Integralfunktion

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Inhaltsangabe :

INHALTSANGABE

Hast du gerade das Thema Integralfunktion in Mathe, aber weißt nicht genau worum es geht? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel wollen wir dir erklären, wie du die Integralfunktion berechnen kannst. :) Das Thema kann dem Fach Mathematik und genauer dem Unterthema Integralrechnung zugeordnet werden.

Was ist eine Integralfunktion?

Eine Integralfunktion ist wie folgt aufgebaut:

a =untere Grenze, eine beliebige reelle Zahl

g = weitere Funktion

Zum Beispiel sieht eine Integralfunktion so aus:

Wie deute ich die Integralfunktion geometrisch?

Die obige Funktion mag sehr kompliziert aussehen. Deswegen wollen wir dies anhand des Graphen zeigen. Im unteren Bild siehst die Funktion g (Gerade) in orange. In diesem Beispiel ist die untere Grenze a = 1. Funktion f wurde noch nicht eingezeichnet.

Den Funktionswert für f an der Stelle x erhältst du, wenn du die blaue Fläche unter g, zwischen der unteren Grenze 1 und x bestimmst.

Indem du für jedes neu ausgewählte x die Fläche bestimmst, kannst du Punkt für Punkt die Funktion einzeichnen. Wichtig! Flächen unterhalb der x-Achse und Flächen links der unteren Grenze sind negativ.

Quelle: Abiturma.de

Hier wurde erst ein Punkt herausgefunden.

Quelle: Abiturma.de

Hier wurden schon sehr viele Punkte herausgefunden. Du kannst den Graphen von f(x) nun erkennen.

Eigenschaften der Integralfunktion

Nehmen wir mal das Beispiel:

Daran können wir erkennen, dass f folgende Eigenschaften besitzt:

Die untere Grenze des Integrals ist immer eine Nullstelle von f. Also gilt immer f(a) = 0
Die Ableitung von f ist die innere Funktion. → t wird durch x ersetzt. Es gilt also f’(x) = g(x)

Was haben Integralfunktion & Stammfunktion miteinander zu tun?

Wie wir bereits wissen, ist f eine Integralfunktion, die folgendermaßen aufgebaut ist:

Demnach gibt es ein c ∈ R (reelle Zahlen) mit f(x) = G(x) + c. Wobei G irgendeine Stammfunktion von f ist. Damit ist die Integralfunktion eine bestimmte Stammfunktion von g, die an der Stelle x =a (untere Grenze) eine Nullstelle hat.

Ist G eine beliebige Stammfunktion von g, gilt:

Wie stelle ich die Integralfunktion in die normale Darstellung um? (Ohne Integralzeichen)

Dies zeigen wir dir anhand einer Beispiel Integrationsfunktion: Gesucht sei eine Darstellung von f ohne Verwendung des Integralzeichens.

1.Schritt: Bestimme eine Stammfunktion der inneren Funktion.

Die innere Funktion ist g(t) = 9t³ - 4t. Mit den Integrationsregeln für ganzrationale Funktionen, kannst du die Stammfunktion aufstellen: G(t) = 3t³ - 2t²

2.Schritt: Setze die Grenzen ein.

Um f(x) zu erhalten, musst du die Grenzen -1 und x in die Stammfunktion einsetzen und das Ergebnis voneinander abziehen.

f(x) = 3x³ -2x² -(3(-1)³- 2(-1)²)

f(x) = 3x³- 2x² +5

Damit ist: