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Parabel

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Mathe

Der Graph einer quadratischen Funktion wird Parabel genannt. Parabeln können nach unten oder auch nach oben geöffnet sein und sehen ein bisschen wie ein Bogen aus. Der höchste Punkt einer nach unten offenen bzw. der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel wird Scheitel genannt.

Der zur Funktion gehörende Graph heißt Normalparabel.

Normalparabel Formel und Eigenschaften

Um zu wissen, wie der Graph einer quadratischen Funktion verläuft, ist es wichtig den Verlauf der sog. Normalparabel zu kennen.

Wie oben schon angesprochen – Die Normalparabel ist der Graph zur Funktion .

Der Graph sieht folgendermaßen aus:

Die Normalparabel hat die folgenden Eigenschaften:

  • Sie ist nach oben geöffnet
  • Der Scheitelpunkt liegt bei (0|0)
  • Sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Sie geht durch die Punkte (1|1), (-1|1), (2|4), (-2|4)

Parabel Zeichnen

Um eine Parabel zu zeichnen, benutzt du die Scheitelform der quadratischen Funktion.

Die Scheitelform

Besitzt eine quadratische Funktion den Scheitel , so lässt sich der Funktionsterm in folgender Form schreiben:

Die Parameter geben folgende Einflüsse an:

  • a = Öffnungsrichtung und Streckung bzw. Stauchung

a > 0: nach oben geöffnet

a < 0: nach unten geöffnet

|a|<1: Richtung y-Achse gestaucht

|a|>1: Richtung x-Achse gestreckt

  • Verschiebung in x-Richtung

> 0: Verschiebung um nach rechts

< 0: Verschiebung um nach links

  • = Verschiebung in y-Richtung

> 0: Verschiebung um nach oben

< 0: Verschiebung um nach unten

Wir zeigen dir jetzt verschiedene Parabeln und die zugehörigen Funktionsgleichungen. Hier erkennst du auch noch mal gut, wie sich die einzelnen Parameter auf den Graph auswirken.

So wandelst du eine quadratische Funktion in die Scheitelform um:

Die quadratische Funktion lautet

Lösung:

Die Koordinaten des Scheitels lauten S(3|-2).

Zuerst Klammern wir den Koeffizienten bei aus. Anschließend führen wir eine quadratische Ergänzung durch, diese haben wir in Fett geschrieben. Danach wird der blau markierte Term mittels der binomischen Formel faktorisiert. Am Ende wird der Term nur noch zusammengefasst und dann ausmultipliziert. Fertig! Jetzt kannst du die Koordinaten ablesen.

War doch gar nicht so schwer! ☺

So berechnest du die Schnittpunkte mit der x-Achse:

Mit der Mitternachtsformel kannst du die Nullstellen von quadratischen Gleichungen der allgemeinen Form berechnen. Das ist vor allem hilfreich, wenn du den Graphen einer Funktion zeichnen sollst.

Die Nullstellen einer quadratischen Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel berechnen. Dazu setzt du die Koeffizienten in die Formel ein.

Zur Erinnerung: Die Mitternachtsformel lautet:

Parabel Das wichtigste auf einen Blick

Der Graph einer quadratischen Funktion mit ℝ → ℝ wird Parabel genannt.

Du kannst jede beliebige Parabel konstruieren. Um diese einfacher konstruieren zu können, solltest du die quadratische Funktion in die Scheitelform umwandeln.

Die Parameter geben dabei folgende Einflüsse an.

  • a = Öffnungsrichtung und Streckung bzw. Stauchung
  • = Verschiebung in x-Richtung
  • = Verschiebung in y-Richtung

Fun-Fact!

Schon gewusst? An der TU München gibt es im Mathematik-Gebäude zwei Rutschen aus dem vierten Stock, die die Form einer Parabel haben! Dort können die Studenten runterrutschen.

https://www.ma.tum.de/de/fakultaet/lage-anfahrt/bilder-parabelrutsche.html#&gid=0&pid=3

Unser Tipp für Euch

Mach dich mit der Scheitelform vertraut! Schau dir genau an, was die einzelnen Parameter angeben, das hilft dir sowohl später im Mathe-Unterricht/Studium, als auch beim Zeichnen einer Parabel sehr viel weiter. Sobald man weiß, wie die Umformung in die Scheitelform funktioniert und was die einzelnen Parameter genau aussagen, bist du den meisten schon einen Schritt voraus. Du musst es nur einmal verstehen, denn eigentlich ist das ganze Thema recht easy! ☺

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