Gebrochen Rationale Funktionen ableiten: Anleitung

Inhaltsangabe

Gebrochen rationale Funktionen

Wiederholen wir zunächst, was eine gebrochen rationale Funktion überhaupt ist.

Unter einer gebrochen rationaler Funktion f versteht man eine Funktion, welche sich als Bruch darstellen lässt:

$f (x) = \frac{g (x)}{h (x)}$

Der Nenner und der Zähler bestehen aus Polynomen. Dabei darf das Nennerpolynom $h (x)$ nicht das Nullpolynom sein.

Dabei unterscheidet man zwischen echt und unecht gebrochen rationale Funktionen:

Gebrochen rationale Funktionen ableiten Graph echte gebrochen rationale Funktion StudySmarter Abbildung 1: echte gebrochen rationale Funktion

Gebrochen rationale Funktionen ableiten Graph unechte gebrochen rationale Funktion StudySmarter Abbildung 2: unechte gebrochene rationale Funktion

Unechte gebrochen rationale Funktionen kann man so kürzen, dass im Nenner keine Funktion mehr steht. Das ist der Fall, wenn der Grad des Zählerpolynoms g größer (oder gleich) ist als der Grad des Nennerpolynoms h. Bei einer echten gebrochen rationalen Funktion ist der Grad des Nennerpolynoms größer als der des Zählerpolynoms.

Gebrochen rationale Funktionen – Definitionsbereich

Der Definitionsbereich einer Funktion gibt an, welche Werte man für x in die Funktion einsetzen kann.

Da gebrochen rationale Funktionen als Bruch dargestellt sind, wobei der Nenner und der Zähler aus Polynomen bestehen, darf der Definitionsbereich keinen Wert enthalten bei dem das Nennerpolynom gleich Null wird.

Daher musst du die Nullstellen des Nennerpolynoms aus dem Definitionsbereich ausschließen. Diese werden dann Definitionslücken genannt.

Dabei gibt es zwei verschiedene Arten von Definitionslücken: hebbare Definitionslücken und Pole.

Unter einer hebbaren Definitionslücke versteht man eine Definitionslücke, welche durch das Kürzen der Funktion aus der Funktionsgleichung verschwindet. Das heißt, die Lücke ist nach dem Kürzen nicht mehr erkennbar.

Hat eine Funktion eine hebbare Definitionslücke, ist sie eine unecht gebrochen rationale Funktion. Ihr Graph hat also irgendwo ein Loch, geht aber davor und danach normal weiter.

Gebrochen rationale Funktionen ableiten hebbare Definitionslücke gebrochen rationale Funktion StudySmarter Abbildung 3: hebbare Definitionslücke einer unecht gebrochenen Funktion

Du musst aber beachten, dass die Definitionslücken immer noch existieren, obwohl man sie nicht mehr in der gekürzten Funktion sehen kann.

Betrachte die Funktion $f (x) = \frac{x^{2}}{x}$ mit Definitionsbereich $D_{f} = ℝ \ \{0\}$ (also allen reellen Zahlen außer der 0, denn dort wird der Nenner der Funktion 0).

Durch "Kürzen" kann sie fälschlicherweise mit der Funktion $g (x) = x$ verwechselt werden. Das ist aber falsch, denn g(x) ist an der Stelle $x = 0$ definiert, f(x) hat dort aber ein Loch.

Gebrochen rationale Funktionen ableiten gekürzt StudySmarter

Abbildung 4: unecht gebrochen rationale Funktion

Abbildung 5: gekürzte unecht gebrochen rationale Funktion

Nun schauen wir uns die Definition einer Polstelle an.

Eine Definitionslücke kann auch eine Polstelle (Unendlichkeitsstelle) einer gebrochen rationalen Funktion darstellen. Dabei müssen die Funktionswerte bei Annäherung an die Stelle beliebig groß (klein) werden.

Dies ist gegeben, wenn das Nennerpolynom den Wert Null und das Zählerpolynom einen Wert ungleich Null annimmt:

$f (x) = \frac{g (x)}{h (x)} \to g (x) \neq 0; h (x) = 0$

Echte gebrochen rationale Funktionen haben Polstellen. Dabei können Polstellen ganz unterschiedlich aussehen. Der Graph kann auf beiden Seiten der Polstelle gegen $\infty$ oder gegen $- \infty$ gehen, also wie in Abbildung 2, aber auch auf der einen Seite gegen $\infty$ und auf der anderen Seite gegen $- \infty$ , so wie in der folgenden Abbildung.

Gebrochen rationale Funktionen ableiten Polstelle StudySmarter Abbildung 6: Polstelle gebrochen rationale Funktion

Wenn du mehr Wiederholung zu gebrochen rationale Funktionen brauchst, kannst du dir den dazugehörigen Artikel anschauen!

Grundlagenwissen: Ableitung

Ableiten (auch Differenzieren genannt) ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis und notwendig für die Kurvendiskussion. Durch die Differentialrechnung kannst du das Steigungsverhalten einer Funktion $f (x)$ bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren.

Ein wichtiger Bestandteil der Differentialrechnung ist der Differentialquotient, welcher nun genauer definiert wird.

Mit Hilfe des Differentialquotient kann man die Ableitung einer Funktion herleiten, da er als die Steigung der Tangente an der Stelle x interpretiert werden kann (momentane Änderungsrate). Das heißt, er gibt die lokale Änderungsrate einer Funktion an einer bestimmten Stelle an.

Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.

$\lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}$

Hier wird die Steigung der Tangente, die die Kurve im Punkt $(x_{0} | y_{0})$ berührt, dargestellt.

Ableitung einer konstanten Funktion	$f (x) = C$	$f' (x) = 0$
Ableitung einer linearen Funktion	$f (x) = x$	$f' (x) = 1$
Potenzregel	$f (x) = x^{n}$	$f' (x) = n \cdot x^{n - 1}$
Faktorregel	$f (x) = c \cdot g (x)$	$f' (x) = c \cdot g' (x)$
Summenregel	$f (x) = h (x) + g (x)$	$f' (x) = h' (x) + g' (x)$
Differenzregel	$f (x) = g (x) - h (x)$	$f' (x) = g' (x) - h' (x)$
Produktregel	$f (x) = g (x) \cdot h (x)$	$f' (x) = g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x)$
Quotientenregel	$f (x) = \frac{g (x)}{h (x)}$	$f' (x) = \frac{h (x) \cdot g' (x) - g (x) \cdot h' (x)}{(h {(x))}^{2}}$
Kettenregel	$f (x) = g (h (x))$	$f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)$

Welche Ableitungsregel du bei gebrochen rationalen Funktionen verwendest, siehst du in dem folgenden Abschnitt.

Wenn du mehr über das Ableiten erfahren möchtest, kannst du dir die Artikel im Kapitel Differentialrechnung anschauen!

Gebrochen rationale Funktionen ableiten

Die Ableitung von gebrochen rationale Funktion ist notwendig für die Kurvendiskussion und ein wichtiger Bestandteil zur Berechnung der Steigung einer Funktion f(x).

Die Ableitung von gebrochen rationalen Funktionen kannst du recht mithilfe der Quotientenregel berechnen.

$f (x) = \frac{g (x)}{h (x)} f' (x) = \frac{h (x) \cdot g' (x) - g (x) \cdot h' (x)}{(h {(x))}^{2}}$

Bei der Quotientenregel leitest du zunächst den Faktor $g (x)$ ab, welcher sich im Zähler befindet und anschließend den sich im Nenner befindenden Faktor $h (x)$ . Anschließend kannst du deine Ergebnisse in die Quotientenregel einsetzen, um die erste Ableitung der gebrochen rationalen Funktion zu erhalten.

Erste Ableitung gebrochen rationaler Funktionen

Die erste Ableitung der gebrochen rationale Funktion berechnest du also mit Hilfe der Quotientenregel.

Das heißt:

$f' (x) = \frac{N e n n e r \cdot A b l e i t u n g Z ä h l e r - Z ä h l e r \cdot A b l e i t u n g N e n n e r}{{(N e n n e r)}^{2}}$

Um die Regel einfacher anwenden zu können, kannst du zunächst den Nenner und den Zähler einzeln ableiten und anschließend in die Formel einsetzen.

Um ein besseres Verständnis zu erlangen folgt nun ein Beispiel, indem du die Ableitung der gebrochen rationalen Funktion sehen kannst.

Aufgabe 1

Bestimme die erste Ableitung der gebrochen rationalen Funktion $f (x) = \frac{3}{x}$

Lösung

Anwendung der Quotientenregel:

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{0 \cdot x - 3 \cdot 1}{x^{2}} = - \frac{3}{x^{2}} \end{array}$

Und schon hast du die erste Ableitung der gebrochen rationale Funktion.

Zweite Ableitung gebrochen rationale Funktion

Die zweite Ableitung stellt das Krümmungsverhalten der Funktion $f (x)$ dar, sowie die Steigung der ersten Ableitung $f' (x)$ .

Hier verwendest du ebenfalls die Quotientenregel.

Aufgabe 2

Bestimme die zweite Ableitung der gebrochen rationalen Funktion id="1925182" role="math" $f (x) = \frac{3}{x}$

Lösung

Für die Berechnung der zweiten Ableitung benötigst Du zunächst die erste Ableitung. Diese wurde oben schon berechnet:

$f' (x) = - \frac{3}{x^{2}}$

Erneute Anwendung der Quotientenregel

$\begin{array}{rcl} f'' (x) & = & \frac{x^{2} \cdot 0 - (- 3) \cdot 2 x}{{(x^{2})}^{2}} = \frac{6 x}{x^{4}} = \frac{6}{x^{3}} \end{array}$

Nun hast Du die zweite Ableitung der gebrochen rationalen Funktion.

Gebrochen rationale Funktionen ableiten Ableitung gebrochen rationale Funktion StudySmarter Abbildung 8: Ableitung gebrochen rationale Funktion

Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

Mit Hilfe der Kurvendiskussion kannst du die wichtigen Eigenschaften einer Funktion prüfen. Zum einen gehst du in der Kurvendiskussion auf die geometrischen Eigenschaften einer Funktion ein, wie zum Beispiel die Extrempunkte, Wendepunkte oder die Nullstellen einer Funktion. Ebenso ermittelst du die Grenzwerte der Funktion, also wie sich die Funktion in Richtung plus und minus unendlich verhält.

Das heißt, mit Hilfe der Kurvendiskussion kannst du den Graphen einer Funktion einfach zeichnen, da du alle benötigten Informationen über die Funktion mit ihr erhältst.

Bei der Kurvendiskussion benötigst du die Ableitungen der gebrochen rationalen Funktion. Daher gehen wir nun kurz darauf ein, an welchen Stellen du die Ableitungen benötigst.

Hierzu nutzen wir die gebrochen rationale Funktion:

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 2}$

1. Schritt: erste und zweite Ableitung berechnen:

Der erste Schritt einer Kurvendiskussion besteht daraus, die erste und zweite Ableitung der Funktion zu berechnen, da du diese für die Extremwertberechnung benötigst. Dafür benötigst du wie oben erläutert die Quotientenregel:

$f (x) = \frac{g (x)}{h (x)} f' (x) = \frac{h (x) \cdot g' (x) - g (x) \cdot h' (x)}{(h {(x))}^{2}}$

Am Beispiel der oben genannten Funktion würde dies so aussehen:

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{(x + 2) \cdot 2 x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2}}{x^{2} + 4} = \frac{x^{2} + 4 x}{x^{2} + 4} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} f'' (x) & = & \frac{x^{2} + 4 \cdot 2 x - x^{2} + 4 x \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{x^{2} + 8 x - x^{2} + 8 x^{2}}{x^{4} + 16} = \frac{8 x^{2} + 8 x}{x^{4} + 16} \end{array}$

2. Schritt Definitionsbereich ermitteln:

Der Nenner des Bruches darf nie Null werden. Darum benötigst du den Definitionsbereich, um zu ermitteln, welche x-Werte man in die Funktion einsetzen kann. Das heißt, du setzt den Nenner des Bruchs gleich Null und erhältst somit den Wert, welcher nicht dem Definitionsbereich angehört.

$D_{f} = ℝ \ \{Nullstellen des Nennerpolynoms\}$

Nun schauen wir uns das an dem Beispiel an:

$\begin{array}{rcl} x + 2 & = & 0 - 2 \\ x & = & - 2 \end{array}$

$D_{f} = ℝ \ \{- 2\}$

Da die genaue Kurvendiskussion dieser Funktion zu umfangreich wäre, wird der restliche Teil der Kurvendiskussion, nur angeschnitten.

Schritt	Rechnung
3. Schritt: Nullstellen berechnen	Hierfür musst du den Zähler gleich 0 setzen, da der Bruch 0 wird, wenn der Zähler gleich Null ist.
4. Schritt: y-Achsenabschnitt berechnen	$x = 0$ in die Funktion einsetzen.
5. Schritt: Grenzwerte bestimmen	Hier untersuchst du das Verhalten der Funktion für x gegen $\infty$ und gegen $- \infty$ .
6. Schritt: Asymptote berechnen	Man unterscheidet zwischen der senkrechten, waagerechten und schiefen Asymptote, sowie der asymptotischen Kurve.
7. Schritt: Symmetrieverhalten	Achsensymmetrie zur y-Achse: $f (- x) = f (x)$ Punktsymmetrie zum Ursprung: $f (- x) = - f (x)$
8. Schritt: Extrempunkte ermitteln	Hierfür benötigst du die erste und zweite Ableitung der Funktion. Wie man genau Extremstellen ermittelt, kannst du im Artikel "Extremstellen" nachlesen.
9. Schritt: Monotonieverhalten	Wenn die Ableitung der Funktion an einer Stelle x größer Null ist, dann ist die Funktion dort streng monoton steigend. $f' (x) > 0$ Wenn die Ableitung der Funktion kleiner gleich Null ist, dann ist die Funktion streng monoton fallend. $f' (x) < 0$
10. Schritt: Krümmung des Graphen	$f'' (x) < 0$ rechtsgekrümmt $f'' (x) > 0$ linksgekrümmt
11. Schritt: Wendepunkt	Zuerst berechnest du die Nullstellen der zweiten Ableitung: $f'' (x_{0}) = 0$ Nun überprüfst du, ob die dritte Ableitung mit der Nullstelle ungleich Null ergibt. $f''' (x_{0}) \neq 0$
12. Schritt: Wertebereich ermitteln	Nun untersuchst du, welche y-Werte die Funktion annehmen kann.
13. Schritt: Graph	Da du nun alle wichtigen Eigenschaften deiner Funktion kennst, kannst du nun den Funktionsgraphen zeichnen.

Wenn du mehr über die Kurvendiskussion erfahren möchtest, kannst du dir den dazugehörigen Artikel anschauen!

Gebrochen rationale Funktion ableiten – Übungen

Nun folgend noch ein paar Übungsaufgaben für das bessere Verständnis.

Aufgabe 3

Bilde die erste Ableitung der folgenden gebrochen rationalen Funktion

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$

Lösung

Anwendung der Quotientenregel:

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 2 x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Aufgabe 4

Bilde die zweite Ableitung der folgenden gebrochen rationalen Funktion

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$

Die erste Ableitung hast du bereits gerechnet.

Lösung

Anwendung der Quotientenregel auf die erste Ableitung:

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) \cdot 2 (x + 1) \cdot 1}{({(x + 1)}^{2})^{2}} = \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Aufgabe 5

Bilde die erste Ableitung der folgenden gebrochen rationalen Funktion

$f (x) = \frac{8 x}{2 x^{3} + 6 x}$

Lösung

Anwendung der Quotientenregel:

$f' (x) = \frac{(2 x^{3} + 6 x) \cdot 16 x - 8 x^{2} \cdot (6 x^{2} + 6)}{{(2 x^{3} + 6 x)}^{2}} = \frac{- 4 x^{4} + 12 x^{2}}{x^{6} + 6 x^{4} + 9 x^{2}}$

Gebrochen rationale Funktionen ableiten - Das Wichtigste

Für die Ableitung von gebrochen rationale Funktion benötigst du die Quotientenregel: $f' (x) = \frac{h (x) \cdot g' (x) - g (x) \cdot h' (x)}{(h {(x))}^{2}}$
Eine einfache Darstellung der Quotientenregel lautet wie folgt: $f' (x) = \frac{N e n n e r \cdot A b l e i t u n g Z ä h l e r - Z ä h l e r \cdot A b l e i t u n g N e n n e r}{{(N e n n e r)}^{2}}$
Die Ableitung ist ein wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion
Du benötigst die Ableitung zur Berechnung der Extrempunkte und kannst das Steigungs- oder Krümmungsverhalten erkennen
Der erste Schritt einer Kurvendiskussion besteht daraus, die erste und zweite Ableitung der Funktion zu berechnen.
Die Kurvendiskussion besteht aus 13 Schritten und zeigt die wichtigsten Eigenschaften einer Funktion auf.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Gebrochen rationale Funktionen ableiten

Wie leitet man gebrochen rationale Funktionen ab?

Gebrochen rationale Funktionen leitest du mit Hilfe der Quotientenregel ab. Dafür benötigst du die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Was ist eine gebrochen rationale Funktion?

Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, welche sich als Bruch darstellen lässt. Dabei besteht sowohl der Zähler als auch der Nenner aus Polynome. Insgesamt unterscheidet man zwischen echt und unecht gebrochen rationale Funktionen.

Wann hat eine gebrochen rationale Funktion keine Symmetrie?

Eine gebrochen rationale Funktion hat keine Symmetrie sobald der Nenner oder der Zähler kein Symmetrieverhalten aufweist.

Wann ist eine Funktion echt gebrochen rational?

Eine Funktion ist echt gebrochen rationale, wenn die Nennerfunktion ein größeres Polynom besitzt als die Zählerfunktion.

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