Abb. 1 - Rutschen in Form einer Parabel in der TU München. (Quelle:ma.tum.de)
Auf diesem Bild siehst Du zwei Rutschen in der Technischen Universität in München. Diese Rutschen sollen eine Parabel darstellen, also eine quadratische Funktion. In dieser Erklärung erfährst Du, wie eine solche Parabel aufgebaut ist, wie sie berechnet wird und was es für verschiedene Eigenschaften gibt.
Parabel Formel
Als Parabel wird der Graph einer quadratischen Funktion bezeichnet. Parabeln sind entweder nach unten oder nach oben geöffnet und sind dabei immer charakteristisch wie ein Bogen geformt.
Den Tiefpunkt bzw. Hochpunkt einer solchen bogenförmigen Parabel bezeichnet man als Scheitelpunkt.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer jeden Parabel lautet\[f(x) = ax^2+bx+c\]Die einfachste Parabel mit der Funktionsgleichung \(f(x) = x^2\) wird als Normalparabel bezeichnet.
Hier siehst Du einmal die Normalparabel \(f(x) = x^2\) und eine Parabel \(g(x) = -0.4x^2+3\), die durch verschiedene Parameter verschoben und gestaucht wurde:
Abb. 2 - Normalparabel und Parabel.
Scheitelform Parabel
Neben der allgemeinen Form einer Parabel werden Parabeln häufig auch in der sogenannten Scheitelform dargestellt. Die Scheitelform lässt dabei ein besonders leichtes ablesen aller wichtigen Eigenschaften einer Parabel zu.
Die Scheitelform einer quadratischen Funktion ist gegeben durch \[f(x) = a(x-x_s)^2+y_s\] wobei \(x_s\) und \(y_s\) die Koordinaten des Scheitelpunkts \(S(x_s|y_s)\) sind.
Anhand der Scheitelform lässt sich also der Scheitelpunkt ablesen.
Betrachte die quadratische Funktion \(f(x) = 2(x+3)^2-4\).
Du erkennst, dass die Funktion in Scheitelform vorliegt. Durch direkten Vergleich mit der Formel der Scheitelform lässt sich für den Scheitelpunkt \(x_s =-3\) und \(y_s = -4\) ablesen.
Eigenschaften von Parabeln
Die Eigenschaften von Parabeln stellt man in der Regel in Bezug zur Normalparabel \(f(x)=x^2\) dar. Im Allgemeinen können Parabeln im Vergleich zur Normalparabel
- im Koordinatensystem in x- bzw. y-Richtung verschoben werden
- unterschiedlich stark geöffnet (gestaucht/gestreckt) sein
- nach oben oder nach unten geöffnet sein
Diese Eigenschaften lassen sich anhand der Parameter der quadratischen Funktion ablesen.
Eigenschaften der Normalparabel
Parabel Öffnung ablesen
Sowohl in der allgemeinen Form als auch in der Scheitelform lässt sich die Öffnung einer Parabel anhand des Vorfaktors \(a\) ablesen. Es gilt
- \(a > 0\): Parabel ist nach oben geöffnet
- \(a < 0\): Parabel ist nach unten geöffnet
Gestauchte Parabel & gestreckte Parabel
Anhand des Vorfaktors \(a\) lässt sich neben der Öffnungsrichtung auch ablesen, ob die Parabel enger (gestreckt in y-Richtung) oder breiter (gestaucht in y-Richtung) als die Normalparabel ist.
Wandele die quadratische Funktion \(f(x) = 2x^2-12x+16\) in ihre Scheitelform um und benenne den Scheitelpunkt.\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)
1. Ausklammern des Vorfaktors vor \(x^2\)
\begin{align} {\color{r}2}x^2-12x+16 = {\color{r}2}\left(x^2-6x+8\right)\end{align}
2. Quadratische Ergänzung mit dem Vorfaktor von \(x\).
\begin{align} 2\left(x^2-{\color{gr}6}x+8\right)=2\left(x^2-{\color{gr}6}x+\underbrace{\left(\frac{\color{gr}6}{2}\right)^2-\left(\frac{\color{gr}6}{2}\right)^2}_{\text{Quadratische Ergänzung}}+8\right)\end{align}
3. Zusammenfassen der ersten 3 Terme in der Klammer (Achte darauf, den positiven Anteil der quadratischen Ergänzung einzuschließen) zu einer binomischen Formel
\begin{align}2\left(\left(x^2 - 6x +\left(\frac{6}{2}\right)^2\right)-\left(\frac{6}{2}\right)^2+8\right)=2\left(\left(x-3\right)^2-\left(\frac{6}{2}\right)^2+8\right)\end{align}
4. Die restlichen Terme zusammenrechnen
\begin{align}2\left(\left(x-3\right)^2{\color{r}-\left(\frac{6}{2}\right)^2+8}\right) =2\left(\left(x-3\right)^2{\color{r}-1}\right) \end{align}
5. Die äußere Klammer auflösen
\begin{align}2{\color{gr} \left( {\color{#000000}\left(x-3\right)^2-1}\color{gr}\right)}= 2\left(x-3\right)^2-2 \end{align}
Deine Funktion liegt jetzt in Scheitelpunktform vor. Wir lesen den Scheitelpunkt S ab und erhalten \(S (3|-2)\).
Beachte, dass das Vorzeichen von \(x_s\) immer umgedreht ist relativ zu der Rechenoperation in der Klammer. Bsp. \((x-2)^2\rightarrow x_s = +2\) ; \((x+3)^2 \rightarrow x_s = -3\)
Abb. 5 - Graph der Funktion \(f(x) = (x-3)^2 -2\).
Parabel ablesen
Eine Parabel kannst Du auch aus dem Koordinatensystem ablesen und in eine Scheitelform zusammenfassen. Das machst Du in dem Du den Scheitelpunkt S abliest, in die Scheitelform einsetzt und dann einen Punkt P einsetzt und nach a umformst. Die gewonnenen Werte setzt Du am Ende nur noch in die Scheitelform ein.
Das Vorgehen wird Dir anhand des Beispiels noch mal genauer erklärt.
Aufgabe 1
Erstelle die Funktion 
mithilfe der Abbildung von der Parabel.
Abbildung 5: Parabel ablesen
Lösung
Schritt 1:
Zuerst bestimmst Du den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P und liest diese ab.
Abbildung 6: Parabel ablesen
Schritt 2:
Nun hast Du den Scheitelpunkt 
und den Punkt 
.
Schritt 3:
Der Scheitelpunkt wird anschließend in die Scheitelform eingesetzt.
Jetzt musst Du noch den Punkt P in die Scheitelform einsetzen und nach a auflösen.
Schritt 4:
Der Wert ist 
und wird zuletzt in die Scheitelform eingesetzt.
Die abgelesene Funktion ist 
.
Parabel zeichnen
Eine Parabel kannst Du ins Koordinatensystem zeichnen. Dazu kannst Du folgende Schritte befolgen:
- Eigenschaften ablesen. Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet?
- Punkte berechnen mit Wertetabelle und y-Wert berechnen.
- Wertetabelle anlegen und beliebige x-Werte in die Funktion einsetzen und die y-Werte ausrechnen.
- Punkte einzeichnen.
- Punkte verbinden.
Aufgabe 2
Zeichne die Parabel 
ins Koordinatensystem ein.
Lösung
Schritt 1:
Die Funktion hat Eigenschaften, die anhand der Zahl vor dem 
abgelesen werden können. Da 
können die Eigenschaften abgelesen werden, dass die Parabel nach unten geöffnet und gestreckt ist.
Schritt 2:
Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen x-Werten.
xi sind die x-Werte und f(x) sind die zugehörigen y-Werte.
Schritt 3:
Diese x-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen y-Werte.
Der zugehörige y-Wert zu 
ist 
. Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.
Der Y-Achsenabschnitt ist bei 
. Dann wird der y-Wert zu 
berechnet.
Der zugehörige y-Wert zu 
ist 
. Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.
Schritt 4:
Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Abbildung 7: Parabel zeichnen
Schritt 5:
Jetzt, wo Du die Punkte P1, P2 und P3 eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.
Abbildung 8: Parabel einzeichnen
Parabeln im Alltag
Parabeln sind immer wieder auch im Alltag zu finden. Ein Beispiel hierfür ist der Solarkocher.
Der Kocher ist aus einem Parabolspiegel konzipiert, welcher in der Mitte eine Vorrichtung für einen Topf hat. Ein Parabolspiegel sieht folgendermaßen aus:
Abbildung 9: Parabolspiegel als Solarkocher (Quelle: 59plus.de)
Aber wie funktioniert so ein Parabolspiegel als Solarkocher und was hat das Ganze mit einer Parabel zu tun?
Ein Parabolspiegel entsteht, indem man eine Parabel um eine Achse rotiert, sodass ein dreidimensionaler Körper entsteht.
Alle diese Parabeln, die durch die Rotation entstehen, teilen sich einen Brennpunkt, und bündeln so die Sonnenenergie an der Kochstelle. So können Temperaturen von bis zu 300 °C erreicht werden.
Das ermöglicht unter anderem das Abkochen von Wasser in Regionen mit schlechter Trinkwasserversorgung und viel Sonne.
Parabel – Übungsaufgaben
Jetzt, da Du schon einiges über die Parabel weißt, kannst Du Dein Wissen durch die Übungsaufgaben überprüfen!
Aufgabe 3
Wandle die quadratische Funktion 
in eine Scheitelform um und nenne all ihre Eigenschaften.
Lösung
Zuerst klammerst Du die Zahl 4 vor dem 
aus.
Jetzt kommt eine quadratische Ergänzung hinzu, in dem die Zahl 6 vor dem x geteilt und dann quadriert wird. Die quadratische Ergänzung wird zwischen dem x und der letzten Zahl eingefügt.
An der Stelle wendest Du die binomische Formel an und erstellst eine quadrierte Klammer.
Jetzt werden die Zahlen innerhalb der Klammer zusammengerechnet und ausmultipliziert.
Die Scheitelform der Funktion 
:
Zuletzt können die Eigenschaften der Parabel 
abgelesen werden. Der Scheitelpunkt liegt bei
. Die Parabel 
ist gestreckt und ist -44 Längeneinheiten nach unten entlang der y-Achse und 3 Einheiten auf der x-Achsen nach rechts verschoben. Die Parabel 
ist gestreckt und nach oben geöffnet, was an der 4 vor der Klammer zu erkennen ist.
Aufgabe 4
Lese die Funktionsgleichung 
in Scheitelform von der unten abgebildeten Parabel ab.
Abbildung 10: Parabel ablesen
Lösung
Zuerst bestimmst Du den Scheitelpunkt S und einen weiteren beliebigen Punkt P und liest diese ab.
Abbildung 11: Parabel ablesen
Nun hast Du den Scheitelpunkt 
und den Punkt 
. Der Scheitelpunkt wird anschließend in die Scheitelform eingesetzt.
Jetzt musst Du noch den Punkt P in die Scheitelform einsetzen und nach a auflösen.
Der Wert ist 
und wird zuletzt in die Scheitelform eingesetzt.
Die abgelesene Funktion ist 
.
Aufgabe 5
Zeichne die Parabel zu der Funktion 
.
Lösung
Die Funktion hat Eigenschaften, die anhand der Zahl vor dem 
abgelesen werden können. Da 
können die Eigenschaften abgelesen werden, dass die Parabel nach oben geöffnet und gestreckt ist.
Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen x-Werten.
Diese x-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen y-Werte.
Der zugehörige y-Wert zu 
ist 
. Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.
Der Y-Achsenabschnitt ist bei 
. Dann wird der y-Wert zu 
berechnet.
Der zugehörige y-Wert zu 
ist 
. Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.
Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Abbildung 12: Parabel zeichnen
Jetzt, da Du die Punkte P1, P2 und P3 eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.
Abbildungen 13: Parabel einzeichnen
Schüler*innen Geprüfte Erklärungen zu allen Themen in der Schule
Studierende Alles was du brauchst für ein erfolgreiches Studium
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Magazine Die besten Lifehacks, Tipps und Infos
ist nach oben geöffnet.
liegt bei 
.
ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
ist nach oben geöffnet.
ist nach unten geöffnet.
ist Richtung der y-Achse gestaucht.
ist geöffnet wie eine Normalparabel.
ist Richtung der y-Achse gestreckt.
und 
in der Scheitelform \(f(x) = a(x-x_s)^2+y_s\) ablesen.
in positive x-Richtung.
in negative x-Richtung.
in positive y-Richtung.
in negative x-Richtung.
. In dieser Form können allerdings nicht alle Eigenschaften einfach abgelesen werden. Um die Parabel aus ihrer allgemeinen Form in die Scheitelform umzuwandeln, benötigst Du quadratische Ergänzung.
.
, so lässt sich der Funktionsterm in folgender Form schreiben:
=Die Parabel 
ist nach oben geöffnet.
=Die Parabel 
ist nach oben geöffnet.
=Die Parabel 
ist nach oben geöffnet.
=Die Parabel 
ist nach oben geöffnet.
=Die Parabel 
ist nach oben geöffnet.
=Die Parabel 
ist nach oben geöffnet.
=Die Parabel 
ist nach oben geöffnet.
=Die Parabel 
ist nach oben geöffnet.
=Die Parabel 
ist nach oben geöffnet.
aus. Danach führst Du eine quadratische Ergänzung durch. Jetzt musst Du die binomische Formel anwenden und die 
.
