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Kurvendiskussion Funktionsschar

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Kurvendiskussion Funktionsschar

Hast Du auch schon in der Schule gesessen und Dich bei Funktionen gefragt, warum dort noch ein zusätzlicher Parameter dazukommt? Wahrscheinlich waren das Funktionsscharen, also Funktionen, die noch von weiteren Parametern abhängen und abhängig von diesen, ihre Eigenschaften ändern. Doch wie fertigt man hierzu eine Kurvendiskussion an?

Allgemeine Kurvendiskussion

Eine Kurvendiskussion in der Mathematik folgt immer dem gleichen Schema. Sobald Du Dir einmal die folgenden Schritte gemerkt hast, kannst Du diese immer wieder auf alle möglichen Funktionen anwenden. Der Sinn einer Kurvendiskussion ist einfach: Alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion bestimmen und diese zusammenfassen.

Dabei fängst Du mit den grundlegenden Eigenschaften wie der Definitionsmenge und den Achsenschnittpunkten an und arbeitest Dich vor bis zu den Extrempunkten.

  1. Definitions- und Wertebereich bestimmen
  2. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen
  3. Symmetrieverhalten untersuchen
  4. Das Verhalten im Unendlichen anschauen
  5. Lokale Extrempunkte berechnen
  6. Wendepunkte berechnen
  7. Graph der Funktion zeichnen

Abhängig von der Aufgabe kann auch nach der Monotonie der Funktion oder anderen charakteristischen Eigenschaften gefragt werden. Üblich sind jedoch die angegebenen 7 Schritte!

Falls Du Dich bisher kaum mit Kurvendiskussionen auseinandergesetzt hast, dann lies Dir am besten den Artikel zur Kurvendiskussion ganz am Anfang des Kapitels durch, damit Du einen besseren Überblick bekommst!

Kurvendiskussion Funktionsschar – Grundlagenwissen

Eine Funktionsschar, auch Kurvenschar genannt, ist nicht eine Funktion, sondern bezeichnet unendlich viele Funktionen. Eine Funktionsschar ist beispielsweise die Funktionsgleichung:

Das a als Fußnote bei der gegebenen Funktionsgleichung gibt an, dass ein Parameter gegeben ist. Mehr dazu etwas weiter unten!

Dabei ist a ein Parameter, also eine beliebige, reelle Zahl. Dieser wird auch als Scharparameter bezeichnet.

Daran erkennst Du auch, dass, sobald Du eine Zahl für a einsetzt, sich die Gleichung ändert. Da Du für a jede beliebige Zahl einsetzen kannst, gibt es unendlich viele Funktionsscharen zu der gegebenen Funktion.

Eine Funktionsschar muss aber nicht, wie in dem oben gegebenen Beispiel, zwangsläufig einer Exponentialfunktion entsprechen, sondern kann zu jedem Funktionstypen gebildet werden.

Aus Polynomfunktionen kannst Du eine Funktionsschar machen, indem Du einen der Koeffizienten mit a multiplizierst:

Auch aus Wurzelfunktionen kannst Du Funktionsscharen bauen:

Nun soll nicht jeder einzelne Funktionstyp hier aufgezählt werden. Beachte jedoch, dass es nicht nur eine Form davon gibt!

Der Parameter a, manchmal auch als Scharparameter bezeichnet, sorgt dafür, dass Du immer eine andere Funktion beim Einsetzen erhältst:

Betrachtet wird die folgende Funktion von oben:

Setze nun für den Parameter a verschiedene Werte ein:

Wenn Du konkrete Werte für den Parameter a gegeben hast, dann ersetzt Du diese und bezeichnest dann damit auch die Funktion. Gesprochen hättest Du also hier die Funktionen: "f minus 1 von x", "f null von x" und "f zwei von x"

Nun hast Du explizite Funktionen gegeben. Diese kannst Du beispielsweise in ein Koordinatensystem einzeichnen. Das würde dann so aussehen:

Kurvendiskussion Funktionsschar Funktionsscharen Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 1: Drei Funktionen der Funktionsschar

Im Folgenden wird das Beispiel beibehalten und daran kannst Du nun eine komplette Kurvendiskussion durchführen.

Kurvendiskussion einer exponentiellen Funktionsschar

Hierfür kannst Du Dich der oben bereitgestellten Schrittanleitung entlang hangeln. Außerdem wird der Parameter eingeschränkt, sodass dieser immer größer 0 ist, damit Du später nicht noch unterschiedliche Fälle des Parameters betrachten musst. Das ist sehr typisch für solche Aufgaben.

Definitionsbereich und Wertebereich bestimmen

Zuerst überlegst Du Dir also, welcher Definitionsbereich und Wertebereich für die gegebene Funktion zutrifft. Einfacher gesagt überlegst Du Dir, ob Du alle x-Werte in die Funktion einsetzen, beziehungsweise alle möglichen y-Werte herausbekommen kannst.

Bei einer Exponentialfunktion kannst Du für x jeden beliebigen Zahlenwert einsetzen. Das ist immer definiert, denn das x tritt im Exponenten auf und für Potenzen kannst Du jede Zahl einsetzen. Deshalb gilt für den Definitionsbereich:

In Worten heißt die Gleichung: Der Definitionsbereich von f sind alle reellen Zahlen.

Nun überlegst Du, ob es irgendwelche Einschränkungen für den Wertebereich gibt. Egal, welche Zahl Du für x in die Funktionsgleichung einsetzt, die Zahl wird immer positiv sein, da am Ende die Zahl in der Klammer quadriert wird. Die Funktionswerte können also nicht negativ sein!

In Worten: Der Wertebereich von f sind alle positiven reellen Zahlen, einschließlich der 0.

Schnittpunkte der Funktionsschar mit den Koordinatenachsen

Du kennst zwei Koordinatenachsen: die x-Achse und die y-Achse. Wenn eine Funktion die x-Achse schneidet, wird das in der Mathematik auch als Nullstelle bezeichnet. Wenn eine Funktion die y-Achse schneidet, dann ist das der y-Achsenabschnitt.

Zuerst wird der Schnittpunkt mit der y-Achse berechnet. Um diesen zu berechnen, musst Du einsetzen.

Die binomische Formel am Ende könntest Du noch weiter auflösen, ist aber in diesem Fall nicht nötig. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist also vom Parameter a abhängig!

Bei Aufgaben mit Funktionsscharen passiert es häufig, dass im Ergebnis der Parameter wieder auftaucht, da die Funktionen von diesen abhängig sind.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet:

In dem gezeichneten Beispiel von oben kannst Du erkennen, dass die Funktion mit dem Parameter 2 zum Beispiel die y-Achse im Punkt schneidet. Das kannst Du rechnerisch überprüfen, indem Du für a den Wert 2 in die soeben gefundene Formel einsetzt:

Weiter geht's mit den Nullstellen der Funktionsschar. Dafür setzt Du nun nicht für x den Wert 0 ein, sondern für y! Also:

Nun musst Du diese Gleichung nach x auflösen. Lasse Dich dabei nicht von dem Parameter a verwirren, das ist einfach nur eine Zahl! Überlege Dir also, wann die rechte Seite 0 wird. Das passiert, wenn der Wert innerhalb der Klammer 0 wird, also:

a ist wie gesagt eine Zahl mit der Du ganz normal rechnen kannst!

Nun kannst Du Logarithmusgesetze anwenden.

Allerdings ist der natürliche Logarithmus von , also ergebt sich die Nullstelle durch:

Der ganze Schnittpunkt mit der x-Achse wäre dann gegeben durch:

Dies ist alles lösbar, da der Parameter a größer als 0 ist, denn wie Du oben in der Abbildung 1 erkennen kannst, hat die Funktionsschar für negative Parameterwerte und 0 keine Nullstellen!

Symmetrieverhalten

In diesem Schritt wird ermittelt, ob die Funktionsschar Punktsymmetrisch zum Ursprung oder Achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Es kann auch sein, dass beides nicht erfüllt ist und keine Symmetrie vorliegt. Als Erinnerung zur Symmetrie:

Eine Funktion ist Punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:

Kurvendiskussion Funktionsschar Punktsymmetrie Formel StudySmarter

Eine Funktion ist Achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:

Kurvendiskussion Funktionsschar Achsensymmetrie Formel StudySmarter

Nun überprüfst Du dies an der gegebenen Funktion:

Die Funktion ist weder punktsymmetrisch noch achsensymmetrisch. Es liegt also keine Symmetrie vor!

Verhalten im Unendlichen – Parameter

In diesem Schritt wird das Grenzwertverhalten der Funktionsschar untersucht. Manchmal ist dieses abhängig vom gegebenen Parameter und manchmal nicht.

Schau' Dir jetzt das Verhalten im Unendlichen der gegebenen Funktionsschar an!

Die e-Funktion hat für x gegen unendlich den Grenzwert unendlich, wenn Du dann ein beliebig großes a abziehst, dann ist dieser Wert innerhalb der Klammer noch immer unendlich groß. Dieser unendlich große Wert quadriert ist also unendlich.

Die e-Funktion hat für x gegen minus unendlich den Grenzwert 0. Innerhalb der Klammer kommt also nur minus a heraus, dies quadriert ergibt eben a zum Quadrat. Du kannst also sehen, dass das Verhalten für plus unendlich unabhängig vom Parameter ist, während es für minus unendlich abhängig ist!

Lokale Extrempunkte berechnen

Der wahrscheinlich größte und auch wichtigste Schritt in der Kurvendiskussion ist die Berechnung der lokalen Extrempunkte. Dabei berechnest Du zuerst die erste und zweite Ableitung der Funktionsschar, setzt die erste Ableitung gleich 0, um die Extremstellen zu berechnen und prüfst anschließend mit der zweiten Ableitung, um welche Art von Extrempunkt es sich dabei handelt!

Wenn die zweite Ableitung der Funktion an der Extremstelle kleiner als 0 ist, dann ist dort ein Hochpunkt, wenn die zweite Ableitung dort größer als 0 ist, dann ist dort ein Tiefpunkt!

Kurvendiskussion Funktionsschar Formel Tiefpunkt Hochpunkt StudySmarter

Beginne also erst einmal damit, die ersten beiden Ableitungen der Funktionsschar zu berechnen!

Anschließend setzt Du die erste Ableitung der Funktion gleich 0 und löst nach x auf!

Wenn Du Dich erinnerst, dann erhältst Du immer 0, wenn ein Faktor bei der Multiplikation 0 ist. Der erste Faktor kann aber nie 0 werden, da die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat, also:

Nun musst Du den zweiten Faktor überprüfen:

Es gibt also ein Extrema an der Stelle ! Nun setzt Du diesen Wert in die zweite Ableitung ein und prüfst, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.

Da a größer als 0 ist, wird die Zahl am Ende immer größer als 0 sein. Somit handelt es sich bei dieser Stelle um einen Tiefpunkt. Der x-Wert ist derselbe, wie Du ihn bei der Nullstelle schon berechnet hast. Somit kannst Du direkt den gesamten Punkt angeben!

Wendepunkte

Solltest Du im vorherigen Punkt keine Extremstellen errechnen können, weil die Funktion keine Extremstellen besitzt, dann hat diese Funktion auch keine Wendestellen. Die Wendestellen berechnest Du, indem Du die zweite Ableitung der Funktion 0 setzt und anschließend prüfst, ob die dritte Ableitung der Funktion an dieser Stelle 0 ist.

Weiter geht es mit den Exponentialfunktion. Die zweite Ableitung hast Du schon aufgestellt, also musst Du nur noch die dritte Ableitung bestimmen und kannst dann schon loslegen!

Zuerst setzt Du die zweite Ableitung der Funktionsschar gleich 0.

Dann kannst Du wieder den Satz des Nullprodukts verwenden, also beide Faktoren gleich 0 setzen. Wie auch schon vorher, kann der erste Faktor wieder nicht 0 werden, da die Exponentialfunktion nie 0 wird.

Dann kannst Du den zweiten Faktor 0 setzen:

Nun musst Du nur noch überprüfen, ob die dritte Ableitung der Funktionsschar an dieser Stelle 0 ist.

Da a immer größer als 0 ist, ist die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich 0! Wenn Du noch einen Schritt weitergehen möchtest, dann kannst Du auch den gesamten Wendepunkt angeben. Dazu setzt Du die Wendestelle in die ursprüngliche Funktionsschar ein:

Graph der Funktionsschar zeichnen

Am Ende einer Kurvendiskussion sollst Du manchmal noch den Graphen der Funktion zeichnen. Wie Du anfangs aber schon gesehen hast, ist dieser bei Funktionsscharen nicht eindeutig. Manchmal wirst Du gefragt, eine beliebige Funktion dieser Funktionsschar wie oben zu zeichnen.

Häufiger wird bei der Kurvendiskussion von Funktionsscharen aber nach der Ortskurve gefragt.

Die Ortskurve einer Funktionsschar

Dazu hier zunächst eine Definition, was die Ortskurve überhaupt ist:

Die Ortskurve ist eine Funktion, die durch alle Punkte einer Funktionsschar verläuft, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen.

Weiter oben konntest Du schon feststellen, dass zum Beispiel die Nullstelle beziehungsweise der Tiefpunkt von dem Parameter a abhängig ist. Das bedeutet, dass jede Funktionsschar einen unterschiedlichen Tiefpunkt haben! Die Ortskurve verbindet all diese Punkte auf einer einzigen Funktion!

Dazu werden die Wendepunkte aus dem obigen Beispiel betrachtet. Das Einzige, was Du brauchst, um die Ortskurve zu bestimmen, ist der Wendepunkt. Die Funktionsschar selbst brauchst Du nicht mehr.

Es soll nun eine Funktion gefunden werden, für die Du einsetzet und herausbekommst. In eine Funktion werden immer x-Werte eingesetzt und Du erhältst immer Funktionswerte, also gilt:

Aus diesen beiden Bedingungen soll nun eine Funktion konstruiert werden. Die erste Gleichung gibt Dir einen x-Wert, wenn Du für den Parameter a etwas einsetzt. Nun soll dies aber umgekehrt werden, denn Du möchtest x in der finalen Funktionsgleichung einsetzen und nicht a, also:

Der Unterschied zwischen den beiden Gleichungen ist die Eingabe. Vorher musstest Du wissen, was a ist, damit Du den Wendepunkt angeben konntest. Jetzt gibst Du für jeden x-Wert einen Parameter a wieder, sodass dieser die Extremstelle hat!

Mit diesem Wissen kannst Du also in der zweiten Gleichung der Bedingungen das a ersetzen!

Und schon hast Du die Ortskurve gefunden! Diesen Sachverhalt kannst Du Dir noch kurz grafisch anschauen.

In der folgenden Abbildungen siehst Du ein paar Wendepunkte der Funktionsschar abgetragen:

Kurvendiskussion Funktionsschar Wendepunkte Funktionsschar Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 2: Einige Wendepunkte der Funktionsschar im Koordinatensystem

Und nun wird die Ortskurve durch diese Punkte gelegt, die der obigen Funktionsgleichung entspricht, welche Du vorher ausgerechnet hast!

Kurvendiskussion Funktionsschar Ortskurve Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 3: Ortskurve mit ausgewählten Wendepunkten

Kurvendiskussion Funktionsschar – Aufgaben zum Üben

Nun hast Du schon die erste Kurvendiskussion einer Funktionsschar hinter Dir! Zum Abschluss kannst Du Dein Wissen an den folgenden Aufgaben noch etwas weiter festigen!

Aufgabe 1

Bestimme den Definitions- und Wertebereich der folgenden Funktionsschar!

Lösung

Es gibt weder Einschränkungen für die x-Werte, noch für die y-Werte, also:

Aufgabe 2

Untersuche die folgende Funktionsschar auf Nullstellen!

Lösung

Dazu setzt Du den Funktionswert 0 und löst die Gleichung nach x auf.

Die Nullstelle der Funktion ist der Parameter a.

Aufgabe 3

Gibt es eine Kurve der Funktionsschar, die nur eine Nullstelle besitzt?

Lösung

Zuerst berechnest Du die Nullstelle:

Die Funktionsschar hat immer an der Stelle 0 eine Nullstelle, die zweite ist abhängig vom Parameter a. Wählst Du , dann entspricht die zweite Nullstelle der ersten Nullstelle und damit hat die Funktionsschar nur eine Nullstelle!

Kurvendiskussion Funktionsschar – Das Wichtigste

  • Eine Funktionsschar sind unendlich viele Funktionen, die von einem Parameter abhängen.
  • Die Kurvendiskussion einer Funktionsschar folgt den gleichen Schritten der normalen Kurvendiskussion.
  • Die Schritte einer Kurvendiskussion sind:
    • Definitions- und Wertebereich bestimmen
    • Funktion auf Symmetrie und Nullstellen untersuchen
    • Verhalten der Funktion im Unendlichen
    • Lokale Extrema und Wendestellen berechnen
    • Graph der Funktion zeichnen.
  • Da es von Funktionsscharen unendlich viele gibt, wird eher nach der Ortskurve bestimmter Punkte der Funktionsschar gefragt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kurvendiskussion Funktionsschar

Die Kurve auf der alle Hochpunkte der Funktionsschar liegen, heißt Ortskurve.

Die Ortskurve, ist eine Funktion, auf der alle Punkte einer Funktionsschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen, wie beispielsweise lokale Extrema oder Wendepunkte.

Finales Kurvendiskussion Funktionsschar Quiz

Frage

Welche Eigenschaften einer Funktion werden in der Kurvendiskussion untersucht?

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Antwort

  • Definitions- und Wertebereich
  • Symmetrie
  • Nullstellen
  • Verhalten im Unendlichen
  • Lokale Extrema und Wendepunkte
  • Graph
Frage anzeigen

Frage

Wie berechnest du die Nullstellen einer Funktionsschar?

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Antwort

Die Nullstellen werden berechnet, indem du für den Funktionswert (y-Wert) 0 einsetzt und die entsprechende Gleichung durch Termumformungen nach x auflöst.

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Frage

Wie berechnest du die lokalen Extrema einer Funktionsschar?

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Antwort

Wie auch bei anderen Funktionen werden lokale Extrema mit der ersten Ableitung berechnet. Diese wird 0 gesetzt und nach x aufgelöst. Anschließend wird dieser Wert in die zweite Ableitung eingesetzt, um zu prüfen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

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Frage

Wie zeichnest du den Graphen einer Funktionsschar?

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Antwort

Du kannst einen spezifischen Graph zeichnen, indem du für den Parameter einen konkreten Wert einsetzt und die entstandene Funktion dann zeichnest.

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Frage

Was ist die Ortskurve?

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Antwort

Die Ortskurve ist eine Funktion, die durch alle Punkte einer Funktionsschar verläuft, die eine bestimmte Eigenschaft aufweisen. Solche Punkte sind beispielsweise alle Tiefpunkte oder Hochpunkte einer Funktionsschar.

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Frage

Wozu führen wir Kurvendiskussionen durch?

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Antwort

Kurvendiskussionen bieten einen Überblick über alle wichtigen Eigenschaften und das Verhalten einer Funktion.

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