Parabel

Hier siehst Du einmal die Normalparabel \(f(x) = x^2\) und eine Parabel \(g(x) = -0.4x^2+3\), die durch verschiedene Parameter verschoben und gestaucht wurde:

Betrachte die quadratische Funktion \(f(x) = 2(x+3)^2-4\).

Du erkennst, dass die Funktion in Scheitelform vorliegt. Durch direkten Vergleich mit der Formel der Scheitelform lässt sich für den Scheitelpunkt \(x_s =-3\) und \(y_s = -4\) ablesen.

In Abb. 3 kannst Du eine relativ zur Normalparabel gestauchte, nach unten geöffnete Parabel \(f(x) = -0{,}5x^2\) und eine gestreckte, nach oben geöffnete Parabel \(g(x) = 3{,}1x^2\) sehen.

Drei Kopien der gleichen Parabel \(p(x) = 2x^2\) werden im Koordinatensystem verschoben.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 2{(x-3)}^2;g\left(x\right)=2{(x+2)}^2-1;h\left(x\right)=2{(x-1)}^2+1\end{array}$

Wandele die quadratische Funktion \(f(x) = 2x^2-12x+16\) in ihre Scheitelform um und benenne den Scheitelpunkt.\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)

1. Ausklammern des Vorfaktors vor \(x^2\)

\begin{align} {\color{r}2}x^2-12x+16 = {\color{r}2}\left(x^2-6x+8\right)\end{align}

2. Quadratische Ergänzung mit dem Vorfaktor von \(x\).

\begin{align} 2\left(x^2-{\color{gr}6}x+8\right)=2\left(x^2-{\color{gr}6}x+\underbrace{\left(\frac{\color{gr}6}{2}\right)^2-\left(\frac{\color{gr}6}{2}\right)^2}_{\text{Quadratische Ergänzung}}+8\right)\end{align}

3. Zusammenfassen der ersten 3 Terme in der Klammer (Achte darauf, den positiven Anteil der quadratischen Ergänzung einzuschließen) zu einer binomischen Formel

\begin{align}2\left(\left(x^2 - 6x +\left(\frac{6}{2}\right)^2\right)-\left(\frac{6}{2}\right)^2+8\right)=2\left(\left(x-3\right)^2-\left(\frac{6}{2}\right)^2+8\right)\end{align}

4. Die restlichen Terme zusammenrechnen

\begin{align}2\left(\left(x-3\right)^2{\color{r}-\left(\frac{6}{2}\right)^2+8}\right) =2\left(\left(x-3\right)^2{\color{r}-1}\right) \end{align}

5. Die äußere Klammer auflösen

\begin{align}2{\color{gr} \left( {\color{#000000}\left(x-3\right)^2-1}\color{gr}\right)}= 2\left(x-3\right)^2-2 \end{align}

Deine Funktion liegt jetzt in Scheitelpunktform vor. Wir lesen den Scheitelpunkt S ab und erhalten \(S (3|-2)\).

Aufgabe 1

Erstelle die Funktion $f\left(x\right)$ mithilfe der Abbildung von der Parabel.

Lösung

Schritt 1:

Zuerst bestimmst Du den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P und liest diese ab.

Schritt 2:

Nun hast Du den Scheitelpunkt $S\left(0\right|-3)$ und den Punkt $P\left(1\right|-1)$.

Schritt 3:

Der Scheitelpunkt wird anschließend in die Scheitelform eingesetzt.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& a·{(x-x_s)}^2+y_s\\ =& a·{(x-0)}^2-3& \end{array}$

Jetzt musst Du noch den Punkt P in die Scheitelform einsetzen und nach a auflösen.

$\begin{array}{rcl}-1& =& a·{(1-0)}^2-3\\ -1& =& a-3\begin{array}{c}|+3\end{array}\\ -1+3& =& a\\ 2& =& a\end{array}$

Schritt 4:

Der Wert ist $a=2$ und wird zuletzt in die Scheitelform eingesetzt.

$f\left(x\right)=2x^2-3$

Die abgelesene Funktion ist $f\left(x\right)=2x^2-3$.

Aufgabe 2

Zeichne die Parabel $f\left(x\right)$ ins Koordinatensystem ein.

$f\left(x\right)=-4x^2+3$

Lösung

Schritt 1:

Die Funktion hat Eigenschaften, die anhand der Zahl vor dem $x^2$ abgelesen werden können. Da $a=-4$ können die Eigenschaften abgelesen werden, dass die Parabel nach unten geöffnet und gestreckt ist.

Schritt 2:

Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen x-Werten.

Schritt 3:

Diese x-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen y-Werte.

$f\left(x\right)=-4x^2+3f(-1)=\left(-4\right)·{\left(-1\right)}^2+3=-4+3=-1$

Der zugehörige y-Wert zu $x_1=-1$ ist $y_1=-1$. Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.

$\begin{array}{rcl}f\left(0\right)& =& (-4)·0^2+3=3\end{array}$

Der Y-Achsenabschnitt ist bei $y_2=3$. Dann wird der y-Wert zu $x_3=2$ berechnet.

$\begin{array}{rcl}f\left(2\right)& =& (-4)·2^2+3=\left(-16\right)+3=-13\end{array}$

Der zugehörige y-Wert zu $x_3=2$ ist $y_3=-13$. Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

Schritt 4:

Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

${\mathrm{P}}_1(-1|-1){\mathrm{P}}_2(0\left|3\right){\mathrm{P}}_3\left(2\right|-13)$

Schritt 5:

Jetzt, wo Du die Punkte P₁, P₂ und P₃ eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.

Aufgabe 3

Wandle die quadratische Funktion $f\left(x\right)$ in eine Scheitelform um und nenne all ihre Eigenschaften.

$f\left(x\right)=4x^2+24x-8$

Lösung

Zuerst klammerst Du die Zahl 4 vor dem $x^2$ aus.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 4x^2+24x-8\begin{array}{c}|ausklammern\end{array}\\ =& 4·(x^2+6x-2)& \end{array}$

Jetzt kommt eine quadratische Ergänzung hinzu, in dem die Zahl 6 vor dem x geteilt und dann quadriert wird. Die quadratische Ergänzung wird zwischen dem x und der letzten Zahl eingefügt.

$\begin{array}{rc}=& 4·(x^2+6x-2)\begin{array}{c}\begin{array}{c}|quadr.Ergänzung\end{array}\end{array}\\ =& 4·(x^2+6x+3^2-3^2-2)\end{array}$

An der Stelle wendest Du die binomische Formel an und erstellst eine quadrierte Klammer.

$\begin{array}{rc}=& 4·(x^2+6x+3^2-3^2-2)\begin{array}{c}|bin.Formel\end{array}\\ =& 4·({(x+3)}^2-3^2-2)\end{array}$

Jetzt werden die Zahlen innerhalb der Klammer zusammengerechnet und ausmultipliziert.

$\begin{array}{rc}=& 4·({(x+3)}^2-3^2-2)\\ =& 4·({(x+3)}^2-11)\begin{array}{c}|ausmultiplizieren\end{array}\\ =& 4{(x+3)}^2-44\end{array}$

Die Scheitelform der Funktion $f\left(x\right)$:

$f\left(x\right)=4{(x+3)}^2-44$

Zuletzt können die Eigenschaften der Parabel $f\left(x\right)$ abgelesen werden. Der Scheitelpunkt liegt bei$S\left(3\right|-44)$. Die Parabel $f\left(x\right)$ ist gestreckt und ist -44 Längeneinheiten nach unten entlang der y-Achse und 3 Einheiten auf der x-Achsen nach rechts verschoben. Die Parabel $f\left(x\right)$ ist gestreckt und nach oben geöffnet, was an der 4 vor der Klammer zu erkennen ist.

Aufgabe 4

Lese die Funktionsgleichung $f\left(x\right)$ in Scheitelform von der unten abgebildeten Parabel ab.

Lösung

Zuerst bestimmst Du den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P und liest diese ab.

Nun hast Du den Scheitelpunkt $S\left(0\right|-5)$ und den Punkt $P\left(1\right|-2)$. Der Scheitelpunkt wird anschließend in die Scheitelform eingesetzt.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& a·{(x-x_s)}^2+y_s\\ =& a·{(x-0)}^2-5& \end{array}$

Jetzt musst Du noch den Punkt P in die Scheitelform einsetzen und nach a auflösen.

$\begin{array}{rcl}-2& =& a·{(1-0)}^2-5\\ -2& =& a\begin{array}{c}|+5\end{array}\\ -2+5& =& a\\ 3& =& a\end{array}$

Der Wert ist $a=3$ und wird zuletzt in die Scheitelform eingesetzt.

$f\left(x\right)=3x^2-5$

Die abgelesene Funktion ist $f\left(x\right)=3x^2-5$.

Aufgabe 5

Zeichne die Parabel zu der Funktion $f\left(x\right)$.

$f\left(x\right)=5x^2-4$

Lösung

Die Funktion hat Eigenschaften, die anhand der Zahl vor dem $x^2$ abgelesen werden können. Da $a=5$ können die Eigenschaften abgelesen werden, dass die Parabel nach oben geöffnet und gestreckt ist.

Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen x-Werten.

Diese x-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen y-Werte.

$f\left(x\right)=5x^2-4f(-1)=5·{\left(-1\right)}^2-3=5-4=1$

Der zugehörige y-Wert zu $x_1=-1$ ist $y_1=1$. Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.

$\begin{array}{rcl}f\left(0\right)& =& \left(5\right)·0^2-4=-4\end{array}$

Der Y-Achsenabschnitt ist bei $y_2=-4$. Dann wird der y-Wert zu $x_3=2$ berechnet.

$\begin{array}{rcl}f\left(2\right)& =& 5·2^2-4=20-4=16\end{array}$

Der zugehörige y-Wert zu $x_3=2$ ist $y_3=16$. Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

${\mathrm{P}}_1(-1|1){\mathrm{P}}_2(0|-4){\mathrm{P}}_3\left(2\right|16)$

Jetzt, da Du die Punkte P₁, P₂ und P₃ eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.