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Wenn Dich etwas tangiert, berührt Dich etwas. Auch in der Mathematik berühren sich immer wieder verschiedene geometrische Figuren oder Funktionen. Wenn eine Gerade etwas nur berührt, heißt sie Tangente. Tangenten kannst Du an alle möglichen Dinge legen, so auch an Parabeln. Um die Kombination von Parabeln und Tangenten soll es in dieser Erklärung gehen.
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Jetzt kostenlos anmeldenWenn Dich etwas tangiert, berührt Dich etwas. Auch in der Mathematik berühren sich immer wieder verschiedene geometrische Figuren oder Funktionen. Wenn eine Gerade etwas nur berührt, heißt sie Tangente. Tangenten kannst Du an alle möglichen Dinge legen, so auch an Parabeln. Um die Kombination von Parabeln und Tangenten soll es in dieser Erklärung gehen.
Zunächst kannst Du hier Dein Grundlagenwissen zu den Parabeln und den Tangenten auffrischen. Außerdem kannst Du auch in den vertiefenden Erklärungen „Parabel“ und „Tangente“ nachlesen, wenn Du mehr zu diesen Themen erfahren möchtest.
Parabeln sehen Bögen ähnlich. Die Bögen sind nach oben oder unten geöffnet.
Eine Parabel ist der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion. Die Normalform einer Parabel ist die Normalparabel .
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel lautet
.
Dabei ist a der Streckungs- beziehungsweise Stauchungsfaktor. Die Variable d gibt die Verschiebung in x-Richtung an und die Verschiebung in y-Richtung wird durch die Variable e angegeben.
Zusammen geben die Variablen d und e den höchsten beziehungsweise tiefsten Punkt der Parabel an. Diesen nennst Du Scheitelpunkt.
Das Wort Tangente leitet sich von dem lateinischen Wort "tangere", zu Deutsch "berühren", ab. Demnach berührt eine Gerade etwas.
Eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem Punkt P berührt, wird Tangente genannt. Berühren meint in diesem Falle, dass die Tangente und die Funktion den Punkt P gemeinsam haben, die Tangente den Funktionsgraphen jedoch nicht schneidet.
Die Tangente und die Funktion haben nur einen gemeinsamen Punkt.
Eine Tangente ist eine lineare Funktion in der Form . Dabei gibt m die Steigung der Tangente an und n den y-Achsenabschnitt. Graphisch gesehen sind lineare Funktionen Geraden.
Mehr zu linearen Funktionen erfährst Du in der Erklärung „lineare Funktionen“.
Neben der Tangente gibt es noch weitere besondere Geraden, welche im Zusammenhang zu Funktionen stehen können.
Du kannst in jeden Punkt einer Parabel eine Tangente anlegen. In jedem Punkt besitzt die Parabel eine andere Steigung und somit die Tangente eine andere Steigung. Eine Parabel hat deshalb unendliche viele Tangenten.
Die Tangente t in einem Punkt P zu einer Funktion f ist diejenige Gerade, die dieselbe Steigung hat wie die Funktion f im Punkt P.
Die Tangentensteigung entspricht der Funktionssteigung in dem entsprechenden Punkt.
Der Berührpunkt ist . Durch die Tangente in diesem Punkt weißt Du, dass die Steigung der Funktion in diesem Punkt bei liegt. Der Graph steigt also in diesem Punkt.
Zum Zeichnen von Tangenten gibt es keine einheitliche Methode. Dir werden hier zwei vorgestellt. Bei der Ersten zeichnest Du mehrere Sekanten, bevor Du die Tangente zeichnest. Für die zweite Methode musst Du vorher die Steigung der Tangente gegeben oder berechnet haben. Dann kannst Du ein Steigungsdreieck zeichnen.
Du hast eine Parabel und einen Berührpunkt gegeben und sollst jetzt die Tangente an diesen Berührpunkt zeichnen. Dafür kannst Du behelfsweise Sekanten durch den Berührpunkt nutzen.
Schritte: | Abbildungen 5-8: Hilfssekanten an einer Parabel |
Als Erstes zeichnest Du eine beliebige Sekante durch den Berührpunkt B. | |
Als Zweites zeichnest Du eine Sekante durch den Berührpunkt B, wobei der zweite Schnittpunkt der Sekanten näher an den Berührpunkt B heranrückt. | |
Den zweiten Schritt wiederholst Du so lange, bis der zweite Schnittpunkt der Sekanten fast im Berührpunkt verschwindet. | |
Wenn der zweite Schnittpunkt der Sekante dem Berührpunkt entspricht, ist es keine Sekante mehr, sondern die gesuchte Tangente. |
Eine weitere Möglichkeit zum Zeichnen einer Tangente an eine Parabel ist das Steigungsdreieck. Dafür musst Du neben der Parabel und dem Berührpunkt auch die Steigung der Tangente gegeben haben. Du kannst die Steigung auch selbst berechnen. Wie genau das funktioniert, erfährst Du noch.
Um das Steigungsdreieck einzuzeichnen, gehst Du folgendermaßen vor:
Wenn Du das Steigungsdreieck hast, musst Du die Hypotenuse verlängern und hast die Tangente gezeichnet.
Zur Berechnung der Tangentengleichung der Tangente an eine Funktion können Dir unterschiedliche Dinge gegeben sein.
Im ersten Fall liegt der Punkt, durch welchen die Tangente verlaufen soll, auf dem Funktionsgraphen. Diese Tangentengleichung kannst Du mit und ohne Ableitung berechnen.
Im zweiten Fall ist Dir ein Punkt außerhalb des Funktionsgraphen gegeben. Von diesem Punkt aus kannst Du immer zwei Tangenten an den Graphen legen.
Wenn Dir der Berührpunkt bereits in der Aufgabe gegeben ist, kannst Du die Tangente auf zwei verschiedene Arten berechnen.
Schritte zur Berechnung der Tangentengleichung mithilfe der Ableitung:
Aufgabe 1
Gegeben ist die quadratische Funktion . Berechne die Tangentengleichung im Punkt mithilfe von Ableitungen.
Lösung
1. Schritt
Du leitest die Funktion f ab und fasst anschließend zusammen.
2. Schritt
Jetzt setzt Du den x-Wert vom Punkt P in die Ableitung ein.
Der errechnete y-Wert ist dabei auch die Tangentensteigung mt.
3. Schritt
Als Nächstes stellst Du die allgemeine Tangentengleichung nach n um.
Setze nun den Punkt P und den Anstieg mt ein und berechne n.
4. Schritt
Zum Schluss stellst Du die Tangentengleichung auf.
Die Tangentengleichung am Punkt P lautet .
Schritte zur Berechnung der Tangentengleichung ohne Ableitung:
Aufgabe 2
Gegeben ist die quadratische Funktion . Berechne die Tangentengleichung im Punkt , ohne die Funktionen abzuleiten.
Lösung
1. Schritt
Setze als Erstes die Funktionsgleichung und die Tangentengleichung gleich.
2. Schritt
Jetzt stellst Du die allgemeine Tangentengleichung nach n um.
3. Schritt
Nun setze die umgestellte Tangentengleichung für n in die Gleichung vom 1. Schritt ein.
4. Schritt
Diese Gleichung stellst Du jetzt um, sodass Du die pq-Formel anwenden kannst.
Wenn Du mehr zur pq-Formel erfahren möchtest, schau einmal in der Erklärung „pq-Formel“ vorbei.
Dann wendest Du die pq-Formel an.
5. Schritt
Da Du nur eine Lösung erhalten möchtest, setzt Du den Wurzelterm gleich null.
6. Schritt
Die Wurzelgleichung stellst Du dann so um, dass Du wieder die pq-Formel anwenden kannst. Wenn Du diese anwendest, erhältst Du eine negative Zahl unter der Wurzel. Diese kannst Du jedoch ignorieren und der vordere -Term ist der Anstieg der Tangente.
7. Schritt
Jetzt musst Du noch das n berechnen. Setze dafür das m in die Gleichung aus dem 2. Schritt ein.
8. Schritt
Zum Schluss stellst Du die Tangentengleichung auf.
Vergleiche die Lösungsschritte mit denen aus der Aufgabe 1.
Die Tangentengleichung am Punkt P lautet .
Schritte zur Berechnung der Tangentengleichung:
Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion und der Punkt . Stelle die Tangentengleichung durch den Punkt P an die Funktion f auf.
Lösung
1. Schritt
Als Erstes setze die Funktionsgleichung und die allgemeine Tangentengleichung gleich.
2. Schritt
Stelle die Gleichung so um, dass Du die pq-Formel anwenden kannst.
Wende die pq-Formel an.
3. Schritt
Den Wurzelterm der pq-Formel setzt Du gleich null und stellst nach n um.
4. Schritt
Setze in die allgemeine Tangentengleichung den Wert für n und den Punkt P ein und berechne anschließend m.
5. Schritt
Berechne n für beide Anstiege m.
6. Schritt
Zum Schluss stellst Du beide Tangentengleichungen auf.
Hier kannst Du Dein erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 4
Zeichne eine Tangente an der Funktion im Punkt . Die Steigung der Tangente beträgt 4.
Lösung
Da es sich um einen positiven Anstieg handelt, legst Du das Steigungsdreieck leicht anders an.
Du gehst als Erstes eine Kästchen nach rechts und dann vier Kästchen nach oben. Zum Schluss verlängerst Du noch die Hypotenuse des Dreiecks und erhältst die Tangente im Punkt B.
Aufgabe 5
Berechne die Tangente der Funktion im Punkt . Nutze die Ableitungsregeln.
Lösung
1. Schritt
Du leitest die Funktion f ab und fasst anschließend zusammen.
2. Schritt
Jetzt setzt Du den x-Wert vom Punkt P in die Ableitung ein und berechnest y und gleichzeitig mt.
3. Schritt
Als Nächstes berechnest Du n über die allgemeine Tangentengleichung.
4. Schritt
Zum Schluss stellst Du die Tangentengleichung auf.
Aufgabe 6
An die Funktion sollen zwei Tangenten angelegt werden, welche durch den Punkt gehen. Der Punkt P liegt nicht auf dem Funktionsgraphen. Berechne die Gleichungen der beiden Tangenten.
Lösung
1. Schritt
Als Erstes setzt Du die Funktionsgleichung und die allgemeine Tangentengleichung gleich.
2. Schritt
Danach stellst Du die Gleichung so um, dass Du die pq-Formel anwenden kannst.
Jetzt wendest Du die pq-Formel an.
3. Schritt
Den Wurzelterm der pq-Formel setzt Du gleich null und stellst nach n um.
4. Schritt
Setze den Wert für n und den Punkt P in die allgemeine Tangentengleichung ein und berechne m.
5. Schritt
Da Du den Punkt gegeben hast und dieser auf der y-Achse liegt, benötigst Du kein n und kannst es aus dem Punkt übernehmen.
6. Schritt
Zum Schluss stellst Du beide Tangentengleichungen auf.
Mit der Ableitung in einem Punkt der Funktion erhältst Du den Anstieg der Tangente. Danach musst Du noch den y-Achsenabschnitt berechnen und kannst die Tangentengleichung aufstellen.
Du kannst die Tangente durch Hilfssekanten zeichnen. Dafür zeichnest Du mehrere Sekanten durch den Berührpunkt, wobei der zweite Sekantenschnittpunkt dem Berührpunkt immer näher kommt. Irgendwann hast Du eine Tangente, da der Berührpunkt gleich dem zweiten Schnittpunkt ist.
Du kannst auch die Steigung berechnen und die Tangente über das Steigungsdreieck konstruieren.
Was ist eine Tangente?
Eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem Punkt P berührt, heißt Tangente.
Was gibt die Tangente an einer Parabel an?
Eine Tangente gibt in einem Punkt einer Funktion an, wie die Steigung des Graphens in diesem Punkt ist.
Gib die Schritte zur Berechnung einer Tangentengleichung ohne Ableitung an.
Wie kannst Du eine Tangente an einer Parabel konstruieren?
Steigungsdreieck
Was ist eine Sekante?
Was ist eine Passante?
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