Sollen quadratische Funktionen von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umgewandelt werden, so benötigst Du dazu die quadratische Ergänzung. Hier lernst Du anhand von einigen Beispielaufgaben, was die quadratische Ergänzung ist und wie sie funktioniert.
Quadratische Ergänzung – Definition
Die quadratische Ergänzung kommt zum Einsatz, wenn eine quadratische Funktion von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umgewandelt werden soll oder die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmt werden sollen.
Durch die quadratische Ergänzung werden Terme, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, so umgeformt, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann.
Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann eine quadratische Funktion von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform überführt werden.
Wofür benötigst Du die quadratische Ergänzung?
Die quadratische Ergänzung benötigst Du, um die allgemeine Form einer quadratischen Funktion \(f(x) =ax^2+bx+c\) in die sogenannte Scheitelform überzuführen \(f(x)=a(x-d)^2+e\). Aus der Scheitelform kannst Du dann den Scheitelpunkt ablesen. Dieser befindet sich bei \((d | e)\).
Gegeben ist die quadratische Funktion \(f(x)=-2(x-5)^2+7\) Der Scheitelpunkt befindet sich also bei \((5|7)\). Die allgemeine Form würde \(f(x)=-2x^2+20x-43\) lauten. Läge die Funktion nur in der allgemeinen Form vor, kannst Du also nicht direkt sehen, wo der Scheitel ist, weswegen Du die Funktion erst in ihre Scheitelform überführen müsstest.
Quadratische Ergänzung – Anleitung
Das Ziel der quadratischen Ergänzung ist also, eine Funktion \(f(x) =ax^2+bx+c\) in ihre Scheitelform \(f(x)=a(x-d)^2+e\) umzuformen. \( a\) ist in beiden Formen gleich. Es gilt also \(d\) und \(e\) zu bestimmen.
| Schritt | Beschreibung | Verdeutlichung |
| 1. Ausklammern von a aus allen Termen, die x enthalten | Dieser Schritt ist nur nötig, wenn \(a\neq 1\).Falls \(a=1\) ist, kannst Du direkt mir Schritt 2 weitermachen. | \begin{align} f(x)&=ax^2+bx+c\\&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\end{align} |
| 2. Ergänzung | In diesem Schritt wird die namensgebende Methode durchgeführt. Der Term in der Klammer wird mit einem Trick ergänzt. Es wird der Term \(\left(\frac{b}{2\cdot a}\right)^2\) hinzugefügt und auch wieder abgezogen! Der Term ändert dadurch also nicht seinen Wert, sondern nur seine Form. | \begin{align} f(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\\&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\underbrace{\left(\frac{b}{2\cdot a}\right)^2-\left(\frac{b}{2\cdot a}\right)^2}_{\text{Quadratische Ergänzung}}\right)+c\\\end{align} |
| 3. Umformung mit den binomischen Formeln | Durch die quadratische Ergänzung ist der Term jetzt in einer Form, die Du mit den binomischen Formeln zusammenfassen kannst. Dafür betrachtest Du die ersten drei Terme in der Klammer und wendest entweder die erste (nur +) oder die zweite (ein Minus vor dem zweiten Term) binomische Formel an. | \begin{align} f(x)&=a\left(\underbrace{x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2\cdot a}\right)^2}_{\text{Binomische Formel}}-\left(\frac{b}{2\cdot a}\right)^2\right)+c\\&=a\left(\underbrace{\left(x+\frac{b}{2\cdot a}\right)^2}_{\text{Binomische Formel}}-\left(\frac{b}{2\cdot a}\right)^2\right)+c\end{align} |
| 4. Ausmultiplizieren und zusammenfassen | Im letzten Schritt möchtest Du die Funktionsgleichung in die Scheitelform bringen. Dafür musst Du die äußeren Klammern auflösen und die beiden Terme außerhalb der binomischen Formel verrechnen. | \begin{align}f(x) = a\left(x+\frac{b}{2\cdot a}\right)^2-\left(\frac{b}{2\cdot a}\right)^2+c\end{align} |
Anwendung der quadratischen Ergänzung
Die quadratische Ergänzung kann auf den ersten Blick sehr komplex wirken. Um die Methode genauer zu verstehen, werden im Folgenden zwei Beispiele präsentiert.
Quadratische Ergänzung bei einer quadratischen Funktion in Normalform
Betrachtet wird die Funktion \(f(x) =x^2+12x+1\). Die Funktion soll in ihre Scheitelform überführt werden.
| Schritt | Beschreibung | Verdeutlichung |
| 1. Ausklammern von a aus allen Termen, die x enthalten | In diesem Fall ist \(a=1\) wegen \(x^2=1\cdot x^2\) – der erste Schritt kann also übersprungen werden | \[f(x) =x^2+12x+1\] |
| 2. Ergänzung | Wir führen die quadratische Ergänzung durch. Dafür nimmst Du den Vorfaktor von x, teilst ihn durch 2, addierst und subtrahierst das Quadrat des so erzeugten Terms. | \begin{align} f(x)&=x^2+12x+1 \\&= x^2+12x\underbrace{\,+\left(\frac{12}{2}\right)^2-\left(\frac{12}{2}\right)^2}_{\text{Quadratische Ergänzung}} + 1\end{align} |
| 3. Umformung mit den binomischen Formeln | Die ersten drei Terme werden wieder mit einer binomischen Formel zusammengefasst. Dafür schreibst Du statt der ersten drei Terme immer \((x\pm d)^2\).Du schreibst "+", wenn der Vorfaktor vor x positiv ist und "-", wenn der Vorfaktor negativ ist. d ist immer die Zahl, mit der Du quadratisch ergänzt hast. In diesem Fall \(\frac{12}{2}\) also \(6\). | \begin{align} f(x)&= \underbrace{x^2+12x+\left(6\right)^2}_{\text{Binomische Formel}}-\left(6\right)^2 + 1\\&=(x+6)^2-6^2+1\end{align} |
| 4. Ausmultiplizieren und zusammenfassen | Jetzt musst Du noch die beiden Terme am Ende verrechnen und erhältst Deine Funktionsgleichung in Scheitelform | \begin{align} f(x)&= (x+6)^2-6^2+1\\&=(x+6)^2-35\end{align} |
Die Scheitelform lautet hier \((x+6)^2-35\). Der Scheitelpunkt liegt damit also bei \(S(-6\,|-35)\).
Quadratische Ergänzung bei quadratischen Funktionen in allgemeiner Form
Betrachtet wird die Funktion \(f(x) =2x^2-8x+2\). Die Funktion soll in ihre Scheitelform überführt werden.
| Schritt | Beschreibung | Verdeutlichung |
| 1. Ausklammern von a aus allen Termen, die x enthalten | In diesem Fall ist \(a=2\) und wird aus den ersten beiden Termen ausgeklammert. | \begin{align}f(x)&=2x^2-8x+2\\&=2(x^2-4x)+2\end{align} |
| 2. Ergänzung | Wir führen die quadratische Ergänzung durch. Dafür nimmst Du den Vorfaktor von x, teilst ihn durch 2, addierst und subtrahierst das Quadrat des so erzeugten Terms. | \begin{align} f(x)&=2(x^2-4x)+2 \\&= 2\left(x^2-4x\underbrace{\,+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2}_{\text{Quadratische Ergänzung}}\right) + 2\end{align} |
| 3. Umformung mit den binomischen Formeln | Die ersten drei Terme werden wieder mit einer binomischen Formel zusammengefasst. Dafür schreibst Du statt der ersten drei Terme immer \((x\pm d)^2\).Du schreibst "+", wenn der Vorfaktor vor x positiv ist und "-", wenn der Vorfaktor negativ ist. d ist immer die Zahl, mit der Du quadratisch ergänzt hast. In diesem Fall \(\frac{4}{2}\) also \(2\). | \begin{align} f(x)&=2\left( \underbrace{x^2-4x+\left(2\right)^2}_{\text{Binomische Formel}}-\left(2\right)^2\right) + 2\\&=2\left((x-2)^2-2^2\right)+2\end{align} |
| 4. Ausmultiplizieren und zusammenfassen | Jetzt musst Du noch die beiden Terme am Ende verrechnen und erhältst Deine Funktionsgleichung in Scheitelform | \begin{align} f(x)&= 2\left((x-2)^2-4\right)+2\\&=2(x-2)^2-8+2\\&=2(x-2)^2-6\end{align} |
Die Scheitelform lautet hier \(2(x-2)^2-6\). Der Scheitelpunkt liegt damit also bei \(S(2\,|-6)\).
Nullstellen mit der quadratischen Ergänzung bestimmen
Die quadratische Ergänzung kann nicht nur genutzt werden, um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion zu bestimmen, sondern auch um ihre Nullstellen zu berechnen, obwohl andere Methoden wie das Lösen mit der Mitternachtsformel sich mehr anbieten
Aufgabe
Bestimme die Nullstellen der Funktion \(f(x)=-5x^2+10x+7\), wobei die Scheitelpunktform der Funktion \(f(x)=-5(x-1)^2+2\) ist.
Lösung
Die Berechnung der Scheitelpunktform kannst Du Dir im nächsten Kapitel beim zweiten Beispiel (Aufgabe 6) ansehen.
Nullstellen bestimmen:
Um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen, muss der Funktionsterm mit 0 gleichgesetzt werden. Diese quadratische Gleichung kann dann gelöst werden.
\begin{align} 0&=-5(x-1)^2+2\quad &&| -2\\-2&=-5(x-1)^2&&|:(-5)\\\frac{2}{5}&=(x-1)^2&&|\sqrt{\, }\\\pm\sqrt{\frac{2}{5}}&=x+1&&|-1\\\Rightarrow x_{1/2}&=-1\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\end{align}
Damit sind die Nullstellen \( x_{1}=-1 + \sqrt{\frac{2}{5}}\) und \( x_{2}=-1-\sqrt{\frac{2}{5}}\).
Aufgabe zum Üben der quadratischen Ergänzung
Im folgenden Beispiel musst Du die zweite binomische Formel verwenden, um die Funktion in Scheitelpunktform zu bringen.
Aufgabe
Bestimme die Scheitelpunktform und den Scheitel der Funktion \(y=x^2-3x+1\).
| Schritt | Berechnung |
| 1. Ausklammern von a aus allen Termen, die x enthalten | \begin{align}f(x)&=x^2-3x+1\end{align} |
| 2. Quadratische Ergänzung | \begin{align} f(x)&=x^2-3x+1 \\&= x^2-3x\underbrace{\,+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2}_{\text{Quadratische Ergänzung}} + 1\end{align} |
| 3. Umformung mit den binomischen Formeln | \begin{align} f(x)&=\underbrace{x^2-3x+\left(1{,}5\right)^2}_{\text{Binomische Formel}}-\left(1{,}5\right)^2+ 1\\&=(x-1{,}5)^2-1{,}5^2+1\end{align} |
| 4. Ausmultiplizieren und zusammenfassen | \begin{align} f(x)&= (x-1{,}5)^2-2{,}25+2\\&=(x-1{,}5)^2-0{,}25\end{align} |
Die Scheitelform lautet hier \((x-1{,}5)^2-0{,}25\). Der Scheitelpunkt liegt damit also bei \(S(1{,}5\,|-0{,}25)\).
Quadratische Ergänzung - Das Wichtigste
- Quadratische Funktion in allgemeiner Form: \(f(x)=ax^2+bx+c\)
- Quadratische Funktion in Scheitelpunktform: \(f(x)=a(x-d)^2+e\)
- Mit der quadratischen Ergänzung kann eine quadratische Funktion in allgemeiner Form in die Scheitelpunktform überführt werden.
- Vorgehen: Umwandeln einer quadratischen Funktion in Normalform \(f(x)=x^2+bx+c\) in ihre Scheitelpunktform \(f(x) = (x-d)^2+e\) durch die Anwendung der quadratischen Ergänzung:
- Schritt 1: Quadratische Ergänzung
- Schritt 2: Anwenden der binomischen Formel
- Schritt 3: Konstanten zusammenfassen
- Vorgehen: Umwandeln einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form \(f(x)=ax^2+bx+c\) in ihre Scheitelpunktform \(f(x)=a(x-d)^2+e\) durch die Anwendung der quadratischen Ergänzung:
- Schritt 1: Ausklammern des Leitkoeffizienten a
- Schritt 2: Quadratische Ergänzung
- Schritt 3: Anwenden der binomischen Formel
- Schritt 4: Klammer auflösen und Konstanten zusammenfassen
- Mit der quadratischen Ergänzung können auch die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmt werden.
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