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Rotationskörper Volumen

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Rotationskörper Volumen

Du fragst dich vielleicht, warum du überhaupt Rotationskörper betrachten und berechnen solltest. In der Praxis gibt es viele runde Gegenstände, deren Kanten des Querschnitts mit einer Funktion beschrieben werden können. So kannst du zum Beispiel das Volumen einer Taschenlampe oder eines Sektglases berechnen. Wie das funktioniert, erfährst du in diesem Artikel.

Um eine gute Basis für den Artikel zu haben, kannst du dir noch einmal den Artikel zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anschauen. Zusätzlich sind die Ableitungsregeln hilfreich.

Rotationskörper – Definition

Ein Rotationskörper kann, wie schon erwähnt, zum Beispiel eine Taschenlampe sein. Doch was ist mathematisch gesehen ein Rotationskörper?

Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine Fläche um eine Achse rotiert.

In der Schule wird meist die Rotation um die x-Achse betrachtet. Damit du dir das besser vorstellen kannst, schauen wir uns gleich mal ein Beispiel an:

In der Abbildung 1 siehst du eine Fläche, die die Funktion f(x) mit der x-Achse einschließt:

Volumen von RotationskörpernBeispiel RotationsflächeStudySmarterAbbildung 1: Beispiel einer Rotationsfläche

Diese Fläche kannst du nun um die x-Achse rotieren lassen. Wie du dir dann den Rotationskörper vorstellen musst, siehst du in Abbildung 2:

Volumen von RotationskörpernBeispiel RotationskörperStudySmarterAbbildung 2: Beispiel eines Rotationskörpers

Durch die Rotation ist ein runder Körper entstanden. Von diesem kannst du nun natürlich auch das Volumen berechnen.

Du kannst auch einen Rotationskörper betrachten, der durch Rotation um die y-Achse entsteht. Dazu musst du allerdings die Funktionsgleichung nach x umstellen, also die Umkehrfunktion f-1(x) bilden.

Super, jetzt weißt du schon mal, was ein Rotationskörper ist und wie dieser entsteht. Doch wie kannst du das Volumen von Rotationskörpern berechnen?

Rotationskörper Volumen berechnen

Du kannst das Volumen von Rotationskörpern mit Hilfe eines Integrals berechnen.

Ein Schaubild einer Funktion f(x) schließt auf dem Intervall I=[a,b] mit der x-Achse eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert um die x-Achse und bildet dadurch einen Rotationskörper. Das Volumen V dieses Rotationskörpers kann durch folgende Formel berechnet werden:

V=π·abf(x)2dx

Ein Rotationskörper kann nicht nur durch Rotation um die x-Achse oder y-Achse entstehen.

Als Rotationsachse kann jegliche Achse verwendet werden. So zum Beispiel auch y=a für eine reelle Zahl a.

Wenn du mal auf so einen Fall stoßen wirst, musst du dementsprechend auch die Formel anpassen. Sie würde in dem Fall, wenn die Funktion f(x) oberhalb der neuen Rotationsachse y=a verlaufen würde, wie folgt lauten:

V=π·ab(f(x)-a)2dx

Schau dir gleich mal ein Beispiel an, um die Formel direkt anzuwenden:

Aufgabe 1

Das Schaubild der Funktion f(x) mit f(x)=32x schließt mit der x-Achse im Intervall I=[0,1] eine Fläche ein. Ein Wok entsteht durch Rotation dieser Fläche an der x-Achse.

Wie groß ist das Volumen des Woks, wenn die Einheiten in dm sind?

Lösung

Zuerst kannst du dir in Abbildung 3 die entstandene Fläche anschauen:

Volumen von RotationskörpernBeispiel Wok FlächeStudySmarterAbbildung 3: Beispiel der Fläche Wok

Lässt du diese Fläche nun um die x-Achse rotieren, erhältst du den Körper eines Woks. Diesen kannst du dir in der nächsten Abbildung anschauen:

Volumen von RotationskörpernBeispiel WokStudySmarterAbbildung 4: Beispiel Wok

Um nun das Volumen zu erhalten, kannst du die neu erlernte Formel direkt anwenden und die Funktionsgleichung der Funktion f(x) mit f(x)=32x und die Intervallgrenzen a=0 und b=1 einsetzen:

V=π·01(32x)2dx =π·0194xdx=94π·01xdx

Wenn du jetzt noch den Hauptsatz der Integralrechnung anwendest, erhältst du das Volumen des Woks:

V=94π·01xdx=94π·[12x2]01 =94π·(12·12-12·02)=94π·(12)=98π3,534dm3

Der Wok hat also ein Volumen von 3,534dm3.

Wenn du dich jetzt fragst, wie die Formel für das Volumen zustande kommt, schau dir gleich noch den nächsten Abschnitt an.

Herleitung der Formel für das Rotationskörper Volumen

Um gleich die Formel für das Volumen von Rotationskörpern zu betrachten, schauen wir uns zuerst noch kurz die Formel für den Flächeninhalt unter einem Schaubild an.

Zuerst musst du also die Fläche betrachten, die von einem Schaubild einer Funktion f(x) und der x-Achse eingeschlossen ist:

Volumen von RotationskörpernHerleitung FlächeStudySmarterAbbildung 5: Rotationsfläche

Du weißt bestimmt, wie diese Fläche berechnet wird:

A=abf(x)dx

Den Flächeninhalt im Intervall I=[a,b] erhältst du, indem du die Fläche durch Rechtecke annäherst. Das kannst du über die Ober- oder die Untersumme machen. Die Abbildung 6 enthält die Annäherung mit Rechtecken für die Ober- und die Untersumme:

Volumen von RotationskörpernHerleitung Fläche OberUntersummeStudySmarterAbbildung 6: Rotationsfläche mit Ober- und Untersumme

Dabei ist f(x) die jeweilige Höhe und dx=x die Breite der Rechtecke. Damit gilt für jedes der Rechtecke:

ARechteck=f(x)·x=f(x)·dx

Den exakten Wert erhältst du, wenn du die Anzahl der Rechtecke n gegen oder dx=x gegen null laufen lässt. Da sich in diesem Fall die Ober- und die Untersumme zum exakten Ergebnis annähern, musst du hier keine Unterscheidung machen.

Damit erhältst du die Formel für das Integral:

limnAn=limni=0nf(xi)·x=abf(x)dx

Schau dir nun als nächstes die Fläche an, die um die x-Achse rotiert:

Volumen von RotationskörpernHerleitung RotationskörperStudySmarterAbbildung 7: Rotationskörper

Das Volumen des Rotationskörpers kannst du nun nicht mehr durch Rechtecke, sondern durch Zylinder ermitteln. Auch hier gibt es wieder eine Ober- und Untersumme:

Volumen von RotationskörpernHerleitung UntersummeStudySmarterAbbildung 8: Rotationskörper mit der Untersumme

Schauen wir uns auch noch kurz die Obersumme an:

Volumen von RotationskörpernHerleitung ObersummeStudySmarterAbbildung 9: Rotationskörper mit der Obersumme

Dafür brauchst du die allgemeine Formel eines Zylinders. Diese lautet:

V=π·r2·h

Der Radius r entspricht nun f(x) und die Höhe h entsprichtx=dx. Es gilt also:

r=f(x) und h=dx

Daraus ergibt sich für die Volumenformel folgender Ausdruck:

V=π·f(x)2·dx

Wenn du jetzt wieder die Anzahl der Zylinder n gegen oder dx gegen null laufen lässt, erhältst du folgende Formel. Da sich in diesem Fall auch wieder die Ober- und die Untersumme zum exakten Ergebnis annähern, musst du wieder keine Unterscheidung machen:

limnVn=limnπ·i=0nf(xi)2·x=abπ·f(x)2dx

Wenn du jetzt noch π aus dem Integral ziehst, da es lediglich eine Konstante ist, erhältst du die Formel für das Volumen von Rotationskörpern:

V=π·abf(x)2dx

Rotationskörper Volumen Formel Aufgabe mit Lösung

Schau dir direkt noch ein Beispiel an, um die Formel des Volumens von Rotationskörpern weiter zu verinnerlichen:

Aufgabe 2

Das Schaubild der Funktion f(x) mit f(x)=-0,009x3+0,17x2-0,48x+2,95 schließt mit der x-Achse im Intervall I=[0,12] eine Fläche ein. Eine Vase entsteht durch die Rotation dieser Fläche an der x-Achse.

Wie viel Liter Wasser passen maximal in die Vase, wenn die Einheiten in dm sind?

Lösung

Schau dir zunächst wieder die entstandene Fläche in der nächsten Abbildung an:

Volumen von RotationskörpernBeispiel Vase FlächeStudySmarterAbbildung 10: Beispiel der Fläche Vase

Lässt du diese Fläche nun um die x-Achse rotieren, erhältst du den Körper eine Vase. Diese kannst du dir in der Abbildung 11 anschauen:

Volumen von RotationskörpernBeispiel VaseStudySmarterAbbildung 11: Beispiel Vase

Um nun das Volumen zu erhalten, kannst du die Funktionsgleichung der Funktion f(x) mit f(x)=-0,009x3+0,17x2-0,48x+2,95 und die Intervallgrenzen des Intervalls I=[0,12] in die Formel einsetzen:

V=π·012(-0,009x3+0,17x2-0,48x+2,95)2dx

Da du hier für das Ausmultiplizieren längere Zeit in Anspruch nehmen müsstest, kannst du das Integral auch mit dem Taschenrechner lösen. Dann erhältst du folgende Lösung:

V249,669dm3

Also passen maximal 249,669l in die Vase.

Super, jetzt hast du den ersten großen Teil schon mal geschafft. Jetzt kann es aber sein, dass die Fläche, die um die x-Achse rotiert, nicht von dem Schaubild einer Funktion f(x) und der x-Achse eingegrenzt wird, sondern von zwei Schaubildern von zwei Funktionen f(x) und g(x).

Du fragst dich jetzt sicherlich, wieso du das auch noch brauchst. Schau dir dazu den nächsten Abschnitt an.

Rotationskörper Volumen 2 Funktionen

Im Folgenden Abschnitt erhältst du mehr Informationen über das Volumen von Rotationskörper zweier Funktionen und was überhaupt ein Rotationskörper zweier Funktionen ist.

Was ist ein Rotationskörper von 2 Funktionen?

Es gibt nicht nur Gegenstände wie Taschenlampen oder Sektgläser, sondern auch Gegenstände, die Löcher haben, wie zum Beispiel ein Reifen. Deshalb brauchst du die Schaubilder von zwei Funktionen, die eine Fläche eingrenzen. Diese Fläche lässt du dann wieder um die x-Achse rotieren und dann erhältst du einen Gegenstand mit Loch.

Klingt erst einmal ein bisschen kompliziert? Dann schauen wir uns das Ganze doch mal in einem Beispiel an:

In der Abbildung 12 siehst du zwei Schaubilder zweier Funktionen f(x) und g(x) mit f(x)=2 und g(x)=1. Diese schließen im Intervall I=[1,2] eine Fläche ein:

Volumen von RotationskörpernZwei FunktionenStudySmarterAbbildung 12: Rotationsvolumen mit zwei Funktionen

Was passiert nun, wenn du diese Fläche um die x-Achse rotieren lässt? Dazu kannst du dir das rechte Bild in der nächsten Abbildung anschauen:

Volumen von RotationskörpernVergleich mit zwei FunktionenStudySmarterAbbildung 13: Vergleich Rotationsvolumen mit einer und zwei Funktionen

In der Abbildung 13 hast du einen Vergleich von zwei unterschiedlichen Rotationskörpern. Die Fläche, die um die x-Achse rotiert, ist blau eingefärbt und befindet sich jeweils im orangen Rotationskörper.Im linken Bild siehst du den Rotationskörper, der entsteht, wenn du die Fläche unterhalb des Schaubildes der Funktion f(x) mit f(x)=2 im Intervall I=[1,2] um die x-Achse rotieren lässt.

Im Vergleich dazu hast du im rechten Bild den Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche der Schaubilder zweier Funktionen f(x) und g(x) entsteht. Wie du sehen kannst, entsteht durch Rotation dieser Fläche ein Rotationskörper mit Loch.

Wenn du zwei Funktionen nutzt, allerdings eine der beiden Funktionen f(x)=0 oder g(x)=0 ist, dann hast du trotzdem einen Rotationskörper ohne Loch.

Sehr gut, jetzt weißt du schon einmal, wie ein Rotationskörper entsteht, wenn die Schaubilder zweier Funktionen f(x)und g(x) im Intervall I=[a,b] eine Fläche einschließen und diese um die x-Achse rotiert. Doch wie kannst du das Volumen dieses Rotationskörpers berechnen? Schau dir dazu den nächsten Abschnitt an.

Rotationskörper Volumen zweier Funktionen berechnen

Damit du nun das Volumen dieses Rotationskörpers berechnen kannst, muss du die neue Fläche bestimmen, die die Schaubilder der beiden Funktionen f(x) und g(x) im Intervall I=[a,b] einschließen.

Dies kannst du folgendermaßen berechnen.

Die Schaubilder zweier Funktionen f(x) und g(x) schließen auf dem Intervall I=[a,b] ein. Diese Fläche rotiert um die x-Achse und bildet damit einen Rotationskörper. Das Volumen V dieses Rotationskörpers kann durch folgende Formel berechnet werden:

V=π·abf(x)2-g(x)2dx

Dabei muss im Intervall I=[a,b] folgendes Kriterium gelten, wenn beide Funktionen f(x) und g(x) oberhalb der x-Achse verlaufen:

f(x)>g(x)

Wenn im Intervall I=[a,b] beide Funktionen f(x) und g(x) unterhalb der x-Achse verlaufen, muss folgendes gelten:

f(x)<g(x)

Für einen kurzen Überblick schau dir einfach die nächste Tabelle an:

Oberhalb der x-AchseUnterhalb der x-Achse
f(x) verläuft oberhalb g(x)V=π·abf(x)2-g(x)2dxV=π·abg(x)2-f(x)2dx
f(x) verläuft unterhalb g(x)V=π·abg(x)2-f(x)2dxV=π·abf(x)2-g(x)2dx

Überprüfe vor dem Berechnen des Volumens, ob die Funktionen f(x) und g(x) Schnittpunkte besitzen. Denn dann ändert sich, welche Funktion oberhalb und welche unterhalb verläuft und du musst diese Integrale aufaddieren.

Um dir noch kurz eine Erläuterung zu geben, woher diese Formel für das Volumen kommt, kannst du dir den nächsten Abschnitt anschauen.

Erläuterung des Volumen von Rotationskörpern zweier Funktionen

Wie schon oben erwähnt, brauchst die neu entstandene Fläche, um das Volumen zu berechnen. Dieses entsteht, indem du die untere Fläche Ag von der oberen Fläche Agesamt abziehst.

Du kannst dir dies in der Abbildung 14 verdeutlichen.

Volumen von RotationskörpernErläuterung Zwei FunktionenStudySmarterAbbildung 14: Erläuterung des Rotationsvolumen mit zwei Funktionen

Dabei gilt, dass die obere Fläche der Fläche unterhalb der Funktion f(x) entspricht.

Agesamt=abf(x)dx

Genau gilt, dass die untere Fläche der Fläche unterhalb der Funktion g(x) entspricht.

Ag=abg(x)dx

Würdest du jetzt das Volumen der beiden Rotationskörper für die Flächen unterhalb der Funktionen f(x) und g(x) berechnen, würden sich folgende beiden Formel ergeben.

Vgesamt=π·abf(x)2dxVg=π·abg(x)2dx

Da du diese beiden Formeln nun noch voneinander abziehen musst, ergibt sich folgende Gleichung.

V=π·abf(x)2dx-π·abg(x)2dx

Mit Hilfe der Rechenregeln für Integrale ergibt sich folgende gemeinsame Formel.

V=π·abf(x)2dx-π·abg(x)2dx=π·(abf(x)2dx-abg(x)2dx)=π·abf(x)2-g(x)2dx

Achte darauf, dass du die Formel immer richtig anwendest. Es schleicht sich häufig ein Fehler ein. Denke immer daran, dass f(x)2-g(x)2(f(x)-g(x))2 ist. Dies kannst du dir leicht mit der zweiten binomischen Formel erklären. Diese lautet: (a-b)2=a2-2ab+b2.

Rotationskörper Volumen von 2 Funktionen Aufgabe mit Lösung

Damit du dir auch noch die Formel für das Volumen von Rotationskörpern zweier Funktionen verinnerlichst, kannst du dir noch das abschließende Beispiel anschauen:

Aufgabe 3

Die Schaubilder der Funktionen f(x) und g(x) mit f(x)=0,05x2+5 und g(x)=0,01x3 schließen im Intervall I=[1,6] eine Fläche ein. Diese rotiert um die x-Achse.

Berechne das Volumen dieses Rotationskörpers.

Lösung

Überprüfe zuerst, welche Funktion oberhalb verläuft:

Volumen von RotationskörpernBeispiel mit zwei FunktionenStudySmarterAbbildung 15: Beispiel des Rotationsvolumen mit zwei Funktionen

Wie du sehen kannst, verläuft die Funktion f(x) oberhalb, deshalb kannst du die Formel wie gewohnt anwenden:

V=π·16f(x)2-g(x)2dx=π·16(0,05x2+5)2-(0,01x3)2dx =π·160,0025x4+0,5x2+25-0,0001x6dx=π·16-0,0001x6+0,0025x4+0,5x2+25dx

Jetzt musst du noch die Integrationsregeln anwenden:

V=π·16-0,0001x6+0,0025x4+0,5x2+25dx=π·[-170000x7+0,0005x5+16x3+25x]16 =π·(-170000·67+0,0005·65+16·63+25·6-(-170000·17+0,0005·15+16·13+25·1))400,202VE

Der Rotationskörper hat also ein Volumen von 400,202 Volumeneinheiten.

Volumen von Rotationskörpern Das Wichtigste

  • Das Volumen eines Rotationskörpers berechnet sich mit der Formel: V=π·abf(x)2dx.
  • Das Volumen eines Rotationskörpers zweier Funktionen berechnet sich mit der allgemeinen Formel: V=π·abf(x)2-g(x)2dx.
  • Lage der Schaubilder der beiden Funktionenf(x) und g(x):
    Oberhalb der x-AchseUnterhalb der x-Achse
    f(x) verläuft oberhalb g(x)V=π·abf(x)2-g(x)2dxV=π·abg(x)2-f(x)2dx
    f(x) verläuft unterhalb g(x)V=π·abg(x)2-f(x)2dxV=π·abf(x)2-g(x)2dx
  • Die Schnittpunkte der Funktionenf(x) und g(x) müssen beachtet werden, da sich dabei die Konstellation beider Funktionen ändert.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Rotationskörper Volumen

Rotationskörper entstehen dadurch, dass eine Fläche um eine beliebige Achse rotiert. Dabei kann der Rotationskörper ein Loch haben, weil die Fläche nicht an der jeweiligen Achse angrenzt oder kein Loch haben, weil die Fläche an der jeweiligen Achse angrenzt. Es gibt also  sehr viele Rotationskörper. Typische sind Kugel, Kegel und Zylinder!

Ein Rotationskörper ist ein Körper, der durch Rotation einer Fläche um eine Achse entsteht.

Die Fläche entsteht, indem ein Schaubild einer Funktion f(x) betrachtet wird, die mit der Achse in einem Intervall I=[a,b] eine Fläche einschließt.

Ebenso kann die Fläche entstehen, indem Schaubilder zweier Funktionen eine Fläche in einem Intervall I=[a,b] einschließen.

Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine Fläche um eine Achse rotiert.

Die Fläche entsteht, indem ein Schaubild einer Funktion f(x) betrachtet wird, die mit der Achse in einem Intervall I=[a,b] eine Fläche einschließt.

Ebenso kann die Fläche entstehen, indem Schaubilder zweier Funktionen eine Fläche in einem Intervall I=[a,b] einschließen.

Meist wird die x-Achse als Rotationsachse betrachtet, es kann aber auch jede beliebige andere Achse betrachtet werden.

Das Volumen eines Rotationskörpers berechnet sich durch 

V=Pi· int(f(x)²,a,b)

Multipliziere also die Kreiszahl Pi mit dem Integral der Funktion f(x)² über ein Intervall [a,b].

Finales Rotationskörper Volumen Quiz

Frage

Was ist ein Rotationskörper?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine Fläche um eine Achse rotiert.

Frage anzeigen

Frage

Die Herleitung der Formel für das Rotationsvolumen lässt sich mit welchem Hilfsmittel machen?


Antwort anzeigen

Antwort

Ober- und Untersumme

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Roationskörper zweier Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Dabei schließen Schaubilder von zwei Funktionen eine Fläche ein. Diese rotiert dann um die Rotationsachse.

Frage anzeigen

Frage

Welches optimische Merkmal hat meist ein Rotationskörper, der aus zwei Funktionen gebildet wurde?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Loch in der Mitte.

Frage anzeigen

Frage

Wieso ist es wichtig, die Schnittpunkte der Funktionen zu betrachten, wenn du das Rotationsvolumen zweier Funktionen berechnen willst?

Antwort anzeigen

Antwort

Weil es für die Formel wichtig ist, welche der beiden Funktionen oberhalb verlaufen und sich diese Eigenschaft bei einem Schnittpunkt verändert.

Frage anzeigen
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