Die Quotientenregel ist eine der praktischsten, aber auch gleich eine der schwieriger zu merkenden Ableitungsregeln. Mit ihr kannst Du, wie der Name schon sagt, die Ableitung von Quotienten bilden. Die Formel für die Quotientenregel, sowie alle ihre geläufigen Anwendungen findest Du in dieser Erklärung.
Quotientenregel Ableitung – Definition
Die Quotientenregel kann bei Funktionen \(f(x)\) angewandt werden, die in Form eines Quotienten vorliegen. \[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\] Wobei \(u(x)\) und \(v(x)\) beliebige Funktionen sind und \(v(x) \neq 0\) gelten muss.
Die Ableitung \(f'(x)\) wird dann nach folgender Regel gebildet\[f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{u(x)^2}\] Dabei sind \(u'(x)\) und \(v'(x)\) jeweils die Ableitungen des Zählers und Nenners von \(f(x)\).
Merkhilfe:
- Eselsbrücke:
durch 
- Bedeutung/Gesprochen: Nenner mal Ableitung des Zählers, minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch den Nenner ins Quadrat.
Quotientenregel Ableitung – Anwendung Beispiel
Eine gebrochen-rationale Funktion 
lässt sich wie folgt mit der Quotientenregel ableiten.
Aufgabe 1
Bilde die Ableitung 
der Funktion 
mit 
, wobei 
ist.
Lösung
Identifiziere zuerst die Funktion im Zähler 
und die im Nenner 
.
Bilde davon jeweils die Ableitung 
und 
.
Nutzt Du anschließend die Formel der Quotientenregel und vereinfachst den Ausdruck, erhältst Du folgende Lösung.
Nun kennst Du bereits die Formel der Quotientenregel. Doch warum gilt die Quotientenregel überhaupt? Interessiert Dich die Herleitung der Quotientenregel? Dann findest Du die Antworten in der nachfolgenden Vertiefung. Überspringe diesen Abschnitt gerne, wenn Du direkt zu den Beispielen und Aufgaben möchtest.
Ableitung Quotientenregel – Beweis
Der Beweis der Quotientenregel wird mithilfe der Produktregel hergeleitet.
Jede Funktion 
, die als Quotient dargestellt ist, mit 
kann auch als Produkt geschrieben werden.
Wird nun diese Funktion 
abgeleitet, kann die Produktregel angewandt werden. Dazu werden zuerst die Funktionen 
und 
für die Produktregel identifiziert.
Anschließend werden wieder die Ableitungen 
und 
benötigt. Dazu brauchst Du bei der Funktion 
die Kettenregel.
Damit ergeben sich folgende Ableitungen.
Mithilfe der Ableitungen 
und 
ergibt sich folgender gesamter Ausdruck, den Du noch vereinfachen kannst.
Tipp:
Wenn Du Dir die Quotientenregel nicht merken möchtest, kannst Du den Quotienten immer in ein Produkt umschreiben und somit statt der Quotientenregel die Produktregel nutzen.
Quotientenregel Ableitung – Übungsaufgaben
Zum Abschluss kannst Du jetzt das erlernte Wissen auf die Probe stellen und die folgenden Übungsaufgaben lösen. Nutze gerne Deine eigene Formelsammlung aus der Schule, wenn Du eine benutzen darfst!
Quotientenregel Ableitung – Übungsaufgabe 1. Ableitung
Aufgabe 2
Berechne die Ableitung 
der Funktion 
mit 
, wobei 
ist.
Lass Dich durch das π nicht verwirren. Das kann wie eine normale Zahl behandelt werden.
Lösung
Zuerst kannst Du die Funktion im Zähler 
und die Funktion im Zähler 
identifizieren.
Im nächsten Schritt bildest Du jeweils die Ableitungen 
und 
davon. Bei der Funktion 
wird die Kettenregel angewandt.
Zusammengeführt ergibt es folgende gesamte Ableitung 
.
Den Ausdruck 
kannst Du mithilfe von Potenzgesetzen zusammenfassen, indem die Exponenten addiert werden.
Zur Erinnerung:
- Potenzgesetz:
Da Du Dich jetzt intensiv mit dem Thema Quotientenregel auseinandergesetzt hast, kannst Du Deine Hausaufgabe im Nu lösen.
Quotientenregel Ableitung – Übungsaufgabe 2. Ableitung
Eingangsaufgabe
Bilde die Ableitung 
und die zweite Ableitung 
der Funktion 
mit 
.
Lösung
Identifiziere wieder zuerst die Funktion im Zähler 
und die im Nenner 
.
Als Nächstes bildest Du wieder jeweils die Ableitung davon.
Wendest Du nun die Formel der Quotientenregel an, erhältst Du folgende erste Ableitung 
.
Um die zweite Ableitung 
zu bilden, bildest Du die Ableitung der ersten Ableitung 
. Hierbei identifizierst Du wieder zuerst die Funktion im Zähler 
und die im Nenner 
.
Bilde davon jeweils die Ableitungen 
und 
.
Setzt Du jetzt alles in die Formel für die Quotientenregel ein, erhältst Du folgende zweite Ableitung 
.
Quotientenregel – Das Wichtigste
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, wobei 
sein muss.
durch 
