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Definitionslücke gebrochen rationale Funktion

In der Kurvendiskussion werden verschiedene Merkmale von Funktionen wie beispielsweise die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Verhalten im Unendlichen, Symmetrie oder Extremstellen untersucht. Bei gebrochen rationalen Funktionen sind außerdem Definitionslücken, Polstellen und Asymptoten relevant. In diesem Artikel wirst du mehr über Definitionslücken gebrochen rationaler Funktionen erfahren.

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Definitionslücke gebrochen rationale Funktion

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In der Kurvendiskussion werden verschiedene Merkmale von Funktionen wie beispielsweise die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Verhalten im Unendlichen, Symmetrie oder Extremstellen untersucht. Bei gebrochen rationalen Funktionen sind außerdem Definitionslücken, Polstellen und Asymptoten relevant. In diesem Artikel wirst du mehr über Definitionslücken gebrochen rationaler Funktionen erfahren.

Definitionslücke einer gebrochen rationalen Funktion

Wenn zwei ganzrationale Funktionen (Polynome) addiert, multipliziert oder verkettet werden, erhält man wieder ganzrationale Funktionen. Anders ist das, wenn der Quotient von zwei ganzrationalen Funktionen gebildet wird.

Funktionen der Form f:xp(x)q(x) mit zwei Polynomen p(x) und q(x), heißen gebrochen rationale Funktionen.

Definitionslücken sind einzelne x-Werte, die nicht in die Funktion eingesetzt werden dürfen und deshalb aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Bei einer gebrochen rationalen Funktion sind das alle Nullstellen des Nenners, da nicht durch 0 geteilt werden kann.

Die Nullstellen des Nennerpolynoms qx liefern die Definitionslücken einer gebrochen rationalen Funktion f.

Der maximale Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion f:xp(x)q(x) ist also \ {x|q(x)=0}.

In der folgenden Aufgabe siehst du, wie du die Definitionslücken einer gebrochen rationalen Funktion berechnen kannst.

Aufgabe 1

Bestimme die Definitionslücken der gebrochen rationalen Funktion f(x)=3x+1x4+4x2.

Lösung

Da Definitionslücken von gebrochen rationalen Funktionen die Nullstellen des Nenners sind, müssen diese jetzt berechnet werden. Setze also das Nennerpolynom gleich 0:

x4+4x2=0x2(x2+4)=0 | doppelte Nullstelle bei x1,2=0x2+4=0 >0

Die Funktion hat eine doppelte Nennernullstelle bei x1,2=0. Weitere Nullstellen gibt es nicht.

Der Definitionsbereich der Funktion ist dann Df=\{0}.

Eine gebrochen rationale Funktion kann auch keine Definitionslücken haben. Dies ist dann der Fall, wenn der Nenner aus einer Konstante c\{0} besteht, also wenn der Grad der Nennerfunktion 0 ist.

Die Funktion f(x)=x2+x2 ist eine gebrochen rationale Funktion ohne Definitionslücke. Sie kann auch zu einer ganzrationalen Funktion umgeschrieben werden:

f(x)=x2+x2=12x2+12x.

Man kann jede beliebige ganzrationale Funktion auch so auffassen, dass sie eine gebrochen rationale Funktion mit Nenner 1 ist. Also gehören auch alle ganzrationalen Funktionen zu den gebrochen rationalen Funktionen.

Verhalten an Definitionslücken gebrochen rationaler Funktionen

In diesem Kapitel wirst du das Verhalten einer Funktion in der Umgebung ihrer Definitionslücken kennenlernen. Das Vorgehen ist dabei stets dasselbe:

Es wird überprüft, wie sich die Funktion verhält, wenn man sich von rechts der Definitionslücke x0Df annähert

  • Schreibweise: limx>x0 f(x)=limxx0+ f(x)

und, wie sich die Funktion verhält, wenn man sich von links der Definitionslücke x0Df annähert

  • Schreibweise: limx<x0 f(x)=limxx0- f(x)

Definitionslücken können Polstellen oder hebbare Definitionslücken sein. Was die Eigenschaften und Unterschiede dieser Arten von Definitionslücken sind, lernst du in den nächsten Abschnitten.

Definitionslücke – Polstelle einer gebrochen rationalen Funktion

Bei Definitionslücken, die die Nullstellen des Nennerpolynoms sind, können Polstellen vorliegen. In der Abbildung kannst du dir anschauen, wie eine Polstelle aussehen kann.

Definitionslücke gebrochen rationale Funktion Polstelle StudySmarterAbbildung 1: Polstelle einer gebrochen rationalen Funktion

Bei einer Polstelle hat der Graph der Funktion eine senkrechte Asymptote. Das heißt, dass die Funktionswerte bei der Annäherung an die Asymptote beliebig groß oder beliebig klein werden. Die Gerade x=x0ist die senkrechte Asymptote zur Polstelle x=x0.

Nun wollen wir uns noch ansehen, wie du Polstellen mit Hilfe des Funktionsterms erkennen kannst. Wenn bei x=x0 eine Nullstelle des Nennerpolynoms ist, aber keine Nullstelle des Zählerpolynoms, dann kannst du sicher sein, dass bei x=x0 eine Polstelle ist.

Wenn bei x=x0 sowohl das Nennerpolynom als auch das Zählerpolynom eine Nullstelle hat, musst du aufpassen. Dann kann es sich um eine Polstelle oder eine hebbare Definitionslücke handeln. Um eine Polstelle handelt es sich nur, wenn die Vielfachheit des Nennernullstelle größer ist als die der Zählernullstelle.

Eine Nullstelle des Nennerpolynoms ist eine Polstelle, wenn

  • sie keine Nullstelle des Zählerpolynoms ist oder
  • die Vielfachheit der Nullstelle im Nennerpolynom größer als im Zählerpolynom ist.

Die Definition kann auch etwas mathematischer aufgeschrieben werden:

Merke: Ist x0 eine k-fache Nennernullstelle und gleichzeitig auch j-fache Zählernullstelle mit k>j, dann ist x=x0 eine Polstelle!

Es gibt vier verschiedene Fälle, wie sich eine gebrochen rationale Funktion in der Umgebung einer Polstelle verhalten kann.

Verhalten in der Nähe der DefinitionslückeAbbildung 2-5

Polstelle ohne Vorzeichenwechsel:

Die Funktionswerte werden beim Annähern von links und rechts beliebig groß.

limx<x0 f(x)=limx>x0 f(x)=+
Definitionslücke gebrochen rationale Funktion Pol ohne Vorzeichenwechsel StudySmarterAbbildung 2: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel

Polstelle ohne Vorzeichenwechsel:

Die Funktionswerte werden beim Annähern von links und rechts beliebig klein.

limx<x0 f(x)=limx>x0 f(x)=-

Definitionslücke gebrochen rationale Funktion Pol ohne Vorzeichenwechsel StudySmarterAbbildung 3: Weitere Polstelle ohne Vorzeichenwechsel

Polstelle mit Vorzeichenwechsel:

Die Funktionswerte werden beim Annähern von links beliebig groß und von rechts beliebig klein.

limx<x0 f(x)=+ und limx>x0 f(x)=-

Definitionslücke gebrochen rationale Funktion Pol mit Vorzeichenwechsel StudySmarterAbbildung 4: Polstelle mit Vorzeichenwechsel

Polstelle mit Vorzeichenwechsel:

Die Funktionswerte werden beim Annähern von links beliebig klein und von rechts beliebig groß.

limx<x0 f(x)=- und limx>x0 f(x)=+
Definitionslücke gebrochen rationale Funktion Pol mit Vorzeichenwechsel StudySmarterAbbildung 5: Weitere Polstelle mit Vorzeichenwechsel

Pole mit und ohne Vorzeichenwechsel

Es werden Pole ohne und mit Vorzeichenwechsel unterschieden. Bei den ersten beiden Fällen, die du gesehen hast, handelt es sich um Polstellen ohne Vorzeichenwechsel; bei den anderen beiden Fällen um Polstellen mit Vorzeichenwechsel.

Ist x0 eine Definitionslücke einer gebrochen rationalen Funktion f, dann gilt:

  • x=x0 ist Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, wenn
    • limx<x0 f(x)=limx>x0 f(x)=+ oder
    • limx<x0 f(x)=limx>x0 f(x)=-gilt.
  • x=x0 ist Polstelle mit Vorzeichenwechsel, wenn
    • limx<x0 f(x)=+ und limx>x0 f(x)=-oder
    • limx<x0 f(x)=- und limx>x0 f(x)=+ gilt.

Am Funktionsterm kannst du einfach erkennen, um welche Polstelle es sich handelt, wenn die gebrochen rationale Funktion bei x=x0keine Zählernullstelle hat. Denn dann hängt die Art der Polstelle nur von der Vielfachheit der Nennernullstelle ab:

Die gebrochen rationale Funktion f hat bei x=x0 keine Zählernullstelle. Dann gilt:

  • Ist x=x0eine geradzahlige Nennernullstelle, dann handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
  • Ist x=x0 eine ungeradzahlige Nennernullstelle, dann handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Sehen wir uns Polstellen an einem Beispiel genauer an.

Aufgabe 2

Bestimme die Nullstelle und gib die Art der Definitionslücken der Funktion f(x)=x-2(x+1)(x-3)2 an. Bestimme außerdem das Verhalten um die Definitionslücken.

Lösung

Nullstelle bestimmen

Die Funktion f hat bei x=2 eine einfache Nullstelle.

Verhalten um die Definitionslücken

a)x=-1

  • einfache Nennernullstelle
  • keine Zählernullstelle.

Damit Ist x=x0 eine ungeradzahlige Nennernullstelle und es handelt sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Annäherung an die Definitionslücke von links:

-3 -3limx<-1 f(x)=limx<-1 x-2(x+1)(x-3)2=limx<-1 x-2(x+1)(x-3)2=limx<-1 x-2(x+1)(x-3)2=+ 0- 16 0-

Annäherung an die Definitionslücke von rechts:

-3 -3limx>-1 f(x)=limx>-1 x-2(x+1)(x-3)2=limx>-1 x-2(x+1)(x-3)2=limx>-1 x-2(x+1)(x-3)2=- 0+ 16 0+

b) x=3

  • doppelte Nennernullstelle
  • keine Zählernullstelle

Damit ist x=x0 eine geradzahlige Nennernullstelle und es handelt sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Annäherung an die Definitionslücke von links:

1 1limx<3 f(x)=limx<3 x-2(x+1)(x-3)2=limx<3 x-2(x+1)(x-3)2=limx<3 x-2(x+1)(x-3)2=+ 4 0+ 0+

Annäherung an die Definitionslücke von rechts:

1 1limx>3 f(x)=limx>3 x-2(x+1)(x-3)2=limx>3 x-2(x+1)(x-3)2=limx>3 x-2(x+1)(x-3)2=+ 4 0+ 0+

Ordnung von Polstellen

So ähnlich wie man die Vielfachheit bei Nullstellen bestimmen kann, kann man auch die Vielfachheit von Polstellen betrachten. Diese Vielfachheit wird dann als Ordnung der Polstelle bezeichnet.

Wenn x=x0 nur eine Nullstelle des Nenners, aber keine Nullstelle des Zählers ist, kannst du die Ordnung einfach bestimmen. Denn wenn x=x0 eine k-fache Nennernullstelle ist, so handelt es sich um eine k-fache Polstelle beziehungsweise einen Polstelle k-ter Ordnung.

Etwas schwieriger ist es, die Ordnung eines Pols an der Stelle x=x0 zu bestimmen, wenn x=x0sowohl Nennernullstelle als auch Zählernullstelle ist.

Wenn x=x0 eine k-fache Nennernullstelle und eine j-fache Zählernullstelle ist mit k>j, dann hat die Funktion f einen Pol (k-j)-ter Ordnung.

Am Beispiel kannst du dir ansehen, wie du die Ordnung von Polstellen bestimmen kannst.

Aufgabe 3

Bestimme die Nullstellen und gib die Art der Definitionslücken der Funktion f(x)=(x-2)(x-3)(x+1)(x-3)2 an.

Lösung

Nullstellen bestimmen

Nullstellen des Zählerpolynoms sind

  • x=2 und
  • x=3.

Da 3Df aber nicht im Definitionsbereich enthalten ist, ist nur x=2einfache Nullstelle der Funktion.

Vorsicht: Bei gebrochen rationalen Funktionen sind Nullstellen des Zählers nur mögliche Nullstellen der Funktion!

Eine Zählernullstelle ist nur dann eine Nullstelle der gebrochen rationalen Funktion, wenn sie nicht zugleich eine Nennernullstelle ist.

Ordnung der Polstellen

  • Die Polstelle bei x=1 ist eine Polstelle erster Ordnung, denn es ist eine einfache Nennernullstelle und keine Zählernullstelle.
  • Bei x=3 allerdings ist eine einfache Zählernullstelle und eine doppelte Nennernullstelle. Die Ordnung der Polstelle berechnet sich also durch:

VielfachheitNennernullstelle-VielfachheitZählernullstelle=2-1=1.

Also hat die Funktion bei x=3 einen Pol erster Ordnung.

Die Funktion f hat bei

  • x=2 eine einfache Nullstelle
  • x=1eine Polstelle erster Ordnung (=einfache Polstelle)
  • x=3einen Polstelle erster Ordnung (=einfache Polstelle).

Du kannst auch mit Hilfe der Ordnung einer Polstelle herausfinden, ob es sich um eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel handelt.

Ist bei x=x0 eine Polstelle mit geradzahliger Ordnung (2, 4, 6, ...), dann handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Ist bei x=x0 eine Polstelle mit ungeradzahliger Ordnung (1, 3, 5, ...), dann handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Übungsaufgabe zu Polstellen

An dieser Aufgabe kannst du dein Wissen nochmal testen.

Aufgabe 4

Gegeben ist die gebrochen rationale Funktion f(x)=2-3x4x3-4x2.

Bestimme die maximale Definitionsmenge, die Nullstelle und das Verhalten um die Definitionslücken.

Lösung

Definitionsmenge

Du berechnest die Definitionslücken, indem du die Nennernullstellen berechnest:

4x3-4x2=04x2(x-1)=0 | x1,2=0x-1=0 | x3=1

Der Nenner hat eine doppelte Nullstelle bei x1,2=0 und eine einfache Nullstelle bei x3=1. Die Definitionsmenge ist damit Df=\{0;1}.

Nullstelle

Die Nullstellen sind die Nullstellen des Zählers:

2-3x=0 |+3x2=3x |:323=x

Verhalten um die Definitionslücken

a) x=0

Annäherung an die Definitionslücke von links:

2 2limx<0 f(x)=limx<0 2-3x4x3-4x2=limx<0 2-3x4x2 (x-1)=limx<0 2-3x4x2(x-1)=- 0+ -1 0-

Annäherung an die Definitionslücke von rechts:

2 2limx>0 f(x)=limx>0 2-3x4x3-4x2=limx>0 2-3x4x2 (x-1)=limx>0 2-3x4x2(x-1)=- 0+ -1 0-

Die Funktion f hat bei x=0 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

b) x=1

Annäherung an die Definitionslücke von links:

-1 -1limx<1 f(x)=limx<1 2-3x4x3-4x2=limx<1 2-3x4x2 (x-1)=limx<1 2-3x4x2(x-1)=+ 4 0- 0-

Annäherung an die Definitionslücke von rechts:

-1 -1limx>1 f(x)=limx>1 2-3x4x3-4x2=limx>1 2-3x4x2 (x-1)=limx>1 2-3x4x2(x-1)=+ 4 0+ 0+

Die Funktion f hat bei x=1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Definitionslücke gebrochen rationale Funktion Polstellen Aufgabe StudySmarterAbbildung 6: Graphischer Verlauf der Funktion aus der Aufgabe

Hebbare Definitionslücke einer gebrochen rationalen Funktion

Eine Definitionslücke einer gebrochen rationalen Funktion f muss nicht immer eine Polstelle sein. In der Abbildung siehst du eine Nennernullstelle, die eine hebbare Definitionslücke ist.

Definitionslücke gebrochen rationale Funktion behebbare Definitionslücke StudySmarterAbbildung 7: Beispiel für eine hebbare Definitionslücke

Im Graphen wird die hebbare Definitionslücke meist durch einen Kringel dargestellt. Dieser Kringel soll zeigen, dass die hebbare Definitionslücke kein Teil der Funktion ist. Manchmal werden hebbare Definitionslücken deshalb auch Löcher genannt.

Bei hebbaren Definitionslücken, kannst du einen Punkt (x0|y0) finden, durch den die Funktion stetig fortgesetzt werden kann.

Unter einer hebbaren Definitionslücke versteht man eine Definitionslücke, welche durch das Kürzen der Funktion behoben werden kann. Das heißt, die Lücke ist nach dem Kürzen nicht mehr erkennbar.

Du kannst dir also merken, dass eine die Definitionslücke aus dem Funktionsterm verschwinden kann, wenn sie hebbar ist! Du musst aber beachten, dass die Definitionslücken immer noch existieren, obwohl man sie nicht mehr in der gekürzten Funktion sehen kann.

Bei der Funktion f(x)=(x+3)(x-2)(x-2) ist der Definitionsbereich \{2}.

Wenn du die Funktion "kürzt" kann sie fälschlicherweise mit der Funktion gx=x+3 verwechselt werden. Das ist aber falsch, denn g(x) ist an der Stelle x=2 definiert, f(x) hat dort aber ein Loch.

Definitionslücke gebrochen rationale Funktion Kürzen hebbare Definitionslücke StudySmarterAbbildung 8: Funktion mit hebbarer Definitionslücke

Definitionslücke gebrochen rationale Funktion Kürzen hebbare Definitionslücke StudySmarterAbbildung 9: gekürzte Funktion ohne hebbare Definitionslücke

Anders als bei Polstellen werden bei einer hebbaren Definitionslücke die Funktionswerte nicht beliebig groß oder klein, sondern sie nähern sich einem bestimmten Wert an.

Ist x0 eine Definitionslücke einer gebrochen rationalen Funktion f, dann gilt:

  • x=x0 ist eine (be-)hebbare Definitionslücke, wennlimx<x0f(x)=limx>x0f(x)=a (a) gilt.

Eine Nullstelle des Nennerpolynoms ist also eine hebbare Definitionslücke, wenn sie auch eine Zählernullstelle ist, und die Vielfachheit der Nullstelle im Zählerpolynom größer oder gleich der Vielfachheit im Nennerpolynom ist.

Mathematischer aufgeschrieben heißt das:

Merke: Ist x=x0 eine k-fache Nennernullstelle und gleichzeitig auch j-fache Zählernullstelle mit kj, dann ist bei x=x0 eine hebbare Definitionslücke!

Damit du hebbare Definitionslücken besser verstehst, schaue dir das folgende Beispiel an.

Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktion f(x)=x4+4x3+3x2x+1, Df=\{-1}.

Berechne die Nullstellen und betrachte das Verhalten um die Definitionslücken dieser Funktion.

Lösung

Nullstellen f(x)=0

Um die Nullstellen der Funktion zu berechnen, musst du lediglich die Nullstellen des Nenners berechnen.

x4+4x3+3x2=0x2(x2+4x+3)=0 | doppelte Nullstelle bei x1,2=0x2+4x+3)=0x3,4=-4±16-122=-4±22x3=-3 und x4=-1

Die Funktion hat also die Nullstellen x1,2=0 und x3=-3. Da -1Df nicht im Definitionsbereich enthalten ist, ist x4=-1 auch keine Nullstelle der Funktion.

Verhalten um die Definitionslücken

Die Definitionslücken einer gebrochen rationalen Funktion sind ihre Nennernullstellen.

x+1=0x=-1

Die Funktion hat eine Definitionslücke bei x=-1.

Annäherung an die Definitionslücke von links:

1 -4 3limx<-1f(x)=limx<-1x4 + 4x3 + 3x2x+1=limx<-1"00" 0

Man kann keine Aussage über das Verhalten um die Definitionslücke machen.

Betrachte daher die faktorisierte Form des Funktionsterms!

f(x)=x4+4x3+3x2x+1=x2(x+1)(x+3)(x+1)

So ist es möglich einen Grenzwert zu bestimmen:

limx<-1x2(x+1)(x+3)(x+1)=limx<-1x2(x+3)1=limx<-1x2(x+3)=2

Annäherung an die Definitionslücke von rechts:

limx>-1f(x) =limx>-1x2(x+3) =2

Es handelt sich also um eine hebbare Definitionslücke bei x=-1.

Definitionslücke gebrochen rationale Funktion - Das Wichtigste

  • Funktionen der Form f:xp(x)q(x) mit zwei Polynomen p(x) und q(x), heißen gebrochen rationale Funktionen.
  • Definitionslücken sind die Nullstellen des Nennerpolynoms q(x) einer gebrochen rationalen Funktionf:xp(x)q(x).
  • Eine Nullstelle des Nennerpolynoms ist eine Polstelle, wenn sie keine Nullstelle des Zählerpolynoms ist oder die Vielfachheit der Nullstelle im Nennerpolynom größer als im Zählerpolynom ist.
    • Bei einer Polstelle hat der Graph der Funktion eine senkrechte Asymptote.
    • Ist x0 eine Definitionslücke einer gebrochen rationalen Funktion f, dann ist bei x=x0 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, wenn
      • limx<x0 f(x)=limx>x0 f(x)=+ oder
      • limx<x0 f(x)=limx>x0 f(x)=- gilt.
    • Ist x0 eine Definitionslücke einer gebrochen rationalen Funktion f, dann ist bei x=x0 ein Polstelle mit Vorzeichenwechsel, wenn
      • limx<x0 f(x)=+ und limx>x0 f(x)=- oder
      • limx<x0 f(x)=- und limx>x0 f(x)=+ gilt.
  • Die gebrochen rationale Funktion f hat bei x=x0keine Zählernullstelle. Dann gilt:
    • Ist x=x0 eine geradzahlige Nennernullstelle, dann handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
    • Ist x=x0 eine ungeradzahlige Nennernullstelle, dann handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
  • Eine Nullstelle des Nennerpolynoms ist eine hebbare Definitionslücke, wenn sie auch eine Zählernullstelle ist, und die Vielfachheit der Nullstelle im Zählerpolynom größer oder gleich der Vielfachheit im Nennerpolynom ist.
  • Ist x0 eine Definitionslücke einer gebrochen rationalen Funktion f, dann ist bei x=x0 eine (be-)hebbare Definitionslücke, wennlimx<x0f(x)=limx>x0f(x)=a (a) gilt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Definitionslücke gebrochen rationale Funktion

Eine Definitionslücke ist ein einzelner x-Wert, der nicht in die Funktion eingesetzt werden darf und deshalb aus der Definitionsmenge ausgeschlossen wird. Bei gebrochen rationalen Funktionen sind die Nullstellen des Nennerpolynoms die Definitionslücken.

Eine Funktion hat eine Definitionslücke, wenn ein einzelner Punkt aus der Definitionsmenge ausgeschlossen wird.

Die Definitionslücke einer Funktion findet man, indem man die Werte bestimmt, die nicht in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Bei gebrochen rationalen Funktionen muss man die Nullstellen des Nennerpolynoms berechnen.

Nein, nicht jede gebrochen rationale Funktion hat eine Definitionslücke. Eine gebrochen rationale Funktion hat keine Definitionslücke,  wenn der Nenner aus einer Konstante c≠ 0 besteht, also wenn der Nennengrad 0 ist. Dann kann die gebrochen rationale Funktion zu einer ganzrationalen Funktion umgeschrieben werden.

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