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Kurvendiskussion Beispiele

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Kurvendiskussion Beispiele

Die Kurvendiskussion ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis, denn sie zeigt allerlei Eigenschaften einer speziellen Funktion auf. Damit Du die Eigenschaften von verschiedenen Funktionen kennst, zeigt Dir diese Erklärung die Kurvendiskussion von sechs verschiedenen Funktionstypen auf.

Kurvendiskussion – Grundwissen

Eine Kurvendiskussion behandelt wichtige Eigenschaften einer konkreten Funktion . Dabei handelt es sich beispielsweise um den Wertebereich , den Definitionsbereich , die Nullstellen , den y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Symmetrie, die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte , das Krümmungsverhalten und bei trigonometrischen Funktionen noch um die Periode p.

Möchtest Du Dein Wissen zur Kurvendiskussion auffrischen? Im Artikel „Kurvendiskussion“ kannst Du Dir alle Einzelheiten und die hier aufgeführten Eigenschaften noch einmal genauer ansehen.

Kurvendiskussion von Polynomfunktionen

Schau Dir zuerst die Kurvendiskussion von Polynomfunktionen an. Sie werden auch als ganzrationale Funktionen bezeichnet.

Eine Polynomfunktion hat folgende Funktionsgleichung mit den reellen Parametern , :

Dabei bezeichnet n den Grad der Funktion, wobei sein muss.

Unter diese Definition fallen auch quadratische Funktionen (mit dem Grad ) und lineare Funktionen (mit dem Grad ). Sie sind daher ebenfalls Polynomfunktionen. Schau Dir einmal ein Schaubild einer Polynomfunktion mit konkreten Parametern an.

Der Graph der Funktion mit ist in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

Kurvendiskussion Beispiele Schaubild einer Polynomfunktion StudySmarterAbbildung 1: Schaubild einer Polynomfunktion

Du kannst das Schaubild der Funktion später nutzen, um das allgemeine Vorgehen einer Kurvendiskussion an der Funktion zu überprüfen. Eine ausführliche rechnerische Kurvendiskussion einer konkreten Polynomfunktion kannst Du im Artikel „Kurvendiskussion von Polynomfunktionen“ nachvollziehen.

Die Vorgehensweise einer Kurvendiskussion ist bei allen Polynomfunktionen dieselbe. Die nachfolgende Tabelle verschafft Dir einen Überblick darüber.

EigenschaftAllgemeines Vorgehen
Wertebereich
  • Ein Wertebereichbetrachtet die maximalen und die minimalen y-Werte einer Funktion.
  • Der niedrigste y-Wert ist dabei die untere, der größte y-Wert die obere Grenze.
  • Damit lautet der Wertebereich wie folgt: .
  • Die y-Werte von und können entweder über den globalen Verlauf (Verhalten im Unendlichen) mit und oder über das globale Minimum beziehungsweise Maximum bestimmt werden.
Definitionsbereich Eine Polynomfunktion kann laut Definition keine Definitionslücken haben, damit entspricht der Definitionsbereich jeder Polynomfunktion: .
Nullstellen
  1. Funktion gleich 0 setzen:
  2. Nach auflösen und somit Nullstellen bestimmen
y-Achsenabschnitt
  1. In die Funktion für einsetzen
  2. Nach y auflösen
Verhalten im Unendlichen – Grenzwert
n ist gerade
n ist ungerade
Symmetrie
  • Kriterium für Punktsymmetrie zum Ursprung:
  • Kriterium für y-Achsensymmetrie:

Zur Erinnerung:

  • Eine Funktion, die nur ungerade Exponenten besitzt, ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
  • Eine Funktion, die nur gerade Exponenten besitzt, ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Extremstellen
  1. Notwendige Bedingung:
    • Die erste Ableitung muss gleich 0 sein:
  2. Hinreichende Bedingung:
    • Es existiert ein Hochpunkt, wenn die zweite Ableitung kleiner 0 ist:
    • Es existiert ein Tiefpunkt, wenn die zweite Ableitung größer 0 ist:
Monotonie
  • Eine Funktion ist zwischen einem Tief- und einem Hochpunkt monoton steigend.
  • Eine Funktion ist zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt monoton fallend.
Wendepunkte
  1. Notwendige Bedingung:
    • Die zweite Ableitung muss gleich 0 sein:
  2. Hinreichende Bedingung:
    • Es existiert ein Wendepunkt, wenn die dritte Ableitung ungleich 0 ist:
Krümmungsverhalten
  • Eine Funktion ist zwischen einem Wendepunkt mit negativer Steigung und einem Wendepunkt mit positiver Steigung linksgekrümmt:
  • Eine Funktion ist zwischen einem Wendepunkt mit positiver Steigung und einem Wendepunkt mit negativer Steigung rechtsgekrümmt:

Wenn Du ein konkretes Beispiel für eine Kurvendiskussion an einer Polynomfunktion betrachten möchtest, schau doch in die Erklärung „Kurvendiskussion von Polynomfunktionen“.

Neben ganzrationalen Funktionen gibt es auch gebrochenrationale Funktionen, die aus dem Quotienten von zwei Polynomfunktionen bestehen. Bei der Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion muss insbesondere die Definitionsmenge beachtet werden, da diese Definitionslücken enthalten kann.

Im Vergleich zu den Polynomfunktionen, lassen sich bei der Exponentialfunktion, der Logarithmusfunktion und den trigonometrischen Funktionen bestimmte Eigenschaften bereits verallgemeinern.

Kurvendiskussion der e-Funktion

Betrachtet wird die Kurvendiskussion der erweiterten natürlichen Exponentialfunktion, der sogenannten e-Funktion.

Die erweiterte e-Funktion besitzt folgende Funktionsgleichung:

Kurvendiskussion Beispiele Funktionsgleichung e-Funktion StudySmarter

Wobei und sein muss.

Um Dir eine erweiterte e-Funktion besser vorstellen zu können, schau Dir ein Schaubild einer solchen Funktion an.

Die Funktion mit und den Parametern und siehst Du in der Grafik 2.

Kurvendiskussion Beispiele Schaubild einer e-Funktion StudySmarterAbbildung 2: Schaubild einer erweiterten e-Funktion

Du kannst die Abbildung wieder verwenden, um das allgemeine Vorgehen der Kurvendiskussion zu überprüfen.

Eigenschaft
Wertebereich Für : Für :
Definitionsbereich
NullstellenDie e-Funktion besitzt keine Nullstellen, solange die Funktion in der obigen Form vorliegt. Wird etwa eine Konstante dazu addiert, so können sich Nullstellen ergeben.
y-Achsenabschnitt (solange obige Form vorliegt)
Verhalten im Unendlichen – Grenzwert
SymmetrieDie e-Funktion besitzt keine Symmetrie.
Monotonie

Streng monoton wachsend

Streng monoton fallend

Streng monoton fallend

Streng monoton wachsend

Extremstellen Die e-Funktion besitzt keine Extremstellen.
KrümmungsverhaltenFür : LinksgekrümmtFür : Rechtsgekrümmt
Wendepunkte Die e-Funktion besitzt keine Wendepunkte.

Möchtest Du Dir ein Beispiel zu einer Kurvendiskussion einer e-Funktion anschauen? Dann öffne die Erklärung „Kurvendiskussion e-Funktion“ und rechne gleich mit.

Die Umkehrfunktion zur e-Funktion ist die ln-Funktion. Wie sieht die Kurvendiskussion einer solchen Funktion aus?

Kurvendiskussion der ln-Funktion

Betrachtet wird die erweiterte natürliche Logarithmusfunktion.

Die erweiterte natürliche Logarithmusfunktion besitzt folgende Funktionsgleichung:

Wobei und sein muss.

Zur besseren Vorstellung einer erweiterten ln-Funktion, schau Dir einmal ein Schaubild einer solchen Funktion an.

Die Funktion mit hat die Parameter und .

Kurvendiskussion Beispiele Schaubild einer ln-Funktion StudySmarterAbbildung 3: Schaubild einer erweiterten ln-Funktion

In der nachfolgenden Tabelle findest Du eine Übersicht für eine Kurvendiskussion einer erweiterten ln-Funktion mit der Funktionsgleichung .

Eigenschaft
Wertebereich
Definitionsbereich Für : Für :
Nullstellen
y-AchsenabschnittFür : Für : Die ln-Funktion besitzt keinen y-Achsenabschnitt.
Verhalten im Unendlichen – Grenzwert für
Verhalten im Unendlichen – Grenzwert für
SymmetrieDie ln-Funktion besitzt keine Symmetrie.
MonotonieFür : Streng monoton wachsendFür : Streng monoton fallend
ExtremstellenDie ln-Funktion besitzt keine Extremstellen.
KrümmungsverhaltenRechtsgekrümmt
Wendepunkte Die ln-Funktion besitzt keine Wendepunkte.

Wenn Du auch hier ein Beispiel einer konkreten ln-Funktion betrachten möchtest, schau in der Erklärung „Kurvendiskussion Logarithmusfunktion“ vorbei.

Kurvendiskussion der trigonometrischen Funktionen

Betrachtet werden die erweiterte Sinusfunktion und die erweiterte Kosinusfunktion .

Die erweiterte Sinus- bzw. Kosinusfunktion besitzen folgende Funktionsgleichungen:

Wobei und gelten muss.

Schau Dir als Nächstes ein Schaubild einer trigonometrischen Funktion an.

Die Funktion mit besitzt die Parameter , , und .

Kurvendiskussion Beispiele Schaubild einer Sinusfunktion StudySmarterAbbildung 4: Schaubild einer erweiterten Sinusfunktion

Da sich trigonometrische Funktionen periodisch wiederholen, wird bei der Kurvendiskussion auch die Periode p betrachtet.

Gleichzeitig wird auf das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert verzichtet. Denn dies ändert sich bei trigonometrischen Funktionen nie, was Du auch in den Erklärungen „Sinusfunktion“ und „Kosinusfunktion“ nachlesen kannst.

Eigenschaft
Wertebereich
Definitionsbereich
Periode
Nullstellen für (nur 1 Nullstelle)
Die Nullstellen wiederholen sich nach einer halben Periode , sowohl für als auch für .
Nullstellen für
  1. Wertebereich betrachten.
  1. Wertebereich betrachten.
Die Nullstellen wiederholen sich jeweils nach einer Periode p.
Extremstellen für

HP entspricht dabei einem Hochpunkt und TP entspricht dabei einem Tiefpunkt.

Extremstellen für
ExtremstellenDie Extremstellen wiederholen sich nach jeweils einer Periode p.
Monotonie
  • Eine trigonometrische Funktion ist zwischen einem Tief- und einem Hochpunkt streng monoton steigend.
  • Eine trigonometrische Funktion ist zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt streng monoton fallend.
Wendepunkte
Die Wendepunkte wiederholen sich jeweils nach einer halben Periode .
Krümmungsverhalten
  • Eine trigonometrische Funktion ist zwischen einem Wendepunkt mit negativer Steigung und einem Wendepunkt mit positiver Steigung linksgekrümmt.
  • Eine trigonometrische Funktion ist zwischen einem Wendepunkt mit positiver Steigung und einem Wendepunkt mit negativer Steigung rechtsgekrümmt.

Dir ist vielleicht aufgefallen, dass der Tangens fehlt. Dies hat der Tangens seiner Kuriosität zu verdanken. Mehr dazu kannst Du in der Erklärung „Tangensfunktion“ herausfinden. Eine ausführliche Kurvendiskussion beim Tangens würde an dieser Stelle zu weit führen.

Möchtest Du noch ein Beispiel für eine Kurvendiskussion einer konkreten trigonometrischen Funktionen? Dann schau Dir unsere Erklärung „Kurvendiskussion der trigonometrischen Funktionen“ an.

Kurvendiskussion Funktionsschar

Die Kurvendiskussion einer Funktionsschar wird je nach Funktionstyp wie eine Kurvendiskussion einer Polynomfunktion, einer Exponentialfunktion, einer Logarithmusfunktion oder einer trigonometrischen Funktion durchgeführt.

Schau Dir zum besseren Verständnis einer Funktionenschar ein Schaubild einer e-Funktion mit dem Scharparameter t an.

Du hast die Funktion mit gegeben. Dabei ist t der Scharparameter. Die Abbildung 5 zeigt dabei die Schaubilder für , , , und .

Kurvendiskussion Beispiele Schaubilder einer Funktionenschar StudySmarterAbbildung 5: Schaubilder einer Funktionenschar

Dabei musst Du beachten, dass sich der Scharparameter unterschiedlich auf die Eigenschaften der Funktion auswirken kann. Oftmals musst Du dazu eine Fallunterscheidung des Scharparameters durchführen.

Auf eine allgemeine Aufstellung wird an dieser Stelle verzichtet, da sich der Scharparameter an unterschiedlichster Stelle einer Funktion befinden kann. Für ein Beispiel kannst Du Dir die Erklärung „Kurvendiskussion Funktionsschar“ anschauen.

Kurvendiskussion Funktion – Das Wichtigste

  • Eine Kurvendiskussion behandelt die wichtigsten Eigenschaften einer konkreten Funktion:
  • Die Kurvendiskussion einer Funktionsschar wird je nach Funktionstyp wie eine Kurvendiskussion einer Polynomfunktion, einer Exponentialfunktion, einer Logarithmusfunktion oder einer trigonometrischen Funktion durchgeführt. Dabei kann es häufig zu einer Fallunterscheidung des Scharparameters kommen.

Nachweise

  1. Papula (2018). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer Vieweg Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kurvendiskussion Beispiele

Der Wertebereich, der Definitionsbereich, die Nullstellen, der y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Symmetrie, die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten gehören zu einer Kurvendiskussion. Bei trigonometrischen Funktionen kann zusätzlich noch die Periode betrachtet werden.

Der Wertebereich, der Definitionsbereich, die Nullstellen, der y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Symmetrie, die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten können bei einer Kurvendiskussion untersucht werden. Bei trigonometrischen Funktionen kann zusätzlich noch die Periode betrachtet werden.

Eine Kurvendiskussion kann für jede beliebige Funktion durchgeführt werden. Zum Beispiel für Polynomfunktionen, e-Funktionen, ln-Funktionen, trigonometrische Funktionen, aber auch für gebrochenrationale Funktionen.

Eine Kurvendiskussion wird benötigt, um allerlei Eigenschaften einer speziellen Funktion aufzuzeigen.

Finales Kurvendiskussion Beispiele Quiz

Frage

Benenne, welche Aspekte zu einer Kurvendiskussion gehören.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Wertebereich
  • Periode
  • Nullstellen
  • Extremstellen
  • Monotonie
  • Wendepunkte
  • Krümmungsveralten
  • Verhalten im Unendlichen
Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wozu eine Kurvendiskussion durchgeführt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Um alle Eigenschaften und das Verhalten einer Funktion herauszufinden.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme, nach welchem Abstand sich ein Hoch- bzw. ein Tiefpunkt bei trigonometrischen Funktionen wiederholt.

Antwort anzeigen

Antwort

Nach jeweils einer Periode p.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wann eine Funktion monoton steigend ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwischen einem Tief- und einem Hochpunkt.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Funktion monoton fallend?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt.

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften einer Funktion werden in der Kurvendiskussion untersucht?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Definitions- und Wertebereich
  • Symmetrie
  • Nullstellen
  • Verhalten im Unendlichen
  • Lokale Extrema und Wendepunkte
  • Graph
Frage anzeigen

Frage

Wie berechnest du die Nullstellen einer Funktionsschar?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Nullstellen werden berechnet, indem du für den Funktionswert (y-Wert) 0 einsetzt und die entsprechende Gleichung durch Termumformungen nach x auflöst.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnest du die lokalen Extrema einer Funktionsschar?

Antwort anzeigen

Antwort

Wie auch bei anderen Funktionen werden lokale Extrema mit der ersten Ableitung berechnet. Diese wird 0 gesetzt und nach x aufgelöst. Anschließend wird dieser Wert in die zweite Ableitung eingesetzt, um zu prüfen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

Frage anzeigen

Frage

Wie zeichnest du den Graphen einer Funktionsschar?

Antwort anzeigen

Antwort

Du kannst einen spezifischen Graph zeichnen, indem du für den Parameter einen konkreten Wert einsetzt und die entstandene Funktion dann zeichnest.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Ortskurve?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ortskurve ist eine Funktion, die durch alle Punkte einer Funktionsschar verläuft, die eine bestimmte Eigenschaft aufweisen. Solche Punkte sind beispielsweise alle Tiefpunkte oder Hochpunkte einer Funktionsschar.

Frage anzeigen

Frage

Wozu führen wir Kurvendiskussionen durch?

Antwort anzeigen

Antwort

Kurvendiskussionen bieten einen Überblick über alle wichtigen Eigenschaften und das Verhalten einer Funktion.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere die Berechnung von Nullstellen eines Polynoms.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Berechnung von Nullstellen wird die ganze Funktion f(x) gleich 0 gesetzt.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre den Begriff monoton steigend.

Antwort anzeigen

Antwort

Monoton steigend bedeutet, dass die Steigung des Graphen an dieser Stelle dauerhaft positiv ist und der Graph steigt.

Frage anzeigen

Frage

Was gibt die Definitionsmenge an?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Definitionsmenge gibt die Menge aller x-Werte an, für die die Funktion definiert ist.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnest du in 3 Schritten die Nullstellen eines Polynoms 4. Grades?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Substituieren, dass ein Polynom zweiten Grades bleibt.

2. Dieses neue Polynom in die Mitternachtsformel einsetzen und ausrechnen.

3. Resubstituieren.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Kriterium für Achsensymmetrie?

Antwort anzeigen

Antwort

f(-x) = f(x)

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Kriterium für Punktsymmetrie?

Antwort anzeigen

Antwort

f(-x) = -f(x)

Frage anzeigen

Frage

Erläutere das Kriterium für die Links- bzw. Rechtskrümmung einer Funktion f(x).

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn die zweite Ableitung <0 ist, ist die Funktion rechtsgekrümmt. Wenn sie >0 ist, linksgekrümmt.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie du die Nullstellen einer Logarithmusfunktion berechnest.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Nullstellen einer Logarithmusfunktion berechnest du, indem du das Argument des Logarithmus, welches in den Klammern steht, mit 1 gleichsetzt und nach x auflöst.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, von welchem Faktor die Monotonie des Graphen einer Logarithmusfunktion abhängt.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Monotonie hängt von der Basis der Logarithmusfunktion ab. Ist die Basis größer als 0, aber kleiner als 1, ist der Graph streng monoton fallend. Ist die Basis größer als 1, ist der Graph streng monoton steigend.

Frage anzeigen

Frage

Gib deine Vorgehensweise bei der Berechnung von Extremstellen an.

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst wird die erste Ableitung der Ursprungsfunktion gebildet. Anschließend wird diese gleich 0 gesetzt und nach x aufgelöst. Die berechneten x-Koordinaten werden in die Ursprungsfunktion eingesetzt, um die y-Koordinaten der Extremstellen zu erhalten.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was Du benötigst, um die Wendepunkte einer Logarithmusfunktion berechnen zu können.

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Berechnung der Wendepunkte wird die zweite Ableitung benötigt. Diese wird gleich 0 gesetzt, um die Nullstellen zu erhalten. Diese Nullstellen werden in die Ursprungsfunktion eingesetzt, um die restlichen Koordinaten zu bekommen.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was ausschlaggebend für die Krümmung des Graphen einer Logarithmusfunktion ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Krümmung des Graphen wird durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt. Ist die zweite Ableitung kleiner als 0, ist der Graph rechtsgekrümmt; ist sie größer als 0, ist der Graph linksgekrümmt.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie bei einer Polynomfunktion die Symmetrie "einfach" festgestellt werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Eine Funktion, die nur ungerade Exponenten besitzt, ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
  • Eine Funktion, die nur gerade Exponenten besitzt, ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
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