Potenzfunktionen

Stell Dir vor, Dein Freund sagt, er hat \(2^3\) Äpfel. Was meint er damit? Er meint, dass er \(8\) Äpfel hat und hat dafür die Zahl potenziert. Genau so ist das auch bei der Potenzfunktion. Die Potenzfunktion ist eine Funktionsart, die Dir in der Mathematik ständig über den Weg läuft. Es gibt Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten und negativen Exponenten. Du kannst Potenzfunktionen verschieben und zeichnen. Und wie das geht, erfährst Du in dieser Erklärung.

Potenzfunktionen Potenzfunktionen

Erstelle Lernmaterialien über Potenzfunktionen mit unserer kostenlosen Lern-App!

  • Sofortiger Zugriff auf Millionen von Lernmaterialien
  • Karteikarten, Notizen, Übungsprüfungen und mehr
  • Alles, was du brauchst, um bei deinen Prüfungen zu glänzen
Kostenlos anmelden
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Potenzfunktion Eigenschaften - Potenzfunktion Formel

    Eine Funktion \(f(x)\) ist eine Vorschrift, die zwei Mengen und die darin enthaltenen Elemente einander zuordnet. Jedem Element \(x\) der Definitionsmenge \(\mathbb{D}\), wird ein Element \(y\) der Wertemenge \(\mathbb{W}\) zugeordnet.

    Eine Potenzfunktion ist eine Funktion \(f(x)\), welche eine ganze Zahl im Exponenten hat.

    Schau Dir doch gern die Erklärung zu "Funktionen" an, wenn Du noch mehr zum Thema Funktionen erfahren möchtest

    Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, die einen \(n\)-ten Wert einem \(x\)-Wert zuordnet. Dieser \(n\)-te Wert ist eine ganze Zahl.

    Die Funktionsgleichung der Potenzfunktion:

    \[f(x)=x^{n}\, \text{mit} \, n \in \mathbb{Z} \]

    Aber wie sieht eine solche Potenzfunktion im Koordinatensystem aus?

    Hier siehst Du die Abbildung der Funktion:

    \begin{align} {\color{#1478c8}f(x)=x^{3}} \end{align}

    Potenzfunktionen Potenzfunktion StudySmarterAbb. 1: Potenzfunktion

    Potenzfunktionen Übersicht

    Eine Potenzfunktion kann einen positiven und einen negativen Exponenten haben. Außerdem macht es auch einen Unterschied, ob der Exponent gerade oder ungerade ist und das siehst Du in diesem Abschnitt.

    Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion ist die Wurzelfunktionen. Schau Dir gern die passende Erklärung dazu an, wenn Dich das Thema interessiert.

    Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten


    Potenzfunktionen können – wie schon erwähnt – einen positiven und einen negativen Exponenten haben.

    An dieser Stelle wird die Funktionsgleichung \(f(x)\) untersucht. \[f(x)=x^{n} \, \text{mit} \, n \, \in \,\mathbb{N} \]

    Die Exponenten sind alle \( n \geq 1\). Bei allen Exponenten \(n>1\) ergibt sich eine Parabel \(n\)-ter Ordnung.

    Wenn der Exponent \(n=1\) ist, dann handelt es sich um eine lineare Funktion \(f(x)\). Wenn Du mehr über lineare Funktionen erfahren möchtest, schau Dir gern die Erklärung "Lineare Funktionen" an.

    Aber wie sehen die Graphen bei einem geraden und ungeraden positiven Exponenten aus?

    Potenzfunktion mit geraden positivem Exponenten

    Bei einer Potenzfunktion mit geraden positiven Exponenten handelt es sich um Exponenten, wie \( 2,4,6,8,...\)

    Hier siehst Du ein Beispiel der Potenzfunktionen:\begin{align} {\color{#1478c8}f(x)}&{\color{#1478c8}=x^{2}} \\{\color{#00dcb4}g(x)} & {\color{#00dcb4}=x^{8}}\end{align}

    Potenzfunktionen Gerader positiver Exponent StudySmarterAbb. 2: Gerader positiver Exponent

    Das ist einmal die Parabel zweiter und achter Ordnung, weil die Parabeln einen Exponenten von \(2\) und \(8\) haben.

    Wenn der Exponent \(n\) der Potenzfunktion gerade ist, dann ist der zugehörige Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.

    Potenzfunktion mit ungeraden positivem Exponenten

    Bei einer Potenzfunktion mit ungeraden positiven Exponenten handelt es sich um Exponenten wie \(3,5,7,9,...\)

    Nun siehst Du zwei Potenzfunktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) mit positiven ungeraden Exponenten.

    \begin{align} {\color{#1478c8}f(x)}&{\color{#1478c8}=x^{3}} \\ {\color{#00dcb4}g(x)}&{\color{#00dcb4}=x^{9}} \end{align}

    Potenzfunktionen  Ungerader positiver Exponent StudySmarterAbb. 3: Ungerader positiver Exponent

    Auf der Abbildung siehst Du einer Parabel dritter und neunter Ordnung.

    Wenn der Exponent \(n\) ungerade ist, dann ist der Graph einer Potenzfunktion \(f(x)\) punktsymmetrisch zum Ursprung \(O\,(0|0)\).

    Potenzfunktion mit negativen Exponenten

    Wenn eine Potenzfunktion einen negativen Exponenten hat, stellt ihr Graph immer eine Hyperbel dar.

    Eine Potenzfunktion mit negativen Exponenten lässt sich so darstellen:

    \[f(x)=x^{-n} \, \text{mit} \, n \, \in \,\mathbb{N} \]

    Der Graph der Potenzfunktion sieht je nach geradem oder ungeradem negativem Exponenten anders aus. Aber wie?

    Potenzfunktion mit geraden negativen Exponenten

    Bei einer Potenzfunktion mit geraden negativen Exponenten handelt es sich um Exponenten wie \( -2,-,4,-6,-8,...\)

    In diesem Beispiel siehst Du die Potenzfunktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) mit geraden negativen Exponenten.

    \begin{align} {\color{#1478c8}f(x)}&{\color{#1478c8}=x^{-2}} \\ {\color{#00dcb4}g(x)}&{\color{#00dcb4}=x^{-8}} \end{align}

    Potenzfunktionen Gerader negativer Exponent StudySmarterAbb. 4: Gerader negativer Exponent

    Diese Hyperbeln entsprechen der zweiten und achten Ordnung.

    Potenzfunktion mit ungeraden negativen Exponenten

    Bei einer Potenzfunktion mit ungeraden negativen Exponenten handelt es sich um Exponenten wie \(-1,-3,-5,-7,-9,...\)

    In diesem Beispiel siehst Du Potenzfunktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) mit ungeraden negativen Exponenten.

    \begin{align} {\color{#1478c8}f(x)}&{\color{#1478c8}=x^{-1}} \\ {\color{#00dcb4}g(x)}&{\color{#00dcb4}=x^{-9}} \end{align}

    Potenzfunktionen Ungerader negativer Exponent StudySmarterAbb. 5: Ungerader negativer Exponent

    Hier siehst Du Hyperbeln erster und neunter Ordnung.

    Potenzfunktion zeichnen

    Eine Parabel kannst Du ins Koordinatensystem zeichnen. Dazu kannst Du folgende Schritte befolgen:

    1. Eigenschaften bestimmen. Ist es eine Parabel oder eine Hyperbel?
    2. Punkte berechnen mit Wertetabelle und \(y\)-Wert berechnen.
    3. Wertetabelle anlegen, beliebige \(x\)-Werte in die Funktion einsetzen und die \(y\)-Werte ausrechnen.
    4. Punkte einzeichnen.
    5. Punkte verbinden.

    Aufgabe 1

    Zeichne die Parabel \(f(x)=x^{2}+3\) ins Koordinatensystem ein.

    Lösung

    Schritt 1:

    Die Funktion hat Eigenschaften, die anhand der Zahl vor dem \(x^2\) abgelesen werden können. \/x^2\) ist eine Normalparabel und somit nach oben geöffnet.

    Schritt 2:

    Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen \(x\)-Werten.

    \(x_i\)\(-1\)\(0\)\(2\)
    \(f(x)\)

    \(x_i\) sind die \(x\)-Werte und \(f(x)\) sind die zugehörigen \(y\)-Werte.

    Schritt 3:

    Diese \(x\)-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen \(y\)-Werte.

    \begin{align}f(-1)&=(-1)^2+3 \\[0.2cm] &=1+3 \\[0.2cm] &= 4\end{align}

    Der zugehörige y-Wert zu \(\; x_1=-1\;\) ist \(\; y_1=4\;\). Jetzt wird der y-Achsenabschnitt berechnet.

    \begin{align} f(0)&=0^2+3 \\[0.2cm]&=3\end{align}

    Der y-Achsenabschnitt ist bei \(\; y_2=3\;\). Dann wird der y-Wert zu \(\;x_3=2\;\) berechnet.

    \begin{align} f(2)&=2^2+3 \\[0.2cm] &=4+3 \\[0.2cm] &=7 \end{align}

    Der zugehörige y-Wert zu \(\;_3=2\;\) ist \(\;y_3=7\;\). Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

    \(x_i\)\(-1\)\(0\)\(2\)
    \(f(x)\)\(4\)\(3\)\(7\)

    Schritt 4:

    Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

    \[ {\color{#1478c8}P_1\,(-1|4)} \quad {\color{#00dcb4}P_2\,(0|3)} \quad {\color{#fa3273}P_3\,(2|7)}\]

    Potenzfunktionen Potenzfunktion zeichnen StudySmarterAbb. 6: Potenzfunktion zeichnen

    Schritt 5:

    Jetzt, wo Du die Punkte \( {\color{#1478c8}P_1}\), \({\color{#00dcb4}P_2}\) und \({\color{#fa3273}P_3}\) eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.

    Potenzfunktionen Potenzfunktion zeichnen StudySmarterAbb. 7: Potenzfunktion zeichnen

    Jetzt hast Du eine fertige achsensymmetrische Potenzfunktion \({\color{#8363e2}f(x)}\) zweiter Ordnung.

    Potenzfunktion verschieben

    Potenzfunktionen verschieben kannst Du in Richtung der x-Achse und in Richtung der y-Achse.

    Zum Verschieben entlang der y-Achse ist der y-Achsenabschnitt relevant.

    Den kannst Du ablesen, indem Du die erste Zahl von hinten abliest. Wenn das Vorzeichen ein \(-\) ist, dann verschiebt sich die Funktion nach unten und bei einem \(+\) nach oben. Dann addierst oder subtrahierst Du die zu verschiebende Zahl auf den \(y\)-Achsenabschnitt.

    Du kannst eine Potenzfunktion auf der x-Achse verschieben, indem Du die Zahl innerhalb der Klammer der Scheitelform betrachtest und die zu verschiebende Zahl addierst oder subtrahierst. Hier zählt auch das Vorzeichen. Bei \(-\) wird die Funktion nach rechts verschoben und bei \(+\) nach links.

    Die Scheitelpunktform ist eine andere Darstellung der Potenzfunktion. Wenn Du wissen möchtest, wie eine solche Scheitelpunktform gebildet wird, dann schau Dir die Erklärung "Parabel" an.

    Aufgabe 2

    Verschiebe die Potenzfunktion \(f(x)\) um \(4\) nach oben und um \(2\) nach rechts.

    \[ {\color{#1478c8}f(x)=2 (x+1)^2-3}\]

    Potenzfunktionen Potenzfunktion verschieben StudySmarterAbb. 8: Potenzfunktion verschieben

    Lösung

    Um die Potenzfunktion \(f(x)\) zu verschieben, musst Du \({\color{#00dcb4}4}\) auf den y-Achsenabschnitt addieren und \({\color{#1478c8}2}\) vom x-Wert abziehen.

    \begin{align} f(x)&=2 (x+1{\color{#1478c8}-2})^2-3{\color{#00dcb4}+4} \\[0.2cm] &=2(x-1)^2+1 \end{align}

    Potenzfunktionen Potenzfunktion verschieben StudySmarterABb. 9: Potenzfunktion verschieben

    Hier erkennst Du, dass die Potenzfunktion \(f(x)\) um \(2\) nach rechts und um \(4\) nach oben verschoben wurde.

    Potenzfunktion - Aufgaben

    Jetzt kannst Du Dein Wissen überprüfen!

    Aufgabe 3

    Zeichne die Potenzfunktion \(f(x)=x^3+1\) ins Koordinatensystem ein.

    Lösung

    Die Parabel ist eine Parabel dritter Ordnung.

    Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen \(x\)-Werten.

    \(x_i\)\(-1\)\(0\)\(2\)
    \(f(x)\)

    Diese \(x\)-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen \(y\)-Werte.

    \begin{align}f(-1)&=(-1)^3+1 \\[0.2cm] &=-1+1 \\[0.2cm] &= 0\end{align}

    Der zugehörige y-Wert zu \(\;x_1=-1\;\) ist \(\;y_1=\;\). Jetzt wird der y-Achsenabschnitt berechnet.

    \begin{align} f(0)&=0^3+1 \\[0.2cm]&=1\end{align}

    Der y-Achsenabschnitt ist bei \(\;y_2=1\;\). Dann wird der y-Wert zu \(\;x_3=2\;\) berechnet.

    \begin{align} f(2)&=2^3+1 \\[0.2cm]&=8+1 \\[0.2cm] &=9\end{align}

    Der zugehörige y-Wert zu \(\;x_3=2\;\) ist \(\;y_3=9\;\). Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

    \(x_i\)\(-1\)\(0\)\(2\)
    \(f(x)\)\(0\)\(1\)\(9\)

    Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

    \[ {\color{#1478c8}P_1\,(-1|0)} \quad {\color{#00dcb4}P_2\,(0|1)} \quad {\color{#fa3273}P_3\,(2|9)}\]

    Potenzfunktionen Potenzfunktion zeichnen StudySmarterAbb. 9: Potenzfunktion zeichnen

    Jetzt, wo Du die Punkte \( {\color{#1478c8}P_1}\), \({\color{#00dcb4}P_2}\) und \({\color{#fa3273}P_3}\) eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.

    Potenzfunktionen Potenzfunktion zeichnen StudySmarterAbb. 10: Potenzfunktion zeichnen

    Jetzt hast Du eine fertige achsensymmetrische Potenzfunktion \(f(x)\) dritter Ordnung.

    Aufgabe 4

    Verschiebe die Potenzfunktion \(f(x)=2(x-2)^2+1\) um \(3\) nach unten und um \(5\) nach links.

    Porenzfunktionen Potenzfunktion verschieben StudySmarterAbb. 11: Potenzfunktion verschieben

    Lösung

    Um die Potenzfunktion \(f(x)\) nun zu verschieben, musst Du \(3\) vom y-Achsenabschnitt subtrahieren und \(5\) zum x-Wert addieren.

    \begin{align} f(x)&=2(x-2{\color{#1478c8}+5})^2+1{\color{#00dcb4}-3}\\[0.2cm] &=2 (x+3)^2-2\end{align}

    Potenzfunktionen Potenzfunktion verschieben StudySmarterAbb. 12: Potenzfunktion verschieben

    Hier erkennst Du, dass die Potenzfunktion um \(3\) nach unten und um \(5\) nach links verschoben wurde.

    Jetzt hast Du all das Wissen auf einen Blick!

    Unbenannte Notiz - Das Wichtigste

    • Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, die einem \(n\)-ten Wert einen \(x\)-Wert zuordnet. Dieser \(n\)-te Wert ist eine ganze Zahl.\[ f(x)=x^{n}\, \text{mit} \, n \in \mathbb{Z} \]
    Gerader Exponent \(n\) Ungerader Exponent \(n\)
    Positiver Exponent \(n\)Parabel - achsensymmetrisch zur \(y\)-AchseParabel - punktsymmetrisch zum Ursprung
    Negativer Exponent \(n\)Hyperbel - achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse Hyperbel - punktsymmetrisch zum Ursprung
    • Je nach Exponent \(n\), sagst Du zu dem Graphen Hyperbel oder auch Parabel \(n\)-ter Ordnung
    • Eine Parabel kannst Du ins Koordinatensystem zeichnen. Dazu kannst Du folgende Schritte befolgen:
      1. Eigenschaften bestimmen. Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet?
      2. Punkte berechnen mit Wertetabelle und \(y\)-Wert berechnen.
      3. Wertetabelle anlegen und beliebige \(x\)-Werte in die Funktion einsetzen und die \(y\)-Werte ausrechnen.
      4. Punkte einzeichnen.
      5. Punkte verbinden.
    • Zum Verschieben entlang der \(y\)-Achse musst Du die zu verschiebende Zahl auf den \(y\)-Achsenabschnitt addieren (verschiebt sich nach oben) oder subtrahieren (verschiebt sich nach unten).
    • Zum Verschieben entlang der \(x\)-Achse musst Du die zu verschiebende Zahl zum Wert in der Klammer addieren (verschiebt sich nach links) oder subtrahieren (verschiebt sich nach rechts).


    Nachweise

    1. Rapp (1991): Potenzfunktionen. Vieweg+Teubner Verlag. Braunschweig/Wiesbaden
    2. Batschlet (1980): Die Potenzfunktion und verwandte Funktionen. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Potenzfunktionen

    Was ist eine Potenzfunktion?

    Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, die einen \(n\)-ten Wert einem \(x\)-Wert zuordnet. Dieser \(n\)-te Wert ist eine ganze Zahl. 

    f(x)=xn

    Was sind die Eigenschaften einer Potenzfunktion?

    Eine Potenzfunktion kann eine Parabel bei positiven Exponenten, oder eine Hyperbel bei negativen Exponenten sein. Bei geraden Exponenten ist die Parabel Achsensymmetrisch zur y-Achse und bei ungeraden Zahlen ist sie Punktsymmetrisch zum Ursprung.

    Was gibt es für Potenzfunktionen?

    Es gibt Potenzfunktionen mit positiven, negativen und geraden, ungeraden Exponenten.

    Wie zeichnest Du eine Potenzfunktion? 

    Eine Potenzfunktion zeichnest Du, in dem Du mehrere Punkte auf der Funktion berechnest und diese dann verbindest.

    Teste dein Wissen mit Multiple-Choice-Karteikarten

    Nenne die Umkehrfunktion der Potenzfunktion.

    Nenne, welche Eigenschaften eine Potenzfunktion mit positiven geraden Exponenten hat.

    Nenne, welche Eigenschaften eine Potenzfunktion mit positiven ungeraden Exponenten hat.

    Weiter
    1
    Über StudySmarter

    StudySmarter ist ein weltweit anerkanntes Bildungstechnologie-Unternehmen, das eine ganzheitliche Lernplattform für Schüler und Studenten aller Altersstufen und Bildungsniveaus bietet. Unsere Plattform unterstützt das Lernen in einer breiten Palette von Fächern, einschließlich MINT, Sozialwissenschaften und Sprachen, und hilft den Schülern auch, weltweit verschiedene Tests und Prüfungen wie GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur und mehr erfolgreich zu meistern. Wir bieten eine umfangreiche Bibliothek von Lernmaterialien, einschließlich interaktiver Karteikarten, umfassender Lehrbuchlösungen und detaillierter Erklärungen. Die fortschrittliche Technologie und Werkzeuge, die wir zur Verfügung stellen, helfen Schülern, ihre eigenen Lernmaterialien zu erstellen. Die Inhalte von StudySmarter sind nicht nur von Experten geprüft, sondern werden auch regelmäßig aktualisiert, um Genauigkeit und Relevanz zu gewährleisten.

    Erfahre mehr
    StudySmarter Redaktionsteam

    Team Potenzfunktionen Lehrer

    • 10 Minuten Lesezeit
    • Geprüft vom StudySmarter Redaktionsteam
    Erklärung speichern

    Lerne jederzeit. Lerne überall. Auf allen Geräten.

    Kostenfrei loslegen

    Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

    Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

    Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.

    • Karteikarten & Quizze
    • KI-Lernassistent
    • Lernplaner
    • Probeklausuren
    • Intelligente Notizen
    Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!