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Cardanische Formel

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Cardanische Formel

Zum Lösen von kubischen Gleichungen kann die Polynomdivision angewendet werden, wenn eine der Lösungen erraten werden kann. Doch was, wenn die Lösungen nicht erraten werden können, oder Du die kubischen Gleichungen direkt exakt lösen willst? Dafür gibt es die cardanische Formel. Mit ihr kannst Du Gleichungen 3. Grades direkt lösen. Woher die cardanische Formel stammt, wie sie hergeleitet wird und wie Du sie anwendest, lernst Du hier.

Wiederholung – Kubische Gleichungen

Die Cardanische Formel ist eine Lösungsformel für kubische Gleichungen. Deshalb ist es essenziell, dass Du die Grundlagen zu kubischen Gleichungen bereits kennst. Daher findest Du in den nächsten Abschnitten eine kurze Wiederholung zu den kubischen Gleichungen und ihren Eigenschaften.

Kubische Gleichung – Definition und Form

Eine kubische Gleichung ist eine Gleichung dritten Grades. Sie hat also als höchste Potenz eine 3. Eine kubische Gleichung enthält also x3 und kein anderes x mit höherem Exponenten.

Die allgemeine Form einer kubischen Gleichung lautet:

Ax3+Bx2+Cx+D=0

mit A0

Nach der Division durch A hat die kubische Gleichung die Form:

x3+ax2+bx+c=0

Kubische Gleichungen sind vor allem dann relevant, wenn Du eine Kurvendiskussion bei einer kubischen Funktion durchführen sollst. Dann werden bei der Nullstellenbestimmung der kubischen Funktionen kubische Gleichungen aufgestellt.

Kubische Gleichung lösen – Nullstellen

Um kubische Gleichungen lösen zu können, brauchst Du auf der rechten Seite Deiner Gleichung eine 0. Du suchst also nach den Nullstellen. Außerdem musst Du Dir vorher überlegen, wie viele Nullstellen Du suchst.

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra haben kubische Gleichungen maximal drei reelle Lösungen, also maximal drei Nullstellen.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede reelle ganzrationale Funktion vom Grad n maximal n Nullstellen haben kann.

Um kubische Gleichungen zu lösen, wird in der Schule vorwiegend folgendes Verfahren gelehrt:

  1. Erste Lösung durch systematisches Probieren finden
  2. Kubische Gleichung durch Polynomdivision auf quadratische Gleichung reduzieren
  3. Quadratische Gleichung lösen

Wie Du quadratische Gleichungen lösen kannst, kannst Du in der Erklärung "quadratische Gleichungen lösen" nachlesen.

Polynomdivision bei kubischen Gleichungen

Die Polynomdivision bezeichnet die mathematische Vorgehensweise, mit der Du zwei Polynome miteinander dividierst. Mithilfe der Polynomdivision kannst Du Deine Gleichung auf eine quadratische Gleichung reduzieren und so die Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen anwenden. Wenn Du die erste Lösung Deiner kubischen Gleichung durch systematisches Probieren findest, kannst Du die Polynomdivision durchführen.

Um die Polynomdivision durchzuführen, dividierst Du die linke Seite Deiner kubischen Gleichung durch den Linearfaktor, der aus Deiner ersten erratenen Lösung resultiert, also x - erratene Lösung .

Gegeben ist die kubische Gleichung x3-x2-4x+4=0 , deren erste Lösung x=2 Du durch systematisches Probieren gefunden hast. Somit ist Dein erster Divisor (x-2) . Damit kannst Du eine Polynomdivision durchführen:

(x3-x2-4x+4): (x-2) = x2+x-2-(x3-2x2) x2-4x+4 -(x2-2x) -2x+4 -(-2x+4) 0

Nun kannst Du weiteren Lösungen finden, indem Du die erhaltene quadratische Gleichung mit den bekannten Verfahren wie zum Beispiel der Mitternachts- oder pq-Formel löst.

Allerdings gibt es auch eine Lösungsformel, mit der es möglich ist, kubische Gleichungen direkt zu lösen: die cardanische Formel.

Cardanische Formel – Erklärung

Der Ursprung der Formel von Cardano geht zurück in die Renaissance ins Jahr 1545, in dem die Formel erstmals veröffentlicht wurde.

Die Formel von Cardano, auch cardanische Formel genannt, ist eine Formel zum exakten Lösen von kubischen Gleichungen.

In der Praxis findet die Formel von Cardano heutzutage wenig Verwendung. Sie vermittelt aber Eindrücke über die mathematische Herangehensweise des Lösens von Gleichungen.

Eigentlich umfasst die cardanische Formel aber nicht nur eine Formel, sondern mehrere Formeln. Du wirst im Laufe dieser Erklärung verstehen, warum.

Cardanische Formel – Herleitung

Um auf die cardanischen Formeln zu kommen, sind einige Schritte zur Umformung der kubischen Gleichung erforderlich. Dabei wird die allgemeine kubische Gleichung auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt. Die Herleitung wird im Folgenden angedeutet.

Die Herleitung bezieht sich auf die kubische Gleichung der Form:

x3+ax2+bx+c=0

Um eine Lösungsformel zu erhalten, wird die Variable x substituiert:

x=z-a3

Dadurch ergibt sich:

z-a33+a·z-a32+b·z-a3+c=0

Diese kann nun ausmultipliziert und zusammengefasst werden:

z-a33+a·z-a32+b·z-a3+c=0z-a3z2-2a3·z+a29+a·z2-2a3·z+a29+b·z-ab3+c=0z3-2a3·z2+a29·z-a3·z2+2a29·z-a327+a·z2-2a23·z+a39+b·z-ab3+c=0z3+b-a23=p·z+2a327-ab3+c=q=0

Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen erhältst Du eine kubische Gleichung mit der Unbekannten z, bei der das quadratische Glied fehlt:

z3+pz+q=0

mit p=b-a23 und q=2a327-ab3+c

Diese Form der kubischen Gleichung wird reduzierte Form genannt. Durch weitere Substitution und Auflösung können anschließend Lösungsformeln für die kubische Gleichung hergeleitet werden. Diese wird cardanische Lösungsformel genannt:

z=-q2+q22+p3273+-q2-q22+p3273

Durch das Einsetzen von z in x=z-a3 ergeben sich die Lösungen Deiner gegebenen kubischen Gleichungen.

Wenn das quadratische Glied in Deiner gegebenen Formel bereits fehlt und vor der Variable x nur die Zahl 1 steht, kann die Lösungsformel nun direkt angewendet werden und die Einführung einer neuen Unbekannten z ist nicht erforderlich.

Für die Interpretation der Formel von Cardano sind Kenntnisse der komplexen Zahlen erforderlich, die nicht Bestandteil der Schulmathematik sind. An dieser Stelle kannst Du Dir merken: wenn die Formel versagt, gibt es keine reelle Lösung. Wie Du die Formel nun anwendest, bzw. wie Du mithilfe der Cardanischen Formel kubische Gleichungen schrittweise lösen kannst, lernst Du im folgenden Abschnitt kennen.

Cardanische Formel anwenden

Um kubische Gleichungen nun mit der Formel von Cardano zu lösen, gibt es eine ausführliche Vorgehensweise, der Du nachgehen kannst. Diese umfasst 4 Schritte und wird unterschieden, je nachdem welchen Wert die Diskriminante D hat. Diese Vorgehensweise wird Dir in den folgenden Abschnitten Schritt für Schritt anhand von Beispielen erklärt. Wie die Diskriminante D definiert wird, lernst Du ebenfalls kennen.

Schritt 1 – Gleichung in die richtige Form bringen

Du hast in der Wiederholung bereits zwei Formen der kubischen Gleichung kennengelernt. Die Formel kann allerdings, wie Du in der Herleitung bereits sehen konntest, nur für diese Form angewendet werden:


x3+ax2+bx+c=0

Im ersten Schritt musst Du somit gegebenenfalls die einzelnen Terme der Gleichung nach den Potenzen von x ordnen. Der Term mit dem x mit der höchsten Potenz steht dabei auf der linken Seite der Gleichung und nachfolgend x mit der nächstkleineren Potenz, bis alle Teile der Gleichung absteigend von links nach rechts geordnet sind.

Anschließend musst Du schauen, ob vor x3 eine andere Zahl steht, außer 1.

Zur Erinnerung: vor einer Variable x wird im Normalfall die 1 nicht hingeschrieben. Sie ist trotzdem vorhanden.

Falls eine Zahl außer die 1 vor dem Term x3 steht, musst Du die gesamte Gleichung durch diese Zahl teilen. Dies kannst Du Dir mithilfe eines Beispiels ansehen.

Gegeben ist die folgende kubische Gleichung:

Ax3+Bx2+Cx+D=0

Vor x3 steht die Zahl A. Deshalb musst Du die gesamte Gleichung durch die Zahl A dividieren:

x3+BAx2+CAx+DA=0

Nun entspricht die Zahl vor x2 a, die Zahl vor x b und der Zahl im Term ohne x gleich c:

a=BA, b=CA, c=DA

Hast Du Deine Gleichung in die richtige Form gebracht, so folgt Schritt 2.

Schritt 2 – Definition von Variablen

Im 2. Schritt müssen Variablen definiert werden. Diese werden im Normalfall p, q und D genannt. Die Definition der Variablen folgt aus der Herleitung der cardanischen Formeln.

Die Variablen p, q und D sind wie folgt definiert:

p=b-a23

q=2·a327-a·b3+c

D=q24+p327

Für x wird ebenfalls eine Gleichung definiert und eine neue Variable z eingeführt. Sie ist an dieser Stelle noch unbekannt:

x=z-a3

Schritt 3 – Fallunterscheidung

Um die unbekannte Größe z angeben zu können, müssen Fallunterscheidungen in Abhängigkeit von D und p gemacht werden. Es werden vier verschiedene Fälle unterschieden:

  • D>0

  • D=0, p0

  • D=0, p=0

  • D<0

Durch die Fallunterscheidungen kannst Du direkt sehen, wie viele Lösungen es geben soll und wie Du sie exakt berechnen kannst. Diese Fallunterscheidungen werden im Folgenden erklärt.

Fall 1: D>0

Der erste Fall tritt ein, wenn D größer als 0 ist. Dann hat Deine Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen. In dieser Erklärung werden nur die reellen Lösungen berechnet.

Wenn Dich das Thema der komplexen Zahlen interessiert, kannst Du es in der Erklärung zu komplexen Zahlen vertiefen.

Die Lösungsformel für die einzige reelle Lösung für z lautet:

z=-q2+D3+-q2-D3

Mit dieser Formel kannst Du Deine einzige Lösung für z berechnen, wenn Fall 1 zutrifft.

Fall 2: D=0, p ungleich 0

Fall 2 tritt ein, wenn gilt:

D=0, p0

Wenn das der Fall ist, gibt es drei Lösungen für z, eine einfache und eine doppelte Lösung.

Die Lösungsformeln für z lauten:

z1=3·qpz2,3=3·q2·p

Die Vielfachheit einer Lösung gibt an, wie oft eine bestimmte Lösung bei einer Gleichung vorkommt. Zweifache Lösung bedeutet also, dass die Lösung zweimal vorkommt.

Fall 3: D=0 und p =0

Wenn D und p gleich 0 sind, dann gibt es eine einzige, dreifache Lösung.

Als einzige dreifache Lösung für z bei Geltung des 3. Falls gilt:

z1=z2=z3=0

Fall 4: D<0

Wenn D kleiner als 0 ist, gibt es für z drei unterschiedliche reelle Lösungen. Dieser Fall wird auch Casus Irreducibilis genannt.

Die Formeln um die drei verschiedenen reellen Werte für z zu berechnen, lauten:

z1=-4·p3·cos13·arccos-q2·-27p3z2=--4·p3·cos13·arccos-q2·-27p3+π3z3=--4·p3·cos13·arccos-q2·-27p3-π3

Wenn Du einen Taschenrechner benutzt, musst Du seinen Berechnungsmodus auf Radiant umstellen.

Einer dieser vier Fälle tritt immer ein. Falls Du etwas anderes erhältst, kontrolliere Deine Rechnung erneut. Diese gerade genannten Formeln tragen den Namen cardanische Formeln.

Schritt 4 – Berechnung von x

Nun konntest Du durch die Fallunterscheidungen in Schritt 3 Deine unbekannte Variable z berechnen. Um nun Deine gesuchten Werte für die Variable x zu erhalten, musst Du z in die zuvor aufgestellte Gleichung für x einsetzen.

Du kannst, je nachdem wie viele Werte du für z in Schritt 3 erhalten hast, bis zu 3 Werte für Deine Variable x bekommen.

Deine Lösungen der kubischen Gleichung kannst Du dementsprechend wie folgt berechnen:

x1=z1-a3x2=z2-a3x3=z3-a3

Damit hast Du alle vier Schritte kennengelernt, um Deine gegebene kubische Gleichung mithilfe der cardanischen Formel zu lösen.

Cardanische Formel – Beispiel

Damit Du die Anwendung der cardanischen Formel einmal im Ganzen sehen kannst, findest Du im Folgenden ein Beispiel, bei dem alle 4 Schritte durchlaufen werden.

Schritt 1 - Gleichung in die richtige Form bringen

Im ersten Schritt musst Du die Gleichung, wie gerade kennengelernt, in die richtige Form bringen.

Gegeben ist die folgende kubische Gleichung:

2x3-4x-2+8x2=0

Nun musst Du als Erstes die Gleichung nach den Potenzen von x ordnen:

2x3+8x2-4x-2=0

Vor x steht die Zahl 2. Deshalb musst Du die gesamte Gleichung durch die Zahl 2 dividieren und kürzen:

22x3+82x2-42x-22=0x3+4x2-2x-1=0

Damit hast Du Deine Gleichung in die richtige Form gebracht.

Schritt 2 - Definition der Variablen

Nun folgt im zweiten Schritt die Definition der Variablen.

Im Schritt 1 hast Du folgende Gleichung erhalten:

x3+4x2-2x-1=0

Hier gilt:

a=4, b=-2, c=-1

Nun definiert Du die Variablen p, q und D. Dabei startest Du mit der Variable p:

p=b-a23

Damit gilt in diesem Beispiel:

p=-2-423=-2-163=-223

Als Nächstes definierst Du die Variable q:

q=2·a327-a·b3+c

Damit gilt in diesem Beispiel:

q=2·4327-4·(-2)3+(-1)=12827+83-1=17327

Als Nächstes folgt die Definition der Variable D:

D=q24+p327D=1732724+-223327=-469108-4,34259

Die letzte Gleichung, die Du aufstellen musst, ist die Gleichung für x:

x=z-a3x=z-43

Schritt 3 - Fallunterscheidung

Im dritten Schritt machst Du die gelernte Fallunterscheidung.

Deinen Wert für D hast Du in Schritt 2 berechnet:

D=-469108

Somit gilt der 4. Fall, denn D<0. Das heißt, es gibt für z drei unterschiedliche reelle Lösungen. Die Lösungsformeln für alle drei Werte für z hast Du bereits kennengelernt:

z1=-4·p3·cos13·arccos-q2·-27p3z2=-4·p3·cos13·arccos-q2·-27p3+π3z3=-4·p3·cos13·arccos-q2·-27p3-π3

Damit kannst Du nun Deine 3 drei Lösungen für z berechnen, indem Du die berechneten Zwischenwerte einsetzt:

q=17327p=-223

z1=-4·-2233·cos13·arccos-173272·-27-22332,052z2=--4·-2233·cos13·arccos-173272·-27-2233+π31,017z3=--4·-2233·cos13·arccos-173272·-27-2233-π3-3,069

Schritt 4 - Berechnung von x

Nun kannst Du im letzten Schritt Deine x-Werte berechnen:

Deine z Werte aus Schritt 3 setzt Du in die folgenden Gleichungen ein:

x1=z1-43x2=z2-43x3=z3-43

Damit erhältst Du:

x1=2,052-430,719x2=1,017-43-0,316x3=-3,069-43-4,403

Somit hast Du die Lösungen Deiner kubischen Gleichung mithilfe der cardanischen Formel berechnet.

Cardanische Formel – Aufgaben

Damit Du die cardanische Formel einmal selbst anwenden kannst, findest Du im Folgenden eine Aufgabe dazu.

Aufgabe 1

Löse folgende kubische Gleichung mithilfe der cardanischen Formel:

x3+3x2+1+2x=0

Lösung

Schritt 1 - Gleichung in die richtige Form bringen:

Als Erstes musst Du die Gleichung nach den Potenzen von x ordnen:

x3+3x2+2x+1=0

Vor x3 steht schon eine 1, womit die Gleichung somit bereits in der richtigen Form gegeben ist.

Schritt 2 - Definition der Variablen:

Im Schritt 1 hast Du folgende Gleichung erhalten:


x3+3x2+2x+1=0

Hier gilt:

a=3, b=2, c=1

Nun definiert Du die Variablen p, q und D. Dabei startest Du mit der Variable p:

p=b-a23

Damit gilt in diesem Beispiel:

p=2-323=2-93=2-3=-1

Als Nächstes definierst Du die Variable q:

q=2·a327-a·b3+c

Damit gilt in diesem Beispiel:

q=2·3327-3·23+1=5427-63+1=1

Als Nächstes folgt die Definition der Variable D:

D=q24+p327D=124+-1327=231080,213

Die letzte Gleichung, die Du aufstellen musst, ist die Gleichung für x:

x=z-a3x=z-33x=z-1

Schritt 3 - Fallunterscheidung:

Deinen Wert für D hast Du in Schritt 2 berechnet:

D=23108

Somit gilt der 1. Fall, denn D>0. Das heißt, es gibt für z eine einzige reelle Lösung.

Die Lösungsformel für die einzige reelle Lösung für z lautet:

z=-q2+D3+-q2-D3

Somit gilt in dieser Aufgabe:

z=-12+231083+-12-231083-1,325

Schritt 4 - Berechnung von x:

Nun kannst Du im letzten Schritt Deine x-Werte berechnen. Deinen z Wert aus Schritt 3 setzt Du in die folgende Gleichung ein:

x=z-1=-1,325-1-2,325

Somit hast Du die reelle Lösung Deiner kubischen Gleichung mithilfe der cardanischen Formel berechnet.

Cardanische Formel – Das Wichtigste

  • Die Cardanische Formel ist eine Formel zum exakten Lösen von kubischen Gleichungen der Form x3+ax2+bx+c=0
  • Die Formel wurde erstmals 1945 von Geronimo Cardano veröffentlicht.
  • Bei der Anwendung der Cardanischen Formel werden 4 Schritte durchlaufen:
    1. Gleichung in die richtige Form bringen (x3+ax2+bx+c=0)
    2. Definition der Variablen: p=b-a23, q=2·a327-a·b3+c, D=q24+p327, x=z-a3
    3. Fallunterscheidung:
      1. D>0: eine reelle Lösung für z: z=-q2+D3+-q2-D3

      2. D=0, p0: drei Lösungen für z (eine einfach, eine doppelt): z1=3·qp, z2,3=3·q2·p

      3. D=0, p=0: eine dreifache Lösung: z1=z2=z3=0

      4. D<0: drei reelle Lösungen: z1=-4·p3·cos13·arccos-q2·-27p3z2=--4·p3·cos13·arccos-q2·-27p3+π3z3=--4·p3·cos13·arccos-q2·-27p3-π3

    4. Berechnung von x: x1,2,3=z1,2,3-a3


Nachweise

  1. Bewersdorff (2019). Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. Springer Spektrum.
  2. Führer (2001). Kubische Gleichungen und die widerwillige Entdeckung der komplexen Zahlen - Zwei Beispiele zur historisch-genetischen Methode. Math.uni-frankfurt.de(20.06.2022)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Cardanische Formel

Die cardanischen Formeln sind Formeln zur exakten Lösung von kubischen Gleichungen 3. Grades.

Kubische Gleichungen können exakt durch die cardanischen Formeln gelöst werden. Außerdem können Sie durch Polynomdivision gelöst werden, jedoch nur, wenn die erste Lösung erraten werden kann.

Finales Cardanische Formel Quiz

Frage

Was ist die Formel von Cardano?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel von Cardano ist eine Formel zum exakten Lösen von kubischen Gleichungen.

Frage anzeigen

Frage

Wie lauten die Schritte bei der Anwendung der cardanischen Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Gleichung in die richtige Form bringen
  2. Definition der Variablen p, q, D, x
  3. Fallunterscheidung
  4. Berechnung von x
Frage anzeigen

Frage

Welche Fälle gibt es bei der Anwendung der cardanischen Formeln?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt die Fälle:


  1. D>0
  2. D=0, p ungleich 0
  3. D=0, p=0
  4. D<0
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