Der Zwischenwertsatz ist ein häufig verwendetes Werkzeug, um die Lage von Nullstellen einer Funktion zu charakterisieren. Er erleichtert dir die Suche nach Nullstellen.
Für die explizite Bestimmung von Nullstellen gibt es zahlreiche Verfahren. Sie sind im Artikel Nullstellen berechnen beschrieben. Doch in der Mathematik gibt es auch Funktionen, für die die gängigen Verfahren keine Nullstellen liefern. Ein Beispiel wäre hierfür die Funktion , bei der du nicht direkt eine oder mehrere Nullstellen ablesen kannst. Hier hilft dann oft der Zwischenwertsatz weiter.
Vielleicht hast du auch schon einmal etwas vom Nullstellensatz gehört. Der Nullstellensatz ist ein Spezialfall des Zwischenwertsatzes. Was genau der Unterschied ist und was sich hinter den jeweiligen Sätzen verbirgt, erklären wir dir in diesem Artikel.
Zwischenwertsatz: Grundlagenwissen
Um den Zwischenwertsatz anwenden zu können, muss eine stetige Funktion f(x) vorliegen. Wir wollen hier allerdings kurz dein Wissen über stetige Funktionen auffrischen.
Eine ausführliche Beschreibung der Stetigkeit könnt ihr gerne im entsprechenden Artikel lesen.
Eine in einem Intervall definierte Funktion heißt stetig an der Stelle , wenn der beidseitige Grenzwert von für existiert und mit übereinstimmt.
Eine Funktion f(x) heißt stetig, wenn sie in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist.
Beispiele für im gesamten Definitionsbereich stetige Funktionen sind ganzrationale Funktionen (Polynome), einfache trigonometrische Funktionen (Sinus und Kosinus) und die Exponentialfunktionen. Die meisten der Funktionen, die du kennst und die im Matheunterricht vorkommen, sind stetige Funktionen.
Beispiele für nicht stetige Funktionen sind zusammengesetzte Funktionen mit "Sprungstellen".
In der Grafik siehst du zum Beispiel den Funktionsgraphen der folgenden Funktion f(x):
Abbildung 1: Abschnittsweise definierte, nicht stetige Funktion f mit Sprungstelle x = 1
Wenn du also überprüfen sollst, ob eine Funktion f(x) an einer Stelle stetig ist, musst du dir den Funktionswert an der Stelle und den rechts- und linksseitigen Grenzwert anschauen. Wenn alle drei Werte übereinstimmen, ist die Funktion f(x) an der Stelle stetig.
Mehr Tipps und Tricks, um Funktionen auf Stetigkeit zu untersuchen, erfährst du im Artikel Stetigkeit.
Aufgabe 1
Zeige, dass die Funktion an der Stelle nicht stetig ist.
Lösung
Dabei handelt es sich um die oben gezeichnete Funktion f(x).
Es gilt wegen der Funktionsvorschrift:
Für die
Grenzwerte gilt
und
an der Stelle
nicht stetig, weil der rechts- und linksseitige Grenzwert verschieden sind.
Zwischenwertsatz Erklärung
Nun kommen wir zum Zwischenwertsatz.
Zwischenwertsatz Definition
Für eine in einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion gilt:
Für jedes existiert (mindestens) ein mit .
Das heißt, dass jeder Wert d, der zwischen und liegt, im Intervall auch wirklich angenommen wird. Es gibt also eine entsprechende Stelle c zwischen a und b, für die gilt.
Das Intervall wird nur in dieser Form geschrieben, wenn .
Gilt , dann wird das Intervall der Funktionswerte stattdessen in der Form angegeben, weil es in der Intervallschreibweise ja üblich ist, den kleineren vor den größeren Wert zu schreiben.
Für und gilt dann .
Wir wollen das Ganze mit einer Grafik veranschaulichen. Das Intervall der Funktionswerte ist rechts in grün dargestellt, das der x-Werte unten in orange.
Abbildung 2: Graphische Veranschaulichung des Zwischenwertsatzes
allgemein | in der Grafik |
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Nun gilt mit dem Zwischenwertsatz:
- für jeden Wert d im Intervall
- gibt es im Intervall (mindestens) einen Wert c
- für den gilt.
Dies wird nun am Beispiel in der Skizze veranschaulicht. Den entsprechenden Wert c erhältst du, indem du vom Wert im Intervall (grün, rechts) auf Höhe von nach links läufst, bis du auf den Graphen triffst. Anschließend läufst du nach unten und liest auf der x-Achse den entsprechenden Wert c ab .
Abbildung 3: Graphische Veranschaulichung des Zwischenwertsatzes am Beispiel d = 3
Die Aussage des Zwischenwertsatzes bedeutet anschaulich in der Grafik:Egal an welcher Stelle im Intervall du nach links läufst, wirst du immer auf den Funktionsgraphen stoßen. Der x-Wert des Schnittpunktes, den du erhältst, wenn du vom Schnittpunkt nach unten zur x-Achse läufst, wird immer im Intervall liegen.
Zwischenwertsatz Anwendung
Meistens wird in der Schule mit dem Nullstellensatz gearbeitet, den wir weiter unten erklären. Doch auch für den Zwischenwertsatz gibt es einige wichtige Anwendungen und Beispiele. Eine mögliche Aufgabenstellung zeigen wir dir im nächsten Beispiel.
Begründe mit dem Zwischenwertsatz, dass die allgemeine Sinusfunktion alle Werte zwischen -1 und 1 annimmt.
Lösung
Abbildung 4: Sinusfunktion
Die allgemeine Sinusfunktion ist als trigonometrische Funktion eine stetige Funktion, sodass wir den Zwischenwertsatz anwenden können.
Um den Zwischenwertsatz auf eine Funktion anwenden zu können, muss diese wie in der Definition gefordert stetig sein. Das musst du immer, wenn du Aufgaben dieser Form bearbeitest, explizit dazuschreiben.
Wähle a und b so, dass und die beiden Intervallgrenzen -1 und 1 bilden.
So erhältst du .
Wähle zum Beispiel:
,
Dann gilt
und
.
Mit dem Zwischenwertsatz folgt, dass alle Werte im Intervall von der Funktion angenommen werden. Insbesondere werden sie im Definitionsintervall angenommen.
Die Umkehrung des Zwischenwertsatzes gilt übrigens nicht. Um das zu zeigen, musst du eine Funktion finden, die in einem bestimmten Intervall alle Werte von durchläuft, aber nicht stetig ist. Solche Funktionen gibt es, sie sind allerdings eher kompliziert und werden in diesem Artikel daher nicht explizit angegeben.
Stetigkeitsbedingung – Aufgabe
Vielleicht fragst du dich, warum die Aussage des Zwischenwertsatzes nur für stetige Funktionen gilt. Was könnte denn am Zwischenwertsatz schief gehen, wenn eine Funktion nicht stetig ist?
Dazu nochmal zurück zum Ausgangsbeispiel der nicht stetigen Funktion .
Betrachte nun beispielsweise und , also das Intervall .
Es gilt
und .
Daher ist .
Mit dem Zwischenwertsatz würde nun folgen, dass es für jeden Wert d im Intervall einen entsprechenden Wert c im Intervall gibt, dass ist.
Betrachte den Fall . Gäbe es einen entsprechenden Wert c im Intervall , dann müsste die Gerade den Funktionsgraphen in diesem Bereich schneiden (weil ja gilt). Durch die Sprungstelle wird der y-Wert zwei allerdings übersprungen. Somit gibt es keinen solchen Wert c und der Zwischenwertsatz gilt nicht.
Abbildung 5: Nicht stetige Funktion f, für die der Zwischenwertsatz nicht gilt
Für die Vorstellung hilft uns hier wieder die Idee der "Bleistiftstetigkeit". Wenn man eine Funktion zeichnen kann, ohne den Bleistift abzusetzen, dann können solche Sprungstellen nicht entstehen und die Zwischenwerteigenschaft bleibt erhalten.
Nullstellensatz Erklärung
Die häufigste Verwendung des Zwischenwertsatzes ist in der Form des Nullstellensatzes. Wir stellen dir den Zusammenhang der beiden Sätze dar und zeigen dir dann anhand einiger Aufgabenbeispiele, warum der Nullstellensatz super nützlich ist.
Nullstellensatz Definition
Der Nullstellensatz ist wie oben schon erwähnt ein Spezialfall vom Zwischenwertsatz. Er hat eine Bedeutung für die Nullstellen einer Funktion. Wir nutzen also die Aussage des Zwischenwertsatzes, um etwas über die Nullstellen einer Funktion auszusagen. Wie machen wir das?
Ganz einfach: Wir brauchen einfach zwei x-Werte a und b, deren Funktionswerte und ein unterschiedliches Vorzeichen haben. Sagen wir mal, ist negativ und ist positiv.
Wegen und liegt dann null im Intervall . Also gibt es laut dem Zwischenwertsatz einen Wert c im Intervall , sodass gilt. Damit ist c eine Nullstelle der Funktion .
Abbildung 6: Graphische Veranschaulichung des Nullstellensatzes
Ist eine stetige Funktion und gilt für zwei Werte a und b (mit ), dass und oder und , dann hat die Funktion im Bereich (mindestens) eine Nullstelle.
Der Nullstellensatz wird oft auch Nullstellensatz von Bolzano genannt. Bernard Bolzano, der diesen Satz zu Beginn des 19. Jahrhunderts bewiesen hat, ist ein bekannter Mathematiker und Philosoph, der viel Forschung in der Analysis betrieben hat und auf den viele wichtige Sätze zurückgehen. Beispielsweise stammt auch der mathematische Begriff der Menge von ihm. Wie bei vielen anderen Genies wurde auch bei Bolzano die Bedeutsamkeit seiner Arbeit erst nach seinem Tod erkannt.
Auch die Umkehrung des Nullstellensatzes gilt nicht. Sie würde aussagen, dass wenn eine Funktion in einem Intervall eine Nullstelle hat, dass es dann im Intervall Werte r, s gibt, sodass dann und oder und gilt.
Ein einfaches Gegenbeispiel ist die Normalparabel . Sie hat im Punkt (0/0) eine Nullstelle, aber es gibt kein mit .
Nullstellensatz Anwendung
In den folgenden Abschnitten zeigen wir dir an mehreren Beispielen, in welchen Aufgaben du den Nullstellensatz brauchst.
Zunächst starten wir mit einem einfachen Beispiel:
Aufgabe 3
Zeige mit dem Nullstellensatz, dass die Funktion mindestens eine Nullstelle hat. Gib außerdem ein Intervall an, in dem die Nullstelle liegt.
Lösung
Die Funktion ist stetig, weil sie ein Polynom ist. Daher können wir den Zwischenwertsatz anwenden.
Wie immer hilft es, die Funktion zunächst zu skizzieren. Die Funktion ist hier eine Normalparabel, die um zwei Einheiten entlang der y-Achse nach unten verschoben ist.
Abbildung 7: Funktion f zu Aufgabe 3
Anhand der Skizze suchst du dir nun zwei x-Werte a und b, deren Funktionswerte unterschiedliche Vorzeichen haben und die du leicht ablesen kannst.
Besonders einfach sind hier
mit
und
mit .
Offensichtlich liegt 0 im Intervall .
Daraus können wir folgern, dass ein c im Intervall liegt, für das gilt. Dieses c ist somit Nullstelle von . Wir wissen daher, dass eine Nullstelle von im Intervall liegt.
Kompliziertere Funktionen lassen sich oft nicht so einfach skizzieren. Hier hilft uns der Nullstellensatz, die Lage der Nullstellen zu bestimmen.
Aufgabe 4
Gegeben ist die Funktion
Bestimme mithilfe des Nullstellensatzes die Intervalle, in denen die Nullstellen von liegen.
Lösung
Bei der Funktion handelt es sich wieder um ein Polynom, also eine stetige Funktion. Damit ist die Voraussetzung erfüllt, um den Zwischenwertsatz anzuwenden.
Wenn du die Funktion schlecht zeichnen kannst, hilft es oft, eine Wertetabelle zu erstellen. Mit dem Taschenrechner geht das ja ziemlich schnell. Meistens startet man mit einem symmetrischen Intervall um die 0.
x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| | | 4 | | | -2 | | | 10 | | |
Man kann dann direkt an der
Wertetabelle ablesen, in welchen Intervallen sich Nullstellen befinden. Nämlich ist das genau da der Fall, wo sich das
Vorzeichen von aufeinanderfolgenden Funktionswerten
ändert.
x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| | | 4 | | | -2 | | | 10 | | |
Noch einmal ausführlich:Es gilt:
und
Daher gilt:
Deswegen gibt es ein c im Intervall
mit
.Die entsprechenden Intervalle, in denen jeweils (mindestens*) eine Nullstelle liegt, sind dann
,
und
. Zur Überprüfung der Nullstellenintervalle kann die Funktion geplottet werden.
*Hier kannst du das "mindestens" sogar weglassen. Da eine ganzrationale Funktion von Grad n höchstens n verschiedene Nullstellen haben kann, eine ganzrationale Funktion von Grad 3 ist und wir drei verschiedene Intervalle gefunden haben, in denen jeweils mindestens eine Nullstelle von liegt, liegt in jedem der Intervalle nur genau eine Nullstelle.
Abbildung 8: Funktion g von Aufgabe 4
Aufgabe 5
Zeige, dass die Funktion eine Nullstelle hat.
Lösung
Die Funktion f ist eine stetige Funktion, weil die beiden Funktionen, aus denen sie zusammengesetzt ist, stetige Funktionen sind (Exponentialfunktion und Sinusfunktion).
Am einfachsten löst du diese Aufgabe wieder mit einer Wertetabelle:
x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 0,78 | -0,09 | -0,77 | -0,47 | 1 | 3,56 | 8,3 | 20,23 | 53,84 |
Es gilt:
und
.
Damit liegt im Intervall
(mindestens) eine Nullstelle von
.Analog kann man so zeigen, dass die Funktion
im Intervall
eine Nullstelle hat.
Natürlich kannst du das Intervall, in dem die Nullstelle liegt, auch noch weiter verfeinern, um es genauer anzugeben. Dafür kannst du beispielsweise den Funktionswert von berechnen. Je nach Vorzeichen vonweißt du dann, dass die Nullstelle im Intervall (wenn ) oder im Intervall (wenn ) liegt.
Abbildung 9: Funktion f zu Aufgabe 5
"Mindestens" eine Nullstelle (?)
Vielleicht hast du dich schon gefragt, warum in der Definition des Nullstellensatzes und den Lösungen immer "die Funktion hat (mindestens) eine Nullstelle im Intervall " steht.
Das Wort mindestens gehört zu einer formal richtigen Definition und Lösung, weil in dem zunächst ermittelten Intervall auch mehrere Nullstellen sein können.
Betrachte dazu das Beispiel:
| -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| -1347 | -497 | -109 | -3 | 1 | 83 |
Man könnte ausgehend von der Wertetabelle vermuten, dass sich im Intervall genau eine Nullstelle der Funktion befindet. Um dies zu überprüfen, unterteilen wir das Intervall noch einmal in kleinere Teilintervalle.
| 1 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2 |
| -3 | 0,2 | 0,76 | 0,12 | -0,28 | 1 |
Mit der zweiten Wertetabelle lässt sich anhand der drei Vorzeichenwechsel erkennen, dass in dem Intervall insgesamt (mindestens) drei Nullstellen der Funktion liegen.Der gezeichnete Funktionsgraph bestätigt diese Vermutung.
Abbildung 10: Funktion f mit drei Nullstellen im Intervall [1; 2]
Aufgabe 6
Begründe mit dem Zwischenwertsatz, dass jede ganzrationalen Funktion ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle hat.
Lösung
Für den Verlauf im Unendlichen gibt es für ganzrationale Funktionen ungeraden Grades zwei Möglichkeiten:
1. und
oder
2. und .
Betrachte den 1. Fall (der 2. Fall folgt analog):
Wegen gibt es ein, sodass ist.
Wegen gibt es ein, sodass ist.
Mit dem Zwischenwertsatz bzw. Nullstellensatz folgt, dass es ein c gibt, sodass gilt.
Der Beweis des Zwischenwertsatzes geht auf den Beweis des Nullstellensatzes zurück. Man verwendet dabei ein iteratives Verfahren, die sogenannte Intervallschachtelung. Die Kernidee ist, dass immer kleinere Intervalle gebildet werden, in denen sich die Nullstelle befindet. Für den formalen Beweis braucht man Elemente der Universitätsmathematik (Folgen und Konvergenz).
Zwischenwertsatz - Das Wichtigste
- Beide Sätze gelten nur für stetige Funktionen.
- Zwischenwertsatz: Im Intervall [a; b] werden alle Werte des Intervalls [f(a); f(b)] angenommen.
- Der Nullstellensatz ist ein Spezialfall des Zwischenwertsatzes und hilft beim Finden von Nullstellen (durch Angabe von Intervallen, in denen die Nullstelle liegt).
- Nullstellensatz: In Definitionsbereichen, wo positive und negative Funktionswerte auftreten, hat eine stetige Funktion auch mindestens eine Nullstelle.
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