Tangente an Parabel

Wenn Dich etwas tangiert, berührt Dich etwas. Auch in der Mathematik berühren sich immer wieder verschiedene geometrische Figuren oder Funktionen. Wenn eine Gerade etwas nur berührt, heißt sie Tangente. Tangenten kannst Du an alle möglichen Dinge legen, so auch an Parabeln. Um die Kombination von Parabeln und Tangenten soll es in dieser Erklärung gehen. 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Tangente an Parabel – Grundlagenwissen

    Zunächst kannst Du hier Dein Grundlagenwissen zu den Parabeln und den Tangenten auffrischen. Außerdem kannst Du auch in den vertiefenden Erklärungen „Parabel“ und „Tangente“ nachlesen, wenn Du mehr zu diesen Themen erfahren möchtest.

    Parabel – Erklärung

    Parabeln sehen Bögen ähnlich. Die Bögen sind nach oben oder unten geöffnet.

    Eine Parabel ist der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion. Die Normalform einer Parabel ist die Normalparabel f(x)=x2.

    Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel lautet

    f(x)=a·(x-d)2+e.

    Dabei ist a der Streckungs- beziehungsweise Stauchungsfaktor. Die Variable d gibt die Verschiebung in x-Richtung an und die Verschiebung in y-Richtung wird durch die Variable e angegeben.

    Zusammen geben die Variablen d und e den höchsten beziehungsweise tiefsten Punkt der Parabel an. Diesen nennst Du Scheitelpunkt.

    Tangente an Parabel Scheitelpunkt StudySmarterAbbildung 1: Scheitelpunkt S des Funktionsgraphen von f(x)

    Tangente – Erklärung

    Das Wort Tangente leitet sich von dem lateinischen Wort "tangere", zu Deutsch "berühren", ab. Demnach berührt eine Gerade etwas.

    Eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem Punkt P berührt, wird Tangente genannt. Berühren meint in diesem Falle, dass die Tangente und die Funktion den Punkt P gemeinsam haben, die Tangente den Funktionsgraphen jedoch nicht schneidet.

    Die Tangente und die Funktion haben nur einen gemeinsamen Punkt.

    Tangente an Parabel Tangente StudySmarterAbbildung 2: Tangente

    Eine Tangente ist eine lineare Funktion in der Form t(x)=mx+n. Dabei gibt m die Steigung der Tangente an und n den y-Achsenabschnitt. Graphisch gesehen sind lineare Funktionen Geraden.

    Mehr zu linearen Funktionen erfährst Du in der Erklärung „lineare Funktionen“.

    Neben der Tangente gibt es noch weitere besondere Geraden, welche im Zusammenhang zu Funktionen stehen können.

    • Die Sekante ist eine Gerade, die eine Funktion oder Figur schneidet.
    • Die Passante ist eine Gerade, die eine Funktion oder Figur weder berührt noch schneidet. Sie verläuft daran vorbei.

    Tangente an Parabel Sekante Passante Tangente StudySmarterAbbildung 3: Sekante, Passante

    Tangente an Parabel einfach erklärt

    Du kannst in jeden Punkt einer Parabel eine Tangente anlegen. In jedem Punkt besitzt die Parabel eine andere Steigung und somit die Tangente eine andere Steigung. Eine Parabel hat deshalb unendliche viele Tangenten.

    Die Tangente t in einem Punkt P zu einer Funktion f ist diejenige Gerade, die dieselbe Steigung hat wie die Funktion f im Punkt P.

    Die Tangentensteigung entspricht der Funktionssteigung in dem entsprechenden Punkt.

    Der Berührpunkt ist B(2|3). Durch die Tangente in diesem Punkt weißt Du, dass die Steigung der Funktion in diesem Punkt bei m=2 liegt. Der Graph steigt also in diesem Punkt.

    Tangente an Parabel Tangente an Parabel StudySmarterAbbildung 4: Tangente an Parabel

    Tangente an Parabel – Konstruieren

    Zum Zeichnen von Tangenten gibt es keine einheitliche Methode. Dir werden hier zwei vorgestellt. Bei der Ersten zeichnest Du mehrere Sekanten, bevor Du die Tangente zeichnest. Für die zweite Methode musst Du vorher die Steigung der Tangente gegeben oder berechnet haben. Dann kannst Du ein Steigungsdreieck zeichnen.

    Tangente über Hilfssekanten konstruieren

    Du hast eine Parabel und einen Berührpunkt gegeben und sollst jetzt die Tangente an diesen Berührpunkt zeichnen. Dafür kannst Du behelfsweise Sekanten durch den Berührpunkt nutzen.

    Schritte:Abbildungen 5-8: Hilfssekanten an einer Parabel
    Als Erstes zeichnest Du eine beliebige Sekante durch den Berührpunkt B.Tangente an Parabel Tangente konstruieren Hilfssekanten StudySmarter
    Als Zweites zeichnest Du eine Sekante durch den Berührpunkt B, wobei der zweite Schnittpunkt der Sekanten näher an den Berührpunkt B heranrückt. Tangente an Parabel Tangente konstruieren Hilfssekanten StudySmarter
    Den zweiten Schritt wiederholst Du so lange, bis der zweite Schnittpunkt der Sekanten fast im Berührpunkt verschwindet.Tangente an Parabel Tangente konstruieren Hilfssekanten StudySmarter
    Wenn der zweite Schnittpunkt der Sekante dem Berührpunkt entspricht, ist es keine Sekante mehr, sondern die gesuchte Tangente.Tangente an Parabel Tangente konstruieren Hilfssekanten StudySmarter

    Tangente über ein Steigungsdreieck konstruieren

    Eine weitere Möglichkeit zum Zeichnen einer Tangente an eine Parabel ist das Steigungsdreieck. Dafür musst Du neben der Parabel und dem Berührpunkt auch die Steigung der Tangente gegeben haben. Du kannst die Steigung auch selbst berechnen. Wie genau das funktioniert, erfährst Du noch.

    Um das Steigungsdreieck einzuzeichnen, gehst Du folgendermaßen vor:

    1. Die Steigung ist in diesem Fall -4.
    2. Du gehst von dem Berührpunkt B vier Kästchen nach unten.
    3. Dann gehst Du ein Kästchen nach rechts.
    4. Den Punkt, den Du erhältst, verbindest Du mit dem Berührpunkt B. Da dadurch ein rechtwinkliges Dreieck entsteht, kannst Du diese Verbindungsstrecke auch Hypotenuse nennen.
    5. Du erhältst das Steigungsdreieck.

    Tangente an Parabel Tangente konstruieren Steigungsdreieck  StudySmarterAbbildung 9: Tangente konstruieren Steigungsdreieck

    Wenn Du das Steigungsdreieck hast, musst Du die Hypotenuse verlängern und hast die Tangente gezeichnet.

    Tangente an Parabel Tangente konstruieren Steigungsdreieck  StudySmarterAbbildung 10: Tangente konstruieren Steigungsdreieck

    Tangente an Parabel berechnen

    Zur Berechnung der Tangentengleichung der Tangente an eine Funktion können Dir unterschiedliche Dinge gegeben sein.

    Im ersten Fall liegt der Punkt, durch welchen die Tangente verlaufen soll, auf dem Funktionsgraphen. Diese Tangentengleichung kannst Du mit und ohne Ableitung berechnen.

    Im zweiten Fall ist Dir ein Punkt außerhalb des Funktionsgraphen gegeben. Von diesem Punkt aus kannst Du immer zwei Tangenten an den Graphen legen.

    Tangente mit Berührpunkt berechnen

    Wenn Dir der Berührpunkt bereits in der Aufgabe gegeben ist, kannst Du die Tangente auf zwei verschiedene Arten berechnen.

    Mit Ableitung

    Schritte zur Berechnung der Tangentengleichung mithilfe der Ableitung:

    1. Leite die Funktion nach den Ableitungsregeln ab.
    2. Setze den x-Wert des Punktes in die Ableitung ein und berechne y. Der y-Wert ist gleichzeitig der Anstieg der Tangentengleichung.
    3. Setze den Punkt und den Anstieg m in die Geradengleichung ein und berechne n.
    4. Stelle die Tangentengleichung in der Form y=mx+n auf.

    Aufgabe 1

    Gegeben ist die quadratische Funktion f(x)=-2x2+3. Berechne die Tangentengleichung im Punkt P(1|1) mithilfe von Ableitungen.

    Lösung

    1. Schritt

    Du leitest die Funktion f ab und fasst anschließend zusammen.

    f(x)=-2x2+3f'(x)=-2·2x=-4x

    2. Schritt

    Jetzt setzt Du den x-Wert vom Punkt P in die Ableitung ein.

    f'(x)=-4xf'(1)=-4·1y=-4

    Der errechnete y-Wert ist dabei auch die Tangentensteigung mt.

    y=mt=-4

    3. Schritt

    Als Nächstes stellst Du die allgemeine Tangentengleichung nach n um.

    y=mt·x+n|-mt·xn=y-mt·x

    Setze nun den Punkt P und den Anstieg mt ein und berechne n.

    n=y-mt·xn=1-(-4)·1n=1+4n=5

    4. Schritt

    Zum Schluss stellst Du die Tangentengleichung auf.

    y=mt·x+ny=-4x+5

    Die Tangentengleichung am Punkt P lautet y=-4x+5.

    Tangente an Parabel Parabel mit Tangente StudySmarterAbbildung 11: Parabel mit Tangente

    Tangentengleichung ohne Ableitung berechnen

    Schritte zur Berechnung der Tangentengleichung ohne Ableitung:

    1. Setze die Funktionsgleichung und allgemeine Tangentengleichung gleich.
    2. Setze den Punkt P in die Tangentengleichung ein und stelle nach n um.
    3. Ersetze das n in der Gleichung von Schritt 1 mit der Gleichung aus Schritt 2.
    4. Löse die Gleichung so auf, dass Du die pq-Formel anwenden kannst.
    5. In der pq-Formel darf nur eine Lösung rauskommen, setze deshalb den Wurzelterm gleich null.
    6. Löse den Wurzelterm mithilfe der pq-Formel. Du erhältst den Anstieg m.
    7. Setze m in die Gleichung von Schritt 2 ein und berechne n.
    8. Stelle die Tangentengleichung auf.

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die quadratische Funktion f(x)=-2x2+3. Berechne die Tangentengleichung im Punkt P(1|1), ohne die Funktionen abzuleiten.

    Lösung

    1. Schritt

    Setze als Erstes die Funktionsgleichung und die Tangentengleichung gleich.

    f(x)=-2x2+3t(x)=mx+nf(x)=t(x)-2x2+3=mx+n

    2. Schritt

    Jetzt stellst Du die allgemeine Tangentengleichung nach n um.

    y=mx+n|-mxn=y-mx|P(1|1)n=1-1m

    3. Schritt

    Nun setze die umgestellte Tangentengleichung für n in die Gleichung vom 1. Schritt ein.

    -2x2+3=mx+n|n=1-m-2x2+3=mx+1-m

    4. Schritt

    Diese Gleichung stellst Du jetzt um, sodass Du die pq-Formel anwenden kannst.

    Wenn Du mehr zur pq-Formel erfahren möchtest, schau einmal in der Erklärung „pq-Formel“ vorbei.

    -2x2+3=mx+1-m|-(mx+1-m)0=-2x2+3-mx-1+m0=-2x2-mx+2+m|÷(-2)0=x2+mx2-1-m2

    Dann wendest Du die pq-Formel an.

    x1,2=-p2±p22-qx1,2=-m22±m222+2+m2x1,2=-m4±m42+2+m2x1,2=-m4±m216+2+m2

    5. Schritt

    Da Du nur eine Lösung erhalten möchtest, setzt Du den Wurzelterm gleich null.

    0=m216+2+m2

    6. Schritt

    Die Wurzelgleichung stellst Du dann so um, dass Du wieder die pq-Formel anwenden kannst. Wenn Du diese anwendest, erhältst Du eine negative Zahl unter der Wurzel. Diese kannst Du jedoch ignorieren und der vordere -p2-Term ist der Anstieg der Tangente.

    0=m216+2+m2|·160=m2+8m+32m1,2=-p2±p22-qm1,2=-82±822-32m1,2=-4±16-32m=-4

    7. Schritt

    Jetzt musst Du noch das n berechnen. Setze dafür das m in die Gleichung aus dem 2. Schritt ein.

    n=1-1m|m=-4n=1-1·(-4)n=5

    8. Schritt

    Zum Schluss stellst Du die Tangentengleichung auf.

    Vergleiche die Lösungsschritte mit denen aus der Aufgabe 1.

    y=mx+ny=-4x+5

    Die Tangentengleichung am Punkt P lautet y=-4x+5.

    Tangente an Parabel Parabel mit Tangente StudySmarterAbbildung 12: Parabel mit Tangente

    Tangente mit Punkt außerhalb berechnen

    Schritte zur Berechnung der Tangentengleichung:

    1. Setze die Funktionsgleichung und Tangentengleichung gleich.
    2. Wende die pq-Formel an. Beachte, dass Du die Gleichung vorher in die richtige Form bringen musst.
    3. Setze den Wurzelterm der pq-Formel gleich null und stelle nach n um.
    4. Setze den Term für n und den Punkt P in die allgemeine Tangentengleichung ein und berechne den Anstieg m.
    5. Berechne n. Achte darauf, dass Du zwei Anstiege hast und für beide unterschiedliche y-Achsenabschnitte möglich sind.
    6. Stelle die Tangentengleichung auf.

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die Funktion f(x)=0,5x2-1 und der Punkt P(0|-1,5). Stelle die Tangentengleichung durch den Punkt P an die Funktion f auf.

    Lösung

    1. Schritt

    Als Erstes setze die Funktionsgleichung und die allgemeine Tangentengleichung gleich.

    f(x)=0,5x2-1t(x)=mx+nf(x)=t(x)0,5x2-1=mx+n

    2. Schritt

    Stelle die Gleichung so um, dass Du die pq-Formel anwenden kannst.

    0,5x2-1=mx+n|-(mx+n)0=0,5x2-1-mx-n|÷0,50=x2-2mx-2-2n

    Wende die pq-Formel an.

    0=x2-2mx-2-2nx1,2=-p2±p22-qx1,2=-2m2±2m22+2+2nx1,2=-m±m2+2+2n

    3. Schritt

    Den Wurzelterm der pq-Formel setzt Du gleich null und stellst nach n um.

    0=m2+2+2n|-2n-2n=m2+2|÷(-2)n=-m22-1

    4. Schritt

    Setze in die allgemeine Tangentengleichung den Wert für n und den Punkt P ein und berechne anschließend m.

    t(x)=mx-m22-1|P(0|-1,5)-1,5=m·0-m22-1

    -1,5=-m22-1|+1-0,5=-m22|·(-2)1=m2|m1,2=±1m1,2=±1

    5. Schritt

    Berechne n für beide Anstiege m.

    y=mx+n-1,5=-1·0+nn=-1,5-1,5=1·0+nn=-1,5

    6. Schritt

    Zum Schluss stellst Du beide Tangentengleichungen auf.

    t1(x)=-1x-1,5t2(x)=1x-1,5

    Tangente an Parabel Tangente von außen an Parabel StudySmarterAbbildung 13: Tangente von außen an Parabel

    Tangente an Parabel – Übungsaufgaben

    Hier kannst Du Dein erlerntes Wissen testen.

    Aufgabe 4

    Zeichne eine Tangente an der Funktion f(x)=-2x2+3 im Punkt P(-1|1). Die Steigung der Tangente beträgt 4.

    Lösung

    Da es sich um einen positiven Anstieg handelt, legst Du das Steigungsdreieck leicht anders an.

    Du gehst als Erstes eine Kästchen nach rechts und dann vier Kästchen nach oben. Zum Schluss verlängerst Du noch die Hypotenuse des Dreiecks und erhältst die Tangente im Punkt B.

    Tangente an Parabel Tangente konstruieren StudySmarterAbbildung 14: Tangente konstruieren

    Aufgabe 5

    Berechne die Tangente der Funktion f(x)=-(x-3)2+1 im Punkt P(1|-3). Nutze die Ableitungsregeln.

    Lösung

    1. Schritt

    Du leitest die Funktion f ab und fasst anschließend zusammen.

    f(x)=-(x-3)2+1f'(x)=-2(x-3)·1=-2x+6

    2. Schritt

    Jetzt setzt Du den x-Wert vom Punkt P in die Ableitung ein und berechnest y und gleichzeitig mt.

    f'(x)=-2x+6f'(1)=-2·1+6=4=mt

    3. Schritt

    Als Nächstes berechnest Du n über die allgemeine Tangentengleichung.

    y=mx+n|m=4; P(1|-3)-3=4·1+n|-4-7=n

    4. Schritt

    Zum Schluss stellst Du die Tangentengleichung auf.

    y=mx+ny=4x-7

    Aufgabe 6

    An die Funktion f(x)=-0,25x2-2 sollen zwei Tangenten angelegt werden, welche durch den Punkt P(0|-1)gehen. Der Punkt P liegt nicht auf dem Funktionsgraphen. Berechne die Gleichungen der beiden Tangenten.

    Lösung

    1. Schritt

    Als Erstes setzt Du die Funktionsgleichung und die allgemeine Tangentengleichung gleich.

    f(x)=-0,25x2-2t(x)=mx+nf(x)=t(x)-0,25x2-2=mx+n

    2. Schritt

    Danach stellst Du die Gleichung so um, dass Du die pq-Formel anwenden kannst.

    -0,25x2-2=mx+n|-(mx+n)0=-0,25x2-mx-n-2|÷(-0,25)0=x2+m0,25x+n0,25+8

    Jetzt wendest Du die pq-Formel an.

    0=x2+m0,25x+4n+8x1,2=-p2±p22-qx1,2=-m0,252±m0,2522-4n-8x1,2=-8m±64m2-4n-8

    3. Schritt

    Den Wurzelterm der pq-Formel setzt Du gleich null und stellst nach n um.

    0=64m2-4n-8|+4n4n=64m2-8|÷4n=16m2-2

    4. Schritt

    Setze den Wert für n und den Punkt P in die allgemeine Tangentengleichung ein und berechne m.

    t(x)=mx+16m2-2|P(0|-1)-1=m·0+16m2-2

    -1=16m2-2|+21=16m2|÷16m2=116|m1,2=±116m1,2=±14

    5. Schritt

    Da Du den Punkt P(0|-1) gegeben hast und dieser auf der y-Achse liegt, benötigst Du kein n und kannst es aus dem Punkt übernehmen.

    6. Schritt

    Zum Schluss stellst Du beide Tangentengleichungen auf.

    y=mx+nt1(x)=14x-1t2(x)=-14x-1

    Tangente an Parabel – Das Wichtigste

    • Eine Parabel ist der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion.
    • Eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem Punkt P berührt, wird Tangente genannt. Berühren meint in diesem Falle, dass die Tangente und die Funktion den Punkt P gemeinsam haben, die Tangente den Funktionsgraphen jedoch nicht schneidet.
    • Die Tangente t in einem Punkt P zu einer Funktion f ist diejenige Gerade, die dieselbe Steigung hat wie die Funktion f im Punkt P.
    • Um eine Tangente zeichnerisch an eine Parabel zu legen, gibt es zwei Methoden.
      • Du zeichnest vor der Tangente mehrere Sekanten durch den Berührpunkt, wobei der zweite Sekantenschnittpunkt immer näher an den Berührpunkt herangeht. Wenn der Berührpunkt und der zweite Schnittpunkt der Sekanten gleich sind, hast Du die Sekante gezeichnet.
      • Du zeichnest das Steigungsdreieck der Tangente an den Berührpunkt.
    • Um eine Tangente rechnerisch zu bestimmen, kannst Du die Funktion ableiten oder die quadratische Funktion und allgemeine Tangente gleichsetzen.

    Nachweise

    1. Stark et. al. (2018). Der große Abicheck MATHEMATIK. PONS Verlag
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Tangente an Parabel

    Wie berechnet man eine Tangente an einer Parabel?

    Mit der Ableitung in einem Punkt der Funktion erhältst Du den Anstieg der Tangente. Danach musst Du noch den y-Achsenabschnitt berechnen und kannst die Tangentengleichung aufstellen.

    Wie konstruiert man eine Tangente an einer Parabel?

    Du kannst die Tangente durch Hilfssekanten zeichnen. Dafür zeichnest Du mehrere Sekanten durch den Berührpunkt, wobei der zweite Sekantenschnittpunkt dem Berührpunkt immer näher kommt. Irgendwann hast Du eine Tangente, da der Berührpunkt gleich dem zweiten Schnittpunkt ist.

    Du kannst auch die Steigung berechnen und die Tangente über das Steigungsdreieck konstruieren. 

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