Sollen quadratische Funktionen von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umgewandelt werden, so benötigst Du dazu die quadratische Ergänzung. Hier lernst Du anhand von einigen Beispielaufgaben, was die quadratische Ergänzung ist und wie sie funktioniert.
Quadratische Ergänzung – Grundlagenwissen
Im Folgenden werden kurz die allgemeine Form und die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion sowie die binomischen Formeln wiederholt, bevor Du anschließend mehr über die quadratische Ergänzung erfährst.
Allgemeine Form, Scheitelpunktform und Normalform der quadratischen Funktion
Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, deren Funktionsgraph eine Parabel ist.
Eine quadratische Funktion kann in allgemeiner Form angegeben werden:
![]()
Dabei ist ![]()
und ![]()
.
Da ein besonderes Merkmal einer quadratischen Funktion ihr Scheitel ist, gibt es auch die Scheitelpunktform.
Eine quadratische Funktion kann in Scheitelpunktform/Scheitelform angegeben werden:
f
Dabei ist und ![]()
. Der Scheitelpunkt ![]()
kann direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden.
Bei einer nach oben geöffneten Parabel ist ![]()
und der Scheitelpunkt ist der niedrigste Punkt des Funktionsgraphs.
Abbildung 1: Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Parabel
Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist ![]()
und der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt des Funktionsgraphs.
Abbildung 2: Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel
Wenn Du mehr über die quadratische Funktion und ihre Darstellungsformen lernen möchtest, kannst Du in den Artikeln "quadratische Funktionen" oder "Scheitelpunktform" weiterlesen.
Eine besondere quadratische Funktion, ist diejenige, bei der ![]()
ist. Man nennt dies dann auch Normalform.
In der Normalform einer quadratischen Funktion ist ![]()
und die Funktionsgleichung lautet:
![]()
Wiederholung der binomischen Formeln
Die binomischen Formeln helfen beim Potenzieren von Summen und Differenzen. Da Du die erste und zweite binomische Formel für die quadratische Ergänzung benötigst, werden hier kurz die binomischen Formeln wiederholt.
Binomische Formeln:
Erste binomische Formel: ![]()
Zweite binomische Formel: ![]()
Dritte binomische Formel: ![]()
Quadratische Ergänzung
Die quadratische Ergänzung kommt zum Einsatz, wenn eine quadratische Funktion von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umgewandelt werden soll oder die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmt werden sollen.
Durch die quadratische Ergänzung werden Terme, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, so umgeformt, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann.
Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann eine quadratische Funktion von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform überführt werden.
Anwendung der quadratischen Ergänzung
Hier lernst Du, wie Du die quadratische Ergänzung auf quadratische Funktionen in Normalform und in allgemeiner Form anwenden kannst.
Quadratische Ergänzung bei einer quadratischen Funktion in Normalform
Betrachte zunächst den einfacheren Fall, bei dem die quadratische Funktion in Normalform vorliegt. Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, musst Du verschiedene Schritte nacheinander durchführen. Diese werden Dir allgemein und anhand eines Beispiels vorgestellt:
Gegeben ist die quadratische Funktion ![]()
in Normalform.
Versuche diese Funktion nun so umzuformen, dass Du die erste oder zweite binomische Formel in der Form
![]()
darauf anwenden kannst.
Schritt 1: d bestimmen
Zunächst betrachtest Du nur die ersten beiden Summanden der Normalform: ![]()
. Die beiden Summanden sollen so ergänzt werden, dass sie mithilfe der ersten oder zweiten binomischen Formel zusammengefasst werden können.
Du versuchst das d herauszufinden, damit Du weißt, was Du ergänzen musst. Dazu wird der Teilterm ![]()
der Funktion umgeformt:
![]()
.
Wenn Du diesen Term jetzt mit der binomischen Formel oben vergleichst, siehst Du, dass für das d in der binomischen Formel gilt:
![]()
Schaue Dir hier am besten an, wie dieser Schritt an einem konkreten Beispiel funktioniert.
Aufgabe 1
Bringe die quadratische Funktion ![]()
in ihre Scheitelform und gib den Scheitel an.
Lösung
Schritt 1: d bestimmen
![]()
Die binomische Formel, die Du zum Zusammenfassen verwenden musst, ist also ![]()
.
Schritt 2: quadratische Ergänzung
Damit die binomische Formel angewandt werden kann, fehlt in der Funktionsgleichung in Normalform ![]()
. Da sich aber die Funktionsgleichung ändern würde, wenn man ![]()
hinzuaddieren würde, wird ![]()
sowohl addiert als auch direkt wieder subtrahiert. Damit wird sozusagen 0 addiert.
![]()
Schritt 2: quadratische Ergänzung
![]()
Schritt 3: Anwenden der binomischen Formel
Jetzt kann der erste Teil mithilfe der binomischen Formel zusammengefasst werden.
![]()
Schritt 3: Anwenden der binomischen Formel
Jetzt kann der erste Teil mithilfe der zweiten binomischen Formel zusammengefasst werden.
![]()
Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion ist ![]()
.
Vorsicht: Der x-Wert des Scheitels ist nicht 6, sondern -6.
Das siehst Du besonders gut, wenn Du denn Funktionsterm noch weiter umformst: ![]()
.
Du hast gesehen, wie Du eine Funktion von der Normalform in die Scheitelpunktform umwandeln kannst.
Wenn Du Dich für das Vorgehen für eine allgemeine Funktion interessierst, kannst Du Dir die folgende Vertiefung ansehen. Falls Du lieber mit konkreten Zahlenwerten rechnest, kannst Du sie einfach überspringen und im nächsten Kapitel fortfahren.
Quadratische Ergänzung bei quadratischen Funktionen in allgemeiner Form
Etwas schwieriger wird die quadratische Ergänzung, bei einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form ![]()
. Dann kommen zum Vorgehen weitere Schritte hinzu.
Du beginnst damit, dass Du den Wert a vor dem ![]()
ausklammerst. Dieser Wert wird auch Leitkoeffizient genannt. Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, den Leitkoeffizienten a auszuklammern. Beide Varianten werden jeweils anhand eines Beispiels vorgestellt.
Variante 1: Quadratische Funktion in Scheitelpunktform umwandeln
Mithilfe der folgenden Beispielaufgabe erarbeitest Du Dir die einzelnen Schritte.
Aufgabe 2
Gegeben ist die quadratische Funktion in allgemeiner Form ![]()
. Bringe die quadratische Funktion in Scheitelpunktform und gib den Scheitelpunkt an.
Lösung mit Variante 1
Schritt 1: Ausklammern des Leitkoeffizienten a
Bei der ersten Variante wird a aus allen Summanden ausgeklammert:
![]()
Für den Term in der Klammer verfährst Du wie in den vorherigen Beispielen. Das heißt, dass Du bei den nächsten drei Schritten so vorgehen kannst, wie bei Funktionen in Normalform.
Schritt 2: d bestimmen
Auch hier versuchst Du den Wert herauszufinden, mit dem Du die quadratische Ergänzung durchführst.
![]()
Das bedeutet, die binomische Formel, die Du anwenden musst, ist: ![]()
Schritt 3: Quadratische Ergänzung
![]()
Schritt 4: Anwenden der binomischen Formel
![]()
Schritt 5: Klammer auflösen und Konstanten zusammenfassen
Der letzte Schritt ist nötig, damit Du auf die Scheitelpunktform kommst. Erst wenn die Konstanten zusammengefasst und die Klammer aufgelöst ist, liegt die Funktion in Scheitelpunktform vor.
![]()
Der Scheitelpunkt kann jetzt angegeben werden: ![]()
.
Sehr gut, jetzt kannst Du schon alle quadratischen Funktionen in ihre Scheitelform bringen.
Wie dieses Vorgehen ohne Zahlenwerte aussieht, kannst Du hier erkennen:
![]()
So wird auch der Scheitelpunkt allgemein hergeleitet: ![]()
.
Variante 2: Quadratische Funktion in Scheitelpunktform umwandeln
Die Funktion im folgenden Beispiel wird mit der zweiten Variante in ihre Scheitelpunktform umgewandelt.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion: ![]()
. Bringe die quadratische Funktion in Scheitelpunktform und gib den Scheitelpunkt an.
Lösung mit Variante 2
1. Schritt: Ausklammern des Leitkoeffizienten a
Bei dieser Methode wird der Leitkoeffizient nur teilweise ausgeklammert. Das ist ausreichend, um im zweiten Schritt d bestimmen zu können, da die 6 keinen Einfluss darauf hat, mit welcher binomischen Formel die ersten beiden Terme zusammengefasst werden.
![]()
Auch hier verfährst Du für den Term in der Klammer, wie in den vorherigen Beispielen.
2. Schritt: d bestimmen
![]()
3. Schritt: Quadratische Ergänzung
![]()
4. Schritt: Anwenden der binomischen Formel
![]()
5. Schritt: Klammer auflösen und Konstanten zusammenfassen
![]()
Der Scheitelpunkt kann jetzt angegeben werden: ![]()
.
Auch hier kannst Du Dir wieder ansehen, wie man allgemein eine quadratische Funktion in ihre Scheitelpunktform überführen kann.
![]()
Demzufolge sind die Schritte, die Du nacheinander ausführen musst, um von der allgemeinen auf die Scheitelpunktform zu kommen:
- Schritt 1: Ausklammern des Leitkoeffizienten a
- Schritt 2: d bestimmen
- Schritt 3: Quadratische Ergänzung
- Schritt 4: Anwenden der binomischen Formel
- Schritt 5: Klammer auflösen und Konstanten zusammenfassen
Nullstellen mit der quadratischen Ergänzung bestimmen
Die quadratische Ergänzung kann nicht nur genutzt werden, um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion zu bestimmen, sondern auch um ihre Nullstellen zu berechnen.
Aufgabe 4
Bestimme die Nullstellen der Funktion ![]()
, wobei die Scheitelpunktform der Funktion ![]()
ist.
Lösung
Die Berechnung der Scheitelpunktform kannst Du Dir im nächsten Kapitel beim zweiten Beispiel (Aufgabe 6) ansehen.
Nullstellen bestimmen:
Um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen, muss der Funktionsterm mit 0 gleichgesetzt werden. Diese quadratische Gleichung kann dann gelöst werden.
![]()
Damit sind die Nullstellen der Funktion ![]()
und ![]()
.
Aufgaben zum Üben der quadratischen Ergänzung
Im folgenden Beispiel musst Du die zweite binomische Formel verwenden, um die Funktion in Scheitelpunktform zu bringen.
Aufgabe 5
Bestimme die Scheitelpunktform und den Scheitel der Funktion ![]()
.
Lösung
1. Schritt: d bestimmen
![]()
Somit ist die binomische Formel, die Du zum Zusammenfassen verwenden musst![]()
.
2. Schritt: quadratische Ergänzung
![]()
3. Schritt: Anwenden der binomischen Formel
![]()
Der Scheitelpunkt der Funktion f ist ![]()
.
Hier kannst Du noch eine weitere Aufgabe lösen.
Aufgabe 6
Bestimme die Scheitelpunktform und den Scheitel der Funktion ![]()
.
Lösung
Scheitelpunkt bestimmen:
1. Schritt: Ausklammern des Koeffizienten a
![]()
2. Schritt: d bestimmen
![]()
3. Schritt: Quadratische Ergänzung
![]()
4. Schritt: Anwenden der binomischen Formel
![]()
5. Schritt: Klammer auflösen und Konstanten zusammenfassen
![]()
Der Scheitelpunkt kann jetzt angegeben werden: ![]()
.
Quadratische Ergänzung - Das Wichtigste
- Quadratische Funktion in allgemeiner Form:
![]()
- Quadratische Funktion in Scheitelpunktform:
![]()
- Mit der quadratischen Ergänzung kann eine quadratische Funktion in allgemeiner Form in die Scheitelpunktform überführt werden.
- Vorgehen: Umwandeln einer quadratischen Funktion in Normalform
![]()
in ihre Scheitelpunktform ![]()
durch die Anwendung der quadratischen Ergänzung:- Schritt 1: d bestimmen
- Schritt 2: Quadratische Ergänzung
- Schritt 3: Anwenden der binomischen Formel
- Vorgehen: Umwandeln einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form
![]()
in ihre Scheitelpunktform ![]()
durch die Anwendung der quadratischen Ergänzung:- Schritt 1: Ausklammern des Leitkoeffizienten a
- Schritt 2: d bestimmen
- Schritt 3: Quadratische Ergänzung
- Schritt 4: Anwenden der binomischen Formel
- Schritt 5: Klammer auflösen und Konstanten zusammenfassen
- Mit der quadratischen Ergänzung können auch die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmt werden.
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