Ableitung Wurzel

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Ableiten (auch Differenzieren genannt) ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis und notwendig für die Kurvendiskussion. Durch die Differentialrechnung kannst du das Steigungsverhalten einer Funktion $f (x)$ bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren.

Wurzelfunktion

Zunächst klären wir, was eine Wurzelfunktion überhaupt ist und wie sie graphisch aussieht.

Die n-te Wurzelfunktion ist die Funktion $g : x \to \sqrt[n]{x}$ , wobei n eine natürliche Zahl und größer als 1 ist (also $n \in ℕ, n > 1$ ) .

Der Definitionsbereich einer jeden Wurzelfunktion ist $D = {ℝ_{0}}^{+}$ .
Der Wertebereich der Wurzelfunktion ist $W = {ℝ_{0}}^{+}$ .

Dabei hat jede Wurzelfunktion – unabhängig von n – zwei feste Werte:

die n-te Wurzel aus 0 ist immer wieder 0: $\sqrt[n]{0} = 0$ .
die n-te Wurzel aus 1 ist immer wieder 1: $\sqrt[n]{1} = 1$ .

Erinnerung: Der Definitionsbereich gibt an, welche Werte man für x einsetzen darf. Der Wertebereich sagt aus, welche Werte für die eingesetzten x-Werte herauskommen, also welche y-Werte die Funktion annimmt.

Die Wurzelfunktion ist also eine Funktion, die nur für positive x-Werte definiert ist. Zudem darf man die 0 einsetzen.

Hier siehst du die Funktion $f (x) = \sqrt[2]{x} = \sqrt{x}$ abgebildet. Sie heißt auch Quadratwurzelfunktion.

Ableitung Wurzelfunktion Wurzelfunktion Beispiel StudySmarter Abbildung 1: Quadratwurzelfunktion

Die Wurzelfunktion hat eine weitere wichtige Eigenschaft: Sie ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion.

Die Wurzelfunktion $g (x) = \sqrt[n]{x}$ ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion $f (x) = x^{n}$ . Es gilt also: $g = f^{- 1}$ .

Das bedeutet, du kannst mit der Wurzelfunktion herausfinden, welche Zahl hoch n ein bestimmtes Ergebnis liefert.

In der folgenden Abbildung siehst du ein paar Potenzfunktionen und die zugehörigen Wurzelfunktionen.

Ableitung Wurzel Potenzfunktionen Wurzelfunktionen Beispiel StudySmarter Abbildung 2: verschiedene Wurzelfunktionen und Potenzfunktionen

Wurzelfunktionen können zum einen mit dem Wurzelzeichen dargestellt werden, aber auch in eine Potenzfunktion umgewandelt werden. Allgemein gilt:

Es gilt:

Die Wurzelfunktion $g (x) = \sqrt[n]{x^{m}}$ ist identisch zur Potenzfunktion $h (x) = x^{\frac{m}{n}}$ . Dabei gilt für den Exponenten $\frac{m}{n}$ , dass dieser immer zwischen 0 und 1 liegt.

Es gibt also zwei verschiedene Schreibweisen der Wurzelfunktionen: entweder mit einer Wurzel, oder mit einem Exponenten, in dem ein Bruch enthalten ist.

Ein Beispiel hierfür ist folgende Funktion:

$f (x) = \sqrt[3]{4 x - 2} \leftrightarrow f (x) = {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Hier ziehst du die Funktion in der Wurzel in eine Klammer und stellst den Exponenten dar wie in der Definition.

Um dies nochmals zu verdeutlichen, folgt nun ein Beispiel:

Aufgabe

Wie lautet die Umkehrfunktion der folgenden Potenzfunktion $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ ?

Lösung

Die Umkehrfunktion lautet hier $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}$ .

Grundlagenwissen: Ableitung

Ableiten (auch Differenzieren genannt) ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis und notwendig für die Kurvendiskussion. Durch die Differentialrechnung kannst du das Steigungsverhalten einer Funktion bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren.

Ein wichtiger Bestandteil der Differentialrechnung ist der Differentialquotient, welcher nun genauer definiert wird.

Mit Hilfe des Differentialquotienten kannst du die Ableitung einer Funktion herleiten, da er als die Steigung der Tangente an der Stelle x interpretiert werden kann (momentane Änderungsrate). Das heißt, er gibt die lokale Änderungsrate einer Funktion an einer bestimmten Stelle an.

Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.

$\lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}$

Hier wird die Steigung der Tangente, die die Kurve im Punkt $(x_{0} | y_{0})$ berührt, dargestellt.

Ableitung einer konstanten Funktion	$f (x) = C$	$f' (x) = 0$
Ableitung einer linearen Funktion	$f (x) = x$	$f' (x) = 1$
Potenzregel	$f (x) = x^{n}$	$f' (x) = n \cdot x^{n - 1}$
Faktorregel	$f (x) = c \cdot g (x)$	$f' (x) = c \cdot g' (x)$
Summenregel	$f (x) = h (x) + g (x)$	$f' (x) = h' (x) + g' (x)$
Differenzregel	$f (x) = g (x) - h (x)$	$f' (x) = g' (x) - h' (x)$
Produktregel	$f (x) = g (x) \cdot h (x)$	$f' (x) = g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x)$
Quotientenregel	$f (x) = \frac{g (x)}{h (x)}$	$f' (x) = \frac{h (x) \cdot g' (x) - g (x) \cdot h' (x)}{(h {(x))}^{2}}$
Kettenregel	$f (x) = g (h (x))$	$f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)$

Welche Ableitungsregel du bei Wurzelfunktionen verwendest, siehst du im folgenden Abschnitt.

Ableitung Wurzelfunktion

Nun lernst du, wie man eine Wurzelfunktion ableitet. Dabei gibt es verschiedene Regeln, welche du beachten musst.

Doch zunächst lernst du die Ableitung einer der Wurzel.

Ableitung der Quadratwurzelfunktion

Bei der Ableitung der Funktion $f (x) = \sqrt{x}$ kannst du dir eine einfache Regel merken:

$f (x) = \sqrt{x} \leftrightarrow f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Warum ist das so?

Um dir den Weg einfacher zu gestalten, kannst du die Wurzelfunktion zunächst als Potenzfunktion darstellen:

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$

Nun kannst du die Funktion ableiten, wie du es von anderen Potenzfunktionen kennst:

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}}$

Jetzt kannst du die Funktion zurück in eine Wurzelfunktion umwandeln:

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}$

Ableitung Wurzel Wurzelfunktion StudySmarter Abbildung 3: Ableitung der Quadratwurzelfunktion

Sobald in der Wurzel mehr als das Argument x steht, musst du auf die Kettenregel zurückgreifen. Dies folgt in den nächsten Abschnitten.

Ableitung Wurzel 2x

Bei der Wurzelfunktion $f (x) = \sqrt{2 x}$ steht nun mehr als ein x in der Wurzel, weshalb du nun auf die Kettenregel zurückgreifen musst.

1. Schritt:

Dein erster Schritt besteht darin, die innere und äußere Funktion herauszufinden. Dabei stellt die Funktion unter der Wurzel die innere Funktion $h (x)$ dar. Die quadratische Wurzel stellt die äußere Funktion $g (x)$ dar.

$g (x) = 2 x h (x) = \sqrt{}$

2. Schritt

Nun bildest du die Ableitung der zwei Funktionen.

$h' (x) = 2 g' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{}}$

3. Schritt

Hier setzt du dies in die Kettenfunktion ein und erhältst somit die Ableitung der Wurzelfunktion:

$f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{h (x)}} \cdot h' (x) \leftrightarrow f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{2 x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2 x}}$

Ableitung Wurzelfunktion Wurzelfunktion StudySmarter Abbildung 4: Ableitung Wurzelfunktion

Ableitung n-te Wurzel

Was aber, wenn es sich nicht um eine Quadratwurzel handelt? Es gibt eine allgemeine Regel zur Ableitung von n-ten Wurzelfunktionen:

Die Ableitung der Funktion $f (x) = \sqrt[n]{x}$ lautet $f' (x) = \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n - 1}}}$ .

Warum ist das so?

Du kannst jede Wurzelfunktion zunächst als Potenzfunktion darstellen:

$f (x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Dabei wird das n zum Nenner im Exponenten. Nun kannst du die Funktion wie jede andere Potenzfunktion ableiten:

$f' (x) = \frac{1}{n} \cdot {(x)}^{\frac{1}{n} - 1}$

Jetzt kannst du sie wieder zurück in eine Wurzel umwandeln:

$f' (x) = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n} - 1} = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n} - \frac{n}{n}} = \frac{1}{n} \cdot x^{- \frac{n - 1}{n}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{x^{\frac{n - 1}{n}}} = \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n - 1}}}$

Damit kannst du zum Beispiel höhere Wurzeln, wie die dritte Wurzel $f (x) = \sqrt[3]{x}$ , ableiten.

Um das Ganze besser zu verdeutlichen, folgt nun ein Beispiel.

Aufgabe

Berechne die Ableitung der folgenden dritten Wurzelfunktion:

$f (x) = \sqrt[3]{4 x - 2}$

Lösung

1. Schritt

Wurzelfunktion in Potenzfunktion umformen.

Hier ziehst du die Funktion in der Wurzel in eine Klammer und die n-te Wurzel, in diesem Fall drei, stellt den Nenner des Exponenten dar.

$f (x) = \sqrt[3]{4 x - 2} \leftrightarrow f (x) = {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

2. Schritt

Bestimme die äußere und innere Funktion.

$h (x) = 4 x - 2 g (y) = y^{\frac{1}{3}}$

3. Schritt

Ableitung der äußeren und inneren Funktion.

$h' (x) = 4 g' (y) = \frac{1}{3} \cdot y^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} \cdot y^{- \frac{2}{3}}$

4. Schritt

h (x)

und

g (x)

in die Kettenregel einsetzen.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 4 = \frac{4}{3 \cdot \sqrt[3]{{(4 x - 2)}^{2}}}$

Ableitung Wurzelfunktion Wurzelfunktion StudySmarter Abbildung 5: Ableitung Wurzelfunktion

Ableitungsregeln Wurzelfunktion

Für die Ableitung der Wurzelfunktion benötigst du hauptsächlich die Kettenregel:

Für zwei Funktionen $g : x \mapsto g (x)$ und $h : x \mapsto h (x)$ heißt die Funktion $g \circ h : x \mapsto g (h (x))$ Verkettung der Funktionen g und h.

Bei dem Kringel $\circ$ handelt es sich natürlich nicht um das Zeichen für das Skalarprodukt, sondern um das Zeichen für die Verkettung von Funktionen.

Die Funktion g wird auch als äußere Funktion bezeichnet.
Die Funktion h wird auch als innere Funktion bezeichnet.

$f (x) = g (h (x)) \leftrightarrow f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)$

Andere Ableitungsregeln für Wurzelfunktionen findest du in der folgenden Tabelle:

Regel	Funktion	Ableitung
Produktregel	$f (x) = g (x) \cdot h (x) f (x) = \sqrt{x} \cdot 2 x$	$f' (x) = g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x) f' (x) = \frac{2 x}{2 \sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2$
Summenregel	$f (x) = g (x) + h (x) f (x) = \sqrt{x} + \sqrt{2 x}$	$f' (x) = g' (x) + h' (x) f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{2 x}}$
Differenzregel	$f (x) = g (x) - h (x) f (x) = \sqrt{x} - \sqrt{2 x}$	$f' (x) = g' (x) - h' (x) f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{2 x}}$
Quotientenregel	$f (x) = \frac{g (x)}{h (x)} f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 2}$	$f' (x) = \frac{g' (x) \cdot h (x) - g (x) \cdot h' (x)}{(h {(x))}^{2}} f' (x) = \frac{\frac{x + 2}{2 \sqrt{x}} - \sqrt{x} \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$
Faktorregel	$f (x) = a \cdot g (x) f (x) = 2 \cdot \sqrt{x}$	$f' (x) = a \cdot g' (x) f' (x) = \frac{2}{2 \sqrt{x}}$
Potenzregel	$f (x) = x^{n} f (x) = {(\sqrt{x})}^{3}$	$f' (x) = n \cdot x^{n - 1} f' (x) = 3 \cdot {(\sqrt{x})}^{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Jetzt lernst du die partielle Ableitung von Wurzelfunktionen kennen. Doch was ist partielles Ableiten überhaupt?

Die partielle Ableitung kommt bei Funktionen mit mehreren Variablen zum Einsatz. Hierbei stellt die partielle Ableitung $z = f (x, y)$ nach x die Ableitung von $z = f (x, y)$ dar, wenn y konstant bleibt. Wenn du nach $y$ ableiten möchtest, hältst du $x$ konstant.

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} = z'_{x} = f'_{x} (x, y) = f'_{1} (x, y) \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} = z'_{y} = f'_{y} (x, y) = f'_{2} (x, y)$

Um dies besser nachvollziehen zu können, folgt nun ein Beispiel.

Aufgabe

Berechne die partielle Ableitung der folgenden Wurzelfunktion nach x.

$f (x, y) = \sqrt{x} + \sqrt{y}$

Lösung

1. Schritt

Wurzel in Potenzfunktion umschreiben.

$f (x) = \sqrt{x} \leftrightarrow f (x) = x^{\frac{1}{2}}$

$f (x) = \sqrt{y} \leftrightarrow f (x) = y^{\frac{1}{2}}$

2. Schritt

Partiell nach x ableiten.

Dabei stellt die Wurzel $\sqrt{y}$ eine Konstante dar und fällt hier komplett weg.

$f'_{x} (x, y) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Ableitung Wurzel – Aufgaben

Damit du dein neu erworbenes Wissen anwenden kannst, bekommst du hier ein paar Übungsaufgaben.

Aufgabe 1

Bilde die erste Ableitung der folgenden Wurzelfunktion: $f (x) = \sqrt{x^{2} + x}$

Lösung

Anwendung der Kettenregel:

$g (x) = \sqrt{x} \to g' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} h (x) = x^{2} + x \to h' (x) = 2 x + 1$

In Formel einsetzen:

$f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}} \cdot (2 x + 1) = \frac{2 x + 1}{2 \sqrt{x^{2} + x}}$

Aufgabe 2

Bilde die erste Ableitung der folgenden Wurzelfunktion $f (x) = \sqrt{3 x^{2} + 4 x}$ .

Lösung

Anwendung der Kettenregel:

$g (x) = \sqrt{x} \to g' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} h (x) = 3 x^{2} + 4 x \to h' (x) = 6 x + 4$

In Formel einsetzen:

$f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{3 x^{2} + 4 x}} \cdot (6 x + 4) = \frac{6 x + 4}{2 \sqrt{3 x^{2} + 4 x}}$

Aufgabe 3

Bilde die Ableitung der folgenden Wurzelfunktion $f (x) = \sqrt{x^{2} + x + 5}$ .

Lösung

Anwendung der Kettenregel:

$g (x) = \sqrt{x} \to g' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} h (x) = x^{2} + x + 5 \to h' (x) = 2 x + 1$

In Formel einsetzen:

$f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x + 5}} \cdot (2 x + 1) = \frac{2 x + 1}{2 \sqrt{x^{2} + x + 5}}$

Ableitung Wurzel - Das Wichtigste

Die wichtigste Regel für das Ableiten von Wurzeln ist die Kettenregel: $f (x) = g (h (x)) \leftrightarrow f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)$ .
Um eine Wurzel abzuleiten, schreibst du sie meistens in eine Potenzfunktion um: $f (x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$ .
Wenn nur das Argument x in der Wurzel steht, lautet die Ableitung wie folgt: $f (x) = \sqrt{x} \leftrightarrow f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .
Die Ableitung der n-ten Wurzel lautet wie folgt: $f (x) = \sqrt[n]{x} \to f' (x) = \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n - 1}}}$ .
Der Definitionsbereich der Wurzelfunktion ist $D = {ℝ_{0}}^{+}$ , der Wertebereich ist $W = {ℝ_{0}}^{+}$ .
Durch die Differentialrechnung kannst du das Steigungsverhalten einer Funktion f bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren.
Die Exponenten der Wurzelfunktion liegen zwischen 0 und 1.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ableitung Wurzel

Eine Wurzelfunktion leitest du mit Hilfe der Kettenregel ab. Dabei bildest du die Ableitungen der äußeren und inneren Funktion und setzt diese in die Kettenregel ein.

Eine Wurzelfunktion schreibt man als Potenzfunktion um, indem du die Funktion in der Wurzel in eine Klammer setzt und die n-te Wurzel als Nenner des Exponenten setzt.

Durch die Ableitung kannst du das Steigungsverhalten einer Funktion bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren.

Somit ist die abgeleitete Wurzelfunktion die Steigung der Wurzelfunktion.

Eine Wurzelfunktion schreibt man als Potenzfunktion um, indem du die Funktion in der Wurzel in eine Klammer setzt und die n-te Wurzel als Nenner des Exponenten setzt.

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