Differenzierbarkeit

Wenn Du folgende Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2\) gegeben hast, kannst Du an die Stelle \(x_0=1\) eine Tangente anlegen.

Dies sieht wie folgt aus.

Abb. 1 - Differenzierbarkeit an einer Stelle.

Zudem kannst Du mit Hilfe der Potenzregel die Ableitung bilden.

Es ergibt sich damit von der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2\) die folgende Ableitung.

\[f'(x)=2x\]

Die Ableitung an der Stelle \(x_0=1\) lautet damit wie folgt.

\[f'(1)=2 \cdot 1=2\]

Da an der Stelle \(x_0=1\) eine Ableitung existiert und Du somit eindeutig eine Tangente anlegen kannst, ist die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2\) an dieser Stelle differenzierbar.

Aus dem vorherigen Beispiel ergibt sich folgendes Schaubild der Ableitung \(f'(x)\) mit \(f'(x)=2x\) von der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2\).

Abb. 2 - Differenzierbarkeit im gesamten Definitionsbereich.

Da damit, ohne Einschränkungen, eine Ableitung \(f'(x)\) im gesamten Definitionsbereich \(D_f=( \infty , \infty )\) existiert, ist die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2\) differenzierbar.

Wenn Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\) gegeben hast, kannst Du deren Definitionsbereich bestimmen.

\[D_f=\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}\]

Das Schaubild der Funktion \(f(x)\) sieht folgendermaßen aus.

Abb. 3 - Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Obwohl Du hier beim Zeichnen den Stift absetzen musst, ist diese Funktion stetig. Dies liegt daran, dass die Stelle \(x_0=0\) nicht im Definitionsbereich \(D_f\) der Funktion \(f(x)\) enthalten ist. Innerhalb des Definitionsbereichs für \(x<0\) und \(x>0\) kannst Du den Graphen ohne Unterbrechung zeichnen.

Da also für alle Stellen \(x_0\) im Definitionsbereich \(D_f\) eine Ableitung existiert, ist die Funktion in ihrem Definitionsbereich differenzierbar.

Der Differentialquotient der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2\) lautet wie folgt.

\begin{align}f'(x_0)&=\lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} \\[0.2cm]f'(x_0)&=\lim \limits_{h \to 0} {\frac{(x_0+h)^2-{x_0}^2}{h}} \\[0.2cm]f'(x_0)&=\lim \limits_{h \to 0} {\frac{\cancel{{x_0}^2}+2 \cdot x_0 \cdot h+h^2 \cancel{-{x_0}^2}}{h}} \\[0.2cm]f'(x_0)&=\lim \limits_{h \to 0} {\frac{2 \cdot x_0 \cdot \cancel{h}+h\cancel{^2}}{\cancel{h}}} \\[0.2cm]f'(x_0)&=\lim \limits_{h \to 0} {2 \cdot x_0 +h}\end{align}

Wendest Du nun die Grenzwertgesetze an, so erhältst Du folgenden Ausdruck.\[f'(x_0)=\lim \limits_{h \to 0} {2 \cdot x_0}+\lim \limits_{h \to 0} {h}\]

Lässt Du nun \(h\) gegen \(0\) laufen, so ist der erste Ausdruck unabhängig von \(h\) und der zweite ergibt \(0\).

\begin{align}f'(x_0)&=2 \cdot x_0+0\\f'(x_0)&=2 \cdot x_0\end{align}

Damit ist die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2\) differenzierbar.

Die Betragsfunktion \(f(x)=|x|\) lässt sich in zwei bzw. drei verschiedene Funktionen überführen. Für \(x<0\) entspricht es der Funktion \(g_1(x)=-x\), während sie für \(x>0\) der Funktion \(g_2(x)=x\) entspricht. Dies lässt sich auch folgendermaßen schreiben.

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -x&, & x<0 \\0&,&x=0\\x&, & x>0\end{array}\right. \]

Der Graph der Betragsfunktion \(f(x)=|x|\) sieht wie folgt aus.

Abb. 4 - Differenzierbarkeit der Betragsfunktion.

Es lässt sich gut erkennen, dass die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0=0\) einen Knick macht.

Mit Hilfe der Potenzregel lassen sich die Funktionen \(g_1(x)\) und \(g_2(x)\) ableiten.

\begin{align}g_1'(x)&=-1\\g_2'(x)&=1\end{align}

Damit ergibt sich, dass die Betragsfunktion \(f(x)=|x|\) für \(x <0\) und \(x>0\).

Doch was ist mit der Stelle \(x_0=0\)? An dieser muss nun der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten betrachtet werden.

Beim linksseitigen Grenzwert für die Funktion \(g_1(x)\) gilt:

\begin{align}f'(x_0^-)&=\lim \limits_{h \to 0^-} {\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} \\[0.2cm]g_1'(x_0)&=\lim \limits_{h \to 0} {\frac{g_1(x_0+h)-g_1(x_0)}{h}} \\[0.2cm]g_1'(x_0) &=\lim \limits_{h \to 0} {\frac{-(x_0+h)-(-x_0)}{h}} \\[0.2cm]g_1'(x_0) &=\lim \limits_{h \to 0} {\frac{\cancel{-x_0}-h\cancel{+x_0}}{h}} \\[0.2cm]g_1'(x_0) &=\lim \limits_{h \to 0} {-\frac{\cancel{h}}{\cancel{h}}} \\[0.2cm]g_1'(x_0) &=\lim \limits_{h \to 0} {-1} =-1\end{align}

Beim rechtsseitigen Grenzwert für die Funktion \(g_2(x)\) gilt:

\begin{align}f'(x_0^+)&=\lim \limits_{h \to 0^+} {\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} \\[0.2cm]g_2'(x_0) &=\lim \limits_{h \to 0} {\frac{g_2(x_0+h)-g_2(x_0)}{h}} \\[0.2cm]g_2'(x_0) &=\lim \limits_{h \to 0} {\frac{\cancel{x_0}+h\cancel{-x_0}}{h}} \\[0.2cm]g_2'(x_0) &=\lim \limits_{h \to 0} {\frac{\cancel{h}}{\cancel{h}}} \\[0.2cm]g_2'(x_0) &=\lim \limits_{h \to 0} {1} =1\end{align}

Damit ergeben sich für den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert unterschiedliche Werte.

\[g_1'(x_0)=-1 \neq g_2'(x_0)=1\]

Damit ist die Betragsfunktion \(f(x)=|x|\) nicht differenzierbar.

Hier tritt genau der Fall ein, dass an der Stelle \(x_0=0\) mehrere Tangenten angelegt werden könnten, die die Funktion \(f(x)=|x|\) berühren. Damit ist die Funktion \(f(x)=|x|\) an der Stelle \(x_0\) nicht differenzierbar und damit ist die Funktion \(f(x)\) nicht differenzierbar.

Aufgabe 1

Begründe, weshalb die Funktion \(f(x)\) mit

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -3x&, & x\leq1\\x-2&, & x>1\end{array}\right.\]

nicht differenzierbar ist. Der Definitionsbereich der Funktion \(f(x)\) ist \(D_f=\mathbb{R}\).

Lösung

Schau Dir dafür zuerst das Schaubild der Funktion \(f(x)\) an.

Abb. 5 - Schaubild zur Aufgabe 1.

Es ist zu erkennen, dass die Funktion \(f(x)\) einen Sprung bei \(x_0=1\) macht und damit der Graph im Definitionsbereich \(D_f\) nicht ohne Unterbrechung ist. Dadurch lässt sich am Punkt \(x_0=1\) keine Tangente anlegen. Das bedeutet, dass die Funktion \(f(x)\) nicht stetig ist und damit auch nicht differenzierbar.

Aufgabe 2

Zeige mit Hilfe des Differentialquotienten, dass die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x-\pi\) differenzierbar ist.

Lösung

Schau Dir wieder zuerst das Schaubild der Funktion \(f(x)\) an.

Abb. 6 - Schaubild zur Aufgabe 2.

Anhand des Schaubildes kann erahnt werden, dass die Funktion \(f(x)\) differenzierbar ist. Überprüfe dies nun mit Hilfe des Differentialquotienten.

\begin{align}f'(x_0)&=\lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} \\[0.2cm]f'(x_0)&=\lim \limits_{h \to 0} {\frac{(x_0+h)^2+(x_0+h)-\pi-({x_0}^2+x_0-\pi)}{h}} \\[0.2cm]f'(x_0)&=\lim \limits_{h \to 0} {\frac{\cancel{{x_0}^2}+2 \cdot x_0 \cdot h+h^2 \cancel{+x_0}+h\cancel{-\pi}\cancel{-{x_0}^2}\cancel{-x_0}\cancel{+\pi}}{h}} \\[0.2cm]f'(x_0)&=\lim \limits_{h \to 0} {\frac{2 \cdot x_0 \cancel{\cdot h}+h^\cancel{2}+\cancel{h}}{\cancel{h}}} \\[0.2cm]f'(x_0)&=\lim \limits_{h \to 0} 2 \cdot x_0 +h+1 \\[0.2cm]f'(x_0)&= 2 \cdot x_0 +1 \\\end{align}

Die Ableitung \(f'(x)\) der Funktion \(f(x)\) existiert uneingeschränkt. Damit ist die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x-\pi\) differenzierbar.