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Zwischenwertsatz

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Mathe

Der Zwischenwertsatz ist ein häufig verwendetes Werkzeug, um die Lage von Nullstellen einer Funktion zu charakterisieren. Er erleichtert dir die Suche nach Nullstellen.

Für die explizite Bestimmung von Nullstellen gibt es zahlreiche Verfahren. Sie sind im Artikel Nullstellen berechnen beschrieben. Doch in der Mathematik gibt es auch Funktionen, für die die gängigen Verfahren keine Nullstellen liefern. Ein Beispiel wäre hierfür die Funktion , bei der du nicht direkt eine oder mehrere Nullstellen ablesen kannst. Hier hilft dann oft der Zwischenwertsatz weiter.

Vielleicht hast du auch schon einmal etwas vom Nullstellensatz gehört. Der Nullstellensatz ist ein Spezialfall des Zwischenwertsatzes. Was genau der Unterschied ist und was sich hinter den jeweiligen Sätzen verbirgt, erklären wir dir in diesem Artikel.

Zwischenwertsatz: Grundlagenwissen

Um den Zwischenwertsatz anwenden zu können, muss eine stetige Funktion f(x) vorliegen. Wir wollen hier allerdings kurz dein Wissen über stetige Funktionen auffrischen.

Eine ausführliche Beschreibung der Stetigkeit könnt ihr gerne im entsprechenden Artikel lesen.

Eine in einem Intervall Zwischenwertsatz Formel Stetigkeit Wiederholung StudySmarter definierte Funktion heißt stetig an der Stelle Zwischenwertsatz Formel Stetigkeit Wiederholung StudySmarter, wenn der beidseitige Grenzwert von fürZwischenwertsatz Formel Stetigkeit Wiederholung StudySmarter existiert und mit übereinstimmt.

Zwischenwertsatz Formel Stetigkeit Wiederholung StudySmarter

Eine Funktion f(x) heißt stetig, wenn sie in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist.

Beispiele für im gesamten Definitionsbereich stetige Funktionen sind ganzrationale Funktionen (Polynome), einfache trigonometrische Funktionen (Sinus und Kosinus) und die Exponentialfunktionen. Die meisten der Funktionen, die du kennst und die im Matheunterricht vorkommen, sind stetige Funktionen.

Beispiele für nicht stetige Funktionen sind zusammengesetzte Funktionen mit "Sprungstellen".

In der Grafik siehst du zum Beispiel den Funktionsgraphen der folgenden Funktion f(x):

Zwischenwertsatz Nicht-stetige abschnittsweise definierte Funktion StudySmarter

Abbildung 1: Abschnittsweise definierte, nicht stetige Funktion f mit Sprungstelle x = 1

Wenn du also überprüfen sollst, ob eine Funktion f(x) an einer Stelle stetig ist, musst du dir den Funktionswert an der Stelle und den rechts- und linksseitigen Grenzwert anschauen. Wenn alle drei Werte übereinstimmen, ist die Funktion f(x) an der Stelle stetig.

Mehr Tipps und Tricks, um Funktionen auf Stetigkeit zu untersuchen, erfährst du im Artikel Stetigkeit.

Aufgabe 1

Zeige, dass die Funktion an der Stelle nicht stetig ist.

Lösung

Dabei handelt es sich um die oben gezeichnete Funktion f(x).

Es gilt wegen der Funktionsvorschrift:

Für die Grenzwerte gilt

und

und damit ist die Funktion an der Stelle nicht stetig, weil der rechts- und linksseitige Grenzwert verschieden sind.

Zwischenwertsatz Erklärung

Nun kommen wir zum Zwischenwertsatz.

Zwischenwertsatz Definition

Für eine in einem abgeschlossenen Intervall Zwischenwertsatz Definition Zwischenwertsatz StudySmarter stetige Funktion gilt:

Für jedes Zwischenwertsatz Definition Zwischenwertsatz StudySmarter existiert (mindestens) ein Zwischenwertsatz Definition Zwischenwertsatz StudySmarter mit Zwischenwertsatz Definition Zwischenwertsatz StudySmarter.

Das heißt, dass jeder Wert d, der zwischen und liegt, im Intervall auch wirklich angenommen wird. Es gibt also eine entsprechende Stelle c zwischen a und b, für die gilt.

Das Intervall wird nur in dieser Form geschrieben, wenn .

Gilt , dann wird das Intervall der Funktionswerte stattdessen in der Form angegeben, weil es in der Intervallschreibweise ja üblich ist, den kleineren vor den größeren Wert zu schreiben.

Für und gilt dann .

Wir wollen das Ganze mit einer Grafik veranschaulichen. Das Intervall der Funktionswerte ist rechts in grün dargestellt, das der x-Werte unten in orange.

Zwischenwertsatz Graphische Veranschaulichung Zwischenwertsatz StudySmarterAbbildung 2: Graphische Veranschaulichung des Zwischenwertsatzes

allgemein
in der Grafik

Nun gilt mit dem Zwischenwertsatz:

- für jeden Wert d im Intervall

- gibt es im Intervall (mindestens) einen Wert c

- für den gilt.

Dies wird nun am Beispiel in der Skizze veranschaulicht. Den entsprechenden Wert c erhältst du, indem du vom Wert im Intervall (grün, rechts) auf Höhe von nach links läufst, bis du auf den Graphen triffst. Anschließend läufst du nach unten und liest auf der x-Achse den entsprechenden Wert c ab .

Zwischenwertsatz Graphische Veranschaulichung Zwischenwertsatz StudySmarterAbbildung 3: Graphische Veranschaulichung des Zwischenwertsatzes am Beispiel d = 3

Die Aussage des Zwischenwertsatzes bedeutet anschaulich in der Grafik:Egal an welcher Stelle im Intervall du nach links läufst, wirst du immer auf den Funktionsgraphen stoßen. Der x-Wert des Schnittpunktes, den du erhältst, wenn du vom Schnittpunkt nach unten zur x-Achse läufst, wird immer im Intervall liegen.

Zwischenwertsatz Anwendung

Meistens wird in der Schule mit dem Nullstellensatz gearbeitet, den wir weiter unten erklären. Doch auch für den Zwischenwertsatz gibt es einige wichtige Anwendungen und Beispiele. Eine mögliche Aufgabenstellung zeigen wir dir im nächsten Beispiel.

Begründe mit dem Zwischenwertsatz, dass die allgemeine Sinusfunktion alle Werte zwischen -1 und 1 annimmt.

Lösung

Zwischenwertsatz Sinusfunktion StudySmarterAbbildung 4: Sinusfunktion

Die allgemeine Sinusfunktion ist als trigonometrische Funktion eine stetige Funktion, sodass wir den Zwischenwertsatz anwenden können.

Um den Zwischenwertsatz auf eine Funktion anwenden zu können, muss diese wie in der Definition gefordert stetig sein. Das musst du immer, wenn du Aufgaben dieser Form bearbeitest, explizit dazuschreiben.

Wähle a und b so, dass und die beiden Intervallgrenzen -1 und 1 bilden.

So erhältst du .

Wähle zum Beispiel:

,

Dann gilt

und

.

Mit dem Zwischenwertsatz folgt, dass alle Werte im Intervall von der Funktion angenommen werden. Insbesondere werden sie im Definitionsintervall angenommen.

Die Umkehrung des Zwischenwertsatzes gilt übrigens nicht. Um das zu zeigen, musst du eine Funktion finden, die in einem bestimmten Intervall alle Werte von durchläuft, aber nicht stetig ist. Solche Funktionen gibt es, sie sind allerdings eher kompliziert und werden in diesem Artikel daher nicht explizit angegeben.

Stetigkeitsbedingung – Aufgabe

Vielleicht fragst du dich, warum die Aussage des Zwischenwertsatzes nur für stetige Funktionen gilt. Was könnte denn am Zwischenwertsatz schief gehen, wenn eine Funktion nicht stetig ist?

Dazu nochmal zurück zum Ausgangsbeispiel der nicht stetigen Funktion .

Betrachte nun beispielsweise und , also das Intervall .

Es gilt

und .

Daher ist .

Mit dem Zwischenwertsatz würde nun folgen, dass es für jeden Wert d im Intervall einen entsprechenden Wert c im Intervall gibt, dass ist.

Betrachte den Fall . Gäbe es einen entsprechenden Wert c im Intervall , dann müsste die Gerade den Funktionsgraphen in diesem Bereich schneiden (weil ja gilt). Durch die Sprungstelle wird der y-Wert zwei allerdings übersprungen. Somit gibt es keinen solchen Wert c und der Zwischenwertsatz gilt nicht.

Zwischenwertsatz Nicht-stetige Funktion Zwischenwertsatz StudySmarterAbbildung 5: Nicht stetige Funktion f, für die der Zwischenwertsatz nicht gilt

Für die Vorstellung hilft uns hier wieder die Idee der "Bleistiftstetigkeit". Wenn man eine Funktion zeichnen kann, ohne den Bleistift abzusetzen, dann können solche Sprungstellen nicht entstehen und die Zwischenwerteigenschaft bleibt erhalten.

Nullstellensatz Erklärung

Die häufigste Verwendung des Zwischenwertsatzes ist in der Form des Nullstellensatzes. Wir stellen dir den Zusammenhang der beiden Sätze dar und zeigen dir dann anhand einiger Aufgabenbeispiele, warum der Nullstellensatz super nützlich ist.

Nullstellensatz Definition

Der Nullstellensatz ist wie oben schon erwähnt ein Spezialfall vom Zwischenwertsatz. Er hat eine Bedeutung für die Nullstellen einer Funktion. Wir nutzen also die Aussage des Zwischenwertsatzes, um etwas über die Nullstellen einer Funktion auszusagen. Wie machen wir das?

Ganz einfach: Wir brauchen einfach zwei x-Werte a und b, deren Funktionswerte und ein unterschiedliches Vorzeichen haben. Sagen wir mal, ist negativ und ist positiv.

Wegen und liegt dann null im Intervall . Also gibt es laut dem Zwischenwertsatz einen Wert c im Intervall , sodass gilt. Damit ist c eine Nullstelle der Funktion .

Zwischenwertsatz Graphische Veranschaulichung Nullstellensatz StudySmarterAbbildung 6: Graphische Veranschaulichung des Nullstellensatzes

Ist eine stetige Funktion und gilt für zwei Werte a und b (mit Zwischenwertsatz Definition Nullstellensatz StudySmarter), dass Zwischenwertsatz Definition Nullstellensatz StudySmarter und Zwischenwertsatz Definition Nullstellensatz StudySmarter oder Zwischenwertsatz Definition Nullstellensatz StudySmarter und Zwischenwertsatz Definition Nullstellensatz StudySmarter, dann hat die Funktion Zwischenwertsatz Definition Nullstellensatz StudySmarterim Bereich Zwischenwertsatz Definition Nullstellensatz StudySmarter (mindestens) eine Nullstelle.

Der Nullstellensatz wird oft auch Nullstellensatz von Bolzano genannt. Bernard Bolzano, der diesen Satz zu Beginn des 19. Jahrhunderts bewiesen hat, ist ein bekannter Mathematiker und Philosoph, der viel Forschung in der Analysis betrieben hat und auf den viele wichtige Sätze zurückgehen. Beispielsweise stammt auch der mathematische Begriff der Menge von ihm. Wie bei vielen anderen Genies wurde auch bei Bolzano die Bedeutsamkeit seiner Arbeit erst nach seinem Tod erkannt.

Auch die Umkehrung des Nullstellensatzes gilt nicht. Sie würde aussagen, dass wenn eine Funktion in einem Intervall eine Nullstelle hat, dass es dann im Intervall Werte r, s gibt, sodass dann und oder und gilt.

Ein einfaches Gegenbeispiel ist die Normalparabel . Sie hat im Punkt (0/0) eine Nullstelle, aber es gibt kein mit .

Nullstellensatz Anwendung

In den folgenden Abschnitten zeigen wir dir an mehreren Beispielen, in welchen Aufgaben du den Nullstellensatz brauchst.

Zunächst starten wir mit einem einfachen Beispiel:

Aufgabe 3

Zeige mit dem Nullstellensatz, dass die Funktion mindestens eine Nullstelle hat. Gib außerdem ein Intervall an, in dem die Nullstelle liegt.

Lösung

Die Funktion ist stetig, weil sie ein Polynom ist. Daher können wir den Zwischenwertsatz anwenden.

Wie immer hilft es, die Funktion zunächst zu skizzieren. Die Funktion ist hier eine Normalparabel, die um zwei Einheiten entlang der y-Achse nach unten verschoben ist.

Zwischenwertsatz Nullstellensatz Nullstelle Parabel bestimmen StudySmarterAbbildung 7: Funktion f zu Aufgabe 3

Anhand der Skizze suchst du dir nun zwei x-Werte a und b, deren Funktionswerte unterschiedliche Vorzeichen haben und die du leicht ablesen kannst.

Besonders einfach sind hier

mit

und

mit .

Offensichtlich liegt 0 im Intervall .

Daraus können wir folgern, dass ein c im Intervall liegt, für das gilt. Dieses c ist somit Nullstelle von . Wir wissen daher, dass eine Nullstelle von im Intervall liegt.

Kompliziertere Funktionen lassen sich oft nicht so einfach skizzieren. Hier hilft uns der Nullstellensatz, die Lage der Nullstellen zu bestimmen.

Aufgabe 4

Gegeben ist die Funktion

Bestimme mithilfe des Nullstellensatzes die Intervalle, in denen die Nullstellen von liegen.

Lösung

Bei der Funktion handelt es sich wieder um ein Polynom, also eine stetige Funktion. Damit ist die Voraussetzung erfüllt, um den Zwischenwertsatz anzuwenden.

Wenn du die Funktion schlecht zeichnen kannst, hilft es oft, eine Wertetabelle zu erstellen. Mit dem Taschenrechner geht das ja ziemlich schnell. Meistens startet man mit einem symmetrischen Intervall um die 0.

x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
4
-2
10
Man kann dann direkt an der Wertetabelle ablesen, in welchen Intervallen sich Nullstellen befinden. Nämlich ist das genau da der Fall, wo sich das Vorzeichen von aufeinanderfolgenden Funktionswerten ändert.
x
-5-4-3-2-1012345
4-210
Noch einmal ausführlich:Es gilt:

und

Daher gilt: Deswegen gibt es ein c im Intervall mit .Die entsprechenden Intervalle, in denen jeweils (mindestens*) eine Nullstelle liegt, sind dann, und . Zur Überprüfung der Nullstellenintervalle kann die Funktion geplottet werden.

*Hier kannst du das "mindestens" sogar weglassen. Da eine ganzrationale Funktion von Grad n höchstens n verschiedene Nullstellen haben kann, eine ganzrationale Funktion von Grad 3 ist und wir drei verschiedene Intervalle gefunden haben, in denen jeweils mindestens eine Nullstelle von liegt, liegt in jedem der Intervalle nur genau eine Nullstelle.

Zwischenwertsatz Funktion Nullstellen StudySmarter

Abbildung 8: Funktion g von Aufgabe 4

Aufgabe 5

Zeige, dass die Funktion eine Nullstelle hat.

Lösung

Die Funktion f ist eine stetige Funktion, weil die beiden Funktionen, aus denen sie zusammengesetzt ist, stetige Funktionen sind (Exponentialfunktion und Sinusfunktion).

Am einfachsten löst du diese Aufgabe wieder mit einer Wertetabelle:

x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x)
0,78
-0,09
-0,77
-0,47
1
3,56
8,3
20,23
53,84
Es gilt:

und

.

Damit liegt im Intervall (mindestens) eine Nullstelle von .Analog kann man so zeigen, dass die Funktion im Intervall eine Nullstelle hat.

Natürlich kannst du das Intervall, in dem die Nullstelle liegt, auch noch weiter verfeinern, um es genauer anzugeben. Dafür kannst du beispielsweise den Funktionswert von berechnen. Je nach Vorzeichen vonweißt du dann, dass die Nullstelle im Intervall (wenn ) oder im Intervall (wenn ) liegt.

Zwischenwertsatz komplizierte Funktin Nullstelle bestimmen Nullstellensatz StudySmarterAbbildung 9: Funktion f zu Aufgabe 5

"Mindestens" eine Nullstelle (?)

Vielleicht hast du dich schon gefragt, warum in der Definition des Nullstellensatzes und den Lösungen immer "die Funktion hat (mindestens) eine Nullstelle im Intervall " steht.

Das Wort mindestens gehört zu einer formal richtigen Definition und Lösung, weil in dem zunächst ermittelten Intervall auch mehrere Nullstellen sein können.

Betrachte dazu das Beispiel:

-2
-1
0
1
2
3
-1347
-497
-109
-3
1
83

Man könnte ausgehend von der Wertetabelle vermuten, dass sich im Intervall genau eine Nullstelle der Funktion befindet. Um dies zu überprüfen, unterteilen wir das Intervall noch einmal in kleinere Teilintervalle.

1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
-3
0,2
0,76
0,12
-0,28
1

Mit der zweiten Wertetabelle lässt sich anhand der drei Vorzeichenwechsel erkennen, dass in dem Intervall insgesamt (mindestens) drei Nullstellen der Funktion liegen.Der gezeichnete Funktionsgraph bestätigt diese Vermutung.

Zwischenwertsatz Funktion mit mehreren Nullstellen in kleinem Intervall StudySmarter

Abbildung 10: Funktion f mit drei Nullstellen im Intervall [1; 2]

Aufgabe 6

Begründe mit dem Zwischenwertsatz, dass jede ganzrationalen Funktion ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle hat.

Lösung

Für den Verlauf im Unendlichen gibt es für ganzrationale Funktionen ungeraden Grades zwei Möglichkeiten:

1. und

oder

2. und .

Betrachte den 1. Fall (der 2. Fall folgt analog):

Wegen gibt es ein, sodass ist.

Wegen gibt es ein, sodass ist.

Mit dem Zwischenwertsatz bzw. Nullstellensatz folgt, dass es ein c gibt, sodass gilt.

Der Beweis des Zwischenwertsatzes geht auf den Beweis des Nullstellensatzes zurück. Man verwendet dabei ein iteratives Verfahren, die sogenannte Intervallschachtelung. Die Kernidee ist, dass immer kleinere Intervalle gebildet werden, in denen sich die Nullstelle befindet. Für den formalen Beweis braucht man Elemente der Universitätsmathematik (Folgen und Konvergenz).

Zwischenwertsatz - Das Wichtigste

  • Beide Sätze gelten nur für stetige Funktionen.
  • Zwischenwertsatz: Im Intervall [a; b] werden alle Werte des Intervalls [f(a); f(b)] angenommen.
  • Der Nullstellensatz ist ein Spezialfall des Zwischenwertsatzes und hilft beim Finden von Nullstellen (durch Angabe von Intervallen, in denen die Nullstelle liegt).
  • Nullstellensatz: In Definitionsbereichen, wo positive und negative Funktionswerte auftreten, hat eine stetige Funktion auch mindestens eine Nullstelle.

Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz besagt, dass für stetige Funktionen f auf dem Intervall [a; b] alle Werte des Intervalls [f(a); f(b)] angenommen werden. Das heißt, dass für jeden Wert d, der zwischen f(a) und f(b) liegt, ein c zwischen a und b existiert, sodass f(c) = d gilt.

Wenn eine Funktion f stetig ist und zwei x-Werte a und b existieren, deren Funktionswerte f(a) und f(b) ein unterschiedliches Vorzeichen haben, dann garantiert der Zwischenwertsatz/ Nullstellensatz die Existenz einer Nullstelle der Funktion f im Intervall [a; b]. Auch wenn eine ganzrationale Funktion einen ungeraden Grad (und damit einen unterschiedlichen Verlauf im Unendlichen) hat, ist die Existenz einer Nullstelle durch den Zwischenwertsatz garantiert. Der Zwischenwertsatz gilt hier, weil ganzrationale Funktionen stetig sind.

Sie unterscheiden sich dadurch, dass der Nullstellensatz ein Spezialfall des Zwischenwertsatzes ist. Es werden beim Nullstellensatz bewusst Intervallgrenzen a, b gesucht, deren Funktionswerte ein unterschiedliches Vorzeichen haben, sodass 0 im Intervall [f(a); f(b)] bzw. [f(b); f(a)] liegt. Damit garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz einer Nullstelle, also eines Wertes c im Intervall [a; b] mit f(c) = d. Beim Nullstellensatz werden also nur die Intervallgrenzen bewusster ausgesucht als beim allgemeinen Zwischenwertsatz.

Die häufigste Anwendung des Zwischenwertsatzes ist das Auffinden von Nullstellenintervallen von komplizierteren Funktionen. Dabei verwendet man die Aussage des Nullstellensatzes. Wenn die Funktionswerte der Intervallgrenzen ein unterschiedliches Vorzeichen haben, liegt im Intervall mindestens eine Nullstelle. Das Intervall kann beliebig verfeinert werden. Weitere Anwendungen sind Existenzfragen von Nullstellen für verschiedene Funktionen.

Finales Zwischenwertsatz Quiz

Frage

Wodurch unterscheiden sich Zwischenwertsatz und Nullstellensatz voneinander?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Nullstellensatz ist ein Spezialfall des Zwischenwertsatzes. Beim Nullstellensatz wählt man a und b so, dass ihre Funktionswerte ein unterschiedliches Vorzeichen haben. So folgt aus dem Zwischenwertsatz die Existenz einer Nullstelle im Intervall .

Frage anzeigen

Frage

Bestimmte die Nullstellenintervalle der Funktion .

Antwort anzeigen

Antwort

Hier hilft das Erstellen einer Wertetabelle:

Zwischenwertsatz Wertetabelle StudySmarter

In den Intervallen, in denen sich das Vorzeichen der Funktionswerte ändert, muss sich mindestens eine Nullstelle der Funktion  befinden. Die Nullstellenintervalle sind daher ,  und .


Frage anzeigen

Frage

Gilt für die Funktion 

der Zwischenwertsatz?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, der Zwischenwertsatz gilt nur für stetige Funktionen. Die Funktion  hat an der Stelle  eine Sprungstelle und ist damit nicht stetig.


(Formaler Unstetigkeitsbeweis:   )



Frage anzeigen

Frage

Begründe mit dem Zwischenwertsatz, dass die Funktion  alle Werte im Intervall annimmt.

Antwort anzeigen

Antwort

  •  ist als trigonometrische Funktion stetig  Zwischenwertsatz anwendbar
  • Wähle dazu a und b passend, sodass  und
  • Wähle beispielsweise  und
  • Dann gilt  und
  • Mit dem Zwischenwertsatz folgt, dass jeder Wert im Intervall  von der Funktion angenommen wird
    (insbesondere im Intervall )
Frage anzeigen

Frage

Betrachte die Wertetabelle der Funktion .

Wo liegen die Nullstellen von ?

Antwort anzeigen

Antwort

Mindestens eine Nullstelle befindet sich im Intervall .




Eine Skizze der Funktion zeigt, dass die Funktion  noch zwei weitere Nullstellen im Intervall  hat, die bisher unentdeckt blieben. Diese lassen sich in der Wertetabelle nur durch eine Verfeinerung der Intervalle erkennen.


Frage anzeigen

Frage

Formuliere den Zwischenwertsatz!

Antwort anzeigen

Antwort

Für eine stetige Funktion  und  gilt:

Für alle Werte  gibt es (mindestens) ein  mit .

Frage anzeigen

Frage

Formuliere den Nullstellensatz!

Antwort anzeigen

Antwort

Für eine stetige Funktion  und  gilt:

Wenn  und  oder  und , dann gibt es ein  mit . Im Intervall  findet sich somit eine Nullstelle von .

Frage anzeigen

Frage

Für welche Funktionen gilt der Zwischenwertsatz?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Erkläre die Aussage des Zwischenwertsatzes anhand der Abbildung aus dem Artikel allgemein und für das Beispiel .

Antwort anzeigen

Antwort

  • allgemein: Für jeden Wert gibt es ein
    entsprechendes  mit
  • In der Abbildung: An jeder Stelle im Intervall  (grün) kannst du nach links gehen, bis du auf den Graphen von  triffst
  • Wenn du vom Schnittpunkt aus nach unten läufst, kannst du an der x-Achse den entsprechenden Wert c im Intervall  ablesen
  • Gehe für das Beispiel  also auf Höhe  nach links, bis du auf  triffst und dann nach unten. Auf der x-Achse kannst du  ablesen
  • Es gilt , also 
Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die Bedeutung einer Wertetabelle zum Auffinden von Nullstellen einer Funktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Anhand einer Wertetabelle lassen sich über die Vorzeichen der Funktionswerte Aussagen über die Lage von Nullstellen treffen. Haben zwei aufeinanderfolgende Funktionswerte  und  verschiedene Vorzeichen, dann befindet sich im Intervall  mindestens eine Nullstelle der Funktion . In einer Wertetabelle können die Vorzeichen der Funktionswerte abgelesen werden.



Die Funktion  hat in den Intervallen  und  jeweils mindestens eine Nullstelle.
Frage anzeigen

Frage

Ermittle die Lage der vier Nullstellen der Funktion .

Antwort anzeigen

Antwort

Erstelle dazu eine Wertetabelle:


Folglich sind die Nullstellenintervalle ,  ,  und .


Eine Skizze bestätigt diese Lösung.


Frage anzeigen

Frage

Warum ist die Stetigkeit einer Funktion eine Voraussetzung für die Gültigkeit des Zwischenwertsatzes?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Existenz von Sprungstellen gefährdet die Aussage des Zwischenwertsatzes. Wo die Funktion "springt", müssen nicht zweifelsfrei alle Werte im Intervall der Funktionswerte angenommen werden, sondern können auch "übersprungen" werden.

Das Beispiel der nicht stetigen Funktion, für die der Zwischenwertsatz nicht gilt, ist schon im Artikel aufgeführt worden.


Frage anzeigen

Frage

Folgere mit dem Zwischenwertsatz, dass jede Funktion der Form  mit  mindestens eine Nullstelle hat.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Die Funktion  ist als Polynom stetig  Zwischenwertsatz anwendbar
  • für gilt:  und
  • für  gilt:  und
  • In beiden Fällen folgt, dass zwei Werte existieren mit  und
  • Also gibt es mit dem Zwischenwertsatz auch ein  mit 
Frage anzeigen

Frage

Tommi und Lotta untersuchen eine stetige Funktion  auf Nullstellen.

Lotta schreibt: "Aus  und  folgt, dass im Intervall
mindestens eine Nullstelle von liegt".
Tommi schreibt: "Wegen  und  liegt im Intervall
genau eine Nullstelle".
Wer von beiden hat Recht und warum?

Antwort anzeigen

Antwort

Lottas Antwort ist genauer als die von Tommi. Im Intervall können auch mehrere Nullstellen liegen. 


Betrachte als Beispiel die Funktion mit drei
Nullstellen im Intervall  (siehe Zusammenfassung).

Frage anzeigen

Frage

Ein Speichersee füllt sich im Frühjahr mehr und mehr mit Schmelzwasser.
Der Wasserstand (in m) kann mit der Funktion beschrieben
werden, wobei x den x-ten Tag nach dem 1. März beschreibt ().
Der Höchststand des Speichersees ist damit Ende Juni mit 6,8m erreicht.

Wie kann mathematisch begründet werden, dass jeder Wasserstand
mindestens einmal angenommen wird?  

Antwort anzeigen

Antwort

  • Dies ist eine Anwendung des Zwischenwertsatzes
  • ist als Polynom eine stetige Funktion
  • Aus  mit  und  mit  folgt, dass jeder Wert im Intervall  von der Funktion  auch wirklich angenommen wird
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