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Integralrechnung

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Mathe

Neben der Differentialrechnung ist die Integralrechnung das wichtigste Thema in der Analysis in der Mathematik. Sie entstand aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung.

Das Integral ist ein Oberbegriff für das bestimmte Integral und das unbestimmte Integral. Die Berechnung von Integralen wird Integration genannt.

In den folgenden Abschnitten gehen wir nochmal die Grundlagen der Integralrechnung durch und erklären dir dabei die wichtigsten Themen zum Integral.

Integralfunktion

Die Integralfunktion folgt einem bestimmten Aufbau:

Dabei ist a die untere Grenze, x ist die obere Grenze und g(t) ist eine weitere Funktion.

Die Integralfunktion bestimmt eine Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse zwischen den beiden Grenzen x und a. Außerdem ist die Integralfunktion auch gleichzeitig die Stammfunktion von g an der Stelle, wo x = a.

Uneigentliche Integrale

Das uneigentliche Integral, auch unbestimmtes Integral genannt, beschreibt die Fläche zwischen einer Kurve, die ins Unendliche geht und der x-Achse:

Quelle: Abiturma.de

Zur Berechnung musst du die rechte Grenze bestimmen und dann einen Term für den Flächeninhalt dieser Fläche aufstellen. Mehr dazu in unserem Artikel.

Bestimmtes Integral

Im Gegensatz zu unbestimmten Integralen, welche die Gesamtheit aller Stammfunktionen F(x) + C einer Funktion f(x) darstellt, sind beim bestimmten Integral die Integrationsgrenzen angegeben. Mithilfe des bestimmten Integrals kannst du die Flächen zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse berechnen.

So ist die allgemeine Schreibweise für bestimmte Integrale:

a = obere Grenze

b = untere Grenze

Um das bestimmte Integral zu berechnen musst du zuerst die Stammfunktion bestimmen. Dann kannst du das Integral berechnen. In unserem Artikel über bestimmte Integrale findest du Beispiele und Rechenschritte zur Berechnung des bestimmten Integrals.

Stammfunktion bilden

Wie du bereits wissen solltest leitest du ab, um die Ableitung von f(x), als f’(x) zu erhalten. Um die Stammfunktion von f(x) zu erhalten musst du genau das Gegenteil machen: "aufleiten". So erhältst du dann die Stammfunktion F(x).

In der Fachsprache heißt aufleiten auch integrieren.

Die allgemeine Stammfunktion sieht so aus: F(x) = F(x) +C

Im Artikel über Stammfunktionen gibt es eine Tabelle von den wichtigsten Stammfunktionen, die dir das Berechnen erleichtern werden.

Partielle Integration

Die partielle Integration ist ein schwierigeres Thema der Integration. Bei der Integration gibt es zu jeder Funktion eine bestimmte Regel zur Ableitung. In diesem Fall ist bei der partiellen Integration die Produktregel anzuwenden.

Dabei wird die partielle Integration verwendet, um Funktionen zu integrieren, die aus zwei oder mehreren Faktoren besteht. Ein anderer Name für die partielle Integration ist die Produktintegration. Die Definition für die partielle Integration sei:

Es ist wichtig vorher zu entscheiden, welcher Faktor f(x) und welcher g(x) sein soll. Wie du die richtige Wahl triffst und wie du es anhand von Beispielen berechnen kannst, erfährst du in unserem Artikel zur partiellen Integration.

Integration durch Substitution

Die Substitution in der Integralrechnung tust du mit dieser Substitutionsregel:

Ähnlich wie bei der Ableitung von verketteten Funktionen, wo die Kettenregel angewendet wird, wenden wir bei der Integration die Substitutionsregel an. In unserem Artikel Integration durch Substitution erklären wir dir anhand von Beispielen Schritt für Schritt, wie die Substitution abläuft.

Integral - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Integralfunktion sieht aus wie folgt:
  • Das unbestimmtes Integral beschreibt die Fläche zwischen einer Kurve, die ins Unendliche geht und der x-Achse, sie stellen also die Gesamtheit aller Stammfunktionen F(x) + C einer Funktion f(x) dar
  • Ein bestimmtes Integral wird so dargestellt:
  • Die Definition der partiellen Integration ist:
  • Die Definition der Integration durch Substitution ist:

Gut gemacht! Nachdem du alles durchgelesen hast, solltest du nun alles über Integrale wissen:) Weiter so!

Finales Integralrechnung Quiz

Frage


Die Wachstumsgeschwinigkeit x(t) eines Efeus während der ersten 100 Tage im Abhängigkeit von ihrem Alter t (in Tagen) lässt sich näherungsweise durch folgende Gleichung beschreiben:
Antwort anzeigen

Antwort

a) 666,67

b) Der Efeu wächst in den ersten 100 Tagen um 666,67cm.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das folgende unbestimmte Integral:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme mit der partiellen Integration das folgende unbestimmte Integral:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das folgende unbestimmte Integral:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das folgende unbestimmte Integral:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme mittels einer geeigneten Methode das folgende unbestimmte Integral:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das folgende unbestimmte Integral, um die Stammfunktion dieser zu erhalten:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das folgende Integral mittels einer geeigneten Methode:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Verwende die partielle Integration um das Integral zu lösen:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion mittels der partiellen Integration:



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das folgende unbestimmte Integral mittels der partiellen Integration:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!




Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!




Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie den Parameter q so, dass ein Integral von u(x) entsteht :
u(x)=x^(3)+x*sin(x) mit U(x)=∫(u(x))dx=a*x^4-x*cos(x)+sin(x)+a
Es sei 0<a<0,5

Antwort anzeigen

Antwort

a=0,25=(1/4)

Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie den Parameter q so, dass ein Integral von u(x) entsteht :
u(x)=(1/4)*x*(x+e^(x))
U(x)=∫(u(x))dx=(1/3)*q*x^(3)+q*x*e^(x)-q*e^(x)+C
mit 0<q<0,5

Antwort anzeigen

Antwort

q=0,25=(1/4)

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

∫(x*(1+x)^(3))dx

Hinweis: Nicht jede Multiplikation aus Integrationsgliedern bedarf partieller Integration, auch wenn es naheliegend scheint und möglich ist, ist es nicht automatisch der sinnvollste Weg!

Antwort anzeigen

Antwort

(1/20)*(x+1)^(4)*(4*x-1)+C

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller benötigten Zwischenschritte.


Antwort anzeigen

Antwort

13,68 FE
Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral


Antwort anzeigen

Antwort

-12

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral: 



Antwort anzeigen

Antwort

5,1
Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller Zwischenschritte und Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne die bestimmten Integrale!

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 152,25
  2. 5,33
  3. -24,3
  4. 18
  5. 0


Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral und interpretiere das Vorzeichen!


Antwort anzeigen

Antwort

Das negative Vorzeichen weist darauf hin, dass das Integral eine größere Fläche unter der x-Achse (welche negativ gewertet wird), als über der x-Achse besitzt (welche positiv gewertet wird).

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral und gib alle Zwischenschritte an!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral und runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen!


Antwort anzeigen

Antwort

1,19
Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral 


Antwort anzeigen

Antwort

a. undefiniert

b. 5,28

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller Zwischenschritte!

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral und Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen!


Antwort anzeigen

Antwort

2,64
Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller Zwischenschritte!


Antwort anzeigen

Antwort

7
Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral und interpretiere das Vorzeichen!


Antwort anzeigen

Antwort

-6

Das negative Vorzeichen weist darauf hin, dass das Integral eine größere Fläche unter der x-Achse (welche negativ gewertet wird), als über der x-Achse besitzt (welche positiv gewertet wird).

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral und interpretiere das Vorzeichen!
Antwort anzeigen

Antwort

-27

Das negative Vorzeichen weist darauf hin, dass das Integral eine größere Fläche unter der x-Achse (welche negativ gewertet wird), als über der x-Achse besitzt (welche positiv gewertet wird).

 

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller Zwischenschritte!


Antwort anzeigen

Antwort

-44/9
Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller Zwischenschritte!


Antwort anzeigen

Antwort

36,25
Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral!



Antwort anzeigen

Antwort

12
Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral und runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen!


Antwort anzeigen

Antwort

10,87
Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller Zwischenschritte:


Antwort anzeigen

Antwort

81,67
Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller Zwischenschritte.


Antwort anzeigen

Antwort

2,25
Frage anzeigen

Frage

Bestimme das unbestimmte Integral und gib die entsprechende Integrationsregel an



Antwort anzeigen

Antwort

lineare Substitution

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfntkion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Eine Funktion F ist Stammfunktion der Funktion f, wenn gilt:

Antwort anzeigen

Antwort



Frage anzeigen

Frage

Was machen, wenn untere Grenze nicht im Definitionsbereich ist?

Antwort anzeigen

Antwort



Frage anzeigen

Frage

Wie lauten die Stammfunktionen der Elementarfunktionen?

Antwort anzeigen

Antwort


Stammfunktionen der Elementarfunktionen


Frage anzeigen

Frage

Um welches Integral handelt es sich, wenn Integrationsgrenzen angegeben sind?

Antwort anzeigen

Antwort

-bestimmtes Integral

Frage anzeigen

Frage

Was wird mit dem bestimmten Integral berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe des bestimmten Integrals berechnet man Flächen aus, die der Graph der Funktion f(x)

und die x-Achse in den jeweiligen Grenzen einschließen.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die allgemeine Schreibweise für das bestimmte Integral?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Welche Integrationsregel wird bei der partiellen Integration angewendet?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Produktregel.

Frage anzeigen

Frage

Wozu wird die partielle Integration verwendet?

Antwort anzeigen

Antwort

Um Funktionen zu integrieren, die aus zwei oder mehreren Faktoren bestehen.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die partielle Integration noch genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

Produktintegration

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die allgemeine Definition (Formel) für die partielle Integration?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie wird eine verkette Funktion integriert?

Antwort anzeigen

Antwort

 Mit der Subsitutionsregel.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Integration durch Substitution?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Die Funktion F(x) = ∫ e^2x*dx sei gegeben. Integriere durch Substitution.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Welche Rechenschritte muss man bei der Integration durch Substitution machen?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Substitution vorbereiten. → Welcher Term ist zu substituieren? 

2. Substitution

3. Integration 

4. Rücksubstitution.

Frage anzeigen

Frage

Gesucht ist die Stammfunktion von  

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Was beschreibt ein uneigentliches Integral?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Integral, also die Fläche einer Kurve reicht in das Unendliche und hat dennoch einen endlichen Flächeninhalt.

Frage anzeigen

Frage

Welche Formel gilt allgemein für das uneigentliche Integral?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Arten von uneigentlichen Integralen gibt es? 


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Antwort

Es gibt 2 Arten: uneigentliches Integral 1. und 2. Art

Frage anzeigen

Frage

Wie sind die Bedingungen für das uneigentliche Integral 1.Art?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Uneigentlichen Integral 1. Art befinden sich ∞, −∞ oder beides in den Integrationsgrenzen.

Frage anzeigen

Frage

Wie sind die Bedingungen für das uneigentliche Integral 2.Art?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Uneigentlichen Integral 2. Art ist die Funktion f(x) für eine der Grenzen u,k oder beide nicht definiert, d.h. es gilt: f(u) oder f(k) ist nicht definiert.

Frage anzeigen

Frage

Welche Rechenschritte werden bei der Berechnung des uneigentlichen Integrals verfolgt?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Rechte Grenze = z. Term A(z) aufstellen für Flächeninhalt. 

2. In Abhängigkeit von z Integral berechnen. 

3. Grenzwert für z ⟶ ∞ bestimmen.

Frage anzeigen

Frage

Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = e^-x und der x-Achse für x ≥ 0 ist gesucht.

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Antwort

Der Flächeninhalt beträgt genau 1 FE.

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe, ob die Funktion 

im ersten Quadranten einen endlichen Flächeninhalt mit der x-Achse einschließt. Ist dies der Fall, so gib den Flächeninhalt an.



Antwort anzeigen

Antwort

Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt:


Frage anzeigen

Frage

Überprüfe, ob die Funktion im ersten Quadranten einen endlichen Flächeninhalt mit der x-Achse einschließt. Ist dies der Fall, so gib den Flächeninhalt an.

Antwort anzeigen

Antwort

Jedoch gilt:

Deswegen ist der eingeschlossene Flächeninhalt nicht endlich groß.

Frage anzeigen

Frage


Überprüfe, ob das uneigentliche Integral 

 einen endlichen Wert hat.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wie ist eine Integralfunktion aufgebaut?

Antwort anzeigen

Antwort

mit

a =untere Grenze, eine beliebige reelle Zahl 

g = weitere Funktion

Frage anzeigen

Frage

Was haben Integralfunktion und Stammfunktion miteinander zu tun?

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Antwort

Die Integralfunktion eine bestimmte Stammfunktion von g, die an der Stelle x =a (untere Grenze) eine Nullstelle hat.

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften hat eine Integralfunktion?

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Antwort

1)Die untere Grenze des Integrals ist immer eine Nullstelle von f. Also gilt immer f(a) = 0. 

2) Die Ableitung von f ist die innere Funktion. → t wird durch x ersetzt. Es gilt also f’(x) = g(x)

Frage anzeigen

Frage

Mit welchen Rechenschritten formt man die Integralfunktion in die normale Darstellung um?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Eine Stammfunktion der inneren Funktion bilden. 

2. Grenze a und x jeweils einsetzen und berechnen. 

3. Ergebnisse voneinander abziehen.

Frage anzeigen

Frage

Gesucht sei eine Darstellung von f ohne Verwendung des Integralzeichens.

Antwort anzeigen

Antwort



Frage anzeigen

Frage

Was gilt, wenn G eine beliebige Stammfunktion von g ist?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Integralfunktion von .



Antwort anzeigen

Antwort

1.Stammfunktion bestimmen:

2. Werte einsetzen:


Frage anzeigen

Frage

An welcher Stelle besitzt eine Integralfunktion eine Nullstelle?

Antwort anzeigen

Antwort

Jede Integralfunktion hat an der Stelle x=a eine Nullstelle. Daher besitzt diese mindestens eine Nullstelle.

Frage anzeigen

Frage

Welche Steigung 

besitzt eine Integralfunktion I(x) an einer Stelle ?


   

 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Steigung einer Integralfunktion I(x)an einer Stelle  ist gleich dem Funktionswert .

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sei die folgende Integralfunktion:

Bestimme eine Darstellung von f(x) ohne Integralzeichen.

Antwort anzeigen

Antwort

Dazu bestimmt man eine Stammfunktion  der inneren Funktion. Eine mögliche Stammfunktion ist: 


Frage anzeigen

Frage

Warum ist nicht jede Stammfunktion eine Integralfunktion?

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Antwort

Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion, aber nicht jede Stammfunktion ist auch eine Integralfunktion. Weil eine Stammfunktion beliebig nach oben/unten verschoben werden kann. 


Frage anzeigen

Frage

Betrachtet werden soll die Funktion:

Beschreibe den Verlauf von f(x) Mathe-Abitur in einer kleinen Umgebung von x=1

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion g(x)  ist die Ableitung von f(x). An der Stelle x=1  hat g(x) einen Vorzeichenwechsel von + nach - , daher hat f(x) an der Stelle x=1 einen Hochpunkt. Weiter ist x=1 die untere Grenze, woraus folgt, dass f(x) bei x=1 eine Nullstelle hat.

Frage anzeigen

Frage

Betrachtet wird die Funktion:

Bestimme die Werte von f(-2) , f(0) und f(2).


Antwort anzeigen

Antwort

Die Flächeninhalte zwischen 0  und -2 bzw. zwischen 0 und 2 jeweils genau .

Untersucht werden muss noch das jeweilige Vorzeichen. Für negative t liegt der Graph der Funktion zwar oberhalb der x -Achse, aber die untere Grenze des Integrals (x=0) ist größer als die obere Grenze (x=-2), daher gilt: f(-2)=-.

Für positive t liegt der Graph von g(t) unterhalb der x-Achse, woraus folgt, dass f(2)= gilt. Schließlich ist x=0 die untere Grenze der Integralfunktion, woraus f(0)=0 folgt.

Frage anzeigen

Frage


Betrachtet wird die Funktion:

Bestimme die Werte von f(-1) und f(1).



 

Antwort anzeigen

Antwort

Liegen die Grenzen an den Stellen x=-1 bzw. x=1, so betrachtet man Viertelkreise. Es folgt f(-1)=f(1)=-.

Frage anzeigen

Frage

Betrachtet wird die Funktion:


Untersuche f(x) auf Wendepunkte.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion g(t) hat auf ihrem Definitionsbereich genau zwei Extrempunkte. Diese sind Wendepunkte von f(x). Somit hat f(x) genau die zwei Wendestellen x=-1 und x=1.

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe, ob folgende Funktion im ersten Quadranten einen endlichen Flächeninhalt mit der

x-Achse einschließt. Ist dies der Fall, so gib den Flächeninhalt an.


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Gesucht ist die Fläche, die der Graph der Funktion f(x)=e−x mit den beiden Koordinatenachsen aufspannt.

Antwort anzeigen

Antwort

Man lässt zur Berechnung eine feste Grenze b gegen unendlich laufen.


 


Frage anzeigen

Frage

Ein Heliumballon startet am Erdboden senkrecht nach oben.

Seine Geschwindigkeit lässt sich durch die Funktion v(t) beschreiben.

Dabei ist t  in Stunden nach Start und v(t) in km/h angegeben.

Mit welcher Geschwindigkeit steigt der Ballon zu Beginn?

Antwort anzeigen

Antwort

v(0)=10km/h

Frage anzeigen

Frage

Ein Heliumballon startet am Erdboden senkrecht nach oben.

Seine Geschwindigkeit lässt sich durch die Funktion v(t) beschreiben.



Dabei ist t  in Stunden nach Start und v(t) in km/h angegeben.

Zeige, dass sich der Ballon zu jedem Zeitpunkt aufwärts bewegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Nenner von v(t) Mathe-Abitur ist eine binomische Formel. Daher gilt:

Nun erkennt man, dass stets

gilt. Also ist die Geschwindigkeit stets positiv und der Ballon bewegt sich daher immer aufwärts.

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Frage

Was kann man mit dem uneigentlichen Integral integrieren?

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Antwort

Mit dem uneigentlichen Integral ist es möglich, Funktionen zu integrieren, die einzelne Singularitäten aufweisen oder deren Definitionsbereich unbeschränkt ist und die deshalb im eigentlichen Sinn nicht integrierbar sind.

Frage anzeigen

Frage

Integriere

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme das Integral von:


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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von 

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme das Integral mittels partieller Integration.


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einem unbestimmten Integral?

Antwort anzeigen

Antwort

Unter unbestimmten Integralen versteht man die Gesamtheit der Stammfunktionen.



Ein unbestimmtes Integral besitzt keine Ober- und Untergrenzen und es kommt somit kein Wert, sondern eine Funktion als Lösung heraus.

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einem bestimmten Integral?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem bestimmten Integralen berechnest du die Fläche einer Funktion  bis zur x-Achse in einem bestimmten Intervall . Dabei stellt b die Obergrenze und a die Untergrenze dar.



Du erhälst also einen klaren Wert als Lösung.


Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einem bestimmten Integral?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem bestimmten Integralen berechnest du die Fläche einer Funktion  bis zur x-Achse in einem bestimmten Intervall . Dabei stellt b die Obergrenze und a die Untergrenze dar.



Du erhälst also einen klaren Wert als Lösung.


Frage anzeigen

Frage

Führe eine Integration mit dem Austausch der Intervallgrenzen durch:





Antwort anzeigen

Antwort

Hier siehst du eine Integration vor dem Austausch der Intervallgrenzen:



Nun siehst du die Integration nach dem Austausch der Intervallgrenzen:



Frage anzeigen

Frage

Nenne einige punktsymmetrische Funktionen.

Antwort anzeigen

Antwort

Punktsymmetrische Funktionen sind zum Beispiel die Sinusfunktion, lineare Funktionen, die durch den Ursprung verlaufen, oder Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten wie.


Frage anzeigen
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