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Ist dir schon einmal die sogenannte log-Funktion aufgefallen? Die Logarithmusfunktion benötigst du sowohl für deine Schulaufgaben als auch für einige physikalische Phänomene.Die allgemeine Logarithmusfunktion wird mit folgender Funktionsgleichung definiert.Die Funktion f(x) mitf(x)=logb(x)wird Logarithmusfunktion genannt, wobei b,x∈ℝ+ und b≠1.Gesprochen wird das als "Logarithmus von x zur Basis b".Die Basis b und die Variable x müssen dabei immer größer 0 sein. Zusätzlich darf die Basis b nicht 1 sein.Schau dir zum Verständnis ein…
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Jetzt kostenlos anmeldenIst dir schon einmal die sogenannte log-Funktion aufgefallen? Die Logarithmusfunktion benötigst du sowohl für deine Schulaufgaben als auch für einige physikalische Phänomene.
Die allgemeine Logarithmusfunktion wird mit folgender Funktionsgleichung definiert.
Die Funktion mit
wird Logarithmusfunktion genannt, wobei und .
Gesprochen wird das als "Logarithmus von zur Basis ".
Die Basis und die Variable müssen dabei immer größer sein. Zusätzlich darf die Basis nicht sein.
Schau dir zum Verständnis ein Schaubild der Logarithmusfunktion mit der Basis an.
Abbildung 1: Schaubild einer Logarithmusfunktion mit b=2
Doch was genau sagt die Logarithmusfunktion aus?
Hierbei könnte es hilfreich sein, wenn du zuerst einen Blick in die Artikel im Themenbereich "Exponentialfunktion" wirfst, da diese zur Erklärung notwendig sind.
Schau dir nun dazu erst einmal ein Beispiel an.
Stell dir vor, du hast die folgende Gleichung gegeben.
ist die Bedingung dafür, damit die Gleichung stimmt. Doch wie würdest du darauf kommen, wenn du das nicht sofort sehen würdest?Genau an dieser Stelle greift der Logarithmus ein, um solche Gleichungen zu lösen. Dies würde dann wie folgt aussehen.
Würdest du nun in den Taschenrechner den Ausdruck eingeben, würdest du folgende Lösung erhalten.
Damit hast du dir also die Frage beantwortet, mit welcher Zahl du potenzieren musst, damit du als Lösung erhältst.
Mathematisch definiert sieht das dann so aus:
Die Zahl ist die Zahl, für die die folgende Gleichung gilt:
Du kannst dir also auch merken, dass du dir beim Logarithmus folgende Frage stellen kannst: "Mit welcher Zahl muss ich potenzieren, um als Lösung zu erhalten?"
Weil aus die Gleichung folgt, kannst du dir die beiden Folgerungen des Logarithmus' merken.
Um mit dem Logarithmus zu rechnen, gibt es verschiedene Rechenregeln. Dazu kannst du dir die folgende Tabelle anschauen.
Logarithmusgesetz | |
Produktregel | |
Quotientenregel | |
1. Potenzregel | |
2. Potenzregel | |
Basiswechsel |
Wenn du mehr zu den Rechenregeln wissen möchtest, lies dir den Artikel "Logarithmusgesetze" durch.
Bei der Logarithmusfunktion gibt es drei Sonderfälle. Einmal für die Basis , einmal für und für .
Wenn die Basis der Eulerschen Zahl e entspricht, kann die allgemeine Logarithmusfunktion wie folgt umgeschrieben werden.
Die Funktion mit
wird natürliche Logarithmusfunktion, oder auch ln-Funktion, genannt, wobei .
Mehr dazu kannst du auch im Artikel "e Funktion" und "ln Funktion" nachlesen.
Wenn die Basis der Zahl entspricht, wird oftmals die Basis weggelassen.
Die Funktion mit
wird Zehnerlogarithmus genannt, wobei .
In der Definition der Logarithmusfunktion wurde die Basis bereits ausgeschlossen.
Betrachte dazu erst einmal das folgende Schaubild.
Abbildung 2: Funktion mit b=1
Wie du siehst, ergibt sich aus der Basis eine Senkrechte mit der Gleichung . Doch warum ist das so?
Was passiert, wenn du die Zahl mit , oder potenzierst?
Du erhältst wieder die Zahl . Egal, mit welcher Zahl du die Zahl potenzierst, das Ergebnis ist immer .
Rechnerisch lässt sich dies wie folgt beschreiben.
Da es sich bei der Gleichung um keine Funktionsgleichung handelt, weil einem mehrere zugeordnet werden, muss der Wert ausgeschlossen werden.
Die allgemeine Logarithmusfunktion besitzt, wie alle anderen Funktionen auch, gewisse Eigenschaften.
Die allgemeine Logarithmusfunktion hängt eng mit der allgemeinen Exponentialfunktion zusammen. Das kommt daher, dass die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist und umgekehrt.
Zur Erinnerung:
Mathematisch lautet das wie folgt.
Die Funktion mit
wird als Umkehrfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion bezeichnet.
Klingt etwas umständlich? Dann schau dir dazu direkt einmal ein kleines Beispiel an.
Gegeben ist die Funktion . Die Umkehrfunktion dazu lautet .
Abbildung 3: Umkehrfunktion
In der Abbildung kannst du erkennen, dass die Umkehrfunktion durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden entstanden ist.
Du weißt bereits von der Definition des allgemeinen Logarithmus', dass für lediglich positive Werte eingesetzt werden dürfen. Damit ergibt sich folgender Definitionsbereich für die allgemeine Logarithmusfunktion.
Da die allgemeine Logarithmusfunktion weder nach oben noch nach unten beschränkt ist, besitzt sie folgenden Wertebereich.
Als Nächstes kannst du die Nullstellen der allgemeinen Logarithmusfunktion bestimmen.
Zur Erinnerung:
Dazu musst du die Funktionsgleichung gleich setzen.
Wendest du nun die Umkehrfunktion an, erhältst du folgenden Ausdruck.
Löst du diese Gleichung voll auf, erhältst du folgende Nullstelle.
Damit ergibt sich folgende Definition.
Es besitzt also jede Logarithmusfunktion die Nullstelle , egal welche Basis sie besitzt.
Die Monotonie der allgemeinen Logarithmusfunktion hängt von der Basis ab.
Wenn du noch einmal wissen möchtest, was genau die Monotonie ist, schau dir unseren Artikel "Monotonie" an.
Für ist die allgemeine Logarithmusfunktion streng monoton wachsend.
Für ist die allgemeine Logarithmusfunktion streng monoton fallend.
Dieses Verhalten kannst du dir auch am folgenden Beispiel verdeutlichen.
Betrachte zunächst die folgende Abbildung.
Abbildung 4: Monotonie
Du siehst, dass die Funktion mit streng monoton wachsend und die Funktion mit streng monoton fallend ist.
Die Funktion entsteht durch die Funktion durch Spiegelung an der . Dabei muss sowohl bei der Funktion als auch bei der Funktion die Basis dieselbe sein.
Im Folgenden lernst du die Ableitung der Logarithmusfunktion kennen.
Wenn du mehr Details zur Ableitung wissen möchtest, kannst du diese im Artikel Logarithmus ableiten nachlesen.
Allgemein gilt für die Ableitung der Logarithmusfunktion:
Die Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion lautet:
Schau dir dazu diese Übung an, um die Ableitung besser zu verstehen.
Aufgabe
Bilde die Ableitung der Funktion mit .
Lösung
Nutze die Formel aus dem vorherigen Abschnitt und du erhältst folgende Ableitung.
Die Ableitung sieht also folgendermaßen aus:
Abbildung 5: Ableitung Allgemeine Logarithmusfunktion
Halten wir kurz noch mathematisch fest, was für die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion gilt.
Mehr Hintergrundwissen zu dieser Funktion kannst du dir im Artikel "Ln Funktion" aneignen.
Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion lautet:
Logarithmusfunktion | |
Funktionsgleichung | |
Definitionsmenge | |
Wertebereich | |
Nullstelle | |
Monotonie | Für : Streng monoton wachsendFür : Streng monoton fallend |
Ableitung | |
Umkehrfunktion |
Die ln-Funktion ist eine besondere Logarithmusfunktion. Nämlich die zur Basis e (Eulersche Zahl). Dementsprechend kannst du sie auch wie folgt schreiben:
f(x)=loge(x)=ln(x)
Du nimmst also immer dann die ln-Funktion, wenn du mit der Eulerschen Zahl arbeitest.
Die Logarithmusfunktion f(x)=logb(x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x)=ax.
Wenn es die Gleichung f(x)=y=logb(x) gibt, dann ist y diejenige Zahl, die dann folgende Gleichung löst: by=x.
Es klärt also, mit welcher Zahl y man b potenzieren muss, um x als Lösung zu erhalten.
Mathematisch gesehen nicht, weil die Funktion weder nach oben noch nach unten eine Schranke (einen Wert, den die Funktion nicht über- oder unterschreitet) hat.
Aber sowohl die Basis b als auch die Variable x dürfen nur positive reelle Zahlen sein.
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