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Kettenregel

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Kettenregel

Du hast in der Schule bestimmt schon die Ableitung kennengelernt. Es existieren sehr unterschiedliche Funktionen, die dann auch auf unterschiedliche Weise abgeleitet werden müssen. Dazu können hilfreiche Ableitungsregeln für bestimmte Funktionstypen verwendet werden.

Es gibt

In diesem Artikel wirst du mehr über die Kettenregel erfahren. Wie der Name schon sagt, kannst du diese Ableitungsregel immer verwenden, wenn du eine Funktion ableiten musst, die aus einer Verkettung zweier Funktionen besteht.

Kettenregel Kette Definition StudySmarter

Kettenregel – Grundlagen

Damit du die Kettenregel anwenden kannst, musst du zuerst einmal wissen, was verkettete Funktionen sind. Zwei Funktionen und können zu einer neuen Funktion zusammengesetzt werden, indem sie verkettet werden. Das Verketten ist zusammen mit der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division einer der fünf Möglichkeiten, zwei Funktionen zu verknüpfen.

Für zwei Funktionen Kettenregel äußere Funktion StudySmarter und Kettenregel innere Funktion StudySmarter heißt die Funktion Kettenregel Verkettung von Funktionen StudySmarter Verkettung der Funktionen g und h.

  • Die Funktion g wird auch als äußere Funktion bezeichnet.
  • Die Funktion h wird auch als innere Funktion bezeichnet.

Bei dem Kringel handelt es sich natürlich nicht um das Zeichen für das Skalarprodukt, sondern um das Zeichen für die Verkettung von Funktionen.

Die mathematische Schreibweise lautet: (sprich: "h ist die Verkettung von f mit g"). Die innere Funktion wird stets als Erstes und die äußere Funktion als Zweites ausgeführt. Der Term der inneren Funktion wird dann für die Variable der äußeren Funktion eingesetzt.

Damit ist die Reihenfolge besonders wichtig, da die an zweiter Stelle stehende Funktion die einzusetzende Funktion ist:

.

Zum besseren Verständnis kannst du dir dieses Beispiel von zusammengesetzten Funktionen ansehen.

Aufgabe 1

Betrachte die Funktionen und . Gib die verketteten Funktionen und an.

Lösung

Bestimmen von :

Hier ist g die äußere Funktion und h die innere Funktion.

Bestimmen von :

Hier ist h die äußere Funktion und g die innere Funktion.

Da du jetzt weißt, was eine Verkettung von Funktionen ist, lernst du im nächsten Kapitel, wie du diese Funktionen mithilfe der Kettenregel ableiten kannst.

Kettenregel – Ableiten

Die Ableitung einer Verkettung von Funktionen wird gebildet, indem die äußere Funktion abgeleitet und mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird. Das Multiplizieren mit der Ableitung der inneren Funktion wird als Nachdifferenzieren bezeichnet.

Mathematisch aufgeschrieben lautet die Kettenregel folgendermaßen:

Kettenregel

Seien g und f zwei Funktionen.

  • Die Funktion g ist an der Stelle differenzierbar.
  • Die Funktion f ist an der Stelle differenzierbar.

Dann ist die Verkettung der Funktionen an der Stelle x differenzierbar und die Ableitung lautet:

Kettenregel Ableiten Formel StudySmarter

ist dabei die äußere Ableitung und die innere Ableitung.

Die Kettenregel besagt also, dass an der Stelle abgeleitet wird und dies anschließend mit der Ableitung von multipliziert wird. Es gilt also:

Ableitung = äußere Ableitung · innere Ableitung

Die Kettenregel wird also immer dann verwendet, wenn eine Verkettung von Funktionen abgeleitet werden muss. Damit du die Kettenregel besser verstehen und anwenden kannst, schaue dir die folgenden Beispielaufgaben an.

Kettenregel Aufgaben Ableiten StudySmarter

Kettenregel – Beispielaufgaben

Wenn du mithilfe der Kettenregel eine verkettete Funktion ableiten möchtest, kannst du dich an folgende Reihenfolge halten:

  1. Identifizieren der äußeren und inneren Funktion
  2. Berechnen der Ableitungen der inneren und äußeren Funktion
  3. Einsetzen der Ableitungen in die Kettenregel

Wie das genau funktioniert, erfährst du in den folgenden Beispielen.

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion . Bestimme die erste Ableitung dieser Funktion.

Lösung

1. Identifizieren der äußeren und inneren Funktion.

Betrachten wir also die gegebene Funktion:

Funktion
Außen
Innen

2. Berechnen der Ableitungen der äußeren und inneren Funktion.

Funktion
Ableitung
Außen
Innen

3. Einsetzen der Ableitungen in die Kettenregel.

Im nächsten Beispiel schauen wir uns einmal an, wie die Kettenregel kombiniert mit der e-Funktion abläuft.

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion . Bestimme die erste Ableitung dieser Funktion.

Lösung

1. Identifizieren der äußeren und inneren Funktion.

Betrachten wir also die gegebene Funktion:

Funktion
Außen
Innen

2. Berechnen der Ableitungen der äußeren und inneren Funktion.

Funktion
Ableitung
Außen
Innen

3. Einsetzen der Ableitungen in die Kettenregel.

Im dritten Beispiel leiten wir eine gebrochen rationale Funktion mit der Kettenregel ab. Du könntest diese Funktion auch mit der Quotientenregel ableiten.

Aufgabe 4

Gegeben ist die Funktion . Bestimme die erste Ableitung dieser Funktion.

Lösung

1. Identifizieren der äußeren und inneren Funktion.

Betrachten wir also die gegebene Funktion:

Funktion
Außen
Innen

2. Berechnen der Ableitungen der äußeren und inneren Funktion.

Funktion
Ableitung
Außen
Innen

3. Einsetzen der Ableitungen in die Kettenregel.

Im vierten Beispiel siehst du, wie du die Kettenregel auf eine Funktion mit einer Wurzel anwenden kannst.

Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktion . Bestimme die erste Ableitung dieser Funktion.

Lösung

1. Identifizieren der äußeren und inneren Funktion.

Betrachten wir also die gegebene Funktion:

Funktion
Innen
Außen

2. Berechnen der Ableitungen der äußeren und inneren Funktion.

Funktion
Ableitung
Innen
Außen

3. Einsetzen der Ableitungen in die Kettenregel.

Kettenregel – Herleitung

Willst du erfahren, woher die Kettenregel überhaupt kommt? Wenn dir der Differenzialquotient und die h-Methode etwas sagen, dann kannst du genau das im nächsten Abschnitt nachlesen. Hast du die begriffe noch nie gehört? Dann kannst du den Absatz einfach überspringen.

Die Kettenregel kann direkt mithilfe der Definition der Ableitung bewiesen werden. Die Ableitung wird über den Differenzialquotienten und die h-Methode definiert.

Vorausgesetzt wird, dass g an der Stelle h(x) differenzierbar ist und h an der Stelle x differenzierbar ist. Da die Ableitung einer Funktion den Unterschied in einem so klein wie möglichen Intervall darstellt, sieht der allgemeine Differenzenquotient so aus:

Jetzt kommt die h-Methode ins Spiel, indem eine Art Substitution durchgeführt wird und in die Gleichung eingesetzt wird.

Dadurch, dass es jetzt nur noch gibt, kannst du es auch x nennen.

Der Differenzenquotient mit der h-Methode einer Funktion lautet:

Kettenregel Differenzenquotient StudySmarter

Das kann auf eine verkettete Funktion angewendet werden.

Kettenregel Differenzenquotient StudySmarter

Der Bruch kann jetzt erweitert werden.

Mit dem Kommutativgesetz wird dieser Ausdruckt noch umgeformt:

Vielleicht fällt dir auf, dass der zweite Bruch gegen konvergiert für .

Schaue zurück auf die Definition der Ableitung einer Funktion. Dort steht genau die gleiche Funktion, nur mit anderen Variablen.

.

Auch den ersten Bruch kannst du durch eine Ableitung ersetzen. Der erste Bruch ist der Differenzenquotient von zu den Stellen und .

Somit konvergiert der erste Bruch gegen die Ableitung der Funktion an der Stelle , das heißt gegen .

Nachdem du jetzt ein Profi im Thema Kettenregel bist, findest du hier nochmal eine kurze Übersicht mit den wichtigsten Punkten aus diesem Artikel.

Kettenregel – Das Wichtigste auf einen Blick

  • Kettenregel: Die Verkettung von zwei Funktionen ist an der Stelle x differenzierbar, wenn an der Stelle x differenzierbar ist und an der Stelle differenzierbar istund die Ableitung lautet:
  • Schritte beim Ableiten mit der Kettenregel:
    1. Identifizieren der äußeren und inneren Funktion
    2. Berechnen der Ableitungen der äußeren und inneren Funktion
    3. Einsetzen der Ableitungen in die Kettenregel
  • Anwendung: Die Kettenregel wird immer dann verwendet, wenn eine Verkettung von Funktionen abgeleitet werden muss.
  • Die Kettenregel kann direkt mithilfe der Definition der Ableitung bewiesen werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kettenregel

Das Bilden des Faktors g'(x) (innere Ableitung) wird als Nachdifferenzieren bezeichnet.

Man braucht die Kettenregel immer dann, wenn eine Funktion abgeleitet werden soll, die aus einer Verkettung zweier Funktionen f(x) und g(x) besteht.

Ableitungsregeln sind Hilfen beim Ableiten. Sie geben vor, wie bestimmte Funktionstypen abgeleitet werden.

Wenn eine Funktion in eine andere Funktion eingesetzt wird, muss mit der Kettenregel abgeleitet werden. Die Ableitung einer Verkettung von Funktionen wird gebildet, indem die äußere Funktion abgeleitet und mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird.

Finales Kettenregel Quiz

Frage

Bilde zu den nachfolgenden Funktionen die erste Ableitung!


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen!


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne die erste Ableitung der Funktion f!




Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne die erste Ableitung der Funktion f!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne die erste Ableitung!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Leite die folgenden Therme nach x ab.

(Verwende hierfür die Kettenregel)



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Leite die folgenden Therme nach x ab.

(Verwende hierfür die Kettenregel)


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = sin(x³)

b) f(x) = (4x² + 7)³

c) f(x) = 2⋅cos(3x²)

Antwort anzeigen

Antwort

a) f'(x) = 3x²⋅cos(x³)

b) f'(x) = 24x⋅(4x² + 7)²

c) f'(x) = -12x⋅sin (3x²)

Frage anzeigen

Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = 2⋅cos(3x²)

b) f(x) = (2x² + 3x)²

c) f(x) = 3⋅cos(2x³)


Antwort anzeigen

Antwort

a) f'(x) = -12x⋅sin(3x²)

b) f'(x) = 16x³+36x² +18x 

c) f'(x) = -18x²⋅sin(2x³) 

Frage anzeigen

Frage


Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = sin(4x³)

b) f(x) = (x + x²)³

c) f(x) = -3⋅cos(x²)

Antwort anzeigen

Antwort

a) f'(x) = 12x²⋅cos(4x³)

b) f'(x) = (3 + 6x)⋅(x + x²)²

c) f'(x) = 6x⋅sin (x²)

Frage anzeigen

Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = -2⋅sin(x²)

b) f(x) = (x² + 2)²

c) f(x) = -2⋅cos(5x²+3)

Antwort anzeigen

Antwort

a) f'(x) = -4x⋅cos(x²)

b) f'(x) = 4x³ + 8x 

c) f'(x) = 20x⋅sin(5x² + 3)

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Kettenregel?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Beschreiben Sie was man unter dem Term verkettete Funktion versteht!

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Funktionen g(x) und h(x) können zu einer neuen Funktion f(x) zusammengesetzt werden, indem man sie verkettet. Der Term der einen Funktion wird dabei in die Variable der anderen Funktion eingesetzt. Aufgrund der Verknüpfungsreihenfolge spricht man von einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion. Bei der mathematischen Schreibweise f = g ° h (lies: f ist die Verkettung von g mit h) ist die Reihenfolge wichtig, da die an zweiter Stelle stehende Funktion immer die einzusetzende (innere) Funktion ist.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Merkregel zur Kettenregel?

Antwort anzeigen

Antwort

Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit Ableitung der inneren Funktion (oder kurz: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“).

Frage anzeigen

Frage

Stellen Sie die beiden Funktionsgleichungen g(x) und h(x), die für f(x) verkettet wurden, getrennt auf. Achten Sie auf die Reihenfolge der Verkettung.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung von f(x)!



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung von f(x)!


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen
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