Kurvendiskussion Funktionsschar

Aus Polynomfunktionen kannst Du eine Funktionsschar machen, indem Du einen der Koeffizienten mit a multiplizierst:

$f_a\left(x\right)=2a{x}^2+5x-3$

Auch aus Wurzelfunktionen kannst Du Funktionsscharen bauen:

$f_a\left(x\right)=2·\sqrt{x-a}$

Betrachtet wird die folgende Funktion von oben:

$f_a\left(x\right)={\left(e^x-a\right)}^2$

Setze nun für den Parameter a verschiedene Werte ein:

$\begin{array}{cccccc}a=& -1& \Rightarrow & f_{-1}\left(x\right)& =& {\left(e^x+1\right)}^2\\ a=& 0& \Rightarrow & f_0\left(x\right)& =& {\left(e^x\right)}^2\\ a=& 2& \Rightarrow & f_2\left(x\right)& =& {\left(e^x-2\right)}^2\end{array}$

Wenn Du konkrete Werte für den Parameter a gegeben hast, dann ersetzt Du diese und bezeichnest dann damit auch die Funktion. Gesprochen hättest Du also hier die Funktionen: "f minus 1 von x", "f null von x" und "f zwei von x"

Nun hast Du explizite Funktionen gegeben. Diese kannst Du beispielsweise in ein Koordinatensystem einzeichnen. Das würde dann so aussehen:

Abbildung 1: Drei Funktionen der Funktionsschar

Bei einer Exponentialfunktion kannst Du für x jeden beliebigen Zahlenwert einsetzen. Das ist immer definiert, denn das x tritt im Exponenten auf und für Potenzen kannst Du jede Zahl einsetzen. Deshalb gilt für den Definitionsbereich:

${D_f}_a=\mathrm{ℝ}$

Nun überlegst Du, ob es irgendwelche Einschränkungen für den Wertebereich gibt. Egal, welche Zahl Du für x in die Funktionsgleichung einsetzt, die Zahl wird immer positiv sein, da am Ende die Zahl in der Klammer quadriert wird. Die Funktionswerte können also nicht negativ sein!

$W_{f_a}={{\mathrm{ℝ}}_0}^{+}$

Zuerst wird der Schnittpunkt mit der y-Achse berechnet. Um diesen zu berechnen, musst Du $x=0$ einsetzen.

$f_a\left(0\right)={\left(e^0-a\right)}^2={\left(1-a\right)}^2$

Die binomische Formel am Ende könntest Du noch weiter auflösen, ist aber in diesem Fall nicht nötig. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist also vom Parameter a abhängig!

Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet:

$S_y\left(0|{\left(1-a\right)}^2\right)$

In dem gezeichneten Beispiel von oben kannst Du erkennen, dass die Funktion mit dem Parameter 2 zum Beispiel die y-Achse im Punkt $\left(0|1\right)$ schneidet. Das kannst Du rechnerisch überprüfen, indem Du für a den Wert 2 in die soeben gefundene Formel einsetzt:

${\left(1-a\right)}^2={\left(1-2\right)}^2={\left(-1\right)}^2=1$

Weiter geht's mit den Nullstellen der Funktionsschar. Dafür setzt Du nun nicht für x den Wert 0 ein, sondern für y! Also:

$0={\left(e^x-a\right)}^2$

Nun musst Du diese Gleichung nach x auflösen. Lasse Dich dabei nicht von dem Parameter a verwirren, das ist einfach nur eine Zahl! Überlege Dir also, wann die rechte Seite 0 wird. Das passiert, wenn der Wert innerhalb der Klammer 0 wird, also:

$0=e^x-a$

a ist wie gesagt eine Zahl mit der Du ganz normal rechnen kannst!

$a=e^x$

Nun kannst Du Logarithmusgesetze anwenden.

$\ln \left(a\right)=x·\ln \left(e\right)$

Allerdings ist der natürliche Logarithmus von $e=1$, also ergebt sich die Nullstelle durch:

$\begin{array}{rcl}\ln \left(a\right)& =& x\end{array}$

Der ganze Schnittpunkt mit der x-Achse wäre dann gegeben durch:

$S_x\left(\ln \left(a\right)|0\right)$

Dies ist alles lösbar, da der Parameter a größer als 0 ist, denn wie Du oben in der Abbildung 1 erkennen kannst, hat die Funktionsschar für negative Parameterwerte und 0 keine Nullstellen!

Nun überprüfst Du dies an der gegebenen Funktion:

$f\left(-x\right)={\left(e^{-x}-a\right)}^2\ne -{\left(e^x-a\right)}^2=-f\left(x\right)$

$f\left(-x\right)={\left(e^{-x}-a\right)}^2\ne {\left(e^x-a\right)}^2=f\left(x\right)$

Die Funktion ist weder punktsymmetrisch noch achsensymmetrisch. Es liegt also keine Symmetrie vor!

Schau' Dir jetzt das Verhalten im Unendlichen der gegebenen Funktionsschar an!

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(e^x-a\right)}^2=\infty$

Die e-Funktion hat für x gegen unendlich den Grenzwert unendlich, wenn Du dann ein beliebig großes a abziehst, dann ist dieser Wert innerhalb der Klammer noch immer unendlich groß. Dieser unendlich große Wert quadriert ist also unendlich.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(e^x-a\right)}^2=a^2$

Die e-Funktion hat für x gegen minus unendlich den Grenzwert 0. Innerhalb der Klammer kommt also nur minus a heraus, dies quadriert ergibt eben a zum Quadrat. Du kannst also sehen, dass das Verhalten für plus unendlich unabhängig vom Parameter ist, während es für minus unendlich abhängig ist!

Aufgabe 1

Bestimme den Definitions- und Wertebereich der folgenden Funktionsschar!

$f_a\left(x\right)=x^3-2a{x}^2$

Lösung

Es gibt weder Einschränkungen für die x-Werte, noch für die y-Werte, also:

$\begin{array}{rcl}{D}_{f_a}& =& \mathrm{ℝ}\\ W_{f_a}& =& \mathrm{ℝ}\end{array}$

Aufgabe 2

Untersuche die folgende Funktionsschar auf Nullstellen!

$f_a\left(x\right)=\sqrt{x-a}$

Lösung

Dazu setzt Du den Funktionswert 0 und löst die Gleichung nach x auf.

$\begin{array}{rcl}0& =& \sqrt{x-a}\\ 0& =& x-a\\ x& =& a\end{array}$

Die Nullstelle der Funktion ist der Parameter a.

Aufgabe 3

Gibt es eine Kurve der Funktionsschar, die nur eine Nullstelle besitzt?

$f_a\left(x\right)=x^2-ax$

Lösung

Zuerst berechnest Du die Nullstelle:

$\begin{array}{rcl}0& =& x^2-ax\\ 0& =& x·\left(x-a\right)\\ x_1& =& 0\\ 0& =& \left(x-a\right)\\ x_2& =& a\end{array}$

Die Funktionsschar hat immer an der Stelle 0 eine Nullstelle, die zweite ist abhängig vom Parameter a. Wählst Du $a=0$, dann entspricht die zweite Nullstelle der ersten Nullstelle und damit hat die Funktionsschar nur eine Nullstelle!