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Schnittpunkt zweier Funktionen

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Mathe

Du musst Dich auf Deine nächste Klausur vorbereiten, bist Dir aber nicht mehr sicher, wie genau Du einen Schnittpunkt P zweier Funktionen und ausrechnest? Im Folgenden findest Du hierzu Hilfestellung!

Schnittpunkt zweier Funktionen

Wenn zwei Funktionen und gegeben sind, kann es sein, dass sie sich innerhalb eines Koordinatensystems schneiden. Diesen Schnittpunkt P kann entweder berechnet oder graphisch gelöst werden.

Lineare Funktionen schneiden sich immer, außer sie sind parallel. Ein besonderer Fall ist es, wenn sie identisch sind. Dann haben sie unendlich viele Schnittpunkte.

Der Schnittpunkt P zweier Funktionen und ist der Punkt, an dem zwei Graphen sich innerhalb eines Koordinatensystems treffen und schneiden. Beide Funktionen und besitzen an dieser Stelle den gleichen x- und y-Wert.

Den Schnittpunkt zweier Funktionen berechnest Du folgendermaßen:

  1. Gleichsetzen der beiden Funktionen und .
  2. Die Gleichung nach x auflösen.
  3. x in die Ausgangsfunktionen und einsetzen und y ausrechnen.
  4. Der Punkt ist der x-Wert und der y-Wert.

Schnittpunkte zweier linearer Funktionen

Es gibt mehrere Arten von Funktionen: Zum Beispiel lineare und quadratische Funktionen, Funktionen dritten Grades, aber auch Exponentialfunktionen. Auch wenn immer mit den gleichen Rechenschritten vorgegangen wird, gibt es Besonderheiten in den Gleichungen, die beim Rechnen beachtet werden müssen.

Wiederholung – lineare Funktionen

Eine lineare Funktion ist immer ein lineares Verhältnis zwischen zwei Punkten. Ein linearer Graph wird auch "Gerade" genannt, weil der Graph eine gerade verlaufende Linie im Koordinatensystem darstellt.

Eine lineare Funktion hat folgende Form:

Schnittpunkt zweier Funktionen lineare Funktion Aufbau StudySmarter

= Steigung.

= y-Achsenabschnitt.

Lineare Funktionen schneiden sich immer, außer sie sind parallel. Ein besonderer Fall ist es, wenn sie identisch sind. Dann haben sie unendlich viele Schnittpunkte.

Hier siehst Du eine Abbildung zu der Funktion .

Schnittpunkt zweier Funktionen Funktion f(x)=2x im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 1: Funktion f(x)=2x im Koordinatensystem

Berechnen des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen

Einen Schnittpunkt zweier Funktionen und wird berechnet, wie im ersten Abschnitt erläutert. Wie das aussieht, siehst Du im Folgenden:

Aufgabe 1

Hier siehst Du die Funktionen und . Bei einem Schnittpunkt zweier Geraden musst Du als Erstes die linearen Funktionen und gleichsetzen, um den x-Wert zu berechnen.

Schnittpunkt zweier Funktionen Schnittpunkt P der Funktionen f(x) und g(x) StudySmarterAbbildung 2: Schnittpunkt P der Funktionen f(x) und g(x)

Lösung

Zuerst werden die Funktionen und gleichgestellt. Danach musst Du die Gleichung nach x umstellen.

Durch das Gleichstellen beider Funktionen erhältst Du den x-Wert, bei dem sich beide Geraden und schneiden. Um den genauen Schnittpunkt zu ermitteln, musst Du aber noch den y-Wert ausrechnen.

Ein y-Wert wird ausgerechnet, in dem der ermittelte x-Wert in die Ausgangsfunktion eingesetzt wird.

Jetzt berechnest Du den y-Wert des Schnittpunktes, um den genauen Punkt P zu ermitteln. Dafür setzt Du den x-Wert -9 in die Ausgangsfunktion ein und multiplizierst sie aus.

Der Schnittpunkt der Geraden und ist der Punkt .

Um das Ergebnis zu überprüfen, setzt Du den x-Wert auch noch in die andere Funktion ein. In diesem Fall . Das wird auch Punktprobe genannt.

Auch hier ist der ermittelte Schnittpunkt der Geraden . Somit ist sicher, dass dieser Punkt P der Schnittpunkt P der Geraden und ist.

Parallele Geraden

Zwei lineare Funktionen, oder auch Geraden genannt, können parallel sein.

Zwei Geraden und sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung m, aber einen anderen Schnittpunkt t in der y-Achse haben.

Schnittpunkt zweier Funktionen Steigung StudySmarter

Schnittpunkt zweier Funktionen y-Achsen Abschnitt StudySmarter

In diesem Abschnitt siehst Du zwei parallele Geraden.

Hier siehst Du die gleichen Steigungen und die verschiedenen y-Achsenabschnitte .

Schnittpunkt zweier Funktionen Zwei parallele Geraden f(x) und g(x) StudySmarterAbbildung 3: Zwei parallele Geraden f(x) und g(x)

Schnittpunkt zweier quadratischer Funktionen

Im Folgenden wird Dir erklärt, was eine quadratische Funktion ist und wie ein Schnittpunkt P zweier quadratischer Funktionen und berechnet wird.

Wiederholung – quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion ist immer eine Parabel. Sie kann nach oben oder unten geöffnet sein.

Eine quadratische Funktion ist folgendermaßen aufgebaut:

Schnittpunkt zweier Funktionen quadratische Funktion Aufbau StudySmarter

= Steigung/Streckung der Parabel .

= y-Achsenabschnitt der Parabel .

= Quadrierung, als Zeichen für eine Parabel .

Hier siehst Du die quadratische Funktion im Koordinatensystem.

Schnittpunkt zweier Funktionen Funktion f(x) im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 4: Funktion f(x) im Koordinatensystem

Berechnen der Schnittpunkte zweier quadratischer Funktionen

Bei einem Schnittpunkt zweier quadratischer Funktionen und ist das Prinzip, mit dem Du rechnest, das Gleiche, wie bei einer Berechnung eines Schnittpunktes zweier linearer Funktionen. Es kommen nur mehr Schritte hinzu, weil die Funktion einen Exponenten hat, bei der eine Wurzel gezogen, oder die pq-Formel angewandt werden muss.

Bei einer quadratischen Funktion kann es ebenfalls einen Schnittpunkt P, mehrere Schnittpunkte P, oder auch gar keinen Schnittpunkt P geben.

  1. Gleichsetzen der beiden Funktionen und .
  2. Die Gleichung nach x auflösen.
  3. Beim Auflösen eventuell die pq-Formel oder Mitternachtsformel verwenden.
  4. x in die Ausgangsfunktionen und einsetzen und y ausrechnen.
  5. Der Punkt ist der x-Wert und der y-Wert.

Die pq-Formel lautet: Schnittpunkt zweier Funktionen PQ Formel StudySmarter

Aufgabe 2

Berechne die Schnittpunkte P der Funktionen und .

Schnittpunkt zweier Funktionen Schnittpunkt P der beiden Funktionen f(x) und g(x) StudySmarterAbbildung 5: Schnittpunkt P der beiden Funktionen f(x) und g(x)

Lösung

Zuerst werden die Funktionen und gleichgestellt.

Wenn Du die beiden Funktionen gleichgestellt hast, kannst Du anfangen, die Gleichung nach x aufzulösen.

An dieser Stelle kommst Du ohne die pq-Formel nicht weiter. Also werden die Werte 2 und -3 in p und q eingesetzt.

Du kannst auch die Mitternachtsformel anstelle der pq-Formel verwenden.

Als Nächstes kannst Du das in der Gleichung lösen, in dem Du sie in zwei Teile, einen mit plus und einen mit minus, aufteilst.

Nun hast Du die x-Werte , die Du beide in die Ausgangsfunktionen einsetzen musst, um den y-Wert der Schnittpunkte zu erhalten.

Diese y-Werte müssen allerdings auch überprüft werden. Also werden die x-Werte beide auch in noch einmal eingesetzt.

Durch das Einsetzen des x-Wertes hat sich erhältst Du die beiden Punkte, und , welche die Schnittstellen der beiden Parabeln und darstellen. Das Ganze wurde auch durch die Punktprobe überprüft, da die x-Werte in beide Funktionen und eingesetzt wurden.

Schnittpunkt zweier ganzrationaler Funktionen

Im nächsten Abschnitt lernst Du, was eine Funktion dritten Grades ist und wie Schnittpunkte P zweier ganzrationaler Funktionen und berechnet wird anhand eines Beispiels zweier ganzrationaler Funktionen und . Eine ganzrationale Funktion kann mehrere Schnittpunkte P haben, aber auch nur einen Schnittpunkt P. In manchen Fällen haben ganzrationale Funktionen auch keinen Schnittpunkt P.

Wiederholung - Ganzrationale Funktion

Eine ganzrationale Funktion , oder auch Polynomfunktion genannt, ist eine Funktion mit einem n-ten Grad.

Der Aufbau einer ganzrationalen Funktion, sieht folgendermaßen aus:

Schnittpunkt zweier Funktionen Funktion dritten Grades Aufbau StudySmarter

= Steigung/Streckung der Parabel .

= y-Achsenabschnitt der Parabel .

= n-te Grad der Funktion.

In dieser Abbildung siehst Du eine ganzrationale Funktion dritten Grades:

Schnittpunkt zweier Funktionen Funktion f(x) dritten Grades StudySmarterAbbildung 6: Funktion f(x) dritten Grades.

Berechnung der Schnittpunkte zweier ganzrationalen Funktionen

Wie wird bei einer ganzrationalen Funktion vorgegangen, um den Schnittpunkt P zweier Funktionen und zu berechnen? Genau so, wie es auch bei zweier quadratischer, oder linearer Funktionen gemacht wird: Mit Gleichsetzen.

  1. Gleichsetzen der beiden Funktionen und .
  2. Die Gleichung nach x auflösen.
  3. Beim Auflösen eventuell die pq-Formel oder Mitternachtsformel verwenden und x ausklammern.
  4. x in die Ausgangsfunktionen und einsetzen und y ausrechnen.
  5. Der Punkt P ist der x-Wert und der y-Wert.

Wenn zwei sehr lange Funktionen und gegeben sind, hilft beim Gleichsetzen das Verfahren des Ausklammerns vom x-Wert und das Einsetzen in die pq-Formel, die schon im letzten Beispiel verwendet wurde.

Jetzt folgt ein Beispiel, um Dir das Prinzip noch mal zu veranschaulichen.

Aufgabe 3

Berechne den Schnittpunkt der Funktionen und .

Schnittpunkt zweier Funktionen Schnittpunkte P1 und P2 der Funktionen f(x) und g(x) dritten Grades StudySmarterAbbildung 7: Schnittpunkt P1 und P2 der Funktionen f(x) und g(x) dritten Grades

Lösung

Nun musst Du die Funktionen und gleichsetzen und nach x auflösen.

Danach muss die Gleichung nach x aufgelöst werden.

An dieser Stelle kommst Du ohne das Ausklammern nicht weiter.

v = logisches oder.

Durch das Gleichsetzen der Funktionen und erhältst Du die x-Werte . Der Wert entfällt, da sich die Funktionen und im Koordinatensystem bei nicht schneiden. Nun muss noch der y-Wert ermittelt werden und die Aufgabe ist ebenfalls gelöst.

Der y-Wert wird ermittelt, in dem der x-Wert in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.

Um die y-Werte zu überprüfen, wird die Punktprobe durchgeführt. Das bedeutet, dass Du beide x-Werte auch in die Funktion einsetzt.

Das Einsetzen der x-Werte in die Ausgangsfunktionen liefert Dir jetzt die y-Werte . Das liefert die Punkte , was durch die Punktprobe überprüft wurde.

Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen (e-Funktionen)

Im Folgenden wird Dir erklärt, was eine Exponentialfunktion ist und wie ein Schnittpunkt P zweier Exponentialfunktionen und g(x) berechnet wird, anhand zweier e-Funktionen .

Wiederholung – Exponentialfunktionen

Eine Exponentialfunktion nennt sich so, weil in ihrem Exponenten eine Variable steht. Sie stellt immer ein exponentielles Wachstum dar, zum Beispiel das Wachsen einer Pflanze. Wie eine solche Exponentialfunktion aufgebaut ist, siehst Du im Folgenden.

Eine Exponentialfunktion mit der Basis Schnittpunkt zweier Funktionen Basis einer Exponentialfunktion StudySmarterist eine reelle Funktion der Form:

Schnittpunkt zweier Funktionen Exponentialfunktion Aufbau StudySmarter

bedeutet, dass a (genannt: „die Basis“) größer als 0 ist und gleichzeitig nicht 1 sein darf. Im Exponenten steht die Variable x.

In diesem Beispiel siehst Du eine Abbildung zu der e-Funktion .

Schnittpunkt zweier Funktionen E-Funktion f(x) im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 8: E-Funktion f(x) im Koordinatensystem

e ist eine Zahl, nämlich .

Berechnung des Schnittpunktes zweier Exponentialfunktionen

Bei einem Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen ist das Prinzip ebenfalls dasselbe wie bei jeder anderen Funktion, nämlich Gleichstellen.

Damit Du Dir noch vorstellen kannst, wie diese Berechnung des Schnittpunktes P zwei e-Funktionen und aussehen könnten, hier ein Beispiel:

Aufgabe 4

Berechne den Schnittpunkt P der beiden Funktionen und .

Schnittpunkt zweier Funktionen Schnittpunkt P zweier E-Funktionen f(x) und g(x) StudySmarterAbbildung 9: Schnittpunkt P zweier e-Funktionen f(x) und g(x).

Lösung

Die Funktionen und werden an dieser Stelle gleichgesetzt.

Nach dem Gleichsetzen wird die Gleichung nach x aufgelöst.

Auch hier wurde der x-Wert durch Gleichsetzen ermittelt. Bei einer e-Funktion muss allerdings den Logarithmus angewandt und gezogen werden, um das x aus dem Exponenten zu holen. Durch diesen Vorgang wird der x-Wert ermittelt.

Diesen Wert setzt Du jetzt in die Ausgangsfunktionen ein, um den y-Wert zu berechnen.

Beim Einsetzen in die Ausgangsfunktion erhältst Du den y-Wert . Um den y-Wert zu überprüfen, setzt Du den x-Wert auch noch in die Funktion ein.

Jede Zahl, die im Exponenten 0 hat, wird ausmultipliziert zu der Zahl 1.

Der y-Wert ist , was Dich zu dem Schnittpunkt führt. Diesen Wert hast Du schon durch die Punktprobe überprüft, weil Du den x-Wert in beide Funktionen und eingesetzt hast.

Schnittpunkte zweier Funktionen – Übungsaufgaben

Im Folgenden erhältst Du ein paar Übungsaufgaben, um dein gelerntes Wissen zu überprüfen.

Aufgabe 5

Gegeben sind die Funktionen und. Berechne die Schnittstellen.

Lösung

Die Funktionen und werden an dieser Stelle gleichgesetzt und nach x umgestellt.

Der Schnittpunkt liegt bei , weil Du den x-Wert in die Ausgangsfunktionen eingesetzt hast. Der erhaltene y-Wert ist . Diese Werte hast Du durch die Punktprobe überprüft.

Aufgabe 6

Berechne den Schnittpunkt P der Funktionen und.

Lösung

und müssen gleichgestellt und nach x aufgelöst werden.

Durch das Gleichstellen erhältst Du die x-Werte der Schnittpunkte P1 und P2. Die x-Werte sind . Diese werden nun in die Ausgangsfunktionen eingesetzt.

Durch das Einsetzen der x-Werte in die Ausgangsfunktionen erhältst Du die Punkte . Das hast Du durch die Punktprobe schon überprüft.

Aufgabe 7

Berechne den Schnittpunkt P der Funktionen und.

Lösung

Auch hier werden die Funktionen und gleichgestellt und nach x aufgelöst.

Durch das Gleichstellen erhältst Du den x-Wert . Dieser Wert wird jetzt in die Ausgangsfunktionen eingesetzt. Setze den x-Wert in beide Ausgangsfunktionen und ein, um die Punktprobe abzuhandeln.

Das Einsetzen des x-Wertes in die Ausgangsfunktion erzeugt den y-Wert . Somit erhältst Du den Punkt.

Schnittpunkt zweier Funktionen – Das Wichtigste

  • Der Schnittpunkt P zweier Funktionen und ist der Punkt, an dem zwei Graphen sich innerhalb eines Koordinatensystems treffen und überschneiden. Beide Funktionen und besitzen an dieser Stelle den gleichen x- und y-Wert.
  • Den Schnittpunkt P zweier Funktionen und berechnest Du folgendermaßen:
    1. Gleichsetzen der beiden Funktionen und .
    2. Die Gleichung nach x auflösen.
    3. x in die Ausgangsfunktionen und einsetzen und y ausrechnen.
    4. Der Punkt ist der x-Wert und der y-Wert.
  • Quadratische Funktionen und Funktionen dritten Grades werden in der Regel mit der pq-Formel oder durch Ausklammern gelöst.
  • Die Berechnung eines Schnittpunktes P zweier E-Funktionen und wird meistens durch das Ziehen eines Logarithmus gelöst.

Schnittpunkt zweier Funktionen

  1. Beide gegebenen Funktionen gleichsetzen
  2. Nach x auflösen
  3. x in die Ausgangsfunktionen einsetzen und y berechnen. Wenn beide Funktionen denselben y-Wert in einem Schnittpunkt haben, hat man die richtige Lösung.

Der Schnittpunkt P zweier Funktionen f(x) und g(x), ist die Stelle, wo sich die Graphen innerhalb eines Koordinatensystems treffen/schneiden und somit denselben x- und y-Wert besitzen.

Zwei Geraden f(x) und g(x) schneiden sich in der Regel in einem Schnittpunkt P. Sie schneiden sich in unendlich vielen Punkten P, wenn sie identisch sind. Sind sie parallel, so haben sie keinen Schnittpunkt P.

Zwei Funktionen haben einen Schnittpunkt, wenn sie sich innerhalb eines Koordinatensystems schneiden und an dieser Stelle dieselben x- und y-Werte haben.

Lineare Funktionen f(x) und g(x)  können sich ein Mal schneiden. Sie schneiden sich in unendlich vielen Schnittpunkten P , wenn sie identisch sind und in keinem Punkt, wenn sie parallel sind.

Finales Schnittpunkt zweier Funktionen Quiz

Frage

Wodurch zeichnet sich ein Schnittpunkt P zweier Funktionen f(x) und g(x) aus?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Schnittpunkt P zweier Funktionen f(x) und g(x) zeichnet sich dadurch aus, dass sie in dem Schnittpunkt P den selben x- und y-Wert haben.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man einen Schnittpunkt P zweier Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Beide gegebenen Funktionen g(x) und f(x) gleichsetzen.
  2. Nach x auflösen.
  3. x in die Ausgangsfunktionen einsetzen und y berechnen. Wenn beide Funktionen den selben y-Wert in einem Schnittpunkt P haben, hast du die richtige Lösung.
Frage anzeigen

Frage

Wie viele Schnittpunkte P können zwei lineare Funktionen f(x) und g(x) auf einmal haben?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie können einen Schnittpunkt P haben.

Frage anzeigen

Frage

Wenn zwei Geraden f(x) und g(x) unendlich viele Schnittpunkte P haben, wie liegen sie dann zueinander?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Geraden mit unendlich vielen Schnittpunkten P werden identisch genannt.

Frage anzeigen

Frage

Wenn Zwei Geraden f(x) und g(x) keinen Schnittpunkt P haben, wie liegen sie dann zueinander?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Geraden f(x) und g(x) haben keinen Schnittpunkt P, wenn sie parallel sind und sie die gleiche Steigung haben.

Frage anzeigen

Frage

Bei einem Schnittpunkt P zweier quadratischer Funktionen f(x) und g(x), wendet man in der Regel ein Verfahren in der Gleichsetzung an. Welches Verfahren ist gemeint?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Gleichsetzen zweier quadratischer Funktionen f(x) und g(x) verwendet man oft das Verfahren der pq-Formel.

Frage anzeigen

Frage

Vervollständige den Satz!

Bei einer Funktion f(x) dritten Grades verwendet man beim Gleichsetzen vor allem...

Antwort anzeigen

Antwort

... das Ausklammern und die pq-Formel.

Frage anzeigen

Frage

Vervollständige den Satz.

Jede Zahl mit einer null im Exponenten ist ausmultipliziert ...

Antwort anzeigen

Antwort

... die Zahl 1

Frage anzeigen

Frage

Bei einer Exponentialfunktion f(x) steht das x immer im Exponenten. In diesem Fall braucht man beim Gleichsetzen ein Verfahren, um das x aus dem Exponenten zu holen. Was ist damit gemeint?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Gleichsetzen zweier Exponentialfunktionen f(x) und g(x) verwendet man in der Regel das Ziehen des Logarithmus.

Frage anzeigen
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