

    g'(x)=ecxh'(x)=c

    Nun kannst du die letzten Schritte der Kettenregel anwenden. Zusätzlich musst du noch den Vorfaktor b mit der Faktorregel berücksichtigen, um die Ableitung f'(x) für die gesamte erweiterte e-Funktion zu erhalten. Damit ergibt sich folgende gesamte Ableitung f'(x) für die erweiterte e-Funktion.

    f'(x)=b·g'(h(x))·h'(x)=b·g'(cx)·c=b·ecx·c=bc·ecx

    Immer dann, wenn im Exponenten nicht nur "x" steht, musst du die Kettenregel anwenden.

    Halten wir das Ganze noch in einer Definition fest.

    Die Ableitung f'(x) der erweiterten e-Funktion f(x)=b·ecx lautet:

    f'(x)=bc·ecx

    Wende auch hier zuerst einmal dein neu erlerntes Wissen zur Ableitung der erweiterten e-Funktion an einem Beispiel an.

    Aufgabe 2

    Bilde die Ableitung der Funktion f(x) mit f(x)=3·e14x.

    Lösung

    Identifiziere zuerst den Parameter c.

    c=14

    Als Nächstes kannst du direkt die Formel für die Ableitung der erweiterten e-Funktion anwenden. Du erhältst dann folgende Ableitung f'(x) der Funktion f(x)=3·e14x.

    f'(x)=3·14·e14x=42e14x

    e-Funktion mit Produktregel ableiten Übungen

    Oftmals gibt es Funktionen, in der nicht nur eine e-Funktion vorkommt, sondern diese mit einer weiteren Funktion multipliziert wird. Um auf eine solche Aufgabe vorbereitet zu sein, schaue dir die nächste Übung an.

    Aufgabe 3

    Bilde die Ableitung der Funktion f(x) mit f(x)=e4x·x2.

    Lösung

    Dazu benötigst du zuallererst die Produktregel.

    Produktregel: f(x)=g(x)·h(x)ableitenf'(x)=g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)

    Dazu identifizieren wir die Funktionen g(x) und h(x).

    g(x)=e4xh(x)=x2

    Es ergeben sich folgende einzelne Ableitungen.

    g'(x)=4·e4xh'(x)=2x

    Damit ergibt sich folgende gesamte Ableitung f'(x).

    f'(x)=4·e4x·x2+e4x·2x=2·e4x·(2x2+x)

    e-Funktion ableiten - Das Wichtigste

    • Die Ableitung f'(x) der allgemeinen Exponentialfunktionf(x)=ax lautet: f'(x)=ln(a)·ax
    • Die Ableitung f'(x) der reinen e-Funktion f(x)=ex lautet: f'(x)
      • Eine hilfreiche Eselsbrücke: “Bleib so wie du bist - so wie die e-Funktion beim Ableiten!”
    • Die Ableitung f'(x) der e-Funktion mit einem Vorfaktor f(x)=b·ex lautet: f'(x)=b·ex
    • Die Ableitung f'(x) der erweiterten e-Funktion f(x)=b·ecx lautet: f'(x)=bc·ecx
      • Immer dann, wenn im Exponenten nicht nur "x" steht, musst du die Kettenregel anwenden.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema E Funktion ableiten

    Kann man e ableiten?

    Ja, die e-Funktion lässt sich ableiten. Die Ableitung der Funktion f(x)=ex ist f'(x)=ex.

    Was sagt die Ableitung einer e Funktion aus?

    Die Ableitung an einer Stelle x0 ist immer die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle x0.

    Was ist die Ableitung von e hoch?

    Die Ableitung der Funktion f(x)=ex ist f'(x)=ex

    Die Ableitung der Funktion f(x)=ebx ist f'(x)=b*ebx.

    Wie leite ich eine e Funktion ab?

    Die Ableitung der Funktion f(x)=ex ist f'(x)=ex

    Die Ableitung der Funktion f(x)=ebx ist f'(x)=b*ebx.

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