Besondere Ableitungen

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In diesem Artikel lernst du die wichtigsten Ableitungen kennen und wirst anhand von Beispielaufgaben zum richtigen Ergebnis geführt. Ableiten (auch Differenzieren genannt) ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis und notwendig für die Kurvendiskussion. Durch die Differentialrechnung kannst du das Steigungsverhalten einer Funktion $f (x)$ bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren.

In den folgenden Abschnitten bekommst du einen Einblick in die Grundlagen der Differentialrechnung und Erklärungen über die wichtigsten Ableitungen (besondere Ableitungen).

Ableitungsregeln – Tabelle

Als Erstes wirst du die Ableitungsregeln kennenlernen. Diese sind die Grundlagen für die Anwendung der besonderen Ableitungen.

	Funktion	Ableitung
Ableitung einer konstanten Funktion	$f (x) = C$	$f' (x) = 0$
Ableitung einer linearen Funktion	$f (x) = x$	$f' (x) = 1$
Potenzregel	$f (x) = x^{n}$	$f' (x) = n \cdot x^{n - 1}$
Faktorregel	$f (x) = c \cdot g (x)$	$f' (x) = c \cdot g' (x)$
Summenregel	$f (x) = h (x) + g (x)$	$f' (x) = h' (x) + g' (x)$
Differenzregel	$f (x) = g (x) - h (x)$	$f' (x) = g' (x) - h' (x)$
Produktregel	$f (x) = g (x) \cdot h (x)$	$f' (x) = g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x)$
Quotientenregel	$f (x) = \frac{g (x)}{h (x)}$	$f' (x) = \frac{h (x) \cdot g' (x) - g (x) \cdot h' (x)}{(h {(x))}^{2}}$
Kettenregel	$f (x) = g (h (x))$	$f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)$

Ableitung berechnen – Fälle mit Aufgaben und Lösungen

Im Folgenden bekommst du für die jeweiligen Ableitungsregeln zusätzlich Beispiele.

Ableitung einer konstanten Funktion

Ableitungsregel

$f (x) = C \to f' (x) = 0$

Aufgabe 1

Bilde die Ableitung der konstanten Funktion:

f (x) = 10

Lösung

Die Lösung lautet 0, da die Ableitung einer Konstanten gleich 0 beträgt.

$f' (x) = 0$

Ableitung einer linearen Funktion

Ableitungsregel

$f (x) = x \to f' (x) = 1$

Aufgabe 2

Bilde die Ableitung der linearen Funktion:

$f (x) = x - 10$

Lösung

Die Lösung lautet 1, da die Ableitung der konstanten Funktion 1 beträgt und für die Konstante -10 lautet die Ableitung 0.

$f' (x) = 1$

Faktorregel

Ableitungsregel

$f (x) = c \cdot g (x) \to f' (x) = c \cdot g' (x)$

Aufgabe 3

Bilde die Ableitung der Funktion:

f (x) = 5 \cdot x^{4}

Lösung

Die Lösung lautet $5 \cdot (4 \cdot x^{4 - 1})$ , da hier der konstante Faktor beim Ableiten unverändert bleibt (in diesem Fall 5). Sonst leitest du wie gewohnt nach der Potenzregel ab.

$f' (x) = 5 \cdot (4 \cdot x^{3})$

$f' (x) = 20 \cdot x^{3}$

Summenregel

Ableitungsregel

$f (x) = g (x) + h (x) \to f' (x) = g' (x) + h' (x)$

Aufgabe 4

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = x^{2} + x$

Lösung

Die Lösung lautet $2 x^{2 - 1} + 1$ , da du hier jede Funktion für sich ableitest. In diesem Fall verwendest du hauptsächlich die Potenzregel.

$f' (x) = 2 x + 1$

Differenzregel

Ableitungsregel

$f (x) = g (x) - h (x) \to f' (x) = g' (x) - h' (x)$

Aufgabe 5

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = 4 x^{5} - x^{7}$

Lösung

Die Lösung lautet $4 \cdot 5 \cdot x^{5 - 1} - 7 \cdot x^{7 - 1}$ , hier leitest du wieder die Funktionen einzeln ab und subtrahierst sie, wenn möglich anschließend.

$f' (x) = 20 \cdot x^{4} - 7 \cdot x^{6}$

Produktregel

Ableitungsregel

$f (x) = g (x) \cdot h (x) \to f' (x) = g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x)$

Aufgabe 6

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = x^{3} \cdot x^{4}$

Lösung

Die Lösung lautet $3 \cdot x^{2} \cdot x^{4} + x^{3} \cdot 4 x^{3}$ . Hier leitest du als Erstes den Faktor $g (x)$ ab, welcher den ersten Term der Funktion darstellt. Den zweiten Faktor $h (x)$ , in diesem Fall $x^{4}$ , lässt du hier noch unberührt und multiplizierst ihn mit dem ersten abgeleiteten Faktor $g' (x)$ . Im nächsten Schritt leitest du $h (x)$ ab, wobei du hier nun $g (x)$ unberührt lässt und ihn mit dem abgeleiteten Faktor $h' (x)$ multiplizierst. Jetzt kannst du die beiden Terme addieren und auflösen.

Nochmal zur Verdeutlichung:

1. Schritt

Erster und zweiter Term einzeln ableiten.

g (x) = x^{3} g' (x) = 3 x^{2}

h (x) = x^{4} h' (x) = 4 x^{3}

2. Schritt

Ergebnisse in die Produktregel einsetzen.

$f' (x) = 3 \cdot x^{2} \cdot x^{4} + x^{3} \cdot 4 x^{3} f' (x) = 3 \cdot x^{6} + 4 \cdot x^{6} f' (x) = 7 \cdot x^{6}$

Hier kommt wieder die Potenzregel zum Einsatz.

Quotientenregel

Ableitungsregel

$f (x) = \frac{g (x)}{h (x)} \to f' (x) = \frac{h (x) \cdot g' (x) - g (x) \cdot h' (x)}{(h {(x))}^{2}}$

Aufgabe 7

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4}}$

Lösung

Zuerst leitest du den Faktor $g (x)$ ab, welcher sich im Zähler befindet und anschließend den Faktor $h (x)$ , welcher den Nenner darstellt. Jetzt kannst du die Ergebnisse in die Funktion $f (x)$ einsetzen.

Nochmal zur Verdeutlichung:

1. Schritt

Zähler und Nenner einzeln ableiten.

$g (x) = x^{3} g' (x) = 3 x^{2}$ $h (x) = x^{4} h' (x) = 4 x^{3}$

2. Schritt

Ergebnisse in die Quotientenregel einsetzen.

$f' (x) = \frac{x^{4} \cdot 3 x^{2} - x^{3} \cdot 4 x^{3}}{{(x^{4})}^{2}} f' (x) = \frac{3 x^{6} - 4 x^{6}}{x^{8}} f' (x) = \frac{- 1 x^{6}}{x^{8}} f' (x) = - x^{- 2}$

Kettenregel

Ableitungsregel

$f (x) = g (h (x)) \to f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)$

Aufgabe 8

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = {(x^{3} + 4)}^{2}$

Lösung

Zuerst leitest du die äußere und innere Funktion einzeln ab. Dabei stellt $g (x)$ die äußere Funktion und $h (x)$ die innere Funktion dar. Als nächsten Schritt setzt du die Werte in die Kettenregel ein und leitest nach ihr ab.

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

$g (x) = x^{2} g' (x) = 2 x$ $h (x) = x^{3} + 4 h' (x) = 3 x^{2}$

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten.

$f' (x) = 2 \cdot (x^{3} + 4) \cdot 3 x^{2} f' (x) = 6 x^{2} \cdot (x^{3} + 4)$

Ableitung Potenzfunktion

Ableitungsregel

$f (x) = x^{n} \to f' (x) = n \cdot x^{n - 1}$

1. SchrittIm ersten Schritt schreibst du den Exponenten vor das x.2. SchrittIm zweiten Schritt verringerst du den Exponenten um 1.

Aufgabe 9

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = x^{7}$

Lösung

1. Schritt & 2. Schritt

Exponenten vor das x ziehen und um 1 verringern.

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 7 x^{7 - 1} \\ = & 7 x^{6} \end{array}$

Ableitung Polynomfunktion

Eine Polynomfunktion besteht aus einer Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Hochzahlen. Das heißt, ein Polynom ist ein mehrgliedriger Term, wobei man zwischen dem linearen Polynom (Polynom 1. Grades), dem quadratischen Polynom (Polynom 2. Grades) und dem kubischen Polynom (Polynom 3. Grades) unterscheidet.

Um die Polynomfunktion abzuleiten, musst du auf die Potenzregel zurückgreifen. Hier ziehst du wie gewohnt die Exponenten vor die Koeffizienten und verringerst die Exponenten um 1. Beachte, dass dabei alle Konstanten zu 0 werden.

Aufgabe 10

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = 4 x^{3} + 7 x^{2} + 5 x + 2$

Lösung

1. Schritt

Potenzregel anwenden und konstante Terme wegstreichen.

$f' (x) = 12 x^{2} + 14 x + 5$

Mehr zu den Ableitungsregeln findest du im dazugehörigen Artikel.

Besondere Ableitungen – Weitere Fälle mit Aufgaben und Lösungen

Da du dich nun mit den Ableitungsregeln vertraut gemacht hast, lernst du jetzt die besonderen Ableitungen kennen. Diese sind nicht nur mithilfe der Ableitungsregeln zu lösen, sie werden aber dennoch zur Anwendung kommen.

Ableitung Sinus

Ableitungsregel

$f (x) = \sin (x) \to f' (x) = \cos (x)$

Wenn in der Sinusfunktion nicht nur ein x als Argument vorhanden ist, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen.

Aufgabe 11

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = \sin (2 x)$

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

$g (x) = \sin (x) g' (x) = \cos (x)$ $h (x) = 2 x h' (x) = 2$

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten. Hierzu verwenden wir die Formel der Kettenregel (siehe oben).

$f' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 f' (x) = 2 \cos (2 x)$

Ableitung Tangens

Ableitungsregel

$f (x) = \tan (x)$ $\to$ $f' (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Wenn bei der Tangensfunktion nicht nur ein x als Argument vorhanden ist, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen.

Aufgabe 12

Bilde die Ableitung der Funktion:

f (x) = \tan (2 x)

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

g (x) = \tan (x) g' (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}

h (x) = 2 x h' (x) = 2

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \cdot 2 \\ = & \frac{2}{\cos^{2} (2 x)} \end{array}$

Ableitung Cosinus

Ableitungsregel

$f (x) = \cos (x)$ $\to$ $f' (x) = - \sin (x)$

Wenn bei der Kosinusfunktion nicht nur ein x als Argument vorhanden ist, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen.

Aufgabe 13

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = \cos (x^{3} + x^{2})$

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

$g (x) = \cos (x) g' (x) = - \sin (x)$ $h (x) = x^{3} + x^{2} h' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

$f' (x) = - \sin (x^{3} + x^{2}) \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

Der obige Term kann nicht vereinfacht werden.

Ableitung Wurzelfunktion

Ableitungsregel

$f (x) = \sqrt{x}$ $\to$ $f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Wenn bei der Wurzelfunktion nicht nur ein x als Argument vorhanden ist, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen.

Aufgabe 14

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = \sqrt{2 x}$

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

$g (x) = \sqrt{x} g' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ $h (x) = 2 x h' (x) = 2$

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{1}{2 \sqrt{2 x}} \cdot 2 \\ = & \frac{1}{\sqrt{2 x}} \end{array}$

Aufgabe 15

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = \sqrt{x^{3} + x^{2}}$

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

$g (x) = \sqrt{x} g' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ $h (x) = x^{3} + x^{2} h' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{1}{2 \sqrt{x^{3} + x^{2}}} \cdot 3 x^{2} + 2 x \\ = & \frac{3 x^{2} + 2 x}{2 \sqrt{x^{3} + x^{2}}} \end{array}$

$\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$ Die Wurzelfunktion lässt sich auch als Exponent darstellen. Daher kann man hier bei einfachen Wurzelfunktionen die Potenzregel anwenden.

Ableitung der e-Funktion

Ableitungsregel

Die e-Funktion, auch Exponentialfunktion genannt, entspricht dem Wert $e \approx 2, 7182$ .

f (x) = e^{x}

\to

f' (x) = e^{x}

Die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion. Wenn jedoch nicht nur ein x als Argument vorhanden ist, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen.

Aufgabe 16

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = e^{2 x}$

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

$g (x) = e^{x} g' (x) = e^{x}$ $h (x) = 2 x h' (x) = 2$

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & e^{2 x} \cdot 2 \\ = & 2 e^{2 x} \end{array}$

Aufgabe 17

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = e^{x^{3} + x^{2}}$

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

$g (x) = e^{x} g' (x) = e^{x}$ $h (x) = x^{3} + x^{2} h' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

$f' (x) = e^{x^{3} + x^{2}} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

Der obige Term kann nicht vereinfacht werden.

Ableitung Logarithmus

Ableitungsregel

$f (x) = \ln (x)$ $\to$ $f' (x) = \frac{1}{x}$

Wenn bei der Logarithmusfunktion nicht nur ein x als Argument vorhanden ist, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen.

Aufgabe 18

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = \ln (2 x)$

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

$g (x) = \ln (x) g' (x) = \frac{1}{x}$ $h (x) = 2 x h' (x) = 2$

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{1}{2 x} \cdot 2 \\ = & \frac{1}{x} \end{array}$

Aufgabe 19

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = \ln (x^{3} + x^{2})$

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

$g (x) = \ln (x) g' (x) = \frac{1}{x}$ $h (x) = x^{3} + x^{2} h' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{1}{x^{3} + x^{2}} \cdot (3 x^{2} + 2 x) \\ = & \frac{3 x^{2} + 2 x}{x^{3} + x^{2}} \end{array}$

Ableitung Umkehrfunktion

Ableitungsregel

$(f^{- 1})' (x) = \frac{1}{f' (f^{- 1} (x))}$

Die Umkehrfunktion einer Funktion $f$ ist die Funktion $f^{- 1}$ . Sie ordnet die Variablen einer Funktion umgekehrt zu.

Das heißt, du vertauschst den x-Wert und den y-Wert deiner Funktion. Dies bedeutet, dass du deinen Graphen an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten spiegelst.

Wichtige Ableitungen Umkehrfunktion StudySmarter

Abbildung 1: Umkehrfunktion lineare Funktion

Aufgabe 20

Bilde die Ableitung der Funktion:

$f (x) = 0, 25 x + 2$

Lösung

1. Schritt

Funktionsgleichung nach x auflösen.

$\begin{array}{rcl} y & = & 0, 25 x + 2 - 2 \\ y - 2 & = & 0, 25 x \cdot 4 \\ 4 y - 8 & = & x \end{array}$

2. Schritt

Die Variablen x und y vertauschen.

$\begin{array}{rcl} 4 x - 8 & = & y \\ y & = & 4 x - 8 \end{array}$

Die Umkehrfunktion $f^{- 1} (x)$ der Funktion $f (x) = 0, 25 x + 2$ lautet also:

$f^{- 1} (x) = 4 x - 8$

Wie du die Ableitung zur Umkehrfunktion genau berechnest, findest du im zugehörigen Artikel!

Partielle Ableitung

Bei Funktionen mit mehreren Variablen kommt die partielle Ableitung zum Einsatz. Hierbei stellt die partielle Ableitung der Funktion $z = f (x, y)$ nach x die Ableitung von $z = f (x, y)$ nach x dar, wenn y konstant bleibt. Wenn du $z = f (x, y)$ nach y ableiten möchtest, muss x konstant bleiben. Die Ableitung nach x sagt aus, wie sich z verändern würde, wenn x verändert wird und y dabei konstant bleibt. Dementsprechend sagt die Ableitung nach y die Veränderung von z aus, wenn y verändert wird und x dabei konstant bleibt.

Ableitungsregel

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} = z'_{x} = f'_{x} (x, y) = f'_{1} (x, y) \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} = z'_{y} = f'_{y} (x, y) = f'_{2} (x, y)$

Aufgabe 21

Bilde die partielle Ableitung der Funktion:

$f (x, y) = x^{4} + 2 y^{2} \frac{\partial z}{\partial x} = f' (x, y)$

Lösung

1. Schritt

y konstant halten und mithilfe der Potenzregel nach x ableiten.

$f'_{x} (x, y) = 4 x^{3}$

y fällt dabei weg, da es als Konstante gilt. Siehe Summenregel

Aufgabe 22

Bilde die partielle Ableitung der Funktion:

$f (x) = 2 x^{3} \cdot y^{2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = f' (x, y)$

Lösung

1. Schritt

x konstant halten und mithilfe der Potenzregel nach y ableiten.

$f'_{y} (x, y) = 4 x^{3} \cdot y$

Hier bleibt die Konstante x erhalten, da sie mit der Variable y multipliziert wird (siehe Faktorregel).

Besondere Ableitungen – Das Wichtigste

Durch Ableitungen lassen sich Steigungen und Charakteristika von Funktionen darstellen.
Mithilfe der Ableitungsregeln lassen sich Funktionen jeglicher Art ableiten.
Die partielle Ableitung dient für die Ableitung von Funktionen mit mehreren Variablen.
Für die Ableitungen von besonderen Funktionen verwendet man häufig die Kettenregel.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Besondere Ableitungen

Bei einer einfachen Wurzelfunktion verwendet man zum Ableiten die Potenzregel. Wenn die Wurzelfunktion jedoch mehr als ein x als Argument besitzt, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen.

Die e-Funktion, auch Exponentialfunktion genannt, entspricht dem Wert e=2,7182.

Eine Polynomfunktion besteht aus einer Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Hochzahlen. Das heißt ein Polynom ist ein mehrgliedriger Term, wobei man zwischen dem linearen Polynom (Polynom 1. Grades), dem quadratischen Polynom (Polynom 2. Grades) und dem kubischen Polynom (Polynom 3. Grades) unterscheidet.

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Inwiefern sind Logarithmusfunktionen differenzierbar?

Die Logarithmusfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich R+ differenzierbar.

Wann liegt ein Tiefpunkt vor?

VZW von − nach + : relatives Minimum bei x0

Untersuche die Funktion f(x)=ln(x²+3) auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte.

(Hinweis: die 3. Ableitung von f lautet (4x³-36x)/(x²+3)³)

Keine Nullstellen.

Minimum bei x=0

Wendepunkte bei x=√3 , x= -√3

Was ist eine gebrochen rationale Funktion?

Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, welche sich als Bruch darstellen lässt. Dabei besteht sowohl der Zähler als auch der Nenner aus Polynome. Insgesamt unterscheidet man zwischen echt und unecht gebrochen rationale Funktionen.

Was ist eine gebrochen rationale Funktion?

Wann ist eine Funktion echt gebrochen rational?

Eine Funktion ist echt gebrochen rationale, wenn die Nennerfunktion ein größeres Polynom besitzt als die Zählerfunktion.

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$f' (x) = 2 x + 1$