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Konstante Funktion

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Mathe

Konstante Funktionen sind Funktionen, die bei beliebigen Argumenten immer einen konstanten Funktionswert liefern. Das heißt also, dass es vollkommen egal ist, was du bei einer konstanten Funktion einsetzt: Es kommt immer dasselbe heraus, eine konstante Zahl.

Konstante Funktionen – Definition, Herleitung und Erklärung

Schauen wir uns direkt einmal an, wie eine konstante Funktion definiert wird:

Eine konstante Funktion ist eine Gerade mit der Steigung . Sie hat die Form , wobei c konstant ist.

Konstante Funktionen sind ein Spezialfall der linearen Funktionen. Sie haben die Form und für jeden eingesetzten x-Wert aus der Definitionsmenge denselben y-Wert beziehungsweise Funktionswert. Ihre Funktionsterme enthalten somit keine Variablen, also kein x.

Um unterscheiden zu können, ob eine lineare Funktion auch eine konstante Funktion ist, musst du zuerst überlegen, was eine lineare Funktion ausmacht.

Lineare Funktionen werden beschrieben durch die allgemeine Geradengleichung:

Konstante Funktionen lineare Funktionen allgemeine Geradengleichung StudySmarter

Was bedeuten nochmal m und c? Schau dir das gerne noch einmal im folgenden Beispiel an:

Die nachfolgende Grafik zeigt den Graphen der linearen Funktion . Ebenfalls eingezeichnet ist das Steigungsdreieck der Funktion und der Punkt, an dem die Funktion die y-Achse schneidet.

Konstante Funktionen, Erklärung lineare Gleichung Steigungsdreieck, StudySmarterAbbildung 1: Lineare Funktion im Koordinatensystem mit Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt

Das Merkmal einer konstanten Funktion ist nun, dass der y-Wert konstant ist, also die Steigung ist.

Das Beispiel zeigt, was passiert, wenn man die Steigung bei gleichbleibendem

y-Achsenabschnitt gegen 0 gehen lässt:

Funktion

Abbildungen der Funktionsgraphen

Konstante Funktionen, Erklärung lineare Gleichung, StudySmarterAbbildung 2: f(x)=2x+1

Konstante Funktionen, Erklärung lineare Gleichung, StudySmarterAbbildung 3: g(x)=1,5x+1

Konstante Funktionen, Erklärung lineare Gleichung, StudySmarterAbbildung 4: h(x)=x+1

Konstante Funktionen, Erklärung lineare Gleichung, StudySmarterAbbildung 5: z(x)=0,5x+1

Konstante Funktionen, Erklärung konstante Gleichung, StudySmarterAbbildung 6: p(x)=1

Das Verringern der Steigung führt zu einer Ausrichtung hin zur x-Achse. Das liegt daran, dass im Steigungsdreieck, also der Höhenunterschied im Bereich , immer kleiner wird, je kleiner die Steigung ist.

Trotzdem haben alle Funktionen den gemeinsamen Punkt C(0|1), der den y-Achsenabschnitt widerspiegelt.

Bei einer Steigung von m=0 haben wir also eine komplett flache lineare Funktion mit dem

y-Achsenabschnitt c=0. Sie ist eine konstante Funktion.

Die folgende Grafik zeigt einen Überblick über die oben genannten linearen Funktionen mit c=1.

Konstante Funktionen, Erklärung lineare Funktionen, StudySmarterAbbildung 7: Gesamtüberblick lineare Funktionen mit c=1

Aus dem obigen Beispiel zeigt sich also, dass eine lineare Funktion eine konstante Funktion ist, wenn ihre Steigung m=0 ist.

Diese konstante Funktion hat dann für jedes x den Wert des y-Achsenabschnittes c.

Eine lineare Funktion ist eine konstante Funktion für m=0.

Konstante Funktionen begegnen uns auch im Alltag, wie du im folgenden Beispiel sehen kannst:

Aufgabe 1

Ein Beispiel für eine konstante Funktion ist eine Handy-Flat. Zahlst du beispielsweise 7,99 € für eine Allnet-Flat, so zahlst du 7,99 €, egal, wie viele Minuten du telefonierst. Stell dir nun vor x sind die telefonierten Minuten und y der bezahlte Preis in Euro. Stelle eine Funktionsgleichung auf, die den Sachverhalt beschreibt.

Lösung

Eine Möglichkeit für einen Funktionsterm wäre:

Konstante Funktion Konstante Funktion Formel StudySmarter

Konstante Funktionen und Koordinatenachsen

Konstante Funktionen haben eine spezielle Beziehung zu den Koordinatenachsen. Worauf du dabei achten musst, lernst du im folgenden Abschnitt.

Konstante Funktionen und die x-Achse

Wie du bereits gelernt hast, zeichnet sich eine konstante Funktion dadurch aus, dass sie für jeden x-Wert den gleichen y-Wert hat. Ein unfassbar prominentes Beispiel hierfür ist die Nullfunktion:

Der Graph der Nullfunktion liegt gänzlich auf der x-Achse und wird beschrieben durch den Term Konstante Funktionen Nullfunktion StudySmarter.

Konstante Funktionen, Nullfunktionen, StudySmarterAbbildung 8: Graph der Nullfunktion

Da du nun weißt, dass es eine konstante Funktion gibt, die sich alle Punkte mit der x-Achse teilt, lassen sich weitere wichtige Merkmal der konstanten Funktionen erschließen:

Aus unserem Artikel zum Schnittpunkt zweier Geraden weißt du, dass zwei Geraden mit derselben Steigung immer parallel zueinander sind. Ebenso weißt du, dass die Steigung einer konstanten Funktion immer 0 beträgt. Daraus folgt die Regelung:

Da alle konstanten Funktionen die gleiche Steigung haben, sind sie zueinander parallel.

Deshalb sind konstante Funktionen parallel zur Nullfunktion und damit zur x-Achse

Konstante Funktionen und die y-Achse

Nun könntest du dich fragen: Wenn Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen, konstante Funktionen sind, wie ist das dann mit Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen? Die Antwort ist leicht: Sie sind keine konstanten Funktionen. Hierzu die Definition von Funktionen aus unserem Artikel zur Analysis:

Unter einer Funktion f versteht man eine direkte Zuordnung zwischen zwei Mengen, bei der jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet wird.

Das heißt: Jedem x-Wert der Definitionsmenge wird genau ein y-Wert aus der Wertemenge zugeordnet.

Eine Gleichung für eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, hat immer die Form

Konstante Funktion Konstante Funktion Formel StudySmarter

Wobei c ein konstanter Wert ist.

Diese Gleichung verstößt gegen beide Voraussetzungen für eine Funktion:

  • Nicht jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet, da die Gleichung nur für einen x-Wert überhaupt aufgeht.

  • Dem x-Wert, für den die Gleichung aufgeht, wird nicht genau ein y-Wert zugeordnet – sondern unendlich viele.

Also: Dadurch, dass Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, keine Funktionen sind, können sie auch keine konstanten Funktionen sein.

Das folgende Beispiel zeigt eine Gleichung, deren Graph parallel zur y-Achse verläuft.

Konstante Funktionen, konstante Gleichung, StudySmarterAbbildung 9: Graph der Gleichung x=1

y-Achsenabschnitt bei konstanten Funktionen

Der y-Achsenabschnitt einer konstanten Funktion entspricht immer der konstanten Zahl. So hat die Funktion...

Konstante Funktion Konstante Funktion Formel StudySmarter

...einen y-Achsenabschnitt von 7.

Nullstellen bei konstanten Funktionen

Da die Steigung konstanter Funktionen stets 0 ist und konstante Funktionen daher immer parallel zur x-Achse verlaufen, haben konstante Funktionen keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, also auch keine Nullstellen. Allerdings gibt es einen Spezialfall: Die Nullfunktion teilt sich alle Punkte mit der x-Achse und hat daher unendlich viele Nullstellen.

Bei linearen Funktionen gibt es drei Fälle: Funktionen mit genau einer Nullstelle, Funktionen mit genau 0 Nullstellen und Funktionen mit unendlich vielen Nullstellen.

Nur lineare Funktionen mit genau 0 oder unendlich vielen Nullstellen sind konstante Funktionen, und lineare Funktionen mit genau einer Nullstelle können nicht konstant sein.

Eigenschaften konstanter Funktionen – Ableitung

In diesem Abschnitt lernst du das Wichtigste zur Ableitung, der Monotonie und zur Symmetrie von konstanten Funktionen.

Konstante Funktionen – Ableitung

Durch die Abwesenheit von Variablen ist die Ableitung von konstanten Funktionen eine der leichtesten Ableitungen:

Da lediglich eine Konstante vorhanden ist, fällt diese beim Ableiten weg und die Ableitung einer konstanten Funktion ist immer 0.

Konstante Funktionen Ableitung StudySmarter

Konstante Funktionen – Monotonie

Da konstante Funktionen weder steigen noch fallen, sind sie konstant.

Konstanter Funktionen – Symmetrie

Konstante Funktionen sind

  • Achsensymmetrisch

    • zur x-Achse

    • zur y-Achse

    • zu allen Achsen parallel zur y-Achse

  • Punktsymmetrisch

    • zum Ursprung

    • zu jedem Punkt auf ihrem Funktionsgraphen

Konstante Funktionen – Beispiele und Anwendung

Oft ist nicht direkt aus dem Funktionsterm erkenntlich, ob eine Funktion konstant ist oder nicht. Hierzu empfiehlt es sich, den gesamten Term so weit wie möglich zu vereinfachen und dann festzustellen, ob x in irgendeiner Form eine Rolle spielt.

Aufgabe 2

Vereinfache die Funktionen und prüfe, ob sie konstant sind oder nicht.

Konstante Funktion Konstante Funktion Formel StudySmarter

Lösung

Konstante Funktion Gleichung StudySmarter

Da x nach Vereinfachung nicht mehr im Funktionsterm vorkommt, ist f(x) eine konstante Funktion.

Konstante Funktion Konstante Funktion Formel StudySmarter

Da x nach Vereinfachung immer noch im Funktionsterm vorkommt, ist g(x) keine konstante Funktion.

Konstante Funktion Konstante Funktion Formel StudySmarter

Da x nach Vereinfachung nicht mehr im Funktionsterm vorkommt, ist h(x) eine konstante Funktion.

Besonders in der Physik zeigen sich konstante Funktion von besonderer Relevanz.

So ist oft die Rede von konstanter Geschwindigkeit, konstanter Beschleunigung oder ähnlichem.

Wichtig ist hierbei, dass die Ableitung von Geraden – durch die Konstanz derer Steigungen – in jedem Fall eine konstante Funktion ist.

Aufgabe 3

Die zurückgelegte Strecke eines Autos, das mit konstanter Geschwindigkeit fährt, lässt sich durch die Gleichung…

Konstante Funktion Konstante Funktion Formel StudySmarter

...beschreiben. Hierbei ist x die Anzahl der Sekunden nach Beobachtungsbeginn und f(x) die Menge der zurückgelegten Meter zum Zeitpunkt x.

Überlege, wie sich aus dem Sachzusammenhang eine konstante Funktion ableiten lässt und was sie beschreibt.

Lösung

Im oben genannten Beispiel ist die Geschwindigkeit konstant. Diese ergibt sich aus der Änderung der Strecke pro Zeit, also der Ableitung der gegebenen Funktion. Nach den Ableitungsregeln ergibt sich also...

Konstante Funktion Konstante Funktion Formel StudySmarter

...als konstante Funktion für die Geschwindigkeit des Autos. Hierbei beschreibt f(x) die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde zum Zeitpunkt nach Beobachtungsbeginn x in Sekunden.

Konstante Funktion – Das Wichtigste

  • Konstante Funktionen ordnen jedem x-Wert den gleichen y-Wert zu.
  • Die allgemeine Funktion ist f(x)=c.
  • Die x-Achse ist eine konstante Funktion.
  • Alle konstanten Funktionen haben die Steigung 0 und sind daher parallel zueinander und zur x-Achse.
  • Konstante Funktionen haben nie einen Schnittpunkt mit der x-Achse.
  • Merkmale konstanter Funktionen:
    • Die Ableitung konstanter Funktionen ist immer 0
    • Konstante Funktionen sind weder monoton steigend noch fallend
    • Konstante Funktionen sind symmetrisch zu beiden Achsen und punktsymmetrisch im Ursprung
  • Geraden der Form x=c sind keine konstanten Funktionen, da sie keine Funktion von x sind.

Konstante Funktion

Eine konstante Funktion ist eine Gerade mit der Steigung 0. Sie hat für jeden x-Wert einen konstanten y-Wert.

Nur eine Gerade mit der Steigung 0 ist eine konstante Funktion. Somit ist jede konstante Funktion eine Gerade, aber nicht jede Gerade eine konstante Funktion.

Eine Konstante hat immer denselben y-Wert, unabhängig vom x-Wert.

Eine Funktion ist nicht konstant, sobald eine Variable in ihr vorkommt und somit der Funktionswert abhängig vom eingesetzten Wert ist.

Finales Konstante Funktion Quiz

Frage

Was versteht man unter einer konstanten Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine konstante Funktion ist eine Funktion, die jedem x-Wert denselben y-Wert zuordnet. Dementsprechend kommt in einer konstanten Funktion keine Variable vor.

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Merkmale konstanter Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Alle konstanten Funktionen sind parallel zueinander

Frage anzeigen

Frage

Wie leitet man konstante Funktionen ab?

Antwort anzeigen

Antwort

Da konstante Funktionen immer denselben Wert haben, haben sie die Steigung 0 bzw. eine momentane Änderungsrate von 0. Damit ist die Ableitung einer konstanten Funktion an jeder Stelle 0.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie man den y-Achsenabschnitt bei einer konstanten Funktion findet.

Antwort anzeigen

Antwort

Da bei einer konstanten Funktion jeder y-Wert gleich ist, entspricht der y-Achsenabschnitt den anderen Funktionswerten. 

Frage anzeigen

Frage

Wie ist das Monotonieverhalten bei konstanten Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Konstante Funktionen sind durchgängig konstant, da sie weder steigen noch fallen

Frage anzeigen

Frage

Wie ist die Symmetrie bei konstanten Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Konstante Funktionen sind symmetrisch:

  • Zu Achsen:
    • Zur x-Achse (bei Nullfunktion)
    • Zur y-Achse
    • Zu allen zur y-Achse parallelen Achsen
  • Zu Punkten:
    • Zu allen auf der Funktion befindlichen Punkten
    • Zum Ursprung (bei Nullfunktion)
Frage anzeigen

Frage

Nenne die wichtigste Eigenschaft der Nullfunktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Nullfunktion hat für jeden Wert von x den Wert y=0 und liegt damit vollständig auf der x-Achse.

Frage anzeigen
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