Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Schnittpunkte berechnen Parabeln

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Mathe

Im Folgenden wirst Du erfahren, wie zwei Parabeln im Koordinatensystem verlaufen können und wie oft sich diese schneiden.

Dieses Thema ist verwandt mit den Artikeln zu der pq-Formel und der Mitternachtsformel.

Rückblick: Parabeln und pq-Formel

Parabeln sind in der Mathematik Funktionen zweiten Grades. Grafisch kannst du dir diese u-förmig bzw. n-förmig vorstellen. Diese Funktionen finden in der Mathematik häufig Anwendung bei Sachaufgaben, wenn beispielsweise die Länge eines Brückenbogens oder die Höhe einer Welle ausgerechnet werden muss.

Eine Funktion zweiten Grades ist von folgender Form:

f(x)=a·x2+b·x+c

wobei a,b,c .

a stellt den Streckungsfaktor, b die Verschiebung in x-Richtung und c die Verschiebung in y-Richtung dar.

Im Folgenden schauen wir uns noch einmal kurz den Verlauf einer Parabel an. In unserem Fall die Funktion:

f(x)=2x2-3x+2

Im Koordinatensystem sieht diese dann so aus:

Schnittpunkte Parabeln Parabel im Koordinatensystem StudySmarter

Abbildung 1: Eine Parabel mit Scheitelpunkt

Die pq-Formel dient zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion. In der Berechnung der Schnittpunkte von Parabeln werden wir diese Formel brauchen, da die Nullstellen des entsprechenden Ausdrucks die Schnittstellen der Schnittpunkte sind.

Die pq-Formel lautet:

x1,2=-p2±p22-q

Dabei ist zu beachten, dass die quadratische Gleichung von folgender Form ist:

x2+px+q=0

Falls du damit aber noch Schwierigkeiten haben solltest, dann schau' dir doch den Artikel pq-Formel im Kapitel Nullstellen quadratischer Funktionen an.

Nun möchten wir diese Formel an einem Beispiel anwenden:

Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung:

2x2+8x-24=0

Zuerst normieren wir diese Gleichung, d. h. vor dem x2 darf nichts mehr stehen, in unserem Fall teilen wir durch 2:

x2+4x-12=0

Danach bestimmst du p und q und setzt auch schon in die Gleichung ein!

x1,2=-42±422--12x1,2=-2±22+12x1,2=-2±4+12x1,2=-2±16x1,2=-2±4x1=2x2=-6

Es kann aber auch sein, dass ihr in der Schule bisher nur die Mitternachtsformel zur Berechnung der Lösungen quadratischer Gleichungen behandelt habt. Daher gehen wir auch auf diese noch etwas genauer ein.

Mit der Mitternachtsformel

x1,2=-b±b2-4ac2a

können die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form 0=ax2+bx+c bestimmt werden.

Die Mitternachtsformel wird manchmal auch a-b-c-Formel genannt. Ihr richtiger Name ist aber eigentlich Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Hier nehmen wir uns das gleiche Beispiel von oben und überprüfen nun, ob die errechneten Lösungen auch richtig sind:

2x2+8x-24=0a=2b=8c=-24

Nachdem wir die Variablen bestimmt haben, setzen wir diese auch schon in die Mitternachtsformel ein:

x1,2=-8±82-4·2·-242·2x1,2=-8±64--1924x1,2=-8±64+1924x1,2=-8±64+1924x1,2=-8±2564x1,2=-8±164x1=2x2=-6

Schnittpunkte von Parabeln Übersicht

Nachdem wir jetzt über die Grundlagen geschaut haben, überlegen wir uns in diesem Abschnitt, in welcher Beziehung zwei Parabeln zueinander stehen können.

Sie könnten beispielsweise identisch sein, dann wären alle Punkte der Parabeln Schnittpunkte.

Eine der beiden Parabeln könnte nach oben geöffnet sein und die andere nach unten. Dann wäre es möglich, dass sich die Parabeln lediglich in einem Punkt berühren, dass sie sich gar nicht treffen oder sogar in zwei Punkten schneiden.

Zusammengefasst gilt: Zwei Parabeln haben entweder keinen, einen, zwei oder unendlich viele Schnittpunkte.

In der folgenden Tabelle findest du eine Übersicht zu den vier Fällen:

Anzahl der SchnittpunkteAbbildung
kein Schnittpunkt

Schnittpunkte Parabeln Parabeln ohne Schnittpunkt StudySmarter

Abbildung 2: Zwei Parabeln, die sich in keinem Punkt schneiden
ein Schnittpunkt

Schnittpunkte Parabeln Zwei Parabeln ein Schnittpunkt StudySmarter

Abbildung 3: Zwei Parabeln mit genau einem Schnittpunkt
zwei Schnittpunkte

Schnittpunkte Parabeln Zwei Parabeln mit zwei Schnittpunkten StudySmarter

Abbildung 4: Zwei Parabeln mit zwei Schnittpunkten
unendlich viele Schnittpunkte

Schnittpunkte Parabeln Zwei identische Parabeln StudySmarter

Abbildung 5: Zwei Parabeln, die identisch sind und unendlich viele Schnittpunkte miteinander haben

Schnittpunkte von Parabeln Berechnung

Nun sollst du nicht immer alles zeichnen müssen, um die Anzahl oder sogar die genauen Schnittpunkte zu bestimmen! Daher siehst du jetzt, wie du ganz einfach die Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen kannst.

Für alle vier Fälle kannst du dasselbe Vorgehen zur Berechnung nutzen!

Im Schnittpunkt haben beide Parabeln den gleichen x- und y-Wert.

Da Funktionsgleichungen immer in Abhängigkeit von y geschrieben sind, können wir die Funktionsgleichungen der beiden gegebenen quadratischen Funktionen gleichsetzen und die so entstandene Gleichung nach x auflösen.

An dieser Stelle entscheidet sich, wie viele Schnittpunkte die beiden Parabeln haben:

  • Bekommt man keine Lösung für x, so haben die Parabeln keinen Schnittpunkt.
  • Bekommt man eine Lösung für x, so haben die Parabeln einen Schnittpunkt.
  • Bekommt man zwei Lösungen für x, so haben die Parabeln zwei Schnittpunkte.
  • Bekommt man unendlich viele Lösungen für x, so sind die Parabeln identisch und haben unendlich viele Schnittpunkte.

Setzt man die ermittelten x-Werte dann in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, so erhält man die y-Werte der Schnittpunkte.

Dieses Vorgehen schauen wir uns jetzt konkret an.

Gegeben sind zwei quadratische Funktionen. Gesucht sind die Schnittpunkte dieser beiden.

f(x)=2x2-3x+2g(x)=-4x2+5

1. Schritt: Funktionen gleichsetzen.

f(x)=g(x)2x2-3x+2=-4x2+5

2. Schritt: Alles auf eine Seite bringen.

2x2-3x+2=-4x2+5 |+4x26x2-3x+2=5 |-56x2-3x-3=0

Wenn in der Gleichung nur x2, aber kein x vorkommt, dann löst du diese Gleichung, indem du die Zahlen auf die eine Seite und x2 auf die andere Seite bringst, und dann die Wurzel ziehst.

3. Schritt: Die Gleichung normieren, so dass vor dem x2 nichts mehr steht.

6x2-3x-3=0 |:6x2-12x-12=0

4. Schritt: pq-Formel anwenden.

x2-12x-12=0x1,2=14±116+12x1,2=14±916x1,2=14±34x1=1x2=-12

5. Schritt: Nun setzt du die x-Werte in eine der vorgegebenen Funktionsgleichungen ein.

g(1)=-4·12+5=1g-12=-4·14+5=4

6. Schritt: x-Werte und die entsprechenden Funktionswerte als Schnittpunkt angeben.

S1-12|4 , S21|1

Zeichnerisch können wir die Rechnung natürlich überprüfen:

Schnittpunkte Parabeln Zwei Parabeln mit zwei Schnittpunkten StudySmarter

Abbildung 6: Die zwei Parabeln mit den eingezeichneten Schnittpunkten

Schnittpunkte berechnen Parabeln Schema

Folgendes Schema als Vorgehensweise empfehlen wir Dir:

  1. Die Funktionen gleichsetzen, also: fx=gx.
  2. Alles auf eine Seite bringen, sprich: fx-gx=0.
  3. Den Term auf der linken Seite normieren, so dass vor x2 nichts mehr steht.
  4. pq-Formel anwenden.
  5. Die gefundenen x-Werte in eine der Funktionen einsetzen und die entsprechenden Funktionswerte errechnen.
  6. Die errechneten Paare als Schnittpunkt aufschreiben.

Sollte im zweiten Schritt auf beiden Seiten 0 stehen, also 0=0, dann sind die Funktionen identisch und alle Punkte der Funktion sind automatisch auch Schnittpunkte.

Stelle dir dazu vor, dass du den Schnittpunkt folgender Funktionen berechnen sollst:

f(x)=x2-2x+1g(x)=x2-2x+1

1. Schritt: Funktionen gleichsetzen.

f(x)=g(x)x2-2x+1=x2-2x+1

2. Schritt: Alles auf eine Seite bringen.

0=0

Wenn im vierten Schritt unter der Wurzel 0 rauskommt, dann schneiden sich die Funktionen nur in einem Punkt und falls die Wurzel negativ ist, haben die Funktionen keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Stelle dir dazu vor, dass du im dritten Schritt folgendes gegeben hast:

x2-4x+4=0

Dann siehst du im vierten Schritt folgendes:

x1,2=42±422-4x1,2=2±22-4x1,2=2±4-4x1,2=2±0x1,2=2±0x1=2

Schnittpunkte berechnen Parabeln Übungen

Zum Abschluss kannst du dich selbst noch einmal testen und die folgende Aufgabe zur Schnittpunktberechnung zweier Parabeln lösen! Falls du Schwierigkeiten hast, dann schaue dir die Schrittanleitung nochmal an.

Aufgabe 1

Berechne die Schnittpunkte der beiden folgenden Funktionen!

fx=x2-4x+1gx=-x2+2x+1

Lösung

1. Schritt:

fx=gxx2-4x+1=-x2+2x+1

2. Schritt:

x2-4x+1=-x2+2x+12x2-6x=0

3. Schritt:

x2-3x=0

4. Schritt:

x1,2=--32±322x1,2=32±32x1=3x2=0

5. Schritt:

f3=32-4·3+1=-2f0=02-4·0+1=1

6. Schritt:

Die Schnittpunkte lauten also:

S13|-2 und S20|1

Aufgabe 2

Berechne die Schnittpunkte der beiden folgenden Funktionen!

fx=x2gx=-x2-1

Lösung

1. Schritt:

fx=gxx2=-x2-1

2. Schritt:

2x2+1=0

3. Schritt:

x2+12=0

4. Schritt:

x1,2=-02±022-12x1,2=0±0-12x1,2=±-12

Aus einer negativen Zahl kann keine Wurzel gezogen werden. Daher gibt es keine Lösung und die gegebenen Funktionen haben keinen Schnittpunkt.

Aufgabe 3

Berechne die Schnittpunkte der beiden folgenden Funktionen!

fx=3x2-2x+2gx=-3x2-2x+2

Lösung

1. Schritt:

f(x)=g(x)3x2-2x+2=-3x2-2x+2

2. Schritt:

6x2=0

3. Schritt

x2=0

4. Schritt:

x1,2=-02±022-0x1,2=0±0-0x1,2=0±0x1=0

5. Schritt:

f0=3·02-2·0+2=2

6. Schritt:

Der Schnittpunkt liegt also bei:

S(0|2)

Schnittpunkte Parabeln Das Wichtigste

  • Parabeln sind Funktionen zweiten Grades.
  • Zwei Parabeln können sich in keinem, einem, zwei oder unendlich vielen Punkten schneiden.
  • Der Schnittpunkt zwischen zwei Parabeln berechnet sich durch das Gleichsetzen beider Funktionen und anschließendes Lösen der quadratischen Gleichung.
  • Die quadratische Gleichung wird meistens mit Hilfe der pq-Formel gelöst.
  • Die Lösung ist die x-Stelle des Schnittpunkts.
  • Diese x-Stelle muss dann in die Funktionsgleichung eingesetzt werden, um den Funktionswert zu berechnen.
  • Beides zusammen ergibt dann den Schnittpunkt.

Schnittpunkte berechnen Parabeln

Eine Parabel kann keinen, einen, zwei oder unendlich viele Schnittpunkte mit einer anderen Parabel haben!

Die Schnittpunkte werden berechnet, indem man beide Funktionen gleichsetzt und dann nach x auflöst. Dabei brauchst du meistens die pq-Formel.

Die Schnittpunkte werden berechnet, indem man beide Funktionsgleichungen der Graphen gleichsetzt und dann nach x auflöst. Dabei brauchst du meistens die pq-Formel.

60%

der Nutzer schaffen das Schnittpunkte berechnen Parabeln Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.