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Ableiten (auch Differenzieren genannt) ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis und notwendig für die Kurvendiskussion. Durch die Differentialrechnung kannst du das Steigungsverhalten einer Funktion f(x) bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren.Zunächst klären wir, was eine Wurzelfunktion überhaupt ist und wie sie graphisch aussieht. Die n-te Wurzelfunktion ist die Funktion g:x→xn, wobei n eine natürliche Zahl und größer als 1 ist (also n∈ℕ, n>1)…
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Jetzt kostenlos anmeldenAbleiten (auch Differenzieren genannt) ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis und notwendig für die Kurvendiskussion. Durch die Differentialrechnung kannst du das Steigungsverhalten einer Funktion bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren.
Zunächst klären wir, was eine Wurzelfunktion überhaupt ist und wie sie graphisch aussieht.
Die n-te Wurzelfunktion ist die Funktion , wobei n eine natürliche Zahl und größer als 1 ist (also ) .
Dabei hat jede Wurzelfunktion – unabhängig von n – zwei feste Werte:
Erinnerung: Der Definitionsbereich gibt an, welche Werte man für x einsetzen darf. Der Wertebereich sagt aus, welche Werte für die eingesetzten x-Werte herauskommen, also welche y-Werte die Funktion annimmt.
Die Wurzelfunktion ist also eine Funktion, die nur für positive x-Werte definiert ist. Zudem darf man die 0 einsetzen.
Hier siehst du die Funktion abgebildet. Sie heißt auch Quadratwurzelfunktion.
Abbildung 1: Quadratwurzelfunktion
Die Wurzelfunktion hat eine weitere wichtige Eigenschaft: Sie ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion.
Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion . Es gilt also: .
Das bedeutet, du kannst mit der Wurzelfunktion herausfinden, welche Zahl hoch n ein bestimmtes Ergebnis liefert.
In der folgenden Abbildung siehst du ein paar Potenzfunktionen und die zugehörigen Wurzelfunktionen.
Abbildung 2: verschiedene Wurzelfunktionen und Potenzfunktionen
Wurzelfunktionen können zum einen mit dem Wurzelzeichen dargestellt werden, aber auch in eine Potenzfunktion umgewandelt werden. Allgemein gilt:
Es gilt:
Die Wurzelfunktion ist identisch zur Potenzfunktion . Dabei gilt für den Exponenten , dass dieser immer zwischen 0 und 1 liegt.
Es gibt also zwei verschiedene Schreibweisen der Wurzelfunktionen: entweder mit einer Wurzel, oder mit einem Exponenten, in dem ein Bruch enthalten ist.
Ein Beispiel hierfür ist folgende Funktion:
Hier ziehst du die Funktion in der Wurzel in eine Klammer und stellst den Exponenten dar wie in der Definition.
Um dies nochmals zu verdeutlichen, folgt nun ein Beispiel:
Aufgabe
Wie lautet die Umkehrfunktion der folgenden Potenzfunktion ?
Lösung
Die Umkehrfunktion lautet hier .
Ableiten (auch Differenzieren genannt) ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis und notwendig für die Kurvendiskussion. Durch die Differentialrechnung kannst du das Steigungsverhalten einer Funktion bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren.
Ein wichtiger Bestandteil der Differentialrechnung ist der Differentialquotient, welcher nun genauer definiert wird.
Mit Hilfe des Differentialquotienten kannst du die Ableitung einer Funktion herleiten, da er als die Steigung der Tangente an der Stelle x interpretiert werden kann (momentane Änderungsrate). Das heißt, er gibt die lokale Änderungsrate einer Funktion an einer bestimmten Stelle an.
Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.
Hier wird die Steigung der Tangente, die die Kurve im Punkt berührt, dargestellt.
Ableitung einer konstanten Funktion | ||
Ableitung einer linearen Funktion | ||
Potenzregel | ||
Welche Ableitungsregel du bei Wurzelfunktionen verwendest, siehst du im folgenden Abschnitt.
Nun lernst du, wie man eine Wurzelfunktion ableitet. Dabei gibt es verschiedene Regeln, welche du beachten musst.
Doch zunächst lernst du die Ableitung einer der Wurzel.
Bei der Ableitung der Funktion kannst du dir eine einfache Regel merken:
Warum ist das so?
Um dir den Weg einfacher zu gestalten, kannst du die Wurzelfunktion zunächst als Potenzfunktion darstellen:
Nun kannst du die Funktion ableiten, wie du es von anderen Potenzfunktionen kennst:
Jetzt kannst du die Funktion zurück in eine Wurzelfunktion umwandeln:
Abbildung 3: Ableitung der Quadratwurzelfunktion
Sobald in der Wurzel mehr als das Argument x steht, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen. Dies folgt in den nächsten Abschnitten.
Bei der Wurzelfunktion steht nun mehr als ein x in der Wurzel, weshalb du nun auf die Kettenregel zurückgreifen musst.
1. Schritt:
Dein erster Schritt besteht darin, die innere und äußere Funktion herauszufinden. Dabei stellt die Funktion unter der Wurzel die innere Funktion dar. Die quadratische Wurzel stellt die äußere Funktion dar.
2. Schritt
Nun bildest du die Ableitung der zwei Funktionen.
3. Schritt
Hier setzt du dies in die Kettenfunktion ein und erhältst somit die Ableitung der Wurzelfunktion:
Abbildung 4: Ableitung Wurzelfunktion
Was aber, wenn es sich nicht um eine Quadratwurzel handelt? Es gibt eine allgemeine Regel zur Ableitung von n-ten Wurzelfunktionen:
Die Ableitung der Funktion lautet .
Warum ist das so?
Du kannst jede Wurzelfunktion zunächst als Potenzfunktion darstellen:
Dabei wird das n zum Nenner im Exponenten. Nun kannst du die Funktion wie jede andere Potenzfunktion ableiten:
Jetzt kannst du sie wieder zurück in eine Wurzel umwandeln:
Damit kannst du zum Beispiel höhere Wurzeln, wie die dritte Wurzel , ableiten.
Um das Ganze besser zu verdeutlichen, folgt nun ein Beispiel.
Aufgabe
Berechne die Ableitung der folgenden dritten Wurzelfunktion:
Lösung
1. Schritt
Wurzelfunktion in Potenzfunktion umformen.
Hier ziehst du die Funktion in der Wurzel in eine Klammer und die n-te Wurzel, in diesem Fall drei, stellt den Nenner des Exponenten dar.
2. Schritt
Bestimme die äußere und innere Funktion.
3. Schritt
Ableitung der äußeren und inneren Funktion.
4. Schritt
und in die Kettenregel einsetzen.
Abbildung 5: Ableitung Wurzelfunktion
Für die Ableitung der Wurzelfunktion benötigst du hauptsächlich die Kettenregel:
Für zwei Funktionen und heißt die Funktion Verkettung der Funktionen g und h.
Bei dem Kringel handelt es sich natürlich nicht um das Zeichen für das Skalarprodukt, sondern um das Zeichen für die Verkettung von Funktionen.
Andere Ableitungsregeln für Wurzelfunktionen findest du in der folgenden Tabelle:
Regel | Funktion | Ableitung |
Produktregel | ||
Summenregel | ||
Differenzregel | ||
Quotientenregel | ||
Faktorregel | ||
Potenzregel |
Jetzt lernst du die partielle Ableitung von Wurzelfunktionen kennen. Doch was ist partielles Ableiten überhaupt?
Die partielle Ableitung kommt bei Funktionen mit mehreren Variablen zum Einsatz. Hierbei stellt die partielle Ableitung nach x die Ableitung von dar, wenn y konstant bleibt. Wenn du nach ableiten möchtest, hältst du konstant.
Um dies besser nachvollziehen zu können, folgt nun ein Beispiel.
Aufgabe
Berechne die partielle Ableitung der folgenden Wurzelfunktion nach x.
Lösung
1. Schritt
Wurzel in Potenzfunktion umschreiben.
2. Schritt
Partiell nach x ableiten.
Dabei stellt die Wurzel eine Konstante dar und fällt hier komplett weg.
Damit du dein neu erworbenes Wissen anwenden kannst, bekommst du hier ein paar Übungsaufgaben.
Aufgabe 1
Bilde die erste Ableitung der folgenden Wurzelfunktion:
Lösung
Anwendung der Kettenregel:
In Formel einsetzen:
Aufgabe 2
Bilde die erste Ableitung der folgenden Wurzelfunktion .
Lösung
Anwendung der Kettenregel:
In Formel einsetzen:
Aufgabe 3
Bilde die Ableitung der folgenden Wurzelfunktion .
Lösung
Anwendung der Kettenregel:
In Formel einsetzen:
Eine Wurzelfunktion leitest du mit Hilfe der Kettenregel ab. Dabei bildest du die Ableitungen der äußeren und inneren Funktion und setzt diese in die Kettenregel ein.
Eine Wurzelfunktion schreibt man als Potenzfunktion um, indem du die Funktion in der Wurzel in eine Klammer setzt und die n-te Wurzel als Nenner des Exponenten setzt.
Durch die Ableitung kannst du das Steigungsverhalten einer Funktion bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren.
Somit ist die abgeleitete Wurzelfunktion die Steigung der Wurzelfunktion.
Eine Wurzelfunktion schreibt man als Potenzfunktion um, indem du die Funktion in der Wurzel in eine Klammer setzt und die n-te Wurzel als Nenner des Exponenten setzt.
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