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Abbildung 1: Rutschen in Form einer Parabel in der TU München (Quelle:ma.tum.de)
Auf diesem Bild siehst Du zwei Rutschen in der Technischen Universität in München. Diese Rutschen sollen eine Parabel darstellen, also eine quadratische Funktion. In dieser Erklärung erfährst Du, wie eine solche Parabel aufgebaut ist, wie sie berechnet wird und was es für verschiedene Eigenschaften gibt.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
Eine quadratische Funktion ist eine Funktion zweiten Grades und wird im Koordinatensystem durch eine sogenannte Parabel dargestellt. Eine Parabel ist immer geformt wie ein Bogen und kann nach oben oder nach unten geöffnet sein. Außerdem hat eine Parabel immer einen Scheitelpunkt, an dem sich die Parabel spiegelt.
Normalform einer quadratischen Funktion:
Es gibt eine besondere Form der Parabel, die sich Normalparabel nennt.
Die Normalparabel hat die Form 
.
Eigenschaften der Normalparabel:
ist nach oben geöffnet.
liegt bei 
.
ist achsensymmetrisch zur y-Achse.Was genau diese Eigenschaften bedeuten, lernst Du gleich noch.
Wie sieht eine Parabel im Koordinatensystem aus?
Hier siehst Du einmal die Normalparabel 
und eine Parabel 
, die durch verschiedene Parameter verschoben und gestaucht wurde:
Abbildung 2: Normalparabel und Parabel
Die Scheitelform ist eine besondere Form, die Funktionsgleichung 
einer Parabel darzustellen.
Besitzt eine quadratische Funktion den Scheitel 
, so lässt sich der Funktionsterm in folgender Form schreiben:
Wenn der Scheitelpunkt einer Funktion nicht gegeben ist, kann er in dieser Form abgelesen werden.
Anhand dieser Scheitelform können verschiedene Eigenschaften einer quadratischen Funktion abgelesen werden.
Anhand der Parameter, welche in der Scheitelform der quadratischen Funktion gegeben sind, kannst Du die verschiedenen Eigenschaften der Parabel ablesen.
Bei der Parabel werden verschiedene Eigenschaften unterschieden. Diese sind die Stauchung/Streckung in x- oder y-Richtung, die Verschiebung in x- oder y-Richtung und die Öffnungsrichtung. Stauchung/Streckung und Verschiebung beziehen sich hierbei auf die Veränderung im Vergleich zur Normalparabel.
Um die Eigenschaften abzulesen, muss die Parabel in der Scheitelform stehen.
Die Eigenschaften der Streckung und Stauchung und die Öffnungsrichtung kannst Du am Parameter a ablesen.
| Größe des Parameters | Auswirkung auf die Parabel |
 | Die Parabel  ist nach oben geöffnet. |
 | Die Parabel  ist nach unten geöffnet. |
 | Die Parabel  ist Richtung der y-Achse gestaucht. |
 | Die Parabel  ist eine Normalparabel. |
 | Die Parabel  ist Richtung der x-Achse gestreckt. |
Das folgende Beispiel zeigt Dir, wie sich diese Eigenschaften auf den Graphen auswirken.
1. Gestauchte, nach unten geöffnete Parabel:
2. Gestreckte, nach oben geöffnete Parabel:
Die beiden Parabeln 
und 
sehen im Koordinatensystem folgendermaßen aus:
Abbildung 3: Gestreckte und gestauchte Parabel
Eine Parabel kann entlang der x-Achse in nach rechts und links verschoben und entlang der y-Achse nach oben und unten verschoben werden
Diese Verschiebung kannst Du anhand von 
und 
in der Scheitelform ablesen.
| Größe des Wertes | Verschiebung entlang der x- oder y-Achse |
 | Verschiebung um  in positive x-Richtung. |
 | Verschiebung um  in negative x-Richtung. |
 | Verschiebung um  in positive y-Richtung. |
 | Verschiebung um  in negative x-Richtung. |
In der Abbildung siehst Du dreimal die gleiche Parabel in Bezug der Öffnung und der Streckung, die allerdings an drei verschiedenen Punkten S ihren Scheitelpunkt hat, was an der Verschiebung entlang der Achsen liegt.
Abbildung 4: Verschiebung einer Parabel entlang der Koordinatenachsen
Eine quadratische Funktion ist nicht immer in Scheitelform angegeben, sondern oft auch in ihrer Normalform
. In dieser Form können allerdings nicht alle Eigenschaften abgelesen werden, weshalb die Funktion in die Scheitelform umgewandelt wird.
Wie wandelst Du eine Funktion in die Scheitelform um?
aus.Das Ganze kannst Du Dir noch mal in der Praxis anschauen.
Aufgabe 2
Wandele die quadratische Funktion 
in eine Scheitelform um und benenne den Scheitelpunkt.
Lösung
Schritt 1:
Zuerst klammerst Du die Zahl vor dem 
aus.
Schritt 2:
Nun kommt eine quadratische Ergänzung hinzu, in dem die Zahl 6 vor dem x geteilt und dann quadriert wird. Die quadratische Ergänzung wird zwischen dem x und der letzten Zahl eingefügt.
Eine quadratische Ergänzung ist eine Methode, um Terme umzuformen, damit eine binomische Formel entstehen kann. Die binomische Formel ist bei der Scheitelform notwendig, um die Verschiebung und den Scheitelpunkt zu sehen.
Schritt 3:
An der Stelle wendest Du die binomische Formel an und erstellst eine quadrierte Klammer.
Schritt 4 und 5:
Jetzt werden die Zahlen innerhalb der Klammer zusammengerechnet und ausmultipliziert.
Die Scheitelform der Funktion 
:
Zuletzt kann der Scheitelpunkt abgelesen werden, denn die Zahl innerhalb der Klammer ist der x-Wert des Scheitelpunkts und die hintere Zahl ist der y-Wert des Scheitelpunkts.
Der Scheitelpunkt der Funktion 
ist 
.
Abbildung 4: Scheitelform einer quadratischen Funktion
Eine Parabel kannst Du auch aus dem Koordinatensystem ablesen und in eine Scheitelform zusammenfassen.
Das funktioniert in nur wenigen Schritten:
.Das Ganze sieht in der Praxis folgendermaßen aus:
Aufgabe 3
Erstelle die Funktion 
mithilfe der Abbildung von der Parabel.
Abbildung 5: Parabel ablesen
Lösung
Schritt 1:
Zuerst bestimmst Du den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P und liest diese ab.
Abbildung 6: Parabel ablesen
Schritt 2:
Nun hast Du den Scheitelpunkt 
und den Punkt 
.
Schritt 3:
Der Scheitelpunkt wird anschließend in die Scheitelform eingesetzt.
Jetzt musst Du noch den Punkt P in die Scheitelform einsetzen und nach a auflösen.
Schritt 4:
Der Wert ist 
und wird zuletzt in die Scheitelform eingesetzt.
Die abgelesene Funktion ist 
.
Eine Parabel kannst Du ins Koordinatensystem zeichnen. Dazu kannst Du folgende Schritte befolgen:
Aufgabe 4
Zeichne die Parabel 
ins Koordinatensystem ein.
Lösung
Schritt 1:
Die Funktion hat Eigenschaften, die anhand der Zahl vor dem 
abgelesen werden können. Da 
können die Eigenschaften abgelesen werden, dass die Parabel nach unten geöffnet und gestreckt ist.
Schritt 2:
Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen x-Werten.
xi | -1 | 0 | 2 |
f(x) |
xi sind die x-Werte und f(x) sind die zugehörigen y-Werte.
Schritt 3:
Diese x-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen y-Werte.
Der zugehörige y-Wert zu 
ist 
. Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.
Der Y-Achsenabschnitt ist bei 
. Dann wird der y-Wert zu 
berechnet.
Der zugehörige y-Wert zu 
ist 
. Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.
xi | -1 | 0 | 2 |
f(x) | -1 | 3 | -13 |
Schritt 4:
Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Abbildung 7: Parabel zeichnen
Schritt 5:
Jetzt, wo Du die Punkte P1, P2 und P3 eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.
Abbildung 8: Parabel einzeichnen
Parabeln im Alltag
Parabeln sind immer wieder auch im Alltag zu finden. Ein Beispiel hierfür ist der Solarkocher.
Der Kocher ist aus einem Parabolspiegel konzipiert, welcher in der Mitte eine Vorrichtung für einen Topf hat. Ein Parabolspiegel sieht folgendermaßen aus:
Abbildung 9: Parabolspiegel als Solarkocher (Quelle: 59plus.de)
Aber wie funktioniert so ein Parabolspiegel als Solarkocher und was hat das Ganze mit einer Parabel zu tun?
Ein Parabolspiegel entsteht, indem man eine Parabel um eine Achse rotiert, sodass ein dreidimensionaler Körper entsteht.
Alle diese Parabeln, die durch die Rotation entstehen, teilen sich einen Brennpunkt, und bündeln so die Sonnenenergie an der Kochstelle. So können Temperaturen von bis zu 300 °C erreicht werden.
Das ermöglicht unter anderem das Abkochen von Wasser in Regionen mit schlechter Trinkwasserversorgung und viel Sonne.
Jetzt, da Du schon einiges über die Parabel weißt, kannst Du Dein Wissen durch die Übungsaufgaben überprüfen!
Aufgabe 5
Wandle die quadratische Funktion 
in eine Scheitelform um und nenne all ihre Eigenschaften.
Lösung
Zuerst klammerst Du die Zahl 4 vor dem 
aus.
Jetzt kommt eine quadratische Ergänzung hinzu, in dem die Zahl 6 vor dem x geteilt und dann quadriert wird. Die quadratische Ergänzung wird zwischen dem x und der letzten Zahl eingefügt.
An der Stelle wendest Du die binomische Formel an und erstellst eine quadrierte Klammer.
Jetzt werden die Zahlen innerhalb der Klammer zusammengerechnet und ausmultipliziert.
Die Scheitelform der Funktion :
Zuletzt können die Eigenschaften der Parabel 
abgelesen werden. Der Scheitelpunkt liegt bei
. Die Parabel 
ist gestreckt und ist -44 Längeneinheiten nach unten entlang der y-Achse und 3 Einheiten auf der x-Achsen nach rechts verschoben. Die Parabel 
ist gestreckt und nach oben geöffnet, was an der 4 vor der Klammer zu erkennen ist.
Aufgabe 6
Lese die Funktionsgleichung 
in Scheitelform von der unten abgebildeten Parabel ab.
Abbildung 10: Parabel ablesen
Lösung
Zuerst bestimmst Du den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P und liest diese ab.
Abbildung 11: Parabel ablesen
Nun hast Du den Scheitelpunkt 
und den Punkt 
. Der Scheitelpunkt wird anschließend in die Scheitelform eingesetzt.
Jetzt musst Du noch den Punkt P in die Scheitelform einsetzen und nach a auflösen.
Der Wert ist 
und wird zuletzt in die Scheitelform eingesetzt.
Die abgelesene Funktion ist 
.
Aufgabe 7
Zeichne die Parabel zu der Funktion 
.
Lösung
Die Funktion hat Eigenschaften, die anhand der Zahl vor dem abgelesen werden können. Da 
können die Eigenschaften abgelesen werden, dass die Parabel nach oben geöffnet und gestreckt ist.
Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen x-Werten.
xi | -1 | 0 | 2 |
f(x) |
Diese x-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen y-Werte.
Der zugehörige y-Wert zu ist 
. Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.
Der Y-Achsenabschnitt ist bei 
. Dann wird der y-Wert zu berechnet.
Der zugehörige y-Wert zu ist 
. Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.
xi | -1 | 0 | 2 |
f(x) | 1 | -4 | -13 |
Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Abbildung 12: Parabel zeichnen
Jetzt, da Du die Punkte P1, P2 und P3 eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.
Abbildungen 13: Parabel einzeichnen
Normalform einer quadratischen Funktion:
.
, so lässt sich der Funktionsterm in folgender Form schreiben:
=Die Parabel ist nach oben geöffnet. =Die Parabel ist nach oben geöffnet. =Die Parabel ist nach oben geöffnet. =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
=Die Parabel ist nach oben geöffnet. =Die Parabel ist nach oben geöffnet. =Die Parabel ist nach oben geöffnet. =Die Parabel ist nach oben geöffnet.
=Die Parabel ist nach oben geöffnet.Zuerst klammerst Du die Zahl vor dem aus. Danach führst Du eine quadratische Ergänzung durch. Jetzt musst Du die binomische Formel anwenden und die Zahlen zurück in ihre quadrierte Klammer umformen.Die restlichen Zahlen müssen dann noch zusammengerechnet werden und die Klammer muss ausmultipliziert werden.
.Eine quadratische Funktion ist eine Funktion zweiten Grades und wird im Koordinatensystem durch eine sogenannte Parabel dargestellt. Eine Parabel ist immer geformt wie ein Bogen und kann nach oben oder nach unten geöffnet sein. Außerdem hat eine Parabel immer einen Scheitelpunkt, an dem sich die Parabel spiegelt.
Es gibt eine Normalparabel, eine gestreckte und eine gestauchte Parabel und eine Parabel, die nach oben beziehungsweise nach unten geöffnet ist.
Die Funktionsgleichung einer Parabel sieht folgendermaßen aus:
f(x)=ax2+bx+c
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