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In diesem Artikel erklären wir dir Uneigentliche Integrale. Du erfährst, was Uneigentliche Integrale sind und wie und mit welche Formel sie berechnet werden können.
Uneigentliche Integrale erweitern den Themenbereich Integral und sind ein Teilbereich der Mathematik.
Wie du im unteren Bild sehen kannst, geht die Funktion ins Unendliche. Das Integral, also die Fläche dieser Kurve reicht in das Unendliche und hat dennoch einen endlichen Flächeninhalt. Sowas nennt man ein uneigentliches Integral.
Allgemein gilt somit folgende Formel:
Dabei wird zwischen zwei Arten von uneigentlichen Integralen unterschieden:
Quelle: Abiturma.de
Kurz gefasst:
In drei Schritten kannst du ganz einfach das uneigentliche Integral bestimmen. Wir zeigen dir das anhand eines Beispiels:
Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = e^-x und der x-Achse für x ≥ 0.
Der Flächeninhalt beträgt genau 1 FE.
Überprüfe, ob folgende Funktionen im ersten Quadranten einen endlichen Flächeninhalt mit der x-Achse einschließen. Ist dies der Fall, so gib den Flächeninhalt an.
Betrachte
Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt:
Wenn du genau wie bei a) vorgehst, erhältst du:
Es gilt hier jedoch:
A(z) ⟶ +∞ für z ⟶ +∞
Deswegen ist der eingeschlossene Flächeninhalt nicht endlich groß.
Überprüfe, ob folgendes uneigentliches Integral einen endlichen Wert hat:
Wie du am uneigentlichen Integral erkennen kannst, handelt es sich hierbei um ein uneigentliches Integral erster Art mit zwei kritischen Integralgrenzen. Das heißt, das Integral muss in zwei Integrale mit jeweils einer kritischen Grenze aufgeteilt werden:
Wir bestimmen zuerst das erste uneigentliche Integral:
Ersetze die kritische Intervallgrenze -∞ mit der Variable ∝: 
In Abhängigkeit von ∝ bestimmst du nun das Integral:
Jetzt bestimmst du den Grenzwert für ∝ → -∞:
Das heißt, für das erste Integral gilt:
Jetzt bestimmen wir den Wert des zweiten uneigentlichen Integrals: 
Ersetze zuerst die kritische Intervallgrenze ∞ durch die Variable β:
In Abhängigkeit bestimmst du jetzt das Integral:
Bestimme dann den Grenzwert für β → ∞:
Zuletzt addierst du deine Ergebnisse, um den Wert des gesuchten uneigentlichen Integral zu bekommen:
Uneigentliche Integrale sind endliche Flächeninhalte, zwischen unendlichen Kurven und der x-Achse.Mit den folgenden drei Schritten kannst du sie berechnen:
Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun alles über uneigentliche Integrale wissen und wie du sie berechnen kannst. Weiter so!
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