Schnittpunkte berechnen Parabeln: Übersicht

Inhaltsangabe

Dieses Thema ist verwandt mit den Artikeln zu der pq-Formel und der Mitternachtsformel.

Rückblick: Parabeln und pq-Formel

Parabeln sind in der Mathematik Funktionen zweiten Grades. Grafisch kannst du dir diese u-förmig bzw. n-förmig vorstellen. Diese Funktionen finden in der Mathematik häufig Anwendung bei Sachaufgaben, wenn beispielsweise die Länge eines Brückenbogens oder die Höhe einer Welle ausgerechnet werden muss.

Eine Funktion zweiten Grades ist von folgender Form:

$f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$

wobei $a, b, c \in ℝ$ .

a stellt den Streckungsfaktor, b die Verschiebung in x-Richtung und c die Verschiebung in y-Richtung dar.

Im Folgenden schauen wir uns noch einmal kurz den Verlauf einer Parabel an. In unserem Fall die Funktion:

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 2$

Im Koordinatensystem sieht diese dann so aus:

Schnittpunkte Parabeln Parabel im Koordinatensystem StudySmarter

Abbildung 1: Eine Parabel mit Scheitelpunkt

Die pq-Formel dient zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion. In der Berechnung der Schnittpunkte von Parabeln werden wir diese Formel brauchen, da die Nullstellen des entsprechenden Ausdrucks die Schnittstellen der Schnittpunkte sind.

Die pq-Formel lautet:

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

Dabei ist zu beachten, dass die quadratische Gleichung von folgender Form ist:

$x^{2} + p x + q = 0$

Falls du damit aber noch Schwierigkeiten haben solltest, dann schau' dir doch den Artikel pq-Formel im Kapitel Nullstellen quadratischer Funktionen an.

Nun möchten wir diese Formel an einem Beispiel anwenden:

Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung:

$2 x^{2} + 8 x - 24 = 0$

Zuerst normieren wir diese Gleichung, d. h. vor dem $x^{2}$ darf nichts mehr stehen, in unserem Fall teilen wir durch 2:

$x^{2} + 4 x - 12 = 0$

Danach bestimmst du p und q und setzt auch schon in die Gleichung ein!

$\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & - \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - (- 12)} \\ x_{1, 2} & = & - 2 \pm \sqrt{2^{2} + 12} \\ x_{1, 2} & = & - 2 \pm \sqrt{4 + 12} \\ x_{1, 2} & = & - 2 \pm \sqrt{16} \\ x_{1, 2} & = & - 2 \pm 4 \\ x_{1} & = & 2 \\ x_{2} & = & - 6 \end{array}$

Es kann aber auch sein, dass ihr in der Schule bisher nur die Mitternachtsformel zur Berechnung der Lösungen quadratischer Gleichungen behandelt habt. Daher gehen wir auch auf diese noch etwas genauer ein.

Mit der Mitternachtsformel

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

können die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form $0 = a x^{2} + b x + c$ bestimmt werden.

Die Mitternachtsformel wird manchmal auch a-b-c-Formel genannt. Ihr richtiger Name ist aber eigentlich Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Hier nehmen wir uns das gleiche Beispiel von oben und überprüfen nun, ob die errechneten Lösungen auch richtig sind:

$2 x^{2} + 8 x - 24 = 0 a = 2 b = 8 c = - 24$

Nachdem wir die Variablen bestimmt haben, setzen wir diese auch schon in die Mitternachtsformel ein:

$\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & \frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 2} \\ x_{1, 2} & = & \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - (- 192)}}{4} \\ x_{1, 2} & = & \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 192}}{4} \\ x_{1, 2} & = & \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 192}}{4} \\ x_{1, 2} & = & \frac{- 8 \pm \sqrt{256}}{4} \\ x_{1, 2} & = & \frac{- 8 \pm 16}{4} \\ x_{1} & = & 2 \\ x_{2} & = & - 6 \end{array}$

Schnittpunkte von Parabeln – Übersicht

Nachdem wir jetzt über die Grundlagen geschaut haben, überlegen wir uns in diesem Abschnitt, in welcher Beziehung zwei Parabeln zueinander stehen können.

Sie könnten beispielsweise identisch sein, dann wären alle Punkte der Parabeln Schnittpunkte.

Eine der beiden Parabeln könnte nach oben geöffnet sein und die andere nach unten. Dann wäre es möglich, dass sich die Parabeln lediglich in einem Punkt berühren, dass sie sich gar nicht treffen oder sogar in zwei Punkten schneiden.

Zusammengefasst gilt: Zwei Parabeln haben entweder keinen, einen, zwei oder unendlich viele Schnittpunkte.

In der folgenden Tabelle findest du eine Übersicht zu den vier Fällen:

Anzahl der Schnittpunkte	Abbildung
kein Schnittpunkt	Abbildung 2: Zwei Parabeln, die sich in keinem Punkt schneiden
ein Schnittpunkt	Abbildung 3: Zwei Parabeln mit genau einem Schnittpunkt
zwei Schnittpunkte	Abbildung 4: Zwei Parabeln mit zwei Schnittpunkten
unendlich viele Schnittpunkte	Abbildung 5: Zwei Parabeln, die identisch sind und unendlich viele Schnittpunkte miteinander haben

Schnittpunkte von Parabeln – Berechnung

Nun sollst du nicht immer alles zeichnen müssen, um die Anzahl oder sogar die genauen Schnittpunkte zu bestimmen! Daher siehst du jetzt, wie du ganz einfach die Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen kannst.

Für alle vier Fälle kannst du dasselbe Vorgehen zur Berechnung nutzen!

Im Schnittpunkt haben beide Parabeln den gleichen x- und y-Wert.

Da Funktionsgleichungen immer in Abhängigkeit von y geschrieben sind, können wir die Funktionsgleichungen der beiden gegebenen quadratischen Funktionen gleichsetzen und die so entstandene Gleichung nach x auflösen.

An dieser Stelle entscheidet sich, wie viele Schnittpunkte die beiden Parabeln haben:

Bekommt man keine Lösung für x, so haben die Parabeln keinen Schnittpunkt.
Bekommt man eine Lösung für x, so haben die Parabeln einen Schnittpunkt.
Bekommt man zwei Lösungen für x, so haben die Parabeln zwei Schnittpunkte.
Bekommt man unendlich viele Lösungen für x, so sind die Parabeln identisch und haben unendlich viele Schnittpunkte.

Setzt man die ermittelten x-Werte dann in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, so erhält man die y-Werte der Schnittpunkte.

Dieses Vorgehen schauen wir uns jetzt konkret an.

Gegeben sind zwei quadratische Funktionen. Gesucht sind die Schnittpunkte dieser beiden.

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 2 g (x) = - 4 x^{2} + 5$

1. Schritt: Funktionen gleichsetzen.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) \\ 2 x^{2} - 3 x + 2 & = & - 4 x^{2} + 5 \end{array}$

2. Schritt: Alles auf eine Seite bringen.

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 3 x + 2 & = & - 4 x^{2} + 5 | + 4 x^{2} \\ 6 x^{2} - 3 x + 2 & = & 5 | - 5 \\ 6 x^{2} - 3 x - 3 & = & 0 \end{array}$

Wenn in der Gleichung nur $x^{2}$ , aber kein $x$ vorkommt, dann löst du diese Gleichung, indem du die Zahlen auf die eine Seite und $x^{2}$ auf die andere Seite bringst, und dann die Wurzel ziehst.

3. Schritt: Die Gleichung normieren, so dass vor dem

x^{2}

nichts mehr steht.

$\begin{array}{rcl} 6 x^{2} - 3 x - 3 & = & 0 | : 6 \\ x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} & = & 0 \end{array}$

4. Schritt: pq-Formel anwenden.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} & = & 0 \\ x_{1, 2} & = & \frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{2}} \\ x_{1, 2} & = & \frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{9}{16}} \\ x_{1, 2} & = & \frac{1}{4} \pm \frac{3}{4} \\ x_{1} & = & 1 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} \end{array}$

5. Schritt: Nun setzt du die x-Werte in eine der vorgegebenen Funktionsgleichungen ein.

$\begin{array}{rcl} g (1) & = & - 4 \cdot 1^{2} + 5 = 1 \\ g (- \frac{1}{2}) & = & - 4 \cdot \frac{1}{4} + 5 = 4 \end{array}$

6. Schritt: x-Werte und die entsprechenden Funktionswerte als Schnittpunkt angeben.

$S_{1} (- \frac{1}{2} | 4), S_{2} (1 | 1)$

Zeichnerisch können wir die Rechnung natürlich überprüfen:

Schnittpunkte Parabeln Zwei Parabeln mit zwei Schnittpunkten StudySmarter

Abbildung 6: Die zwei Parabeln mit den eingezeichneten Schnittpunkten

Schnittpunkte berechnen Parabeln – Schema

Folgendes Schema als Vorgehensweise empfehlen wir Dir:

Die Funktionen gleichsetzen, also: $f (x) = g (x)$ .
Alles auf eine Seite bringen, sprich: $f (x) - g (x) = 0$ .
Den Term auf der linken Seite normieren, so dass vor $x^{2}$ nichts mehr steht.
pq-Formel anwenden.
Die gefundenen x-Werte in eine der Funktionen einsetzen und die entsprechenden Funktionswerte errechnen.
Die errechneten Paare als Schnittpunkt aufschreiben.

Sollte im zweiten Schritt auf beiden Seiten 0 stehen, also $0 = 0$ , dann sind die Funktionen identisch und alle Punkte der Funktion sind automatisch auch Schnittpunkte.

Stelle dir dazu vor, dass du den Schnittpunkt folgender Funktionen berechnen sollst:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} - 2 x + 1 \\ g (x) & = & x^{2} - 2 x + 1 \end{array}$

1. Schritt: Funktionen gleichsetzen.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) \\ x^{2} - 2 x + 1 & = & x^{2} - 2 x + 1 \end{array}$

2. Schritt: Alles auf eine Seite bringen.

$0 = 0$

Wenn im vierten Schritt unter der Wurzel 0 rauskommt, dann schneiden sich die Funktionen nur in einem Punkt und falls die Wurzel negativ ist, haben die Funktionen keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Stelle dir dazu vor, dass du im dritten Schritt folgendes gegeben hast:

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Dann siehst du im vierten Schritt folgendes:

$\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - 4} \\ x_{1, 2} & = & 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4} \\ x_{1, 2} & = & 2 \pm \sqrt{4 - 4} \\ x_{1, 2} & = & 2 \pm \sqrt{0} \\ x_{1, 2} & = & 2 \pm 0 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

Schnittpunkte berechnen Parabeln – Übungen

Zum Abschluss kannst du dich selbst noch einmal testen und die folgende Aufgabe zur Schnittpunktberechnung zweier Parabeln lösen! Falls du Schwierigkeiten hast, dann schaue dir die Schrittanleitung nochmal an.

Aufgabe 1

Berechne die Schnittpunkte der beiden folgenden Funktionen!

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} - 4 x + 1 \\ g (x) & = & - x^{2} + 2 x + 1 \end{array}$

Lösung

1. Schritt:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) \\ x^{2} - 4 x + 1 & = & - x^{2} + 2 x + 1 \end{array}$

2. Schritt:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 4 x + 1 & = & - x^{2} + 2 x + 1 \\ 2 x^{2} - 6 x & = & 0 \end{array}$

3. Schritt:

$x^{2} - 3 x = 0$

4. Schritt:

$\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & - \frac{- 3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2}} \\ x_{1, 2} & = & \frac{3}{2} \pm (\frac{3}{2}) \\ x_{1} & = & 3 \\ x_{2} & = & 0 \end{array}$

5. Schritt:

$f (3) = 3^{2} - 4 \cdot 3 + 1 = - 2 f (0) = 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1 = 1$

6. Schritt:

Die Schnittpunkte lauten also:

$S_{1} (3 | - 2) und S_{2} (0 | 1)$

Aufgabe 2

Berechne die Schnittpunkte der beiden folgenden Funktionen!

$f (x) = x^{2} g (x) = - x^{2} - 1$

Lösung

1. Schritt:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) \\ x^{2} & = & - x^{2} - 1 \end{array}$

2. Schritt:

$2 x^{2} + 1 = 0$

3. Schritt:

$x^{2} + \frac{1}{2} = 0$

4. Schritt:

$x_{1, 2} = \frac{- 0}{2} \pm \sqrt{{(\frac{0}{2})}^{2} - \frac{1}{2}} x_{1, 2} = 0 \pm \sqrt{0 - \frac{1}{2}} x_{1, 2} = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Aus einer negativen Zahl kann keine Wurzel gezogen werden. Daher gibt es keine Lösung und die gegebenen Funktionen haben keinen Schnittpunkt.

Aufgabe 3

Berechne die Schnittpunkte der beiden folgenden Funktionen!

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 2 g (x) = - 3 x^{2} - 2 x + 2$

Lösung

1. Schritt:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) \\ 3 x^{2} - 2 x + 2 & = & - 3 x^{2} - 2 x + 2 \end{array}$

2. Schritt:

$6 x^{2} = 0$

3. Schritt

$x^{2} = 0$

4. Schritt:

$\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & \frac{- 0}{2} \pm \sqrt{{(\frac{0}{2})}^{2} - 0} \\ x_{1, 2} & = & 0 \pm \sqrt{0 - 0} \\ x_{1, 2} & = & 0 \pm 0 \\ x_{1} & = & 0 \end{array}$

5. Schritt:

$f (0) = 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 + 2 = 2$

6. Schritt:

Der Schnittpunkt liegt also bei:

$S (0 | 2)$

Schnittpunkte Parabeln – Das Wichtigste

Parabeln sind Funktionen zweiten Grades.
Zwei Parabeln können sich in keinem, einem, zwei oder unendlich vielen Punkten schneiden.
Der Schnittpunkt zwischen zwei Parabeln berechnet sich durch das Gleichsetzen beider Funktionen und anschließendes Lösen der quadratischen Gleichung.
Die quadratische Gleichung wird meistens mit Hilfe der pq-Formel gelöst.
Die Lösung ist die x-Stelle des Schnittpunkts.
Diese x-Stelle muss dann in die Funktionsgleichung eingesetzt werden, um den Funktionswert zu berechnen.
Beides zusammen ergibt dann den Schnittpunkt.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Schnittpunkte berechnen Parabeln

Wie viele Schnittpunkte kann eine Parabel haben?

Eine Parabel kann keinen, einen, zwei oder unendlich viele Schnittpunkte mit einer anderen Parabel haben!

Wie berechnet man die Schnittpunkte einer Parabel?

Die Schnittpunkte werden berechnet, indem man beide Funktionen gleichsetzt und dann nach x auflöst. Dabei brauchst du meistens die pq-Formel.

Wie berechnet man die Schnittpunkte zweier Graphen?

Die Schnittpunkte werden berechnet, indem man beide Funktionsgleichungen der Graphen gleichsetzt und dann nach x auflöst. Dabei brauchst du meistens die pq-Formel.

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Rückblick: Parabeln und pq-Formel

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