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Quotientenregel

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Mathe

Die Ableitungsregel von Quotienten

Funktionen, die Prozesse beschreiben sind meist von der Form eines Quotienten. Das sind also Brüche, die sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Funktion zu stehen haben.

Ein Quotient, bestehend aus zwei beliebigen Funktionen Quotientenregel Funktion StudySmarter und Quotientenregel Funktion StudySmarter, wobei Quotientenregel Funktion ungleich null StudySmarter, ist von der Form:

Quotientenregel Funktionsgleichung Quotient StudySmarter

Die Funktion, die im Nenner auftritt darf nicht 0 werden, da du sonst durch 0 teilen würdest, weil der Bruch nichts anderes als eine Division ist und durch 0 darf nicht geteilt werden!

Beweis der Quotientenregel

Im vorherigen Abschnitt wurde die Quotientenregel als gegeben eingeführt, damit du erst einmal ein paar Beispiele sehen kannst und erkennst warum diese so unglaublich nützlich ist. Hier werden dir zwei Varianten präsentiert, wie die Quotientenregel bewiesen werden kann

Herleitung über die Produktregel

Du musst die Quotientenregel nicht umständlich beweisen, wie es später noch gezeigt wird. Denn du kannst einfach die Produktregel verwenden, um auf die Quotientenregel zu kommen.

Zur Erinnerung: Die Produktregel zur Berechnung der Ableitung einer Funktion lautet:

Zuerst kannst du einen Spezialfall zeigen, den du für den Beweis brauchst.

Dazu wird der folgende Bruch betrachtet:

Diese Funktion soll nun abgeleitet werden. Dazu werden sowohl Reziprokenregel als auch Kettenregel benutzt.

Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung einer verketten Funktion berechnet werden kann durch:

Die Bezeichnungen hier wären:

Die Reziprokenregel besagt nun:

Alles zusammen ergibt die folgende Ableitung.

Zuerst schreibst du die Funktion in allgemeiner Schreibweise hin.

Den Bruch kannst du aber auch schreiben als:

Das ist nun ein Produkt und kein Quotient mehr. Also darfst du die Produktregel verwenden:

Die Ableitung des letzten Bruchs ist nun genau das Gleiche wie der Spezialfall! Also kannst du die Ableitung von oben einsetzen.

Nun erweiterst du den ersten Term mit v(x) und kannst dann alles auf einen Bruch bringen.

Dies ist die Quotientenregel!

Herleitung der Quotientenregel mit der h-Methode

In diesem Schritt kannst du den Beweis der Quotientenregel mit der h-Methode dir anschauen und nachvollziehen.

Dazu wird von der allgemeinen Schreibweise eines Bruches mit zwei Funktionen ausgegangen, also:

Nach der h-Methode berechnet sich die Ableitung einer Funktion durch:

Nun setzt du die allgemeine Form des Quotienten in die Gleichung ein.

Damit hier nun nicht immer Doppelbrüche stehen, schreiben wir den Nenner multiplikativ vor den anderen Bruch:

Nun vereinfachst du den Term der in der Klammer steht. Dazu bringst du erst einmal alles auf einen gemeinsamen Nenner. Dazu multiplizierst du den vorderen Term mit dem Nenner des zweiten Terms und den hinteren Term mit dem Nenner des ersten Terms.

Nun wird ein weiterer Term eingeschoben, ähnlich wie du es auch von den quadratischen Ergänzungen schon kennst. Das Eingefügte ergibt 0, daher kannst du das einfach einschieben, ohne dass sich etwas am Ergebnis ändert. Erscheint im ersten Moment sinnlos, hilft dir aber bei den weiteren Umformungen!

Das Blau markierte ist der eingefügte Nullterm. Du kannst es dir vorstellen, als wenn du eine Zahl minus die gleiche Zahl rechnest, das ist immer 0 und funktioniert bei Funktionen genau gleich.

Nun kann geschickt ausgeklammert werden:

Anschließend kannst du im zweiten Term noch ein minus ausklammern, so dass dort dann ein minus steht, dann drehen sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer um, also:

Vorhin wurde der Nenner multiplikativ davor geschrieben. Nun bringst du diesen zurück und schreibst den anderen Nenner vor den großen Bruch.

Nun werden Grenzwertsätze angewandt, um die einzelnen Grenzwerte zu berechnen.

Nun ist innerhalb der einzelnen Grenzwertberechnungen teilweise Terme dabei, die unabhängig von h sind. Diese können also einfach rausgezogen werden:

Den letzten Summanden kannst du noch etwas einfacher schreiben, indem die Reihenfolge geändert wird.

In der Klammer stehen aber nun die Differentialquotienten der jeweiligen Funktionen. Diese kannst du also einfach als Ableitung hinschreiben:

Nun fehlt noch der Grenzwert des ersten Terms. Wenn h gegen 0 verläuft, dann ist , also:

Übungsbeispiele zur Quotientenregel

Zum Abschluss kannst du jetzt selbst das gerade erlernte Wissen auf die Probe stellen und die folgenden Übungsaufgaben lösen. Am besten schaust du nicht gleich in die Lösung, sondern versucht erst einmal selber auf einem Blatt die Aufgaben zu lösen!

Aufgabe

Berechne die Ableitung der folgenden Funktion!

Lösung

Eingesetzt ergibt das:

Add your text here...

2. Beispielaufgabe

Unsere Funktion lautet:

a) Einzelfunktionen und ihre Ableitungen:

b) Mit der Quotientenregel erhält man:

3. Beispielaufgabe

Unsere Funktion lautet:

a) Einzelfunktionen und ihre Ableitungen:

b) Mit der Quotientenregel erhält man:

Für verschiedene Arten von Funktionen brauchst du verschiedene Ableitungsregeln. Eine Funktion kann auch durch die Division zweier Funktionen g(x) und h(x) entstehen. Eine Funktion dieser Art kannst du mithilfe der Quotientenregel differenzieren.

Das ganze haben wir an Beispielen weiter unten verdeutlicht, denn eigentlich ist die Quotientenregel einfacher als sie auf den ersten Blick aussieht.

Die Ableitungsregel

Werden zwei Funktionen g(x) und h(x) durcheinander dividiert, entsteht eine neue Funktion f(x). Es steht als sowohl im Zähler als auch im Nenner ein “x”. Diese Funktion kannst du mithilfe der Quotientenregel ableiten.

Diese Regel ist insbesondere für das Differenzieren von gebrochen-rationalen Funktionen wichtig. Zur Erinnerung: Wenn zwei ganzrationale Funktionen dividiert werden, nennt man ihren Quotienten: gebrochen-rationale Funktion

Die Ableitungsregel für Quotientenfunktionen der Form mit h(x)≠0 (Durch 0 darf nie geteilt werden!) lautet:

In Kurzform:

Am besten leitest du g(x) und h(x) einzeln ab und setzt diese dann in die Quotientenregel ein. So vermeidest du unnötige Fehler

Beispielaufgaben

In den folgenden Übungsaufgaben zur Quotientenregel wird auf die anderen Ableitungsregeln zurückgegriffen. Falls du diese Regeln nicht mehr im Kopf haben solltest, dann schau dir doch noch unsere anderen Seiten dazu an.

1. Beispielaufgabe

Unsere Funktion lautet:

a) Zuerst leiten wir die Funktionen g(x) und h(x), also den Zähler und den Nenner, ab:

b) Jetzt setzen wir die einzelnen Teilfunktionen in die Formel ein:

2. Beispielaufgabe

Unsere Funktion lautet:

a) Einzelfunktionen und ihre Ableitungen:

b) Mit der Quotientenregel erhält man:

3. Beispielaufgabe

Unsere Funktion lautet:

a) Einzelfunktionen und ihre Ableitungen:

b) Mit der Quotientenregel erhält man:

4. Beispielaufgabe

Unsere Funktion lautet:

a) Einzelfunktionen und ihre Ableitungen:

b) Mit der Quotientenregel erhält man:

Quotientenregel - Das wichtigste auf einen Blick

  • Falls im Zähler UND im Nenner einer Funktion ein ”x” vorkommt, muss diese Regel angewendet werden.
  • Hier musst du zwei Schritte beachten:
  1. Bilde zunächst die Ableitungen der Teilfunktionen g(x) und h(x)
  2. Setze die einzelnen Teilfunktionen in die Formel ein:

Unser Tipp für Euch

Mit dieser Merkhilfe könnt ihr euch diese etwas kompliziertere Regel ganz leicht merken. Die Regel lautet ausgesprochen “Nenner mal Ableitung Zähler minus Zähler mal Ableitung Nenner durch Nenner ins Quadrat”. Wenn wir das abkürzen, erhalten wir: “NAZ - ZAN durch Nenner ins Quadrat”. Das können wir uns sehr leicht merken.

Quotientenregel

x

Du kannst die Quotientenregel immer dann anwenden, wenn du einen Bruch gegeben hast, bei dem sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Funktion steht (also ein x vorkommt).

x

x

Finales Quotientenregel Quiz

Frage

Berechne die erste Ableitung zu folgenden Funktionen!


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Gib die erste Ableitung folgender Funktion an:



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die ersten 5 Ableitungen der folgenden Funktion



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung der folgenden Funktionen:



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne die erste Ableitung von f(x)!


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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne die erste Ableitung von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung der Funktion f(x)!


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Antwort


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Frage

Berechne die erste Ableitung von f(x)!

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Antwort


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Frage

Berechne die erste Ableitung von f(x)!


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Antwort


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Frage

Berechne die erste Ableitung der Funktion von f(x)!

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Antwort


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Frage

Berechne die erste Ableitung von f(x)!

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Antwort


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Frage

Bilde die erste Ableitung der Funktion!

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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung der folgenden Funktionen:

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung der Funktion f!


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Antwort


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Frage

Berechne die erste Ableitung der Funktion f!


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Antwort


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Frage

Berechne die erste Ableitung von f(x)!



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Antwort


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Frage

Bilde die  erste Ableitung der folgenden Funktionen:


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Antwort


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Frage

Berechne die erste Ableitung!


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Antwort


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Frage

Bestimme die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel!



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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bilde mit Hilfe der Quotientenregel die erste Ableitung!


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Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel!

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Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel!




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Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne die erste Ableitung von f(x)!


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Antwort

Frage anzeigen

Frage

Leite mit Hilfe der Quotientenregel ab!

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Antwort


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Frage

Berechne die erste Ableitung von f(x)!

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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne die erste Ableitung der Funktion f!

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Antwort


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Frage

Bestimme die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel!

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Antwort


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Frage

Bestimme die Ableitung von


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Antwort


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Frage

Bestimme die Ableitung von



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Antwort


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Frage

Wie lautet die Quotientenregel?

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Antwort

Quotientenregel



Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Quotientenregel?

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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:


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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f'(x). Um Fehler zu vermeiden, sollten Sie die Ableitungen der Einzelfunktionen u(x) und v(x) zuerst separat aufstellen.

Antwort anzeigen

Antwort

Einzelfunktionen und ihre Ableitungen:

Mit der Quotientenregel erhält man:

Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f'(x). Um Fehler zu vermeiden, sollten Sie die Ableitungen der Einzelfunktionen u(x) und v(x) zuerst separat aufstellen.



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Antwort

Einzelfunktionen und ihre Ableitungen:



Mit der Quotientenregel erhält man:




Frage anzeigen

Frage

Differenzieren Sie die Funktionen mit der Quotientenregel. Um diese Ableitungsregel gezielt zu üben, sollten Sie die gegebenen Funktionsterme nicht vorher umformen.


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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Differenzieren Sie die Funktionen mit der Quotientenregel. Um diese Ableitungsregel gezielt zu üben, sollten Sie die gegebenen Funktionsterme nicht vorher umformen.


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Differenzieren Sie die Funktionen mit der Quotientenregel. Um diese Ableitungsregel gezielt zu üben, sollten Sie die gegebenen Funktionsterme nicht vorher umformen.


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Differenzieren Sie die Funktionen mit der Quotientenregel. Um diese Ableitungsregel gezielt zu üben, sollten Sie die gegebenen Funktionsterme nicht vorher umformen.



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Antwort


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Frage

Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Antwort


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Frage

Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Antwort


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Frage

Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Antwort


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Frage

Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!



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Antwort


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Frage

Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Antwort


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Frage

Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Antwort


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Frage

Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Frage

Bestimme die Ableitung von f(x)



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Antwort


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Frage

Bestimme die Ableitung von f(x)



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