Uneigentliche Integrale

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INHALTSANGABE

In diesem Artikel erklären wir dir Uneigentliche Integrale. Du erfährst, was Uneigentliche Integrale sind und wie und mit welche Formel sie berechnet werden können.

Uneigentliche Integrale erweitern den Themenbereich Integral und sind ein Teilbereich der Mathematik.

Was sind Uneigentliche Integrale?

Wie du im unteren Bild sehen kannst, geht die Funktion ins Unendliche. Das Integral, also die Fläche dieser Kurve reicht in das Unendliche und hat dennoch einen endlichen Flächeninhalt. Sowas nennt man ein uneigentliches Integral.

Allgemein gilt somit folgende Formel:

Dabei wird zwischen zwei Arten von uneigentlichen Integralen unterschieden:

Beim Uneigentlichen Integral 1. Art befinden sich ∞, −∞ oder beides in den Integrationsgrenzen.
Beim Uneigentlichen Integral 2. Art ist die Funktion f(x) für eine der Grenzen u,k oder beide nicht definiert, d.h. es gilt: f(u) oder f(k) ist nicht definiert

Quelle: Abiturma.de

Kurz gefasst:

Fläche einer Kurve die unendlich ist → Flächeninhalt ist aber endlich
Es gibt 2 Arten von uneigentlichen Integralen

Wie bestimme ich ein uneigentliches Integral?

In drei Schritten kannst du ganz einfach das uneigentliche Integral bestimmen. Wir zeigen dir das anhand eines Beispiels:

Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = e^-x und der x-Achse für x ≥ 0.

Schritt: Stelle dir eine rechte Grenze vor und nenne sie Variable z. Stelle dann einen Term A(z) für den Flächeninhalt auf.
Berechne das Integral in Abhängigkeit von z.
Bestimme den Grenzwert z ⟶ ∞.

Der Flächeninhalt beträgt genau 1 FE.

Uneigentliches Integral: Beispielaufgabe 1

Überprüfe, ob folgende Funktionen im ersten Quadranten einen endlichen Flächeninhalt mit der x-Achse einschließen. Ist dies der Fall, so gib den Flächeninhalt an.

Lösung Aufgabe 1:

Betrachte

Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt:

Wenn du genau wie bei a) vorgehst, erhältst du:

Es gilt hier jedoch:

A(z) ⟶ +∞ für z ⟶ +∞

Deswegen ist der eingeschlossene Flächeninhalt nicht endlich groß.

Uneigentliches Integral: Beispielaufgabe 2

Überprüfe, ob folgendes uneigentliches Integral einen endlichen Wert hat:

Lösung Aufgabe 2:

Wie du am uneigentlichen Integral erkennen kannst, handelt es sich hierbei um ein uneigentliches Integral erster Art mit zwei kritischen Integralgrenzen. Das heißt, das Integral muss in zwei Integrale mit jeweils einer kritischen Grenze aufgeteilt werden:

Wir bestimmen zuerst das erste uneigentliche Integral:
1. Ersetze die kritische Intervallgrenze -∞ mit der Variable ∝:

In Abhängigkeit von ∝ bestimmst du nun das Integral:

Jetzt bestimmst du den Grenzwert für ∝ → -∞:

Das heißt, für das erste Integral gilt:

Jetzt bestimmen wir den Wert des zweiten uneigentlichen Integrals:

Ersetze zuerst die kritische Intervallgrenze ∞ durch die Variable β:

In Abhängigkeit bestimmst du jetzt das Integral:

Bestimme dann den Grenzwert für β → ∞:
Es gilt:

Zuletzt addierst du deine Ergebnisse, um den Wert des gesuchten uneigentlichen Integral zu bekommen:

Alles Wichtige zu Uneigentlichen Integralen auf einen Blick!

Uneigentliche Integrale sind endliche Flächeninhalte, zwischen unendlichen Kurven und der x-Achse.Mit den folgenden drei Schritten kannst du sie berechnen:

Rechte Grenze = z. Term A(z) aufstellen für Flächeninhalt.
In Abhängigkeit von z Integral berechnen.
Grenzwert für z ⟶ ∞ bestimmen.

Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun alles über uneigentliche Integrale wissen und wie du sie berechnen kannst. Weiter so!

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