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Du sitzt an Deinen Hausaufgaben und hast beispielsweise folgende Funktion vor Dir liegen:
Du sollst davon die erste Ableitung und die zweite Ableitung
bilden. Welche Ableitungsregel kannst Du in so einem Fall anwenden? Zum Glück stößt Du im Internet auf diese Erklärung zur Quotientenregel. Deine Hausaufgaben sind gerettet!
Einige Funktionen bestehen aus einem Quotienten, bei dem sowohl der Zähler als auch der Nenner einen eigenen Funktionsterm enthalten. Um diese Art Funktion ableiten zu können, benötigst Du die Quotientenregel. Doch welche Funktionen lassen sich denn allgemein mit der Quotientenregel ableiten?
Die Quotientenregel kann bei Funktionen angewandt werden, die folgende Form besitzen:
Wobei und
beliebige Funktionen sind und
ist.
Zum Beispiel bestehen gebrochen-rationale Funktionen aus dem Quotienten zweier ganzrationaler Funktionen. Wenn Du also eine gebrochen-rationale Funktion vorliegen hast, kannst Du die Quotientenregel anwenden.
Aber Achtung! Es muss nicht immer eine gebrochen-rationale Funktion sein, um die Quotientenregel anzuwenden. Zum Beispiel kann auch die Funktion mit der Quotientenregel abgeleitet werden.
Wie lautet denn nun die Quotientenregel?
Die Ableitung mithilfe der Quotientenregel einer Funktion
der Form
lautet:
Merkhilfe:
Wie kannst Du die Formel bei der Ableitung einer Funktion anwenden? Zeit für ein Beispiel.
Eine gebrochen-rationale Funktion lässt sich wie folgt mit der Quotientenregel ableiten.
Aufgabe 1
Bilde die Ableitung der Funktion
mit
, wobei
ist.
Lösung
Identifiziere zuerst die Funktion im Zähler und die im Nenner
.
Bilde davon jeweils die Ableitung und
.
Nutzt Du anschließend die Formel der Quotientenregel und vereinfachst den Ausdruck, erhältst Du folgende Lösung.
Nun kennst Du bereits die Formel der Quotientenregel. Doch warum gilt die Quotientenregel überhaupt? Interessiert Dich die Herleitung der Quotientenregel? Dann findest Du die Antworten in der nachfolgenden Vertiefung. Überspringe diesen Abschnitt gerne, wenn Du direkt zu den Beispielen und Aufgaben möchtest.
Der Beweis der Quotientenregel wird mithilfe der Produktregel hergeleitet.
Zur Erinnerung:
Jede Funktion , die als Quotient dargestellt ist, mit
kann auch als Produkt geschrieben werden.
Wird nun diese Funktion abgeleitet, kann die Produktregel angewandt werden. Dazu werden zuerst die Funktionen
und
für die Produktregel identifiziert.
Anschließend werden wieder die Ableitungen und
benötigt. Dazu brauchst Du bei der Funktion
die Kettenregel.
Zur Erinnerung:
Damit ergeben sich folgende Ableitungen.
Mithilfe der Ableitungen und
ergibt sich folgender gesamter Ausdruck, den Du noch vereinfachen kannst.
Tipp:
Wenn Du Dir die Quotientenregel nicht merken möchtest, kannst Du den Quotienten immer in ein Produkt umschreiben und somit statt der Quotientenregel die Produktregel nutzen.
Zum Abschluss kannst Du jetzt das erlernte Wissen auf die Probe stellen und die folgenden Übungsaufgaben lösen. Nutze gerne Deine eigene Formelsammlung aus der Schule, wenn Du eine benutzen darfst!
Aufgabe 2
Berechne die Ableitung der Funktion
mit
, wobei
ist.
Lass Dich durch das π nicht verwirren. Das kann wie eine normale Zahl behandelt werden.
Lösung
Zuerst kannst Du die Funktion im Zähler und die Funktion im Zähler
identifizieren.
Im nächsten Schritt bildest Du jeweils die Ableitungen und
davon. Bei der Funktion
wird die Kettenregel angewandt.
Zur Erinnerung:
Zusammengeführt ergibt es folgende gesamte Ableitung .
Den Ausdruck kannst Du mithilfe von Potenzgesetzen zusammenfassen, indem die Exponenten addiert werden.
Zur Erinnerung:
Da Du Dich jetzt intensiv mit dem Thema Quotientenregel auseinandergesetzt hast, kannst Du Deine Hausaufgabe im Nu lösen.
Eingangsaufgabe
Bilde die Ableitung und die zweite Ableitung
der Funktion
mit
.
Lösung
Identifiziere wieder zuerst die Funktion im Zähler und die im Nenner
.
Als Nächstes bildest Du wieder jeweils die Ableitung davon.
Wendest Du nun die Formel der Quotientenregel an, erhältst Du folgende erste Ableitung .
Um die zweite Ableitung zu bilden, bildest Du die Ableitung der ersten Ableitung
. Hierbei identifizierst Du wieder zuerst die Funktion im Zähler
und die im Nenner
.
Bilde davon jeweils die Ableitungen und
.
Setzt Du jetzt alles in die Formel für die Quotientenregel ein, erhältst Du folgende zweite Ableitung .
Eselsbrücke: durch
Bedeutung/Gesprochen: Nenner mal Ableitung des Zählers, minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch den Nenner ins Quadrat.
Wenn Du Dir die Quotientenregel nicht merken möchtest, kannst Du den Quotienten immer in ein Produkt umschreiben und somit statt der Quotientenregel die Produktregel nutzen.
Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:
f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v2(x)
Die Quotientenregel kann immer dann angewandt werden, wenn eine Funktion f(x) = u(x) : v(x) gegeben ist, wobei v(x) ungleich 0 sein muss.
Die Quotientenregel kann immer dann angewandt werden, wenn eine Funktion f(x) = u(x) : v(x) gegeben ist, wobei v(x) ungleich 0 sein muss.
Also besteht die Funktion aus einem Quotienten bzw. Bruch.
Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:
f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v2(x)
Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:
f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v2(x)
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