Potenzfunktionen

In diesem Kapitel geht es um Potenzfunktionen. Dieses Thema ist in das Fach „Mathematik“ einzuordnen. Potenzfunktionen stellen eine spezielle Art von Funktionen dar.

Wir erklären dir in den folgenden Abschnitten die wichtigsten Begriffe zum Thema „Potenzfunktionen“, die zugehörigen Gleichungen und verdeutlichen dir das Ganze noch an Beispielen. Wir erklären dir auch die Sonderfälle und was du zu beachten hast! Am Ende dieses Kapitels hast du hoffentlich einen klaren Überblick über Potenzfunktionen!Du hast sicher schon öfters von einer sogenannten Parabel oder eine Hyperbel gehört. So wird nämlich der Graph einer Potenzfunktion bezeichnet. Was genau der Unterschied ist, siehst du unten! ☺

Am Ende haben wir dir noch einmal das Wichtigste zu diesem Thema zusammengefasst!

Um ein breiteres Verständnis für das Thema „Funktionen“ zu erhalten, schau dir doch unseren Artikel Funktionen an, da haben wir dir die wichtigsten Punkte zu den verschiedenen Arten von Funktionen zusammengefasst!

Was sind Potenzfunktionen? – die Basics zuerst!

Ein Spezialfall der rationalen Funktionen sind die Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten. (Im Unterschied dazu: Eine Wurzelfunktion hat einen Bruch als Exponenten, also keinen ganzzahligen Exponenten).

Die Potenzfunktion hängt sehr eng mit der Wurzelfunktion zusammen. Die Wurzelfunktion ist nämlich die Umkehrfunktion der Potenzfunktion.

Wir brauchen Potenzfunktionen beispielsweise, um die Ableitung einer Logarithmusfunktion zu beschreiben, aber auch für viele andere Dinge.

Die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion

Unter einer Potenzfunktion mit ganzzahligen Exponenten versteht man eine Funktion der Form:

x ist dabei die veränderliche Basis und n der feste Exponent mit n∈Z.

Ihr Graph heißt:

• Parabel der Ordnung n, wenn n=2,3,4,…
• Hyperbel der Ordnung |n|, wenn n= -1,-2,-3,…

Der Graph von Potenzfunktionen

Der Graph einer Potenzfunktion wird als Parabel bzw. Hyperbel bezeichnet. Was genau der Unterschied ist, erklären wir dir hier!

Man unterscheidet:

• Parabeln gerader Ordnung:Sie sind achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse des Koordinatensystems und verlaufen durch die Punkte (-1|1), (0|0) und (1|1).Je größer n ist, desto flacher nähern sie sich dem Koordinatenursprung und desto steiler verlaufen sie außerhalb des Intervalls ]-1;1[.

Abbildung 1: Graph Parabel gerader Ordnungaus: STARK- Analysis, Grundwissen über reelle Funktion, Kapitel: 1.5 Potenzfunktionen

• Parabeln ungerader Ordnung:Sie sind punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs und verlaufen durch die Punkte (-1|-1), (0|0) und (1|1).Je größer n ist, desto flacher nähern sie sich dem Koordinatenursprung und desto steiler verlaufen sie außerhalb des Intervalls ]-1;1[.

Abbildung 2: Graph Parabel ungerader Ordnungaus: STARK- Analysis, Grundwissen über reelle Funktion, Kapitel: 1.5 Potenzfunktionen

• Hyperbeln gerader Ordnung:Sie sind achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse des Koordinatensystems und verlaufen durch die Punkte (-1|1) und (1|1).Je größer |n| ist, desto steiler verlaufen sie im Intervall ]-1;1[ und desto flacher außerhalb dieses Intervalls.

Abbildung 3: Graph Hyperbel gerader Ordnungaus: STARK- Analysis, Grundwissen über reelle Funktion, Kapitel: 1.5 Potenzfunktionen

• Hyperbeln ungerader Ordnung:Sie sind punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs und verlaufen durch die Punkte (-1|-1) und (1|1).Je größer |n| ist, desto steiler verlaufen sie im Intervall ]-1;1[ und desto flacher außerhalb dieses Intervalls.

Abbildung 4: Graph Hyperbel ungerader Ordnungaus: STARK- Analysis, Grundwissen über reelle Funktion, Kapitel: 1.5 Potenzfunktionen

Beispielaufgabe zu den Eigenschaften von Potenzfunktionen

Hier haben wir eine Beispielaufgabe zu den Potenzfunktionen für dich. Sie soll die verschiedenen Eigenschaften von Potenzfunktionen verdeutlichen. Die genaue Begründung für die einzelnen Aufgaben siehst du oben im Haupttext. Hier werden dir nur Anwendungsbeispiele gezeigt und das Thema noch einmal veranschaulicht.

Die Aufgabe lautet:

Welche Aussagen lassen sich über den ganzzahligen Exponenten n einer Potenzfunktion treffen, wenn

1. ihr Graph punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs ist?Der Graph ist entweder eine Parabel oder eine Hyperbel ungerader Ordnung, n ist damit also ungerade.
2. ihr Graph vollständig über der x-Achse verläuft und sie auch nicht berührt?Diese Aussage ist nur für eine Hyperbel gerader Ordnung erfüllt, n ist damit negativ und gerade.
3. der Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt?Aus folgt zunächst und hieraus n = .
4. ihr Graph auf der maximalen Definitionsmenge der Funktion streng monoton fällt?Die Aussage ist nur für Hyperbeln ungerader Ordnung erfüllt, n ist daher negativ und ungerade.
5. Definitions-und Wertemenge der Funktion gleich sind?Die Aussage ist nur für Parabeln und Hyperbeln ungerader Ordnung erfüllt, n ist daher ungerade.
6. die Wertemenge der Funktion eine echte Teilmenge ihrer maximalen Definitionsmenge ist?Die Aussage ist nur für Parabeln und Hyperbeln gerader Ordnung erfüllt, n ist daher gerade.

Potenzfunktionen - Alles Wichtige auf einen Blick

Eine Potenzfunktion mit ganzzahligen Exponenten hat die Form:

mit der veränderlichen Basis x und dem festen Exponenten n mit n∈Z.

Ihr Graph heißt:

• Parabel der Ordnung n, wenn n=2,3,4,…
• Hyperbel der Ordnung |n|, wenn n= -1,-2,-3,…

Unsere Empfehlung

Schon gewusst? Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion. Schau dir doch unsere Artikel zu diesen beiden Themen an, dann verstehst du die Zusammenhänge besser!

Insider Tipp

Schau dir unseren anderen Artikel zum Thema Funktionen an und fasse die wichtigsten Dinge nochmal selbstständig zusammen. Wir haben dir zwar schon eine Zusammenfassung über die verschiedenen Arten von Funktionen erstellt, aber es ist hilfreich wenn du dich auch nochmal intensiv damit beschäftigst und deine eigene Zusammenfassung erstellst. Diese kannst du immer in deinem Mathematik-Ordner aufbewahren und darauf zurückgreifen!