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Kurvendiskussion Logarithmusfunktion

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Kurvendiskussion Logarithmusfunktion

Kurvendiskussion Logarithmusfunktion Beispielgraph einer Logarithmusfunktion StudysmarterAbbildung 1: Beispielgraph einer Logarithmusfunktion

Hier siehst Du einen Graphen der Logarithmusfunktion . In diesem Artikel lernst Du eine Schritt-für-Schritt-Anleitung, die Du genauso immer anwenden kannst, wie sie Dir hier gezeigt wird.

Kurvendiskussion Logarithmusfunktion Grundlagenwissen

Die Logarithmusgleichung wird mit Kurvendiskussion Logarithmusfunktion allgemeine Logarithmusfunktion StudySmarter beschrieben. Die Exponentialgleichung wird hingegen mit Kurvendiskussion Logarithmusfunktion allgemeine Aufgabenform StudySmarter charakterisiert. Mit dem Logarithmus findest Du heraus, welche Zahl im Exponenten steht. Anhand der Farbgebung der verschiedenen Konstanten erkennst Du, dass der Logarithmus eine Äquivalenzumformung ist. Das heißt, dass man immer durch Umformen von der Exponentialgleichung zur Logarithmusgleichung kommt und umgekehrt.

Die Basis a eines Logarithmus darf niemals 0 oder kleiner als 0 sein. Dafür ist er nicht definiert.

Logarithmusgleichungen im Überblick

Es gibt drei "besondere" Logarithmusfunktionen, bei denen die Basis nicht geschrieben wird.

KurzschreibweiseAusgeschriebenBeschreibung
Der Logarithmus zur Basis 2 wird Logarithmus Dualis genannt.
Der dekadische Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis 10.
Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis .

Das e in der Basis des natürlichen Logarithmus ist die eulersche Zahl .

Vorgehensweise bei der Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion

In diesem Artikel wird Dir Schritt für Schritt eine Kurvendiskussion zur Logarithmusfunktion gezeigt und erklärt. Der Graph zu dieser Logarithmusfunktion sieht wie folgt aus:

Kurvendiskussion Logarithmusfunktion Graph der gegebenen Logarithmusfunktion StudySmarterAbbildung 2: Graph der Logarithmusfunktion

1. Definitionsmenge von f(x)

Die Definitionsmenge beschreibt die Menge aller Zahlen, die Du für x einsetzen kannst und für die die Funktion f(x) definiert ist. Definiert heißt hier, dass Du die Funktion mit den eingesetzten Zahlen berechnen kannst und ein Ergebnis bekommst. Bekommst Du für eine bestimmte Zahl kein Ergebnis, hast du an dieser Stelle eine Definitionslücke.

Als erstes schaust Du Dir den Definitionsbereich der gegebenen Logarithmusfunktion an und bestimmst, ob die Funktion f(x) durchgängig definiert ist oder eine Definitionslücke aufweist.

Logarithmusfunktionen haben eine Besonderheit, wenn es um den Definitionsbereich geht. Jede Logarithmusfunktion ist nur im positiven Bereich definiert, d.h. Du kannst keine negative Zahl für x in einen Logarithmus einsetzen. Deshalb schreibst du als Definitionsbereich immer mindestens . Gelesen wird es als "alle positiven, reellen Zahlen".

Im Graphen der gegebenen Logarithmusfunktion siehst Du aber, dass der Graph vor aus dem Negativen Unendlichen kommt. Deshalb berechnest Du hier die genaue Grenze der Definitionsmenge.

Aufgabe 1

Berechne die Definitionsmenge für

Lösung

Für die Berechnung der Definitionsmenge schaust Du Dir nur das Argument in der Klammer an und überprüfst, wann dieses kleiner oder gleich 0 wird.

Das Argument eines Logarithmus ist immer der Term, der in den Klammern steht.

Durch diese kleine Rechnung hast Du herausgefunden, dass die Logarithmusfunktion für alle ist und daher nur für definiert ist. Dementsprechend dürfen alle positiven Zahlen größer als für x eingesetzt werden. Dies schreibst du wie folgt:

Eine genaue Anleitung, wie du den Definitionsbereich berechnest, findest du im Artikel Definitionsbereich bestimmen.

2. Symmetrie

Bei der Untersuchung der Symmetrie berechnest Du, ob Deine Logarithmusfunktion f(x) achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Bedingung für Achsensymmetrie zur y-Achse: f(-x) = f(x), d.h.: Wenn Du -x anstatt x in Deine Funktion einsetzt, musst Du wieder die ursprüngliche Funktion f(x) erhalten

Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung: f(-x) = -f(x), d.h.: Wenn Du -x anstatt x in Deine Funktion einsetzt, musst Du eine negative ursprüngliche Funktion -f(x) erhalten

Aufgabe 2

Berechne die Symmetrie für die gegebene Logarithmusfunktion

Lösung

Mit dieser Berechnung hast Du bewiesen, dass die gegebene Logarithmusfunktion weder achsensymmetrisch zur y-Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Sie besitzt keine Symmetrie.

Wie oben bereits beschrieben, ist der Logarithmus nicht für negative Argumente definiert. Daher sind Logarithmusfunktionen eigentlich nie Achsen- oder Punktsymmetrisch.

3. Grenzwerte

Die Grenzwerte sind wichtig, um sehen zu können, von wo Dein Graph kommt und wo er hinführt. Außerdem können Dir die Grenzwerte Hinweise auf die Wertemenge liefern.

Grenzwerte werden mit dem Limes berechnet. Hierfür nimmst du immer und oder die positive/negative Grenze des Definitionsbereichs.

Aufgabe 3

Berechne die Grenzwerte der Logarithmusfunktion

Lösung

Für die Berechnung des Limes gegen kannst Du für x eine sehr große Zahl aus dem berechneten Definitionsbereich einsetzen, um leicht sehen zu können, wo der positive Grenzwert der Funktion liegt. Dafür schaust Du Dir am besten nur das Argument in den Klammern an, da dadurch besser ersichtlich wird, wohin die Logarithmusfunktion wächst.

Logarithmen wachsen nur sehr langsam in positive Richtung, weswegen oftmals mehrere Limesberechnungen nötig sind, um den genauen Grenzwert herauszufinden.

Durch diese 3 Rechnungen siehst Du schnell, dass die gegebene Logarithmusfunktion in positive Richtung weiter wachsen wird und sich der positive Grenzwert somit annähert.

Aufgrund des besonderen Definitionsbereichs der Logarithmusfunktion kannst du den nicht berechnen, da du in Logarithmen nur positive x-Werte einsetzen kannst.

Du kannst aber den Grenzwert an der unteren Grenze des Definitionsbereichs berechnen. Hierfür setzt du Zahlen für x ein, die nahe an der 0,8 liegen. Auch hier rechnest Du vorerst nur mit dem Argument.

Aus diesen zwei Rechnungen geht hervor, dass der Grenzwert für ins negative Unendliche gehen wird, da die Zahlen immer kleiner werden und in den Logarithmus eingesetzt, eine negative Zahl als Ergebnis haben.

Die Grenzwerte einer Logarithmusfunktion kannst du immer nur annäherungsweise berechnen, da ein Grenzwert, vor allem im Unendlichen, niemals erreicht oder geschnitten wird.

4. Wertemenge von f(x)

Die Wertemenge von f(x) beschreibt alle y-Werte, die die Logarithmusfunktion annehmen wird. Anders, als bei der Definitionsmenge gibst Du hier keine Menge an Zahlen als Ergebnis an, sondern ein festes Intervall mit einer minimalen und einer maximalen Grenze. In diesem Intervall gibt die kleinste Zahl, welche der Graph "berührt" oder an welche er sich annähert, immer die untere Grenze und die größte Zahl die obere Grenze des Intervalls an. Nähert sich der Graph nur einer Zahl an, ist diese zwar im Intervall, wird aber niemals "berührt" und ist damit ausgeschlossen.

Die eckigen und runden Klammern des Intervalls zeigen Dir an, ob eine Zahl eingeschlossen ist oder nicht. Beispielweise zeigt Dir die eckige Klammer der unteren Grenze beim Intervall [-7 | 100.000), dass die Zahl -7 vom Graphen tatsächlich "berührt" wird und somit eingeschlossen ist; die runde Klammer der oberen Grenze zeigt an, dass sich der Graph der Zahl 100.000 nur annähert und diese nicht berührt, weswegen sie nicht eingeschlossen ist.

Aufgabe 4

Gib die Wertemenge von f(x) an

Lösung

Für die Bestimmung der Wertemenge sind die Grenzwerte aus Aufgabe 3 entscheidend. Diese geben Dir einen Hinweis auf die untere und obere Grenze des Intervalls.

5. Achsenschnittpunkte von f(x)

Die y-Achsenabschnitte einer Funktion berechnest du, indem du für x 0 in deiner Funktion einsetzt und diese berechnest.

Aufgabe 5

Berechne die y-Achsenabschnitte der Logarithmusfunktion f(x)

Lösung

Negative Zahlen im Argument des Logarithmus sind nicht definiert. Deswegen kannst du diesen Logarithmus nicht berechnen, weswegen du hier keinen y-Achsenabschnitt hast.

Die Nullstellen einer Funktion berechnest Du, indem Du die Funktion gleich 0 setzt. Bei der Logarithmusfunktion kommt noch eine Besonderheit dazu. Um das vom Argument für die leichtere Berechnung trennen zu können, setzt Du das Argument des Logarithmus immer gleich 1. So kannst du leicht die Nullstellen der Logarithmusfunktion berechnen.

Jeder Logarithmus, egal welcher Basis, mit einem Argument von 1 ist immer 0. Deshalb setzt du hier das Argument der Logarithmusfunktion gleich 1, um leichter die Nullstellen berechnen zu können.

Aufgabe 6

Berechne die Nullstellen von f(x) =

Lösung

Durch die Besonderheit bei der Nullstellenberechnung von Logarithmusfunktionen hast Du für f(x) die Nullstelle bei berechnet.

Kurvendiskussion Logarithmusfunktion Nullstelle von f(x) StudySmarterAbbildung 3: Nullstelle von f(x)

6. Monotonieverhalten des Graphen

Für die Berechnung der Monotonie benötigst Du die erste Ableitung . Den Logarithmus leitest Du immer nach der Kettenregel ab, wobei Du das Argument in den Klammern und dann den Logarithmus an sich erst getrennt ableitest und anschließend multiplizierst.

Allerdings berechnest Du bei einer Logarithmusfunktion nie das Monotonieverhalten, da es durch eine Besonderheit schon vorgegeben ist. Logarithmen, deren Basis größer als 0, aber kleiner als 1 ist, sind immer streng monoton fallend. Logarithmen, deren Basis größer als 1 ist, sind immer streng monoton steigend.

Eine Zahl zwischen 0 und 1 verkleinert jede Zahl, mit der sie multipliziert wird. Deshalb ist die Logarithmusfunktion für Basen zwischen 0 und 1 streng monoton fallend. Dagegen vergrößert jede Zahle größer als 1 die Zahlen, mit der sie multipliziert wird. Deswegen ist der Graph hier immer streng monoton steigend.

Diese Regel gilt allerdings nur für reine, positive Logarithmusfunktionen. Bei negativen Logarithmusfunktionen gilt die Regel andersherum. Bei Logarithmusfunktionen, denen ein zusätzliches Polynom vorausgeht, gilt diese Regel nicht.

Im speziellen Fall der gegebenen Logarithmusfunktion f(x) ist die Basis die Eulersche Zahl , welche als Zahl gerundet ist. Das ist größer als 1, weswegen der Graph streng monoton steigend ist.

Trotz dieser Besonderheit brauchst Du die erste Ableitung, weswegen Du sie doch berechnen solltest.

Wiederholung zur Kettenregel

Die Kettenregel ist eine von 7 Ableitungsregeln und essentiell für die Ableitung eines Logarithmus.

Aufgabe 7

Leite die Logarithmusfunktion mit der Kettenregel ab

Lösung

Als ersten Schritt solltest Du immer die innere und äußere Funktion festlegen.

Diese leitest Du anschließend ab und multiplizierst die beiden Ableitungen miteinander, was den letzte Schritt der Kettenregel darstellt

Berechnung der ersten Ableitung

Wende nun die Kettenregel auf die gegebene Logarithmusfunktion an.

Aufgabe 8

Berechne die erste Ableitung der Logarithmusfunktion f(x)

Lösung

1. Schritt: innere und äußere Funktionen finden

2. Schritt: innere und äußere Funktionen ableiten und multiplizieren

Damit hast Du die erste Ableitung als berechnet.

7. Extremstellen von f(x)

Für die Berechnung von Extremstellen einer Funktion benötigst Du immer die erste Ableitung Deiner Funktion. Diese setzt du gleich 0 und löst nach x auf, um die Nullstellen der ersten Ableitung zu erhalten. Diese Nullstellen sind die x-Koordinaten der Extremstellen. Für die Berechnung der y-Koordinaten setzt Du die berechneten x-Werte in die Ursprungsfunktion f(x) ein.

Aufgabe 9

Berechne die Extremstellen von f(x)

Lösung

Anhand dieser Berechnung siehst Du, dass die erste Ableitung keine Nullstellen hat und somit die Ursprungsfunktion f(x) keine Extremstellen besitzt. Im Graphen der Ableitung sieht man das noch deutlicher. Der Graph nähert sich nur, sowohl aus positiver, als auch aus negativer Richtung, der 0 an, schneidet sie aber nie.

Kurvendiskussion Logarithmusfunktion Nullstellen der ersten Ableitung StudySmarterAbbildung 4: Graph der ersten Ableitung

Falls Du eine Logarithmusfunktion mit zusätzlichem Polynom lösen sollst, kann es sein, dass Du eine Extremstelle findest. Nur reine Logarithmusfunktionen haben keine Extremstellen.

8. Krümmung und Wendepunkte

Um das Krümmungsverhalten untersuchen zu können, benötigst du die zweite Ableitung von f(x). Das heißt, dass Du die erste Ableitung f'(x) nochmal ableitest. Da die erste Ableitung ein Quotient ist, benötigst Du hier die Quotientenregel.

Wiederholung der Quotientenregel

Die Quotientenregel hat eine sehr schöne Eselsbrücke, um sich den Zähler des neuen Bruches leichter merken zu können: NAZ-ZAN. Diese bedeutet ausgeschrieben: "Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Der Nenner der ersten Ableitung wird quadriert in den Nenner der zweiten Ableitung geschrieben.

Bilde als Wiederholungsübung die zweite Ableitung für die schon berechnete erste Ableitung aus der Wiederholung zur Kettenregel.

Aufgabe 10

Berechne die zweite Ableitung

Lösung

1. Schritt: Zähler und Nenner ableiten

2. Schritt: zweite Ableitung nach Quotientenregel aufstellen

Berechnung der Wendepunkte

Berechne nun die zweite Ableitung der Logarithmusfunktion

Aufgabe 11

Bilde die zweite Ableitung

Lösung

1. zweite Ableitung des Zählers und Nenners bilden

2. zweite Ableitung nach Quotientenregel aufstellen

Damit hast Du die zweite Ableitung berechnet.

Für die Berechnung der Wendepunkte und des Krümmungsverhaltens benötigst Du die Nullstellen der zweiten Ableitung. Diese Nullstellen geben die x-Koordinate der Wendepunkte. Für die y-Koordinaten setzt Du diese x-Koordinaten in die Ursprungsfunktion f(x) ein und rechnest diese aus.

Aufgabe 12

Berechne die Nullstellen der zweiten Ableitung

Lösung

Genauso wie bei den Extremstellen gibt es auch bei den Wendepunkten keine Nullstellen und dementsprechend keine Wendepunkte.

Auch hier gilt, dass nur reine Logarithmusfunktionen keine Wendepunkte haben. Falls Dir in einer Aufgabe eine Logarithmusfunktion mit einer anderen Funktion verschachtelt vorkommt, kann diese Wendepunkte haben.

Die Krümmung der Funktion kannst Du unabhängig von den Wendepunkten bestimmen. So gilt, wenn die zweite Ableitung , ist der Graph linksgekrümmt. Wenn die zweite Ableitung ist, ist der Graph rechtsgekrümmt. In der zweiten Ableitung, die Du berechnet hast, steht -25 im Zähler, was die ganze Ableitung negativ macht. Also ist der gesamte Graph rechtsgekrümmt.

Um Dir die Rechts- oder Linkskrümmung besser merken zu können, kannst Du Dir vorstellen, den Graphen von links nach rechts mit einem Auto abzufahren. Wenn Du mit dem Lenkrad des Autos nach links lenkst, ist der Graph an dieser Stelle linksgekrümmt. Wenn Du nach rechts lenkst, ist er rechtsgekrümmt.

Diese Anleitung kannst Du wie ein "Kochrezept" auf jede Logarithmusfunktion anwenden, bei der Du eine Kurvendiskussion durchführen sollst.

Kurvendiskussion der Logarithmusfunktion – Das Wichtigste

  • Die Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion ist immer positiv. Für negative x-Werte ist der Logarithmus nicht definiert; die genauen Grenzen berechnest Du.
  • Die Wertemenge einer Logarithmusfunktion berechnest Du immer erst nach den Grenzwerten, da die Grenzwerte Dir einen Hinweis auf die Wertemenge geben.
  • Die Grenzwerte berechnest Du an den Grenzen des Definitionsbereichs
  • Die Nullstellen einer Logarithmusfunktion berechnest du, indem du das Argument in den Klammern gleich 1 setzt und nach x auflöst.
  • Für die Extrempunktberechnung benötigst du die ersten Ableitung . Diese wird mit der Kettenregel gebildet.
  • Die Monotonie des Graphen bestimmt die Basis des Logarithmus. Ist die Basis größer als 0, aber kleiner als 1, ist der Graph streng monoton fallend; ist sie größer als 1, ist er streng monoton steigend.
  • Für die Berechnung der Wendepunkte benötigst du die zweite Ableitung
  • Das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt die Krümmung des Graphen. Ist die zweite Ableitung kleiner als 0, ist der Graph rechtsgekrümmt; ist sie größer als 0, ist der Graph linksgekrümmt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kurvendiskussion Logarithmusfunktion

Die Nullstellen einer Logarithmusfunktion werden berechnet, indem Du das Argument des Logarithmus gleich 1 setzt und nach x auflöst. 

 Die allgemeine Logarithmusfunktion hat den Definitionsbereich . Die genauen Grenzen des Definitionsbereichs solltest Du immer berechnen. 

Der  wird immer durch die Kettenregel abgeleitet. Dabei leitest Du immer zuerst den Logarithmus und das Argument getrennt ab und multiplizierst anschließend die beiden Ableitungen des Logarithmus und des Arguments wieder miteinander. 

Eine Logarithmusfunktion ist nicht für negative Zahlen definiert. Du kannst ihn nicht für negative Zahlen berechnen. 

Finales Kurvendiskussion Logarithmusfunktion Quiz

Frage

Beschreibe, wie du die Nullstellen einer Logarithmusfunktion berechnest.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Nullstellen einer Logarithmusfunktion berechnest du, indem du das Argument des Logarithmus, welches in den Klammern steht, mit 1 gleichsetzt und nach x auflöst.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, von welchem Faktor die Monotonie des Graphen einer Logarithmusfunktion abhängt.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Monotonie hängt von der Basis der Logarithmusfunktion ab. Ist die Basis größer als 0, aber kleiner als 1, ist der Graph streng monoton fallend. Ist die Basis größer als 1, ist der Graph streng monoton steigend.

Frage anzeigen

Frage

Gib deine Vorgehensweise bei der Berechnung von Extremstellen an.

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst wird die erste Ableitung der Ursprungsfunktion gebildet. Anschließend wird diese gleich 0 gesetzt und nach x aufgelöst. Die berechneten x-Koordinaten werden in die Ursprungsfunktion eingesetzt, um die y-Koordinaten der Extremstellen zu erhalten.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was Du benötigst, um die Wendepunkte einer Logarithmusfunktion berechnen zu können.

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Berechnung der Wendepunkte wird die zweite Ableitung benötigt. Diese wird gleich 0 gesetzt, um die Nullstellen zu erhalten. Diese Nullstellen werden in die Ursprungsfunktion eingesetzt, um die restlichen Koordinaten zu bekommen.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was ausschlaggebend für die Krümmung des Graphen einer Logarithmusfunktion ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Krümmung des Graphen wird durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt. Ist die zweite Ableitung kleiner als 0, ist der Graph rechtsgekrümmt; ist sie größer als 0, ist der Graph linksgekrümmt.

Frage anzeigen
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