Eigentlich haben Integrale, die Du berechnen sollst, oben und unten eine klare Grenze. Uneigentlich können diese Grenzen aber auch keinen konkreten Wert haben, sondern \(\pm\infty\) groß sein. Dann handelt es sich um uneigentliche Integrale. Eine genaue Definition und wie Du uneigentliche Integrale berechnen kannst, erfährst Du hier anhand von Beispielen und Übungen.
Uneigentliche Integrale – Grundlagen
Mit einem Integral kannst Du die Fläche zwischen einem Funktionsgrafen und der x-Achse ausrechnen. Wird diese Fläche auf der x-Achse durch zwei Werte \(a\) und \(b\) begrenzt, ist von einem bestimmten bzw. eigentlichem Integral die Rede.
Ein solches bestimmtes, eigentliches Integral mit den Grenzen \(a\) und \(b\) kannst Du wie folgt berechnen:
\begin{align}\int_{\color{#1478c8}a}^{\color{#1478c8}b} f(x)\,dx&=[F(x)]_{\color{#1478c8}a}^{\color{#1478c8}b}\\&=F({\color{#1478c8}b})-F({\color{#1478c8}a})\end{align}
Dabei ist \(F(x)\) die Stammfunktion.
Uneigentliche Integrale – Definition
Uneigentliche Integrale unterscheiden sich zu bestimmten Integralen dadurch, dass sie unendliche Grenzen haben.
Ein uneigentliches Integral ist ein Integral, bei dem mindestens eine der Grenzen statt eines (Zahlen-)wertes unendlich oder minus unendlich ist.
$$ \int_{-\infty}^\infty{f(x)} dx $$
$$ \int_{-\infty}^b{f(x)} dx $$
$$ \int_b^\infty{f(x)} dx $$
Bei einem uneigentlichen Integral wird also die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse mit (zumindest teilweise) unendlichen Grenzen betrachtet.
Ohne klar definierte Grenzen, kann diese Fläche unendlich groß sein. Es können aber auch Flächen entstehen, die einen begrenzten Flächeninhalt haben. Dafür müssen die Funktionen auf bestimmte Weise konvergieren.
Uneigentliche Integrale – Konvergenz
Konvergenz beschreibt die Annäherung einer Funktion \(f(x)\) an einen bestimmten Funktionswert, wenn \(x\) dabei gegen plus bzw. minus unendlich läuft.
Wenn die Ausgangsfunktion \(f(x)\) gegen die x-Achse konvergiert, also
\[\lim \limits _{x \to \infty} f(x) = 0,\]
ist auch die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse für \(x \to \infty\) begrenzt.
Das Integral der Funktion \(f(x)=\frac{1}{x^2}\) von \(1\) bis unendlich hat einen Wert kleiner unendlich, da die Funktion gegen \(0\) konvergiert.
Abb. 1 - Beispiel für eine Uneigentliches Integral mit begrenzter Fläche.
$$ \int_1^\infty{\frac{1}{x^2}} \,dx = \color{#00dcb4}1 $$
Obwohl die Funktion nie die x-Achse schneidet, also immer über null ist, hat das uneigentliche Integral einen endlichen Wert, da die Fläche zwischen dem Graphen und der Funktion für \(x \to \infty\) immer kleiner wird.
Unbegrenzte Flächen bei uneigentlichen Integralen
Wenn die Funktion aber nicht gegen 0 oder gar nicht konvergiert, dann werden die Flächen im Unendlichen immer größer und lassen sich keiner Zahl mehr zuordnen.
Betrachte dafür zum Beispiel den Graphen der Funktion
\[f(x)=\frac{1}{x^2}+1\]
Abb. 2 - Beispiel für ein Uneigentliches Integral mit unbegrenzter Fläche.
Wie Du siehst, nähert sich die Funktion für \(x \rightarrow \infty\) nicht \(0\), sondern \(1\) an. Dadurch nimmt die Fläche zwischen dem Funktionsgrafen und der x-Achse mit steigenden x-Werten immer weiter zu.
$$ \int_1^\infty{\frac{1}{x^2}+1} \,dx = \color{#00dcb4}\infty $$
Uneigentliche Integrale können also einen expliziten oder einen unendlichen Grenzwert haben. Aber wie werden diese konkret berechnet?
Uneigentliche Integrale – berechnen und Beispiele
Um ein uneigentliches Integral einer Funktion zu berechnen, bildest Du, wie bei bestimmten Integralen auch, ihre Stammfunktion und setzt die gegebenen Grenzen ein. Die unbestimmte Grenze, also \(\pm \infty\), ersetzt Du dabei zunächst durch eine Variable, mit der Du anschließend dann einen Grenzwert ermittelst.
Willst Du also uneigentliche Integrale berechnen, kannst Du Dich an folgende Schritte halten.
- Unbestimmte Grenze (\(\pm \infty\)) durch eine Variable \(a\) ersetzen
- Integral in Abhängigkeit der Variablen \(a\) berechnen
- Grenzwert für das berechnete Integral bestimmen \(\rightarrow \lim \limits _{a \to \pm\infty}\)
Wenn das Integral zwei unendliche Grenzen hat,
kannst Du es in zwei Integrale aufteilen, welche dann jeweils nur eine unendliche Grenze haben.
\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \, d(x) = \int_{-\infty}^{0}f(x) \, d(x) + \int_{0}^{+\infty}f(x) \, d(x)\]
Von den beiden Integralen berechnest Du dann jeweils den Grenzwert und addierst diese anschließend.
Uneigentliche Integrale e-Funktion
Wenn Du uneigentliche Integrale von Funktionen berechnen sollst, geht es meist um Funktionen, die gegen einen Wert konvergieren. Ein typisches Beispiel dafür ist die e-Funktion.
Abb. 3 - Uneigentliches Integral bei der e-Funktion.
Die dargestellte e-Funktion konvergiert für \(x \to -\infty\) gegen \(0\). Damit könnte ein Wert für ein uneigentliches Integral der e-Funktion grundsätzlich existieren.
Aufgabe 1
Bestimme den Wert des uneigentlichen Integrals
$$ \int _{-\infty}^{0} e^{2x} \, dx$$
Lösung
Schritt 1:
Zunächst beginnst Du damit, die uneigentliche Grenze, also hier \(-\infty\), mit einer Variable \(a\) zu ersetzen.
$$ \int _{{\color{#1478c8}-\infty}}^{0} e^{2x} \, dx = \int_{{\color{#1478c8}a}}^0 e^{2x} \, dx $$
Schritt 2:
Jetzt berechnest Du das Integral, indem Du die Stammfunktion ermittelst, die Grenzen darin einsetzt und den Term so weit es geht vereinfachst.
Die Stammfunktion von \(e^{2x}\) kann mittels der Substitution berechnet werden \(\to \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} \cdot e^{2x}\). Eine ausführliche Anleitung dazu findest Du in der Erklärung "E Funktion integrieren".
\begin{align} \int _{\color{#1478c8}a}^{\color{#1478c8}0} e^{2x} \, dx &= \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{\color{#1478c8}a}^{\color{#1478c8}0}\\[0.2cm] &= \frac{1}{2} \cdot e^{2\cdot {\color{#1478c8}0}} - \frac{1}{2} \cdot e^{2\cdot {\color{#1478c8}a}} \\[0.2cm] &= \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} e^{2\cdot {\color{#1478c8}a}} \\[0.2cm] &=\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{2\cdot {\color{#1478c8}a}}\end{align}
Schritt 3:
Abschließend berechnest Du nun den Grenzwert des Terms für die substituierte Variable \(a\) gegen die uneigentliche Grenze. Also hier \(a \to -\infty\).
\begin{align} \lim \limits_{{\color{#1478c8}a} \rightarrow -\infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{2\cdot {\color{#1478c8}a}} \right) &= \frac{1}{2} - 0 \\&=\frac{1}{2}\end{align}
Setzt Du in den Term \(e^{2 \cdot {\color{#1478c8}a}}\) für die Variable \(\color{#1478c8}a\) hohe negative Zahlen ein, wirst Du merken, dass sich der Term immer mehr der \(0\) annähert. Dieser Term fällt also für \(a \to -\infty\) weg.
Das Integral \( \int _{-\infty}^{0} e^{2x} \, dx\) hat also einen Wert von \(\frac{1}{2}\).
Uneigentliche Integrale rationale Funktion
Ein weiteres Beispiel für konvergierende Funktionen und damit auch für uneigentliche Integrale sind gebrochenrationale Funktionen.
Aufgabe 2
Prüfe, ob das folgende uneigentliche Integral einen endlichen Wert hat und bestimme diesen ggf.
$$ \int_0^\infty \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1} \,dx $$
Lösung
Schritt 1:
Beginne damit, die uneigentliche Grenze \(\infty\) im Integral durch eine Variable \(a\) zu ersetzen.
$$ \int_0^{\color{#1478c8}\infty} \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1}\,dx = \int_0^{\color{#1478c8}a} \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1}\, dx$$
Schritt 2:
Jetzt berechnest Du das Integral. Bilde also zunächst die Stammfunktion und löse den Term nach den gegebenen Grenzen auf.
Wenn bei der Funktion, die Du integrieren möchtest, im Zähler die Ableitung vom Nenner steht, kannst Du folgenden Trick für die Stammfunktion anwenden \(\rightarrow \int \frac{g'}{g} \, dx = \ln(g) \).
\begin{align} \int_{\color{#1478c8}0}^{\color{#1478c8}a} \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1} &= \left[ \ln(x^3+2x+1) \right]_{\color{#1478c8}0}^{\color{#1478c8}a}\\ &= \ln({\color{#1478c8}a}^3+2 \cdot {\color{#1478c8}a}+1)-\ln({\color{#1478c8}0}^3+2 \cdot {\color{#1478c8}0} +1)\\&= \ln({\color{#1478c8}a}^3+2 \cdot {\color{#1478c8}a}+1)-\underbrace{\ln(1)}_{=0}\\&= \ln({\color{#1478c8}a}^3+2\cdot {\color{#1478c8}a}+1)\end{align}
Schritt 3:
Zu guter Letzt bestimmst Du den Grenzwert des vereinfachten Terms für \({\color{#1478c8}a} \to \infty\).
\[\lim \limits_{{\color{#1478c8}a} \to \infty} \ln({\color{#1478c8}a}^3+2\cdot {\color{#1478c8}a}+1) = \infty \]
Der natürliche Logarithmus nähert sich für \({\color{#1478c8}a} \to \infty\) keinem Wert an, sondern steigt langsam immer weiter und wird unendlich groß.
Das Integral \( \int_0^\infty \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1} \,dx \) hat somit keinen Grenzwert und ist demnach divergent.
Uneigentliche Integrale – Übungen und Aufgaben
Jetzt bist Du dran! Mit den folgenden Aufgaben kannst Du Dein erlerntes Wissen zum Thema uneigentliche Integrale auf die Probe stellen.
Aufgabe 3
Prüfe, ob das folgende uneigentliche Integral einen endlichen Wert hat und bestimme diesen ggf.
$$ \int_1^\infty{\frac{1}{x^2}} \,dx $$
Lösung
Schritt 1: Unbestimmte Grenze \(\infty\) durch eine Variable \(a\) ersetzen
$$ \int_1^{\color{#1478c8}\infty}{\frac{1}{x^2}} \,dx = \int_1^{\color{#1478c8}a}{\frac{1}{x^2}} \, dx$$
Schritt 2: Integral in Abhängigkeit der Variablen \(a\) berechnen
\begin{align} \int_{\color{#1478c8}1}^{\color{#1478c8}a}\frac{1}{x^2} \, dx &= \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\color{#1478c8}1}^{\color{#1478c8}a}\\[0.2cm]&=-\frac{1}{{\color{#1478c8}a}}-\left(- \frac{1}{{\color{#1478c8}1}} \right) \\[0.2cm]&=-\frac{1}{{\color{#1478c8}a}}+1 \end{align}
Schritt 3: Grenzwert für das berechnete Integral bestimmen für \({\color{#1478c8}a} \to \infty\)
\[\lim \limits_{{\color{#1478c8}a} \to \infty} \left(-\frac{1}{{\color{#1478c8}a}}+1 \right) =0+ 1 \]
Läuft \(a\) gegen Unendlich, wird der Nenner des Bruches \(\frac{1}{a}\) unendlich groß. Je größer ein Nenner wird, desto kleiner wird der gesamte Bruch. Bei einem unendlich großen Nenner läuft der Bruch also gegen \(0\).
Das Integral \(\int_1^\infty{\frac{1}{x^2}} \,dx \) hat damit einen Wert von \(1\).
Aufgabe 4
Prüfe, ob das folgende uneigentliche Integral einen endlichen Wert hat und bestimme diesen ggf.
\[ \int_{-\infty}^{3} e^{x-2} \, dx \]
Lösung
Schritt 1: Unbestimmte Grenze \(-\infty\) durch eine Variable \(a\) ersetzen
$$ \int_{{\color{#1478c8}-\infty}}^3 e^{x-2} \,dx = \int_{\color{#1478c8}a}^3 e^{x-2} \,dx $$
Schritt 2: Integral in Abhängigkeit der Variablen \(a\) berechnen
\begin{align}\int_{\color{#1478c8}a}^{\color{#1478c8}3} e^{x-2} \,dx &= \left[e^{x-2}\right] ^ {\color{#1478c8}3}_{\color{#1478c8}a} \\&=e^{{\color{#1478c8}3}-2}-e^{{\color{#1478c8}a}-2}\\&=e^1-e^{{\color{#1478c8}a}-2}\end{align}
Schritt 3: Grenzwert für das berechnete Integral bestimmen für \({\color{#1478c8}a} \to -\infty\)
\[\lim \limits_{{\color{#1478c8}a} \to - \infty} \left( e^1-e^{{\color{#1478c8}a}-2} \right) = e^1-0\]
Für \({\color{#1478c8}a} \to -\infty\) nähert sich \(e^{{\color{#1478c8}a}-2}\) dem Wert \(0\) an. Übrig bleibt also nur noch der Term \(e^1\).
Das Integral \(\int_{-\infty}^{3} e^{x-2} \, dx \) hat somit einen Grenzwert von \(e^1\).
Uneigentliche Integrale – Das Wichtigste
- Ein uneigentliches Integral ist ein Integral, bei dem mindestens eine der Grenzen statt eines (Zahlen-)wertes unendlich oder minus unendlich ist.
- $$ \int_{-\infty}^\infty{f(x)} \, dx $$
- $$ \int_{-\infty}^b{f(x)} \, dx $$
- $$ \int_b^\infty{f(x)} \, dx $$
- Konvergiert die zu integrierende Funktion gegen \(0\), kann ein fester Wert für das uneigentliches Integral existieren.
- Beispiele für uneigentliche Integrale:
- e Funktion \(\rightarrow \int_{-\infty}^0 e^x \, dx = 1\)
- gebrochenrationale Funktion \(\rightarrow \int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx = 1\)
- Möchtest Du uneigentliche Integrale berechnen, kannst Du Dich an folgende Schritte halten:
- Unbestimmte Grenze (\(\pm \infty\)) durch eine Variable \(a\) ersetzen
- Integral in Abhängigkeit der Variablen \(a\) berechnen
- Grenzwert für das berechnete Integral bestimmen \(\rightarrow \lim \limits _{a \to \pm\infty}\)
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