Inhaltsverzeichnis▼
- Was ist Integralrechnung?
- Stammfunktion und Integrationskonstante
- Unbestimmtes und bestimmtes Integral
- Integrationsregeln und Stammfunktionstabelle
- Integralrechner mit Rechenweg
- Bestimmtes Integral berechnen
- Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Fläche unter und zwischen Kurven
- Typische Fehler beim Integrieren
- Übungsaufgaben
- Karteikarten
- Das Wichtigste
- Häufige Fragen
- Quellen
Was ist Integralrechnung?
Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der zentrale Teil der Analysis. Integrieren bedeutet, das Ableiten rückwärts zu gehen, und anschaulich misst ein Integral die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse. Die wichtigsten Werkzeuge sind die Stammfunktion und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Historisch entstand die Integralrechnung aus dem Problem, Flächen und Volumen krummlinig begrenzter Körper zu bestimmen. Gegen Ende des 17. Jahrhunderts entwickelten Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander die Infinitesimalrechnung. Von Leibniz stammt die bis heute genutzte Schreibweise mit dem lang gezogenen Integralzeichen ∫, das aus dem lateinischen Wort summa hervorging.
Der Grundgedanke lässt sich mit schmalen Rechtecken erklären: Legt man unter eine Kurve immer feinere Streifen, nähert deren Gesamtfläche die tatsächliche Fläche unter dem Graphen an. Das Integral ist der Grenzwert dieser Summen. Genau deshalb schreibt man Flächen, zurückgelegte Wege aus Geschwindigkeiten oder Wassermengen aus Zuflussraten als Integrale. Über 40 Millionen Lernende nutzen StudySmarter, um solche Grundideen sicher für die Klausur zu verstehen.
Integralrechnung lernen?
Stammfunktion und Integrationskonstante
Eine Stammfunktion F von f ist eine Funktion, deren Ableitung wieder f ergibt, es gilt also F′(x) = f(x). Stammfunktion bilden heißt somit rückwärts ableiten. Weil beim Ableiten jede Konstante wegfällt, gibt es unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine additive Konstante unterscheiden. Deshalb schreibt man F(x) + C.
Ein Beispiel macht das klar: Die Funktion F(x) = x³/3 ist eine Stammfunktion von f(x) = x², weil die Ableitung von x³/3 genau x² ist. Genauso sind aber auch x³/3 + 5 oder x³/3 − 2 Stammfunktionen von x², denn die Ableitung der Konstanten ist null. Alle diese Funktionen bilden zusammen die Stammfunktionenschar.
Das C heißt Integrationskonstante. Beim unbestimmten Integral bleibt es stehen, weil ohne weitere Angaben nicht feststeht, welche der unendlich vielen Stammfunktionen gemeint ist. Erst eine Zusatzbedingung, etwa ein bekannter Punkt des Graphen, legt C eindeutig fest.
Ob eine Stammfunktion stimmt, prüfst du immer durch Ableiten: Ergibt F′(x) wieder den Integranden f(x), ist die Stammfunktion korrekt. Diese Rückwärtsprobe deckt fast jeden Rechenfehler auf.
Unbestimmtes und bestimmtes Integral
Das unbestimmte Integral ∫ f(x) dx hat keine Grenzen und liefert die Menge aller Stammfunktionen F(x) + C. Das bestimmte Integral ∫ von a bis b f(x) dx besitzt eine untere Grenze a und eine obere Grenze b und liefert eine konkrete Zahl. Das unbestimmte Integral ist also eine Funktion, das bestimmte ein Wert.
Beim bestimmten Integral haben die Bausteine feste Namen: a ist die untere und b die obere Integrationsgrenze, f(x) heißt Integrand, und dx gibt die Integrationsvariable an. Das Zeichen dx zeigt an, nach welcher Variablen integriert wird, und markiert zugleich das Ende des Integranden.
| Merkmal | Unbestimmtes Integral | Bestimmtes Integral |
|---|---|---|
| Schreibweise | ∫ f(x) dx | ∫ von a bis b f(x) dx |
| Grenzen | keine | untere Grenze a, obere Grenze b |
| Ergebnis | Funktion F(x) + C | eine Zahl |
| Bedeutung | alle Stammfunktionen | orientierte Fläche über [a, b] |
| Konstante C | bleibt stehen | fällt bei F(b) − F(a) weg |
Praktisch ist, dass die Integrationskonstante im bestimmten Integral keine Rolle spielt: Rechnet man F(b) + C minus F(a) + C, hebt sich das C auf. Für das bestimmte Integral genügt daher irgendeine Stammfunktion, ohne dass du dich um C kümmern musst.
Integrationsregeln und Stammfunktionstabelle
Die wichtigsten Integrationsregeln sind die Potenzregel ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C für n ≠ −1, die Faktorregel und die Summenregel. Die Faktorregel erlaubt, konstante Faktoren vor das Integral zu ziehen, die Summenregel, eine Summe gliedweise zu integrieren. Damit lassen sich alle ganzrationalen Funktionen integrieren.
Die Potenzregel ist der Kern: Man erhöht den Exponenten um eins und teilt durch den neuen Exponenten. Aus x² wird also x³/3, aus x³ wird x⁴/4. Der Sonderfall n = −1 ist ausgenommen, denn hier stünde im Nenner eine Null. Für 1/x gilt stattdessen die logarithmische Regel ∫ 1/x dx = ln|x| + C.
Die Faktorregel besagt ∫ λ·f(x) dx = λ·∫ f(x) dx: Ein Vorfaktor bleibt beim Integrieren einfach erhalten. Die Summenregel ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx erlaubt, ein Polynom Term für Term zu integrieren. Zusammen heißen beide Regeln die Linearität des Integrals. Für die meisten Polynomfunktionen in der Schule reichen diese drei Regeln vollständig aus.
| Funktion f(x) | Stammfunktion F(x) | Regel |
|---|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C | Potenzregel |
| 1/x | ln|x| + C | logarithmische Regel |
| eₓ | eₓ + C | Exponentialfunktion |
| sin(x) | −cos(x) + C | trigonometrisch |
| cos(x) | sin(x) + C | trigonometrisch |
Für schwierigere Integranden gibt es zwei weiterführende Verfahren. Die partielle Integration ∫ f′·g dx = f·g − ∫ f·g′ dx kehrt die Produktregel um und hilft bei Produkten wie x·eₓ. Die Integration durch Substitution kehrt die Kettenregel um und eignet sich für verkettete Funktionen. Beide brauchst du erst, wenn Potenz-, Faktor- und Summenregel nicht mehr ausreichen.
Integralrechner mit Rechenweg
Mit dem Integralrechner gibst du die Koeffizienten eines Polynoms bis zum Grad drei ein und erhältst die Stammfunktion sowie, mit unterer Grenze a und oberer Grenze b, das bestimmte Integral F(b) − F(a) mit vollständigem Rechenweg. So prüfst du deine eigene Handrechnung Schritt für Schritt nach.
Der Rechner arbeitet genau wie deine Handrechnung: Er integriert jeden Term mit der Potenzregel, setzt die Grenzen in die Stammfunktion ein und bildet die Differenz F(b) − F(a). Bei ganzzahligen Eingaben gibt er das Ergebnis als exakten Bruch an, sonst als gerundete Dezimalzahl.
Bestimmtes Integral berechnen: Schritt für Schritt
Ein bestimmtes Integral berechnest du in drei Schritten: Zuerst bildest du eine Stammfunktion F, dann setzt du die obere Grenze b und die untere Grenze a ein, und schließlich bildest du die Differenz F(b) − F(a). Die Integrationskonstante C darfst du weglassen, weil sie sich bei der Subtraktion aufhebt.
Berechne ∫ von 0 bis 2 x² dx. Stammfunktion: F(x) = x³/3. Grenzen einsetzen: F(2) = 8/3 und F(0) = 0. Ergebnis: F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2,67. Die Schreibweise mit der eckigen Klammer lautet [x³/3] von 0 bis 2.
Berechne ∫ von 1 bis 3 (2x + 1) dx. Stammfunktion gliedweise: F(x) = x² + x. Einsetzen: F(3) = 9 + 3 = 12 und F(1) = 1 + 1 = 2. Ergebnis: F(3) − F(1) = 12 − 2 = 10.
Berechne ∫ von 0 bis π sin(x) dx. Stammfunktion: F(x) = −cos(x). Einsetzen: F(π) = −cos(π) = 1 und F(0) = −cos(0) = −1. Ergebnis: 1 − (−1) = 2.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis, verbindet Ableiten und Integrieren. Er besagt: Ist F eine Stammfunktion der stetigen Funktion f, dann gilt ∫ von a bis b f(x) dx = F(b) − F(a). Damit wird die Flächenberechnung auf das Einsetzen der Grenzen in eine Stammfunktion zurückgeführt.
Der Satz hat zwei Teile. Der erste Teil betrachtet die Integralfunktion F(x) = ∫ von a bis x f(t) dt, also das Integral mit variabler oberer Grenze. Er zeigt, dass diese Integralfunktion differenzierbar ist und als Ableitung wieder den Integranden liefert: F′(x) = f(x). Integrieren und Ableiten sind also Umkehroperationen. An der unteren Grenze hat die Integralfunktion stets eine Nullstelle, denn ∫ von a bis a f(t) dt = 0.
Der zweite Teil ist die praktisch genutzte Newton-Leibniz-Formel ∫ von a bis b f(x) dx = F(b) − F(a). Sie erlaubt, jedes bestimmte Integral über eine einzige Stammfunktion auszurechnen, statt mühsam Grenzwerte von Rechteck-Summen zu bilden. Genau diese Verbindung macht die Integralrechnung im Zusammenspiel mit den Eigenschaften von Funktionen so mächtig.
Fläche unter und zwischen Kurven
Ein bestimmtes Integral zählt Flächen unter der x-Achse negativ und über ihr positiv. Für einen echten Flächeninhalt zerlegt man deshalb an den Nullstellen und nimmt von jedem Teilintegral den Betrag. Die Fläche zwischen zwei Kurven ergibt sich als Integral über die Differenz der oberen minus der unteren Funktion.
Verläuft der Graph im betrachteten Intervall vollständig oberhalb der x-Achse, stimmt das Integral direkt mit der Fläche überein. Taucht der Graph aber unter die Achse, liefert das Integral dort einen negativen Beitrag. Ein Beispiel: ∫ von 1 bis 3 (x² − 4x + 3) dx ergibt −4/3, denn die Parabel liegt zwischen ihren Nullstellen x = 1 und x = 3 unter der Achse. Der Flächeninhalt ist der Betrag, also |−4/3| = 4/3.
Für die Fläche zwischen zwei Graphen f und g mit f oben und g unten gilt A = ∫ von a bis b (f(x) − g(x)) dx über dem betrachteten Intervall. Die Grenzen a und b sind dabei die Schnittstellen der beiden Kurven. Wichtig ist, vorher zu klären, welche Funktion oben verläuft, sonst kommt ein negatives Ergebnis heraus.
Typische Fehler beim Integrieren
Die häufigsten Fehler der Integralrechnung sind das vergessene + C beim unbestimmten Integral, vertauschte oder falsch eingesetzte Grenzen und fehlende Beträge bei Flächen unter der x-Achse. Wer C konsequent mitschreibt, F(b) − F(a) in der richtigen Reihenfolge bildet und an Nullstellen zerlegt, fängt fast alle davon ab.
Diese drei Stolperfallen kosten in Klausuren regelmäßig Punkte. Wenn du sie kennst, umgehst du sie mit wenig Aufwand.
Beim unbestimmten Integral gehört das + C immer dazu, denn es steht für unendlich viele Stammfunktionen. Ohne + C ist die Lösung unvollständig. Beim bestimmten Integral darf C dagegen wegfallen, weil es sich bei F(b) − F(a) heraushebt.
Es gilt F(obere Grenze) − F(untere Grenze), also F(b) − F(a). Wer a und b vertauscht, erhält das Ergebnis mit falschem Vorzeichen. Setze immer zuerst die obere Grenze ein.
Ein Integral kann negativ werden, ein Flächeninhalt nie. Liegt der Graph teils unter der x-Achse, musst du an den Nullstellen zerlegen und die Beträge der Teilintegrale addieren, sonst kürzen sich Flächen fälschlich weg.
Übungsaufgaben zur Integralrechnung
Fünf Übungsaufgaben decken die Potenzregel, das bestimmte Integral, die Summenregel, die Flächenberechnung und den Hauptsatz ab. Rechne jede Aufgabe zuerst selbst, klappe dann die Lösung auf und vergleiche deinen Rechenweg Schritt für Schritt mit der Musterlösung.
Exponent um eins erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen: ∫ x³ dx = x⁴/4 + C. Probe: die Ableitung von x⁴/4 ist x³.
Stammfunktion F(x) = x³/3. Einsetzen: [x³/3] von 0 bis 2 = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2,67.
Stammfunktion gliedweise: F(x) = x² + x. Einsetzen: (9 + 3) − (1 + 1) = 12 − 2 = 10.
Nullstellen x = 1 und x = 3. ∫ von 1 bis 3 (x² − 4x + 3) dx = 0 − 4/3 = −4/3. Die Kurve liegt unter der Achse, daher Fläche = |−4/3| = 4/3.
Stammfunktion F(x) = −cos(x). Einsetzen: −cos(π) − (−cos(0)) = 1 − (−1) = 2.
Karteikarten zur Integralrechnung
Sechs Karteikarten fassen die wichtigsten Punkte der Integralrechnung zusammen, von der Stammfunktion über die Potenzregel und den Unterschied der Integralarten bis zum Hauptsatz und zur Flächenberechnung. Klicke auf eine Karte, um die Antwort zu sehen, und navigiere mit den Pfeilen durch das Set.
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Integralrechnung, das Wichtigste
Die Integralrechnung kehrt das Ableiten um und misst Flächen. Eine Stammfunktion F erfüllt F′(x) = f(x); beim unbestimmten Integral kommt + C dazu. Der Hauptsatz liefert ∫ von a bis b f(x) dx = F(b) − F(a). Für Flächen unter der x-Achse zerlegt man an den Nullstellen und nimmt Beträge.
- Integrieren ist das Rückwärts-Ableiten und misst die Fläche unter dem Graphen.
- Stammfunktion: F mit F′(x) = f(x); unbestimmtes Integral mit + C.
- Potenzregel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C für n ≠ −1; für 1/x gilt ln|x| + C.
- Hauptsatz: ∫ von a bis b f(x) dx = F(b) − F(a).
- Flächen: an Nullstellen zerlegen und Beträge nehmen, zwischen Kurven oben minus unten.
Häufige Fragen zur Integralrechnung
Die Integralrechnung ist der Teil der Analysis, der sich mit dem Integrieren beschäftigt, also der Umkehrung des Ableitens. Ein Integral misst anschaulich den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse. Zentrale Werkzeuge sind die Stammfunktion und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Das unbestimmte Integral hat keine Grenzen und liefert die Menge aller Stammfunktionen F(x) + C. Das bestimmte Integral hat eine untere Grenze a und eine obere Grenze b und liefert eine konkrete Zahl, nämlich F(b) − F(a). Das unbestimmte Integral ist also eine Funktion, das bestimmte ein Wert.
Eine Stammfunktion F von f ist eine Funktion, deren Ableitung wieder f ergibt, es gilt also F′(x) = f(x). Stammfunktion bilden heißt somit rückwärts ableiten. Zum Beispiel ist F(x) = x³/3 eine Stammfunktion von f(x) = x², weil die Ableitung von x³/3 genau x² ist.
Beim Ableiten fällt jede additive Konstante weg, ihre Ableitung ist null. Deshalb hat eine Funktion nicht nur eine, sondern unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden. Das + C steht für diese Integrationskonstante und hält alle möglichen Stammfunktionen fest.
Der Hauptsatz verbindet Ableiten und Integrieren. Er besagt, dass das bestimmte Integral über die Stammfunktion berechnet wird: Ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt ∫ von a bis b f(x) dx = F(b) − F(a). Damit wird die Flächenberechnung auf das Einsetzen der Grenzen zurückgeführt.
Ein bestimmtes Integral zählt Flächen unter der x-Achse negativ und über der x-Achse positiv. Verläuft der Graph unterhalb der Achse, wird das Integral negativ. Für einen echten Flächeninhalt zerlegt man deshalb an den Nullstellen und nimmt von jedem Teilintegral den Betrag.
Quellen
Die fachlichen Inhalte orientieren sich an etablierter Fachliteratur und offenen Lehrmaterialien:
- Integralrechnung (Definition, Notation, Linearität, partielle Integration, Substitution, Historie). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Stammfunktion (Definition F′(x) = f(x), Integrationskonstante C). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Fundamentalsatz der Analysis (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Newton-Leibniz-Formel). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen (Potenzregel, 1/x, e-Funktion, Sinus, Kosinus). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Mathe für Nicht-Freaks: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (freies Lehrbuch, beide Teile des Hauptsatzes). Wikibooks. de.wikibooks.org