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Transformation von Funktionen

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Transformation von Funktionen

Eine Funktion transformieren? Hört sich fast nach science fiction an, oder? Keine Sorge, wenn du ein paar Dinge beachtest, dann kannst auch du Funktionen ganz einfach transformieren.

Funktionen Wiederholung

Bevor wir damit starten zu lernen, worum es sich bei einer Transformation von Funktionen handelt, wiederholen wir kurz ein paar wichtige Funktionen.

Schau dir dazu zunächst einmal die Abbildung 1 an. Dort erkennst du, dass es verschiedene Typen an Graphen von Funktionen gibt. Die einen sind etwas breiter, die anderen etwas schmaler. Sie können auch sich in Höhe oder in ihrer Position nach rechts oder links im Koordinatensystem unterscheiden.

Hier siehst du vier verschiedene Funktionsgraphen im Vergleich. Wie du erkennen kannst, hat jeder Funktionsgraph seinen eigenen speziellen Funktionsterm.

Transformationen von Funktionen, Funktionen im Vergleich, StudySmarterAbbildung 1: Verschiedene Funktionen im Vergleich

Bist du dir nicht mehr ganz sicher, was die verschiedenen Funktionstypen ausmacht? Kein Problem. Lies einfach im entsprechenden Kapitel auf StudySmarter nach.

Transformation von Funktionen

Okay, wir wissen, dass es unterschiedliche Funktionstypen gibt, die sich sowohl graphisch als auch im Funktionsterm voneinander unterscheiden. Und was können wir nun mit diesen Graphen machen? Wir können diese auch transformieren. Was genau das ist und wie das funktioniert, zeigen wir dir in den nächsten Abschnitten.

Transformation einer Funktion – Definition

Wollen wir beispielsweise eine Funktiontransformieren, dann verändern wir sie. Was bedeutet das?

Sehen wir uns zur Erklärung zusammen ein Beispiel an.

Gegeben ist der folgende Funktionsterm einer Funktion

Wir zeichnen die Funktionin ein Koordinatensystem ein.

Transformationen von Funktionen, Graph ganzrationale Funktion, StudySmarterAbbildung 2: Graph der Funktion f(x)

Nehmen wir nun an, dass wir den Graphen der Funktionim Koordinatensystem einfach packen und beliebig im Koordinatensystem verschieben könnten. Damit wäre es möglich, dass wir den Funktionsgraphen der Funktioneinfach um 2 LE (Längeneinheit) nach oben versetzen, so wie beispielsweise in der Abbildung 3 zu sehen ist.

Transformationen von Funktionen, Verschiebung Graph ganzrationale Funktion, StudySmarterAbbildung 3: Verschiebung der Funktion f(x)

Mathematisch gesehen haben wir damit die Funktiontransformiert, indem wir die Position des Graphen im Koordinatensystem verändert haben.

Wie du vorhin bei den verschiedenen Funktionen gesehen hast, hat aber jeder Graph einen speziellen Funktionsterm. Durch die Änderung der Position im Koordinatensystem hat sich nun auch der Funktionsterm verändert. Für die verschobene orange Funktion gilt nun nicht mehr die obige Gleichung. Daher müssen wir sie ebenfalls mit einem neuen Namen versehen. Es ergibt sich damit:

Das Beispiel hat gezeigt, dass wir eine beliebige Funktion f(x) transformieren können, indem wir den Funktionsgraphen im Koordinatensystem beispielsweise verschieben. Dadurch ändert sich sowohl ihre graphische Darstellung, als auch der Funktionsterm.

Wir können das Transformieren einer Funktionalso wie folgt definieren:

Die Transformation einer Funktionentspricht dem Verändern oder Umwandeln einer Funktionzu einer neuen Funktion.

Diese Definition hat unser Beispiel bestätigt. Wir haben durch die Verschiebung der ursprünglichen Funktioneine neue Funktionerhalten. Diese beide Funktionen unterscheiden sich im Funktionsterm und im Graphen.

Dadurch lassen sich Transformationen von Funktionen an unterschiedlichen Stellen durchführen:

Transformationen von Funktionen, Transformationsmöglichkeiten, StudySmarterAbbildung 4: Transformationsmöglichkeiten

Das können wir einmal direkt am Graphen machen oder wir verändern unsere Funktionsgleichung. Natürlich hängen Funktionsterm und Graph eng miteinander zusammen. Wenn wir also das eine ändern, dann ändert sich automatisch auch das andere.

Super, wir wissen damit bereits, was es bedeutet eine Funktion zu transformieren. Neben der Verschiebung gibt es aber noch mehr Möglichkeiten eine Funktionzu transformieren. Sehen wir uns dazu zunächst einmal an, welche Transformationen überhaupt möglich sind.

Transformationen von Funktionen – Arten

Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten, wie wir eine Funktiontransformieren (verändern oder manipulieren) können.

Transformationsmöglichkeiten einer Funktion :

1. Verschiebung einer Funktion

2. Spiegelung einer Funktion

3. Skalierung einer Funktion

4. Kombination der Transformationen

Hört sich jetzt erstmal kompliziert an, oder? Keine Sorge, wir gehen alle Transformationsmöglichkeiten Schritt für Schritt durch, damit du zukünftig ohne Probleme Funktionen transformieren kannst.

Da das Thema Transformation von Funktionen für dich im Mathematikunterricht besonders bei quadratischen Funktionen (Parabeln) eine Rolle spielt, zeigen wir dir für jeden Abschnitt die Transformation allgemein und ebenfalls an Parabeln.

Transformation, Veränderung und Manipulation sind alles drei die gleichen Begriffe!

Funktionen verschieben

Beginnen wir mit einer relativen einfachen Transformation von Funktionen: der Verschiebung. Dies haben wir uns oben in einem Beispiel bereits angesehen. Graphisch nehmen wir einfach unseren Funktionsgraphen und setzen ihn an eine andere Stelle im Koordinatensystem. Dadurch ändert sich natürlich auch der Funktionsterm.

Dabei müssen wir zwischen verschiedenen Verschiebungen unterscheiden:

  • Verschiebung entlang der x-Achse
  • Verschiebung entlang der y-Achse

Den Funktionsgraphen können wir sowohl entlang der x-Achse, als auch entlang der y-Achse verschieben. Zudem ist natürlich auch eine Kombination dieser beiden Positionsänderungen möglich. Dies ist besonders bei quadratischen Funktionen von Bedeutung.

Ganzrationale Funktionen verschieben

Einen Funktionsgraphen graphisch im Koordinatensystem entlang den Koordinatenachsen zu verschieben, sollte kein großes Problem darstellen. Aber was genau passiert am Funktionsterm? Und wie erkennt man die Verschiebung dort?

Sehen wir uns dazu zusammen ein paar Beispiele an.

Verschiebung entlang der x-Achse

Möchten wir eine Funktion f(x) algebraisch entlang der x-Achse verschieben, so muss zu der Variablen x ein Faktor c addiert werden. Wichtig ist dabei zu beachten, ob in die positive oder negative x-Richtung verschoben wird. Dies lässt sich durch den Faktor c steuern.

Verschiebung einer Funktionentlang der x-Achse:

Transformation von Funktionen Formel Verschiebung entlang x-Achse StudySmarter

Transformationen von Funktionen Formel Faktor Verschiebung StudySmarter

Probieren wir es doch an einer beliebigen Funktion aus.

Gegeben ist eine Funktionmit:

Diese Funktion möchten wir nun um 1 LE nach links verschieben. Dazu müssen wir nun in die Formel zur Verschiebung einen positiven Faktor bei x einsetzen. Demnach wird x durchersetzt.

Diesen Funktionsterm der verschobenen Funktionkönnten wir noch weiter auflösen, wir verzichten aber an dieser Stelle darauf.

Beide Funktionsgraphen der Funktionenundzeichnen wir nun in ein Koordinatensystem ein. Dort lässt sich leicht erkennen, ob unser Funktionsgraph wie gewünscht um 1 LE nach links verschoben worden ist.

Transformation von Funktionen, Verschiebung einer Funktion entlang x-Achse, StudySmarterAbbildung 5: Verschiebung f(x) entlang x-Achse

Wie die Abbildung 5 zeigt, wurde durch die algebraische Transformation der Funktionsgraph dementsprechend nach links verschoben.

Ähnlich leicht lassen sich Funktionen entlang der y-Achse verschieben.

Entlang der y-Achse verschieben

Der Unterschied zur vorherigen Verschiebung zeigt sich in der Formel zur Berechnung der Transformation. Diese ist bei der Positionsänderung entlang der zweiten Koordinatenachse wie folgt definiert:

Verschiebung einer Funktionentlang der y-Achse:

Transformation von Funktionen Formel Verschiebung entlang y-Achse StudySmarter

Transformationen von Funktionen Formel Faktor Verschiebung StudySmarter

Anders als bei der Verschiebung entlang der x-Achse wird nun zum Funktionswert der ursprünglichen Funktioneine Konstante dazuaddiert bzw. abgezogen.

Wir sehen uns dazu wieder die Funktionan.

Dieses Mal zeichnen wir den Graphen der Funktion direkt in ein Koordinatensystem ein und ebenfalls eine um 2 LE nach oben verschobene Funktion g(x).

Transformationen von Funktionen, Verschiebung Graph entlang y-Achse, StudySmarterAbbildung 6: Verschiebung f(x) entlang y-Achse

Wie lässt sich diese Verschiebung nach oben mathematisch am Funktionsterm beschreiben? Ganz einfach, indem wir zur ursprünglichen Funktioneinfach 2 LE dazu addieren.

Die Verschiebung mithilfe der Formeln funktioniert natürlich ebenfalls für andere Funktionen wie beispielsweise quadratische Funktionen. Sehen wir uns diese noch einmal genauer an.

Quadratische Funktionen verschieben

Quadratische Funktionen lassen sich im Koordinatensystem als Parabeln darstellen. Diese sollten dir bereits geläufig sein.

Am häufigsten begegnet uns die Normalparabel mit . Diese wollen wir nun entlang der Koordinatenachsen verschieben.

Entlang der x-Achse verschieben

Die Normalparabel ist eine nach oben geöffnete Parabel mit ihrem Scheitelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems. Wir wollen die Parabel um 2 LE nach rechts verschieben. Was müssen wir tun?

Graphisch lässt sich diese Frage relativ leicht beantworten. Wir setzen unseren Scheitelpunkt einfach um 2 LE nach rechts und zeichnen die Parabel erneut. So entsteht das Bild der folgenden Abbildung.

Transformationen von Funktionen, Verschiebung Parabel x-Achse, StudySmarterAbbildung 7: Verschiebung Parabel x-Achse

Was passiert am Funktionsterm? Laut der Formel müsste x in der Gleichung jetzt durchersetzt werden, da eine Verschiebung nach rechts über einen negativen Faktor erfolgen muss.

Und? Haben wir die Normalparabel richtig verschoben? Ja! Die Parabel wurde um 2 LE nach rechts verschoben.

Die quadratischen Funktionen können ebenfalls entlang der y-Achse verschoben werden.

Entlang der y-Achse verschieben

Zur Verschiebung an der y-Koordinatenachse benutzen wir gleich unsere neue Funktion g(x).

Die entlang der x-Achse verschobene Normalparabelwird noch ein weiteres Mal transformiert.

Sie soll um 1 LE nach oben positioniert werden. Laut unserer Formel muss dazu einfach zum Funktionswert der Funktiondie Konstante 1 addiert werden.

Kommt dir diese Darstellungsform bekannt vor? Genau, das ist die sogenannte Scheitelpunktform von quadratischen Funktionen.

Wir zeichnen unsere beiden Funktionsgraphen in das Koordinatensystem und erhalten folgendes Bild.

Transformationen von Funktionen, Verschiebung Parabel y-Achse, StudySmarterAbbildung 8: Verschiebung Parabel y-Achse

Super! Damit kannst du bereits verschiedene Funktionen entlang der Koordinatenachsen verschieben. Es gibt noch weitere Möglichkeiten Funktionen zu transformieren. Eine davon ist die Spiegelung einer Funktion.

Transformation einer Funktion – spiegeln

Spiegelungen kennst du sicher bereits aus der Geometrie, bei denen man verschiedene Figuren an Achsen und Punkten spiegelt. Auch das Spiegeln von Funktionen funktioniert fast identisch.

Dabei wird sozusagen jeder einzelne Punkt auf einer Funktionan einer Achse oder einem Punkt gespiegelt. Die neuen Punkte müssen demnach denselben Abstand zur Achse bzw. zum Punkt haben wie zuvor, nur auf der anderen Seite der Achse bzw. des Punktes.

Für uns relevant sind drei Spiegelungen:

  • Spiegelung an der x-Achse

  • Spiegelung an der y-Achse

  • Spiegelung am Koordinatenursprung

Sehen wir uns alle drei Möglichkeiten zusammen an.

Ganzrationale Funktionen spiegeln

Betrachten wir zunächst wieder eine ganzrationale Funktion. Diese soll an beiden Koordinatenachsen gespiegelt werden und danach noch am Koordinatenursprung. Wie sieht dabei der Funktionsterm aus?

An der x-Achse spiegeln

Für eine Spiegelung einer Funktion f(x) wird der komplette Funktionsterm mit einem negativen Vorzeichen versehen. Es gilt demnach:

Spiegelung einer Funktionan der x-Achse:

Transformationen von Funktionen Formel Spiegelung x-Achse StudySmarter

Überprüfen wir diese algebraische Definition anhand eines Beispiels.

Die gegebene ganzrationale Funktionsoll an der x-Achse gespiegelt werden.

Geometrisch lässt sich das relativ einfach ausführen, indem die Punkte auf der Funktion auf die andere Seite übertragen werden. So entsteht folgende Abbildung, in der die Funktionenundeingezeichnet sind. Die Spiegelachse ist hier noch einmal farblich (türkis) hervorgehoben.

Transformationen von Funktionen, Spiegelung an x-Achse, StudySmarterAbbildung 9: Spiegelung f(x) an x-Achse

Damit wir den zugehörigen Funktionsterm der neuen Funktionermitteln können, müssen wir ein Minus vor die Funktionsetzen.

Achte darauf, dass du Klammern setzt. Sonst erhältst du den falschen Funktionsterm zur Spiegelung.

Die Klammern können wir noch auflösen, indem wir die Vorzeichen des Funktionsterms ändern.

Ganz einfach, oder? Genauso einfach können wir ebenfalls noch die Spiegelung an der y-Achse vornehmen.

An der y-Achse spiegeln

Die Spiegelung einer Funktionan der y-Achse ist definiert durch:

Spiegelung einer Funktionan der y-Achse:

Transformationen von Funktionen Formel Spiegelung y-Achse StudySmarter

Demnach müssen wir im Funktionsterm x durch -x ersetzen. Auch das überprüfen wir an unserem Beispiel.

Für die Spiegelung an der y-Achse verwenden wir wieder unsere Funktionvon oben.

Mithilfe der Formel zur Berechnung des neuen Funktionsterms der Funktionerhalten wir:

Beide Funktionen undzeichnen wir in ein Koordinatensystem ein. Wenn wir richtig gerechnet haben, müsste sich so die Spiegelung an der y-Achse ergeben haben.

Transformationen von Funktionen, Spiegelung an y-Achse, StudySmarterAbbildung 10: Spiegelung f(x) an y-Achse

Eine letzte wichtige Spiegelung einer Funktionfehlt noch: die Spiegelung am Koordinatenursprung.

Am Koordinatenursprung spiegeln

Die Spiegelungen einer Funktion an den Koordinatenachsen fällt unter die Kategorie der Achsenspieglung. Möchten wir eine Funktion am Koordinatenursprung spiegeln, so ist dies eine Punktspiegelung am Punkt.

Spiegelung einer Funktion f(x) am Koordinatenursprung:

Transformationen von Funktionen Formel Spiegelung Koordinatenursprung StudySmarter

Für diese Spiegelungsart werden die algebraischen Transformationen der Spiegelungen an den Koordinatenachsen kombiniert.

Wie sieht nach der Veränderung der Funktionsterm aus? Sehen wir uns das wieder an unserem Beispiel an.

Die Funktionwird am Koordinatenursprung gespiegelt. Gegeben ist:

Für die Transformation wird x durch -x ersetzt und ebenfalls der ganze Term mit einem negativen Vorzeichen versehen.

Zeichnen wir die neu entstandene Funktionzusammen mit der ursprünglichen Funktionins Koordinatensystem ein, so erhalten wir folgende Abbildung.

Transformationen von Funktionen, Spiegelung am Koordinatenursprung, StudySmarterAbbildung 11: Spiegelung am Ursprung

Die Berechnung über die Formel war somit korrekt.

Für die Spiegelung von quadratischen Funktionen ergibt sich dieselbe Vorgehensweise.

Quadratische Funktionen spiegeln

Zur Veranschaulichung spiegeln wir die Normalparabel an der x-Achse, der y-Achse und am Koordinatenursprung.

Für die Spiegelungen erhalten wir:

Spiegelung an x-Achse
Spiegelung an y-Achse
Spiegelung am Ursprung

Transformationen von Funktionen Spiegelung Parabel x-Achse StudySmarterAbbildung 12: Spiegelung x-Achse

Transformationen von Funktionen, Spiegelung Parabel y-Achse, StudySmarterAbbildung 13: Spiegelung y-Achse

Transformationen von Funktionen, Spiegelung Parabel Koordinatenursprung, StudySmarterAbbildung 14: Spiegelung am Ursprung

Transformation einer Funktion – skalieren

Erinnerst du dich noch an die zentrische Streckung von verschiedenen Figuren, wie beispielsweise einem Rechteck? Dabei wurden alle Seitenlängen entweder verlängert oder verkürzt, und zwar um den gleichen Faktor. Möglich ist es aber auch ein Rechteck in nur zwei Seiten zu skalieren, wie du in der Abbildung 15 erkennen kannst.

Transformationen von Funktionen, Beispiel Skalierung Rechteck, StudySmarterAbbildung 15: Skalierung eines Rechtecks

Ähnlich passiert das auch, wenn wir eine Funktion skalieren wollen. Wir unterteilen daher die Skalierung einer Funktion f(x) in:

  • Skalierung der Variable x (x-Richtung)

  • Skalierung des Funktionswert f(x) (y-Richtung)

Sehen wir uns die Veränderung an Beispielen an. Wir starten mit einer ganzrationalen Funktion.

Ganzrationale Funktionen skalieren

Es ist nicht immer ganz einfach am Funktionsgraphen ablesen zu können, welche Transformation durchgeführt wurde. Wir betrachten daher hauptsächlich den Funktionsterm einer Funktion f(x) und überprüfen graphisch, wie sich die Veränderung am Funktionsgraphen bemerkbar macht.

Wie bereits erwähnt, können wir Funktionen sowohl entlang der x-Achse als auch entlang der y-Richtung skalieren.

Variable x skalieren

Mathematisch müssen wir für eine Skalierung einer Funktiondie Variable x mit einem Faktor c multiplizieren. Wir können dementsprechend definieren:

Skalierung der Variablen x einer Funktion :

Transformationen von Funktionen Formel Skalierung Variable x StudySmarter

Und was genau müssen wir laut dieser Formel an einer Funktion f(x) machen? Sehen wir uns ein Beispiel an.

Gegeben haben wir eine ganzrationale Funktion :

Diese Funktion f(x) möchten wir nun mit einem Faktor skalieren. Dazu setzen wir den Faktor in die Gleichung von oben ein.

Um diese Multiplikation mit dem Faktor durchzuführen, setzen wir im Funktionsterm voneinfach überall vor dem x eine 2 dazu und erhalten unsere neue Funktionsgleichung .

Wir zeichnen beide Graphen der Funktionenundin ein Koordinatensystem ein, um zu beobachten, was die Skalierung in x-Richtung ausgelöst hat.

Transformationen von Funktionen, Skalierung Variable x Graph, StudySmarterAbbildung 16: Skalierung der Variable x

Du kannst sehen, dass der Funktionsgraph der neuen Funktionum einiges schmaler als der ursprüngliche Funktionsgraph vonist. Als hätte jemand die Enden des Graphen in die Hand genommen und auseinander gezogen. Der Funktionsgraph wurde demnach gestreckt.

Wie du vielleicht schon vermutest, entscheidet die Größe des Faktors c darüber, wie der Funktionsgraph nach der Transformation aussieht. Daher können wir unsere Definition wie folgt erweitern:

Skalierung der Variablen x einer Funktion :

Transformationen von Funktionen Skalierung Variable x StudySmarter

Transformationen von Funktionen Formel Skalierung Variable x StudySmarter

Toll, du kannst jetzt bereits eine Funktion in x-Richtung skalieren. Dies ist ebenfalls für die y-Richtung möglich.

Funktionswerts f(x)

Wollen wir eine Funktionam Funktionswert skalieren, so benötigen wir ebenfalls die Multiplikation mit dem Faktor c. Diesmal wird jedoch der ganze Funktionsterm mit dem Faktor multipliziert. Allgemein gilt daher:

Skalierung des Funktionswertseiner Funktion :

Transformationen von Funktionen Formel Skalierung Funktionswert StudySmarter

Dazu betrachten wir wieder ein Beispiel mit einer Funktion .

Gegeben ist wieder die Funktion :

Wieder wollen wir die Funktion mit einem Faktorskalieren. Laut der Formel müssen wir dazu den kompletten Funktionsterm mit dem Faktor c multiplizieren.

Dazu setzen wir die Funktionin Klammern und multiplizieren sie mit 1,5. Durch Auflösen der Klammer erhalten wir die neue skalierte Funktion.

Die ursprüngliche Funktionund die in y-Richtung skalierte Funktion zeichnen wir wieder in ein Koordinatensystem ein und sehen uns die Transformation an.

Transformationen von Funktionen, Skalierung Funktionswert Graph, StudySmarterAbbildung 17: Skalierung des Funktionswerts f(x)

Die neue Funktionist leicht gestreckt (schmaler) und sogar um 1 LE nach oben verschoben worden.

Auch hier ist ebenfalls die Größe des Faktors c entscheidend, ob der Funktionsgraph gestreckt oder gestaucht wird. Wir erweitern daher die obige Definition.

Skalierung des Funktionswertseiner Funktion :

Transformationen von Funktionen Formel Skalierung Funktionswert StudySmarter

Transformationen von Funktionen Formel Faktor Skalierung Funktionswert StudySmarter

Anhand dieser beiden Formeln lassen sich Funktionen ganz leicht in x- und y-Richtung skalieren. Ihr behandelt in der Schule aber hauptsächlich Transformationen an Parabeln? Kein Problem. Wir sehen uns im folgenden Abschnitt gleich noch die Skalierung einer quadratischen Funktion an.

Quadratische Funktion

Wie du vorher bereits gesehen hast, lassen sich quadratische Funktionen in einem Koordinatensystem als Parabeln darstellen. Außerdem gibt es mehrere Darstellungen ihres Funktionsterms.

Allgemeine Form quadratischer Funktionen:

Transformationen von Funktionen Formel allgemeine Form Parabel StudySmarter

Scheitelpunktform quadratischer Funktionen:

Transformationen von Funktionen Formel Scheitelpunktform Parabel StudySmarter

Der Faktor a in den jeweiligen Formeln lässt uns eine Aussage darüber machen, wie diese quadratische Funktion skaliert ist. Wir überprüfen dies anhand der allgemeinen Formel zur Skalierung von Funktionen.

Skalierung der Variablen x

Wir betrachten die Skalierung in einem Beispiel.

Gegeben ist die quadratische Funktion. Dies entspricht einer verschobenen Normalparabel.

Unter einer Normalparabel versteht man die Parabel f(x) = x².

Möchten wir diese Funktionmit einem Faktorskalieren, so setzen wir den Faktor wieder vor jedes x.

Betrachten wir den Funktionsterm genauer, so fällt auf, dass die 4 jetzt vor dem steht. Und der Wert vor dem entspricht dem Koeffizienten a einer quadratischen Funktion.

Die in x-Richtung skalierte Funktion g(x) und die ursprüngliche Funktion zeichnen wir in ein Koordinatensystem. Welche Veränderung hat die Skalierung am Funktionsgraphen ausgelöst?

Transformationen von Funktionen, Skalierung Parabel, StudySmarterAbbildung 18: Skalierung Parabel

Wie du sehen kannst, wurde die Parabel ebenfalls gestreckt, das heißt, sie ist schmaler geworden.

Sehen wir uns noch die Skalierung in y-Richtung an.

Funktionswert f(x) skalieren

Wir verwenden für unser Beispiel wieder die obige quadratische Funktionsgleichung.

Die quadratische Funktion ist gegeben:

Wieder wollen wir eine Skalierung der Funktion vornehmen. Diesmal jedoch in y-Richtung, mit einem Faktor. Dazu benötigen wir die richtige Formel aus der Definition von oben.

An der entsprechenden Stelle setzen wir den Funktionsterm der Funktionein und berechnen damit die neue skalierte Funktion .

Graphisch lassen wieder beide Funktionen in einem Koordinatensystem darstellen. Wieder erhalten wir einen Koeffizienten a vor dem .

Transformationen von Funktionen Skalierung Parabel StudySmarterAbbildung 19: Skalierung Parabel

Der Funktionsgraph der neuen Funktionist wieder etwas gestreckt und sogar um 0,5 LE nach oben verschoben worden.

Zusammengefasst lässt die Skalierung in x- und y-Richtung für Funktionen wie folgt definieren:

Skalierung der Variablen x einer Funktion (x-Richtung):

Transformationen von Funktionen Formel Skalierung Variable x StudySmarter

Skalierung des Funktionswert einer Funktion (y-Richtung):

Transformationen von Funktionen Formel Skalierung Funktionswert StudySmarter

Transformation von Funktionen - Das Wichtigste

  • Eine Transformation einer Funktion entspricht dem Verändern der Funktion zu einer neuen Funktion.
  • Funktionen lassen sich wie folgt transformieren:
    • Verschiebung
    • Spiegelung
    • Skalierung
    • Kombination
  • Die Transformation einer Funktion kann sowohl direkt am Funktionsgraph als auch am Funktionsterm vorgenommen werden. Verändert sich das eine, verändert sich auch das andere.
Transformationen im Überblick
Formel
Erklärung
Verschiebung entlang x-Achse
Verschiebung entlang y-Achse
Spiegelung an der y-Achse
Spiegelung an der x-Achse
Spiegelung am Koordinatenursprung
Skalierung der Variablen x
Skalierung des Funktionswerts f(x)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Transformation von Funktionen

Eine Transformation einer Funktion f(x) beschreibt das Verändern der Funktion f(x) zu einer neuen Funktion g(x). 

Veränderungen an Funktionen lassen sich sowohl am Funktionsgraphen als auch am Funktionsterm vornehmen. Verändert sich das eine, verändert sich das andere. Funktionen lassen sich verschieben, spiegeln, skalieren und ebenfalls kombiniert transformieren.

Man staucht eine Funktion f(x), in dem man die Funktion f(x) skaliert. Skalierungen können an der Variablen x einer Funktion f(x) und ebenfalls auch an ihrem Funktionswert vorgenommen werden. Dazu wird mit einem Faktor c multipliziert.

Finales Transformation von Funktionen Quiz

Frage

Was sind die drei am häufigsten genutzten Möglichkeiten, eine Funktion zu transformieren?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Spiegeln
  2. Stauchen / Strecken
  3. Verschieben
Frage anzeigen

Frage

Was verändert sich beim Spiegeln einer Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Es verändert sich sowohl der Funktionsgraph, als auch der Funktionsterm der Funktion

Frage anzeigen

Frage

Wie nennt man die Veränderung des Graphen der Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

geometrische Transformation

Frage anzeigen

Frage

Wie nennt man die Veränderung des Funktionsterms einer Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

algebraische Transformation

Frage anzeigen

Frage

An welchen Punkten bzw. Gerade werden Funktionen am häufigsten gespiegelt?

Antwort anzeigen

Antwort

Am häufigsten wird eine Funktion an der y-Achse, der x-Achse, am Ursprung (0|0)  und an der Winkelhalbierenden gespiegelt.

Frage anzeigen

Frage

Richtig oder falsch?

Beim Spiegeln eines Punktes an der x-Achse bleibt der x-Wert konstant und beim y-Wert verändert sich das Vorzeichen

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig.

Frage anzeigen

Frage

Richtig oder falsch?

Beim Spiegeln eines Punktes an der y-Achse bleibt der x-Wert konstant und beim y-Wert verändert sich das Vorzeichen.

Antwort anzeigen

Antwort

Falsch!

Frage anzeigen

Frage

Wie geht man ganz allgemein bei der Spiegelung am Ursprung vor?

Antwort anzeigen

Antwort

Man spiegelt den Punkt bzw. die Funktion zuerst an der x-Achse und danach an der y-Achse bzw. in umgekehrter Reihenfolge. 

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Ursprung des Koordinatensystems?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Ursprung ist der Punkt P(0|0). Er ist der Treffpunkt der x- und y-Achse

Frage anzeigen

Frage

Welche Bedingung muss eine Funktion erfüllen, damit sie an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt werden kann?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion muss eineindeutig sein. 

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Funktion eineindeutig?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Funktion ist eineindeutig, wenn jedem Funktionswert y nur ein x-Wert zugeordnet werden kann.

Frage anzeigen

Frage

In welche Richtungen kann der Graph einer Funktion gestreckt bzw. gestaucht werden?

Antwort anzeigen

Antwort

In Richtung der x-Achse und in Richtung der y-Achse

Frage anzeigen

Frage

Was passiert mit dem Graphen der Funktion, wenn die Funktion in x-Richtung gestaucht wird?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Graph der Funktion wird enger. 

Frage anzeigen

Frage

Was passiert mit dem Graphen der Funktion, wenn die Funktion in x-Richtung gestreckt wird?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Graph der Funktion wird breiter. 

Frage anzeigen

Frage

Woran erkennt man, ob eine Funktion gestaucht oder gestreckt wurde?

Antwort anzeigen

Antwort

Am Streckungsfaktor a

Frage anzeigen

Frage

Was wird durch den Streckfaktor a bestimmt?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Streckfaktor bestimmt, ob die Funktion gestaucht oder gestreckt wird und wie stark diese Transformation ist.

Frage anzeigen

Frage

Welche Werte kann der Streckfaktor a annehmen?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Streckfaktor a kann den Wert jeder reellen Zahl außer Null annehmen. 

Frage anzeigen

Frage

Der Streckfaktor a beträgt -3. Wird die Funktion gestaucht oder gestreckt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion wird gestreckt, da der Betrag von -3 größer ist als 1. 

Frage anzeigen

Frage

Der Streckfaktor a beträgt -0,25. Wird die Funktion gestaucht oder gestreckt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion wird gestaucht, da der Betrag von -0,25 kleiner ist als 1. 

Frage anzeigen

Frage

Der Streckfaktor a beträgt -0,25. Wird die Funktion gestaucht oder gestreckt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion wird gestaucht, da der Betrag von -0,25 kleiner ist als 1. 

Frage anzeigen

Frage

Richtig oder falsch?

Liegt der Streckfaktor a zwischen -1 und 1, dann wird der Graph der Funktion gestaucht.

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig!

Frage anzeigen

Frage

Richtig oder falsch?

Ist der Streckfaktor a kleiner als -1 oder größer als 1, dann wird der Graph der Funktion gestaucht.

Antwort anzeigen

Antwort

Falsch!

Ist der Streckfaktor a kleiner als -1 oder größer als 1, dann wird der Graph der Funktion gestreckt!

Frage anzeigen

Frage

Richtig oder falsch?

Bei einer Verschiebung in y-Richtung wird der Graph der Funktion nach oben oder unten bewegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig!

Frage anzeigen

Frage

Richtig oder falsch?

Bei einer Verschiebung in x-Richtung wird der Graph der Funktion nach oben oder unten bewegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Falsch! Bei einer Verschiebung in x-Richtung wird der Graph der Funktion nach links oder rechts bewegt. 

Frage anzeigen

Frage

Was ändert sich durch das Verschieben einer Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. der Funktionsgraph
  2. der Funktionsterm
Frage anzeigen

Frage

Richtig oder falsch?

Ist die Konstante c bei einer Verschiebung einer Funktion in y-Richtung positiv, dann handelt es sich um eine Verschiebung nach oben.

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig!

Frage anzeigen

Frage

Richtig oder falsch?

Ist die Konstante c bei einer Verschiebung einer Funktion in y-Richtung negativ, dann handelt es sich um eine Verschiebung nach oben

Antwort anzeigen

Antwort

Falsch! Es handelt sich um eine Verschiebung nach unten!

Frage anzeigen

Frage

Richtig oder falsch?

Ist die Konstante c bei einer Verschiebung einer Funktion in x-Richtung positiv, dann handelt es sich um eine Verschiebung nach rechts.

Antwort anzeigen

Antwort

Falsch! Es handelt sich um eine Verschiebung nach links!

Frage anzeigen

Frage

Richtig oder falsch?

Ist die Konstante c bei einer Verschiebung einer Funktion in x-Richtung negativ, dann handelt es sich um eine Verschiebung nach rechts

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig!

Frage anzeigen

Frage

Was ändert sich neben Streckung oder Stauchung an einer Funktion wenn der Streckungsfaktor negativ ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion wird zusätzlich an einer der Achsen gespiegelt. 

Frage anzeigen

Frage

Was passiert bei einem Streckungsfaktor a=1 ?

Antwort anzeigen

Antwort

Nichts. Die Funktion bleibt unverändert.

Frage anzeigen

Frage

Warum verändert sich der Abstand zur y-Achse, wenn man eine Funktion in x-Richtung staucht?

Antwort anzeigen

Antwort

Die y-Achse bleibt unverändert.

Die x-Achse steht senkrecht auf der y-Achse und damit "bewegen" sich Punkte auf Parallelen zur x-Achse. Also "gehen" sie auf direktesten Wege von der y-Achse weg oder bewegen sich auf einer senkrecht daraufstehenden Geraten zu. 

Frage anzeigen
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