Faktorregel

Q: Wie funktioniert die Faktorregel?

Du kannst die Faktorregel immer dann anwenden, wenn ein konstanter Faktor a vor einer differenzierbaren ("ableitbaren") Funktion steht. Der konstante Faktor bleibt unverändert beim Ableiten erhalten.

Q: Wann wendet man die Faktorregel an?

Die Faktorregel wird immer dann verwendet, wenn eine Funktion abgeleitet werden muss, die sich aus dem Produkt eines konstanten Faktors und einer differenzierbaren Funktion zusammen setzt.

Q: Was ist der Unterschied zwischen Faktorregel und Potenzregel?

Der Unterschied zwischen Faktor- und Potenzregel sind die Funktionstypen, die mit diesen Regeln abgeleitet werden können. Die Faktorregel beschreibt, wie eine Funktion abgeleitet wird, die sich aus dem Produkt eines konstanten Faktors und einer differenzierbaren ("ableitbaren") Funktion zusammen setzt. Die Potenzregel hingegen gibt vor, wie Potenzfunktionen der Form x^r abgeleitet werden.

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Häufig müssen Funktionen abgeleitet werden, um bestimmte Informationen zu erhalten. Unterschiedliche Funktionen müssen auf unterschiedliche Weise abgeleitet werden. Dazu können hilfreiche Ableitungsregeln für bestimmte Funktionstypen verwendet werden.

Es gibt

die Summenregel,
die Differenzregel,
die Faktorregel,
die Produktregel,
die Quotientenregel,
die Kettenregel und
die Potenzregel.

Wenn bei den Funktionen eine Zahl a mit einer Funktion g(x) multipliziert wird: $f (x) = a \cdot g (x)$ , wird die Ableitungsregel Faktorregel genannt.

Faktorregel – Grundlagen

Bevor du die Definition der Faktorregel kennenlernst, solltest du Begriffe wie Differenzenquotient, Differenzierbarkeit, Differentialquotient und Ableitung zunächst wiederholen.

Der Differenzenquotient ist die mittlere Änderungsrate der Funktion im Intervall $[a; b]$ :

$m_{P Q} = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{∆ y}{∆ x}$ .

Dies entspricht auch der Steigung der Sekante durch die Punkte $P (a | f (a))$ und $Q (b | f (b))$ .

In der Abbildung kannst du ein Beispiel für eine solche Sekante sehen.

Faktorregel Sekante StudySmarter Abbildung 1: Differenzenquotient als Steigung der Sekanten

Als Nächstes wird erläutert, was der Differentialquotient ist.

Der Differentialquotient ist die momentane Änderungsrate der Funktion an der Stelle $x_{0}$ :

$m_{x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ .

Dies entspricht auch der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt $(x_{0} | f (x_{0}))$ .

In der Abbildung kannst du ein Beispiel für eine solche Tangente sehen.

Summenregel Tangente StudySmarter Abbildung 2: Differentialquotient als Steigung der Tangente

Was hat das Ganze mit Differenzierbarkeit und Ableitung zu tun?

Eine Funktion f(x) heißt differenzierbar an der Stelle $x_{0}$ , wenn der Differentialquotient an dieser Stelle existiert.

Der Differentialquotient wird dann auch als Ableitung der Funktion an der Stelle $x_{0}$ bezeichnet.

Schreibweise:

$f' (x_{0}) = m_{x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ .

Wenn du das nochmal genauer nachlesen möchtest, kannst du in den Artikeln "mittlere Änderungsrate", "Differentialquotient" und "Differenzierbarkeit" nachschauen.

Ableiten mit der Faktorregel – Definition

Du kannst die Faktorregel anwenden, wenn ein konstanter Faktor a vor einer differenzierbaren Funktion steht. Der konstante Faktor bleibt unverändert beim Ableiten erhalten.

Faktorregel

Sei g(x) eine Funktion und a eine Zahl, dann ist die Funktion $f (x) = a \cdot g (x)$ im Differenzierbarkeitsbereich von g(x) differenzierbar und die Ableitung ist:

$f^{'} (x) = a \cdot g^{'} (x)$ .

Ein konstanter Faktor vor einer Funktion bleibt beim Differenzieren erhalten.

Differenzierbar heißt "ableitbar".

An folgendem Beispiel kannst du dir das Vorgehen anschauen.

Aufgabe 1

Leite die Funktion $f (x) = 5 \cdot \sin (x)$ einmal ab.

Lösung 1

Die Funktion $f (x)$ setzt sich aus der Konstante 5 und der auf ganz $ℝ$ differenzierbaren Funktion sin(x) zusammen:

$f (x) = \underset{⏟}{5} \cdot \underset{⏟}{\sin (x)} a \cdot g (x)$ .

Das heißt, dass f(x) auf ganz $ℝ$ differenzierbar ist und die Ableitung lautet:

$f^{'} (x) = \underset{⏟}{5} \cdot \underset{⏟}{\cos (x)} a \cdot g' (x)$ .

Um die Faktorregel besser zu verstehen und anzuwenden, schaue dir die weiteren Beispielaufgaben an.

Faktorregel Ableitung – Beispiel und Aufgaben

In den Übungsaufgaben zur Faktorregel wird auch auf andere Ableitungsregeln zurückgegriffen.

Die Potenzregel gibt vor, wie du die Ableitungen von Potenzfunktionen $f (x) = x^{n}$ berechnest: $f^{'} (x) = x^{n - 1}$ .

Im ersten Beispiel benötigst du die Faktorregel und die Potenzregel.

Aufgabe 2

Gib die erste Ableitung der Funktion $f (x) = 4 x^{3}$ an.

Lösung 2

$f (x) = \underset{⏟}{4} \cdot \underset{⏟}{x^{3}} f (x) = a \cdot g (x)$

Bei der Bestimmung der Ableitung bleibt die 4 unverändert stehen und $x^{3}$ wird abgeleitet.

$f^{'} (x) = \underset{⏟}{4} \cdot \underset{⏟}{3 x^{3 - 1}} a \cdot g' (x) f^{'} (x) = 4 \cdot 3 x^{2} f^{'} (x) = 12 x^{2}$

Manchmal sind vorab Umformungen des Funktionsterms nötig, damit du die Faktor- und Potenzregel anwenden kannst:

Aufgabe 3

Leite die Funktion $f (x) = \frac{2}{x^{3}}$ ab.

Lösung 3

Um eine Funktion der Art $f (x) = a \cdot g (x)$ zu erhalten, formst du folgendermaßen um:

$f (x) = \frac{2}{x^{3}} f (x) = 2 \cdot \frac{1}{x^{3}} f (x) = \underset{⏟}{2} \cdot \underset{⏟}{x^{- 3}} \frac{}{} f (x) = a \cdot g (x)$

Für negative Potenzen gilt: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ .

Die Funktion f(x) setzt sich aus der Konstante 2 und der auf $ℝ \ {0}$ differenzierbaren Funktion $x^{- 3}$ zusammen.

Das heißt, f(x) ist auch auf $ℝ \ {0}$ differenzierbar und die Ableitung lautet:

$f^{'} (x) = 2 \cdot (- 3) x^{- 3 - 1} f^{'} (x) = 2 \cdot (- 3) x^{- 4} f^{'} (x) = - 6 x^{- 4}$

Natürlich muss die Zahl a keine ganze Zahl sein. Es können auch rationale oder reelle Zahlen mit der Funktion multipliziert werden.

Aufgabe 4

Leite die Funktion $f (x) = - \frac{3}{4} \cdot x^{5}$ einmal ab.

Lösung 4

$f (x) = \underset{⏟}{- \frac{3}{4}} \cdot \underset{⏟}{x^{5}} f (x) = a \cdot g (x)$

Bei der Bestimmung der Ableitung bleibt der Vorfaktor $- \frac{3}{4}$ unverändert stehen und $x^{5}$ wird abgeleitet.

$f^{'} (x) = - \frac{3}{4} \cdot 5 x^{5 - 1} f^{'} (x) = - \frac{3 \cdot 5}{4} \cdot x^{4} f^{'} (x) = - \frac{15}{4} x^{4}$

Im nächsten Beispiel wird die Faktorregel mit der Summenregel kombiniert.

Aufgabe 5

Bestimme die erste Ableitung der Funktion $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ .

Lösung 5

Die Summe der beiden Funktionen $3 x^{2}$ und $4 x$ wird abgeleitet, indem jede Funktion für sich abgeleitet wird und die Ableitungen addiert werden.

$f (x) = \underset{⏟}{3} \cdot \underset{⏟}{x^{2}} + \underset{⏟}{4} \cdot \underset{⏟}{x} f (x) = a \cdot g (x) b \cdot h (x)$

Auf die beiden Funktionen kann jeweils die Faktorregel angewandt werden.

Zu Erinnerung: $x^{0} = 1$ .

$f^{'} (x) = 3 \cdot 2 x^{1} + 4 \cdot 1 x^{0} f^{'} (x) = 6 x + 4$

Im letzten Beispiel wird die Faktorregel mit der e-Funktion verbunden.

Aufgabe 6

Leite die Funktion $f (x) = 6 \cdot e^{x}$ und die Funktion $h (x) = 6 \cdot e^{2 x}$ ab.

Lösung 6

$f (x) = \underset{⏟}{6} \cdot \underset{⏟}{e^{x}} f (x) = a \cdot g (x)$

Die Ableitung der Funktion f ist das gleiche wie die Funktion f selbst, da die e-Funktion abgeleitet wieder die e-Funktion ergibt.

$f^{'} (x) = \underset{⏟}{6} \cdot \underset{⏟}{e^{x}} f^{'} (x) = a \cdot g^{'} (x)$

Anders ist es bei der Funktion h(x).

$h (x) = \underset{⏟}{6} \cdot \underset{⏟}{e^{2 x}} f (x) = a \cdot g (x)$

Hier muss $e^{2 x}$ mit der Kettenregel abgeleitet werden:

$h^{'} (x) = 6 \cdot 2 e^{2 x} f^{'} (x) = 12 e^{2 x}$ .

Herleitung der Faktorregel – Beweis

Die Faktorregel kann mithilfe der Definition der Ableitung bewiesen werden. Betrachtet wird eine Stelle x, an der die Funktion g(x) differenzierbar ist.

Zur Erinnerung: Eine Funktion f ist differenzierbar an einer Stelle x, wenn der Differenzialquotient $\lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ an dieser Stelle existiert.

Beginne mit dem Beweis:

$f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{a \cdot g (x + h) - a \cdot g (x)}{h}$

Der Faktor a kann ausgeklammert werden.

$f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} a \cdot \frac{g (x + h) - g (x)}{h}$

Durch das Anwenden der Rechenregeln für Grenzwerte kann der Faktor a vor den Limes gezogen werden.

Faktorregel für Grenzwerte: $\lim_{x \to c} a \cdot f (x) = a \cdot \lim_{x \to c} f (x)$ .

Der Grenzwert vom Produkt einer Konstante und einer Funktion entspricht dem Produkt der konstanten Zahl und dem Grenzwert der Funktion.

$f^{'} (x) = a \cdot \underset{h \to 0}{l i m} \frac{g (x + h) - g (x)}{h}$

Der blaue Term entspricht genau dem Differenzialquotienten von g(x). Da g(x) an der Stelle x differenzierbar ist, folgt schon:

$f^{'} (x) = a \cdot \underset{h \to 0}{l i m} \frac{g (x + h) - g (x)}{h} f^{'} (x) = a \cdot g^{'} (x)$

Geometrische Interpretation der Faktorregel

Die Faktorregel kann nicht nur algebraisch hergeleitet, sondern auch geometrisch interpretiert werden.

Wenn eine Funktion g(x) mit einem Faktor a multipliziert wird, so entsteht der Graph der neuen Funktion $f (x) = a \cdot g (x)$ durch Streckung des Graphen von g(x) in y-Richtung mit dem Faktor a.

Falls du zu diesem Thema mehr wissen möchtest, kannst du im Artikel "Funktion strecken" weiterlesen.

Falls $| a | < 1$ , wird die Funktion um den Faktor a gestaucht.

Faktorregel Geometrische Interpretation StudySmarter Abbildung 3: Graphen der Funktion g(x) und der gestreckten Funktion a·g(x)

Jetzt betrachtest du ein Steigungsdreieck, das zum Differenzenquotienten von g(x) gehört. Das Steigungsdreieck wird ebenfalls in y-Richtung mit dem Faktor a gestreckt. Dabei bleibt die Länge der waagrechten Dreiecksseite des Steigungsdreiecks unverändert. Die Länge der senkrechten Seite des Dreiecks ver-a-facht sich.

Faktorregel Geometrische Interpretation StudySmarter Abbildung 4: Steigungsdreiecke der Funktion und der gestreckten Funktion

Wenn h jetzt beliebig klein wird, nähert sich die Sekantensteigung immer mehr der Tangentensteigung an. Auch die Tangentensteigung (= Ableitung) der Funktion $f (x) = a \cdot g (x)$ ist a mal größer als die Tangentensteigung der Funktion $g (x)$ .

Faktorregel – Das Wichtigste

Faktorregel: Sei g(x) eine differenzierbare Funktion und a eine Zahl, dann ist auch die Funktionf(x)=a·g(x) differenzierbar und die Ableitung ist:f'(x)=a·g'(x).
- Der konstante Faktor bleibt beim Ableiten der Funktion unverändert vor der Funktion stehen.
Anwendung: Die Faktorregel wird immer dann verwendet, wenn eine Funktion abgeleitet werden muss, die sich aus dem Produkt eines konstanten Faktors und einer differenzierbaren Funktion zusammensetzt.
Die Faktorregel kann direkt mithilfe der Definition der Ableitung bewiesen werden.
Geometrische Interpretation: Das Steigingsdreieck der gestreckten Funktion wird auch um den Faktor a in vertikale Richtung gestreckt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Faktorregel

Du kannst die Faktorregel immer dann anwenden, wenn ein konstanter Faktor a vor einer differenzierbaren ("ableitbaren") Funktion steht. Der konstante Faktor bleibt unverändert beim Ableiten erhalten.

Die Faktorregel wird immer dann verwendet, wenn eine Funktion abgeleitet werden muss, die sich aus dem Produkt eines konstanten Faktors und einer differenzierbaren Funktion zusammen setzt.

Es gibt die Summenregel, die Differenzregel, die Faktorregel, die Produktregel, die Quotientenregel, die Kettenregel und die Potenzregel.

Der Unterschied zwischen Faktor- und Potenzregel sind die Funktionstypen, die mit diesen Regeln abgeleitet werden können. Die Faktorregel beschreibt, wie eine Funktion abgeleitet wird, die sich aus dem Produkt eines konstanten Faktors und einer differenzierbaren ("ableitbaren") Funktion zusammen setzt. Die Potenzregel hingegen gibt vor, wie Potenzfunktionen der Form x^r abgeleitet werden.

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