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Integralrechnung

Integralrechnung

Welche Themengebiete die Integralrechnung beinhaltet, was der Unterschied zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen ist und welche Regeln für Dich wichtig sind, erfährst Du in dieser Erklärung!

Integralrechnung, Flächenberechnung – Erklärung

Die Integralrechnung ist ein Teil der Analysis und kann genutzt werden, um verschiedene Flächenberechnungen durchzuführen:

  • Fläche zwischen Graph und x-Achse
  • Fläche zwischen zwei Graphen
  • Rotationskörper Volumen

Sieh in den einzelnen Erklärungen nach, um mehr darüber zu erfahren!

Ein Beispiel dafür ist die Berechnung des Flächeninhalts, die der Funktionsgraph einer Funktion \(f(x)\) und die \(x\)-Achse einschließt. Schau Dir dazu einmal die folgende Grafik an:

Integralrechnung Fläche unter Funktionsgraph Integralrechnung StudySmarterAbb. 2 - Fläche unter einem Funktionsgraph.

Was benötigst Du dafür? Zum einen eine sogenannte Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\) und zum anderen die Grenzen \(a\) und \(b\).

Zunächst zur Stammfunktion.

Integralrechnung Stammfunktion

Eine Stammfunktion \(F(x)\) ist eine differenzierbare Funktion, für die gilt \(F(x)'=f(x)\). Diese erhältst Du durch Integration der Funktion \(f(x)\).

\[F(x)+C\,\xleftarrow{\text{integrieren}}\,f(x)\,\xrightarrow{ableiten}\,f'(x)\]

Leitest Du eine Stammfunktion \(F(x)\) wieder ab, erhältst Du die Ausgangsfunktion \(f(x)\).

In der Erklärung „Stammfunktion bilden“ erhältst Du einen Einblick in dieses Teilgebiet.

Bei der Integration wird prinzipiell zwischen einem unbestimmten und einem bestimmten Integral unterschieden. Das Integral ist ein Oberbegriff dafür.

Unbestimmtes und bestimmtes Integral

Das bestimmte und das unbestimmte Integrale unterscheiden sich anhand ihrer Integrationsgrenzen. Folgende Komponenten sind für beide Integrale von Bedeutung:

  • \(\int\) = Integrationszeichen
  • \(f(x)\) = Integrand (zu integrierende Funktion)
  • \(x\) = Integrationsvariable
  • \(a\) und \(b\) = Integrationsgrenzen

Und wie werden diese Komponenten bei einem unbestimmten und einem bestimmten Integral genutzt? Die nachfolgende Tabelle zeigt Dir einen kurzen Einblick.

Unbestimmtes IntegralBestimmtes Integral
Darstellung
$$\int f(x)\:dx$$$$\int_{a}^{b}f(x)\:dx$$
Berechnung
Berechnet die Menge aller StammfunktionenBerechnet die Fläche zwischen dem Funktionsgraph einer Funktion \(f(x)\) und der \(x\)-Achse in einem gegebenen Intervall \([a;b]\)
Ergebnis
Funktionen \(F(x)+C\)konkreter Zahlenwert
Grenzen
unbekannt von \(a\) bis \(b\)

Was es mit dem unbestimmten und bestimmten Integral auf sich hat, erfährst Du in den Erklärungen „unbestimmtes Integral“ und „bestimmtes Integral“.

Hauptsatz der Integralrechnung – Formel

Ein Teil des Hauptsatzes der Integralrechnung berechnet bestimmte Integrale \(\int_{a}^{b}f(x)\:dx\) über die Stammfunktionen der Funktion \(f(x)\).

$$\int_{a}^{b}f(x)\: dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$

Das Ergebnis dieser Berechnung entspricht dem Flächeninhalt, die der Funktionsgraph der Funktion \(f(x)\) mit der \(x\)-Achse innerhalb der Integrationsgrenzen einschließt. So kann beispielsweise die Fläche \(A\) in der folgenden Grafik bestimmt werden.

Integralrechnung Das bestimmte Integral StudySmarterAbb. 3 - Beispiel bestimmtes \(\)Integral.

Mehr zum Thema und der Berechnung erfährst Du in der Erklärung „Hauptsatz der Differential und Integralrechnung“.

Integralrechnung Regeln

In der Integralrechnung kannst Du verschiedene Integrationsregeln und -techniken nutzen, um die Funktion \(f(x)\) zu integrieren. Mehr erfährst Du in den Erklärungen:

Möchtest Du den durchschnittlichen Funktionswert einer Funktion \(f(x)\) in einem bestimmten Intervall berechnen? Dann kann Dir der Mittelwertsatz weiterhelfen. Sieh Dir dazu folgende Vertiefung an.

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Der Mittelwert \(m\) der Funktionswerte einer integrierbaren Funktion \(f(x)\) im Intervall \([a,b]\) ist gegeben durch:

$$m=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\, dx$$

Was bedeutet dieser Satz? Den Flächeninhalt \(A\), den der Funktionsgraph einer Funktion \(f(x)\) und die \(x\)-Achse innerhalb eines Intervalls einschließen, kannst Du zum Beispiel berechnen, indem Du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nutzt.

Integralrechnung Mittelwertsatz StudySmarterAbb. 4 - Mittelwert zur Flächenberechnung.

Eine alternative Berechnung ist über den Mittelwertsatz möglich, der ein Rechteck der Höhe \(m\) und der Länge \(b-a\) definiert und den Flächeninhalt über dieses Rechteck ermittelt.

In den zugehörigen Karteikarten kannst Du Dein Wissen zur Integralrechnung testen!

Integralrechnung – Das Wichtigste

  • Die Integralrechnung als Teil der Analysis beschäftigt sich unter anderem mit der Flächen- und Volumenberechnung von eingeschlossenen Flächen.
  • Einige Teilgebiete der Integralrechnung sind:
    • Stammfunktion bilden und wichtige Stammfunktionen
    • Bestimmtes und unbestimmtes Integral
    • Flächenberechnung
    • Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung
    • Integrationsregeln und Integrationstechniken
    • Mittelwertsatz der Integralrechnung


Nachweise

  1. Papula, Lothar (2000). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden
  2. Courant, Richard (1971). Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 2. Springer Verlag

Häufig gestellte Fragen zum Thema Integralrechnung

Mit der Integralrechnung können Flächeninhalte A und Volumina V berechnet werden, die durch bestimmte Grenzen eingeschlossen werden. 

Integrale dienen zur Ermittlung von eingeschlossenen Flächeninhalten und Volumina innerhalb gewisser Gewissen. Ein bestimmtes Integral beispielsweise liefert einen konkreten Zahlenwert (Flächeninhalt / Volumen), während ein unbestimmtes Integral die Menge aller Stammfunktionen F(x) + C liefert.

Die Integralrechnung basiert auf dem Integrieren von Funktionen, wobei zwischen unbestimmten und bestimmten Integralen unterschieden wird. Das Ergebnis sind Stammfunktion und Flächeninhalte bzw. Volumina.

Flächeninhalte werden über das Lösen bestimmter Integrale ermittelt. Dazu dient der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Finales Integralrechnung Quiz

Frage


Die Wachstumsgeschwinigkeit x(t) eines Efeus während der ersten 100 Tage im Abhängigkeit von ihrem Alter t (in Tagen) lässt sich näherungsweise durch folgende Gleichung beschreiben:

Antwort anzeigen

Antwort

a) 666,67

b) Der Efeu wächst in den ersten 100 Tagen um 666,67cm.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das folgende unbestimmte Integral:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme mit der partiellen Integration das folgende unbestimmte Integral:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das folgende unbestimmte Integral:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das folgende unbestimmte Integral:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme mittels einer geeigneten Methode das folgende unbestimmte Integral:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das folgende unbestimmte Integral, um die Stammfunktion dieser zu erhalten:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das folgende Integral mittels einer geeigneten Methode:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Verwende die partielle Integration um das Integral zu lösen:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion mittels der partiellen Integration:



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das folgende unbestimmte Integral mittels der partiellen Integration:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!




Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!




Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie den Parameter q so, dass ein Integral von u(x) entsteht :
u(x)=x^(3)+x*sin(x) mit U(x)=∫(u(x))dx=a*x^4-x*cos(x)+sin(x)+a
Es sei 0<a<0,5

Antwort anzeigen

Antwort

a=0,25=(1/4)

Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie den Parameter q so, dass ein Integral von u(x) entsteht :
u(x)=(1/4)*x*(x+e^(x))
U(x)=∫(u(x))dx=(1/3)*q*x^(3)+q*x*e^(x)-q*e^(x)+C
mit 0<q<0,5

Antwort anzeigen

Antwort

q=0,25=(1/4)

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

∫(x*(1+x)^(3))dx

Hinweis: Nicht jede Multiplikation aus Integrationsgliedern bedarf partieller Integration, auch wenn es naheliegend scheint und möglich ist, ist es nicht automatisch der sinnvollste Weg!

Antwort anzeigen

Antwort

(1/20)*(x+1)^(4)*(4*x-1)+C

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller benötigten Zwischenschritte.


Antwort anzeigen

Antwort

13,68 FE

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral


Antwort anzeigen

Antwort

-12

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral: 



Antwort anzeigen

Antwort

5,1

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller Zwischenschritte und Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral und gib alle Zwischenschritte an!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral und runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen!


Antwort anzeigen

Antwort

1,19

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral 


Antwort anzeigen

Antwort

a. undefiniert

b. 5,28

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller Zwischenschritte!

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral und Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen!


Antwort anzeigen

Antwort

2,64

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller Zwischenschritte!


Antwort anzeigen

Antwort

7

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral und interpretiere das Vorzeichen!


Antwort anzeigen

Antwort

-6

Das negative Vorzeichen weist darauf hin, dass das Integral eine größere Fläche unter der x-Achse (welche negativ gewertet wird), als über der x-Achse besitzt (welche positiv gewertet wird).

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral und interpretiere das Vorzeichen!

Antwort anzeigen

Antwort

-27

Das negative Vorzeichen weist darauf hin, dass das Integral eine größere Fläche unter der x-Achse (welche negativ gewertet wird), als über der x-Achse besitzt (welche positiv gewertet wird).

 

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller Zwischenschritte!


Antwort anzeigen

Antwort

-44/9

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller Zwischenschritte!


Antwort anzeigen

Antwort

36,25

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral!



Antwort anzeigen

Antwort

12

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral und runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen!


Antwort anzeigen

Antwort

10,87

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller Zwischenschritte:


Antwort anzeigen

Antwort

81,67

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Integral unter Angabe aller Zwischenschritte.


Antwort anzeigen

Antwort

2,25

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das unbestimmte Integral und gib die entsprechende Integrationsregel an



Antwort anzeigen

Antwort

lineare Substitution

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfntkion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Eine Funktion F ist Stammfunktion der Funktion f, wenn gilt:

Antwort anzeigen

Antwort



Frage anzeigen

Frage

Was machen, wenn untere Grenze nicht im Definitionsbereich ist?

Antwort anzeigen

Antwort



Frage anzeigen

Frage

Wie lauten die Stammfunktionen der Elementarfunktionen?

Antwort anzeigen

Antwort


Stammfunktionen der Elementarfunktionen


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Frage

Um welches Integral handelt es sich, wenn Integrationsgrenzen angegeben sind?

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Antwort

-bestimmtes Integral

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Frage

Was wird mit dem bestimmten Integral berechnet?

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Antwort

Mithilfe des bestimmten Integrals berechnet man Flächen aus, die der Graph der Funktion f(x)

und die x-Achse in den jeweiligen Grenzen einschließen.

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Frage

Wie lautet die allgemeine Schreibweise für das bestimmte Integral?

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Antwort

Frage anzeigen

Frage

Welche Integrationsregel wird bei der partiellen Integration angewendet?

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Antwort

Die Produktregel.

Frage anzeigen

Frage

Wozu wird die partielle Integration verwendet?

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Antwort

Um Funktionen zu integrieren, die aus zwei oder mehreren Faktoren bestehen.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die partielle Integration noch genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

Produktintegration

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die allgemeine Definition (Formel) für die partielle Integration?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie wird eine verkette Funktion integriert?

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Antwort

 Mit der Subsitutionsregel.

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Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Integration durch Substitution?

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Antwort


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Frage

Die Funktion F(x) = ∫ e^2x*dx sei gegeben. Integriere durch Substitution.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Welche Rechenschritte muss man bei der Integration durch Substitution machen?

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Antwort

1. Substitution vorbereiten. → Welcher Term ist zu substituieren? 

2. Substitution

3. Integration 

4. Rücksubstitution.

Frage anzeigen

Frage

Gesucht ist die Stammfunktion von  

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Was beschreibt ein uneigentliches Integral?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Integral, also die Fläche einer Kurve reicht in das Unendliche und hat dennoch einen endlichen Flächeninhalt.

Frage anzeigen

Frage

Welche Formel gilt allgemein für das uneigentliche Integral?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Arten von uneigentlichen Integralen gibt es? 


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Antwort

Es gibt 2 Arten: uneigentliches Integral 1. und 2. Art

Frage anzeigen

Frage

Wie sind die Bedingungen für das uneigentliche Integral 1.Art?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Uneigentlichen Integral 1. Art befinden sich ∞, −∞ oder beides in den Integrationsgrenzen.

Frage anzeigen

Frage

Wie sind die Bedingungen für das uneigentliche Integral 2.Art?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Uneigentlichen Integral 2. Art ist die Funktion f(x) für eine der Grenzen u,k oder beide nicht definiert, d.h. es gilt: f(u) oder f(k) ist nicht definiert.

Frage anzeigen

Frage

Welche Rechenschritte werden bei der Berechnung des uneigentlichen Integrals verfolgt?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Rechte Grenze = z. Term A(z) aufstellen für Flächeninhalt. 

2. In Abhängigkeit von z Integral berechnen. 

3. Grenzwert für z ⟶ ∞ bestimmen.

Frage anzeigen

Frage

Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = e^-x und der x-Achse für x ≥ 0 ist gesucht.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Flächeninhalt beträgt genau 1 FE.

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe, ob die Funktion 

im ersten Quadranten einen endlichen Flächeninhalt mit der x-Achse einschließt. Ist dies der Fall, so gib den Flächeninhalt an.



Antwort anzeigen

Antwort

Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt:


Frage anzeigen

Frage

Überprüfe, ob die Funktion im ersten Quadranten einen endlichen Flächeninhalt mit der x-Achse einschließt. Ist dies der Fall, so gib den Flächeninhalt an.

Antwort anzeigen

Antwort

Jedoch gilt:

Deswegen ist der eingeschlossene Flächeninhalt nicht endlich groß.

Frage anzeigen

Frage


Überprüfe, ob das uneigentliche Integral 

 einen endlichen Wert hat.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wie ist eine Integralfunktion aufgebaut?

Antwort anzeigen

Antwort

mit

a =untere Grenze, eine beliebige reelle Zahl 

g = weitere Funktion

Frage anzeigen

Frage

Was haben Integralfunktion und Stammfunktion miteinander zu tun?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Integralfunktion eine bestimmte Stammfunktion von g, die an der Stelle x =a (untere Grenze) eine Nullstelle hat.

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Frage

Welche Eigenschaften hat eine Integralfunktion?

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Antwort

1)Die untere Grenze des Integrals ist immer eine Nullstelle von f. Also gilt immer f(a) = 0. 

2) Die Ableitung von f ist die innere Funktion. → t wird durch x ersetzt. Es gilt also f’(x) = g(x)

Frage anzeigen

Frage

Mit welchen Rechenschritten formt man die Integralfunktion in die normale Darstellung um?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Eine Stammfunktion der inneren Funktion bilden. 

2. Grenze a und x jeweils einsetzen und berechnen. 

3. Ergebnisse voneinander abziehen.

Frage anzeigen

Frage

Gesucht sei eine Darstellung von f ohne Verwendung des Integralzeichens.

Antwort anzeigen

Antwort



Frage anzeigen

Frage

Was gilt, wenn G eine beliebige Stammfunktion von g ist?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Integralfunktion von .



Antwort anzeigen

Antwort

1.Stammfunktion bestimmen:

2. Werte einsetzen:


Frage anzeigen

Frage

An welcher Stelle besitzt eine Integralfunktion eine Nullstelle?

Antwort anzeigen

Antwort

Jede Integralfunktion hat an der Stelle x=a eine Nullstelle. Daher besitzt diese mindestens eine Nullstelle.

Frage anzeigen

Frage

Welche Steigung 

besitzt eine Integralfunktion I(x) an einer Stelle ?


   

 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Steigung einer Integralfunktion I(x)an einer Stelle  ist gleich dem Funktionswert .

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sei die folgende Integralfunktion:

Bestimme eine Darstellung von f(x) ohne Integralzeichen.

Antwort anzeigen

Antwort

Dazu bestimmt man eine Stammfunktion  der inneren Funktion. Eine mögliche Stammfunktion ist: 


Frage anzeigen

Frage

Warum ist nicht jede Stammfunktion eine Integralfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion, aber nicht jede Stammfunktion ist auch eine Integralfunktion. Weil eine Stammfunktion beliebig nach oben/unten verschoben werden kann. 


Frage anzeigen

Frage

Betrachtet werden soll die Funktion:

Beschreibe den Verlauf von f(x) Mathe-Abitur in einer kleinen Umgebung von x=1

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion g(x)  ist die Ableitung von f(x). An der Stelle x=1  hat g(x) einen Vorzeichenwechsel von + nach - , daher hat f(x) an der Stelle x=1 einen Hochpunkt. Weiter ist x=1 die untere Grenze, woraus folgt, dass f(x) bei x=1 eine Nullstelle hat.

Frage anzeigen

Frage

Betrachtet wird die Funktion:

Bestimme die Werte von f(-2) , f(0) und f(2).


Antwort anzeigen

Antwort

Die Flächeninhalte zwischen 0  und -2 bzw. zwischen 0 und 2 jeweils genau .

Untersucht werden muss noch das jeweilige Vorzeichen. Für negative t liegt der Graph der Funktion zwar oberhalb der x -Achse, aber die untere Grenze des Integrals (x=0) ist größer als die obere Grenze (x=-2), daher gilt: f(-2)=-.

Für positive t liegt der Graph von g(t) unterhalb der x-Achse, woraus folgt, dass f(2)= gilt. Schließlich ist x=0 die untere Grenze der Integralfunktion, woraus f(0)=0 folgt.

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Frage


Betrachtet wird die Funktion:

Bestimme die Werte von f(-1) und f(1).



 

Antwort anzeigen

Antwort

Liegen die Grenzen an den Stellen x=-1 bzw. x=1, so betrachtet man Viertelkreise. Es folgt f(-1)=f(1)=-.

Frage anzeigen

Frage

Betrachtet wird die Funktion:


Untersuche f(x) auf Wendepunkte.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion g(t) hat auf ihrem Definitionsbereich genau zwei Extrempunkte. Diese sind Wendepunkte von f(x). Somit hat f(x) genau die zwei Wendestellen x=-1 und x=1.

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe, ob folgende Funktion im ersten Quadranten einen endlichen Flächeninhalt mit der

x-Achse einschließt. Ist dies der Fall, so gib den Flächeninhalt an.


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Gesucht ist die Fläche, die der Graph der Funktion f(x)=e−x mit den beiden Koordinatenachsen aufspannt.

Antwort anzeigen

Antwort

Man lässt zur Berechnung eine feste Grenze b gegen unendlich laufen.


 


Frage anzeigen

Frage

Ein Heliumballon startet am Erdboden senkrecht nach oben.

Seine Geschwindigkeit lässt sich durch die Funktion v(t) beschreiben.

Dabei ist t  in Stunden nach Start und v(t) in km/h angegeben.

Mit welcher Geschwindigkeit steigt der Ballon zu Beginn?

Antwort anzeigen

Antwort

v(0)=10km/h

Frage anzeigen

Frage

Ein Heliumballon startet am Erdboden senkrecht nach oben.

Seine Geschwindigkeit lässt sich durch die Funktion v(t) beschreiben.



Dabei ist t  in Stunden nach Start und v(t) in km/h angegeben.

Zeige, dass sich der Ballon zu jedem Zeitpunkt aufwärts bewegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Nenner von v(t) Mathe-Abitur ist eine binomische Formel. Daher gilt:

Nun erkennt man, dass stets

gilt. Also ist die Geschwindigkeit stets positiv und der Ballon bewegt sich daher immer aufwärts.

Frage anzeigen

Frage

Was kann man mit dem uneigentlichen Integral integrieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit dem uneigentlichen Integral ist es möglich, Funktionen zu integrieren, die einzelne Singularitäten aufweisen oder deren Definitionsbereich unbeschränkt ist und die deshalb im eigentlichen Sinn nicht integrierbar sind.

Frage anzeigen

Frage

Integriere

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme das Integral von:


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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Stammfunktion von 

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme das Integral mittels partieller Integration.


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einem unbestimmten Integral?

Antwort anzeigen

Antwort

Unter unbestimmten Integralen versteht man die Gesamtheit der Stammfunktionen.



Ein unbestimmtes Integral besitzt keine Ober- und Untergrenzen und es kommt somit kein Wert, sondern eine Funktion als Lösung heraus.

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einem bestimmten Integral?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem bestimmten Integralen berechnest du die Fläche einer Funktion  bis zur x-Achse in einem bestimmten Intervall . Dabei stellt b die Obergrenze und a die Untergrenze dar.



Du erhälst also einen klaren Wert als Lösung.


Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einem bestimmten Integral?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem bestimmten Integralen berechnest du die Fläche einer Funktion  bis zur x-Achse in einem bestimmten Intervall . Dabei stellt b die Obergrenze und a die Untergrenze dar.



Du erhälst also einen klaren Wert als Lösung.


Frage anzeigen

Frage

Führe eine Integration mit dem Austausch der Intervallgrenzen durch:





Antwort anzeigen

Antwort

Hier siehst du eine Integration vor dem Austausch der Intervallgrenzen:



Nun siehst du die Integration nach dem Austausch der Intervallgrenzen:



Frage anzeigen

Frage

Nenne einige punktsymmetrische Funktionen.

Antwort anzeigen

Antwort

Punktsymmetrische Funktionen sind zum Beispiel die Sinusfunktion, lineare Funktionen, die durch den Ursprung verlaufen, oder Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten wie.


Frage anzeigen

Frage

Gib an, wofür die Integralrechnung genutzt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Im Allgemeinen wird die Integralrechnung genutzt, um Flächeninhalte \(A\) und Volumen \(V\) zu berechnen, die durch bestimmte Grenzen eingeschlossen werden. 

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Komponenten, die Du für die richtige Schreibweise eines bestimmten Integrals benötigst.

Antwort anzeigen

Antwort

Benötigt werden:


  • Das Integrationszeichen \(\int\)
  • Die Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\) 
  • Die zu integrierende Funktion \(f(x)\) 
  • Die Integrationsvariable \(x\)
  • Das Differenzial \(dx\)


Mit diesen Komponenten kannst Du das bestimmte Integral berechnen.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Formeln für das unbestimmte und bestimmte Integral an. 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formeln lauten:


  • Unbestimmte Integral: \(\int f(x)\: dx\)

  • Bestimmtes Integral: \(\int_{a}^{b} f(x)\: dx\)

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung berechnet werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Mittelwertsatz kann benutzt werden, um ein Integral annähernd zu bestimmen, ohne es genau zu berechnen. Beispielsweise, wenn nach der durchschnittlichen Höhe des Wasserstandes in einem bestimmten Zeitraum gefragt ist.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie die Stammfunktion \(F(x)\) einer Funktion \(f(x)\) gebildet wird und bilde dazu das unbestimmte Integral von \(f(x)=4x^2+2x\).

Antwort anzeigen

Antwort

Die Stammfunktion \(F(x)\) bildest Du, indem Du den Vorgang des Ableitens rückgängig machst. Die Potenzregel ist eine Integrationsregel, mit der auch das unbestimmte Integral gebildet werden kann.


Das unbestimmte Integral lautet:

$$\int \frac{4}{3}x^3+x^2+C$$


Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche Stammfunktion \(F(x)\) zur Funktion \(f(x)=2x+5\) gehört. 

Antwort anzeigen

Antwort

$$F(x)=x^2+5x+C$$

Frage anzeigen

Frage

Zähle die „wichtigsten“ Integrationsregeln auf, welche zum Bilden einer Stammfunktion \(F(x)\) und der Berechnung von Integralen benötigt werden. 

Antwort anzeigen

Antwort

  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie das bestimmte Integral berechnet werden kann (im Allgemeinen).

Antwort anzeigen

Antwort

Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung kann es berechnet werden:


  • Stammfunktion bilden
  • Integrationsgrenzen in die Stammfunktion einsetzen
  • Integral berechnen: \(F(b)-F(a)\)
  • Formel: \(\int_{a}^{b} f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)\)


Frage anzeigen

Frage

Gib an, was das bestimmte Integral berechnet und was Du dafür benötigst.

Antwort anzeigen

Antwort

Damit kann der Flächeninhalt berechnet werden, die der Funktionsgraph einer Funktion \(f(x)\) und die \(x\)-Achse einschließt. Als Ergebnis erhältst Du konkrete Zahlenwerte. Du benötigst dafür:

  • Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\)
  • Grenzen \(a\) und \(b\)

Frage anzeigen

Frage

Mit der Integralrechnung können Flächenberechnungen durchgeführt werden.

Welche?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Fläche zwischen Graph und x-Achse
  • Fläche zwischen zwei Graphen
  • Rotationskörper Volumen


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