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Parabel

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Parabel

Parabel Rutschen in Form einer Parabel an der TU München StudySmarterAbbildung 1: Rutschen in Form einer Parabel in der TU München (Quelle:ma.tum.de)

Auf diesem Bild siehst Du zwei Rutschen in der Technischen Universität in München. Diese Rutschen sollen eine Parabel darstellen, also eine quadratische Funktion. In dieser Erklärung erfährst Du, wie eine solche Parabel aufgebaut ist, wie sie berechnet wird und was es für verschiedene Eigenschaften gibt.

Quadratische Funktion

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion zweiten Grades und wird im Koordinatensystem durch eine sogenannte Parabel dargestellt. Eine Parabel ist immer geformt wie ein Bogen und kann nach oben oder nach unten geöffnet sein. Außerdem hat eine Parabel immer einen Scheitelpunkt, an dem sich die Parabel spiegelt.

Normalform einer quadratischen Funktion:

Parabel quadratische Funktion StudySmarter

Es gibt eine besondere Form der Parabel, die sich Normalparabel nennt.

Die Normalparabel hat die Form Parabel Normalparabel StudySmarter.

Eigenschaften der Normalparabel:

  1. ist nach oben geöffnet.
  2. Der Scheitelpunkt von liegt bei .
  3. Die Normalparabel ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Was genau diese Eigenschaften bedeuten, lernst Du gleich noch.

Wie sieht eine Parabel im Koordinatensystem aus?

Hier siehst Du einmal die Normalparabel und eine Parabel , die durch verschiedene Parameter verschoben und gestaucht wurde:

Parabel Normalparabel und Parabel StudySmarterAbbildung 2: Normalparabel und Parabel

Die Scheitelform

Die Scheitelform ist eine besondere Form, die Funktionsgleichung einer Parabel darzustellen.

Besitzt eine quadratische Funktion den Scheitel , so lässt sich der Funktionsterm in folgender Form schreiben:

Parabel Scheitelform StudySmarter

Wenn der Scheitelpunkt einer Funktion nicht gegeben ist, kann er in dieser Form abgelesen werden.

Anhand dieser Scheitelform können verschiedene Eigenschaften einer quadratischen Funktion abgelesen werden.

Eigenschaften einer Parabel

Anhand der Parameter, welche in der Scheitelform der quadratischen Funktion gegeben sind, kannst Du die verschiedenen Eigenschaften der Parabel ablesen.

Bei der Parabel werden verschiedene Eigenschaften unterschieden. Diese sind die Stauchung/Streckung in x- oder y-Richtung, die Verschiebung in x- oder y-Richtung und die Öffnungsrichtung. Stauchung/Streckung und Verschiebung beziehen sich hierbei auf die Veränderung im Vergleich zur Normalparabel.

Um die Eigenschaften abzulesen, muss die Parabel in der Scheitelform stehen.

Streckung, Stauchung und Öffnung einer Parabel

Die Eigenschaften der Streckung und Stauchung und die Öffnungsrichtung kannst Du am Parameter a ablesen.

Größe des ParametersAuswirkung auf die Parabel
Die Parabel ist nach oben geöffnet.
Die Parabel ist nach unten geöffnet.
Die Parabel ist Richtung der y-Achse gestaucht.
Die Parabel ist eine Normalparabel.
Die Parabel ist Richtung der x-Achse gestreckt.

Das folgende Beispiel zeigt Dir, wie sich diese Eigenschaften auf den Graphen auswirken.

1. Gestauchte, nach unten geöffnete Parabel:

2. Gestreckte, nach oben geöffnete Parabel:

Die beiden Parabeln und sehen im Koordinatensystem folgendermaßen aus:

Parabel Gestreckte und gestauchte Parabel StudySmarterAbbildung 3: Gestreckte und gestauchte Parabel

Verschiebung einer Parabel entlang der Achsen

Eine Parabel kann entlang der x-Achse in nach rechts und links verschoben und entlang der y-Achse nach oben und unten verschoben werden

Diese Verschiebung kannst Du anhand von und in der Scheitelform ablesen.

Größe des WertesVerschiebung entlang der x- oder y-Achse
Verschiebung um in positive x-Richtung.
Verschiebung um in negative x-Richtung.
Verschiebung um in positive y-Richtung.
Verschiebung um in negative x-Richtung.

In der Abbildung siehst Du dreimal die gleiche Parabel in Bezug der Öffnung und der Streckung, die allerdings an drei verschiedenen Punkten S ihren Scheitelpunkt hat, was an der Verschiebung entlang der Achsen liegt.

Parabel Verschiebung einer Parabel entlang der Koordinatenachsen StrudySmarterAbbildung 4: Verschiebung einer Parabel entlang der Koordinatenachsen

Quadratische Funktion in Scheitelform umwandeln

Eine quadratische Funktion ist nicht immer in Scheitelform angegeben, sondern oft auch in ihrer Normalform. In dieser Form können allerdings nicht alle Eigenschaften abgelesen werden, weshalb die Funktion in die Scheitelform umgewandelt wird.

Wie wandelst Du eine Funktion in die Scheitelform um?

  1. Zuerst klammerst Du die Zahl vor dem aus.
  2. Danach führst Du eine quadratische Ergänzung durch, in dem Du die Zahl vor dem x halbierst und zum Quadrat nimmst. Erst ziehst Du sie ab und dann addierst Du sie.
  3. Jetzt musst Du die binomische Formel anwenden und die Zahlen zurück in ihre quadrierte Klammer umformen.
  4. Die restlichen Zahlen müssen dann noch zusammengerechnet werden.
  5. Zuletzt multiplizierst Du die Klammer aus.

Das Ganze kannst Du Dir noch mal in der Praxis anschauen.

Aufgabe 2

Wandele die quadratische Funktion in eine Scheitelform um und benenne den Scheitelpunkt.

Lösung

Schritt 1:

Zuerst klammerst Du die Zahl vor dem aus.

Schritt 2:

Nun kommt eine quadratische Ergänzung hinzu, in dem die Zahl 6 vor dem x geteilt und dann quadriert wird. Die quadratische Ergänzung wird zwischen dem x und der letzten Zahl eingefügt.

Eine quadratische Ergänzung ist eine Methode, um Terme umzuformen, damit eine binomische Formel entstehen kann. Die binomische Formel ist bei der Scheitelform notwendig, um die Verschiebung und den Scheitelpunkt zu sehen.

Schritt 3:

An der Stelle wendest Du die binomische Formel an und erstellst eine quadrierte Klammer.

Schritt 4 und 5:

Jetzt werden die Zahlen innerhalb der Klammer zusammengerechnet und ausmultipliziert.

Die Scheitelform der Funktion :

Zuletzt kann der Scheitelpunkt abgelesen werden, denn die Zahl innerhalb der Klammer ist der x-Wert des Scheitelpunkts und die hintere Zahl ist der y-Wert des Scheitelpunkts.

Der Scheitelpunkt der Funktion ist .

Parabel  Scheitelform einer quadratischen Funktion StudySmarterAbbildung 4: Scheitelform einer quadratischen Funktion

Parabel ablesen

Eine Parabel kannst Du auch aus dem Koordinatensystem ablesen und in eine Scheitelform zusammenfassen.

Das funktioniert in nur wenigen Schritten:

  1. Den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P ablesen.
  2. Den Scheitelpunkt S in die Scheitelform einsetzen.
  3. Den Punkt P in die Funktion einsetzen und nach a auflösen, um a zu bestimmen.
  4. Zuletzt setzt Du die Werte in die Scheitelform ein und Du hast die fertige Funktion.

Das Ganze sieht in der Praxis folgendermaßen aus:

Aufgabe 3

Erstelle die Funktion mithilfe der Abbildung von der Parabel.

Parabel Parabel ablesen StudySmarterAbbildung 5: Parabel ablesen

Lösung

Schritt 1:

Zuerst bestimmst Du den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P und liest diese ab.

Parabel Parabel ablesen StudySmarterAbbildung 6: Parabel ablesen

Schritt 2:

Nun hast Du den Scheitelpunkt und den Punkt .

Schritt 3:

Der Scheitelpunkt wird anschließend in die Scheitelform eingesetzt.

Jetzt musst Du noch den Punkt P in die Scheitelform einsetzen und nach a auflösen.

Schritt 4:

Der Wert ist und wird zuletzt in die Scheitelform eingesetzt.

Die abgelesene Funktion ist .

Parabel zeichnen

Eine Parabel kannst Du ins Koordinatensystem zeichnen. Dazu kannst Du folgende Schritte befolgen:

  1. Eigenschaften ablesen. Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet?
  2. Punkte berechnen mit Wertetabelle und y-Wert berechnen.
  3. Wertetabelle anlegen und beliebige x-Werte in die Funktion einsetzen und die y-Werte ausrechnen.
  4. Punkte einzeichnen.
  5. Punkte verbinden.

Aufgabe 4

Zeichne die Parabel ins Koordinatensystem ein.

Lösung

Schritt 1:

Die Funktion hat Eigenschaften, die anhand der Zahl vor dem abgelesen werden können. Da können die Eigenschaften abgelesen werden, dass die Parabel nach unten geöffnet und gestreckt ist.

Schritt 2:

Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen x-Werten.

xi
-1
0
2
f(x)

xi sind die x-Werte und f(x) sind die zugehörigen y-Werte.

Schritt 3:

Diese x-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen y-Werte.

Der zugehörige y-Wert zu ist . Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.

Der Y-Achsenabschnitt ist bei . Dann wird der y-Wert zu berechnet.

Der zugehörige y-Wert zu ist . Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

xi
-1
0
2
f(x)
-1
3
-13

Schritt 4:

Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Parabel Parabel zeichnen StudySmarterAbbildung 7: Parabel zeichnen

Schritt 5:

Jetzt, wo Du die Punkte P1, P2 und P3 eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.

Parabel  Parabel einzeichnen StudySmarterAbbildung 8: Parabel einzeichnen

Parabeln im Alltag

Parabeln sind immer wieder auch im Alltag zu finden. Ein Beispiel hierfür ist der Solarkocher.

Der Kocher ist aus einem Parabolspiegel konzipiert, welcher in der Mitte eine Vorrichtung für einen Topf hat. Ein Parabolspiegel sieht folgendermaßen aus:

Parabel Parabolspiegel StudySmarterAbbildung 9: Parabolspiegel als Solarkocher (Quelle: 59plus.de)

Aber wie funktioniert so ein Parabolspiegel als Solarkocher und was hat das Ganze mit einer Parabel zu tun?

Ein Parabolspiegel entsteht, indem man eine Parabel um eine Achse rotiert, sodass ein dreidimensionaler Körper entsteht.

Alle diese Parabeln, die durch die Rotation entstehen, teilen sich einen Brennpunkt, und bündeln so die Sonnenenergie an der Kochstelle. So können Temperaturen von bis zu 300 °C erreicht werden.

Das ermöglicht unter anderem das Abkochen von Wasser in Regionen mit schlechter Trinkwasserversorgung und viel Sonne.

Parabeln – Übungsaufgaben

Jetzt, da Du schon einiges über die Parabel weißt, kannst Du Dein Wissen durch die Übungsaufgaben überprüfen!

Aufgabe 5

Wandle die quadratische Funktion in eine Scheitelform um und nenne all ihre Eigenschaften.

Lösung

Zuerst klammerst Du die Zahl 4 vor dem aus.

Jetzt kommt eine quadratische Ergänzung hinzu, in dem die Zahl 6 vor dem x geteilt und dann quadriert wird. Die quadratische Ergänzung wird zwischen dem x und der letzten Zahl eingefügt.

An der Stelle wendest Du die binomische Formel an und erstellst eine quadrierte Klammer.

Jetzt werden die Zahlen innerhalb der Klammer zusammengerechnet und ausmultipliziert.

Die Scheitelform der Funktion :

Zuletzt können die Eigenschaften der Parabel abgelesen werden. Der Scheitelpunkt liegt bei. Die Parabel ist gestreckt und ist -44 Längeneinheiten nach unten entlang der y-Achse und 3 Einheiten auf der x-Achsen nach rechts verschoben. Die Parabel ist gestreckt und nach oben geöffnet, was an der 4 vor der Klammer zu erkennen ist.

Aufgabe 6

Lese die Funktionsgleichung in Scheitelform von der unten abgebildeten Parabel ab.

Parabel Parabel ablesen StudySmarterAbbildung 10: Parabel ablesen

Lösung

Zuerst bestimmst Du den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P und liest diese ab.

Parabel Parabel ablesen StudySmarterAbbildung 11: Parabel ablesen

Nun hast Du den Scheitelpunkt und den Punkt . Der Scheitelpunkt wird anschließend in die Scheitelform eingesetzt.

Jetzt musst Du noch den Punkt P in die Scheitelform einsetzen und nach a auflösen.

Der Wert ist und wird zuletzt in die Scheitelform eingesetzt.

Die abgelesene Funktion ist .

Aufgabe 7

Zeichne die Parabel zu der Funktion .

Lösung

Die Funktion hat Eigenschaften, die anhand der Zahl vor dem abgelesen werden können. Da können die Eigenschaften abgelesen werden, dass die Parabel nach oben geöffnet und gestreckt ist.

Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen x-Werten.

xi
-1
0
2
f(x)

Diese x-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen y-Werte.

Der zugehörige y-Wert zu ist . Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.

Der Y-Achsenabschnitt ist bei . Dann wird der y-Wert zu berechnet.

Der zugehörige y-Wert zu ist . Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

xi
-1
0
2
f(x)
1
-4
-13

Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Parabel Parabel zeichnen StudySmarterAbbildung 12: Parabel zeichnen

Jetzt, da Du die Punkte P1, P2 und P3 eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.

Parabel  Parabel einzeichnen StudySmarterAbbildungen 13: Parabel einzeichnen

Parabel – Das Wichtigste

  • Eine quadratische Funktion ist eine Funktion zweiten Grades und wird im Koordinatensystem durch eine sogenannte Parabel dargestellt.
  • Eine Parabel ist immer geformt wie ein Bogen und kann nach oben oder nach unten geöffnet sein. Außerdem hat eine Parabel immer einen Scheitelpunkt, an dem sich die Parabel spiegelt.

Normalform einer quadratischen Funktion:

  • Die Normalparabel hat die Form .
  • Besitzt eine quadratische Funktion den Scheitel , so lässt sich der Funktionsterm in folgender Form schreiben:

Parabel Scheitelform StudySmarter

  • Eigenschaften einer Parabel:
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
  • Wie wandelt man denn eine Funktion in die Scheitelform um?

    Zuerst klammerst Du die Zahl vor dem aus. Danach führst Du eine quadratische Ergänzung durch. Jetzt musst Du die binomische Formel anwenden und die Zahlen zurück in ihre quadrierte Klammer umformen.Die restlichen Zahlen müssen dann noch zusammengerechnet werden und die Klammer muss ausmultipliziert werden.

  • Eine Parabel liest Du ab, in dem Du den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P abliest. Den Scheitelpunkt S setzt Du in die Scheitelform ein. Gleich danach setzt Du den Punkt P ebenfalls in die Scheitelform ein und löst nach a auf. Zuletzt setzt Du die Werte in die Scheitelform ein und Du hast die fertige Funktion.
  • Um eine Parabel zu zeichnen, liest Du zuerst die Eigenschaften der Parabel ab. Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? Danach berechnest Du Punkte, die auf der Parabel liegen, mithilfe einer Wertetabelle. Die Punkte werden dann ins Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden.

Nachweise

  1. Ma.tum.de: https://www.ma.tum.de/de/fakultaet/lage-anfahrt/bilder-parabelrutsche.html (Zugriff am 10.07.2022)
  2. Rapp (1991): Quadratische Funktionen. Vieweg+Teubner Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Parabel

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion zweiten Grades und wird im Koordinatensystem durch eine sogenannte Parabel dargestellt. Eine Parabel ist immer geformt wie ein Bogen und kann nach oben oder nach unten geöffnet sein. Außerdem hat eine Parabel immer einen Scheitelpunkt, an dem sich die Parabel spiegelt.

  1. Den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P ablesen
  2. Den Scheitelpunkt S in die Scheitelform einsetzen.
  3. Den Punkt P in die Funktion einsetzen und nach a auflösen, um a zu bestimmen.
  4. Zuletzt setzt Du die Werte in die Scheitelform ein und Du hast die fertige Funktion f(x).

Es gibt eine Normalparabel, eine gestreckte und eine gestauchte Parabel und eine Parabel, die nach oben beziehungsweise nach unten geöffnet ist.

Die Funktionsgleichung einer Parabel sieht folgendermaßen aus:


f(x)=ax2+bx+c

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