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Du fragst dich vielleicht, warum du überhaupt Rotationskörper betrachten und berechnen solltest. In der Praxis gibt es viele runde Gegenstände, deren Kanten des Querschnitts mit einer Funktion beschrieben werden können. So kannst du zum Beispiel das Volumen einer Taschenlampe oder eines Sektglases berechnen. Wie das funktioniert, erfährst du in diesem Artikel.
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Jetzt kostenlos anmeldenDu fragst dich vielleicht, warum du überhaupt Rotationskörper betrachten und berechnen solltest. In der Praxis gibt es viele runde Gegenstände, deren Kanten des Querschnitts mit einer Funktion beschrieben werden können. So kannst du zum Beispiel das Volumen einer Taschenlampe oder eines Sektglases berechnen. Wie das funktioniert, erfährst du in diesem Artikel.
Um eine gute Basis für den Artikel zu haben, kannst du dir noch einmal den Artikel zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anschauen. Zusätzlich sind die Ableitungsregeln hilfreich.
Ein Rotationskörper kann, wie schon erwähnt, zum Beispiel eine Taschenlampe sein. Doch was ist mathematisch gesehen ein Rotationskörper?
Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine Fläche um eine Achse rotiert.
In der Schule wird meist die Rotation um die betrachtet. Damit du dir das besser vorstellen kannst, schauen wir uns gleich mal ein Beispiel an:
In der Abbildung siehst du eine Fläche, die die Funktion mit der einschließt:
Diese Fläche kannst du nun um die rotieren lassen. Wie du dir dann den Rotationskörper vorstellen musst, siehst du in Abbildung :
Durch die Rotation ist ein runder Körper entstanden. Von diesem kannst du nun natürlich auch das Volumen berechnen.
Du kannst auch einen Rotationskörper betrachten, der durch Rotation um die entsteht. Dazu musst du allerdings die Funktionsgleichung nach umstellen, also die Umkehrfunktion bilden.
Super, jetzt weißt du schon mal, was ein Rotationskörper ist und wie dieser entsteht. Doch wie kannst du das Volumen von Rotationskörpern berechnen?
Du kannst das Volumen von Rotationskörpern mit Hilfe eines Integrals berechnen.
Ein Schaubild einer Funktion schließt auf dem Intervall mit der eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert um die und bildet dadurch einen Rotationskörper. Das Volumen dieses Rotationskörpers kann durch folgende Formel berechnet werden:
Ein Rotationskörper kann nicht nur durch Rotation um die oder entstehen.
Als Rotationsachse kann jegliche Achse verwendet werden. So zum Beispiel auch für eine reelle Zahl .
Wenn du mal auf so einen Fall stoßen wirst, musst du dementsprechend auch die Formel anpassen. Sie würde in dem Fall, wenn die Funktion oberhalb der neuen Rotationsachse verlaufen würde, wie folgt lauten:
Schau dir gleich mal ein Beispiel an, um die Formel direkt anzuwenden:
Aufgabe 1
Das Schaubild der Funktion mit schließt mit der im Intervall eine Fläche ein. Ein Wok entsteht durch Rotation dieser Fläche an der .
Wie groß ist das Volumen des Woks, wenn die Einheiten in sind?
Lösung
Zuerst kannst du dir in Abbildung 3 die entstandene Fläche anschauen:
Lässt du diese Fläche nun um die rotieren, erhältst du den Körper eines Woks. Diesen kannst du dir in der nächsten Abbildung anschauen:
Um nun das Volumen zu erhalten, kannst du die neu erlernte Formel direkt anwenden und die Funktionsgleichung der Funktion mit und die Intervallgrenzen und einsetzen:
Wenn du jetzt noch den Hauptsatz der Integralrechnung anwendest, erhältst du das Volumen des Woks:
Der Wok hat also ein Volumen von .
Wenn du dich jetzt fragst, wie die Formel für das Volumen zustande kommt, schau dir gleich noch den nächsten Abschnitt an.
Um gleich die Formel für das Volumen von Rotationskörpern zu betrachten, schauen wir uns zuerst noch kurz die Formel für den Flächeninhalt unter einem Schaubild an.
Zuerst musst du also die Fläche betrachten, die von einem Schaubild einer Funktion und der eingeschlossen ist:
Du weißt bestimmt, wie diese Fläche berechnet wird:
Den Flächeninhalt im Intervall erhältst du, indem du die Fläche durch Rechtecke annäherst. Das kannst du über die Ober- oder die Untersumme machen. Die Abbildung enthält die Annäherung mit Rechtecken für die Ober- und die Untersumme:
Dabei ist die jeweilige Höhe und die Breite der Rechtecke. Damit gilt für jedes der Rechtecke:
Den exakten Wert erhältst du, wenn du die Anzahl der Rechtecke gegen oder gegen null laufen lässt. Da sich in diesem Fall die Ober- und die Untersumme zum exakten Ergebnis annähern, musst du hier keine Unterscheidung machen.
Damit erhältst du die Formel für das Integral:
Schau dir nun als nächstes die Fläche an, die um die rotiert:
Das Volumen des Rotationskörpers kannst du nun nicht mehr durch Rechtecke, sondern durch Zylinder ermitteln. Auch hier gibt es wieder eine Ober- und Untersumme:
Schauen wir uns auch noch kurz die Obersumme an:
Dafür brauchst du die allgemeine Formel eines Zylinders. Diese lautet:
Der Radius entspricht nun und die Höhe entspricht. Es gilt also:
Daraus ergibt sich für die Volumenformel folgender Ausdruck:
Wenn du jetzt wieder die Anzahl der Zylinder gegen oder gegen null laufen lässt, erhältst du folgende Formel. Da sich in diesem Fall auch wieder die Ober- und die Untersumme zum exakten Ergebnis annähern, musst du wieder keine Unterscheidung machen:
Wenn du jetzt noch aus dem Integral ziehst, da es lediglich eine Konstante ist, erhältst du die Formel für das Volumen von Rotationskörpern:
Schau dir direkt noch ein Beispiel an, um die Formel des Volumens von Rotationskörpern weiter zu verinnerlichen:
Aufgabe 2
Das Schaubild der Funktion mit schließt mit der im Intervall eine Fläche ein. Eine Vase entsteht durch die Rotation dieser Fläche an der .
Wie viel Liter Wasser passen maximal in die Vase, wenn die Einheiten in sind?
Lösung
Schau dir zunächst wieder die entstandene Fläche in der nächsten Abbildung an:
Lässt du diese Fläche nun um die rotieren, erhältst du den Körper eine Vase. Diese kannst du dir in der Abbildung 11 anschauen:
Um nun das Volumen zu erhalten, kannst du die Funktionsgleichung der Funktion mit und die Intervallgrenzen des Intervalls in die Formel einsetzen:
Da du hier für das Ausmultiplizieren längere Zeit in Anspruch nehmen müsstest, kannst du das Integral auch mit dem Taschenrechner lösen. Dann erhältst du folgende Lösung:
Also passen maximal in die Vase.
Super, jetzt hast du den ersten großen Teil schon mal geschafft. Jetzt kann es aber sein, dass die Fläche, die um die rotiert, nicht von dem Schaubild einer Funktion und der eingegrenzt wird, sondern von zwei Schaubildern von zwei Funktionen und .
Du fragst dich jetzt sicherlich, wieso du das auch noch brauchst. Schau dir dazu den nächsten Abschnitt an.
Im Folgenden Abschnitt erhältst du mehr Informationen über das Volumen von Rotationskörper zweier Funktionen und was überhaupt ein Rotationskörper zweier Funktionen ist.
Es gibt nicht nur Gegenstände wie Taschenlampen oder Sektgläser, sondern auch Gegenstände, die Löcher haben, wie zum Beispiel ein Reifen. Deshalb brauchst du die Schaubilder von zwei Funktionen, die eine Fläche eingrenzen. Diese Fläche lässt du dann wieder um die rotieren und dann erhältst du einen Gegenstand mit Loch.
Klingt erst einmal ein bisschen kompliziert? Dann schauen wir uns das Ganze doch mal in einem Beispiel an:
In der Abbildung siehst du zwei Schaubilder zweier Funktionen und mit und . Diese schließen im Intervall eine Fläche ein:
Was passiert nun, wenn du diese Fläche um die rotieren lässt? Dazu kannst du dir das rechte Bild in der nächsten Abbildung anschauen:
In der Abbildung hast du einen Vergleich von zwei unterschiedlichen Rotationskörpern. Die Fläche, die um die rotiert, ist blau eingefärbt und befindet sich jeweils im orangen Rotationskörper.Im linken Bild siehst du den Rotationskörper, der entsteht, wenn du die Fläche unterhalb des Schaubildes der Funktion mit im Intervall um die rotieren lässt.
Im Vergleich dazu hast du im rechten Bild den Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche der Schaubilder zweier Funktionen und entsteht. Wie du sehen kannst, entsteht durch Rotation dieser Fläche ein Rotationskörper mit Loch.
Wenn du zwei Funktionen nutzt, allerdings eine der beiden Funktionen oder ist, dann hast du trotzdem einen Rotationskörper ohne Loch.
Sehr gut, jetzt weißt du schon einmal, wie ein Rotationskörper entsteht, wenn die Schaubilder zweier Funktionen und im Intervall eine Fläche einschließen und diese um die rotiert. Doch wie kannst du das Volumen dieses Rotationskörpers berechnen? Schau dir dazu den nächsten Abschnitt an.
Damit du nun das Volumen dieses Rotationskörpers berechnen kannst, muss du die neue Fläche bestimmen, die die Schaubilder der beiden Funktionen und im Intervall einschließen.
Dies kannst du folgendermaßen berechnen.
Die Schaubilder zweier Funktionen und schließen auf dem Intervall ein. Diese Fläche rotiert um die und bildet damit einen Rotationskörper. Das Volumen dieses Rotationskörpers kann durch folgende Formel berechnet werden:
Dabei muss im Intervall folgendes Kriterium gelten, wenn beide Funktionen und oberhalb der verlaufen:
Wenn im Intervall beide Funktionen und unterhalb der verlaufen, muss folgendes gelten:
Für einen kurzen Überblick schau dir einfach die nächste Tabelle an:
Oberhalb der | Unterhalb der | |
Überprüfe vor dem Berechnen des Volumens, ob die Funktionen und Schnittpunkte besitzen. Denn dann ändert sich, welche Funktion oberhalb und welche unterhalb verläuft und du musst diese Integrale aufaddieren.
Um dir noch kurz eine Erläuterung zu geben, woher diese Formel für das Volumen kommt, kannst du dir den nächsten Abschnitt anschauen.
Wie schon oben erwähnt, brauchst die neu entstandene Fläche, um das Volumen zu berechnen. Dieses entsteht, indem du die untere Fläche von der oberen Fläche abziehst.
Du kannst dir dies in der Abbildung verdeutlichen.
Dabei gilt, dass die obere Fläche der Fläche unterhalb der Funktion entspricht.
Genau gilt, dass die untere Fläche der Fläche unterhalb der Funktion entspricht.
Würdest du jetzt das Volumen der beiden Rotationskörper für die Flächen unterhalb der Funktionen und berechnen, würden sich folgende beiden Formel ergeben.
Da du diese beiden Formeln nun noch voneinander abziehen musst, ergibt sich folgende Gleichung.
Mit Hilfe der Rechenregeln für Integrale ergibt sich folgende gemeinsame Formel.
Achte darauf, dass du die Formel immer richtig anwendest. Es schleicht sich häufig ein Fehler ein. Denke immer daran, dass ist. Dies kannst du dir leicht mit der zweiten binomischen Formel erklären. Diese lautet: .
Damit du dir auch noch die Formel für das Volumen von Rotationskörpern zweier Funktionen verinnerlichst, kannst du dir noch das abschließende Beispiel anschauen:
Aufgabe 3
Die Schaubilder der Funktionen und mit und schließen im Intervall eine Fläche ein. Diese rotiert um die .
Berechne das Volumen dieses Rotationskörpers.
Lösung
Überprüfe zuerst, welche Funktion oberhalb verläuft:
Wie du sehen kannst, verläuft die Funktion oberhalb, deshalb kannst du die Formel wie gewohnt anwenden:
Jetzt musst du noch die Integrationsregeln anwenden:
Der Rotationskörper hat also ein Volumen von 400,202 Volumeneinheiten.
Oberhalb der | Unterhalb der | |
Rotationskörper entstehen dadurch, dass eine Fläche um eine beliebige Achse rotiert. Dabei kann der Rotationskörper ein Loch haben, weil die Fläche nicht an der jeweiligen Achse angrenzt oder kein Loch haben, weil die Fläche an der jeweiligen Achse angrenzt. Es gibt also sehr viele Rotationskörper. Typische sind Kugel, Kegel und Zylinder!
Ein Rotationskörper ist ein Körper, der durch Rotation einer Fläche um eine Achse entsteht.
Die Fläche entsteht, indem ein Schaubild einer Funktion f(x) betrachtet wird, die mit der Achse in einem Intervall I=[a,b] eine Fläche einschließt.
Ebenso kann die Fläche entstehen, indem Schaubilder zweier Funktionen eine Fläche in einem Intervall I=[a,b] einschließen.
Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine Fläche um eine Achse rotiert.
Die Fläche entsteht, indem ein Schaubild einer Funktion f(x) betrachtet wird, die mit der Achse in einem Intervall I=[a,b] eine Fläche einschließt.
Ebenso kann die Fläche entstehen, indem Schaubilder zweier Funktionen eine Fläche in einem Intervall I=[a,b] einschließen.
Meist wird die x-Achse als Rotationsachse betrachtet, es kann aber auch jede beliebige andere Achse betrachtet werden.
Das Volumen eines Rotationskörpers berechnet sich durch
V=Pi· int(f(x)²,a,b)
Multipliziere also die Kreiszahl Pi mit dem Integral der Funktion f(x)² über ein Intervall [a,b].
Was ist ein Rotationskörper?
Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine Fläche um eine Achse rotiert.
Ober- und Untersumme
Was ist ein Roationskörper zweier Funktionen?
Dabei schließen Schaubilder von zwei Funktionen eine Fläche ein. Diese rotiert dann um die Rotationsachse.
Welches optimische Merkmal hat meist ein Rotationskörper, der aus zwei Funktionen gebildet wurde?
Ein Loch in der Mitte.
Wieso ist es wichtig, die Schnittpunkte der Funktionen zu betrachten, wenn du das Rotationsvolumen zweier Funktionen berechnen willst?
Weil es für die Formel wichtig ist, welche der beiden Funktionen oberhalb verlaufen und sich diese Eigenschaft bei einem Schnittpunkt verändert.
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