Quadratische Ergänzung

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Sollen quadratische Funktionen von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umgewandelt werden, so benötigst Du dazu die quadratische Ergänzung. Hier lernst Du anhand von einigen Beispielaufgaben, was die quadratische Ergänzung ist und wie sie funktioniert.

Quadratische Ergänzung – Definition

Die quadratische Ergänzung kommt zum Einsatz, wenn eine quadratische Funktion von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umgewandelt werden soll oder die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmt werden sollen.

Durch die quadratische Ergänzung werden Terme, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, so umgeformt, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann.

Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann eine quadratische Funktion von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform überführt werden.

Wofür benötigst Du die quadratische Ergänzung?

Die quadratische Ergänzung benötigst Du, um die allgemeine Form einer quadratischen Funktion \(f(x) =ax^2+bx+c\) in die sogenannte Scheitelform überzuführen \(f(x)=a(x-d)^2+e\). Aus der Scheitelform kannst Du dann den Scheitelpunkt ablesen. Dieser befindet sich bei \((d | e)\).

Gegeben ist die quadratische Funktion \(f(x)=-2(x-5)^2+7\) Der Scheitelpunkt befindet sich also bei \((5|7)\). Die allgemeine Form würde \(f(x)=-2x^2+20x-43\) lauten. Läge die Funktion nur in der allgemeinen Form vor, kannst Du also nicht direkt sehen, wo der Scheitel ist, weswegen Du die Funktion erst in ihre Scheitelform überführen müsstest.

Quadratische Ergänzung – Anleitung

Das Ziel der quadratischen Ergänzung ist also, eine Funktion \(f(x) =ax^2+bx+c\) in ihre Scheitelform \(f(x)=a(x-d)^2+e\) umzuformen. \( a\) ist in beiden Formen gleich. Es gilt also \(d\) und \(e\) zu bestimmen.

Schritt	Beschreibung	Verdeutlichung
1. Ausklammern von a aus allen Termen, die x enthalten	Dieser Schritt ist nur nötig, wenn \(a\neq 1\).Falls \(a=1\) ist, kannst Du direkt mir Schritt 2 weitermachen.	\begin{align} f(x)&=ax^2+bx+c\\&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\end{align}
2. Ergänzung	In diesem Schritt wird die namensgebende Methode durchgeführt. Der Term in der Klammer wird mit einem Trick ergänzt. Es wird der Term \(\left(\frac{b}{2\cdot a}\right)^2\) hinzugefügt und auch wieder abgezogen! Der Term ändert dadurch also nicht seinen Wert, sondern nur seine Form.	\begin{align} f(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\\&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\underbrace{\left(\frac{b}{2\cdot a}\right)^2-\left(\frac{b}{2\cdot a}\right)^2}_{\text{Quadratische Ergänzung}}\right)+c\\\end{align}
3. Umformung mit den binomischen Formeln	Durch die quadratische Ergänzung ist der Term jetzt in einer Form, die Du mit den binomischen Formeln zusammenfassen kannst. Dafür betrachtest Du die ersten drei Terme in der Klammer und wendest entweder die erste (nur +) oder die zweite (ein Minus vor dem zweiten Term) binomische Formel an.	\begin{align} f(x)&=a\left(\underbrace{x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2\cdot a}\right)^2}_{\text{Binomische Formel}}-\left(\frac{b}{2\cdot a}\right)^2\right)+c\\&=a\left(\underbrace{\left(x+\frac{b}{2\cdot a}\right)^2}_{\text{Binomische Formel}}-\left(\frac{b}{2\cdot a}\right)^2\right)+c\end{align}
4. Ausmultiplizieren und zusammenfassen	Im letzten Schritt möchtest Du die Funktionsgleichung in die Scheitelform bringen. Dafür musst Du die äußeren Klammern auflösen und die beiden Terme außerhalb der binomischen Formel verrechnen.	\begin{align}f(x) = a\left(x+\frac{b}{2\cdot a}\right)^2-\left(\frac{b}{2\cdot a}\right)^2+c\end{align}

Anwendung der quadratischen Ergänzung

Die quadratische Ergänzung kann auf den ersten Blick sehr komplex wirken. Um die Methode genauer zu verstehen, werden im Folgenden zwei Beispiele präsentiert.

Quadratische Ergänzung bei einer quadratischen Funktion in Normalform

Betrachtet wird die Funktion \(f(x) =x^2+12x+1\). Die Funktion soll in ihre Scheitelform überführt werden.

Schritt	Beschreibung	Verdeutlichung
1. Ausklammern von a aus allen Termen, die x enthalten	In diesem Fall ist \(a=1\) wegen \(x^2=1\cdot x^2\) – der erste Schritt kann also übersprungen werden	\[f(x) =x^2+12x+1\]
2. Ergänzung	Wir führen die quadratische Ergänzung durch. Dafür nimmst Du den Vorfaktor von x, teilst ihn durch 2, addierst und subtrahierst das Quadrat des so erzeugten Terms.	\begin{align} f(x)&=x^2+12x+1 \\&= x^2+12x\underbrace{\,+\left(\frac{12}{2}\right)^2-\left(\frac{12}{2}\right)^2}_{\text{Quadratische Ergänzung}} + 1\end{align}
3. Umformung mit den binomischen Formeln	Die ersten drei Terme werden wieder mit einer binomischen Formel zusammengefasst. Dafür schreibst Du statt der ersten drei Terme immer \((x\pm d)^2\).Du schreibst "+", wenn der Vorfaktor vor x positiv ist und "-", wenn der Vorfaktor negativ ist. d ist immer die Zahl, mit der Du quadratisch ergänzt hast. In diesem Fall \(\frac{12}{2}\) also \(6\).	\begin{align} f(x)&= \underbrace{x^2+12x+\left(6\right)^2}_{\text{Binomische Formel}}-\left(6\right)^2 + 1\\&=(x+6)^2-6^2+1\end{align}
4. Ausmultiplizieren und zusammenfassen	Jetzt musst Du noch die beiden Terme am Ende verrechnen und erhältst Deine Funktionsgleichung in Scheitelform	\begin{align} f(x)&= (x+6)^2-6^2+1\\&=(x+6)^2-35\end{align}

Die Scheitelform lautet hier \((x+6)^2-35\). Der Scheitelpunkt liegt damit also bei \(S(-6\,|-35)\).

Quadratische Ergänzung bei quadratischen Funktionen in allgemeiner Form

Betrachtet wird die Funktion \(f(x) =2x^2-8x+2\). Die Funktion soll in ihre Scheitelform überführt werden.

Schritt	Beschreibung	Verdeutlichung
1. Ausklammern von a aus allen Termen, die x enthalten	In diesem Fall ist \(a=2\) und wird aus den ersten beiden Termen ausgeklammert.	\begin{align}f(x)&=2x^2-8x+2\\&=2(x^2-4x)+2\end{align}
2. Ergänzung	Wir führen die quadratische Ergänzung durch. Dafür nimmst Du den Vorfaktor von x, teilst ihn durch 2, addierst und subtrahierst das Quadrat des so erzeugten Terms.	\begin{align} f(x)&=2(x^2-4x)+2 \\&= 2\left(x^2-4x\underbrace{\,+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2}_{\text{Quadratische Ergänzung}}\right) + 2\end{align}
3. Umformung mit den binomischen Formeln	Die ersten drei Terme werden wieder mit einer binomischen Formel zusammengefasst. Dafür schreibst Du statt der ersten drei Terme immer \((x\pm d)^2\).Du schreibst "+", wenn der Vorfaktor vor x positiv ist und "-", wenn der Vorfaktor negativ ist. d ist immer die Zahl, mit der Du quadratisch ergänzt hast. In diesem Fall \(\frac{4}{2}\) also \(2\).	\begin{align} f(x)&=2\left( \underbrace{x^2-4x+\left(2\right)^2}_{\text{Binomische Formel}}-\left(2\right)^2\right) + 2\\&=2\left((x-2)^2-2^2\right)+2\end{align}
4. Ausmultiplizieren und zusammenfassen	Jetzt musst Du noch die beiden Terme am Ende verrechnen und erhältst Deine Funktionsgleichung in Scheitelform	\begin{align} f(x)&= 2\left((x-2)^2-4\right)+2\\&=2(x-2)^2-8+2\\&=2(x-2)^2-6\end{align}

Die Scheitelform lautet hier \(2(x-2)^2-6\). Der Scheitelpunkt liegt damit also bei \(S(2\,|-6)\).

Nullstellen mit der quadratischen Ergänzung bestimmen

Die quadratische Ergänzung kann nicht nur genutzt werden, um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion zu bestimmen, sondern auch um ihre Nullstellen zu berechnen, obwohl andere Methoden wie das Lösen mit der Mitternachtsformel sich mehr anbieten

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Funktion \(f(x)=-5x^2+10x+7\), wobei die Scheitelpunktform der Funktion \(f(x)=-5(x-1)^2+2\) ist.

Lösung

Die Berechnung der Scheitelpunktform kannst Du Dir im nächsten Kapitel beim zweiten Beispiel (Aufgabe 6) ansehen.

Nullstellen bestimmen:

Um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen, muss der Funktionsterm mit 0 gleichgesetzt werden. Diese quadratische Gleichung kann dann gelöst werden.

\begin{align} 0&=-5(x-1)^2+2\quad &&| -2\\-2&=-5(x-1)^2&&|:(-5)\\\frac{2}{5}&=(x-1)^2&&|\sqrt{\, }\\\pm\sqrt{\frac{2}{5}}&=x+1&&|-1\\\Rightarrow x_{1/2}&=-1\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\end{align}

Damit sind die Nullstellen \( x_{1}=-1 + \sqrt{\frac{2}{5}}\) und \( x_{2}=-1-\sqrt{\frac{2}{5}}\).

Aufgabe zum Üben der quadratischen Ergänzung

Im folgenden Beispiel musst Du die zweite binomische Formel verwenden, um die Funktion in Scheitelpunktform zu bringen.

Aufgabe

Bestimme die Scheitelpunktform und den Scheitel der Funktion \(y=x^2-3x+1\).

Schritt	Berechnung
1. Ausklammern von a aus allen Termen, die x enthalten	\begin{align}f(x)&=x^2-3x+1\end{align}
2. Quadratische Ergänzung	\begin{align} f(x)&=x^2-3x+1 \\&= x^2-3x\underbrace{\,+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2}_{\text{Quadratische Ergänzung}} + 1\end{align}
3. Umformung mit den binomischen Formeln	\begin{align} f(x)&=\underbrace{x^2-3x+\left(1{,}5\right)^2}_{\text{Binomische Formel}}-\left(1{,}5\right)^2+ 1\\&=(x-1{,}5)^2-1{,}5^2+1\end{align}
4. Ausmultiplizieren und zusammenfassen	\begin{align} f(x)&= (x-1{,}5)^2-2{,}25+2\\&=(x-1{,}5)^2-0{,}25\end{align}

Die Scheitelform lautet hier \((x-1{,}5)^2-0{,}25\). Der Scheitelpunkt liegt damit also bei \(S(1{,}5\,|-0{,}25)\).

Quadratische Ergänzung - Das Wichtigste

Quadratische Funktion in allgemeiner Form: \(f(x)=ax^2+bx+c\)
Quadratische Funktion in Scheitelpunktform: \(f(x)=a(x-d)^2+e\)
Mit der quadratischen Ergänzung kann eine quadratische Funktion in allgemeiner Form in die Scheitelpunktform überführt werden.
Vorgehen: Umwandeln einer quadratischen Funktion in Normalform \(f(x)=x^2+bx+c\) in ihre Scheitelpunktform \(f(x) = (x-d)^2+e\) durch die Anwendung der quadratischen Ergänzung:
- Schritt 1: Quadratische Ergänzung
- Schritt 2: Anwenden der binomischen Formel
- Schritt 3: Konstanten zusammenfassen
Vorgehen: Umwandeln einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form \(f(x)=ax^2+bx+c\) in ihre Scheitelpunktform \(f(x)=a(x-d)^2+e\) durch die Anwendung der quadratischen Ergänzung:
- Schritt 1: Ausklammern des Leitkoeffizienten a
- Schritt 2: Quadratische Ergänzung
- Schritt 3: Anwenden der binomischen Formel
- Schritt 4: Klammer auflösen und Konstanten zusammenfassen
Mit der quadratischen Ergänzung können auch die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmt werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Quadratische Ergänzung

Bei der quadratischen Ergänzung wird ein Term, in dem eine Variable quadratisch vorkommt, so umgeformt und ergänzt, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann.

Quadratisch ergänzen muss man, wenn man eine quadratische Funktion in ihre Scheitelpunktform bringen möchte, ihre Nullstellen berechnen möchte oder die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnen möchte.

Die PQ Formel wird benutzt, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Normalform (a = 1) zu berechnen. Mithilfe der quadratischen Ergänzung können die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form berechnet werden. Die Funktion wird außerdem in ihre Scheitelpunktform gebracht und der Scheitelpunkt der Funktion kann bestimmt werden.

Das Verfahren heißt quadratisches Ergänzen, weil Terme, in denen die Variable quadratisch vorkommt, so umgeformt werden, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann. Dafür wird ein quadrierter Term ergänzt.

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Frage

Erkläre, wofür die quadratische Ergänzung verwendet wird.

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Antwort

Durch die quadratische Ergänzung werden Terme, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, so umgeformt, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann.

Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann eine quadratische Funktion von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform überführt werden.

Außerdem kann sie genutzt werden, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen.

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Frage

Beschreibe das Vorgehen der quadratischen Ergänzung bei einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form.

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Antwort

Schritt 1: Ausklammern des Leitkoeffizienten a

Schritt 2: d bestimmen

Schritt 3: Quadratische Ergänzung

Schritt 4: Anwenden der binomischen Formel

Schritt 5: Klammer auflösen und Konstanten zusammenfassen

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Quadratische Ergänzung bei quadratischen Funktionen in allgemeiner Form

Nullstellen mit der quadratischen Ergänzung bestimmen

Aufgabe zum Üben der quadratischen Ergänzung

Quadratische Ergänzung - Das Wichtigste

Häufig gestellte Fragen zum Thema Quadratische Ergänzung

Wie geht eine quadratische Ergänzung?

Wann muss man quadratisch ergänzen?

Wann benutzt man die PQ Formel und wann die quadratische Ergänzung?

Warum nennt man das Verfahren quadratisches Ergänzen?

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