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Du hast in der Schule bestimmt schon die Ableitung kennengelernt. Es existieren sehr unterschiedliche Funktionen, die dann auch auf unterschiedliche Weise abgeleitet werden müssen. Dazu können hilfreiche Ableitungsregeln für bestimmte Funktionstypen verwendet werden.
Es gibt
In diesem Artikel wirst du mehr über die Kettenregel erfahren. Wie der Name schon sagt, kannst du diese Ableitungsregel immer verwenden, wenn du eine Funktion ableiten musst, die aus einer Verkettung zweier Funktionen besteht.
Damit du die Kettenregel anwenden kannst, musst du zuerst einmal wissen, was verkettete Funktionen sind. Zwei Funktionen 
und 
können zu einer neuen Funktion 
zusammengesetzt werden, indem sie verkettet werden. Das Verketten ist zusammen mit der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division einer der fünf Möglichkeiten, zwei Funktionen zu verknüpfen.
Für zwei Funktionen 
und 
heißt die Funktion 
Verkettung der Funktionen g und h.
Bei dem Kringel 
handelt es sich natürlich nicht um das Zeichen für das Skalarprodukt, sondern um das Zeichen für die Verkettung von Funktionen.
Die mathematische Schreibweise lautet: 
(sprich: "h ist die Verkettung von f mit g"). Die innere Funktion wird stets als Erstes und die äußere Funktion als Zweites ausgeführt. Der Term der inneren Funktion wird dann für die Variable der äußeren Funktion eingesetzt.
Damit ist die Reihenfolge besonders wichtig, da die an zweiter Stelle stehende Funktion die einzusetzende Funktion ist:
.
Zum besseren Verständnis kannst du dir dieses Beispiel von zusammengesetzten Funktionen ansehen.
Aufgabe 1
Betrachte die Funktionen 
und 
. Gib die verketteten Funktionen 
und 
an.
Lösung
Bestimmen von 
:
Hier ist g die äußere Funktion und h die innere Funktion.
Bestimmen von 
:
Hier ist h die äußere Funktion und g die innere Funktion.
Da du jetzt weißt, was eine Verkettung von Funktionen ist, lernst du im nächsten Kapitel, wie du diese Funktionen mithilfe der Kettenregel ableiten kannst.
Die Ableitung einer Verkettung von Funktionen wird gebildet, indem die äußere Funktion abgeleitet und mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird. Das Multiplizieren mit der Ableitung der inneren Funktion wird als Nachdifferenzieren bezeichnet.
Mathematisch aufgeschrieben lautet die Kettenregel folgendermaßen:
Kettenregel
Seien g und f zwei Funktionen.
Dann ist die Verkettung der Funktionen 
an der Stelle x differenzierbar und die Ableitung lautet:
ist dabei die äußere Ableitung und 
die innere Ableitung.
Die Kettenregel besagt also, dass 
an der Stelle 
abgeleitet wird und dies anschließend mit der Ableitung von 
multipliziert wird. Es gilt also:
Ableitung = äußere Ableitung · innere Ableitung
Die Kettenregel wird also immer dann verwendet, wenn eine Verkettung von Funktionen abgeleitet werden muss. Damit du die Kettenregel besser verstehen und anwenden kannst, schaue dir die folgenden Beispielaufgaben an.
Wenn du mithilfe der Kettenregel eine verkettete Funktion ableiten möchtest, kannst du dich an folgende Reihenfolge halten:
Wie das genau funktioniert, erfährst du in den folgenden Beispielen.
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion 
. Bestimme die erste Ableitung dieser Funktion.
Lösung
1. Identifizieren der äußeren und inneren Funktion.
Betrachten wir also die gegebene Funktion:
Außen |  |
Innen |  |
2. Berechnen der Ableitungen der äußeren und inneren Funktion.
Funktion | Ableitung | |
Außen |  |  |
Innen |  |  |
3. Einsetzen der Ableitungen in die Kettenregel.
Im nächsten Beispiel schauen wir uns einmal an, wie die Kettenregel kombiniert mit der e-Funktion abläuft.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion 
. Bestimme die erste Ableitung dieser Funktion.
Lösung
1. Identifizieren der äußeren und inneren Funktion.
Betrachten wir also die gegebene Funktion:
Außen |  |
Innen |  |
2. Berechnen der Ableitungen der äußeren und inneren Funktion.
Funktion | Ableitung | |
Außen |  |  |
Innen |  |  |
3. Einsetzen der Ableitungen in die Kettenregel.
Im dritten Beispiel leiten wir eine gebrochen rationale Funktion mit der Kettenregel ab. Du könntest diese Funktion auch mit der Quotientenregel ableiten.
Aufgabe 4
Gegeben ist die Funktion 
. Bestimme die erste Ableitung dieser Funktion.
Lösung
1. Identifizieren der äußeren und inneren Funktion.
Betrachten wir also die gegebene Funktion:
Außen |  |
Innen |  |
2. Berechnen der Ableitungen der äußeren und inneren Funktion.
Funktion | Ableitung | |
Außen |  |  |
Innen |  |  |
3. Einsetzen der Ableitungen in die Kettenregel.
Im vierten Beispiel siehst du, wie du die Kettenregel auf eine Funktion mit einer Wurzel anwenden kannst.
Aufgabe 5
Gegeben ist die Funktion 
. Bestimme die erste Ableitung dieser Funktion.
Lösung
1. Identifizieren der äußeren und inneren Funktion.
Betrachten wir also die gegebene Funktion:
Innen |  |
Außen |  |
2. Berechnen der Ableitungen der äußeren und inneren Funktion.
Funktion | Ableitung | |
Innen |  |  |
Außen |  |  |
3. Einsetzen der Ableitungen in die Kettenregel.
Willst du erfahren, woher die Kettenregel überhaupt kommt? Wenn dir der Differenzialquotient und die h-Methode etwas sagen, dann kannst du genau das im nächsten Abschnitt nachlesen. Hast du die begriffe noch nie gehört? Dann kannst du den Absatz einfach überspringen.
Die Kettenregel kann direkt mithilfe der Definition der Ableitung bewiesen werden. Die Ableitung wird über den Differenzialquotienten und die h-Methode definiert.
Vorausgesetzt wird, dass g an der Stelle h(x) differenzierbar ist und h an der Stelle x differenzierbar ist. Da die Ableitung einer Funktion 
den Unterschied in einem so klein wie möglichen Intervall darstellt, sieht der allgemeine Differenzenquotient so aus:
Jetzt kommt die h-Methode ins Spiel, indem eine Art Substitution durchgeführt wird und 
in die Gleichung eingesetzt wird.
Dadurch, dass es jetzt nur noch 
gibt, kannst du es auch x nennen.
Der Differenzenquotient mit der h-Methode einer Funktion 
lautet:
Das kann auf eine verkettete Funktion 
angewendet werden.
Der Bruch kann jetzt erweitert werden.
Mit dem Kommutativgesetz wird dieser Ausdruckt noch umgeformt:
Vielleicht fällt dir auf, dass der zweite Bruch gegen 
konvergiert für 
.
Schaue zurück auf die Definition der Ableitung einer Funktion. Dort steht genau die gleiche Funktion, nur mit anderen Variablen.
.
Auch den ersten Bruch kannst du durch eine Ableitung ersetzen. Der erste Bruch ist der Differenzenquotient von 
zu den Stellen 
und 
.
Somit konvergiert der erste Bruch gegen die Ableitung der Funktion 
an der Stelle 
, das heißt gegen 
.
Nachdem du jetzt ein Profi im Thema Kettenregel bist, findest du hier nochmal eine kurze Übersicht mit den wichtigsten Punkten aus diesem Artikel.
ist an der Stelle x differenzierbar, wenn 
an der Stelle x differenzierbar ist und 
an der Stelle 
differenzierbar istund die Ableitung lautet: 
Das Bilden des Faktors g'(x) (innere Ableitung) wird als Nachdifferenzieren bezeichnet.
Man braucht die Kettenregel immer dann, wenn eine Funktion abgeleitet werden soll, die aus einer Verkettung zweier Funktionen f(x) und g(x) besteht.
Ableitungsregeln sind Hilfen beim Ableiten. Sie geben vor, wie bestimmte Funktionstypen abgeleitet werden.
Wenn eine Funktion in eine andere Funktion eingesetzt wird, muss mit der Kettenregel abgeleitet werden. Die Ableitung einer Verkettung von Funktionen wird gebildet, indem die äußere Funktion abgeleitet und mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird.
Frage
Bilde zu den nachfolgenden Funktionen die erste Ableitung!
Antwort
Frage
Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen!
Antwort
Frage
Berechne die erste Ableitung!
Antwort
Frage
Antwort
Frage
Bestimme die erste Ableitung!
Antwort
Frage
Berechne die erste Ableitung!
Antwort
Frage
Berechne die erste Ableitung!
Antwort
Frage
Berechne die erste Ableitung mittels der Kettenregel!
Antwort
Frage
Berechne die erste Ableitung der Funktion f!
Antwort
Frage
Berechne die erste Ableitung der Funktion f!
Antwort
Frage
Berechne die erste Ableitung!
Antwort
Frage
Leite die folgenden Therme nach x ab.
(Verwende hierfür die Kettenregel)
Antwort
Frage
Leite die folgenden Therme nach x ab.
(Verwende hierfür die Kettenregel)
Antwort
Frage
Wie lautet die allgemeine Formel für die Kettenregel?
Antwort
Frage
Stellen Sie die beiden Funktionsgleichungen g(x) und h(x), die für f(x) verkettet wurden, getrennt auf. Achten Sie auf die Reihenfolge der Verkettung.
Antwort
Frage
Bestimme die erste Ableitung von f(x)!
Antwort
Frage
Bestimme die erste Ableitung von f(x)!
Antwort
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