Quotientenregel

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Die Quotientenregel ist eine der praktischsten, aber auch gleich eine der schwieriger zu merkenden Ableitungsregeln. Mit ihr kannst Du, wie der Name schon sagt, die Ableitung von Quotienten bilden. Die Formel für die Quotientenregel, sowie alle ihre geläufigen Anwendungen findest Du in dieser Erklärung.

Quotientenregel Ableitung – Definition

Die Quotientenregel kann bei Funktionen $f(x)$ angewandt werden, die in Form eines Quotienten vorliegen. \[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\] Wobei $u(x)$ und $v(x)$ beliebige Funktionen sind und $v(x) \neq 0$ gelten muss.

Die Ableitung $f'(x)$ wird dann nach folgender Regel gebildet\[f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{u(x)^2}\] Dabei sind $u'(x)$ und $v'(x)$ jeweils die Ableitungen des Zählers und Nenners von $f(x)$.

Merkhilfe:

Eselsbrücke: $N \cdot A Z - Z \cdot A N$ durch $N^{2}$
Bedeutung/Gesprochen: Nenner mal Ableitung des Zählers, minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch den Nenner ins Quadrat.

Quotientenregel Ableitung – Anwendung Beispiel

Eine gebrochen-rationale Funktion $f (x)$ lässt sich wie folgt mit der Quotientenregel ableiten.

Aufgabe 1

Bilde die Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ , wobei $x \neq - \frac{1}{5}$ ist.

Lösung

Identifiziere zuerst die Funktion im Zähler $u (x)$ und die im Nenner $v (x)$ .

$\begin{array}{rcl} u (x) & = & 2 x - 3 \\ v (x) & = & 5 x + 1 \end{array}$

Bilde davon jeweils die Ableitung $u' (x)$ und $v' (x)$ .

$\begin{array}{rcl} u' (x) & = & 2 \\ v' (x) & = & 5 \end{array}$

Nutzt Du anschließend die Formel der Quotientenregel und vereinfachst den Ausdruck, erhältst Du folgende Lösung.

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{u' (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v' (x)}{v^{2} (x)} \\ = & \frac{2 \cdot (5 x + 1) - (2 x - 3) \cdot 5}{{(5 x + 1)}^{2}} \\ = & \frac{10 x + 2 - (10 x - 15)}{{(5 x + 1)}^{2}} \\ = & \frac{10 x + 2 - 10 x + 15}{{(5 x + 1)}^{2}} \\ = & \frac{17}{{(5 x + 1)}^{2}} \end{array}$

Nun kennst Du bereits die Formel der Quotientenregel. Doch warum gilt die Quotientenregel überhaupt? Interessiert Dich die Herleitung der Quotientenregel? Dann findest Du die Antworten in der nachfolgenden Vertiefung. Überspringe diesen Abschnitt gerne, wenn Du direkt zu den Beispielen und Aufgaben möchtest.

Ableitung Quotientenregel – Beweis

Der Beweis der Quotientenregel wird mithilfe der Produktregel hergeleitet.

Zur Erinnerung:

Produktregel: $f (x) = g (x) \cdot h (x) \overset{a b l e i t e n}{\to} f' (x) = g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x)$

Jede Funktion $f (x)$ , die als Quotient dargestellt ist, mit $f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}$ kann auch als Produkt geschrieben werden.

$f (x) = u (x) \cdot {(v (x))}^{- 1}$

Wird nun diese Funktion $f (x)$ abgeleitet, kann die Produktregel angewandt werden. Dazu werden zuerst die Funktionen $g (x)$ und $h (x)$ für die Produktregel identifiziert.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & u (x) \\ h (x) & = & (v {(x))}^{- 1} \end{array}$

Anschließend werden wieder die Ableitungen $g' (x)$ und $h' (x)$ benötigt. Dazu brauchst Du bei der Funktion $h (x)$ die Kettenregel.

Zur Erinnerung:

Kettenregel: $f (x) = g (h (x)) \overset{a b l e i t e n}{\to} f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)$

Damit ergeben sich folgende Ableitungen.

$\begin{array}{rcl} g' (x) & = & u' (x) \\ h' (x) & = & - 1 \cdot {(v (x))}^{- 2} \cdot v' (x) = - \frac{v' (x)}{v^{2} (x)} \end{array}$

Mithilfe der Ableitungen $\begin{array}{rcl} g' (x) \end{array}$ und $\begin{array}{rcl} h' (x) \end{array}$ ergibt sich folgender gesamter Ausdruck, den Du noch vereinfachen kannst.

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x) \\ = & u' (x) \cdot {(v (x))}^{- 1} + u (x) \cdot (- \frac{v' (x)}{v^{2} (x)}) \\ = & \frac{u' (x)}{v (x)} - \frac{u (x) \cdot v' (x)}{v^{2} (x)} \\ = & \frac{u' (x) \cdot v (x)}{v (x) \cdot v (x)} - \frac{u (x) \cdot v' (x)}{v^{2} (x)} \\ = & \frac{u' (x) \cdot v (x)}{v^{2} (x)} - \frac{u (x) \cdot v' (x)}{v^{2} (x)} \\ = & \frac{u' (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v' (x)}{v^{2} (x)} \end{array}$

Tipp:

Wenn Du Dir die Quotientenregel nicht merken möchtest, kannst Du den Quotienten immer in ein Produkt umschreiben und somit statt der Quotientenregel die Produktregel nutzen.

Quotientenregel Ableitung – Übungsaufgaben

Zum Abschluss kannst Du jetzt das erlernte Wissen auf die Probe stellen und die folgenden Übungsaufgaben lösen. Nutze gerne Deine eigene Formelsammlung aus der Schule, wenn Du eine benutzen darfst!

Quotientenregel Ableitung – Übungsaufgabe 1. Ableitung

Aufgabe 2

Berechne die Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \frac{π x}{\sqrt{x}}$ , wobei $x \neq 0$ ist.

Lass Dich durch das π nicht verwirren. Das kann wie eine normale Zahl behandelt werden.

Lösung

Zuerst kannst Du die Funktion im Zähler $u (x)$ und die Funktion im Zähler $v (x)$ identifizieren.

$\begin{array}{rcl} u (x) & = & πx \\ v (x) & = & \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \end{array}$

Im nächsten Schritt bildest Du jeweils die Ableitungen $u' (x)$ und $v' (x)$ davon. Bei der Funktion $v (x)$ wird die Kettenregel angewandt.

Zur Erinnerung:

Kettenregel: $f (x) = g (h (x)) \overset{a b l e i t e n}{\to} f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)$

$\begin{array}{rcl} u' (x) & = & π \\ v' (x) & = & \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{array}$

Zusammengeführt ergibt es folgende gesamte Ableitung $f' (x)$ .

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{u' (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v' (x)}{v^{2} (x)} \\ = & \frac{π \cdot \sqrt{x} - πx \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} \end{array}$

Den Ausdruck $π x \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}}$ kannst Du mithilfe von Potenzgesetzen zusammenfassen, indem die Exponenten addiert werden.

Zur Erinnerung:

Potenzgesetz: $a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{π \cdot \sqrt{x} - {πx}^{(1 + - \frac{1}{2})} \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} \\ = & \frac{π \cdot \sqrt{x} - {πx}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} \\ = & \frac{π \cdot \sqrt{x} - π \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} \\ = & \frac{π - \frac{1}{2} π}{\sqrt{x}} \\ = & \frac{π}{2 \sqrt{x}} \end{array}$

Da Du Dich jetzt intensiv mit dem Thema Quotientenregel auseinandergesetzt hast, kannst Du Deine Hausaufgabe im Nu lösen.

Quotientenregel Ableitung – Übungsaufgabe 2. Ableitung

Eingangsaufgabe

Bilde die Ableitung $f' (x)$ und die zweite Ableitung $f'' (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \frac{x^{2} + 3}{e^{2 x}}$ .

Lösung

Identifiziere wieder zuerst die Funktion im Zähler $u (x)$ und die im Nenner $v (x)$ .

$\begin{array}{rcl} u (x) & = & x^{2} + 3 \\ v (x) & = & e^{2 x} \end{array}$

Als Nächstes bildest Du wieder jeweils die Ableitung davon.

$\begin{array}{rcl} u' (x) & = & 2 x \\ v' (x) & = & 2 \cdot e^{2 x} \end{array}$

Wendest Du nun die Formel der Quotientenregel an, erhältst Du folgende erste Ableitung $f' (x)$ .

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{u' (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v' (x)}{v^{2} (x)} \\ = & \frac{2 x \cdot e^{2 x} - (x^{2} + 3) \cdot 2 \cdot e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot e^{2 x}} \\ = & \frac{2 x - (2 x^{2} + 6)}{e^{2 x}} \\ = & \frac{2 x - 2 x^{2} - 6}{e^{2 x}} \end{array}$

Um die zweite Ableitung $f'' (x)$ zu bilden, bildest Du die Ableitung der ersten Ableitung $f' (x) \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} \frac{2 x - 2 x^{2} - 6}{e^{2 x}} \end{array}$ . Hierbei identifizierst Du wieder zuerst die Funktion im Zähler $u_{1} (x)$ und die im Nenner $v_{1} (x)$ .

$\begin{array}{rcl} u_{1} (x) & = & 2 x - 2 x^{2} - 6 \\ v_{1} (x) & = & e^{2 x} \end{array}$

Bilde davon jeweils die Ableitungen $u_{1}' (x)$ und $v_{1}' (x)$ .

$\begin{array}{rcl} u_{1}' (x) & = & 2 - 4 x \\ v_{1}' (x) & = & 2 \cdot e^{2 x} \end{array}$

Setzt Du jetzt alles in die Formel für die Quotientenregel ein, erhältst Du folgende zweite Ableitung $f'' (x)$ .

$\begin{array}{rcl} f'' (x) & = & \frac{u_{1}' (x) \cdot v_{1} (x) - u_{1} (x) \cdot v_{1}' (x)}{{v_{1}}^{2} (x)} \\ = & \frac{(2 - 4 x) \cdot e^{2 x} - (2 x - 2 x^{2} - 6) \cdot 2 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot e^{2 x}} \\ = & \frac{2 - 4 x - 4 x + 4 x^{2} + 12}{e^{2 x}} \\ = & \frac{14 - 8 x + 4 x^{2}}{e^{2 x}} \end{array}$

Quotientenregel – Das Wichtigste

Die Quotientenregel wird angewandt bei Funktionen der Form $f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}$ , wobei $v (x) \neq 0$ sein muss.
Die Quotientenregel lautet: fx=uxvx→ableitenf'(x)=u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)v2(x)
- Eselsbrücke: $N \cdot A Z - Z \cdot A N$ durch $N^{2}$
  - Bedeutung/Gesprochen: Nenner mal Ableitung des Zählers, minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch den Nenner ins Quadrat.
Wenn Du Dir die Quotientenregel nicht merken möchtest, kannst Du den Quotienten immer in ein Produkt umschreiben und somit statt der Quotientenregel die Produktregel nutzen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Quotientenregel

Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:

f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v²(x)

Die Quotientenregel kann immer dann angewandt werden, wenn eine Funktion f(x) = u(x) : v(x) gegeben ist, wobei v(x) ungleich 0 sein muss.

Also besteht die Funktion aus einem Quotienten bzw. Bruch.

Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:

f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v²(x)

Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:

f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v²(x)

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