Stell Dir vor, Dein Freund sagt, er hat \(2^3\) Äpfel. Was meint er damit? Er meint, dass er \(8\) Äpfel hat und hat dafür die Zahl potenziert. Genau so ist das auch bei der Potenzfunktion. Die Potenzfunktion ist eine Funktionsart, die Dir in der Mathematik ständig über den Weg läuft. Es gibt Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten und negativen Exponenten. Du kannst Potenzfunktionen verschieben und zeichnen. Und wie das geht, erfährst Du in dieser Erklärung.
Potenzfunktion Eigenschaften - Potenzfunktion Formel
Eine Funktion \(f(x)\) ist eine Vorschrift, die zwei Mengen und die darin enthaltenen Elemente einander zuordnet. Jedem Element \(x\) der Definitionsmenge \(\mathbb{D}\), wird ein Element \(y\) der Wertemenge \(\mathbb{W}\) zugeordnet.
Eine Potenzfunktion ist eine Funktion \(f(x)\), welche eine ganze Zahl im Exponenten hat.
Schau Dir doch gern die Erklärung zu "Funktionen" an, wenn Du noch mehr zum Thema Funktionen erfahren möchtest
Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, die einen \(n\)-ten Wert einem \(x\)-Wert zuordnet. Dieser \(n\)-te Wert ist eine ganze Zahl.
Die Funktionsgleichung der Potenzfunktion:
\[f(x)=x^{n}\, \text{mit} \, n \in \mathbb{Z} \]
Aber wie sieht eine solche Potenzfunktion im Koordinatensystem aus?
Hier siehst Du die Abbildung der Funktion:
\begin{align} {\color{#1478c8}f(x)=x^{3}} \end{align}
Abb. 1: Potenzfunktion
Potenzfunktionen Übersicht
Eine Potenzfunktion kann einen positiven und einen negativen Exponenten haben. Außerdem macht es auch einen Unterschied, ob der Exponent gerade oder ungerade ist und das siehst Du in diesem Abschnitt.
Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion ist die Wurzelfunktionen. Schau Dir gern die passende Erklärung dazu an, wenn Dich das Thema interessiert.
Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
Potenzfunktionen können – wie schon erwähnt – einen positiven und einen negativen Exponenten haben.
An dieser Stelle wird die Funktionsgleichung \(f(x)\) untersucht. \[f(x)=x^{n} \, \text{mit} \, n \, \in \,\mathbb{N} \]
Die Exponenten sind alle \( n \geq 1\). Bei allen Exponenten \(n>1\) ergibt sich eine Parabel \(n\)-ter Ordnung.
Wenn der Exponent \(n=1\) ist, dann handelt es sich um eine lineare Funktion \(f(x)\). Wenn Du mehr über lineare Funktionen erfahren möchtest, schau Dir gern die Erklärung "Lineare Funktionen" an.
Aber wie sehen die Graphen bei einem geraden und ungeraden positiven Exponenten aus?
Potenzfunktion mit geraden positivem Exponenten
Bei einer Potenzfunktion mit geraden positiven Exponenten handelt es sich um Exponenten, wie \( 2,4,6,8,...\)
Hier siehst Du ein Beispiel der Potenzfunktionen:\begin{align} {\color{#1478c8}f(x)}&{\color{#1478c8}=x^{2}} \\{\color{#00dcb4}g(x)} & {\color{#00dcb4}=x^{8}}\end{align}
Abb. 2: Gerader positiver Exponent
Das ist einmal die Parabel zweiter und achter Ordnung, weil die Parabeln einen Exponenten von \(2\) und \(8\) haben.
Wenn der Exponent \(n\) der Potenzfunktion gerade ist, dann ist der zugehörige Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
Potenzfunktion mit ungeraden positivem Exponenten
Bei einer Potenzfunktion mit ungeraden positiven Exponenten handelt es sich um Exponenten wie \(3,5,7,9,...\)
Nun siehst Du zwei Potenzfunktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) mit positiven ungeraden Exponenten.
\begin{align} {\color{#1478c8}f(x)}&{\color{#1478c8}=x^{3}} \\ {\color{#00dcb4}g(x)}&{\color{#00dcb4}=x^{9}} \end{align}
Abb. 3: Ungerader positiver Exponent
Auf der Abbildung siehst Du einer Parabel dritter und neunter Ordnung.
Wenn der Exponent \(n\) ungerade ist, dann ist der Graph einer Potenzfunktion \(f(x)\) punktsymmetrisch zum Ursprung \(O\,(0|0)\).
Potenzfunktion mit negativen Exponenten
Wenn eine Potenzfunktion einen negativen Exponenten hat, stellt ihr Graph immer eine Hyperbel dar.
Eine Potenzfunktion mit negativen Exponenten lässt sich so darstellen:
\[f(x)=x^{-n} \, \text{mit} \, n \, \in \,\mathbb{N} \]
Der Graph der Potenzfunktion sieht je nach geradem oder ungeradem negativem Exponenten anders aus. Aber wie?
Potenzfunktion mit geraden negativen Exponenten
Bei einer Potenzfunktion mit geraden negativen Exponenten handelt es sich um Exponenten wie \( -2,-,4,-6,-8,...\)
In diesem Beispiel siehst Du die Potenzfunktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) mit geraden negativen Exponenten.
\begin{align} {\color{#1478c8}f(x)}&{\color{#1478c8}=x^{-2}} \\ {\color{#00dcb4}g(x)}&{\color{#00dcb4}=x^{-8}} \end{align}
Abb. 4: Gerader negativer Exponent
Diese Hyperbeln entsprechen der zweiten und achten Ordnung.
Potenzfunktion mit ungeraden negativen Exponenten
Bei einer Potenzfunktion mit ungeraden negativen Exponenten handelt es sich um Exponenten wie \(-1,-3,-5,-7,-9,...\)
In diesem Beispiel siehst Du Potenzfunktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) mit ungeraden negativen Exponenten.
\begin{align} {\color{#1478c8}f(x)}&{\color{#1478c8}=x^{-1}} \\ {\color{#00dcb4}g(x)}&{\color{#00dcb4}=x^{-9}} \end{align}
Abb. 5: Ungerader negativer Exponent
Hier siehst Du Hyperbeln erster und neunter Ordnung.
Potenzfunktion zeichnen
Eine Parabel kannst Du ins Koordinatensystem zeichnen. Dazu kannst Du folgende Schritte befolgen:
- Eigenschaften bestimmen. Ist es eine Parabel oder eine Hyperbel?
- Punkte berechnen mit Wertetabelle und \(y\)-Wert berechnen.
- Wertetabelle anlegen, beliebige \(x\)-Werte in die Funktion einsetzen und die \(y\)-Werte ausrechnen.
- Punkte einzeichnen.
- Punkte verbinden.
Aufgabe 1
Zeichne die Parabel \(f(x)=x^{2}+3\) ins Koordinatensystem ein.
Lösung
Schritt 1:
Die Funktion hat Eigenschaften, die anhand der Zahl vor dem \(x^2\) abgelesen werden können. \/x^2\) ist eine Normalparabel und somit nach oben geöffnet.
Schritt 2:
Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen \(x\)-Werten.
| \(x_i\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) |
\(f(x)\) | | | |
\(x_i\) sind die \(x\)-Werte und \(f(x)\) sind die zugehörigen \(y\)-Werte.
Schritt 3:
Diese \(x\)-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen \(y\)-Werte.
\begin{align}f(-1)&=(-1)^2+3 \\[0.2cm] &=1+3 \\[0.2cm] &= 4\end{align}
Der zugehörige y-Wert zu \(\; x_1=-1\;\) ist \(\; y_1=4\;\). Jetzt wird der y-Achsenabschnitt berechnet.
\begin{align} f(0)&=0^2+3 \\[0.2cm]&=3\end{align}
Der y-Achsenabschnitt ist bei \(\; y_2=3\;\). Dann wird der y-Wert zu \(\;x_3=2\;\) berechnet.
\begin{align} f(2)&=2^2+3 \\[0.2cm] &=4+3 \\[0.2cm] &=7 \end{align}
Der zugehörige y-Wert zu \(\;_3=2\;\) ist \(\;y_3=7\;\). Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.
\(x_i\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) |
\(f(x)\) | \(4\) | \(3\) | \(7\) |
Schritt 4:
Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.
\[ {\color{#1478c8}P_1\,(-1|4)} \quad {\color{#00dcb4}P_2\,(0|3)} \quad {\color{#fa3273}P_3\,(2|7)}\]
Abb. 6: Potenzfunktion zeichnen
Schritt 5:
Jetzt, wo Du die Punkte \( {\color{#1478c8}P_1}\), \({\color{#00dcb4}P_2}\) und \({\color{#fa3273}P_3}\) eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.
Abb. 7: Potenzfunktion zeichnen
Jetzt hast Du eine fertige achsensymmetrische Potenzfunktion \({\color{#8363e2}f(x)}\) zweiter Ordnung.
Potenzfunktion verschieben
Potenzfunktionen verschieben kannst Du in Richtung der x-Achse und in Richtung der y-Achse.
Zum Verschieben entlang der y-Achse ist der y-Achsenabschnitt relevant.
Den kannst Du ablesen, indem Du die erste Zahl von hinten abliest. Wenn das Vorzeichen ein \(-\) ist, dann verschiebt sich die Funktion nach unten und bei einem \(+\) nach oben. Dann addierst oder subtrahierst Du die zu verschiebende Zahl auf den \(y\)-Achsenabschnitt.
Du kannst eine Potenzfunktion auf der x-Achse verschieben, indem Du die Zahl innerhalb der Klammer der Scheitelform betrachtest und die zu verschiebende Zahl addierst oder subtrahierst. Hier zählt auch das Vorzeichen. Bei \(-\) wird die Funktion nach rechts verschoben und bei \(+\) nach links.
Die Scheitelpunktform ist eine andere Darstellung der Potenzfunktion. Wenn Du wissen möchtest, wie eine solche Scheitelpunktform gebildet wird, dann schau Dir die Erklärung "Parabel" an.
Aufgabe 2
Verschiebe die Potenzfunktion \(f(x)\) um \(4\) nach oben und um \(2\) nach rechts.
\[ {\color{#1478c8}f(x)=2 (x+1)^2-3}\]
Abb. 8: Potenzfunktion verschieben
Lösung
Um die Potenzfunktion \(f(x)\) zu verschieben, musst Du \({\color{#00dcb4}4}\) auf den y-Achsenabschnitt addieren und \({\color{#1478c8}2}\) vom x-Wert abziehen.
\begin{align} f(x)&=2 (x+1{\color{#1478c8}-2})^2-3{\color{#00dcb4}+4} \\[0.2cm] &=2(x-1)^2+1 \end{align}
ABb. 9: Potenzfunktion verschieben
Hier erkennst Du, dass die Potenzfunktion \(f(x)\) um \(2\) nach rechts und um \(4\) nach oben verschoben wurde.
Potenzfunktion - Aufgaben
Jetzt kannst Du Dein Wissen überprüfen!
Aufgabe 3
Zeichne die Potenzfunktion \(f(x)=x^3+1\) ins Koordinatensystem ein.
Lösung
Die Parabel ist eine Parabel dritter Ordnung.
Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen \(x\)-Werten.
| \(x_i\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) |
\(f(x)\) | | | |
Diese \(x\)-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen \(y\)-Werte.
\begin{align}f(-1)&=(-1)^3+1 \\[0.2cm] &=-1+1 \\[0.2cm] &= 0\end{align}
Der zugehörige y-Wert zu \(\;x_1=-1\;\) ist \(\;y_1=\;\). Jetzt wird der y-Achsenabschnitt berechnet.
\begin{align} f(0)&=0^3+1 \\[0.2cm]&=1\end{align}
Der y-Achsenabschnitt ist bei \(\;y_2=1\;\). Dann wird der y-Wert zu \(\;x_3=2\;\) berechnet.
\begin{align} f(2)&=2^3+1 \\[0.2cm]&=8+1 \\[0.2cm] &=9\end{align}
Der zugehörige y-Wert zu \(\;x_3=2\;\) ist \(\;y_3=9\;\). Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.
\(x_i\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) |
\(f(x)\) | \(0\) | \(1\) | \(9\) |
Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.
\[ {\color{#1478c8}P_1\,(-1|0)} \quad {\color{#00dcb4}P_2\,(0|1)} \quad {\color{#fa3273}P_3\,(2|9)}\]
Abb. 9: Potenzfunktion zeichnen
Jetzt, wo Du die Punkte \( {\color{#1478c8}P_1}\), \({\color{#00dcb4}P_2}\) und \({\color{#fa3273}P_3}\) eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.
Abb. 10: Potenzfunktion zeichnen
Jetzt hast Du eine fertige achsensymmetrische Potenzfunktion \(f(x)\) dritter Ordnung.
Aufgabe 4
Verschiebe die Potenzfunktion \(f(x)=2(x-2)^2+1\) um \(3\) nach unten und um \(5\) nach links.
Abb. 11: Potenzfunktion verschieben
Lösung
Um die Potenzfunktion \(f(x)\) nun zu verschieben, musst Du \(3\) vom y-Achsenabschnitt subtrahieren und \(5\) zum x-Wert addieren.
\begin{align} f(x)&=2(x-2{\color{#1478c8}+5})^2+1{\color{#00dcb4}-3}\\[0.2cm] &=2 (x+3)^2-2\end{align}
Abb. 12: Potenzfunktion verschieben
Hier erkennst Du, dass die Potenzfunktion um \(3\) nach unten und um \(5\) nach links verschoben wurde.
Jetzt hast Du all das Wissen auf einen Blick!
Unbenannte Notiz - Das Wichtigste
- Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, die einem \(n\)-ten Wert einen \(x\)-Wert zuordnet. Dieser \(n\)-te Wert ist eine ganze Zahl.\[ f(x)=x^{n}\, \text{mit} \, n \in \mathbb{Z} \]
| Gerader Exponent \(n\) | Ungerader Exponent \(n\) |
| Positiver Exponent \(n\) | Parabel - achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse | Parabel - punktsymmetrisch zum Ursprung |
| Negativer Exponent \(n\) | Hyperbel - achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse | Hyperbel - punktsymmetrisch zum Ursprung |
- Je nach Exponent \(n\), sagst Du zu dem Graphen Hyperbel oder auch Parabel \(n\)-ter Ordnung
- Eine Parabel kannst Du ins Koordinatensystem zeichnen. Dazu kannst Du folgende Schritte befolgen:
- Eigenschaften bestimmen. Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet?
- Punkte berechnen mit Wertetabelle und \(y\)-Wert berechnen.
- Wertetabelle anlegen und beliebige \(x\)-Werte in die Funktion einsetzen und die \(y\)-Werte ausrechnen.
- Punkte einzeichnen.
- Punkte verbinden.
- Zum Verschieben entlang der \(y\)-Achse musst Du die zu verschiebende Zahl auf den \(y\)-Achsenabschnitt addieren (verschiebt sich nach oben) oder subtrahieren (verschiebt sich nach unten).
- Zum Verschieben entlang der \(x\)-Achse musst Du die zu verschiebende Zahl zum Wert in der Klammer addieren (verschiebt sich nach links) oder subtrahieren (verschiebt sich nach rechts).
Nachweise
- Rapp (1991): Potenzfunktionen. Vieweg+Teubner Verlag. Braunschweig/Wiesbaden
- Batschlet (1980): Die Potenzfunktion und verwandte Funktionen. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg
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