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Parabel

Parabel

Parabel Rutschen in Form einer Parabel an der TU München StudySmarter

Abb. 1 - Rutschen in Form einer Parabel in der TU München. (Quelle:ma.tum.de)

Auf diesem Bild siehst Du zwei Rutschen in der Technischen Universität in München. Diese Rutschen sollen eine Parabel darstellen, also eine quadratische Funktion. In dieser Erklärung erfährst Du, wie eine solche Parabel aufgebaut ist, wie sie berechnet wird und was es für verschiedene Eigenschaften gibt.

Parabel Formel

Als Parabel wird der Graph einer quadratischen Funktion bezeichnet. Parabeln sind entweder nach unten oder nach oben geöffnet und sind dabei immer charakteristisch wie ein Bogen geformt.

Den Tiefpunkt bzw. Hochpunkt einer solchen bogenförmigen Parabel bezeichnet man als Scheitelpunkt.

Die allgemeine Funktionsgleichung einer jeden Parabel lautet\[f(x) = ax^2+bx+c\]Die einfachste Parabel mit der Funktionsgleichung \(f(x) = x^2\) wird als Normalparabel bezeichnet.

Hier siehst Du einmal die Normalparabel \(f(x) = x^2\) und eine Parabel \(g(x) = -0.4x^2+3\), die durch verschiedene Parameter verschoben und gestaucht wurde:

Parabel Normalparabel und Parabel StudySmarter

Abb. 2 - Normalparabel und Parabel.

Scheitelform Parabel

Neben der allgemeinen Form einer Parabel werden Parabeln häufig auch in der sogenannten Scheitelform dargestellt. Die Scheitelform lässt dabei ein besonders leichtes ablesen aller wichtigen Eigenschaften einer Parabel zu.

Die Scheitelform einer quadratischen Funktion ist gegeben durch \[f(x) = a(x-x_s)^2+y_s\] wobei \(x_s\) und \(y_s\) die Koordinaten des Scheitelpunkts \(S(x_s|y_s)\) sind.

Anhand der Scheitelform lässt sich also der Scheitelpunkt ablesen.

Betrachte die quadratische Funktion \(f(x) = 2(x+3)^2-4\).

Du erkennst, dass die Funktion in Scheitelform vorliegt. Durch direkten Vergleich mit der Formel der Scheitelform lässt sich für den Scheitelpunkt \(x_s =-3\) und \(y_s = -4\) ablesen.

Eigenschaften von Parabeln

Die Eigenschaften von Parabeln stellt man in der Regel in Bezug zur Normalparabel \(f(x)=x^2\) dar. Im Allgemeinen können Parabeln im Vergleich zur Normalparabel

  • im Koordinatensystem in x- bzw. y-Richtung verschoben werden
  • unterschiedlich stark geöffnet (gestaucht/gestreckt) sein
  • nach oben oder nach unten geöffnet sein

Diese Eigenschaften lassen sich anhand der Parameter der quadratischen Funktion ablesen.

Eigenschaften der Normalparabel

Die einfachste Form der Parabel ist die sogenannte Normalparabel mit der Funktionsgleichung \(f(x) = x^2\).

Dabei besitzt die Normalparabel folgende Eigenschaften.

  1. ist nach oben geöffnet.
  2. Der Scheitelpunkt von liegt bei .
  3. Die Normalparabel ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Parabel Öffnung ablesen

Sowohl in der allgemeinen Form als auch in der Scheitelform lässt sich die Öffnung einer Parabel anhand des Vorfaktors \(a\) ablesen. Es gilt

  • \(a > 0\): Parabel ist nach oben geöffnet
  • \(a < 0\): Parabel ist nach unten geöffnet

Gestauchte Parabel & gestreckte Parabel

Anhand des Vorfaktors \(a\) lässt sich neben der Öffnungsrichtung auch ablesen, ob die Parabel enger (gestreckt in y-Richtung) oder breiter (gestaucht in y-Richtung) als die Normalparabel ist.

Größe des ParametersAuswirkung auf die ParabelBeispiel
Die Parabel ist nach oben geöffnet.\[f(x)=2x^2\]
Die Parabel ist nach unten geöffnet.\[f(x)=-(x+1)^2+2\]
Die Parabel ist Richtung der y-Achse gestaucht.\[f(x)=0{,2}x^2+2x-1\]
Die Parabel ist geöffnet wie eine Normalparabel.\[f(x)=x^2\]
Die Parabel ist Richtung der y-Achse gestreckt.\[f(x)=-5x^2+8\]

In Abb. 3 kannst Du eine relativ zur Normalparabel gestauchte, nach unten geöffnete Parabel \(f(x) = -0{,}5x^2\) und eine gestreckte, nach oben geöffnete Parabel \(g(x) = 3{,}1x^2\) sehen.

Parabel Gestreckte und gestauchte Parabel StudySmarter

Abb. 3 - Gestreckte und gestauchte Parabel.

Parabel verschieben

Eine Parabel kann entlang der x-Achse in nach rechts und links verschoben und entlang der y-Achse nach oben und unten verschoben werden

Diese Verschiebung kannst Du anhand von und in der Scheitelform \(f(x) = a(x-x_s)^2+y_s\) ablesen.

Größe des WertesVerschiebung entlang der x- oder y-AchseBeispiel
Verschiebung um in positive x-Richtung.\[f(x) = (x-3)^2\]
Verschiebung um in negative x-Richtung.\[f(x) = (x+3)^2\]
Verschiebung um in positive y-Richtung.\[f(x) = (x-3)^2 + 3\]
Verschiebung um in negative x-Richtung.\[f(x) = (x-3)^2 - 3\]

Drei Kopien der gleichen Parabel \(p(x) = 2x^2\) werden im Koordinatensystem verschoben.

Parabel Verschiebung einer Parabel entlang der Koordinatenachsen StrudySmarter

Abb. 4 - Verschiebung einer Parabel entlang der Koordinatenachsen.

Quadratische Funktion in Scheitelform umwandeln

Eine quadratische Funktion ist nicht immer in Scheitelform angegeben, sondern oft auch in ihrer allgemeinen Form. In dieser Form können allerdings nicht alle Eigenschaften einfach abgelesen werden. Um die Parabel aus ihrer allgemeinen Form in die Scheitelform umzuwandeln, benötigst Du quadratische Ergänzung.

Wie genau Du quadratisch ergänzt, erfährst Du in der Erklärung „Quadratische Ergänzung“

Das Ganze kannst Du Dir noch mal in der Praxis anschauen.

Wandele die quadratische Funktion \(f(x) = 2x^2-12x+16\) in ihre Scheitelform um und benenne den Scheitelpunkt.\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)

1. Ausklammern des Vorfaktors vor \(x^2\)

\begin{align} {\color{r}2}x^2-12x+16 = {\color{r}2}\left(x^2-6x+8\right)\end{align}

2. Quadratische Ergänzung mit dem Vorfaktor von \(x\).

\begin{align} 2\left(x^2-{\color{gr}6}x+8\right)=2\left(x^2-{\color{gr}6}x+\underbrace{\left(\frac{\color{gr}6}{2}\right)^2-\left(\frac{\color{gr}6}{2}\right)^2}_{\text{Quadratische Ergänzung}}+8\right)\end{align}

3. Zusammenfassen der ersten 3 Terme in der Klammer (Achte darauf, den positiven Anteil der quadratischen Ergänzung einzuschließen) zu einer binomischen Formel

\begin{align}2\left(\left(x^2 - 6x +\left(\frac{6}{2}\right)^2\right)-\left(\frac{6}{2}\right)^2+8\right)=2\left(\left(x-3\right)^2-\left(\frac{6}{2}\right)^2+8\right)\end{align}

4. Die restlichen Terme zusammenrechnen

\begin{align}2\left(\left(x-3\right)^2{\color{r}-\left(\frac{6}{2}\right)^2+8}\right) =2\left(\left(x-3\right)^2{\color{r}-1}\right) \end{align}

5. Die äußere Klammer auflösen

\begin{align}2{\color{gr} \left( {\color{#000000}\left(x-3\right)^2-1}\color{gr}\right)}= 2\left(x-3\right)^2-2 \end{align}

Deine Funktion liegt jetzt in Scheitelpunktform vor. Wir lesen den Scheitelpunkt S ab und erhalten \(S (3|-2)\).

Beachte, dass das Vorzeichen von \(x_s\) immer umgedreht ist relativ zu der Rechenoperation in der Klammer. Bsp. \((x-2)^2\rightarrow x_s = +2\) ; \((x+3)^2 \rightarrow x_s = -3\)

Parabel  Scheitelform einer quadratischen Funktion StudySmarter

Abb. 5 - Graph der Funktion \(f(x) = (x-3)^2 -2\).

Parabel ablesen

Eine Parabel kannst Du auch aus dem Koordinatensystem ablesen und in eine Scheitelform zusammenfassen. Das machst Du in dem Du den Scheitelpunkt S abliest, in die Scheitelform einsetzt und dann einen Punkt P einsetzt und nach a umformst. Die gewonnenen Werte setzt Du am Ende nur noch in die Scheitelform ein.

Das Vorgehen wird Dir anhand des Beispiels noch mal genauer erklärt.

Aufgabe 1

Erstelle die Funktion mithilfe der Abbildung von der Parabel.

Parabel Parabel ablesen StudySmarter

Abbildung 5: Parabel ablesen

Lösung

Schritt 1:

Zuerst bestimmst Du den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P und liest diese ab.

Parabel Parabel ablesen StudySmarter

Abbildung 6: Parabel ablesen

Schritt 2:

Nun hast Du den Scheitelpunkt und den Punkt .

Schritt 3:

Der Scheitelpunkt wird anschließend in die Scheitelform eingesetzt.

Jetzt musst Du noch den Punkt P in die Scheitelform einsetzen und nach a auflösen.

Schritt 4:

Der Wert ist und wird zuletzt in die Scheitelform eingesetzt.

Die abgelesene Funktion ist .

Parabel zeichnen

Eine Parabel kannst Du ins Koordinatensystem zeichnen. Dazu kannst Du folgende Schritte befolgen:

  1. Eigenschaften ablesen. Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet?
  2. Punkte berechnen mit Wertetabelle und y-Wert berechnen.
  3. Wertetabelle anlegen und beliebige x-Werte in die Funktion einsetzen und die y-Werte ausrechnen.
  4. Punkte einzeichnen.
  5. Punkte verbinden.

Aufgabe 2

Zeichne die Parabel ins Koordinatensystem ein.

Lösung

Schritt 1:

Die Funktion hat Eigenschaften, die anhand der Zahl vor dem abgelesen werden können. Da können die Eigenschaften abgelesen werden, dass die Parabel nach unten geöffnet und gestreckt ist.

Schritt 2:

Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen x-Werten.

xi
-1
0
2
f(x)

xi sind die x-Werte und f(x) sind die zugehörigen y-Werte.

Schritt 3:

Diese x-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen y-Werte.

Der zugehörige y-Wert zu ist . Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.

Der Y-Achsenabschnitt ist bei . Dann wird der y-Wert zu berechnet.

Der zugehörige y-Wert zu ist . Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

xi
-1
0
2
f(x)
-1
3
-13

Schritt 4:

Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Parabel Parabel zeichnen StudySmarter

Abbildung 7: Parabel zeichnen

Schritt 5:

Jetzt, wo Du die Punkte P1, P2 und P3 eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.

Parabel  Parabel einzeichnen StudySmarter

Abbildung 8: Parabel einzeichnen

Parabeln im Alltag

Parabeln sind immer wieder auch im Alltag zu finden. Ein Beispiel hierfür ist der Solarkocher.

Der Kocher ist aus einem Parabolspiegel konzipiert, welcher in der Mitte eine Vorrichtung für einen Topf hat. Ein Parabolspiegel sieht folgendermaßen aus:

Parabel Parabolspiegel StudySmarter

Abbildung 9: Parabolspiegel als Solarkocher (Quelle: 59plus.de)

Aber wie funktioniert so ein Parabolspiegel als Solarkocher und was hat das Ganze mit einer Parabel zu tun?

Ein Parabolspiegel entsteht, indem man eine Parabel um eine Achse rotiert, sodass ein dreidimensionaler Körper entsteht.

Alle diese Parabeln, die durch die Rotation entstehen, teilen sich einen Brennpunkt, und bündeln so die Sonnenenergie an der Kochstelle. So können Temperaturen von bis zu 300 °C erreicht werden.

Das ermöglicht unter anderem das Abkochen von Wasser in Regionen mit schlechter Trinkwasserversorgung und viel Sonne.

Parabel – Übungsaufgaben

Jetzt, da Du schon einiges über die Parabel weißt, kannst Du Dein Wissen durch die Übungsaufgaben überprüfen!

Aufgabe 3

Wandle die quadratische Funktion in eine Scheitelform um und nenne all ihre Eigenschaften.

Lösung

Zuerst klammerst Du die Zahl 4 vor dem aus.

Jetzt kommt eine quadratische Ergänzung hinzu, in dem die Zahl 6 vor dem x geteilt und dann quadriert wird. Die quadratische Ergänzung wird zwischen dem x und der letzten Zahl eingefügt.

An der Stelle wendest Du die binomische Formel an und erstellst eine quadrierte Klammer.

Jetzt werden die Zahlen innerhalb der Klammer zusammengerechnet und ausmultipliziert.

Die Scheitelform der Funktion :

Zuletzt können die Eigenschaften der Parabel abgelesen werden. Der Scheitelpunkt liegt bei. Die Parabel ist gestreckt und ist -44 Längeneinheiten nach unten entlang der y-Achse und 3 Einheiten auf der x-Achsen nach rechts verschoben. Die Parabel ist gestreckt und nach oben geöffnet, was an der 4 vor der Klammer zu erkennen ist.

Aufgabe 4

Lese die Funktionsgleichung in Scheitelform von der unten abgebildeten Parabel ab.

Parabel Parabel ablesen StudySmarter

Abbildung 10: Parabel ablesen

Lösung

Zuerst bestimmst Du den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P und liest diese ab.

Parabel Parabel ablesen StudySmarter

Abbildung 11: Parabel ablesen

Nun hast Du den Scheitelpunkt und den Punkt . Der Scheitelpunkt wird anschließend in die Scheitelform eingesetzt.

Jetzt musst Du noch den Punkt P in die Scheitelform einsetzen und nach a auflösen.

Der Wert ist und wird zuletzt in die Scheitelform eingesetzt.

Die abgelesene Funktion ist .

Aufgabe 5

Zeichne die Parabel zu der Funktion .

Lösung

Die Funktion hat Eigenschaften, die anhand der Zahl vor dem abgelesen werden können. Da können die Eigenschaften abgelesen werden, dass die Parabel nach oben geöffnet und gestreckt ist.

Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen x-Werten.

xi
-1
0
2
f(x)

Diese x-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen y-Werte.

Der zugehörige y-Wert zu ist . Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.

Der Y-Achsenabschnitt ist bei . Dann wird der y-Wert zu berechnet.

Der zugehörige y-Wert zu ist . Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

xi
-1
0
2
f(x)
1
-4
-13

Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Parabel Parabel zeichnen StudySmarter

Abbildung 12: Parabel zeichnen

Jetzt, da Du die Punkte P1, P2 und P3 eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.

Parabel  Parabel einzeichnen StudySmarter

Abbildungen 13: Parabel einzeichnen

Parabel – Das Wichtigste

  • Eine quadratische Funktion ist eine Funktion zweiten Grades und wird im Koordinatensystem durch eine sogenannte Parabel dargestellt.
  • Eine Parabel ist immer geformt wie ein Bogen und kann nach oben oder nach unten geöffnet sein. Außerdem hat eine Parabel immer einen Scheitelpunkt, an dem sich die Parabel spiegelt.

Normalform einer quadratischen Funktion:

  • Die Normalparabel hat die Form .
  • Besitzt eine quadratische Funktion den Scheitel , so lässt sich der Funktionsterm in folgender Form schreiben:

  • Eigenschaften einer Parabel:
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
  • Wie wandelt man denn eine Funktion in die Scheitelform um?

    Zuerst klammerst Du die Zahl vor dem aus. Danach führst Du eine quadratische Ergänzung durch. Jetzt musst Du die binomische Formel anwenden und die Zahlen zurück in ihre quadrierte Klammer umformen.Die restlichen Zahlen müssen dann noch zusammengerechnet werden und die Klammer muss ausmultipliziert werden.

  • Eine Parabel liest Du ab, in dem Du den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P abliest. Den Scheitelpunkt S setzt Du in die Scheitelform ein. Gleich danach setzt Du den Punkt P ebenfalls in die Scheitelform ein und löst nach a auf. Zuletzt setzt Du die Werte in die Scheitelform ein und Du hast die fertige Funktion.
  • Um eine Parabel zu zeichnen, liest Du zuerst die Eigenschaften der Parabel ab. Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? Danach berechnest Du Punkte, die auf der Parabel liegen, mithilfe einer Wertetabelle. Die Punkte werden dann ins Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden.

Nachweise

  1. Ma.tum.de: https://www.ma.tum.de/de/fakultaet/lage-anfahrt/bilder-parabelrutsche.html (Zugriff am 10.07.2022)
  2. Rapp (1991): Quadratische Funktionen. Vieweg+Teubner Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Parabel

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion zweiten Grades und wird im Koordinatensystem durch eine sogenannte Parabel dargestellt. Eine Parabel ist immer geformt wie ein Bogen und kann nach oben oder nach unten geöffnet sein. Außerdem hat eine Parabel immer einen Scheitelpunkt, an dem sich die Parabel spiegelt.

  1. Den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P ablesen
  2. Den Scheitelpunkt S in die Scheitelform einsetzen.
  3. Den Punkt P in die Funktion einsetzen und nach a auflösen, um a zu bestimmen.
  4. Zuletzt setzt Du die Werte in die Scheitelform ein und Du hast die fertige Funktion f(x).

Es gibt eine Normalparabel, eine gestreckte und eine gestauchte Parabel und eine Parabel, die nach oben beziehungsweise nach unten geöffnet ist.

Die Funktionsgleichung einer Parabel sieht folgendermaßen aus:


f(x)=ax2+bx+c

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