Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz ist ein häufig verwendetes Werkzeug, um die Lage von Nullstellen einer Funktion zu charakterisieren. Er erleichtert dir die Suche nach Nullstellen.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Für die explizite Bestimmung von Nullstellen gibt es zahlreiche Verfahren. Sie sind im Artikel Nullstellen berechnen beschrieben. Doch in der Mathematik gibt es auch Funktionen, für die die gängigen Verfahren keine Nullstellen liefern. Ein Beispiel wäre hierfür die Funktion fx=13x3+x2-2x-2, bei der du nicht direkt eine oder mehrere Nullstellen ablesen kannst. Hier hilft dann oft der Zwischenwertsatz weiter.

    Vielleicht hast du auch schon einmal etwas vom Nullstellensatz gehört. Der Nullstellensatz ist ein Spezialfall des Zwischenwertsatzes. Was genau der Unterschied ist und was sich hinter den jeweiligen Sätzen verbirgt, erklären wir dir in diesem Artikel.

    Zwischenwertsatz: Grundlagenwissen

    Um den Zwischenwertsatz anwenden zu können, muss eine stetige Funktion f(x) vorliegen. Wir wollen hier allerdings kurz dein Wissen über stetige Funktionen auffrischen.

    Eine ausführliche Beschreibung der Stetigkeit könnt ihr gerne im entsprechenden Artikel lesen.

    Eine in einem Intervall a; b definierte Funktion f heißt stetig an der Stelle x0 [a; b], wenn der beidseitige Grenzwert von fx fürxx0 existiert und mit f(x0) übereinstimmt.

    limxx00-fx =limxx00+fx = fx0

    Eine Funktion f(x) heißt stetig, wenn sie in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist.

    Beispiele für im gesamten Definitionsbereich stetige Funktionen sind ganzrationale Funktionen (Polynome), einfache trigonometrische Funktionen (Sinus und Kosinus) und die Exponentialfunktionen. Die meisten der Funktionen, die du kennst und die im Matheunterricht vorkommen, sind stetige Funktionen.

    Beispiele für nicht stetige Funktionen sind zusammengesetzte Funktionen mit "Sprungstellen".

    In der Grafik siehst du zum Beispiel den Funktionsgraphen der folgenden Funktion f(x):

    f(x)=1für x<1x+2für x1

    Zwischenwertsatz Nicht-stetige abschnittsweise definierte Funktion StudySmarter

    Abbildung 1: Abschnittsweise definierte, nicht stetige Funktion f mit Sprungstelle x = 1

    Wenn du also überprüfen sollst, ob eine Funktion f(x) an einer Stelle x0stetig ist, musst du dir den Funktionswert an der Stelle x0 und den rechts- und linksseitigen Grenzwert anschauen. Wenn alle drei Werte übereinstimmen, ist die Funktion f(x) an der Stelle x0 stetig.

    Mehr Tipps und Tricks, um Funktionen auf Stetigkeit zu untersuchen, erfährst du im Artikel Stetigkeit.

    Aufgabe 1

    Zeige, dass die Funktion f(x)=1für x<1x+2für x1 an der Stellex0 = 1 nicht stetig ist.

    Lösung

    Dabei handelt es sich um die oben gezeichnete Funktion f(x).

    Es gilt wegen der Funktionsvorschrift:

    f1=3

    Für die Grenzwerte gilt

    limx10-fx=1

    und

    limx10+fx=3

    fx an der Stelle x0=1nicht stetig, weil der rechts- und linksseitige Grenzwert verschieden sind.

    Zwischenwertsatz Erklärung

    Nun kommen wir zum Zwischenwertsatz.

    Zwischenwertsatz Definition

    Für eine in einem abgeschlossenen Intervall a; b stetige Funktion f gilt:

    Für jedes d fa; fb existiert (mindestens) ein c a; b mit fc=d.

    Das heißt, dass jeder Wert d, der zwischen fa und fb liegt, im Intervall a; b auch wirklich angenommen wird. Es gibt also eine entsprechende Stelle c zwischen a und b, für die fc=d gilt.

    Das Intervall fa; fb wird nur in dieser Form geschrieben, wenn fa<fb.

    Gilt fa>fb, dann wird das Intervall der Funktionswerte stattdessen in der Form fb; fa angegeben, weil es in der Intervallschreibweise ja üblich ist, den kleineren vor den größeren Wert zu schreiben.

    Für fa=2 und fb=1 gilt dann fa; fb=fb; fa=1; 2.

    Wir wollen das Ganze mit einer Grafik veranschaulichen. Das Intervall fa; fb der Funktionswerte ist rechts in grün dargestellt, das der x-Werte unten in orange.

    Zwischenwertsatz Graphische Veranschaulichung Zwischenwertsatz StudySmarterAbbildung 2: Graphische Veranschaulichung des Zwischenwertsatzes

    allgemeinin der Grafik
    a; b1; 5,7
    fa 1
    fb6,4
    fa; fb1; 6,4

    Nun gilt mit dem Zwischenwertsatz:

    - für jeden Wert d im Intervall fa; fb = 1; 6,4

    - gibt es im Intervall 1; 5,7 (mindestens) einen Wert c

    - für den fc=d gilt.

    Dies wird nun am Beispiel d=3 in der Skizze veranschaulicht. Den entsprechenden Wert c erhältst du, indem du vom Wert d=3 im Intervall fa; fb (grün, rechts) auf Höhe von y=3 nach links läufst, bis du auf den Graphen triffst. Anschließend läufst du nach unten und liest auf der x-Achse den entsprechenden Wert c ab (c=4,91).

    Zwischenwertsatz Graphische Veranschaulichung Zwischenwertsatz StudySmarterAbbildung 3: Graphische Veranschaulichung des Zwischenwertsatzes am Beispiel d = 3

    Die Aussage des Zwischenwertsatzes bedeutet anschaulich in der Grafik:Egal an welcher Stelle im Intervall fa; fb du nach links läufst, wirst du immer auf den Funktionsgraphen stoßen. Der x-Wert des Schnittpunktes, den du erhältst, wenn du vom Schnittpunkt nach unten zur x-Achse läufst, wird immer im Intervall a; b liegen.

    Zwischenwertsatz Anwendung

    Meistens wird in der Schule mit dem Nullstellensatz gearbeitet, den wir weiter unten erklären. Doch auch für den Zwischenwertsatz gibt es einige wichtige Anwendungen und Beispiele. Eine mögliche Aufgabenstellung zeigen wir dir im nächsten Beispiel.

    Begründe mit dem Zwischenwertsatz, dass die allgemeine Sinusfunktion alle Werte zwischen -1 und 1 annimmt.

    Lösung

    Zwischenwertsatz Sinusfunktion StudySmarterAbbildung 4: Sinusfunktion

    Die allgemeine Sinusfunktion ist als trigonometrische Funktion eine stetige Funktion, sodass wir den Zwischenwertsatz anwenden können.

    Um den Zwischenwertsatz auf eine Funktion anwenden zu können, muss diese wie in der Definition gefordert stetig sein. Das musst du immer, wenn du Aufgaben dieser Form bearbeitest, explizit dazuschreiben.

    Wähle a und b so, dass fa und fb die beiden Intervallgrenzen -1 und 1 bilden.

    So erhältst du fa; fb=-1; 1.

    Wähle zum Beispiel:

    a=π2, b=3π2

    Dann gilt

    fa=sinπ2=1

    und

    fb=sin3π2=-1.

    Mit dem Zwischenwertsatz folgt, dass alle Werte im Intervall -1; 1 von der Funktion fx=sinx angenommen werden. Insbesondere werden sie im Definitionsintervall π2; 3π2 angenommen.

    Die Umkehrung des Zwischenwertsatzes gilt übrigens nicht. Um das zu zeigen, musst du eine Funktion finden, die in einem bestimmten Intervall a; b alle Werte von fa; fb durchläuft, aber nicht stetig ist. Solche Funktionen gibt es, sie sind allerdings eher kompliziert und werden in diesem Artikel daher nicht explizit angegeben.

    Stetigkeitsbedingung – Aufgabe

    Vielleicht fragst du dich, warum die Aussage des Zwischenwertsatzes nur für stetige Funktionen gilt. Was könnte denn am Zwischenwertsatz schief gehen, wenn eine Funktion nicht stetig ist?

    Dazu nochmal zurück zum Ausgangsbeispiel der nicht stetigen Funktion f(x)=1für x 1x+2für x >1.

    Betrachte nun beispielsweise a=0 und b=2, also das Intervall a; b=0; 2.

    Es gilt

    fa=f0=1 und fb=f2=4.

    Daher ist fa; fb=1; 4.

    Mit dem Zwischenwertsatz würde nun folgen, dass es für jeden Wert d im Intervall 1; 4 einen entsprechenden Wert c im Intervall 0; 2 gibt, dass fc=d ist.

    Betrachte den Fall d=2. Gäbe es einen entsprechenden Wert c im Intervall 0; 2, dann müsste die Gerade y=2 den Funktionsgraphen in diesem Bereich schneiden (weil ja fc=2 gilt). Durch die Sprungstelle wird der y-Wert zwei allerdings übersprungen. Somit gibt es keinen solchen Wert c und der Zwischenwertsatz gilt nicht.

    Zwischenwertsatz Nicht-stetige Funktion Zwischenwertsatz StudySmarterAbbildung 5: Nicht stetige Funktion f, für die der Zwischenwertsatz nicht gilt

    Für die Vorstellung hilft uns hier wieder die Idee der "Bleistiftstetigkeit". Wenn man eine Funktion zeichnen kann, ohne den Bleistift abzusetzen, dann können solche Sprungstellen nicht entstehen und die Zwischenwerteigenschaft bleibt erhalten.

    Nullstellensatz Erklärung

    Die häufigste Verwendung des Zwischenwertsatzes ist in der Form des Nullstellensatzes. Wir stellen dir den Zusammenhang der beiden Sätze dar und zeigen dir dann anhand einiger Aufgabenbeispiele, warum der Nullstellensatz super nützlich ist.

    Nullstellensatz Definition

    Der Nullstellensatz ist wie oben schon erwähnt ein Spezialfall vom Zwischenwertsatz. Er hat eine Bedeutung für die Nullstellen einer Funktion. Wir nutzen also die Aussage des Zwischenwertsatzes, um etwas über die Nullstellen einer Funktion auszusagen. Wie machen wir das?

    Ganz einfach: Wir brauchen einfach zwei x-Werte a und b, deren Funktionswerte fa und fb ein unterschiedliches Vorzeichen haben. Sagen wir mal, fa ist negativ und fb ist positiv.

    Wegen fa<0 und fb>0 liegt dann null im Intervall fa; fb. Also gibt es laut dem Zwischenwertsatz einen Wert c im Intervall a; b, sodass fc=0 gilt. Damit ist c eine Nullstelle der Funktion f.

    Zwischenwertsatz Graphische Veranschaulichung Nullstellensatz StudySmarterAbbildung 6: Graphische Veranschaulichung des Nullstellensatzes

    Ist f eine stetige Funktion und gilt für zwei Werte a und b (mit a<b, a,b), dass fa>0 und fb<0 oder fa<0 und fb>0, dann hat die Funktion fim Bereich a; b (mindestens) eine Nullstelle.

    Der Nullstellensatz wird oft auch Nullstellensatz von Bolzano genannt. Bernard Bolzano, der diesen Satz zu Beginn des 19. Jahrhunderts bewiesen hat, ist ein bekannter Mathematiker und Philosoph, der viel Forschung in der Analysis betrieben hat und auf den viele wichtige Sätze zurückgehen. Beispielsweise stammt auch der mathematische Begriff der Menge von ihm. Wie bei vielen anderen Genies wurde auch bei Bolzano die Bedeutsamkeit seiner Arbeit erst nach seinem Tod erkannt.

    Auch die Umkehrung des Nullstellensatzes gilt nicht. Sie würde aussagen, dass wenn eine Funktion f in einem Intervall a; b eine Nullstelle hat, dass es dann im Intervall a; b Werte r, s gibt, sodass dann fr<0 und fs>0 oder fr>0 und fs<0 gilt.

    Ein einfaches Gegenbeispiel ist die Normalparabel fx=x2. Sie hat im Punkt (0/0) eine Nullstelle, aber es gibt kein a mit fa<0.

    Nullstellensatz Anwendung

    In den folgenden Abschnitten zeigen wir dir an mehreren Beispielen, in welchen Aufgaben du den Nullstellensatz brauchst.

    Zunächst starten wir mit einem einfachen Beispiel:

    Aufgabe 3

    Zeige mit dem Nullstellensatz, dass die Funktion f(x)=x2-2 mindestens eine Nullstelle hat. Gib außerdem ein Intervall an, in dem die Nullstelle liegt.

    Lösung

    Die Funktion f ist stetig, weil sie ein Polynom ist. Daher können wir den Zwischenwertsatz anwenden.

    Wie immer hilft es, die Funktion zunächst zu skizzieren. Die Funktion f ist hier eine Normalparabel, die um zwei Einheiten entlang der y-Achse nach unten verschoben ist.

    Zwischenwertsatz Nullstellensatz Nullstelle Parabel bestimmen StudySmarterAbbildung 7: Funktion f zu Aufgabe 3

    Anhand der Skizze suchst du dir nun zwei x-Werte a und b, deren Funktionswerte unterschiedliche Vorzeichen haben und die du leicht ablesen kannst.

    Besonders einfach sind hier

    a=0 mit fa=f0=-2<0

    und

    b=2 mit fb=f2=2>0.

    Offensichtlich liegt 0 im Intervall fa; fb=-2; 2.

    Daraus können wir folgern, dass ein c im Intervall a; b=0; 2 liegt, für das fc=0 gilt. Dieses c ist somit Nullstelle von f. Wir wissen daher, dass eine Nullstelle von f im Intervall 0; 2 liegt.

    Kompliziertere Funktionen lassen sich oft nicht so einfach skizzieren. Hier hilft uns der Nullstellensatz, die Lage der Nullstellen zu bestimmen.

    Aufgabe 4

    Gegeben ist die Funktion

    g(x)=13x3+x2-2x-2

    Bestimme mithilfe des Nullstellensatzes die Intervalle, in denen die Nullstellen von gx liegen.

    Lösung

    Bei der Funktion gx handelt es sich wieder um ein Polynom, also eine stetige Funktion. Damit ist die Voraussetzung erfüllt, um den Zwischenwertsatz anzuwenden.

    Wenn du die Funktion schlecht zeichnen kannst, hilft es oft, eine Wertetabelle zu erstellen. Mit dem Taschenrechner geht das ja ziemlich schnell. Meistens startet man mit einem symmetrischen Intervall um die 0.

    x-5-4-3-2-1012345
    gx-26323410323-2-8323108231643
    Man kann dann direkt an der Wertetabelle ablesen, in welchen Intervallen sich Nullstellen befinden. Nämlich ist das genau da der Fall, wo sich das Vorzeichen von aufeinanderfolgenden Funktionswerten ändert.
    x-5-4-3-2-1012345
    gx-26323410323-2-8323108231643
    Noch einmal ausführlich:Es gilt:

    g-5=-263<0 undg(-4)=23>0

    Daher gilt: 0-263; 23Deswegen gibt es ein c im Intervall -5; -4 mit fc=0.Die entsprechenden Intervalle, in denen jeweils (mindestens*) eine Nullstelle liegt, sind dann-5; -4, -1; 0 und 1; 2. Zur Überprüfung der Nullstellenintervalle kann die Funktion geplottet werden.

    *Hier kannst du das "mindestens" sogar weglassen. Da eine ganzrationale Funktion von Grad n höchstens n verschiedene Nullstellen haben kann, gx eine ganzrationale Funktion von Grad 3 ist und wir drei verschiedene Intervalle gefunden haben, in denen jeweils mindestens eine Nullstelle von gx liegt, liegt in jedem der Intervalle nur genau eine Nullstelle.

    Zwischenwertsatz Funktion Nullstellen StudySmarter

    Abbildung 8: Funktion g von Aufgabe 4

    Aufgabe 5

    Zeige, dass die Funktion fx=expx+sinx eine Nullstelle hat.

    Lösung

    Die Funktion f ist eine stetige Funktion, weil die beiden Funktionen, aus denen sie zusammengesetzt ist, stetige Funktionen sind (Exponentialfunktion und Sinusfunktion).

    Am einfachsten löst du diese Aufgabe wieder mit einer Wertetabelle:

    x-4-3-2-101234
    f(x)0,78-0,09-0,77-0,4713,568,320,2353,84
    Es gilt:

    f-4=0,78>0

    und

    f-3=-0,09<0.

    Damit liegt im Intervall -4; -3 (mindestens) eine Nullstelle von f.Analog kann man so zeigen, dass die Funktion f im Intervall -1; 0 eine Nullstelle hat.

    Natürlich kannst du das Intervall, in dem die Nullstelle liegt, auch noch weiter verfeinern, um es genauer anzugeben. Dafür kannst du beispielsweise den Funktionswert von x = -3,5 berechnen. Je nach Vorzeichen vonf-3,5weißt du dann, dass die Nullstelle im Intervall -4; -3,5 (wenn f(-3,5)<0) oder im Intervall -3,5; -3 (wenn f-3,5<0) liegt.

    Zwischenwertsatz komplizierte Funktin Nullstelle bestimmen Nullstellensatz StudySmarterAbbildung 9: Funktion f zu Aufgabe 5

    "Mindestens" eine Nullstelle (?)

    Vielleicht hast du dich schon gefragt, warum in der Definition des Nullstellensatzes und den Lösungen immer "die Funktion hat (mindestens) eine Nullstelle im Intervall a; b" steht.

    Das Wort mindestens gehört zu einer formal richtigen Definition und Lösung, weil in dem zunächst ermittelten Intervall auch mehrere Nullstellen sein können.

    Betrachte dazu das Beispiel:

    f(x) = 30x³ - 141x² + 217x - 109

    x-2-10123
    fx-1347-497-109-3183

    Man könnte ausgehend von der Wertetabelle vermuten, dass sich im Intervall 1; 2 genau eine Nullstelle der Funktion f befindet. Um dies zu überprüfen, unterteilen wir das Intervall 1; 2 noch einmal in kleinere Teilintervalle.

    x11,21,41,61,82
    fx-30,20,760,12-0,281

    Mit der zweiten Wertetabelle lässt sich anhand der drei Vorzeichenwechsel erkennen, dass in dem Intervall insgesamt (mindestens) drei Nullstellen der Funktion f liegen.Der gezeichnete Funktionsgraph bestätigt diese Vermutung.

    Zwischenwertsatz Funktion mit mehreren Nullstellen in kleinem Intervall StudySmarter

    Abbildung 10: Funktion f mit drei Nullstellen im Intervall [1; 2]

    Aufgabe 6

    Begründe mit dem Zwischenwertsatz, dass jede ganzrationalen Funktion ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle hat.

    Lösung

    Für den Verlauf im Unendlichen gibt es für ganzrationale Funktionen ungeraden Grades zwei Möglichkeiten:

    1. limx-f(x) = -und limx+f(x)=+

    oder

    2. limx-f(x)= + und limx+f(x)=-.

    Betrachte den 1. Fall (der 2. Fall folgt analog):

    Wegen limx-f(x)=- gibt es eina , sodass fa<0 ist.

    Wegen lim x+f(x) = +gibt es einb, sodass fb>0 ist.

    Mit dem Zwischenwertsatz bzw. Nullstellensatz folgt, dass es ein ca; bc gibt, sodass fc=0 gilt.

    Der Beweis des Zwischenwertsatzes geht auf den Beweis des Nullstellensatzes zurück. Man verwendet dabei ein iteratives Verfahren, die sogenannte Intervallschachtelung. Die Kernidee ist, dass immer kleinere Intervalle gebildet werden, in denen sich die Nullstelle befindet. Für den formalen Beweis braucht man Elemente der Universitätsmathematik (Folgen und Konvergenz).

    Zwischenwertsatz - Das Wichtigste

    • Beide Sätze gelten nur für stetige Funktionen.
    • Zwischenwertsatz: Im Intervall [a; b] werden alle Werte des Intervalls [f(a); f(b)] angenommen.
    • Der Nullstellensatz ist ein Spezialfall des Zwischenwertsatzes und hilft beim Finden von Nullstellen (durch Angabe von Intervallen, in denen die Nullstelle liegt).
    • Nullstellensatz: In Definitionsbereichen, wo positive und negative Funktionswerte auftreten, hat eine stetige Funktion auch mindestens eine Nullstelle.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Zwischenwertsatz

    Was besagt der Zwischenwertsatz?

    Der Zwischenwertsatz besagt, dass für stetige Funktionen f auf dem Intervall [a; b] alle Werte des Intervalls [f(a); f(b)] angenommen werden. Das heißt, dass für jeden Wert d, der zwischen f(a) und f(b) liegt, ein c zwischen a und b existiert, sodass f(c) = d gilt.

    Welche Eigenschaft garantiert die Existenz einer Nullstelle?

    Wenn eine Funktion f stetig ist und zwei x-Werte a und b existieren, deren Funktionswerte f(a) und f(b) ein unterschiedliches Vorzeichen haben, dann garantiert der Zwischenwertsatz/ Nullstellensatz die Existenz einer Nullstelle der Funktion f im Intervall [a; b]. Auch wenn eine ganzrationale Funktion einen ungeraden Grad (und damit einen unterschiedlichen Verlauf im Unendlichen) hat, ist die Existenz einer Nullstelle durch den Zwischenwertsatz garantiert. Der Zwischenwertsatz gilt hier, weil ganzrationale Funktionen stetig sind.

    Wodurch unterscheiden sich Zwischenwertsatz und Nullstellensatz?

    Sie unterscheiden sich dadurch, dass der Nullstellensatz ein Spezialfall des Zwischenwertsatzes ist. Es werden beim Nullstellensatz bewusst Intervallgrenzen a, b gesucht, deren Funktionswerte ein unterschiedliches Vorzeichen haben, sodass 0 im Intervall [f(a); f(b)] bzw. [f(b); f(a)] liegt. Damit garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz einer Nullstelle, also eines Wertes c im Intervall [a; b] mit f(c) = d. Beim Nullstellensatz werden also nur die Intervallgrenzen bewusster ausgesucht als beim allgemeinen Zwischenwertsatz.

    Wofür brauche ich den Zwischenwertsatz?

    Die häufigste Anwendung des Zwischenwertsatzes ist das Auffinden von Nullstellenintervallen von komplizierteren Funktionen. Dabei verwendet man die Aussage des Nullstellensatzes. Wenn die Funktionswerte der Intervallgrenzen ein unterschiedliches Vorzeichen haben, liegt im Intervall mindestens eine Nullstelle. Das Intervall kann beliebig verfeinert werden. Weitere Anwendungen sind Existenzfragen von Nullstellen für verschiedene Funktionen.

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