Login Anmelden

Select your language

Suggested languages for you:

Select your language

Suggested languages for you:
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen

Stell Dir vor, Dein Freund sagt, er hat \(2^3\) Äpfel. Was meint er damit? Er meint, dass er \(8\) Äpfel hat und hat dafür die Zahl potenziert. Genau so ist das auch bei der Potenzfunktion. Die Potenzfunktion ist eine Funktionsart, die Dir in der Mathematik ständig über den Weg läuft. Es gibt Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten und negativen Exponenten. Du kannst Potenzfunktionen verschieben und zeichnen. Und wie das geht, erfährst Du in dieser Erklärung.

Potenzfunktion Eigenschaften - Potenzfunktion Formel

Eine Funktion \(f(x)\) ist eine Vorschrift, die zwei Mengen und die darin enthaltenen Elemente einander zuordnet. Jedem Element \(x\) der Definitionsmenge \(\mathbb{D}\), wird ein Element \(y\) der Wertemenge \(\mathbb{W}\) zugeordnet.

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion \(f(x)\), welche eine ganze Zahl im Exponenten hat.

Schau Dir doch gern die Erklärung zu "Funktionen" an, wenn Du noch mehr zum Thema Funktionen erfahren möchtest

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, die einen \(n\)-ten Wert einem \(x\)-Wert zuordnet. Dieser \(n\)-te Wert ist eine ganze Zahl.

Die Funktionsgleichung der Potenzfunktion:

\[f(x)=x^{n}\, \text{mit} \, n \in \mathbb{Z} \]

Aber wie sieht eine solche Potenzfunktion im Koordinatensystem aus?

Hier siehst Du die Abbildung der Funktion:

\begin{align} {\color{#1478c8}f(x)=x^{3}} \end{align}

Potenzfunktionen Potenzfunktion StudySmarterAbb. 1: Potenzfunktion

Potenzfunktionen Übersicht

Eine Potenzfunktion kann einen positiven und einen negativen Exponenten haben. Außerdem macht es auch einen Unterschied, ob der Exponent gerade oder ungerade ist und das siehst Du in diesem Abschnitt.

Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion ist die Wurzelfunktionen. Schau Dir gern die passende Erklärung dazu an, wenn Dich das Thema interessiert.

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten


Potenzfunktionen können – wie schon erwähnt – einen positiven und einen negativen Exponenten haben.

An dieser Stelle wird die Funktionsgleichung \(f(x)\) untersucht. \[f(x)=x^{n} \, \text{mit} \, n \, \in \,\mathbb{N} \]

Die Exponenten sind alle \( n \geq 1\). Bei allen Exponenten \(n>1\) ergibt sich eine Parabel \(n\)-ter Ordnung.

Wenn der Exponent \(n=1\) ist, dann handelt es sich um eine lineare Funktion \(f(x)\). Wenn Du mehr über lineare Funktionen erfahren möchtest, schau Dir gern die Erklärung "Lineare Funktionen" an.

Aber wie sehen die Graphen bei einem geraden und ungeraden positiven Exponenten aus?

Potenzfunktion mit geraden positivem Exponenten

Bei einer Potenzfunktion mit geraden positiven Exponenten handelt es sich um Exponenten, wie \( 2,4,6,8,...\)

Hier siehst Du ein Beispiel der Potenzfunktionen:\begin{align} {\color{#1478c8}f(x)}&{\color{#1478c8}=x^{2}} \\{\color{#00dcb4}g(x)} & {\color{#00dcb4}=x^{8}}\end{align}

Potenzfunktionen Gerader positiver Exponent StudySmarterAbb. 2: Gerader positiver Exponent

Das ist einmal die Parabel zweiter und achter Ordnung, weil die Parabeln einen Exponenten von \(2\) und \(8\) haben.

Wenn der Exponent \(n\) der Potenzfunktion gerade ist, dann ist der zugehörige Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.

Potenzfunktion mit ungeraden positivem Exponenten

Bei einer Potenzfunktion mit ungeraden positiven Exponenten handelt es sich um Exponenten wie \(3,5,7,9,...\)

Nun siehst Du zwei Potenzfunktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) mit positiven ungeraden Exponenten.

\begin{align} {\color{#1478c8}f(x)}&{\color{#1478c8}=x^{3}} \\ {\color{#00dcb4}g(x)}&{\color{#00dcb4}=x^{9}} \end{align}

Potenzfunktionen  Ungerader positiver Exponent StudySmarterAbb. 3: Ungerader positiver Exponent

Auf der Abbildung siehst Du einer Parabel dritter und neunter Ordnung.

Wenn der Exponent \(n\) ungerade ist, dann ist der Graph einer Potenzfunktion \(f(x)\) punktsymmetrisch zum Ursprung \(O\,(0|0)\).

Potenzfunktion mit negativen Exponenten

Wenn eine Potenzfunktion einen negativen Exponenten hat, stellt ihr Graph immer eine Hyperbel dar.

Eine Potenzfunktion mit negativen Exponenten lässt sich so darstellen:

\[f(x)=x^{-n} \, \text{mit} \, n \, \in \,\mathbb{N} \]

Der Graph der Potenzfunktion sieht je nach geradem oder ungeradem negativem Exponenten anders aus. Aber wie?

Potenzfunktion mit geraden negativen Exponenten

Bei einer Potenzfunktion mit geraden negativen Exponenten handelt es sich um Exponenten wie \( -2,-,4,-6,-8,...\)

In diesem Beispiel siehst Du die Potenzfunktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) mit geraden negativen Exponenten.

\begin{align} {\color{#1478c8}f(x)}&{\color{#1478c8}=x^{-2}} \\ {\color{#00dcb4}g(x)}&{\color{#00dcb4}=x^{-8}} \end{align}

Potenzfunktionen Gerader negativer Exponent StudySmarterAbb. 4: Gerader negativer Exponent

Diese Hyperbeln entsprechen der zweiten und achten Ordnung.

Potenzfunktion mit ungeraden negativen Exponenten

Bei einer Potenzfunktion mit ungeraden negativen Exponenten handelt es sich um Exponenten wie \(-1,-3,-5,-7,-9,...\)

In diesem Beispiel siehst Du Potenzfunktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) mit ungeraden negativen Exponenten.

\begin{align} {\color{#1478c8}f(x)}&{\color{#1478c8}=x^{-1}} \\ {\color{#00dcb4}g(x)}&{\color{#00dcb4}=x^{-9}} \end{align}

Potenzfunktionen Ungerader negativer Exponent StudySmarterAbb. 5: Ungerader negativer Exponent

Hier siehst Du Hyperbeln erster und neunter Ordnung.

Potenzfunktion zeichnen

Eine Parabel kannst Du ins Koordinatensystem zeichnen. Dazu kannst Du folgende Schritte befolgen:

  1. Eigenschaften bestimmen. Ist es eine Parabel oder eine Hyperbel?
  2. Punkte berechnen mit Wertetabelle und \(y\)-Wert berechnen.
  3. Wertetabelle anlegen, beliebige \(x\)-Werte in die Funktion einsetzen und die \(y\)-Werte ausrechnen.
  4. Punkte einzeichnen.
  5. Punkte verbinden.

Aufgabe 1

Zeichne die Parabel \(f(x)=x^{2}+3\) ins Koordinatensystem ein.

Lösung

Schritt 1:

Die Funktion hat Eigenschaften, die anhand der Zahl vor dem \(x^2\) abgelesen werden können. \/x^2\) ist eine Normalparabel und somit nach oben geöffnet.

Schritt 2:

Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen \(x\)-Werten.

\(x_i\)
\(-1\)
\(0\)
\(2\)
\(f(x)\)

\(x_i\) sind die \(x\)-Werte und \(f(x)\) sind die zugehörigen \(y\)-Werte.

Schritt 3:

Diese \(x\)-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen \(y\)-Werte.

\begin{align}f(-1)&=(-1)^2+3 \\[0.2cm] &=1+3 \\[0.2cm] &= 4\end{align}

Der zugehörige y-Wert zu \(\; x_1=-1\;\) ist \(\; y_1=4\;\). Jetzt wird der y-Achsenabschnitt berechnet.

\begin{align} f(0)&=0^2+3 \\[0.2cm]&=3\end{align}

Der y-Achsenabschnitt ist bei \(\; y_2=3\;\). Dann wird der y-Wert zu \(\;x_3=2\;\) berechnet.

\begin{align} f(2)&=2^2+3 \\[0.2cm] &=4+3 \\[0.2cm] &=7 \end{align}

Der zugehörige y-Wert zu \(\;_3=2\;\) ist \(\;y_3=7\;\). Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

\(x_i\)
\(-1\)
\(0\)
\(2\)
\(f(x)\)
\(4\)
\(3\)
\(7\)

Schritt 4:

Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

\[ {\color{#1478c8}P_1\,(-1|4)} \quad {\color{#00dcb4}P_2\,(0|3)} \quad {\color{#fa3273}P_3\,(2|7)}\]

Potenzfunktionen Potenzfunktion zeichnen StudySmarterAbb. 6: Potenzfunktion zeichnen

Schritt 5:

Jetzt, wo Du die Punkte \( {\color{#1478c8}P_1}\), \({\color{#00dcb4}P_2}\) und \({\color{#fa3273}P_3}\) eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.

Potenzfunktionen Potenzfunktion zeichnen StudySmarterAbb. 7: Potenzfunktion zeichnen

Jetzt hast Du eine fertige achsensymmetrische Potenzfunktion \({\color{#8363e2}f(x)}\) zweiter Ordnung.

Potenzfunktion verschieben

Potenzfunktionen verschieben kannst Du in Richtung der x-Achse und in Richtung der y-Achse.

Zum Verschieben entlang der y-Achse ist der y-Achsenabschnitt relevant.

Den kannst Du ablesen, indem Du die erste Zahl von hinten abliest. Wenn das Vorzeichen ein \(-\) ist, dann verschiebt sich die Funktion nach unten und bei einem \(+\) nach oben. Dann addierst oder subtrahierst Du die zu verschiebende Zahl auf den \(y\)-Achsenabschnitt.

Du kannst eine Potenzfunktion auf der x-Achse verschieben, indem Du die Zahl innerhalb der Klammer der Scheitelform betrachtest und die zu verschiebende Zahl addierst oder subtrahierst. Hier zählt auch das Vorzeichen. Bei \(-\) wird die Funktion nach rechts verschoben und bei \(+\) nach links.

Die Scheitelpunktform ist eine andere Darstellung der Potenzfunktion. Wenn Du wissen möchtest, wie eine solche Scheitelpunktform gebildet wird, dann schau Dir die Erklärung "Parabel" an.

Aufgabe 2

Verschiebe die Potenzfunktion \(f(x)\) um \(4\) nach oben und um \(2\) nach rechts.

\[ {\color{#1478c8}f(x)=2 (x+1)^2-3}\]

Potenzfunktionen Potenzfunktion verschieben StudySmarterAbb. 8: Potenzfunktion verschieben

Lösung

Um die Potenzfunktion \(f(x)\) zu verschieben, musst Du \({\color{#00dcb4}4}\) auf den y-Achsenabschnitt addieren und \({\color{#1478c8}2}\) vom x-Wert abziehen.

\begin{align} f(x)&=2 (x+1{\color{#1478c8}-2})^2-3{\color{#00dcb4}+4} \\[0.2cm] &=2(x-1)^2+1 \end{align}

Potenzfunktionen Potenzfunktion verschieben StudySmarterABb. 9: Potenzfunktion verschieben

Hier erkennst Du, dass die Potenzfunktion \(f(x)\) um \(2\) nach rechts und um \(4\) nach oben verschoben wurde.

Potenzfunktion - Aufgaben

Jetzt kannst Du Dein Wissen überprüfen!

Aufgabe 3

Zeichne die Potenzfunktion \(f(x)=x^3+1\) ins Koordinatensystem ein.

Lösung

Die Parabel ist eine Parabel dritter Ordnung.

Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen \(x\)-Werten.

\(x_i\)
\(-1\)
\(0\)
\(2\)
\(f(x)\)

Diese \(x\)-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen \(y\)-Werte.

\begin{align}f(-1)&=(-1)^3+1 \\[0.2cm] &=-1+1 \\[0.2cm] &= 0\end{align}

Der zugehörige y-Wert zu \(\;x_1=-1\;\) ist \(\;y_1=\;\). Jetzt wird der y-Achsenabschnitt berechnet.

\begin{align} f(0)&=0^3+1 \\[0.2cm]&=1\end{align}

Der y-Achsenabschnitt ist bei \(\;y_2=1\;\). Dann wird der y-Wert zu \(\;x_3=2\;\) berechnet.

\begin{align} f(2)&=2^3+1 \\[0.2cm]&=8+1 \\[0.2cm] &=9\end{align}

Der zugehörige y-Wert zu \(\;x_3=2\;\) ist \(\;y_3=9\;\). Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

\(x_i\)
\(-1\)
\(0\)
\(2\)
\(f(x)\)
\(0\)
\(1\)
\(9\)

Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

\[ {\color{#1478c8}P_1\,(-1|0)} \quad {\color{#00dcb4}P_2\,(0|1)} \quad {\color{#fa3273}P_3\,(2|9)}\]

Potenzfunktionen Potenzfunktion zeichnen StudySmarterAbb. 9: Potenzfunktion zeichnen

Jetzt, wo Du die Punkte \( {\color{#1478c8}P_1}\), \({\color{#00dcb4}P_2}\) und \({\color{#fa3273}P_3}\) eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.

Potenzfunktionen Potenzfunktion zeichnen StudySmarterAbb. 10: Potenzfunktion zeichnen

Jetzt hast Du eine fertige achsensymmetrische Potenzfunktion \(f(x)\) dritter Ordnung.

Aufgabe 4

Verschiebe die Potenzfunktion \(f(x)=2(x-2)^2+1\) um \(3\) nach unten und um \(5\) nach links.

Porenzfunktionen Potenzfunktion verschieben StudySmarterAbb. 11: Potenzfunktion verschieben

Lösung

Um die Potenzfunktion \(f(x)\) nun zu verschieben, musst Du \(3\) vom y-Achsenabschnitt subtrahieren und \(5\) zum x-Wert addieren.

\begin{align} f(x)&=2(x-2{\color{#1478c8}+5})^2+1{\color{#00dcb4}-3}\\[0.2cm] &=2 (x+3)^2-2\end{align}

Potenzfunktionen Potenzfunktion verschieben StudySmarterAbb. 12: Potenzfunktion verschieben

Hier erkennst Du, dass die Potenzfunktion um \(3\) nach unten und um \(5\) nach links verschoben wurde.

Jetzt hast Du all das Wissen auf einen Blick!

Unbenannte Notiz - Das Wichtigste

  • Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, die einem \(n\)-ten Wert einen \(x\)-Wert zuordnet. Dieser \(n\)-te Wert ist eine ganze Zahl.\[ f(x)=x^{n}\, \text{mit} \, n \in \mathbb{Z} \]
Gerader Exponent \(n\) Ungerader Exponent \(n\)
Positiver Exponent \(n\)Parabel - achsensymmetrisch zur \(y\)-AchseParabel - punktsymmetrisch zum Ursprung
Negativer Exponent \(n\)Hyperbel - achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse Hyperbel - punktsymmetrisch zum Ursprung
  • Je nach Exponent \(n\), sagst Du zu dem Graphen Hyperbel oder auch Parabel \(n\)-ter Ordnung
  • Eine Parabel kannst Du ins Koordinatensystem zeichnen. Dazu kannst Du folgende Schritte befolgen:
    1. Eigenschaften bestimmen. Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet?
    2. Punkte berechnen mit Wertetabelle und \(y\)-Wert berechnen.
    3. Wertetabelle anlegen und beliebige \(x\)-Werte in die Funktion einsetzen und die \(y\)-Werte ausrechnen.
    4. Punkte einzeichnen.
    5. Punkte verbinden.
  • Zum Verschieben entlang der \(y\)-Achse musst Du die zu verschiebende Zahl auf den \(y\)-Achsenabschnitt addieren (verschiebt sich nach oben) oder subtrahieren (verschiebt sich nach unten).
  • Zum Verschieben entlang der \(x\)-Achse musst Du die zu verschiebende Zahl zum Wert in der Klammer addieren (verschiebt sich nach links) oder subtrahieren (verschiebt sich nach rechts).


Nachweise

  1. Rapp (1991): Potenzfunktionen. Vieweg+Teubner Verlag. Braunschweig/Wiesbaden
  2. Batschlet (1980): Die Potenzfunktion und verwandte Funktionen. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg

Häufig gestellte Fragen zum Thema Potenzfunktionen

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, die einen \(n\)-ten Wert einem \(x\)-Wert zuordnet. Dieser \(n\)-te Wert ist eine ganze Zahl. 

f(x)=xn

Eine Potenzfunktion kann eine Parabel bei positiven Exponenten, oder eine Hyperbel bei negativen Exponenten sein. Bei geraden Exponenten ist die Parabel Achsensymmetrisch zur y-Achse und bei ungeraden Zahlen ist sie Punktsymmetrisch zum Ursprung.

Es gibt Potenzfunktionen mit positiven, negativen und geraden, ungeraden Exponenten.

Eine Potenzfunktion zeichnest Du, in dem Du mehrere Punkte auf der Funktion berechnest und diese dann verbindest.

Finales Potenzfunktionen Quiz

Frage

Nenne die Formel der Potenzfunktion.

Antwort anzeigen

Antwort

\[f(x)=x^{n}\, \text{mit} \, n \in \mathbb{Z} \] 

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Umkehrfunktion der Potenzfunktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Wurzelfunktion

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche Eigenschaften eine Potenzfunktion mit positiven geraden Exponenten hat.

Antwort anzeigen

Antwort

Parabel - achsensymmetrisch zu y-Achse

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche Eigenschaften eine Potenzfunktion mit positiven ungeraden Exponenten hat.

Antwort anzeigen

Antwort

Parabel - punktsymmetrisch zum Ursprung

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche Eigenschaften eine Potenzfunktion mit negativen geraden Exponenten hat.

Antwort anzeigen

Antwort

Hyperbel - achsensymmetrisch zur y-Achse

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften hat eine Potenzfunktion mit negativem ungeradem Exponenten?

Antwort anzeigen

Antwort

Hyperbel - Punktsymmetrisch zum Ursprung

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du eine Potenzfunktion\(f(x)\) zeichnest.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Parabel kannst Du ins Koordinatensystem zeichnen. Dazu kannst Du folgende Schritte befolgen:


  1. Eigenschaften bestimmen. Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet?
  2. Punkte berechnen mit Wertetabelle und \(y\)-Wert berechnen.
  3. Wertetabelle anlegen und beliebige \(x\)-Werte in die Funktion einsetzen und die \(y\)-Werte ausrechnen.
  4. Punkte einzeichnen.
  5. Punkte verbinden.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du eine Potenzfunktion \(f(x)\) entlang der y-Achse verschiebst.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Potenzfunktion\(f(x)\) verschiebst Du entlang der y-Achse, in dem Du die gewünschte Verschiebung auf den y-Achsenanschnitt addierst (Verschieben nach oben)  oder subtrahierst (Verschieben nach unten).

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du eine Potenzfunktion \(f(x)\) entlang der x-Achse verschiebst.

Antwort anzeigen

Antwort

Zum Verschieben der Potenzfunktion \(f(x)\) entlang der x-Achse musst Du die zu verschiebende Zahl auf den Wert in der Klammer addieren (verschiebt sich nach links) oder subtrahieren (verschiebt sich nach rechts).

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Punkte der \(x\)-Werte \(-1, 0\) und \(2\), die Du ins Koordinatensystem zeichnen müsstest, um die Potenzfunktion \(f(x)=x^3+1\) zu zeichnen.

Antwort anzeigen

Antwort

\[P_1\,(1|1)\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne, wie sich eine Potenzfunktion \(f(x)\) erster Ordnung nennt.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Potenzfunktion \(f(x)\) erster Ordnung nennt sich lineare Funktion.

Frage anzeigen

Mehr zum Thema Potenzfunktionen
60%

der Nutzer schaffen das Potenzfunktionen Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

Get FREE ACCESS to all of our study material, tailor-made!

Over 10 million students from across the world are already learning smarter.

Get Started for Free
Illustration