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Scheitelpunkt berechnen

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Scheitelpunkt berechnen

Wenn Du Dir diese beiden Bilder anschaust, welche Gemeinsamkeit lässt sich zwischen der Brücke und dem Regenbogen erkennen?

Scheitelpunktform Brücke StudySmarter Scheitelpunktform Regenbogen StudySmarter

Beide haben die Form einer Parabel und können durch quadratische Funktionen beschrieben werden. Der höchste Punkt von Parabeln nennt sich Scheitelpunkt. Liegt Dir nun z. B. eine quadratische Funktion zu der Brücke vor, kannst Du mithilfe der Scheitelpunktform ihren höchsten Punkt ermitteln.

Scheitelpunkt berechnen – Grundlagenwissen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine quadratische Funktion darzustellen:

  • Normalform:
  • Allgemeine Form:
  • Faktorisierte Form mit den Nullstellen
  • Scheitelpunktform:

Dabei darf der Vorfaktor a niemals gleich 0 sein. Die Normalform ist ein Sonderfall der Allgemeinen Form, in welcher der Vorfaktor a = 1 ist.

Wann Du welche Form benutzt, hängt davon ab, ob Du die Nullstellen oder den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ermitteln möchtest.

Zur Erinnerung: Der Graph von quadratischen Funktionen nennt sich Parabel und ist entweder nach oben oder unten geöffnet.

Parabeln können beispielsweise folgendermaßen aussehen:

Scheitelpunktform Parabeln StudySmarterAbbildung 1: Beispiele für Parabeln

Der Scheitelpunkt S beschreibt entweder den höchsten (Sg) oder den niedrigsten Punkt (Sf) einer Parabel.

Ist die Parabel nach oben geöffnet, ist der Scheitelpunkt ein Tiefpunkt, also der niedrigste Punkt.

Ist die Parabel nach unten geöffnet, ist der Scheitelpunkt ein Hochpunkt, also der höchste Punkt.

Um mehr über "Quadratische Funktionen" zu lernen, lies Dir gerne besten den Artikel dazu durch!

Scheitelpunktform – Definition

Mit der Scheitelpunktform, oder auch Scheitelform genannt, kann jede quadratische Funktion abgebildet werden.

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet:

An dieser Form kann direkt der Scheitelpunkt von Parabeln direkt abgelesen werden. Dieser lautet dann:

Der Buchstabe a stellt einen Vorfaktor dar, der die Parabel breiter bzw. schmaler macht.

Bestimmen bzw. Berechnen des Scheitelpunkts

Es gibt verschiedene Arten, eine quadratische Funktion darzustellen und den Scheitelpunkt zu bestimmen. Je nachdem, welche Form der quadratischen Funktion Dir vorliegt, unterscheidet sich das Vorgehen.

Ablesen des Scheitelpunkts aus der Scheitelpunktform

Liegt die Funktion in der Scheitelpunktform vor, also , kannst Du den Scheitelpunkt direkt daraus ablesen. Dieser ist dann .

Achte dabei auf die Vorzeichen. Wenn in der Klammer nach dem x ein + steht, ist der x-Wert Deines Schnittpunktes (d) negativ.

Gegeben ist die Funktion .

Vergleiche hierbei die gegebene Funktion direkt mit der Funktionsvorschrift der Scheitelform, um die Parameter d und e des Scheitelpunktes S korrekt zu bestimmen.

Der Scheitelpunkt liegt demnach bei .

Bei der Funktion liegt der Scheitelpunkt bei .

Scheitelpunkt berechnen Ablesen des Scheitelpunktes StudySmarterAbbildung 3: Parabel mit Scheitelpunkt S

Umwandlung Normalform in Scheitelpunktform

Wenn eine Funktion in Normalform gegeben ist und Du den Scheitelpunkt berechnen möchtest, kannst Du diese Funktion in die Scheitelform umwandeln. Dies gelingt Dir durch eine quadratische Ergänzung.

Durch die quadratische Ergänzung werden Terme, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, so umgeformt, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann.

Die binomischen Formeln helfen beim Potenzieren von Summen und Differenzen.

Erste binomische Formel:

Zweite binomische Formel:

Um mehr darüber zu erfahren, schau Dir den Artikel "Quadratische Ergänzung" an!

Beim Umwandeln gehst Du nun wie folgt vor:

  • Wähle zuerst die passende binomische Formel.
  • Weise a und b die entsprechenden Werte der Funktion zu.
  • Vervollständige die binomische Formel mittels quadratischer Ergänzung.
  • Zieh den hinzugefügten Term direkt wieder ab.
  • Vereinfache den Term, indem Du die binomische Formel anwendest.

Aufgabe 1

Gib folgende Funktion in der Scheitelpunktform an und berechne den Scheitelpunkt S:

Lösung

Wähle zunächst die binomische Formel aus, die zu der Funktion passt. Da in der Funktion mit 6x addiert wird (positives Vorzeichen), verwendest Du die erste binomische Formel.

Nun suchst Du nach den passenden Werten für a und b. Der Wert für a in der binomischen Formel ist x, da x genau wie a im Quadrat auftritt. Um den Wert für b zu bestimmen, betrachtest Du nur den Teil der Funktion, in dem ein einfaches x vorkommt, und vergleichst ihn mit dem Term 2ab.

Du teilst also die Zahl, die vor dem einfachen x steht, durch 2 und erhältst damit den Wert für b in der binomischen Formel. Der Wert für a ist immer x!

Da a = x gilt, muss b = 3 sein.

Die binomische Formel für die Funktion lautet wie folgt:

Da hier noch der Term " " fehlt, erfolgt jetzt die quadratische Ergänzung: Du addierst den Wert für b als Quadrat hinzu.

Die binomische Formel für das konkrete Beispiel lautet in kompletter Form:

Da nicht einfach eine Zahl zu einer Gleichung hinzuaddiert werden darf, musst Du den gleichen Wert wieder abziehen:

Zur Erinnerung: Das +2 kommt aus der gegebenen Gleichung von oben. Sie wurde bisher vernachlässigt, muss jetzt aber wieder dazu addiert werden und fällt nicht einfach weg.

Jetzt wendest Du nur noch die binomische Formel an, vereinfachst also den ersten Teil des Terms.

So erhältst Du die finale Scheitelform, von der Du den Scheitelpunkt S ablesen kannst:

Zur Erinnerung: Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion liegt bei .

Der Scheitelpunkt S lautet:

Umwandlung Allgemeine Form in Scheitelpunktform

Es kommt häufig vor, dass Funktionen nicht in der Normalform, sondern in der Allgemeinen Form auftreten. Sie unterscheiden sich dabei im Vorfaktor a.

Dabei gehst Du ähnlich vor, Du musst als ersten Schritt nur den Faktor a ausklammern.

Aufgabe 2

Gib folgende Funktion in der Scheitelpunktform an und berechne den Scheitelpunkt S.

Lösung

Als Erstes klammerst Du den Vorfaktor aus. Dieser steht immer vor dem x2, entspricht hier also 4.

Daraus ergibt sich folgende Funktion:

Hier genügt es, die Terme, in denen ein x vorkommt, auszuklammern. Die 8 hat keinen Einfluss auf die binomische Formel.

Hier gehört die zweite binomische Formel zu dem Funktionsterm, weil 3x abgezogen werden.

Der Wert für a ist immer x. Um b zu bestimmen, betrachtest Du zunächst nur den Funktionsteil, in dem ein einfaches x vorkommt, und teilst diesen durch 2.

Der Wert in der binomischen Formel ist für a = x und für .

Die binomische Formel dieser Funktion lautet bis jetzt wie folgt:

Zusammen mit der quadratischen Ergänzung lautet die komplette binomische Formel:

Als Nächstes ziehst Du den hinzuaddierten Wert, also , wieder ab:

Achte darauf, dass die Klammer auch die miteinschließt. Diese wird auch mit 4 multipliziert!

Jetzt wendest Du wieder die binomische Formel an und vereinfachst den Rest der Funktion:

Du hast die Funktion nun in die Scheitelpunktform gebracht. Jetzt kannst Du den Scheitelpunkt ablesen:

Der Scheitelpunkt lautet dann:

Umwandlung Faktorisierte Form in Scheitelpunktform

Liegt eine quadratische Funktion in der faktorisierten Form vor, kannst Du daraus die Nullstellen direkt ablesen. Sie lauten: . Der Vorfaktor a ist genau der Gleiche, wie bei der Scheitelform oder Allgemeinen Form. Er gibt an, wie breit bzw. schmal eine Parabel ist.

Wie bei der Scheitelpunktform auch, musst Du besonders auf die Vorzeichen in den Klammern achten. Ist das Vorzeichen vor x1 oder x2 negativ, ist die Nullstelle positiv. Ist das Vorzeichen allerdings positiv, ist die Nullstelle negativ.

Die quadratische Funktion

hat folgende Nullstellen:

Scheitelpunkt berechnen Parabel in Faktorisierter Form StudySmarterAbbildung 4: Parabel von f(x) mit den Nullstellen x_1 und x_2 und Scheitelpunkt S

Der Scheitelpunkt S liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen x1 und x2. Das gilt für alle Parabeln.

Dieser Zusammenhang zwischen Scheitelpunkt und Nullstellen hilft dabei, die faktorisierte Form in die Scheitelform umzuwandeln. Von den Nullstellen leitest Du die Koordinaten für den Scheitelpunkt S ab. Dabei gehst Du wie folgt vor:

  • Ablesen der Nullstellen aus der faktorisierten Form
  • Bestimmung der x-Koordinate d des Scheitelpunktes mit dem Mittelwert der Nullstellen →
  • Berechnung der y-Koordinate e des Scheitelpunktes durch Einsetzen von d in f(x)
  • Einsetzen von in die Scheitelfunktion

Aufgabe 3

Wandle folgende Funktion in die Scheitelform um und bestimme den Scheitelpunkt.

Lösung

Die Nullstellen der Funktion liest Du ab. Sie lauten wie folgt:

Um die x-Koordinate d des Scheitelpunktes S zu bestimmen, errechnest Du den Mittelwert zwischen den beiden Nullstellen x1 und x2.

Das ist möglich, da eine Parabel achsensymmetrisch zur Y-Achse ist. Das heißt, sie spiegelt sich am Scheitelpunkt. Demnach liegt der Scheitelpunkt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

Die y-Koordinate e des Scheitelpunktes S berechnest Du, indem Du die x-Koordinate d in die Funktion einsetzt.

Der Scheitelpunkt lautet .

Diesen kannst Du jetzt in die Scheitelpunktform mit dem Scheitelpunkt einsetzen. Den Vorfaktor a übernimmst Du aus der Faktorisierten Form:

Die Scheitelform dieser Funktion wie folgt:

Scheitelpunkt mit der Ableitung berechnen

Wenn Du Dich bereits mit Ableitungen von Funktionen beschäftigt hast, findest Du im Folgenden noch eine weitere Möglichkeit, den Scheitelpunkt aus der allgemeinen Form einer Funktion zu berechnen.

Der Scheitelpunkt einer Funktion in allgemeiner Form kann berechnet werden, indem die Funktion abgeleitet wird.

Zur Erinnerung: Ableitungen geben die Steigung einer Funktion an der Stelle x an.

Grafisch betrachtet sind Ableitungen als Tangenten, also als lineare Funktionen, zu verstehen, die in diesem Fall Parabeln in einem Punkt berühren.

Zeichnest Du eine solche Tangente an den Scheitelpunkt einer Parabel, lässt sich erkennen, dass die Steigung dieser Tangente gleich 0 ist.

Betrachtet wird im folgenden Beispiel die Funktion mit der Tangente h am Scheitelpunkt.

Scheitelpunkt berechnen Tangente des Scheitelpunktes StudySmarterAbbildung 5: Tangente am Scheitelpunkt einer Parabel

Die Steigung am Scheitelpunkt S einer Parabel ist immer gleich null. Damit ist die Ableitung einer quadratischen Funktion an dieser Stelle auch gleich null.

Du kannst also den x-Wert des Scheitelpunktes bestimmen, indem Du die Ableitung der Funktion gleich null setzt.

Betrachtet wird die Funktion, die Du etwas weiter oben schon als Parabel sehen konntest:

Als ersten Schritt leitest Du diese Funktion ab.

Für Ableitungen dieser Art sind die Potenzregeln relevant. Um Dich in das Thema zu vertiefen, schau Dir den Artikel dazu an!

Jetzt wird die Ableitung gleich null gesetzt und nach x aufgelöst:

Daraus ergibt sich der x-Wert des Scheitelpunktes S. Für den y-Wert setzt Du x = 1 in die ursprüngliche Funktion, also in , ein:

Damit liegt der Scheitelpunkt bei .

Umwandlung Scheitelpunktform in Allgemeine Form

Es kann manchmal auch hilfreich sein, eine Funktion, die in Scheitelpunktform vorliegt, in die Allgemeine Form umzuwandeln.

Auf die Allgemeine Form kannst Du z. B. die pq-Formel, oder Mitternachtsformel zur Berechnung der Nullstellen anwenden.

Für die Umwandlung benötigst Du keine quadratische Ergänzung, sondern multiplizierst den Term aus.

Aufgabe 4

Wandle folgende Funktion in ihre Allgemeine Form um.

Lösung

Zunächst löst Du die binomische Formel auf. Hier handelt es sich um die zweite binomische Formel:

Die zweite binomische Formel lautet:

Daraus ergibt sich folgender Term:

Diesen aufgelösten Term setzt Du in die Funktion ein:

Nun multiplizierst Du aus. Beginne damit, die Klammer aufzulösen. Anschließend vereinfachst Du den Term so weit wie möglich:

Aufgaben zur Scheitelpunktform

Anhand der folgenden Aufgaben kannst Du nun Dein Wissen vertiefen.

Aufgabe 5

Wandle die folgende Funktion in die Scheitelpunktform um und gib den Scheitelpunkt S an.

Lösung

1. Vorfaktor ausklammern

2. binomische Formel auswählen

3. a und b bestimmen

4. quadratische Ergänzung & direktes Abziehen

5. binomische Formel anwenden & vereinfachen

Der Scheitelpunkt liegt demnach bei .

Achte auf das Vorzeichen in der Klammer beim Ablesen des Scheitelpunktes!

Aufgabe 6

Wandle die folgende Funktion in die Scheitelform um und gib den Scheitelpunkt an.

Lösung

1. Ablesen der Nullstellen

Die Nullstellen x1 und x2 lauten:

2. Bestimmung der x-Koordinate d des Scheitelpunktes S mit dem Mittelwert der Nullstellen x1 und x2

3. Berechnung der y-Koordinate e des Scheitelpunkt S durch Einsetzen von d in f(x)

Der Scheitelpunkt S lautet:

4. Einsetzen des Scheitelpunktes S in die Scheitelpunktform

Den Parameter a kannst Du aus der faktorisierten Form ablesen.

Aufgabe 7

Wandle folgende Funktion in die Allgemeine Form um!

Lösung

1. binomische Formel anwenden

2. Ausmultiplizieren & Zusammenfassen

Scheitelpunktform – Das Wichtigste

  • Definition der Scheitelpunktform:
  • Der Scheitelpunkt ist direkt daraus ablesbar und liegt bei: .
  • Umwandlung von Allgemeiner Form in Scheitelform:
    • Ausklammern des Vorfaktors
    • Bestimmen von a und b der binomischen Formel
    • quadratische Ergänzung & direktes Abziehen
    • Anwenden der binomischen Formel
  • Umwandlung von Normalform in Scheitelform genau wie von Allgemeiner Form nur ohne das Ausklammern
  • Umwandlung von Faktorisierter Form in Scheitelform:
    • Ablesen der Nullstellen aus der Faktorisierten Form
    • Bestimmung von x-Koordinate d des Scheitpunkt S mit dem Mittelwert der Nullstellen →
    • Berechnung von y-Koordinate e des Scheitelpunkt S durch Einsetzen von d in f(x)
    • Einsetzen des Scheitelpunktes in die Scheitelform .
  • Umwandlung von Scheitelform in Allgemeine Form:
    • Anwenden der binomischen Formel
    • Ausmultiplizieren

Häufig gestellte Fragen zum Thema Scheitelpunkt berechnen

Der Scheitelpunkt S einer Parabel liegt bei S(d | e). Der Parameter d gibt somit den x-Wert des Scheitelpunktes an.

Die Scheitelpunktform wird verwendet, wenn der Scheitelpunkt S einer Parabel gesucht wird. Aus dieser Form kann der Scheitelpunkt S nämlich direkt abgelesen werden.

Die Scheitelpunktform ist definiert als f(x) = a(x-d)2+e. Die Parameter d und geben den Scheitelpunkt S an. Dieser lautet dann: S(d | e). Der Parameter gibt die Stauchung bzw. Streckung der Parabel an.

Zuerst löst du die Klammer auf, indem du die binomische Formel anwendest. Anschließend multiplizierst du den Term weiter aus und fasst ihn so weit wie möglich zusammen.

Finales Scheitelpunkt berechnen Quiz

Frage

Was ist der letzte Schritt der quadratischen Ergänzung?

Antwort anzeigen

Antwort

Nachdem du die Funktion mit dem Term b2 für die binomische Formel ergänzt hast, musst du den gleichen Wert (b2) als letzten Schritt der quadratischen Ergänzung direkt wieder abziehen.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe das Vorgehen für die Umwandlung der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion!

Antwort anzeigen

Antwort

  • Ausklammern des Vorfaktors
  • Auswählen der passenden binomischen Formel
  • Bestimmen von a und b der binomischen Formel
  • quadratische Ergänzung & direktes Abziehen
  • Anwenden der binomischen Formel 
Frage anzeigen

Frage

Beschreibe das Vorgehen für die Umwandlung der Scheitelpunktform in die Allgemeine Form einer quadratischen Funktion!

Antwort anzeigen

Antwort

  • Anwenden der binomischen Formel
  • Ausmultiplizieren & Zusammenfassen
Frage anzeigen
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