Wusstest du, dass du mithilfe von fröhlichen und traurigen Smileys das Krümmungsverhalten deines Funktionsgraphen bestimmen kannst? Nein? Dann los geht's!
Um diesen Artikel verstehen zu können ist es wichtig, dass du dich schon mit der Bildung der ersten Ableitung auseinandergesetzt hast und die grundlegenden Ableitungsregeln beherrschst.
Krümmungsverhalten – 2. Ableitung einer Funktion f(x)
Bevor wir uns näher mit dem Krümmungsverhalten beschäftigen, gehen wir zunächst kurz auf die 2. Ableitung einer Funktion f(x) ein.
Was ist die 2. Ableitung einer Funktion f(x)?
Die zweite Ableitung ist ebenso eine Funktion. Sie entsteht durch zweimaliges Ableiten der ursprünglichen Funktion f(x). Allgemein kann sie also wie folgt definiert werden:
Die zweite Ableitung f''(x) ist die Funktion aus einer zweimaligen Ableitung einer Funktion f(x).
Um sie zu bilden, leitest du zunächst mithilfe der Ableitungsregeln die ursprüngliche Funktion f(x) einmal ab. Dann hast du die erste Ableitung f'(x), die du genauso ableiten kannst wie jede andere Funktion. Hierfür benötigst du die bekannten Ableitungsregeln. Machst du dies, erhältst du die zweite Ableitung f''(x). Am besten zeigen wir dir das anhand eines Beispiels.
Aufgabe 1
Bilde die zweite Ableitung der folgenden Funktion f(x).
Lösung
Nach Anwenden der Ableitungsregeln erhältst du für die 1. und 2. Ableitung:
Mit diesem Beispiel wird deutlich, dass durch die Ableitung der 1. Ableitung die 2. Ableitung entsteht.
Für die Bildung der Ableitungen benötigst du hier die Potenzregel. Solltest du nicht mehr genau wissen, wie die du diese Ableitungsregel anwenden kannst, lies einfach im entsprechenden Kapitel nach.
Damit weißt du bereits, wie die 2. Ableitung gekennzeichnet und gebildet wird. Sehen wir uns nun noch die Bedeutung der zweifachen Ableitung an. Diese benötigen wir für das Verständnis des Krümmungsverhaltens.
Was sagt die 2. Ableitung inhaltlich aus?
Um diese Frage zu beantworten, schauen wir uns zuerst an was die erste Ableitung aussagt:
Die erste Ableitung gibt Auskunft über die Steigung der Funktion f(x) an einer bestimmten Stelle x. Also, ob der Funktionsgraph der ursprünglichen Funktion f(x) steigt oder fällt oder anders formuliert, inwiefern sich der Funktionswert f(x) verändert.
Die zweite Ableitung f''(x) gibt Auskunft über die Änderung der Steigung an der Stelle x.
Dazu sehen wir uns den Funktionsgraphen des obigen Beispiels an.
Wir zeichnen den Funktionsgraphen f(x) und den Graphen der Ableitung f'(x) in ein Koordinatensystem ein.
Abbildung 1: Graphen von f(x) und f'(x)
Bei der zweiten Ableitung schauen wir uns dann die Änderung der Steigung an. Diese gibt Auskunft über das Krümmungsverhalten der ursprünglichen Funktion.
In folgendem Koordinatensystem wird zusätzlich noch der Graph der 2. Ableitung hinzugefügt.
Abbildung 2: Graphen von f(x), f'(x) und f''(x)
Was es genau damit auf sich hat und was wir damit machen können, erklären wir dir im weiteren Verlauf des Artikels.
Krümmungsverhalten bestimmen – Wendepunkt
Die Grundlagen zur 2. Ableitung f''(x) einer Funktion f(x) kennst du bereits. Und was genau ist der Zusammenhang zum Krümmungsverhalten? Genau das klären wir jetzt. Los geht's!
Was versteht man unter dem Krümmungsverhalten?
Betrachtet man den Graphen einer Funktion f(x), so kann dieser entweder keine Krümmung aufweisen oder linksgekrümmt oder/und rechtsgekrümmt verlaufen.
Den Punkt, an dem eine Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung (oder anders rum) übergeht, nennt man Wendepunkt (kurz WP).
Dafür schau dir unbedingt die Definition, wann überhaupt eine Links oder Rechtskrümmung vorliegt, genau an!
Falls du mehr über den Wendepunkt lernen möchtest, dann schau am besten bei unserem Artikel dazu vorbei. In diesem Artikel findest du weitere Informationen zur Krümmung.
Um zu erkennen in welche Richtung der Graph gekrümmt ist, kann man sich ihn wie eine Straße vorstellen, auf der man von links nach rechts auf der x-Achse entlang fährt. In die Richtung, in die das Lenkrad gedreht sein muss, um auf dem Graphen zu bleiben, in diese Richtung verläuft die Krümmung.
In folgendem Graphen siehst du die folgende Funktion f(x).
Abbildung 3: Funktionsgraph mit Wendepunkt
Der Graph der Funktion f(x) ist für 
rechtsgekrümmt und für 
linksgekrümmt. Durch den Graphen kannst du das erkennen, indem du die Vorstellung nutzt, mit dem Auto auf dem Graphen von links nach rechts entlangzufahren. Anfangs musst du nach rechts lenken, um auf der Kurve zu bleiben und ab 
muss dein Lenkrad nach links zeigen.
Eine weitere Möglichkeit sich das Krümmungsverhalten des Graphen zu merken, sind Smileys. So zeigen dir fröhliche und traurige Smileys ebenfalls die Krümmung an. Sieh dir dazu die Abbildung 4 an.
Abbildung 4: Krümmungsverhalten mit Smileys
Für x < 0 zeigt der Smiley ein trauriges Gesicht an, weshalb der Graph rechts- bzw. negativ gekrümmt ist. Ab dem Wert x > 0 zeichnet sich ein fröhlicher Smiley ab. Daher ist der Graph in diesem Bereich links- bzw. positiv gekrümmt.
Welche Variante für dich einfacher zu merken ist, entscheidest du selbst. Wichtig ist nur, dass du die richtige Krümmungsrichtung bestimmen kannst.
Wie in den Abbildungen zu sehen ist, kann ein Graph auch an manchen Stellen rechtsgekrümmt und an anderen Stellen linksgekrümmt sein.
Sowohl eine Linkskrümmung als auch eine Rechtskrümmung bei dem Graphen einer Funktion treten auf, wenn in der ursprünglichen Funktion mindestens "
" als höchster Grad von x vorkommt. In der zweiten Ableitung also ein x stehen bleibt.Einen Überblick, wie die Ableitung sich auf verschiedene Funktionstypen auswirkt, kannst du hier erkennen.
Überblick zu Ableitungen verschiedenen Funktionsarten |
|---|
| Ausgangsfunktion | 1. Ableitung | 2. Ableitung |
| lineare Funktion | Konstant | Null |
| quadratische Funktion | lineare Funktion | Konstant |
| kubische Funktion | quadratische Funktion | lineare Funktion |
Im Folgenden kannst du dir Beispiele anschauen, wie die erste und zweite Ableitung von einer linearen Funktion (Geradengleichung) und einer quadratischen Funktion aussehen.
Lineare Funktion
Als Ausgangsfunktion nehmen wir die Funktion: 
Die erste Ableitung sieht dann wie folgt aus: 
Und die zweite Ableitung ist: 
Zur besseren Vorstellung zeichnen wir wieder alle drei Graphen in ein Koordinatensystem.
Wie oben bereits erwähnt ist die 1. Ableitung einer linearen Funktion immer konstant. In einem Koordinatensystem zeichnest du sie als horizontale Gerade auf der Höhe y = 2. Die 2. Ableitung ist eine horizontale Gerade mit einer Höhe von y = 0. Sie liegt demnach auf der x-Achse.
Abbildung 5: Graph einer linearen Funktion mit Ableitungsgraphen
Die Grafik zeigt dir somit, dass Funktionen 1. Grades kein Krümmungsverhalten besitzen.
Quadratische Funktion
Als Ausgangsfunktion nehmen wir die Funktion: 
Die erste Ableitung sieht dann wie folgt aus: 
Und die zweite Ableitung ist: 
Die Graphen aller drei Funktionen zeichnen wir wieder in ein Koordinatensystem ein.
Wie oben bereits erwähnt ist die 1. Ableitung einer quadratischen Funktion immer eine lineare Funktion. In einem Koordinatensystem zeichnest du sie als Gerade mit der jeweiligen Steigung. Die 2. Ableitung ist eine horizontale Gerade auf der Höhe y = 4.
Abbildung 6: Graph einer quadratischen Funktion mit Ableitungsgraphen
In der Abbildung 6 ist der parabelförmige Verlauf des Funktionsgraphen zu sehen. Der Graph hat keinen Wendepunkt und wechselt somit auch nicht sein Krümmungsverhalten. Der Graph der Funktion f(x) hat in diesem Fall nur eine Linkskrümmung.
Krümmungsverhalten und 2. Ableitung – Zusammenhang
Super, wir wissen damit bereits bei welchen Funktionen Krümmungen existieren und welche Arten es dabei gibt. Und wie genau lässt sich der Zusammenhang mit der 2. Ableitung beschreiben? Wir führen dazu zwei neue Begriffe ein.
Für das Krümmungsverhalten werden die zwei Fachbegriffe Konkavität und Konvexität genutzt. Vielleicht hast du sie schon einmal gehört. Hier wird dir der Unterschied zwischen den beiden Begriffen erläutert.
Krümmungsverhalten bestimmen – Konkave Funktion
Die Konkavität beschreibt eine Rechtskrümmung des Funktionsgraphen. Der Graph besitzt genau dann eine Rechtskrümmung, wenn die zweite Ableitung kleiner als null ist.
Der Funktionsgraph besitzt in einem bestimmten Intervall eine Rechtskrümmung (Konkavität), wenn gilt f''(x) < 0.
Ein einfaches Beispiel für eine konkave Funktion ist 
. Diese siehst du in der Grafik 7 abgebildet. Zudem zeichnen wir ebenfalls wieder die Graphen der 1. und 2. Ableitung ein.
Abbildung 7: Graph einer konkaven Funktion
Wie du sehen kannst, gilt für die 2. Ableitung f''(x) = -2. Da sie negativ ist, ist die Bedingung für eine Rechtskrümmung bzw. Konkavität damit erfüllt.
Krümmungsverhalten bestimmen – Konvexe Funktion
Als Fachbegriff für die Linkskrümmung wird der Begriff Konvexität genutzt. Dies ist der Fall, wenn die zweite Ableitung größer als null ist.
Der Funktionsgraph besitzt in einem bestimmten Intervall eine Linkskrümmung (Konvexität), wenn gilt f''(x) > 0.
Ein einfaches Beispiel für eine konvexe Funktion ist 
. Diese siehst du in der Grafik 8 abgebildet. Ebenfalls in der Abbildung zu sehen sind die Graphen der 1. und 2. Ableitung.
Abbildung 8: Graph einer konvexen Funktion
Der Wert der 2. Ableitung entspricht f''(x) = 2. Das ist eine positive Konstante, wodurch die Bedingung für eine Linkskrümmung bzw. Konvexität erfüllt ist.
In der folgenden Definition ist dieser Zusammenhang für dich noch einmal übersichtlich
zusammengefasst.
f''(x) < 0 → rechtsgekrümmt (konkav)
f''(x) > 0 → linksgekrümmt (konvex)
Bisher haben wir uns immer die Funktionsgraphen der Funktionen angesehen und daraus das Krümmungsverhalten bestimmt. Oft können wir den Graph aber nicht zeichnen, um die Krümmungen direkt abzulesen. Daher kann das Krümmungsverhalten auch rechnerisch ermittelt werden.
Krümmungsverhalten berechnen – Aufgaben mit Lösungen
Mit folgender Vorgehensweise lässt sich das Krümmungsverhalten rechnerisch bestimmen:
- Die erste Ableitung f'(x) bilden.
- Die zweite Ableitung f''(x) bilden.
- Ungleichungen aufstellen: f''(x) < 0 und f''(x) > 0 setzen.
- Die Ungleichungen nach x auflösen.
- Schlussfolgerung ziehen.
Am besten sehen wir uns dazu wieder ein Beispiel an.
Aufgabe 1
Wir interessieren uns für das Krümmungsverhalten der folgenden Funktion:
Lösung
Jetzt wenden wir die Schritt-für-Schritt-Anleitung an:
1. Als Erstes bilden wir die erste Ableitung. Diese sieht wie folgt aus:
2. Wir leiten ein weiteres Mal ab und erhalten die zweite Ableitung:
3. Um auf das Krümmungsverhalten der Funktion schließen zu können, müssen wir untersuchen, für welche x-Werte die zweite Ableitung größer oder kleiner als null ist. Deshalb stellen wir zwei Ungleichungen auf:
4. Anschließend lösen wir sie nach x auf:
5. Aus der kurzen Rechnung können wir nun Rückschlüsse über das Krümmungsverhalten der Funktion schließen:
- Ist x größer als 1, so ist die zweite Ableitung größer als 0. Das bedeutet, dass der Graph der Funktion hier linksgekrümmt ist.
- Ist x kleiner als 1, so ist die zweite Ableitung kleiner als 0. Das bedeutet der Graph der Funktion ist hier rechtsgekrümmt.
In Abbildung 9 kannst du dir anschauen, wie die Graphen der Funktionen verlaufen. Man kann außerdem erkennen, dass sich bei x = 1 das Krümmungsverhalten ändert. Hier liegt also ein Wendepunkt vor.
Abbildung 9: Graphen von f(x), f'(x) und f''(x)
Wenn du das Beispiel verstanden hast, kannst du dein Wissen gleich bei der folgenden Aufgabe testen. Gehe einfach Schritt für Schritt mit der obigen Anleitung vor, dann ist es gar nicht so schwer.
Aufgabe 2
Bestimme rechnerisch das Krümmungsverhalten der folgenden Funktion mithilfe der zweiten Ableitung und zeichne den dazugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem ein.
Lösung
Daraus folgt: Für x < 3 ist der Graph der Funktion f(x) rechtsgekrümmt und für x > 3 linksgekrümmt.
In dem Koordinatensystem der Abbildung 10 siehst du den Graph der Funktion und den ihrer Ableitungen. Es ist zu erkennen, dass sich das Krümmungsverhalten bei dem x-Wert (in diesem Fall x = 3) ändert. Dort liegt dementsprechend wieder ein Wendepunkt vor.
Abbildung 10: Graphen von f(x), f'(x) und f''(x)
Krümmungsverhalten - Das Wichtigste auf eine Blick
- Die 2. Ableitung f''(x) erhält man durch Ableiten der 1. Ableitung f'(x) einer Funktion f(x).
- Es können die bekannten Ableitungsregeln ganz normal verwendet werden.
- Die 2. Ableitung f''(x) ist die "Steigung der Steigung" der ursprünglichen Funktion f(x).
- Sie gibt Auskunft über die Krümmung.
- Man unterscheidet zwischen:
- konvex: Ist
, so ist der Graph der Funktion f(x) links-/positiv gekrümmt. - konkav: Ist
, so ist der Graph der Funktion f(x) rechts-/negativ gekrümmt. - Bei einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung. An dieser Stelle ist f''(x) = 0.
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