Kettenregel

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Die Kettenregel ist eine der fundamentalen Ableitungsregeln in der Differentialrechnung. Mit ihr kannst Du verschachtelte Funktionen ableiten. In dieser Erklärung erfährst Du, ausführlich und anhand von Beispielen, wie Du die Kettenregel benutzt.

Kettenregel Ableitung bilden

Die Kettenregel ist ein Konzept der Differentialrechnung, das Dir ermöglicht, Ableitungen von komplexen verketteten Funktionen zu berechnen. Dabei wird die Ableitung einer äußeren Funktion mit der Ableitung einer inneren Funktion kombiniert.

Kettenregel Formel

Eine Funktion \(h(x)\), die aus einer äußeren Funktion \(f(x)\) und einer inneren \(g(x)\) besteht, heißt verkettet.\[h(x)=f(g(x))\]

Die Ableitung \(h'(x)\) berechnet sich als die Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion.

\[h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\]

Das Multiplizieren mit \(g'(x)\) wird häufig auch als „nachdifferenzieren“ bezeichnet.

Kettenregel anwenden

Um die Kettenregel anzuwenden, musst Du zuerst die innere Funktion identifizieren und ihre Ableitung berechnen. Dann multiplizierst Du die Ableitung der inneren Funktion mit der Ableitung der äußeren Funktion, wobei Du die innere Funktion als Argument der äußeren Funktion verwendest.

Äußere Funktion \(f(x)\) bestimmen
Innere Funktion bestimmen \(g(x)\)
Ableiten der inneren und äußeren Funktion
Zusammensetzen nach \(h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)\)

Betrachte folgendes Beispiel:

Angenommen, Du hast die Funktion \(h(x) = \sin(2x+3)\). Die äußere Funktion ist \(\sin(x)\), während die innere Funktion \(2x+3\) ist.

Die Ableitung der inneren Funktion ist 2.

Die Ableitung der äußeren Funktion ist \(\cos(x)\).

Dann lautet die Ableitung von \(h(x)\) mit der Kettenregel:

\begin{align}h(x)&=f(g(x))\\\\f(x)&=\sin(x)\Rightarrow f'(x)=\cos(x)\\g(x)&=2x+3\Rightarrow g'(x) = 2\\\\h'(x)& =f'(g(x))\cdot g'(x)\\h'(x)&=\cos(2x+3)\cdot 2\end{align}

Kettenregel Beispiele

Die Kettenregel hilft Dir dabei, verschachtelte Funktionen abzuleiten. Diese Verschachtelung zu erkennen, ist eine reine Frage der Übung. Im Folgenden findest Du einige Beispiele.

h(x)	f(x) & f'(x)	g(x) & g'(x)	h'(x)
\[h(x) = 8(x-3)^3\]	\begin{align}f(x)&=8x^3\\f'(x)&=24x^2\end{align}	\begin{align}g(x)&=x-3\\g'(x)&=1\end{align}	\[h'(x)=24(x-3)^2\cdot 1\]
\[h(x) = 5(x^3-2)^4\]	\begin{align}f(x)&=5x^4\\f'(x)&=20x^3\end{align}	\begin{align}g(x)&=x^3-2\\g'(x)&=3x^2\end{align}	\[h'(x)=20(x^3-2)^3\cdot 3x^2\]
\[h(x) = 3e^{3x-2}\]	\begin{align}f(x)&=3e^x\\f'(x)&=3e^x\end{align}	\begin{align}g(x)&=3x-2\\g'(x)&=3\end{align}	\[h'(x)=3e^{3x-2}\cdot 3\]

Kettenregel – Herleitung

Die Kettenregel kann direkt mithilfe der Definition des Differenzialquotienten und der h-Methode hergeleitet werden.

Der Differentialquotient ist eine Näherung für die Steigung einer Tangente in einem Punkt einer Funktion. Er ist gegeben als \[f'(x) = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

Die h-Methode entspricht einer Substitution des Terms mit \(h=x-x_0\). Dadurch sieht der Funktionsterm wie folgt aus:\[f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]

Jetzt kann diese Gleichung auf beliebige Funktionen angewandt werden, um die Ableitung zu bestimmen. Der Differentialquotient einer verketteten Funktion \(h(x)=f(g(x))\) ist gegeben durch;

\[h'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\]

Der Bruch kann jetzt erweitert werden.

\[h'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)}\]

Ein Umformen des Ausdrucks ergibt:

\begin{align}h'(x) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot g'(x)\\&=f'(g(x))\cdot g'(x)\end{align}

Kettenregel – Aufgaben

Kettenregel Ableitung – Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(h(x)=(3x-4)^3\). Bestimme die erste Ableitung \(h'(x)\).

Lösung:

Identifiziere die innere und äußere Funktion der verketteten Funktion \(h(x)=(3x-4)^3\).

Äußere Funktion \(f(x)=x^3\)

Innere Funktion \(g(x) = 3x-4\)

Bestimme die jeweiligen Ableitungen: \begin{align} f'(x) &= 3x^2 \\ g'(x) &= 3 \end{align} Füge die Funktionen mit der Kettenregel zusammen \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\): \[h'(x)=3(3x-4)^2\cdot 3 = 9(3x-4)^2\]

Kettenregel Ableitung – Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(h(x)=\sqrt{2x^2-3}\). Bestimme die erste Ableitung \(h'(x)\).

Lösung:

Identifiziere die innere und äußere Funktion der verketteten Funktion \(h(x)=\sqrt{2x^2-3}\).

Äußere Funktion \(f(x)=\sqrt{x}\)

Innere Funktion \(g(x) = 2x^2-3\)

Bestimme die jeweiligen Ableitungen: \begin{align} f'(x) &= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \\ g'(x) &= 4x \end{align} Füge die Funktionen mit der Kettenregel zusammen \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\): \[h'(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2x^2-3}}\cdot 4x = \frac{2x}{\sqrt{2x^2-3}}\]

Kettenregel Ableitung – Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(h(x)=e^{3x^2}\). Bestimme die erste Ableitung \(h'(x)\).

Lösung:

Identifiziere die innere und äußere Funktion der verketteten Funktion \(h(x)=e^{3x^2}\).

Äußere Funktion \(f(x)=e^x\)

Innere Funktion \(g(x) = 3x^2\)

Bestimme die jeweiligen Ableitungen: \begin{align} f'(x) &= e^x \\ g'(x) &= 6x \end{align} Füge die Funktionen mit der Kettenregel zusammen \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\): \[h'(x)=e^{3x^2}\cdot 6x = 6x \cdot e^{3x^2}\]

Kettenregel – Das Wichtigste auf einen Blick

Kettenregel-Ableitung: Die Ableitung einer Verkettung von zwei Funktionen \(h(x)=f(g(x))\) lautet \[h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\]
Schritte beim Ableiten mit der Kettenregel:
1. Identifizieren der äußeren und inneren Funktion
2. Berechnen der Ableitungen der äußeren und inneren Funktion
3. Einsetzen der Ableitungen in die Kettenregel
Die Kettenregel kann direkt mithilfe des Differentialquotients hergeleitet werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kettenregel

Das nachträgliche Multiplizieren mit g'(x) beim Anwenden der Kettenregel wird als Nachdifferenzieren bezeichnet.

Man braucht die Kettenregel immer dann, wenn eine Funktion abgeleitet werden soll, die aus einer Verkettung zweier Funktionen f(x) und g(x) besteht.

Ableitungsregeln sind Hilfen beim Ableiten. Sie geben vor, wie bestimmte Funktionstypen abgeleitet werden.

Wenn eine Funktion in eine andere Funktion eingesetzt wird, muss mit der Kettenregel abgeleitet werden. Die Ableitung einer Verkettung von Funktionen wird gebildet, indem die äußere Funktion abgeleitet und mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird.

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Frage

Bilde zu den nachfolgenden Funktionen die erste Ableitung!

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Frage

Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen!

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Frage

Berechne die erste Ableitung der Funktion f!

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Berechne die erste Ableitung der Funktion f!

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Berechne die erste Ableitung!

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Frage

Leite die folgenden Therme nach x ab.

(Verwende hierfür die Kettenregel)

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Frage

Leite die folgenden Therme nach x ab.

(Verwende hierfür die Kettenregel)

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Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.

a) f(x) = sin(x³)

b) f(x) = (4x² + 7)³

c) f(x) = 2⋅cos(3x²)

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Antwort

a) f'(x) = 3x²⋅cos(x³)

b) f'(x) = 24x⋅(4x² + 7)²

c) f'(x) = -12x⋅sin (3x²)

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Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.

a) f(x) = 2⋅cos(3x²)

b) f(x) = (2x² + 3x)²

c) f(x) = 3⋅cos(2x³)

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Antwort

a) f'(x) = -12x⋅sin(3x²)

b) f'(x) = 16x³+36x² +18x

c) f'(x) = -18x²⋅sin(2x³)

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Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.

a) f(x) = sin(4x³)

b) f(x) = (x + x²)³

c) f(x) = -3⋅cos(x²)

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Antwort

a) f'(x) = 12x²⋅cos(4x³)

b) f'(x) = (3 + 6x)⋅(x + x²)²

c) f'(x) = 6x⋅sin (x²)

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Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.

a) f(x) = -2⋅sin(x²)

b) f(x) = (x² + 2)²

c) f(x) = -2⋅cos(5x²+3)

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Antwort

a) f'(x) = -4x⋅cos(x²)

b) f'(x) = 4x³ + 8x

c) f'(x) = 20x⋅sin(5x² + 3)

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Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Kettenregel?

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Antwort

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Frage

Beschreiben Sie was man unter dem Term verkettete Funktion versteht!

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Antwort

Zwei Funktionen g(x) und h(x) können zu einer neuen Funktion f(x) zusammengesetzt werden, indem man sie verkettet. Der Term der einen Funktion wird dabei in die Variable der anderen Funktion eingesetzt. Aufgrund der Verknüpfungsreihenfolge spricht man von einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion. Bei der mathematischen Schreibweise f = g ° h (lies: f ist die Verkettung von g mit h) ist die Reihenfolge wichtig, da die an zweiter Stelle stehende Funktion immer die einzusetzende (innere) Funktion ist.

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Frage

Wie lautet die Merkregel zur Kettenregel?

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Antwort

Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit Ableitung der inneren Funktion (oder kurz: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“).

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Frage

Stellen Sie die beiden Funktionsgleichungen g(x) und h(x), die für f(x) verkettet wurden, getrennt auf. Achten Sie auf die Reihenfolge der Verkettung.

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Frage

Bestimme die erste Ableitung von f(x)!

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Bestimme die erste Ableitung von f(x)!

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Was ist Nachdifferenzieren?

Wann braucht man die Kettenregel?

Was sind Ableitungsregeln?

Wie leitet man in der Klammer ab?

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