\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)Du kennst bereits die natürliche Logarithmusfunktion und fragst Dich, wie Du diese ableiten kannst? Diese Ableitung brauchst Du zum Beispiel bei der Berechnung von Extremstellen oder Wendepunkten.
Allgemeines zur Ableitung der ln-Funktion
Die ln-Funktion entsteht aus der allgemeinen Logarithmusfunktion. Wie diese abgeleitet wird, erfährst Du im Folgenden.
Abbildung 1: Allgemeine Ableitung der Logarithmusfunktion
Allgemeine Logarithmusfunktion ableiten
Die Ableitung \(f'(x)\) der allgemeinen Logarithmusfunktion \(f(x) = \log_b(x)\) lautet:\[f'(x) = \frac{1}{\ln(b)\cdot x}\]
Um mehr über die Herleitung der Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion zu erfahren, schau im Artikel "Logarithmus ableiten" vorbei.
Natürliche Logarithmusfunktion ableiten – Ableitung ln
Die Ableitung \(f'(x)\)der natürlichen Logarithmusfunktion \(f(x) = \ln{(x)}\) lautet:
\(f'(x) = \frac{1}{x}\)
Die ln-Funktion ist eine spezielle Logarithmusfunktion, bei der die Basis der Eulerschen Zahl entspricht. Formulieren wir nun die Ableitung der ln-Funktion.
Herleitung der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
Die Ableitung \(f'(x)\) kannst Du Dir mithilfe des Differentialquotienten herleiten.
Die Ableitung \(f'(x)\) ist mithilfe des Differentialquotienten wie folgt definiert:\[f'(x) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
Setzt Du jetzt die ln-Funktion ein, erhältst Du folgenden Ausdruck:\[f'(x) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{ln(x+h)-ln(x)}{h}\]
An dieser Stelle kannst du die Produktregel des Logarithmusgesetz' anwenden.
Zur Erinnerung: Produktregel des Logarithmusgesetz': \(ln(a)-ln(b)=ln(\frac{a}{b}\)
Dadurch erhältst Du Folgendes:\[f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}(\frac{1}{h}\cdot\ln(\frac{x+h}{x}))\]
Als Nächstes erweiterst Du den Ausdruck um \(1 = \frac{x}{x}\) und schreibst mithilfe des Kommutativgesetzes wie folgt um:\begin{align}f'(x) &= \lim_{h\rightarrow 0}(\frac{1}{h}\cdot \frac{x}{x}\cdot\ln(\frac{x+h}{x}))\\&=\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{1}{x}\cdot \frac{x}{h} \cdot \ln(\frac{x+h}{x}))\end{align}
An dieser Stelle wendest Du wieder ein Logarithmusgesetz an.
Zur Erinnerung: Potenzregel des Logarithmusgesetzes: \(b\cdot \ln(a) = ln(a^b)\)
Wendest Du nun dieses Logarithmusgesetz und die Rechenregeln für Grenzwerte an, erhältst Du folgenden Ausdruck:\begin{align} f'(x) &= \frac{1}{x}\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{x}{h}\cdot ln(\frac{x+h}{x}))\\&= \frac{1}{x}\lim_{h\rightarrow 0}(ln(\frac{x+h}{x})^{\frac{x}{h}})\\&= \frac{1}{x}\ln(\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{x+h}{x})^{\frac{x}{h}})\end{align}
Nun wird der Ausdruck der inneren Klammer noch einmal umgeschrieben:\begin{align}f'(x) &= \frac{1}{x}\ln(\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{x+h}{x})^{\frac{x}{h}})\\&= \frac{1}{x}\ln(\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{x}{x}+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}})\\&= \frac{1}{x}\ln(\lim_{h\rightarrow 0}(1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}})\end{align}\end{align}
Um jetzt weiterzumachen, benötigst Du noch die Definition der Eulerschen Zahl e.
Zur Erinnerung: Definition der Eulerschen Zahl: \(e=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n\)
Es gilt nun Folgendes:\[\lim_{h\rightarrow 0}((1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}}=e\]
Mit diesem Ausdruck und dem Wissen, dass \(\ln(e)\) dem Wert 1 entspricht, erhältst Du folgende Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion:\[f'(x)=\frac{1}{x}\cdot\ln(e) =\frac{1}{x}\]
Ableitung der erweiterten ln-Funktion
Die Ableitung der erweiterten ln-Funktion brauchst Du hauptsächlich, wenn du Extrempunkte und Wendepunkte berechnen sollst. Anders, als bei der erweiterten e-Funktion, gibt es bei der Logarithmusfunktion keine allgemeinen Parameter.
Du hast eine Funktion \(f(x)\) mit \(f(x) = {\color{gr}3\cdot\ln({\color{r}14x+1})}\). Möchtest Du diese Funktion nun ableiten, benötigst Du die
Kettenregel und die
Faktorregel.
Zur Erinnerung:
- Kettenregel: \(f(x) = g(h(x))\rightarrow f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)
- Faktorregel: \(f(x) = a\cdot g(x) \rightarrow f'(x) = a\cdot g'(x)\)
Um die Kettenregel anzuwenden, definierst Du zuerst die
äußere und die innere Funktion:\begin{align} g(x) &={\color{gr}3\cdot ln(x)}\\h(x) &={\color{r} 14x+1}\end{align}
Nun brauchst Du noch jeweils die Ableitung. Es ergeben sich folgende beiden Ableitungen:\begin{align}g'(x)&=\frac{1}{x}\\h'(x)&=14\end{align}
Wendest Du jetzt die Faktorregel und die letzten Schritte der Kettenregel an, erhältst Du folgende gesamte Ableitung \(f'(x)\) für die Funktion f(x) mit \(f(x)=3\cdot(14x+1)\):
\begin{align}f'(x)&=g'(h(x))\cdot h'(x)\\&=3\cdot \frac{1}{h(x)}\cdot h'(x)\\&=3\cdot\frac{1}{14x+1}\cdot 14\\&=42\cdot\frac{1}{14x+1}\end{align}
Folgendes lässt sich festhalten:
Die Ableitung \(f'(x)\) einer erweiterten natürlichen Logarithmusfunktion \(f(x) = a\cdot\ln({\color{r}bx+c})\)mit \(a,\,c\neq0\) lautet:\[f'(x) = a\cdot{\color{r} b}\cdot\frac{1}{\color{r}bx+c}\]
Immer dann, wenn in der Klammer des natürlichen Logarithmus nicht nur "x" steht, musst Du die Kettenregel anwenden.
Im Folgenden findest Du ein Beispiel, bei dem Du die Kettenregel anwenden musst.
Aufgabe 1
Bestimme die Ableitung \(f'(x)\) der Funktion \(f(x) = \ln(x^3+2x^2)\).
Lösung zur Aufgabe 1
Da Du wieder die Kettenregel anwenden musst, musst Du die innere und äußere Funktion definieren:\begin{align}g(x)&=ln(x)\\h(x)&=x^3+2x^2\end{align}Jetzt brauchst Du jeweils wieder die Ableitung:\begin{align}g'(x) &= \frac{1}{x}\\h'(x)&=3x^2+4x\end{align}
Wendest Du nun wieder die letzten Schritte der Kettenregel an, erhältst Du folgende gesamte Ableitung\begin{align}f'(x)&= g'(h(x))\cdot h'(x)\\&=\frac{1}{h(x)}\cdot h'(x) \\&= \frac{1}{x^3+2x^2}\cdot(3x^2+4x)\\&=\frac{3x+4}{x^2+2x}\end{align}
Natürliche Logarithmusfunktion mit Bruch ableiten
In der folgenden Aufgabe findest Du ein Beispiel mit einem Bruch als innerer Funktion.
Aufgabe 2
Bestimme die Ableitung \(f'(x)\) der Funktion \(f(x) = \ln(\frac{1}{x^2}\).
Lösung zur Aufgabe 2
Auch hier wendest Du die Kettenregel an und definierst die innere und äußere Funktion:\begin{align}g(x)&=\ln(x)\\h(x)&=\frac{1}{x^2}\end{align}
Jetzt brauchst Du wieder die jeweiligen Ableitungen. Da Du die innere Funktion \(h(x)\) auch mit \(h(x)=x^{-2}\) umschreiben kannst, erhältst Du folgende zwei Ableitungen:\begin{align}g'(x)&=\frac{1}{x}\\h'(x)&=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}\end{align}
Wendest Du nun die letzten Schritte der Kettenregel an, erhältst Du folgende gesamte Ableitung:\begin{align}f'(x)&=g'(h(x))\cdot h'(x)\\&=\frac{1}{h(x)}\cdot\frac{-2}{x^3}\\&=x^2\cdot \frac{-2}{x^3}\\&=-\frac{2}{x}\end{align}
Ableitung ln – Das Wichtigste auf einen Blick
- Die Ableitung \(f'(x)\) der ln-Funktion \(f(x) = \ln(x)\) lautet: \(f'(x)=\frac{1}{x}
- Die Ableitung \(f'(x)\) der natürlichen Logarithmusfunktion \(f(x) = a\cdot\ln(bx+c)\) lautet: \(f'(x) = a\cdot b \frac{1}{bx +c}\)
- Immer dann, wenn in der Klammer vom natürlichen Logarithmus nicht nur "x" steht, musst Du die Kettenregel anwenden:
Zuerst definierst Du die innere und die äußere Funktion.
Dann bildest DU jeweils die Ableitung der inneren und äußeren Funktion.
Zum Schluss müssen die Ableitungen und die Funktionen eingesetzt werden, um die gesamte Ableitung zu erhalten.
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