e Funktion

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Die natürliche Exponentialfunktion ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis und Du findest sie in vielen Funktionen wieder.

Dabei hat die e-Funktion die Basis $e = 2, 7182$ und ist nach ihrem Entdecker, dem Mathematiker Leonard Euler, benannt. Dieser erkannte die Basis, als er Grenzwerte einer unendlichen Reihe berechnen wollte.

e-Funktion, Analysis, StudySmarter

Abbildung 1: e-Funktion

Eigenschaften der e-Funktion

Nun wirst Du die Eigenschaften der e-Funktion und die Bedeutung der Konstanten e kennenlernen.

Die natürliche Exponentialfunktion ist keine rationale Zahl und kann nicht als Bruch dargestellt werden, da sie unendlich viele Nachkommastellen besitzt.

Bei der e-Funktion steht im Gegensatz zur Potenzfunktion die Variable im Exponenten.

$f (x) = e^{x}$

Ebenso ist die Funktion streng monoton steigend $e \approx 2, 7182 > 1$ .

e und π (Pi) haben beide unendlich viele Nachkommastellen und werden deshalb als Konstante geschrieben $π = 3, 141 . . .$ !

Definitionsmenge und Wertebereich

Im Folgenden findest Du die Definitionsmenge der e-Funktion.

Doch zuerst: Was ist eine Definitionsmenge überhaupt?

Die Definitionsmenge $D_{f}$ ist die Menge aller x-Werte, welche in die Funktion $f (x)$ eingesetzt werden dürfen.

Wenn Du also die Werte aus der Definitionsbereich einsetzt, darf die Funktion nicht gleich Null ergeben!

Der Wertebereich $W_{f}$ einer Funktion ist die Menge aller y-Werte, welche die Funktion annehmen kann. Dabei muss immer die Definitionsmenge berücksichtigt werden.

Der Wertebereich gibt also alle möglichen y-Werte an, die eine Funktion annehmen kann!

Bei der e-Funktion dürfen alle reellen Zahlen eingesetzt werden.

$D_{f} = ℝ$

Da die natürliche Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, sieht ihr Wertebereich wie folgt aus:

$W = ℝ^{+}$

In dieser Abbildung kannst Du gut erkennen, dass die e-Funktion nur positive Werte annimmt (also niemals negativ wird). Daher sind alle positiven reellen Zahlen in ihrem Wertebereich!

e-Funktion, Eigenschaften, StudySmarter

Abbildung 2: e-Funktion

Grenzverhalten

Unter dem Grenzverhalten einer Funktion wird die Veränderung ihre Werte, wenn sie gegen minus unendlich oder plus unendlich geht, verstanden.

Die e-Funktion zeigt folgendes Grenzverhalten:

$\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty \lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$

Dieses Grenzverhalten sagt aus, dass die x-Achse eine waagerechte Asymptote für die e-Funktion $f (x) = e^{x}$ darstellt und die Funktion dadurch weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch sein kann.

Zur Berechnung der Grenzwerte musst Du oft die sogenannte l'Hospital Regel anwenden. Wenn Du mehr über dieses Thema erfahren möchtest, kannst Du Dir den dazugehörigen Artikel anschauen!

Jedoch musst Du beachten, dass, sobald ein Parameter zur natürlichen Exponentialfunktion hinzugefügt wird, sich die Asymptote verändert, weil die Funktion dadurch entweder nach oben oder nach unten verschoben wird.

$f (x) = e^{x} + d$

Ebenso gibt es verkettete Funktionen, wie

$f (x) = e^{\frac{2}{x^{2}}}$

welche die Eigenschaften beeinflussen.

Die Definitionsmenge ist $D_{f} = ℝ \ \{0\}$ , da die Funktion eine Definitionslücke von 0 hat. Um die Definitionslücke zu ermitteln, berechnest Du die Nullstellen der Nennerfunktion des Exponenten.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & e^{\frac{2}{x^{2}}} \\ f (x) & = & x^{2} \\ f (0) & = & 0^{2} = 0 \end{array}$

Ebenso ist die Funktion nur für $x < 0$ streng monoton steigend.

Die Grenzwerte sehen hier deshalb wie folgt aus:

$\lim_{\pm \to \infty} e^{\frac{2}{x^{2}}} = e^{0} = 1$

e-Funktion, Verkettung, StudySmarter

Abbildung 3: verkettete e-Funktion

Nullstellen e-Funktion und y-Achsenabschnitt

Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen, da die x-Achse die waagerechte Asymptote der natürlichen Exponentialfunktion darstellt. Daher kann $e^{x}$ nicht $0$ ergeben.

Der einzige Schnittpunkt mit der y-Achse stellt der Punkt $(0 | 1)$ dar.

$e^{0} = 1$

e-Funktion, y-Achsenabschnitt, StudySmarter

Abbildung 4: y-Achsenabschnitt

Das heißt, jede natürliche Exponentialfunktion besitzt diesen Schnittpunkt. Du musst jedoch beachten, dass, sobald die e-Funktion verändert wird, also mit einer Konstanten multipliziert wird, sich dieser Schnittpunkt verändert!

e-Funktion, Schnittpunkte y-Achse, StudySmarter

Abbildung 5: Schnittpunkt y-Achse

Das heißt, sobald es sich um keine reine e-Funktion handelt, also mehr als nur ein Argument vorhanden ist (z. B. quadratische Funktion), kann es sein, dass die Funktion die x-Achse schneidet.

Aufgabe 1

Berechne die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt der folgenden Funktion

$f (x) = e^{x} (2 x^{2} - 3)$

e-Funktion, Beispiel, StudySmarter

Abbildung 6: Exponentialfunktion

Lösung

Da $e^{x}$ keine Nullstellen liefert, beachtest Du in diesem Fall nur die Nullstellen der quadratischen Funktion.

Die Nullstellen der Funktion lauten wie folgt:

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 4 & = & 0 + 4 \\ 2 x^{2} & = & 4 \div 2 \\ x^{2} & = & 2 \sqrt{} \\ x_{\frac{1}{2}} & = & \pm \sqrt{2} \end{array}$

Die Funktionen hat eine Nullstelle bei $A (\sqrt{2} | 0)$ und eine Nullstelle bei $B (- \sqrt{2} | 0)$ .

Um jetzt den y-Achsenabschnitt der Funktion zu berechnen, setzt Du 0 als x-Wert in die Funktion ein.

$\begin{array}{rcl} f (0) & = & e^{0} \cdot (2 \cdot 0^{2} - 3) \\ = & - 3 \end{array}$

Das heißt, die Funktion hat einen Schnittpunkt mit der y-Achse an dem Punkt $C (0 | - 3)$ .

Umkehrfunktion

Nun wirst Du die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion kennenlernen.

Der natürliche Logarithmus $\ln (x)$ stellt die Umkehrfunktion der e-Funktion dar. Es gilt also:

$f^{- 1} (x) = \ln (x)$

Die Umkehrfunktion benötigst Du, wenn Du eine Exponentialgleichung berechnen möchtest.

Der natürliche Logarithmus $\ln (x)$ ist zur Basis $e$ definiert.

$\ln (x) = \log_{e} (x)$

Bei den Umkehrfunktionen sind sowohl die Definitionsmenge als auch der Wertebereich vertauscht.

Die Funktion $e^{x}$ ist die Spiegelung von $\ln (x)$ an der Winkelhalbierenden. Die Umkehrfunktion ist also das Spiegelbild der normalen Funktion.

Die Winkelhalbierende ist die Teilung eines Winkels in zwei gleich große Teile. Die Winkelhalbierende beginnt dabei im Scheitelpunkt des Winkels und stellt einen Strahl dar.

e-Funktion, Umkehrfunktion, StudySmarter

Abbildung 7: Umkehrfunktion

Für das bessere Verständnis folgt nun ein Beispiel.

Aufgabe 2

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion

$f (x) = e^{x^{2} + 4 x + 2} - 1$

Lösung

1. Schritt:

Dein erster Schritt besteht darin, die Konstante der Funktionsgleichung auf die andere Seite zu ziehen.

$\begin{array}{rcl} e^{x^{2} + 4 x + 2} - 1 & = & 0 + 1 \end{array}$

2. Schritt:

Da nun keine Konstante mehr auf der Seite der e-Funktion steht, kannst Du die Funktion logarithmieren.

$\begin{array}{rcl} e^{x^{2} + 4 x + 2} & = & 1 \ln () \end{array}$

3. Schritt:

Durch das Logarithmieren wird die e-Funktion aufgelöst.

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 4 x + 2 & = & \ln (1) \end{array}$

4. Schritt:

Jetzt kannst Du die pq-Formel anwenden, um die Nullstellen der quadratischen Funktion herauszufinden.

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 4 x + 2 & = & 0 p q - F o r m e l \end{array}$

p/q-Formel:

$x_{\frac{1}{2}} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

Mit Hilfe der p/q-Formel kannst Du quadratische Gleichungen lösen und so die Nullstellen herausfinden!

p und q ermitteln und einsetzen:

$p = 4; q = 2$

$x_{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - 2} x_{1} = - \frac{4}{2} + \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - 2} = - 0, 586 x_{2} = - \frac{4}{2} - \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - 2} = - 3, 414$

Die Nullstellen der e-Funktion lauten also wie folgt: $x_{1} (- 0, 586 | 0)$ und $x_{2} (- 3, 414 | 0)$ .

Wenn Du mehr über die Logarithmusfunktion erfahren möchtest, kannst Du Dir den dazugehörigen Artikel anschauen.

Rechnen mit der e-Funktion

Da Du Einiges über die e-Funktion gelernt hast, bist Du jetzt bereit, mit der e-Funktion zu rechnen. Dabei wird auf die Stammfunktion, allgemeine Rechenregeln und die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion eingegangen.

Stammfunktion der e-Funktion

Die Stammfunktion der e-Funktion ist die e-Funktion selbst.

Das Integral über $e^{x}$ ist $e^{x}$ .

$\int e^{x} d x = e^{x} + c$

Die natürliche e-Funktion verändert sich bei der Integration nicht. Das heißt, der Term bleibt gleich (außer die Konstante c).

Sobald die e-Funktion jedoch verkettet ist, kann es sein, dass Du substituieren oder auch partiell integrieren musst.

Rechenregeln der e-Funktion

Für die natürliche Exponentialfunktion gibt es verschiedene Rechenregeln.

Rechenregel	Beispiel
Multiplikation zweier e-Funktionen	$e^{x} \cdot e^{y} = e^{x + y}$
Division zweier e-Funktionen	$\frac{e^{x}}{e^{y}} = e^{x - y}$
Potenzieren einer e-Funktion	${(e^{x})}^{y} = e^{x \cdot y}$

Damit Du die Rechenregel noch besser verstehst, folgen nun ein paar Beispielaufgaben!

Aufgabe 3

Löse die folgenden e-Funktionen:

a) $e^{4} \cdot e^{5}$

b) ${(e^{6})}^{7}$

\frac{e^{4}}{e^{2}}

Lösung

Verwende zur Lösung die Rechenregel zur Multiplikation zweier e-Funktionen.

$e^{4} \cdot e^{5} = e^{4 + 5} = e^{9}$

Verwende zur Lösung die Rechenregel zum Potenzieren einer e-Funktion.

${(e^{6})}^{7} = e^{6 \cdot 7} = e^{42}$

Verwende zur Lösung die Rechenregel zur Division zweier e-Funktionen.

$\frac{e^{4}}{e^{2}} = e^{4 - 2} = e^{2}$

Die e-Funktion ableiten

Die Ableitung der e-Funktion ist besonders. Warum das so ist, wirst Du nun in diesem Abschnitt lernen.

Die Ableitung der e-Funktion ist gleich die e-Funktion. Das bedeutet, dass die Steigung in jedem Punkt ihrem Funktionswert entspricht.

$f (x) = e^{x} \leftrightarrow f' (x) = e^{x}$

Herleitung der Ableitung der e-Funktion

Damit Du Dir die Ableitung der e-Funktion besser vorstellen kannst, siehst Du hier die Ableitung einer Exponentialfunktion:

Die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion lautet wie folgt:

$f' (x) = \ln (b) \cdot b^{x}$

Wenn Du in diese Ableitung nun die Zahl e, anstelle des b, einsetzt, erhältst Du folgenden Ausdruck:

$f' (x) = \ln (e) \cdot e^{x}$

Da Du den logarithmierten Ausdruck hier lösen kannst, $\ln (e) = 1$ , hast Du am Ende nur noch $f' (x) = e^{x}$ übrig.

Bei verketteten e-Funktionen musst Du die Kettenregel anwenden:

$(e^{f (x)})' = e^{f (x)} \cdot f' (x)$

$f (x) = g (h (x)) \to f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)$

Um dies besser zu verdeutlichen, folgt nun ein Beispiel.

Aufgabe 4

Berechne die Ableitung der folgenden Funktion.

$f (x) = e^{2 x + 4}$

Lösung

Jetzt wendest Du die Kettenregel an, um die Ableitung zu bilden.

1. Schritt:

Äußere und innere Ableitung ermitteln.

$g (x) = e^{x} \to g' (x) = e^{x} h (x) = 2 x + 4 \to h' (x) = 2$

2. Schritt:

Äußere und innere Ableitung in Kettenregel einsetzen.

$f' (x) = 2 \cdot e^{2 x + 4}$

Ableitung der Umkehrfunktion bilden

Für die Berechnung der Ableitung von der Umkehrfunktion gibt es eine bestimmte Formel, welche lautet:

$(f^{- 1})' (x) = \frac{1}{f' (f^{- 1} (x))}$

Um diese Formel besser zu verstehen, folgt nun ein Beispiel:

Wenn Du also $f (x) = e^{x}$ als Funktion gegeben hast, kannst Du die Umkehrfunktion bilden, welche die Logarithmusfunktion darstellt $f^{- 1} (x) = \ln (x)$ .

Um nun die Ableitung zu berechnen, verwendest Du die obige Formel:

$(f^{- 1})' (x) = \frac{1}{e^{\ln (x)}} = \frac{1}{x}$

Die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{- 1} (x)$ stellt also $f' (f^{- 1} (x))$ und nicht $f' (y)$ dar. Das kannst Du Dir damit erklären, dass der Funktionswert von $f^{- 1}$ an der Stelle x den Wert y darstellt!

e-Funktion – Aufgaben zum Üben

Nun folgt eine Übungsaufgabe, mit der Du Dein Wissen festigen kannst!

Aufgabe 5

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion

$f (x) = e^{2 x^{2} + 10 x + 4} - 1$

Lösung

1. Schritt:

Konstante auf die andere Seite bringen.

$\begin{array}{rcl} e^{2 x^{2} + 10 x + 4} - 1 & = & 0 + 1 \end{array}$

2. Schritt:

Logarithmieren.

$e^{2 x^{2} + 10 x + 4} = 1 \ln ()$

3. Schritt:

Quadratische Funktion vereinfachen.

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} + 10 x + 4 & = & \ln (1) \\ 2 x^{2} + 10 x + 4 & = & 0 \div 2 \\ x^{2} + 5 x + 2 & = & 0 \end{array}$

4. Schritt:

pq-Formel verwenden.

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 10 x + 2 & = & 0 p q - F o r m e l \end{array}$

p/q-Formel:

$x_{\frac{1}{2}} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

p und q ermitteln und einsetzen:

$p = 10; q = 2$

$x_{\frac{1}{2}} = - \frac{10}{2} \pm \sqrt{{(\frac{10}{2})}^{2} - 2} x_{1} = - \frac{10}{2} + \sqrt{{(\frac{10}{2})}^{2} - 2} = - 0, 204 x_{2} = - \frac{10}{2} - \sqrt{{(\frac{10}{2})}^{2} - 2} = - 9, 796$

Die e-Funktion hat also zwei Nullstellen an den Punkten: $x_{1} (- 0, 204 | 0)$ und $x_{2} (- 9, 796 | 0)$ .

e Funktion – Das Wichtigste

Die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion.
Die Funktion ist streng monoton steigend $e \approx 2, 7182 > 1$ .
Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen.
Sie schneidet die y-Achse an dem Punkt $(0 | 1)$ .
Die natürliche Exponentialfunktion nimmt keine negativen Werte an.
Ihre Umkehrfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion $f^{- 1} (x) = \ln (x)$ .
$\ln (x)$ und $e^{x}$ spiegeln sich an der Winkelhalbierenden.
Bei verketteten e-Funktionen benutzt Du die Kettenregel für die Ableitung.
Für die Berechnung der Ableitung von der Umkehrfunktion gibt es eine bestimmte Formel, welche lautet: $(f^{- 1})' (x) = \frac{1}{f' (f^{- 1} (x))}$ .
Die natürliche e-Funktion verändert sich bei der Integration nicht.

Häufig gestellte Fragen zum Thema e Funktion

Die Ableitung der e-Funktion ist gleich die e-Funktion. Das bedeutet, dass die Steigung in jedem Punkt ihrem Funktionswert entspricht.

Das heißt wenn du die Funktion f(x)=e^xableitest, erhälst du folgende Funktion f'(x)=e^x.

Eine e-Funktion ist ein Sonderfall einer Exponentialfunktionen. Dabei hat die e-Funktion eine Basis von e=2,7182. Mit ihr kann ein exponentielles Wachstum oder ein exponentieller Zerfall beschrieben werden.

Durch die e-Funktion kannst du exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall beschreiben.

Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen, da die x-Achse die waagerechte Asymptote der natürlichen Exponentialfunktion darstellt. e^x kann also niemals 0 ergeben.

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