Integralrechnung

Q: Für was werden Integrale benötigt?

Integrale dienen zur Ermittlung von eingeschlossenen Flächeninhalten und Volumina innerhalb gewisser Gewissen. Ein bestimmtes Integral beispielsweise liefert einen konkreten Zahlenwert (Flächeninhalt / Volumen), während ein unbestimmtes Integral die Menge aller Stammfunktionen F(x) + C liefert.

Algebra

Analysis

Geometrie

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Welche Themengebiete die Integralrechnung beinhaltet, was der Unterschied zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen ist und welche Regeln für Dich wichtig sind, erfährst Du in dieser Erklärung!

Integralrechnung, Flächenberechnung – Erklärung

Die Integralrechnung ist ein Teil der Analysis und kann genutzt werden, um verschiedene Flächenberechnungen durchzuführen:

Fläche zwischen Graph und x-Achse
Fläche zwischen zwei Graphen
Rotationskörper Volumen

Sieh in den einzelnen Erklärungen nach, um mehr darüber zu erfahren!

Ein Beispiel dafür ist die Berechnung des Flächeninhalts, die der Funktionsgraph einer Funktion $f(x)$ und die $x$-Achse einschließt. Schau Dir dazu einmal die folgende Grafik an:

Integralrechnung Fläche unter Funktionsgraph Integralrechnung StudySmarter

Abb. 2 - Fläche unter einem Funktionsgraph.

Was benötigst Du dafür? Zum einen eine sogenannte Stammfunktion $F(x)$ der Funktion $f(x)$ und zum anderen die Grenzen $a$ und $b$.

Zunächst zur Stammfunktion.

Integralrechnung Stammfunktion

Eine Stammfunktion $F(x)$ ist eine differenzierbare Funktion, für die gilt $F(x)'=f(x)$. Diese erhältst Du durch Integration der Funktion $f(x)$.

\[F(x)+C\,\xleftarrow{\text{integrieren}}\,f(x)\,\xrightarrow{ableiten}\,f'(x)\]

Leitest Du eine Stammfunktion $F(x)$ wieder ab, erhältst Du die Ausgangsfunktion $f(x)$.

In der Erklärung „Stammfunktion bilden“ erhältst Du einen Einblick in dieses Teilgebiet.

Bei der Integration wird prinzipiell zwischen einem unbestimmten und einem bestimmten Integral unterschieden. Das Integral ist ein Oberbegriff dafür.

Unbestimmtes und bestimmtes Integral

Das bestimmte und das unbestimmte Integrale unterscheiden sich anhand ihrer Integrationsgrenzen. Folgende Komponenten sind für beide Integrale von Bedeutung:

$\int$ = Integrationszeichen
$f(x)$ = Integrand (zu integrierende Funktion)
$x$ = Integrationsvariable
$a$ und $b$ = Integrationsgrenzen

Und wie werden diese Komponenten bei einem unbestimmten und einem bestimmten Integral genutzt? Die nachfolgende Tabelle zeigt Dir einen kurzen Einblick.

	Unbestimmtes Integral	Bestimmtes Integral
Darstellung	$$\int f(x)\:dx$$	$$\int_{a}^{b}f(x)\:dx$$
Berechnung	Berechnet die Menge aller Stammfunktionen	Berechnet die Fläche zwischen dem Funktionsgraph einer Funktion $f(x)$ und der $x$-Achse in einem gegebenen Intervall $[a;b]$
Ergebnis	Funktionen $F(x)+C$	konkreter Zahlenwert
Grenzen	unbekannt	von $a$ bis $b$

Was es mit dem unbestimmten und bestimmten Integral auf sich hat, erfährst Du in den Erklärungen „Unbestimmtes Integral“ und „Bestimmtes Integral“.

Hauptsatz der Integralrechnung – Formel

Ein Teil des Hauptsatzes der Integralrechnung berechnet bestimmte Integrale $\int_{a}^{b}f(x)\:dx$ über die Stammfunktionen der Funktion $f(x)$.

$$\int_{a}^{b}f(x)\: dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$

Das Ergebnis dieser Berechnung entspricht dem Flächeninhalt, die der Funktionsgraph der Funktion $f(x)$ mit der $x$-Achse innerhalb der Integrationsgrenzen einschließt. So kann beispielsweise die Fläche $A$ in der folgenden Grafik bestimmt werden.

Integralrechnung Das bestimmte Integral StudySmarter Abb. 3 - Beispiel bestimmtes Integral.

Mehr zum Thema und der Berechnung erfährst Du in der Erklärung „Hauptsatz der Differential und Integralrechnung“.

Integralrechnung Regeln

In der Integralrechnung kannst Du verschiedene Integrationsregeln und -techniken nutzen, um die Funktion $f(x)$ zu integrieren. Mehr erfährst Du in den Erklärungen:

Möchtest Du den durchschnittlichen Funktionswert einer Funktion $f(x)$ in einem bestimmten Intervall berechnen? Dann kann Dir der Mittelwertsatz weiterhelfen. Sieh Dir dazu folgende Vertiefung an.

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Der Mittelwert $m$ der Funktionswerte einer integrierbaren Funktion $f(x)$ im Intervall $[a,b]$ ist gegeben durch:

$$m=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\, dx$$

Was bedeutet dieser Satz? Den Flächeninhalt $A$, den der Funktionsgraph einer Funktion $f(x)$ und die $x$-Achse innerhalb eines Intervalls einschließen, kannst Du zum Beispiel berechnen, indem Du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nutzt.

Integralrechnung Mittelwertsatz StudySmarter Abb. 4 - Mittelwert zur Flächenberechnung.

Eine alternative Berechnung ist über den Mittelwertsatz möglich, der ein Rechteck der Höhe $m$ und der Länge $b-a$ definiert und den Flächeninhalt über dieses Rechteck ermittelt.

In den zugehörigen Karteikarten kannst Du Dein Wissen zur Integralrechnung testen!

Integralrechnung – Das Wichtigste

Die Integralrechnung als Teil der Analysis beschäftigt sich unter anderem mit der Flächen- und Volumenberechnung von eingeschlossenen Flächen.
Einige Teilgebiete der Integralrechnung sind:
- Stammfunktion bilden und Wichtige Stammfunktionen
- Bestimmtes und unbestimmtes Integral
- Flächenberechnung
- Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung
- Integrationsregeln und Integrationstechniken
- Mittelwertsatz der Integralrechnung

Nachweise

Papula, Lothar (2000). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden
Courant, Richard (1971). Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 2. Springer Verlag

Häufig gestellte Fragen zum Thema Integralrechnung

Mit der Integralrechnung können Flächeninhalte A und Volumina V berechnet werden, die durch bestimmte Grenzen eingeschlossen werden.

Integrale dienen zur Ermittlung von eingeschlossenen Flächeninhalten und Volumina innerhalb gewisser Gewissen. Ein bestimmtes Integral beispielsweise liefert einen konkreten Zahlenwert (Flächeninhalt / Volumen), während ein unbestimmtes Integral die Menge aller Stammfunktionen F(x) + C liefert.

Die Integralrechnung basiert auf dem Integrieren von Funktionen, wobei zwischen unbestimmten und bestimmten Integralen unterschieden wird. Das Ergebnis sind Stammfunktion und Flächeninhalte bzw. Volumina.

Flächeninhalte werden über das Lösen bestimmter Integrale ermittelt. Dazu dient der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Finales Integralrechnung Quiz

Integralrechnung Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Bestimmen Sie den Parameter q so, dass ein Integral von u(x) entsteht :
u(x)=x^(3)+x*sin(x) mit U(x)=∫(u(x))dx=a*x^4-x*cos(x)+sin(x)+a
Es sei 0<a<0,5

Antwort anzeigen

Antwort

a=0,25=(1/4)

Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie den Parameter q so, dass ein Integral von u(x) entsteht :
u(x)=(1/4)*x*(x+e^(x))
U(x)=∫(u(x))dx=(1/3)*q*x^(3)+q*x*e^(x)-q*e^(x)+C
mit 0<q<0,5

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Antwort

q=0,25=(1/4)

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Frage

∫(x*(1+x)^(3))dx

Hinweis: Nicht jede Multiplikation aus Integrationsgliedern bedarf partieller Integration, auch wenn es naheliegend scheint und möglich ist, ist es nicht automatisch der sinnvollste Weg!

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Antwort

(1/20)*(x+1)^(4)*(4*x-1)+C

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Frage

Um welches Integral handelt es sich, wenn Integrationsgrenzen angegeben sind?

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Antwort

-bestimmtes Integral

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Frage

Was wird mit dem bestimmten Integral berechnet?

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Antwort

Mithilfe des bestimmten Integrals berechnet man Flächen aus, die der Graph der Funktion f(x)

und die x-Achse in den jeweiligen Grenzen einschließen.

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Frage

Welche Integrationsregel wird bei der partiellen Integration angewendet?

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Antwort

Die Produktregel.

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Frage

Wozu wird die partielle Integration verwendet?

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Antwort

Um Funktionen zu integrieren, die aus zwei oder mehreren Faktoren bestehen.

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Frage

Wie wird die partielle Integration noch genannt?

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Antwort

Produktintegration

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Frage

Wie wird eine verkette Funktion integriert?

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Antwort

Mit der Subsitutionsregel.

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Frage

Welche Rechenschritte muss man bei der Integration durch Substitution machen?

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Antwort

1. Substitution vorbereiten. → Welcher Term ist zu substituieren?

2. Substitution

3. Integration

4. Rücksubstitution.

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Frage

Was beschreibt ein uneigentliches Integral?

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Antwort

Das Integral, also die Fläche einer Kurve reicht in das Unendliche und hat dennoch einen endlichen Flächeninhalt.

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Frage

Wie viele Arten von uneigentlichen Integralen gibt es?

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Antwort

Es gibt 2 Arten: uneigentliches Integral 1. und 2. Art

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Frage

Wie sind die Bedingungen für das uneigentliche Integral 1.Art?

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Antwort

Beim Uneigentlichen Integral 1. Art befinden sich ∞, −∞ oder beides in den Integrationsgrenzen.

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Frage

Wie sind die Bedingungen für das uneigentliche Integral 2.Art?

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Antwort

Beim Uneigentlichen Integral 2. Art ist die Funktion f(x) für eine der Grenzen u,k oder beide nicht definiert, d.h. es gilt: f(u) oder f(k) ist nicht definiert.

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Frage

Welche Rechenschritte werden bei der Berechnung des uneigentlichen Integrals verfolgt?

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Antwort

1. Rechte Grenze = z. Term A(z) aufstellen für Flächeninhalt.

2. In Abhängigkeit von z Integral berechnen.

3. Grenzwert für z ⟶ ∞ bestimmen.

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Frage

Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = e^-x und der x-Achse für x ≥ 0 ist gesucht.

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Antwort

Der Flächeninhalt beträgt genau 1 FE.

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Frage

Was haben Integralfunktion und Stammfunktion miteinander zu tun?

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Antwort

Die Integralfunktion eine bestimmte Stammfunktion von g, die an der Stelle x =a (untere Grenze) eine Nullstelle hat.

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Frage

Welche Eigenschaften hat eine Integralfunktion?

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Antwort

1)Die untere Grenze des Integrals ist immer eine Nullstelle von f. Also gilt immer f(a) = 0.

2) Die Ableitung von f ist die innere Funktion. → t wird durch x ersetzt. Es gilt also f’(x) = g(x)

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Frage

Mit welchen Rechenschritten formt man die Integralfunktion in die normale Darstellung um?

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Antwort

1. Eine Stammfunktion der inneren Funktion bilden.

2. Grenze a und x jeweils einsetzen und berechnen.

3. Ergebnisse voneinander abziehen.

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Frage

An welcher Stelle besitzt eine Integralfunktion eine Nullstelle?

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Antwort

Jede Integralfunktion hat an der Stelle x=a eine Nullstelle. Daher besitzt diese mindestens eine Nullstelle.

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Frage

Warum ist nicht jede Stammfunktion eine Integralfunktion?

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Antwort

Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion, aber nicht jede Stammfunktion ist auch eine Integralfunktion. Weil eine Stammfunktion beliebig nach oben/unten verschoben werden kann.

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Frage

Was kann man mit dem uneigentlichen Integral integrieren?

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Antwort

Mit dem uneigentlichen Integral ist es möglich, Funktionen zu integrieren, die einzelne Singularitäten aufweisen oder deren Definitionsbereich unbeschränkt ist und die deshalb im eigentlichen Sinn nicht integrierbar sind.

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Frage

Gib an, wofür die Integralrechnung genutzt wird.

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Antwort

Im Allgemeinen wird die Integralrechnung genutzt, um Flächeninhalte $A$ und Volumen $V$ zu berechnen, die durch bestimmte Grenzen eingeschlossen werden.

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Frage

Nenne die Komponenten, die Du für die richtige Schreibweise eines bestimmten Integrals benötigst.

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Antwort

Benötigt werden:

Das Integrationszeichen $\int$
Die Integrationsgrenzen $a$ und $b$
Die zu integrierende Funktion $f(x)$
Die Integrationsvariable $x$
Das Differenzial $dx$

Mit diesen Komponenten kannst Du das bestimmte Integral berechnen.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Formeln für das unbestimmte und bestimmte Integral an.

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Antwort

Die Formeln lauten:

Unbestimmte Integral: $\int f(x)\: dx$
Bestimmtes Integral: $\int_{a}^{b} f(x)\: dx$

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung berechnet werden kann.

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Antwort

Der Mittelwertsatz kann benutzt werden, um ein Integral annähernd zu bestimmen, ohne es genau zu berechnen. Beispielsweise, wenn nach der durchschnittlichen Höhe des Wasserstandes in einem bestimmten Zeitraum gefragt ist.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie die Stammfunktion $F(x)$ einer Funktion $f(x)$ gebildet wird und bilde dazu das unbestimmte Integral von $f(x)=4x^2+2x$.

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Antwort

Die Stammfunktion $F(x)$ bildest Du, indem Du den Vorgang des Ableitens rückgängig machst. Die Potenzregel ist eine Integrationsregel, mit der auch das unbestimmte Integral gebildet werden kann.

Das unbestimmte Integral lautet:

$$\int \frac{4}{3}x^3+x^2+C$$

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche Stammfunktion $F(x)$ zur Funktion $f(x)=2x+5$ gehört.

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Antwort

$$F(x)=x^2+5x+C$$

Frage anzeigen

Frage

Zähle die „wichtigsten“ Integrationsregeln auf, welche zum Bilden einer Stammfunktion $F(x)$ und der Berechnung von Integralen benötigt werden.

Antwort anzeigen

Antwort

Potenzregel
Faktorregel
Summenregel
Differenzregel

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie das bestimmte Integral berechnet werden kann (im Allgemeinen).

Antwort anzeigen

Antwort

Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung kann es berechnet werden:

Stammfunktion bilden
Integrationsgrenzen in die Stammfunktion einsetzen
Integral berechnen: $F(b)-F(a)$
Formel: $\int_{a}^{b} f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

Frage anzeigen

Frage

Gib an, was das bestimmte Integral berechnet und was Du dafür benötigst.

Antwort anzeigen

Antwort

Damit kann der Flächeninhalt berechnet werden, die der Funktionsgraph einer Funktion $f(x)$ und die $x$-Achse einschließt. Als Ergebnis erhältst Du konkrete Zahlenwerte. Du benötigst dafür:

Stammfunktion $F(x)$ der Funktion $f(x)$
Grenzen $a$ und $b$

Frage anzeigen

Frage

Mit der Integralrechnung können Flächenberechnungen durchgeführt werden.

Welche?

Antwort anzeigen

Antwort

Fläche zwischen Graph und x-Achse
Fläche zwischen zwei Graphen
Rotationskörper Volumen

Frage anzeigen

Karteikarten in Integralrechnung32

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Bestimmen Sie den Parameter q so, dass ein Integral von u(x) entsteht :
u(x)=x^(3)+x*sin(x) mit U(x)=∫(u(x))dx=a*x^4-x*cos(x)+sin(x)+a
Es sei 0<a<0,5

a=0,25=(1/4)

Bestimmen Sie den Parameter q so, dass ein Integral von u(x) entsteht :
u(x)=(1/4)*x*(x+e^(x))
U(x)=∫(u(x))dx=(1/3)*q*x^(3)+q*x*e^(x)-q*e^(x)+C
mit 0<q<0,5

q=0,25=(1/4)

(1/20)*(x+1)^(4)*(4*x-1)+C

Um welches Integral handelt es sich, wenn Integrationsgrenzen angegeben sind?

-bestimmtes Integral

Was wird mit dem bestimmten Integral berechnet?

Mithilfe des bestimmten Integrals berechnet man Flächen aus, die der Graph der Funktion f(x)

und die x-Achse in den jeweiligen Grenzen einschließen.

Welche Integrationsregel wird bei der partiellen Integration angewendet?

Die Produktregel.

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