Gebrochen rationale Funktionen ableiten

In diesem Artikel lernst du die Ableitung einer gebrochen rationalen Funktion kennen und wirst anhand von Beispielaufgaben zum richtigen Ergebnis geführt. Ableiten (auch Differenzieren genannt) ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis und notwendig für die Kurvendiskussion. Durch die Differentialrechnung kannst du das Steigungsverhalten einer Funktion $f\left(x\right)$ bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren. In den folgenden Abschnitten lernst du, wie du gebrochen rationale Funktionen ableiten kannst.

Gebrochen rationale Funktionen

Wiederholen wir zunächst, was eine gebrochen rationale Funktion überhaupt ist.

Dabei unterscheidet man zwischen echt und unecht gebrochen rationale Funktionen:

Unechte gebrochen rationale Funktionen kann man so kürzen, dass im Nenner keine Funktion mehr steht. Das ist der Fall, wenn der Grad des Zählerpolynoms g größer (oder gleich) ist als der Grad des Nennerpolynoms h. Bei einer echten gebrochen rationalen Funktion ist der Grad des Nennerpolynoms größer als der des Zählerpolynoms.

Gebrochen rationale Funktionen – Definitionsbereich

Da gebrochen rationale Funktionen als Bruch dargestellt sind, wobei der Nenner und der Zähler aus Polynomen bestehen, darf der Definitionsbereich keinen Wert enthalten bei dem das Nennerpolynom gleich Null wird.

Daher musst du die Nullstellen des Nennerpolynoms aus dem Definitionsbereich ausschließen. Diese werden dann Definitionslücken genannt.

Dabei gibt es zwei verschiedene Arten von Definitionslücken: hebbare Definitionslücken und Pole.

Hat eine Funktion eine hebbare Definitionslücke, ist sie eine unecht gebrochen rationale Funktion. Ihr Graph hat also irgendwo ein Loch, geht aber davor und danach normal weiter.

Abbildung 3: hebbare Definitionslücke einer unecht gebrochenen Funktion

Du musst aber beachten, dass die Definitionslücken immer noch existieren, obwohl man sie nicht mehr in der gekürzten Funktion sehen kann.

Betrachte die Funktion $f\left(x\right)=\frac{x^2}{x}$ mit Definitionsbereich ${\mathbb{D}}_f=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{0\right\}$ (also allen reellen Zahlen außer der 0, denn dort wird der Nenner der Funktion 0).

Durch "Kürzen" kann sie fälschlicherweise mit der Funktion $g\left(x\right)=x$ verwechselt werden. Das ist aber falsch, denn g(x) ist an der Stelle $x=0$ definiert, f(x) hat dort aber ein Loch.

Abbildung 4: unecht gebrochen rationale Funktion

Abbildung 5: gekürzte unecht gebrochen rationale Funktion

Nun schauen wir uns die Definition einer Polstelle an.

Echte gebrochen rationale Funktionen haben Polstellen. Dabei können Polstellen ganz unterschiedlich aussehen. Der Graph kann auf beiden Seiten der Polstelle gegen $\infty$ oder gegen $-\infty$ gehen, also wie in Abbildung 2, aber auch auf der einen Seite gegen $\infty$ und auf der anderen Seite gegen $-\infty$, so wie in der folgenden Abbildung.

Abbildung 6: Polstelle gebrochen rationale Funktion

Grundlagenwissen: Ableitung

Ableiten (auch Differenzieren genannt) ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis und notwendig für die Kurvendiskussion. Durch die Differentialrechnung kannst du das Steigungsverhalten einer Funktion $f\left(x\right)$ bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren.

Ein wichtiger Bestandteil der Differentialrechnung ist der Differentialquotient, welcher nun genauer definiert wird.

Welche Ableitungsregel du bei gebrochen rationalen Funktionen verwendest, siehst du in dem folgenden Abschnitt.

Gebrochen rationale Funktionen ableiten

Die Ableitung von gebrochen rationale Funktion ist notwendig für die Kurvendiskussion und ein wichtiger Bestandteil zur Berechnung der Steigung einer Funktion f(x).

Die Ableitung von gebrochen rationalen Funktionen kannst du recht mithilfe der Quotientenregel berechnen.

Erste Ableitung gebrochen rationaler Funktionen

Die erste Ableitung der gebrochen rationale Funktion berechnest du also mit Hilfe der Quotientenregel.

Das heißt:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{Nenner·AbleitungZähler-Zähler·AbleitungNenner}{{\left(Nenner\right)}^2}$

Um die Regel einfacher anwenden zu können, kannst du zunächst den Nenner und den Zähler einzeln ableiten und anschließend in die Formel einsetzen.

Um ein besseres Verständnis zu erlangen folgt nun ein Beispiel, indem du die Ableitung der gebrochen rationalen Funktion sehen kannst.

Zweite Ableitung gebrochen rationale Funktion

Die zweite Ableitung stellt das Krümmungsverhalten der Funktion $f\left(x\right)$ dar, sowie die Steigung der ersten Ableitung $f\text{'}\left(x\right)$.

Hier verwendest du ebenfalls die Quotientenregel.

Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

Mit Hilfe der Kurvendiskussion kannst du die wichtigen Eigenschaften einer Funktion prüfen. Zum einen gehst du in der Kurvendiskussion auf die geometrischen Eigenschaften einer Funktion ein, wie zum Beispiel die Extrempunkte, Wendepunkte oder die Nullstellen einer Funktion. Ebenso ermittelst du die Grenzwerte der Funktion, also wie sich die Funktion in Richtung plus und minus unendlich verhält.

Das heißt, mit Hilfe der Kurvendiskussion kannst du den Graphen einer Funktion einfach zeichnen, da du alle benötigten Informationen über die Funktion mit ihr erhältst.

Bei der Kurvendiskussion benötigst du die Ableitungen der gebrochen rationalen Funktion. Daher gehen wir nun kurz darauf ein, an welchen Stellen du die Ableitungen benötigst.

Hierzu nutzen wir die gebrochen rationale Funktion:

$f\left(x\right)=\frac{x^2}{x+2}$

1. Schritt: erste und zweite Ableitung berechnen:

Der erste Schritt einer Kurvendiskussion besteht daraus, die erste und zweite Ableitung der Funktion zu berechnen, da du diese für die Extremwertberechnung benötigst. Dafür benötigst du wie oben erläutert die Quotientenregel:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)} \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{h\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)-g\left(x\right)·h\text{'}\left(x\right)}{(h{\left(x\right))}^2} \end{gathered}$$

Am Beispiel der oben genannten Funktion würde dies so aussehen:

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right)& =& \frac{(x+2)·2x-x^2·1}{{(x+2)}^2}=\frac{2x^2+4x-x^2}{x^2+4}=\frac{x^2+4x}{x^2+4}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\text{'}\left(x\right)& =& \frac{x^2+4·2x-x^2+4x·2x}{{\left(x^2+4\right)}^2}=\frac{x^2+8x-x^2+8x^2}{x^4+16}=\frac{8x^2+8x}{x^4+16}\end{array}$

2. Schritt Definitionsbereich ermitteln:

Der Nenner des Bruches darf nie Null werden. Darum benötigst du den Definitionsbereich, um zu ermitteln, welche x-Werte man in die Funktion einsetzen kann. Das heißt, du setzt den Nenner des Bruchs gleich Null und erhältst somit den Wert, welcher nicht dem Definitionsbereich angehört.

${\mathbb{D}}_f=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{\mathrm{Nullstellen}\mathrm{des}\mathrm{Nennerpolynoms}\right\}$

Nun schauen wir uns das an dem Beispiel an:

$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\overline{)-2}\\ x& =& -2\\ & & \end{array}$

${\mathbb{D}}_f=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{-2\right\}$

Da die genaue Kurvendiskussion dieser Funktion zu umfangreich wäre, wird der restliche Teil der Kurvendiskussion, nur angeschnitten.

Gebrochen rationale Funktion ableiten – Übungen

Nun folgend noch ein paar Übungsaufgaben für das bessere Verständnis.