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Du sitzt an Deinen Hausaufgaben und hast beispielsweise folgende Funktion 
vor Dir liegen:
Du sollst davon die erste Ableitung
und die zweite Ableitung 
bilden. Welche Ableitungsregel kannst Du in so einem Fall anwenden? Zum Glück stößt Du im Internet auf diese Erklärung zur Quotientenregel. Deine Hausaufgaben sind gerettet!
Einige Funktionen bestehen aus einem Quotienten, bei dem sowohl der Zähler als auch der Nenner einen eigenen Funktionsterm enthalten. Um diese Art Funktion ableiten zu können, benötigst Du die Quotientenregel. Doch welche Funktionen lassen sich denn allgemein mit der Quotientenregel ableiten?
Die Quotientenregel kann bei Funktionen 
angewandt werden, die folgende Form besitzen:
Wobei 
und 
beliebige Funktionen sind und 
ist.
Zum Beispiel bestehen gebrochen-rationale Funktionen aus dem Quotienten zweier ganzrationaler Funktionen. Wenn Du also eine gebrochen-rationale Funktion 
vorliegen hast, kannst Du die Quotientenregel anwenden.
Aber Achtung! Es muss nicht immer eine gebrochen-rationale Funktion sein, um die Quotientenregel anzuwenden. Zum Beispiel kann auch die Funktion 
mit der Quotientenregel abgeleitet werden.
Wie lautet denn nun die Quotientenregel?
Die Ableitung 
mithilfe der Quotientenregel einer Funktion 
der Form
lautet:
Merkhilfe:
durch 
Wie kannst Du die Formel bei der Ableitung einer Funktion anwenden? Zeit für ein Beispiel.
Eine gebrochen-rationale Funktion 
lässt sich wie folgt mit der Quotientenregel ableiten.
Aufgabe 1
Bilde die Ableitung 
der Funktion 
mit 
, wobei 
ist.
Lösung
Identifiziere zuerst die Funktion im Zähler 
und die im Nenner 
.
Bilde davon jeweils die Ableitung 
und 
.
Nutzt Du anschließend die Formel der Quotientenregel und vereinfachst den Ausdruck, erhältst Du folgende Lösung.
Nun kennst Du bereits die Formel der Quotientenregel. Doch warum gilt die Quotientenregel überhaupt? Interessiert Dich die Herleitung der Quotientenregel? Dann findest Du die Antworten in der nachfolgenden Vertiefung. Überspringe diesen Abschnitt gerne, wenn Du direkt zu den Beispielen und Aufgaben möchtest.
Der Beweis der Quotientenregel wird mithilfe der Produktregel hergeleitet.
Zur Erinnerung:
Jede Funktion 
, die als Quotient dargestellt ist, mit 
kann auch als Produkt geschrieben werden.
Wird nun diese Funktion 
abgeleitet, kann die Produktregel angewandt werden. Dazu werden zuerst die Funktionen 
und 
für die Produktregel identifiziert.
Anschließend werden wieder die Ableitungen 
und 
benötigt. Dazu brauchst Du bei der Funktion 
die Kettenregel.
Zur Erinnerung:
Damit ergeben sich folgende Ableitungen.
Mithilfe der Ableitungen 
und 
ergibt sich folgender gesamter Ausdruck, den Du noch vereinfachen kannst.
Tipp:
Wenn Du Dir die Quotientenregel nicht merken möchtest, kannst Du den Quotienten immer in ein Produkt umschreiben und somit statt der Quotientenregel die Produktregel nutzen.
Zum Abschluss kannst Du jetzt das erlernte Wissen auf die Probe stellen und die folgenden Übungsaufgaben lösen. Nutze gerne Deine eigene Formelsammlung aus der Schule, wenn Du eine benutzen darfst!
Aufgabe 2
Berechne die Ableitung 
der Funktion 
mit 
, wobei 
ist.
Lass Dich durch das π nicht verwirren. Das kann wie eine normale Zahl behandelt werden.
Lösung
Zuerst kannst Du die Funktion im Zähler 
und die Funktion im Zähler 
identifizieren.
Im nächsten Schritt bildest Du jeweils die Ableitungen 
und 
davon. Bei der Funktion 
wird die Kettenregel angewandt.
Zur Erinnerung:
Zusammengeführt ergibt es folgende gesamte Ableitung 
.
Den Ausdruck 
kannst Du mithilfe von Potenzgesetzen zusammenfassen, indem die Exponenten addiert werden.
Zur Erinnerung:
Da Du Dich jetzt intensiv mit dem Thema Quotientenregel auseinandergesetzt hast, kannst Du Deine Hausaufgabe im Nu lösen.
Eingangsaufgabe
Bilde die Ableitung 
und die zweite Ableitung 
der Funktion 
mit 
.
Lösung
Identifiziere wieder zuerst die Funktion im Zähler 
und die im Nenner 
.
Als Nächstes bildest Du wieder jeweils die Ableitung davon.
Wendest Du nun die Formel der Quotientenregel an, erhältst Du folgende erste Ableitung 
.
Um die zweite Ableitung 
zu bilden, bildest Du die Ableitung der ersten Ableitung 
. Hierbei identifizierst Du wieder zuerst die Funktion im Zähler 
und die im Nenner 
.
Bilde davon jeweils die Ableitungen 
und 
.
Setzt Du jetzt alles in die Formel für die Quotientenregel ein, erhältst Du folgende zweite Ableitung 
.
, wobei 
sein muss.
Eselsbrücke: 
durch 
Bedeutung/Gesprochen: Nenner mal Ableitung des Zählers, minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch den Nenner ins Quadrat.
Wenn Du Dir die Quotientenregel nicht merken möchtest, kannst Du den Quotienten immer in ein Produkt umschreiben und somit statt der Quotientenregel die Produktregel nutzen.
Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:
f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v2(x)
Die Quotientenregel kann immer dann angewandt werden, wenn eine Funktion f(x) = u(x) : v(x) gegeben ist, wobei v(x) ungleich 0 sein muss.
Die Quotientenregel kann immer dann angewandt werden, wenn eine Funktion f(x) = u(x) : v(x) gegeben ist, wobei v(x) ungleich 0 sein muss.
Also besteht die Funktion aus einem Quotienten bzw. Bruch.
Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:
f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v2(x)
Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:
f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v2(x)
Frage
Nenne die Quotientenregel, wenn die Funktion abgeleitet werden soll.
Antwort
Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion
mit
lautet:
Frage
Gib die Eselsbrücke zur Quotientenregel an.
Antwort
Frage
Gib die Form von Funktionen f(x) an, bei denen die Quotientenregel angewandt werden kann.
Antwort
Die Quotientenregel kann bei Funktionen angewandt werden, die folgende Form besitzen:
Wobei die Funktion sein muss.
Frage
Identifiziere die Funktionen, bei denen die Quotientenregel sinnvoll angewandt werden kann.
Antwort
Frage
Berechne exakt die Ableitung der Funktion
.
Antwort
Die Ableitung lautet:
Frage
Berechne exakt die Ableitung der Funktion
.
Antwort
Die Ableitung lautet:
Frage
Gib die Ableitung der Funktion
an.
Antwort
Frage
Zeige rechnerisch, dass sich die folgende Funktion auch mit der Quotientenregel ableiten lässt.
und
Antwort
Die Funktion besteht aus einem Quotient zweier Funktionsterme. Daher ist die Ableitung auch mit der Quotientenregel möglich, statt der Ableitung über die Potenzregel.
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