Quotientenregel

Die Quotientenregel ist eine der praktischsten, aber auch gleich eine der schwieriger zu merkenden Ableitungsregeln. Mit ihr kannst Du, wie der Name schon sagt, die Ableitung von Quotienten bilden. Die Formel für die Quotientenregel, sowie alle ihre geläufigen Anwendungen findest Du in dieser Erklärung.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Quotientenregel Ableitung – Definition

    Die Quotientenregel kann bei Funktionen \(f(x)\) angewandt werden, die in Form eines Quotienten vorliegen. \[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\] Wobei \(u(x)\) und \(v(x)\) beliebige Funktionen sind und \(v(x) \neq 0\) gelten muss.

    Die Ableitung \(f'(x)\) wird dann nach folgender Regel gebildet\[f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{u(x)^2}\] Dabei sind \(u'(x)\) und \(v'(x)\) jeweils die Ableitungen des Zählers und Nenners von \(f(x)\).

    Merkhilfe:

    • Eselsbrücke: N·AZ-Z·AN durch N2
    • Bedeutung/Gesprochen: Nenner mal Ableitung des Zählers, minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch den Nenner ins Quadrat.

    Quotientenregel Ableitung – Anwendung Beispiel

    Eine gebrochen-rationale Funktion f(x) lässt sich wie folgt mit der Quotientenregel ableiten.

    Aufgabe 1

    Bilde die Ableitung f'(x) der Funktion f(x) mit f(x)=2x-35x+1, wobei x-15 ist.

    Lösung

    Identifiziere zuerst die Funktion im Zähler u(x) und die im Nenner v(x).

    u(x)=2x-3v(x)=5x+1

    Bilde davon jeweils die Ableitung u'(x) und v'(x).

    u'(x)=2v'(x)=5

    Nutzt Du anschließend die Formel der Quotientenregel und vereinfachst den Ausdruck, erhältst Du folgende Lösung.

    f'(x)=u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)v2(x)=2·(5x+1)-(2x-3)·5(5x+1)2=10x+2-(10x-15)(5x+1)2=10x+2-10x+15(5x+1)2=17(5x+1)2

    Nun kennst Du bereits die Formel der Quotientenregel. Doch warum gilt die Quotientenregel überhaupt? Interessiert Dich die Herleitung der Quotientenregel? Dann findest Du die Antworten in der nachfolgenden Vertiefung. Überspringe diesen Abschnitt gerne, wenn Du direkt zu den Beispielen und Aufgaben möchtest.

    Ableitung Quotientenregel – Beweis

    Der Beweis der Quotientenregel wird mithilfe der Produktregel hergeleitet.

    Zur Erinnerung:

    • Produktregel: f(x)=g(x)·h(x)ableitenf'(x)=g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)

    Jede Funktion f(x), die als Quotient dargestellt ist, mit f(x)=u(x)v(x) kann auch als Produkt geschrieben werden.

    f(x)=u(x)·v(x)-1

    Wird nun diese Funktion f(x) abgeleitet, kann die Produktregel angewandt werden. Dazu werden zuerst die Funktionen g(x) und h(x) für die Produktregel identifiziert.

    g(x)=u(x)h(x)=(v(x))-1

    Anschließend werden wieder die Ableitungen g'(x) und h'(x) benötigt. Dazu brauchst Du bei der Funktion h(x) die Kettenregel.

    Zur Erinnerung:

    • Kettenregel: f(x)=g(h(x))ableitenf'(x)=g'(h(x))·h'(x)

    Damit ergeben sich folgende Ableitungen.

    g'(x)=u'(x)h'(x)=-1·v(x)-2·v'(x)=-v'(x)v2(x)

    Mithilfe der Ableitungen g'(x) und h'(x) ergibt sich folgender gesamter Ausdruck, den Du noch vereinfachen kannst.

    f'(x)=g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)=u'(x)·v(x)-1+u(x)·-v'(x)v2(x)=u'(x)v(x)-u(x)·v'(x)v2(x)=u'(x)·v(x)v(x)·v(x)-u(x)·v'(x)v2(x)=u'(x)·v(x)v2(x)-u(x)·v'(x)v2(x)=u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)v2(x)

    Tipp:

    Wenn Du Dir die Quotientenregel nicht merken möchtest, kannst Du den Quotienten immer in ein Produkt umschreiben und somit statt der Quotientenregel die Produktregel nutzen.

    Quotientenregel Ableitung – Übungsaufgaben

    Zum Abschluss kannst Du jetzt das erlernte Wissen auf die Probe stellen und die folgenden Übungsaufgaben lösen. Nutze gerne Deine eigene Formelsammlung aus der Schule, wenn Du eine benutzen darfst!

    Quotientenregel Ableitung – Übungsaufgabe 1. Ableitung

    Aufgabe 2

    Berechne die Ableitung f'(x)der Funktion f(x)mit fx=πxx, wobei x0ist.

    Lass Dich durch das π nicht verwirren. Das kann wie eine normale Zahl behandelt werden.

    Lösung

    Zuerst kannst Du die Funktion im Zähler u(x) und die Funktion im Zähler v(x) identifizieren.

    u(x)=πxv(x)=x=x12

    Im nächsten Schritt bildest Du jeweils die Ableitungen u'(x) und v'(x) davon. Bei der Funktion v(x) wird die Kettenregel angewandt.

    Zur Erinnerung:

    • Kettenregel: f(x)=g(h(x))ableitenf'(x)=g'(h(x))·h'(x)

    u'(x)=πv'(x)=12·x-12=12x

    Zusammengeführt ergibt es folgende gesamte Ableitung f'(x).

    f'(x)=u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)v2(x)=π·x-πx·12·x-12x·x

    Den Ausdruck πx·12·x-12 kannst Du mithilfe von Potenzgesetzen zusammenfassen, indem die Exponenten addiert werden.

    Zur Erinnerung:

    • Potenzgesetz: an·am=an+m

    f'(x)=π·x-πx1+-12·12x·x=π·x-πx12·12x·x=π·x-π·x·12x·x=π-12πx=π2x

    Da Du Dich jetzt intensiv mit dem Thema Quotientenregel auseinandergesetzt hast, kannst Du Deine Hausaufgabe im Nu lösen.

    Quotientenregel Ableitung – Übungsaufgabe 2. Ableitung

    Eingangsaufgabe

    Bilde die Ableitung f'(x) und die zweite Ableitung f''(x) der Funktion f(x) mit f(x)=x2+3e2x.

    Lösung

    Identifiziere wieder zuerst die Funktion im Zähler u(x) und die im Nenner v(x).

    u(x)=x2+3v(x)=e2x

    Als Nächstes bildest Du wieder jeweils die Ableitung davon.

    u'(x)=2xv'(x)=2·e2x

    Wendest Du nun die Formel der Quotientenregel an, erhältst Du folgende erste Ableitung f'(x).

    f'(x)=u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)v2(x)=2x·e2x-x2+3·2·e2xe2x·e2x=2x-2x2+6e2x=2x-2x2-6e2x

    Um die zweite Ableitung f''(x) zu bilden, bildest Du die Ableitung der ersten Ableitung f'(x)=2x-2x2-6e2x. Hierbei identifizierst Du wieder zuerst die Funktion im Zähler u1(x) und die im Nenner v1(x).

    u1(x)=2x-2x2-6v1(x)=e2x

    Bilde davon jeweils die Ableitungen u1'(x) und v1'(x).

    u1'(x)=2-4xv1'(x)=2·e2x

    Setzt Du jetzt alles in die Formel für die Quotientenregel ein, erhältst Du folgende zweite Ableitung f''(x).

    f''(x)=u1'(x)·v1(x)-u1(x)·v1'(x)v12(x)=(2-4x)·e2x-(2x-2x2-6)·2e2xe2x·e2x=2-4x-4x+4x2+12e2x=14-8x+4x2e2x

    Quotientenregel – Das Wichtigste

    • Die Quotientenregel wird angewandt bei Funktionen der Formfx=uxvx, wobei v(x)0sein muss.
    • Die Quotientenregel lautet: fx=uxvxableitenf'(x)=u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)v2(x)
      • Eselsbrücke: N·AZ-Z·AN durch N2

        • Bedeutung/Gesprochen: Nenner mal Ableitung des Zählers, minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch den Nenner ins Quadrat.

    • Wenn Du Dir die Quotientenregel nicht merken möchtest, kannst Du den Quotienten immer in ein Produkt umschreiben und somit statt der Quotientenregel die Produktregel nutzen.

    Häufig gestellte Fragen zum Thema Quotientenregel

    Wie lautet die Quotientenregel? 

    Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:


    f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v2(x)

    Wann kann die Quotientenregel angewandt werden? 

    Die Quotientenregel kann immer dann angewandt werden, wenn eine Funktion f(x) = u(x) : v(x) gegeben ist, wobei v(x) ungleich 0 sein muss.

    Wie wird ein Bruch abgeleitet? 

    Die Quotientenregel kann immer dann angewandt werden, wenn eine Funktion f(x) = u(x) : v(x) gegeben ist, wobei v(x) ungleich 0 sein muss.

    Also besteht die Funktion aus einem Quotienten bzw. Bruch.


    Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:


    f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v2(x)

    Wie wird die Ableitungsfunktion berechnet? 

    Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:


    f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v2(x)

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