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Besondere Ableitungen

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Mathe

In diesem Artikel lernst du die wichtigsten Ableitungen kennen und wirst anhand von Beispielaufgaben zum richtigen Ergebnis geführt. Ableiten (auch Differenzieren genannt) ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis und notwendig für die Kurvendiskussion. Durch die Differentialrechnung kannst du das Steigungsverhalten einer Funktion f(x) bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren.

In den folgenden Abschnitten bekommst du einen Einblick in die Grundlagen der Differentialrechnung und Erklärungen über die wichtigsten Ableitungen (besondere Ableitungen).

Ableitungsregeln Tabelle

Als Erstes wirst du die Ableitungsregeln kennenlernen. Diese sind die Grundlagen für die Anwendung der besonderen Ableitungen.

FunktionAbleitung
Ableitung einer konstanten Funktionf(x)=Cf'(x)=0
Ableitung einer linearen Funktionf(x)=xf'(x)=1
Potenzregelf(x)=xnf'(x)=n·xn-1
Faktorregelf(x)=c·g(x)f'(x)=c·g'(x)
Summenregelf(x)=h(x)+g(x) f'(x)=h'(x)+g'(x)
Differenzregelf(x)=g(x)-h(x)f'(x)=g'(x)-h'(x)
Produktregelf(x)=g(x)·h(x) f'(x)=g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)
Quotientenregelf(x)=g(x)h(x)f'(x)=h(x)·g'(x)-g(x)·h'(x)(h(x))2
Kettenregelf(x)=g(h(x))f'(x)=g'(h(x))·h'(x)

Ableitung berechnen Fälle mit Aufgaben und Lösungen

Im Folgenden bekommst du für die jeweiligen Ableitungsregeln zusätzlich Beispiele.

Ableitung einer konstanten Funktion

Ableitungsregel

f(x)=C f'(x)=0

Aufgabe 1

Bilde die Ableitung der konstanten Funktion:

f(x)=10

Lösung

Die Lösung lautet 0, da die Ableitung einer Konstanten gleich 0 beträgt.

f'(x)=0

Ableitung einer linearen Funktion

Ableitungsregel

f(x)=x f'(x)=1

Aufgabe 2

Bilde die Ableitung der linearen Funktion:

f(x) = x - 10

Lösung

Die Lösung lautet 1, da die Ableitung der konstanten Funktion 1 beträgt und für die Konstante -10 lautet die Ableitung 0.

f'(x) = 1

Faktorregel

Ableitungsregel

f(x)=c·g(x) f'(x)=c·g'(x)

Aufgabe 3

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=5·x4

Lösung

Die Lösung lautet 5·(4·x4-1), da hier der konstante Faktor beim Ableiten unverändert bleibt (in diesem Fall 5). Sonst leitest du wie gewohnt nach der Potenzregel ab.

f'(x)=5·(4·x3)

f'(x)=20·x3

Summenregel

Ableitungsregel

f(x)=g(x)+h(x) f'(x)=g'(x)+h'(x)

Aufgabe 4

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=x2+x

Lösung

Die Lösung lautet 2x2-1+1, da du hier jede Funktion für sich ableitest. In diesem Fall verwendest du hauptsächlich die Potenzregel.

f'(x)=2x+1

Differenzregel

Ableitungsregel

f(x)=g(x)-h(x) f'(x)=g'(x)-h'(x)

Aufgabe 5

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=4x5-x7

Lösung

Die Lösung lautet 4·5·x5-1-7·x7-1, hier leitest du wieder die Funktionen einzeln ab und subtrahierst sie, wenn möglich anschließend.

f'(x)=20·x4-7·x6

Produktregel

Ableitungsregel

f(x)=g(x)·h(x) f'(x)=g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)

Aufgabe 6

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=x3·x4

Lösung

Die Lösung lautet 3·x2·x4+x3·4x3. Hier leitest du als Erstes den Faktor g(x) ab, welcher den ersten Term der Funktion darstellt. Den zweiten Faktor h(x), in diesem Fall x4, lässt du hier noch unberührt und multiplizierst ihn mit dem ersten abgeleiteten Faktor g'(x). Im nächsten Schritt leitest du h(x) ab, wobei du hier nun g(x) unberührt lässt und ihn mit dem abgeleiteten Faktor h'(x) multiplizierst. Jetzt kannst du die beiden Terme addieren und auflösen.

Nochmal zur Verdeutlichung:

1. Schritt

Erster und zweiter Term einzeln ableiten.

g(x)=x3g'(x)=3x2 h(x)=x4h'(x)=4x3

2. Schritt

Ergebnisse in die Produktregel einsetzen.

f'(x)=3·x2·x4+x3·4x3f'(x)=3·x6+4·x6f'(x)=7·x6

Hier kommt wieder die Potenzregel zum Einsatz.

Quotientenregel

Ableitungsregel

f(x)=g(x)h(x) f'(x)=h(x)·g'(x)-g(x)·h'(x)(h(x))2

Aufgabe 7

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=x3x4

Lösung

Zuerst leitest du den Faktor g(x) ab, welcher sich im Zähler befindet und anschließend den Faktor h(x) , welcher den Nenner darstellt. Jetzt kannst du die Ergebnisse in die Funktion f(x) einsetzen.

Nochmal zur Verdeutlichung:

1. Schritt

Zähler und Nenner einzeln ableiten.

g(x)=x3g'(x)=3x2 h(x)=x4h'(x)=4x3

2. Schritt

Ergebnisse in die Quotientenregel einsetzen.

f'(x)=x4·3x2-x3·4x3(x4)2f'(x)=3x6-4x6x8f'(x)=-1x6x8f'(x)=-x-2

Kettenregel

Ableitungsregel

f(x)=g(h(x)) f'(x)=g'(h(x))·h'(x)

Aufgabe 8

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=(x3+4)2

Lösung

Zuerst leitest du die äußere und innere Funktion einzeln ab. Dabei stellt g(x) die äußere Funktion und h(x) die innere Funktion dar. Als nächsten Schritt setzt du die Werte in die Kettenregel ein und leitest nach ihr ab.

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

g(x)=x2g'(x)=2x h(x)=x3+4h'(x)=3x2

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten.

f'(x)=2·(x3+4)·3x2f'(x)=6x2·(x3+4)

Ableitung Potenzfunktion

Ableitungsregel

f(x)=xn f'(x)=n·xn-1

1. SchrittIm ersten Schritt schreibst du den Exponenten vor das x.2. SchrittIm zweiten Schritt verringerst du den Exponenten um 1.

Aufgabe 9

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=x7

Lösung

1. Schritt & 2. Schritt

Exponenten vor das x ziehen und um 1 verringern.

f'(x)=7x7-1=7x6

Ableitung Polynomfunktion

Eine Polynomfunktion besteht aus einer Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Hochzahlen. Das heißt, ein Polynom ist ein mehrgliedriger Term, wobei man zwischen dem linearen Polynom (Polynom 1. Grades), dem quadratischen Polynom (Polynom 2. Grades) und dem kubischen Polynom (Polynom 3. Grades) unterscheidet.

Um die Polynomfunktion abzuleiten, musst du auf die Potenzregel zurückgreifen. Hier ziehst du wie gewohnt die Exponenten vor die Koeffizienten und verringerst die Exponenten um 1. Beachte, dass dabei alle Konstanten zu 0 werden.

Aufgabe 10

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=4x3+7x2+5x+2

Lösung

1. Schritt

Potenzregel anwenden und konstante Terme wegstreichen.

f'(x)=12x2+14x+5

Mehr zu den Ableitungsregeln findest du im dazugehörigen Artikel.

Besondere Ableitungen Weitere Fälle mit Aufgaben und Lösungen

Da du dich nun mit den Ableitungsregeln vertraut gemacht hast, lernst du jetzt die besonderen Ableitungen kennen. Diese sind nicht nur mithilfe der Ableitungsregeln zu lösen, sie werden aber dennoch zur Anwendung kommen.

Ableitung Sinus

Ableitungsregel

f(x)=sinx f'(x)=cosx

Wenn in der Sinusfunktion nicht nur ein x als Argument vorhanden ist, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen.

Aufgabe 11

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=sin2x

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

g(x)=sinxg'(x)=cosx h(x)=2xh'(x)=2

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten. Hierzu verwenden wir die Formel der Kettenregel (siehe oben).

f'(x)=cos2x·2f'(x)=2cos2x

Ableitung Tangens

Ableitungsregel

f(x)=tanx f'(x)=1cos2x

Wenn bei der Tangensfunktion nicht nur ein x als Argument vorhanden ist, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen.

Aufgabe 12

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=tan2x

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

g(x)=tanxg'(x)=1cos2x h(x)=2xh'(x)=2

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

f'(x)=1cos22x·2=2cos22x

Ableitung Cosinus

Ableitungsregel

f(x)=cosx f'(x)=-sinx

Wenn bei der Kosinusfunktion nicht nur ein x als Argument vorhanden ist, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen.

Aufgabe 13

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=cosx3+x2

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

g(x)=cosxg'(x)=-sinx h(x)=x3+x2h'(x)=3x2+2x

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

f'(x)=-sinx3+x2·(3x2+2x)

Der obige Term kann nicht vereinfacht werden.

Ableitung Wurzelfunktion

Ableitungsregel

f(x)=x f'(x)=12x

Wenn bei der Wurzelfunktion nicht nur ein x als Argument vorhanden ist, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen.

Aufgabe 14

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=2x

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

g(x)=xg'(x)=12x h(x)=2xh'(x)=2

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

f'(x)=122x·2=12x

Aufgabe 15

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=x3+x2

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

g(x)=xg'(x)=12x h(x)=x3+x2h'(x)=3x2+2x

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

f'(x)=12x3+x2·3x2+2x=3x2+2x2x3+x2

xn=x1n Die Wurzelfunktion lässt sich auch als Exponent darstellen. Daher kann man hier bei einfachen Wurzelfunktionen die Potenzregel anwenden.

Ableitung der e-Funktion

Ableitungsregel

Die e-Funktion, auch Exponentialfunktion genannt, entspricht dem Wert e2,7182.

f(x)=exf'(x)=ex

Die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion. Wenn jedoch nicht nur ein x als Argument vorhanden ist, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen.

Aufgabe 16

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=e2x

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

g(x)=exg'(x)=ex h(x)=2xh'(x)=2

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

f'(x)=e2x·2=2e2x

Aufgabe 17

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=ex3+x2

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

g(x)=exg'(x)=ex h(x)=x3+x2h'(x)=3x2+2x

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

f'(x)=ex3+x2·(3x2+2x)

Der obige Term kann nicht vereinfacht werden.

Ableitung Logarithmus

Ableitungsregel

f(x)=lnx f'(x)=1x

Wenn bei der Logarithmusfunktion nicht nur ein x als Argument vorhanden ist, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen.

Aufgabe 18

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=ln2x

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

g(x)=lnxg'(x)=1x h(x)=2xh'(x)=2

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

f'(x)=12x·2=1x

Aufgabe 19

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=lnx3+x2

Lösung

1. Schritt

Äußere und innere Funktion einzeln ableiten.

g(x)=lnxg'(x)=1x h(x)=x3+x2h'(x)=3x2+2x

2. Schritt

Verkettete Funktion ableiten (Kettenregel).

f'(x)=1x3+x2·(3x2+2x)=3x2+2xx3+x2

Ableitung Umkehrfunktion

Ableitungsregel

(f-1)'(x)=1f'(f-1(x))

Die Umkehrfunktion einer Funktion f ist die Funktion f-1. Sie ordnet die Variablen einer Funktion umgekehrt zu.

Das heißt, du vertauschst den x-Wert und den y-Wert deiner Funktion. Dies bedeutet, dass du deinen Graphen an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten spiegelst.

Wichtige Ableitungen Umkehrfunktion StudySmarter

Abbildung 1: Umkehrfunktion lineare Funktion

Aufgabe 20

Bilde die Ableitung der Funktion:

f(x)=0,25x+2

Lösung

1. Schritt

Funktionsgleichung nach x auflösen.

y=0,25x+2 -2y-2=0,25x ·44y-8=x

2. Schritt

Die Variablen x und y vertauschen.

4x-8=yy=4x-8

Die Umkehrfunktion f-1(x) der Funktion f(x)=0,25x+2 lautet also:

f-1(x)=4x-8

Wie du die Ableitung zur Umkehrfunktion genau berechnest, findest du im zugehörigen Artikel!

Partielle Ableitung

Bei Funktionen mit mehreren Variablen kommt die partielle Ableitung zum Einsatz. Hierbei stellt die partielle Ableitung der Funktion z=f(x,y) nach x die Ableitung von z=f(x,y) nach x dar, wenn y konstant bleibt. Wenn du z=f(x,y) nach y ableiten möchtest, muss x konstant bleiben. Die Ableitung nach x sagt aus, wie sich z verändern würde, wenn x verändert wird und y dabei konstant bleibt. Dementsprechend sagt die Ableitung nach y die Veränderung von z aus, wenn y verändert wird und x dabei konstant bleibt.

Ableitungsregel

zx=f(x,y)x=z'x=f'x(x,y)=f'1(x,y)zy=f(x,y)y=z'y=f'y(x,y)=f'2(x,y)

Aufgabe 21

Bilde die partielle Ableitung der Funktion:

f(x,y)=x4+2y2zx=f'(x,y)

Lösung

1. Schritt

y konstant halten und mithilfe der Potenzregel nach x ableiten.

f'x(x,y)=4x3

y fällt dabei weg, da es als Konstante gilt. Siehe Summenregel

Aufgabe 22

Bilde die partielle Ableitung der Funktion:

f(x)=2x3·y2

zy=f'(x,y)

Lösung

1. Schritt

x konstant halten und mithilfe der Potenzregel nach y ableiten.

f'y(x,y)=4x3·y

Hier bleibt die Konstante x erhalten, da sie mit der Variable y multipliziert wird (siehe Faktorregel).

Besondere Ableitungen Das Wichtigste

Besondere Ableitungen

Bei einer einfachen Wurzelfunktion verwendet man zum Ableiten die Potenzregel. Wenn die Wurzelfunktion jedoch mehr als ein x als Argument besitzt, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen.

Die e-Funktion, auch Exponentialfunktion genannt, entspricht dem Wert e=2,7182.

Eine Polynomfunktion besteht aus einer Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Hochzahlen. Das heißt ein Polynom ist ein mehrgliedriger Term, wobei man zwischen dem linearen Polynom (Polynom 1. Grades), dem quadratischen Polynom (Polynom 2. Grades) und dem kubischen Polynom (Polynom 3. Grades) unterscheidet.

Finales Besondere Ableitungen Quiz

Frage

Inwiefern sind Logarithmusfunktionen differenzierbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Logarithmusfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich R+ differenzierbar.

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Frage

Wann liegt ein Tiefpunkt vor?

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Antwort

VZW von − nach + : relatives Minimum bei x0

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Frage

Untersuche die Funktion f(x)=ln(x²+3) auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte.

(Hinweis: die 3. Ableitung von f lautet (4x³-36x)/(x²+3)³)

Antwort anzeigen

Antwort

Keine Nullstellen.

Minimum bei x=0

Wendepunkte bei x=√3 , x= -√3


Frage anzeigen

Frage

Was ist eine gebrochen rationale Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, welche sich als Bruch darstellen lässt. Dabei besteht sowohl der Zähler als auch der Nenner aus Polynome. Insgesamt unterscheidet man zwischen echt und unecht gebrochen rationale Funktionen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine gebrochen rationale Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, welche sich als Bruch darstellen lässt. Dabei besteht sowohl der Zähler als auch der Nenner aus Polynome. Insgesamt unterscheidet man zwischen echt und unecht gebrochen rationale Funktionen.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Funktion echt gebrochen rational?


Antwort anzeigen

Antwort

Eine Funktion ist echt gebrochen rationale, wenn die Nennerfunktion ein größeres Polynom besitzt als die Zählerfunktion.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Funktion unecht gebrochen rational?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Funktion ist unecht gebrochen rational, wenn die Zählerfunktion ein größeres Polynom besitzt als die Nennerfunktion.

Frage anzeigen

Frage

Wozu braucht man die Ableitung von gebrochen rationalen Funktionen bei der Kurvendiskussion?

Antwort anzeigen

Antwort

Man benötigt die Ableitung von gebrochen rationale Funktion zur Berechnung der Extremwerte , um das Steigungsverhalten und Krümmungsverhalten der Funktion festzustellen.

Frage anzeigen

Frage

Mit welchem Hilfsmittel lässt sich die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion herleiten?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit Hilfe des Differentialquotienten.

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussage ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn du den Kosinus ableitest erhältst du den Sinus.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Eselsbrücke, um die e-Funktion abzuleiten.

Antwort anzeigen

Antwort

Bleib so wie du bist - so wie die e-Funktion beim Ableiten!

Frage anzeigen

Frage

Wann muss die Kettenregel bei der e-Funktion angewandt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Kettenregel muss immer dann angewandt werden, wenn im Exponenten der e-Funktion nicht nur "x" steht.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird eine Polynomfunktion noch genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

ganzrationale Funktion

Frage anzeigen

Frage

Welche Teile hat eine Polynomfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Polynom (Term) bestehend aus Koeffizienten, Variablen und Exponenten

Frage anzeigen

Frage

Wie bestimmt man den Grad einer Polynomfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Grad einer Polynomfunktion ist sein höchster Exponent.

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Nullstellen kann eine Polynomfunktion mit dem Grad 6 höchstens haben?

Antwort anzeigen

Antwort

Höchstens 6 Nullstellen

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnest du die Nullstellen von Polynomfunktionen mit Grad 3 oder höher?

Antwort anzeigen

Antwort

Polynomdivision

Frage anzeigen

Frage

Nenne wichtige Ableitungsregeln für die Ableitung von Polynomfunktionen.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Faktorregel
  • Potenzregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
Frage anzeigen

Frage

Um wie viel verringert sich der Grad der Ableitung einer Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei jeder Ableitung um 1.

Frage anzeigen

Frage

Zu welchem Teilgebiet der Mathematik gehört das Ableiten?

Antwort anzeigen

Antwort

Analysis

Frage anzeigen

Frage

Wofür brauchst du die Nullstellen der ersten Ableitung einer Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Berechnung von Extrema.

Frage anzeigen

Frage

Wofür brauchst du die zweite Ableitung von Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Berechnung der Wendepunkte und Klassifikation der Extrema.

Frage anzeigen

Frage

Mit welchen Schritten wird die Kettenregel angewendet?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Zuerst musst du die innere und die äußere Funktion definieren.

  • Dann muss jeweils die Ableitung der inneren und äußeren Funktion gebildet werden.

  • Zum Schluss müssen die Ableitungen und die Funktionen eingesetzt werden, um die gesamte Ableitung zu erhalten.

Frage anzeigen

Frage

Bei welchen Funktionen macht die Ableitung über die Umkehrfunktion sinn?

Antwort anzeigen

Antwort

hyperbolische Funktionen

Frage anzeigen

Frage

Muss eine Funktion immer f(x) heißen?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, Du kannst auch jeden beliebigen anderen Buchstaben anstatt f nehmen.

Frage anzeigen

Frage

Was ändert sich, wenn Du eine Funktion umdrehst?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Umkehrfunktion ordnet die Variablen umgekehrt zu. Das heißt, während die Funktion f(x)  jedem x-Wert einen y-Wert zuordnet, tut es die Umkehrfunktion genau anders herum.

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften muss eine Funktion haben, damit sie umgekehrt werden kann?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Funktion muss durchgehend differenzierbar und an jeder Stelle im Definitionsbereich eindeutig sein, damit sie umgekehrt werden kann.

Frage anzeigen

Frage

Wie gehst Du vor, wenn Du eine Funktion umkehren willst?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Ersetze f(x) durch y.
  2. Löse die Funktion nach x auf.
  3. Ersetze jedes x durch ein y und umgekehrt.
  4. Ersetze x durch f-1(x).
Frage anzeigen

Frage

Was fällt auf, wenn Du f(x) und f-1(x) in ein Koordinatensystem einzeichnest?

Antwort anzeigen

Antwort

f-1(x) ist die Spiegelung von f(x) an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten.

Frage anzeigen

Frage

Mit der Umkehrregel kannst Du die Ableitung der Umkehrfunktion berechnen. Was bringt Dir das?

Antwort anzeigen

Antwort

Du kannst die Umkehrfunktion und die ursprüngliche Funktion vertauschen und somit die Ableitung der ursprünglichen Funktion berechnen. Auf diesem Weg kannst Du beispielsweise die Ableitung der Logarithmusfunktion oder einer Wurzel berechnen.

Frage anzeigen
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