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Die Kurvendiskussion ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis, denn sie zeigt allerlei Eigenschaften einer speziellen Funktion auf. Damit Du die Eigenschaften von verschiedenen Funktionen kennst, zeigt Dir diese Erklärung die Kurvendiskussion von sechs verschiedenen Funktionstypen auf.Eine Kurvendiskussion behandelt wichtige Eigenschaften einer konkreten Funktion f(x). Dabei handelt es sich beispielsweise um den Wertebereich Wf, den Definitionsbereich Df, die Nullstellen x0n, den…
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Jetzt kostenlos anmeldenDie Kurvendiskussion ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis, denn sie zeigt allerlei Eigenschaften einer speziellen Funktion auf. Damit Du die Eigenschaften von verschiedenen Funktionen kennst, zeigt Dir diese Erklärung die Kurvendiskussion von sechs verschiedenen Funktionstypen auf.
Eine Kurvendiskussion behandelt wichtige Eigenschaften einer konkreten Funktion . Dabei handelt es sich beispielsweise um den Wertebereich , den Definitionsbereich , die Nullstellen , den y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Symmetrie, die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte , das Krümmungsverhalten und bei trigonometrischen Funktionen noch um die Periode p.
Möchtest Du Dein Wissen zur Kurvendiskussion auffrischen? Im Artikel „Kurvendiskussion“ kannst Du Dir alle Einzelheiten und die hier aufgeführten Eigenschaften noch einmal genauer ansehen.
Schau Dir zuerst die Kurvendiskussion von Polynomfunktionen an. Sie werden auch als ganzrationale Funktionen bezeichnet.
Eine Polynomfunktion hat folgende Funktionsgleichung mit den reellen Parametern , :
Dabei bezeichnet n den Grad der Funktion, wobei sein muss.
Unter diese Definition fallen auch quadratische Funktionen (mit dem Grad ) und lineare Funktionen (mit dem Grad ). Sie sind daher ebenfalls Polynomfunktionen. Schau Dir einmal ein Schaubild einer Polynomfunktion mit konkreten Parametern an.
Der Graph der Funktion mit ist in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.
Abbildung 1: Schaubild einer Polynomfunktion
Du kannst das Schaubild der Funktion später nutzen, um das allgemeine Vorgehen einer Kurvendiskussion an der Funktion zu überprüfen. Eine ausführliche rechnerische Kurvendiskussion einer konkreten Polynomfunktion kannst Du im Artikel „Kurvendiskussion von Polynomfunktionen“ nachvollziehen.
Die Vorgehensweise einer Kurvendiskussion ist bei allen Polynomfunktionen dieselbe. Die nachfolgende Tabelle verschafft Dir einen Überblick darüber.
Eigenschaft | Allgemeines Vorgehen | |||||||||
Wertebereich |
| |||||||||
Definitionsbereich | Eine Polynomfunktion kann laut Definition keine Definitionslücken haben, damit entspricht der Definitionsbereich jeder Polynomfunktion: . | |||||||||
Nullstellen |
| |||||||||
y-Achsenabschnitt |
| |||||||||
Verhalten im Unendlichen – Grenzwert |
| |||||||||
Symmetrie |
Zur Erinnerung:
| |||||||||
Extremstellen |
| |||||||||
Monotonie |
| |||||||||
Wendepunkte |
| |||||||||
Krümmungsverhalten |
|
Wenn Du ein konkretes Beispiel für eine Kurvendiskussion an einer Polynomfunktion betrachten möchtest, schau doch in die Erklärung „Kurvendiskussion von Polynomfunktionen“.
Neben ganzrationalen Funktionen gibt es auch gebrochenrationale Funktionen, die aus dem Quotienten von zwei Polynomfunktionen bestehen. Bei der Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion muss insbesondere die Definitionsmenge beachtet werden, da diese Definitionslücken enthalten kann.
Im Vergleich zu den Polynomfunktionen, lassen sich bei der Exponentialfunktion, der Logarithmusfunktion und den trigonometrischen Funktionen bestimmte Eigenschaften bereits verallgemeinern.
Betrachtet wird die Kurvendiskussion der erweiterten natürlichen Exponentialfunktion, der sogenannten e-Funktion.
Die erweiterte e-Funktion besitzt folgende Funktionsgleichung:
Wobei und sein muss.
Um Dir eine erweiterte e-Funktion besser vorstellen zu können, schau Dir ein Schaubild einer solchen Funktion an.
Die Funktion mit und den Parametern und siehst Du in der Grafik 2.
Abbildung 2: Schaubild einer erweiterten e-Funktion
Du kannst die Abbildung wieder verwenden, um das allgemeine Vorgehen der Kurvendiskussion zu überprüfen.
Eigenschaft | ||||||||||
Wertebereich | Für : Für : | |||||||||
Definitionsbereich | ||||||||||
Nullstellen | Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen, solange die Funktion in der obigen Form vorliegt. Wird etwa eine Konstante dazu addiert, so können sich Nullstellen ergeben. | |||||||||
y-Achsenabschnitt | (solange obige Form vorliegt) | |||||||||
Verhalten im Unendlichen – Grenzwert | ||||||||||
Symmetrie | Die e-Funktion besitzt keine Symmetrie. | |||||||||
Monotonie |
| |||||||||
Extremstellen | Die e-Funktion besitzt keine Extremstellen. | |||||||||
Krümmungsverhalten | Für : LinksgekrümmtFür : Rechtsgekrümmt | |||||||||
Wendepunkte | Die e-Funktion besitzt keine Wendepunkte. |
Möchtest Du Dir ein Beispiel zu einer Kurvendiskussion einer e-Funktion anschauen? Dann öffne die Erklärung „Kurvendiskussion e-Funktion“ und rechne gleich mit.
Die Umkehrfunktion zur e-Funktion ist die ln-Funktion. Wie sieht die Kurvendiskussion einer solchen Funktion aus?
Kurvendiskussion der ln-Funktion
Betrachtet wird die erweiterte natürliche Logarithmusfunktion.
Die erweiterte natürliche Logarithmusfunktion besitzt folgende Funktionsgleichung:
Wobei und sein muss.
Die Funktion mit hat die Parameter und .
Abbildung 3: Schaubild einer erweiterten ln-Funktion
In der nachfolgenden Tabelle findest Du eine Übersicht für eine Kurvendiskussion einer erweiterten ln-Funktion mit der Funktionsgleichung .
Eigenschaft | |
Wertebereich | |
Definitionsbereich | Für : Für : |
Nullstellen | |
y-Achsenabschnitt | Für : Für : Die ln-Funktion besitzt keinen y-Achsenabschnitt. |
Verhalten im Unendlichen – Grenzwert für | |
Verhalten im Unendlichen – Grenzwert für | |
Symmetrie | Die ln-Funktion besitzt keine Symmetrie. |
Monotonie | Für : Streng monoton wachsendFür : Streng monoton fallend |
Extremstellen | Die ln-Funktion besitzt keine Extremstellen. |
Krümmungsverhalten | Rechtsgekrümmt |
Wendepunkte | Die ln-Funktion besitzt keine Wendepunkte. |
Wenn Du auch hier ein Beispiel einer konkreten ln-Funktion betrachten möchtest, schau in der Erklärung „Kurvendiskussion Logarithmusfunktion“ vorbei.
Betrachtet werden die erweiterte Sinusfunktion und die erweiterte Kosinusfunktion .
Die erweiterte Sinus- bzw. Kosinusfunktion besitzen folgende Funktionsgleichungen:
Wobei und gelten muss.
Schau Dir als Nächstes ein Schaubild einer trigonometrischen Funktion an.
Die Funktion mit besitzt die Parameter , , und .
Abbildung 4: Schaubild einer erweiterten Sinusfunktion
Da sich trigonometrische Funktionen periodisch wiederholen, wird bei der Kurvendiskussion auch die Periode p betrachtet.
Gleichzeitig wird auf das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert verzichtet. Denn dies ändert sich bei trigonometrischen Funktionen nie, was Du auch in den Erklärungen „Sinusfunktion“ und „Kosinusfunktion“ nachlesen kannst.
Eigenschaft | ||
Wertebereich | ||
Definitionsbereich | ||
Periode | ||
Nullstellen für | (nur 1 Nullstelle) | |
Die Nullstellen wiederholen sich nach einer halben Periode , sowohl für als auch für . | ||
Nullstellen für |
|
|
Die Nullstellen wiederholen sich jeweils nach einer Periode p. | ||
Extremstellen für | HP entspricht dabei einem Hochpunkt und TP entspricht dabei einem Tiefpunkt. | |
Extremstellen für | ||
Extremstellen | Die Extremstellen wiederholen sich nach jeweils einer Periode p. | |
Monotonie |
| |
Wendepunkte | ||
Die Wendepunkte wiederholen sich jeweils nach einer halben Periode . | ||
Krümmungsverhalten |
|
Dir ist vielleicht aufgefallen, dass der Tangens fehlt. Dies hat der Tangens seiner Kuriosität zu verdanken. Mehr dazu kannst Du in der Erklärung „Tangensfunktion“ herausfinden. Eine ausführliche Kurvendiskussion beim Tangens würde an dieser Stelle zu weit führen.
Möchtest Du noch ein Beispiel für eine Kurvendiskussion einer konkreten trigonometrischen Funktionen? Dann schau Dir unsere Erklärung „Kurvendiskussion der trigonometrischen Funktionen“ an.
Die Kurvendiskussion einer Funktionsschar wird je nach Funktionstyp wie eine Kurvendiskussion einer Polynomfunktion, einer Exponentialfunktion, einer Logarithmusfunktion oder einer trigonometrischen Funktion durchgeführt.
Schau Dir zum besseren Verständnis einer Funktionenschar ein Schaubild einer e-Funktion mit dem Scharparameter t an.
Du hast die Funktion mit gegeben. Dabei ist t der Scharparameter. Die Abbildung 5 zeigt dabei die Schaubilder für , , , und .
Abbildung 5: Schaubilder einer Funktionenschar
Dabei musst Du beachten, dass sich der Scharparameter unterschiedlich auf die Eigenschaften der Funktion auswirken kann. Oftmals musst Du dazu eine Fallunterscheidung des Scharparameters durchführen.
Auf eine allgemeine Aufstellung wird an dieser Stelle verzichtet, da sich der Scharparameter an unterschiedlichster Stelle einer Funktion befinden kann. Für ein Beispiel kannst Du Dir die Erklärung „Kurvendiskussion Funktionsschar“ anschauen.
Der Wertebereich, der Definitionsbereich, die Nullstellen, der y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Symmetrie, die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten gehören zu einer Kurvendiskussion. Bei trigonometrischen Funktionen kann zusätzlich noch die Periode betrachtet werden.
Der Wertebereich, der Definitionsbereich, die Nullstellen, der y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Symmetrie, die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten können bei einer Kurvendiskussion untersucht werden. Bei trigonometrischen Funktionen kann zusätzlich noch die Periode betrachtet werden.
Eine Kurvendiskussion kann für jede beliebige Funktion durchgeführt werden. Zum Beispiel für Polynomfunktionen, e-Funktionen, ln-Funktionen, trigonometrische Funktionen, aber auch für gebrochenrationale Funktionen.
Eine Kurvendiskussion wird benötigt, um allerlei Eigenschaften einer speziellen Funktion aufzuzeigen.
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