Schnittpunkt zweier Funktionen

Du musst Dich auf Deine nächste Klausur vorbereiten, bist Dir aber nicht mehr sicher, wie genau Du einen Schnittpunkt P zweier Funktionen f(x) und g(x) ausrechnest? Im Folgenden findest Du hierzu Hilfestellung!

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Schnittpunkt zweier Funktionen

    Wenn zwei Funktionen f(x) undg(x) gegeben sind, kann es sein, dass sie sich innerhalb eines Koordinatensystems schneiden. Diesen Schnittpunkt P kann entweder berechnet oder graphisch gelöst werden.

    Lineare Funktionen schneiden sich immer, außer sie sind parallel. Ein besonderer Fall ist es, wenn sie identisch sind. Dann haben sie unendlich viele Schnittpunkte.

    Der Schnittpunkt P zweier Funktionen f(x) und g(x) ist der Punkt, an dem zwei Graphen sich innerhalb eines Koordinatensystems treffen und schneiden. Beide Funktionen f(x) undg(x) besitzen an dieser Stelle den gleichen x- und y-Wert.

    Den Schnittpunkt zweier Funktionen berechnest Du folgendermaßen:

    1. Gleichsetzen der beiden Funktionen f(x) und g(x).
    2. Die Gleichung nach x auflösen.
    3. x in die Ausgangsfunktionen f(x) und g(x) einsetzen und y ausrechnen.
    4. Der Punkt ist der x-Wert und der y-Wert.

    Schnittpunkte zweier linearer Funktionen

    Es gibt mehrere Arten von Funktionen: Zum Beispiel lineare und quadratische Funktionen, Funktionen dritten Grades, aber auch Exponentialfunktionen. Auch wenn immer mit den gleichen Rechenschritten vorgegangen wird, gibt es Besonderheiten in den Gleichungen, die beim Rechnen beachtet werden müssen.

    Wiederholung – lineare Funktionen

    Eine lineare Funktion f(x) ist immer ein lineares Verhältnis zwischen zwei Punkten. Ein linearer Graph wird auch "Gerade" genannt, weil der Graph eine gerade verlaufende Linie im Koordinatensystem darstellt.

    Eine lineare Funktion hat folgende Form:

    f(x)=m·x+t

    m= Steigung.

    t= y-Achsenabschnitt.

    Lineare Funktionen schneiden sich immer, außer sie sind parallel. Ein besonderer Fall ist es, wenn sie identisch sind. Dann haben sie unendlich viele Schnittpunkte.

    Hier siehst Du eine Abbildung zu der Funktion f(x)=2x.

    Schnittpunkt zweier Funktionen Funktion f(x)=2x im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 1: Funktion f(x)=2x im Koordinatensystem

    Berechnen des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen

    Einen Schnittpunkt zweier Funktionen f(x) und g(x)wird berechnet, wie im ersten Abschnitt erläutert. Wie das aussieht, siehst Du im Folgenden:

    Aufgabe 1

    Hier siehst Du die Funktionen f(x) und g(x). Bei einem Schnittpunkt zweier Geraden musst Du als Erstes die linearen Funktionen f(x)und g(x)gleichsetzen, um den x-Wert zu berechnen.

    f(x)=3x ; g(x)=2x-9

    Schnittpunkt zweier Funktionen Schnittpunkt P der Funktionen f(x) und g(x) StudySmarterAbbildung 2: Schnittpunkt P der Funktionen f(x) und g(x)

    Lösung

    Zuerst werden die Funktionen f(x)und g(x)gleichgestellt. Danach musst Du die Gleichung nach x umstellen.

    f(x) = g(x)3x = 2x-9 |-2x3x-2x = -9x = -9

    Durch das Gleichstellen beider Funktionen erhältst Du den x-Wert, bei dem sich beide Geradenf(x) und g(x)schneiden. Um den genauen Schnittpunkt zu ermitteln, musst Du aber noch den y-Wert ausrechnen.

    Ein y-Wert wird ausgerechnet, in dem der ermittelte x-Wert in die Ausgangsfunktion eingesetzt wird.

    Jetzt berechnest Du den y-Wert des Schnittpunktes, um den genauen Punkt P zu ermitteln. Dafür setzt Du den x-Wert -9 in die Ausgangsfunktion f(x) ein und multiplizierst sie aus.

    f(x)=3xf(-9)=3·-9=-27

    P(-9|-27)

    Der Schnittpunkt der Geraden f(x) und g(x) ist der Punkt P(-9|-27).

    Um das Ergebnis zu überprüfen, setzt Du den x-Wert auch noch in die andere Funktion ein. In diesem Fall g(x).Das wird auch Punktprobe genannt.

    g(x)=2x-9g(-9)=2·-9-9=-27

    P(-9|-27)

    Auch hier ist der ermittelte Schnittpunkt der Geraden P(-9|-27). Somit ist sicher, dass dieser Punkt P der Schnittpunkt P der Geraden g(x) und f(x) ist.

    Parallele Geraden

    Zwei lineare Funktionen, oder auch Geraden genannt, können parallel sein.

    Zwei Geraden f(x)und g(x) sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung m, aber einen anderen Schnittpunkt t in der y-Achse haben.

    m1=m2

    t1t2

    In diesem Abschnitt siehst Du zwei parallele Geraden.

    f(x)=m·x+tf(x)=2·x+1f(x)=2·x+3

    m1=m2 m1=2 ; m2=2 2=2

    t1t2 t1=1 ; t2=3 13

    Hier siehst Du die gleichen Steigungen m und die verschiedenen y-Achsenabschnitte t.

    Schnittpunkt zweier Funktionen Zwei parallele Geraden f(x) und g(x) StudySmarterAbbildung 3: Zwei parallele Geraden f(x) und g(x)

    Schnittpunkt zweier quadratischer Funktionen

    Im Folgenden wird Dir erklärt, was eine quadratische Funktion ist und wie ein Schnittpunkt P zweier quadratischer Funktionen f(x) und g(x) berechnet wird.

    Wiederholung – quadratische Funktion

    Eine quadratische Funktion f(x) ist immer eine Parabel. Sie kann nach oben oder unten geöffnet sein.

    Eine quadratische Funktion ist folgendermaßen aufgebaut:

    f(x)=ax2+bx+c

    a,b= Steigung/Streckung der Parabel f(x).

    c= y-Achsenabschnitt der Parabel f(x).

    x2= Quadrierung, als Zeichen für eine Parabel f(x).

    Hier siehst Du die quadratische Funktion f(x)=3x2-2 im Koordinatensystem.

    Schnittpunkt zweier Funktionen Funktion f(x) im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 4: Funktion f(x) im Koordinatensystem

    Berechnen der Schnittpunkte zweier quadratischer Funktionen

    Bei einem Schnittpunkt zweier quadratischer Funktionenf(x) und g(x) ist das Prinzip, mit dem Du rechnest, das Gleiche, wie bei einer Berechnung eines Schnittpunktes zweier linearer Funktionen. Es kommen nur mehr Schritte hinzu, weil die Funktion einen Exponenten hat, bei der eine Wurzel gezogen, oder die pq-Formel angewandt werden muss.

    Bei einer quadratischen Funktion kann es ebenfalls einen Schnittpunkt P, mehrere Schnittpunkte P, oder auch gar keinen Schnittpunkt P geben.

    1. Gleichsetzen der beiden Funktionenf(x) und g(x).
    2. Die Gleichung nach x auflösen.
    3. Beim Auflösen eventuell die pq-Formel oder Mitternachtsformel verwenden.
    4. x in die Ausgangsfunktionen f(x) und g(x) einsetzen und y ausrechnen.
    5. Der Punkt ist der x-Wert und der y-Wert.

    Die pq-Formel lautet: x1,2=-p2±p22-q

    Aufgabe 2

    Berechne die Schnittpunkte P der Funktionen f(x) und g(x).

    f(x)=x2-11 ; g(x)=-x2-4x-5

    Schnittpunkt zweier Funktionen Schnittpunkt P der beiden Funktionen f(x) und g(x) StudySmarterAbbildung 5: Schnittpunkt P der beiden Funktionen f(x) und g(x)

    Lösung

    Zuerst werden die Funktionen f(x) und g(x) gleichgestellt.

    f(x)=g(x)x2-11=-x2-4x-5

    Wenn Du die beiden Funktionen gleichgestellt hast, kannst Du anfangen, die Gleichung nach x aufzulösen.

    x2-11=-x2-4x-5 |+11x2=-x2-4x-5+11 |-x20=-2x2-4x+6 |:(-2)0=x2+2x-3 |pq-Formel

    An dieser Stelle kommst Du ohne die pq-Formel nicht weiter. Also werden die Werte 2 und -3 in p und q eingesetzt.

    Du kannst auch die Mitternachtsformel anstelle der pq-Formel verwenden.

    x1,2=-22±222-(-3)=-1±1+3=-1±2

    Als Nächstes kannst Du das ± in der Gleichung lösen, in dem Du sie in zwei Teile, einen mit plus und einen mit minus, aufteilst.

    x1=-1+2=1x2=-1-2=-3

    Nun hast Du die x-Werte x1=1 und x2=-3, die Du beide in die Ausgangsfunktionen einsetzen musst, um den y-Wert der Schnittpunkte zu erhalten.

    f(1)=12-11=-10f(-3)=-32-11=9-11=2

    Diese y-Werte müssen allerdings auch überprüft werden. Also werden die x-Werte beide auch in g(x) noch einmal eingesetzt.

    g(1)=-(1)2-4·1-5=-1-4-5=-10g(-3)=-(-3)2-4·-3-5=-9+12-5=-2

    P1(-3|-2) ; P2(1|-10)

    Durch das Einsetzen des x-Wertes hat sich erhältst Du die beiden Punkte, P1(-3|-2) und P2(1|-10), welche die Schnittstellen der beiden Parabeln f(x) und g(x) darstellen. Das Ganze wurde auch durch die Punktprobe überprüft, da die x-Werte in beide Funktionen f(x)und g(x)eingesetzt wurden.

    Schnittpunkt zweier ganzrationaler Funktionen

    Im nächsten Abschnitt lernst Du, was eine Funktion dritten Grades ist und wie Schnittpunkte P zweier ganzrationaler Funktionen f(x) und g(x) berechnet wird anhand eines Beispiels zweier ganzrationaler Funktionenf(x) und g(x). Eine ganzrationale Funktion kann mehrere Schnittpunkte P haben, aber auch nur einen Schnittpunkt P. In manchen Fällen haben ganzrationale Funktionen auch keinen Schnittpunkt P.

    Wiederholung - Ganzrationale Funktion

    Eine ganzrationale Funktion f(x), oder auch Polynomfunktion genannt, ist eine Funktion mit einem n-ten Grad.

    Der Aufbau einer ganzrationalen Funktion, sieht folgendermaßen aus:

    f(x)=axn+bxn-1+cx1+d

    a,b,c = Steigung/Streckung der Parabel f(x).

    d= y-Achsenabschnitt der Parabel f(x).

    xn= n-te Grad der Funktionf(x).

    In dieser Abbildung siehst Du eine ganzrationale Funktion f(x)=x3+2x2-1 dritten Grades:

    Schnittpunkt zweier Funktionen Funktion f(x) dritten Grades StudySmarterAbbildung 6: Funktion f(x) dritten Grades.

    Berechnung der Schnittpunkte zweier ganzrationalen Funktionen

    Wie wird bei einer ganzrationalen Funktion vorgegangen, um den Schnittpunkt P zweier Funktionen f(x)und g(x) zu berechnen? Genau so, wie es auch bei zweier quadratischer, oder linearer Funktionen gemacht wird: Mit Gleichsetzen.

    1. Gleichsetzen der beiden Funktionenf(x) und g(x).
    2. Die Gleichung nach x auflösen.
    3. Beim Auflösen eventuell die pq-Formel oder Mitternachtsformel verwenden und x ausklammern.
    4. x in die Ausgangsfunktionen f(x) und g(x) einsetzen und y ausrechnen.
    5. Der Punkt P ist der x-Wert und der y-Wert.

    Wenn zwei sehr lange Funktionen f(x) undg(x) gegeben sind, hilft beim Gleichsetzen das Verfahren des Ausklammerns vom x-Wert und das Einsetzen in die pq-Formel, die schon im letzten Beispiel verwendet wurde.

    Jetzt folgt ein Beispiel, um Dir das Prinzip noch mal zu veranschaulichen.

    Aufgabe 3

    Berechne den Schnittpunkt der Funktionenf(x) und g(x).

    f(x)=-x3+2x-4 ; g(x)=x3-4x

    Schnittpunkt zweier Funktionen Schnittpunkte P1 und P2 der Funktionen f(x) und g(x) dritten Grades StudySmarterAbbildung 7: Schnittpunkt P1 und P2 der Funktionen f(x) und g(x) dritten Grades

    Lösung

    Nun musst Du die Funktionenf(x) undg(x) gleichsetzen und nach x auflösen.

    f(x)=g(x)-x3+2x-4=x3-4x

    Danach muss die Gleichung nach x aufgelöst werden.

    -x3+2x-4=x3-4x |-x3 |+4x-x3-x3+2x+4x-4=0-2x3+6x-4=0 |÷(-2)x3-3x+2=0 |-2x3-3x=-2

    An dieser Stelle kommst Du ohne das Ausklammern nicht weiter.

    x3-3x=-2 |ausklammernx·(x2-3)=-2x1=-2 v x2-3=-2 |+3x2=1 |x2/3=1=±1

    v = logisches oder.

    Durch das Gleichsetzen der Funktionenf(x) undg(x) erhältst Du die x-Werte x1= -2 und x2= 1. Der Wert x3= -1 entfällt, da sich die Funktionenf(x) undg(x) im Koordinatensystem bei x3= -1 nicht schneiden. Nun muss noch der y-Wert ermittelt werden und die Aufgabe ist ebenfalls gelöst.

    Der y-Wert wird ermittelt, in dem der x-Wert in die Ausgangsfunktionf(x) eingesetzt werden.

    f(-2)=-(-2)3+2·-2-4=-(-8)-8=0f(1)=-(1)3+2·1-4=-1+2-4=-3

    Um die y-Werte zu überprüfen, wird die Punktprobe durchgeführt. Das bedeutet, dass Du beide x-Werte auch in die Funktiong(x) einsetzt.

    g(-2)=-23-4·-2=-8+8=0g(1)=13-4·1=1-4=-3

    Das Einsetzen der x-Werte in die Ausgangsfunktionen liefert Dir jetzt die y-Werte y1=0 und y2= -3. Das liefert die Punkte P1(-2|0) und P2(1|-3), was durch die Punktprobe überprüft wurde.

    Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen (e-Funktionen)

    Im Folgenden wird Dir erklärt, was eine Exponentialfunktion ist und wie ein Schnittpunkt P zweier Exponentialfunktionen f(x) und g(x) berechnet wird, anhand zweier e-Funktionen f(x).

    Wiederholung – Exponentialfunktionen

    Eine Exponentialfunktion f(x) nennt sich so, weil in ihrem Exponenten eine Variable steht. Sie stellt immer ein exponentielles Wachstum dar, zum Beispiel das Wachsen einer Pflanze. Wie eine solche Exponentialfunktion aufgebaut ist, siehst Du im Folgenden.

    Eine Exponentialfunktion mit der Basis Schnittpunkt zweier Funktionen Basis einer Exponentialfunktion StudySmarterist eine reelle Funktion der Form:

    f(x)=ax mit +

    a +\ {1} bedeutet, dass a (genannt: „die Basis“) größer als 0 ist und gleichzeitig nicht 1 sein darf. Im Exponenten steht die Variable x.

    In diesem Beispiel siehst Du eine Abbildung zu der e-Funktion f(x)=ex.

    Schnittpunkt zweier Funktionen E-Funktion f(x) im Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 8: E-Funktion f(x) im Koordinatensystem

    e ist eine Zahl, nämlich e2,718.

    Berechnung des Schnittpunktes zweier Exponentialfunktionen

    Bei einem Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen ist das Prinzip ebenfalls dasselbe wie bei jeder anderen Funktion, nämlich Gleichstellen.

    Damit Du Dir noch vorstellen kannst, wie diese Berechnung des Schnittpunktes P zwei e-Funktionenf(x) undg(x) aussehen könnten, hier ein Beispiel:

    Aufgabe 4

    Berechne den Schnittpunkt P der beiden Funktionenf(x) und g(x).

    f(x)=ex+1 ; g(x)=ex+3

    Schnittpunkt zweier Funktionen Schnittpunkt P zweier E-Funktionen f(x) und g(x) StudySmarterAbbildung 9: Schnittpunkt P zweier e-Funktionen f(x) und g(x).

    Lösung

    Die Funktionen f(x) undg(x) werden an dieser Stelle gleichgesetzt.

    f(x)=g(x)ex+1=-ex+3

    Nach dem Gleichsetzen wird die Gleichung nach x aufgelöst.

    ex+1=-ex+3 |+ex |-12ex=3-12ex=2 |÷2ex=1 |ln1x=ln1

    Auch hier wurde der x-Wert durch Gleichsetzen ermittelt. Bei einer e-Funktion muss allerdings den Logarithmus angewandt und ln(1) gezogen werden, um das x aus dem Exponenten zu holen. Durch diesen Vorgang wird der x-Wert x=0ermittelt.

    Diesen Wert setzt Du jetzt in die Ausgangsfunktionen f(x) ein, um den y-Wert zu berechnen.

    f(0)=e0+1=1+1=2

    Beim Einsetzen in die Ausgangsfunktion f(x) erhältst Du den y-Wert y=2. Um den y-Wert zu überprüfen, setzt Du den x-Wert auch noch in die Funktion g(x) ein.

    g(0)=-e0+3=-1+3=2

    Jede Zahl, die im Exponenten 0 hat, wird ausmultipliziert zu der Zahl 1.

    Der y-Wert ist y=2, was Dich zu dem Schnittpunkt P(0|2) führt. Diesen Wert hast Du schon durch die Punktprobe überprüft, weil Du den x-Wert in beide Funktionen f(x) und g(x) eingesetzt hast.

    Schnittpunkte zweier Funktionen – Übungsaufgaben

    Im Folgenden erhältst Du ein paar Übungsaufgaben, um dein gelerntes Wissen zu überprüfen.

    Aufgabe 5

    Gegeben sind die Funktionenf(x) undg(x). Berechne die Schnittstellen.

    f(x)=x2-4x+2 ; g(x)=x2+2x+2

    Lösung

    Die Funktionenf(x) undg(x) werden an dieser Stelle gleichgesetzt und nach x umgestellt.

    f(x)=g(x)x2-4x+2=x2+2x+2 |-x2 |-2 |-2x-6x=0 |÷(-6)x=0f(0)=02-4·0+2=2g(0)=02+2·0+2=2

    Der Schnittpunkt liegt bei P(0|2), weil Du den x-Wert x=0 in die Ausgangsfunktionen eingesetzt hast. Der erhaltene y-Wert ist y=2. Diese Werte hast Du durch die Punktprobe überprüft.

    Aufgabe 6

    Berechne den Schnittpunkt P der Funktionenf(x) undg(x).

    f(x)=4x2 ; g(x)=2x

    Lösung

    f(x) undg(x) müssen gleichgestellt und nach x aufgelöst werden.

    f(x)=g(x)4x2=2x |-2x4x2-2x=0 | ausklammernx·(4x-2)=0x1=0 v 4x-2=0 |+24x=2 |÷4x2=0,5

    Durch das Gleichstellen erhältst Du die x-Werte der Schnittpunkte P1 und P2. Die x-Werte sind x1=0 und x2=0,5. Diese werden nun in die Ausgangsfunktionen eingesetzt.

    f(0)=4·02=0f(0,5)=4·0,52=1g(0)=2·0=0g(0,5)=2·0,5=1

    P1(0|0) ; P2(0,5|1)

    Durch das Einsetzen der x-Werte in die Ausgangsfunktionen erhältst Du die Punkte P1(0|0) ; P2(0,5|1).Das hast Du durch die Punktprobe schon überprüft.

    Aufgabe 7

    Berechne den Schnittpunkt P der Funktionenf(x) undg(x).

    f(x)=e-x+2 ; g(x)=-e-x+4

    Lösung

    Auch hier werden die Funktionenf(x) undg(x) gleichgestellt und nach x aufgelöst.

    f(x)=g(x)e-x+2=-e-x+4 |+e-x |-42e-x-2=0 |:2e-x-1=0 |+1e-x=1 |ln1-x=0 |:(-1)x=0

    Durch das Gleichstellen erhältst Du den x-Wert x=0. Dieser Wert wird jetzt in die Ausgangsfunktionen eingesetzt. Setze den x-Wert in beide Ausgangsfunktionenf(x) undg(x) ein, um die Punktprobe abzuhandeln.

    f(0)=e-0+2=3g(0)=-e-0+4=3

    P(0|3)

    Das Einsetzen des x-Wertes in die Ausgangsfunktion erzeugt den y-Wert y=3. Somit erhältst Du den PunktP(0|3).

    Schnittpunkt zweier Funktionen – Das Wichtigste

    • Der Schnittpunkt P zweier Funktionenf(x) undg(x) ist der Punkt, an dem zwei Graphen sich innerhalb eines Koordinatensystems treffen und überschneiden. Beide Funktionenf(x) undg(x) besitzen an dieser Stelle den gleichen x- und y-Wert.
    • Den Schnittpunkt P zweier Funktionen f(x) und g(x) berechnest Du folgendermaßen:
      1. Gleichsetzen der beiden Funktionenf(x) und g(x).
      2. Die Gleichung nach x auflösen.
      3. x in die Ausgangsfunktionen f(x) und g(x) einsetzen und y ausrechnen.
      4. Der Punkt ist der x-Wert und der y-Wert.
    • Quadratische Funktionen und Funktionen dritten Grades werden in der Regel mit der pq-Formel oder durch Ausklammern gelöst.
    • Die Berechnung eines Schnittpunktes P zweier E-Funktionenf(x) undg(x) wird meistens durch das Ziehen eines Logarithmus gelöst.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Schnittpunkt zweier Funktionen

    Wie berechnet man den Schnittpunkt von 2 Funktionen? 

    1. Beide gegebenen Funktionen gleichsetzen
    2. Nach x auflösen
    3. x in die Ausgangsfunktionen einsetzen und y berechnen. Wenn beide Funktionen denselben y-Wert in einem Schnittpunkt haben, hat man die richtige Lösung.

    Was ist ein Schnittpunkt zweier Funktionen?

    Der Schnittpunkt P zweier Funktionen f(x) und g(x), ist die Stelle, wo sich die Graphen innerhalb eines Koordinatensystems treffen/schneiden und somit denselben x- und y-Wert besitzen.

    Wo schneiden sich zwei Geraden?

    Zwei Geraden f(x) und g(x) schneiden sich in der Regel in einem Schnittpunkt P. Sie schneiden sich in unendlich vielen Punkten P, wenn sie identisch sind. Sind sie parallel, so haben sie keinen Schnittpunkt P.

    Wann haben zwei Funktionen einen Schnittpunkt?

    Zwei Funktionen haben einen Schnittpunkt, wenn sie sich innerhalb eines Koordinatensystems schneiden und an dieser Stelle dieselben x- und y-Werte haben.

    Lineare Funktionen f(x) und g(x)  können sich ein Mal schneiden. Sie schneiden sich in unendlich vielen Schnittpunkten P , wenn sie identisch sind und in keinem Punkt, wenn sie parallel sind.

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