Allgemeine Logarithmusfunktion

Q: Wann nimmt man log und wann ln?

Die ln-Funktion ist eine besondere Logarithmusfunktion. Nämlich die zur Basis e (Eulersche Zahl). Dementsprechend kannst du sie auch wie folgt schreiben:f(x)=loge(x)=ln(x)Du nimmst also immer dann die ln-Funktion, wenn du mit der Eulerschen Zahl arbeitest.

Q: Was ist die Logarithmusfunktion?

Die Logarithmusfunktion f(x)=logb(x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x)=ax.

Q: Was berechnet der Logarithmus?

Wenn es die Gleichung f(x)=y=logb(x) gibt, dann ist y diejenige Zahl, die dann folgende Gleichung löst: by=x.Es klärt also, mit welcher Zahl y man b potenzieren muss, um x als Lösung zu erhalten.

Q: Ist der Logarithmus beschränkt?

Mathematisch gesehen nicht, weil die Funktion weder nach oben noch nach unten eine Schranke (einen Wert, den die Funktion nicht über- oder unterschreitet) hat.Aber sowohl die Basis b als auch die Variable x dürfen nur positive reelle Zahlen sein.

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Ist dir schon einmal die sogenannte log-Funktion aufgefallen? Die Logarithmusfunktion benötigst du sowohl für deine Schulaufgaben als auch für einige physikalische Phänomene.

Allgemeine Logarithmusfunktion – Definition

Die allgemeine Logarithmusfunktion wird mit folgender Funktionsgleichung definiert.

Die Funktion $f (x)$ mit

$f (x) = \log_{b} (x)$

wird Logarithmusfunktion genannt, wobei $b, x \in ℝ^{+}$ und $b \neq 1$ .

Gesprochen wird das als "Logarithmus von $x$ zur Basis $b$ ".

Die Basis $b$ und die Variable $x$ müssen dabei immer größer $0$ sein. Zusätzlich darf die Basis $b$ nicht $1$ sein.

Schau dir zum Verständnis ein Schaubild der Logarithmusfunktion mit der Basis $b = 2$ an.

Allgemeine Logarithmusfunktion Allgemeines Schaubild Definition StudySmarter Abbildung 1: Schaubild einer Logarithmusfunktion mit b=2

Allgemeinen Logarithmusfunktion – Erklärung

Doch was genau sagt die Logarithmusfunktion aus?

Hierbei könnte es hilfreich sein, wenn du zuerst einen Blick in die Artikel im Themenbereich "Exponentialfunktion" wirfst, da diese zur Erklärung notwendig sind.

Schau dir nun dazu erst einmal ein Beispiel an.

Stell dir vor, du hast die folgende Gleichung gegeben.

$3^{y} = 27$

y = 3

ist die Bedingung dafür, damit die Gleichung stimmt. Doch wie würdest du darauf kommen, wenn du das nicht sofort sehen würdest?

Genau an dieser Stelle greift der Logarithmus ein, um solche Gleichungen zu lösen. Dies würde dann wie folgt aussehen.

$\log_{3} (27) = y$

Würdest du nun in den Taschenrechner den Ausdruck $\log_{3} (27)$ eingeben, würdest du folgende Lösung erhalten.

$y = 3$

Damit hast du dir also die Frage beantwortet, mit welcher Zahl $y$ du $3$ potenzieren musst, damit du $27$ als Lösung erhältst.

Mathematisch definiert sieht das dann so aus:

Die Zahl $y = f (x) = \log_{b} (x)$ ist die Zahl, für die die folgende Gleichung gilt:

$b^{y} = x$

Du kannst dir also auch merken, dass du dir beim Logarithmus folgende Frage stellen kannst: "Mit welcher Zahl $y$ muss ich $b$ potenzieren, um $x$ als Lösung zu erhalten?"

Weil aus $y = \log_{b} (x)$ die Gleichung $b^{y} = x$ folgt, kannst du dir die beiden Folgerungen des Logarithmus' merken.

$b^{\log_{b} (x)} = x und \log_{b} (b^{y}) = y$

Logarithmus berechnen

Um mit dem Logarithmus zu rechnen, gibt es verschiedene Rechenregeln. Dazu kannst du dir die folgende Tabelle anschauen.

	Logarithmusgesetz
Produktregel	$\log_{b} (x) + \log_{b} (z) = \log_{b} (x \cdot z)$
Quotientenregel	$\log_{b} (x) - \log_{b} (z) = \log_{b} (\frac{x}{z})$
1. Potenzregel	$\log_{b} (x^{z}) = z \cdot \log_{b} (x)$
2. Potenzregel	$\log_{b} (\sqrt[n]{z}) = \frac{1}{n} \cdot \log_{b} (z)$
Basiswechsel	$\log_{b} (x) = \frac{\log_{a} (x)}{\log_{a} (b)}$

Wenn du mehr zu den Rechenregeln wissen möchtest, lies dir den Artikel "Logarithmusgesetze" durch.

Sonderfälle der Logarithmusfunktion

Bei der Logarithmusfunktion gibt es drei Sonderfälle. Einmal für die Basis $b = e$ , einmal für $b = 10$ und für $b = 1$ .

Basis b=e

Wenn die Basis $b$ der Eulerschen Zahl e entspricht, kann die allgemeine Logarithmusfunktion wie folgt umgeschrieben werden.

Die Funktion $f (x)$ mit

$f (x) = \ln (x)$

wird natürliche Logarithmusfunktion, oder auch ln-Funktion, genannt, wobei $x \in ℝ$ .

Mehr dazu kannst du auch im Artikel "e Funktion" und "ln Funktion" nachlesen.

Basis b=10

Wenn die Basis $b$ der Zahl $10$ entspricht, wird oftmals die Basis $b$ weggelassen.

Die Funktion $f (x)$ mit

$f (x) = \log (x) = l g (x)$

wird Zehnerlogarithmus genannt, wobei $x \in ℝ$ .

Basis b=1

In der Definition der Logarithmusfunktion wurde die Basis $b = 1$ bereits ausgeschlossen.

Betrachte dazu erst einmal das folgende Schaubild.

Allgemeine Logarithmusfunktion Basis b=1 StudySmarter Abbildung 2: Funktion mit b=1

Wie du siehst, ergibt sich aus der Basis $b = 1$ eine Senkrechte mit der Gleichung $x = 1$ . Doch warum ist das so?

Was passiert, wenn du die Zahl $1$ mit $5$ , $11$ oder $31$ potenzierst?

$\begin{array}{rcl} 1^{5} & = & 1 \\ 1^{11} & = & 1 \\ 1^{31} & = & 1 \end{array}$

Du erhältst wieder die Zahl $1$ . Egal, mit welcher Zahl du die Zahl $1$ potenzierst, das Ergebnis ist immer $1$ .

Rechnerisch lässt sich dies wie folgt beschreiben.

$f (x) = y = \log_{1} (x) \overset{d a s b e d e u t e t}{\to} 1^{y} = x = 1$

Da es sich bei der Gleichung $x = 1$ um keine Funktionsgleichung handelt, weil einem $x - Wert$ mehrere $y - Werte$ zugeordnet werden, muss der Wert $b = 1$ ausgeschlossen werden.

Allgemeinen Logarithmusfunktion – Eigenschaften

Die allgemeine Logarithmusfunktion besitzt, wie alle anderen Funktionen auch, gewisse Eigenschaften.

Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion

Die allgemeine Logarithmusfunktion hängt eng mit der allgemeinen Exponentialfunktion zusammen. Das kommt daher, dass die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist und umgekehrt.

Zur Erinnerung:

Eine Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden $y = x$ .
Zusätzlich müssen die Variablen $x$ und $y$ getauscht werden.
Die Umkehrfunktion wird mit $f^{- 1} (x)$ bezeichnet.

Mathematisch lautet das wie folgt.

Die Funktion $f^{- 1} (x)$ mit

$f^{- 1} (x) = a^{x}$

wird als Umkehrfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion $f (x) = \log_{b} (x)$ bezeichnet.

Klingt etwas umständlich? Dann schau dir dazu direkt einmal ein kleines Beispiel an.

Gegeben ist die Funktion $f (x) = \log_{2} (x)$ . Die Umkehrfunktion dazu lautet $f^{- 1} (x) = 2^{x}$ .

Allgemeine Logarithmusfunktion Umkehrfunktion StudySmarter Abbildung 3: Umkehrfunktion

In der Abbildung kannst du erkennen, dass die Umkehrfunktion $f^{- 1} (x)$ durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden $y = x$ entstanden ist.

Logarithmusfunktion – Definitionsbereich

Du weißt bereits von der Definition des allgemeinen Logarithmus', dass für $x$ lediglich positive Werte eingesetzt werden dürfen. Damit ergibt sich folgender Definitionsbereich für die allgemeine Logarithmusfunktion.

$D_{f} = ℝ^{+}$

Logarithmusfunktion – Wertebereich

Da die allgemeine Logarithmusfunktion weder nach oben noch nach unten beschränkt ist, besitzt sie folgenden Wertebereich.

$W_{f} = ℝ$

Logarithmusfunktion – Nullstellen

Als Nächstes kannst du die Nullstellen der allgemeinen Logarithmusfunktion bestimmen.

Zur Erinnerung:

Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, muss diese gleich $0$ gesetzt werden.

Dazu musst du die Funktionsgleichung $f (x) = \log_{b} (x)$ gleich $0$ setzen.

$f (x) = \log_{b} (x) = 0$

Wendest du nun die Umkehrfunktion an, erhältst du folgenden Ausdruck.

$\log_{b} (x) = 0 \overset{U m k e h r f u n k t i o n}{\to} b^{0} = x$

Löst du diese Gleichung voll auf, erhältst du folgende Nullstelle.

$\begin{array}{rcl} x & = & b^{0} \\ x & = & 1 \end{array}$

Damit ergibt sich folgende Definition.

Jede Logarithmusfunktion $f (x) = \log_{b} (x)$ besitzt im Punkt

$P (1 | 0)$

eine Nullstelle.

Es besitzt also jede Logarithmusfunktion die Nullstelle $x = 1$ , egal welche Basis $b$ sie besitzt.

Logarithmusfunktion – Monotonie

Die Monotonie der allgemeinen Logarithmusfunktion hängt von der Basis $b$ ab.

Wenn du noch einmal wissen möchtest, was genau die Monotonie ist, schau dir unseren Artikel "Monotonie" an.

Für $b > 1$ ist die allgemeine Logarithmusfunktion streng monoton wachsend.

Für $b < 1$ ist die allgemeine Logarithmusfunktion streng monoton fallend.

Dieses Verhalten kannst du dir auch am folgenden Beispiel verdeutlichen.

Betrachte zunächst die folgende Abbildung.

Allgemeine Logarithmusfunktion Monotonie StudySmarter Abbildung 4: Monotonie

Du siehst, dass die Funktion $f (x) = \log_{2} (x)$ mit $b = 2 > 1$ streng monoton wachsend und die Funktion $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x)$ mit $b = \frac{1}{2} < 1$ streng monoton fallend ist.

Die Funktion $g (x) = \log_{\frac{1}{b}} (x)$ entsteht durch die Funktion $f (x) = \log_{b} (x)$ durch Spiegelung an der $x - Achse$ . Dabei muss sowohl bei der Funktion $g (x)$ als auch bei der Funktion $f (x)$ die Basis $b$ dieselbe sein.

Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion

Im Folgenden lernst du die Ableitung der Logarithmusfunktion kennen.

Wenn du mehr Details zur Ableitung wissen möchtest, kannst du diese im Artikel Logarithmus ableiten nachlesen.

Allgemein gilt für die Ableitung der Logarithmusfunktion:

Die Ableitung $f' (x)$ der allgemeinen Logarithmusfunktion $f (x) = \log_{b} (x)$ lautet:

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot \ln (b)}$

Schau dir dazu diese Übung an, um die Ableitung besser zu verstehen.

Aufgabe

Bilde die Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \log_{31} (x)$ .

Lösung

Nutze die Formel aus dem vorherigen Abschnitt und du erhältst folgende Ableitung.

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot \ln (31)}$

Die Ableitung sieht also folgendermaßen aus:

Abbildung 5: Ableitung Allgemeine Logarithmusfunktion

Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

Halten wir kurz noch mathematisch fest, was für die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion $f (x) = \ln (x)$ gilt.

Mehr Hintergrundwissen zu dieser Funktion kannst du dir im Artikel "Ln Funktion" aneignen.

Die Ableitung $f' (x)$ der natürlichen Logarithmusfunktion $f (x) = \ln (x)$ lautet:

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Allgemeine Logarithmusfunktion - Das Wichtigste

Funktionsgleichung der allgemeinen Logarithmusfunktion: f(x)=logb(x)
- Sprich: "Logarithmus von $x$ zur Basis $b$ ".
- Es muss gelten: $b, x \in ℝ^{+}$ und $b \neq 1$ .
Die Zahl y=f(x)=logb(x) ist die Zahl, für die die folgende Gleichung gilt: by=x
- Damit gilt folgendes: $b^{\log_{b} (x)} = x und \log_{b} (b^{y}) = y$
Die ln-Funktion mit der Basis $b = e$ lautet wie folgt: $f (x) = \ln (x)$
Der Zehnerlogarithmus mit der Basis $b = 10$ lautet wie folgt: $f (x) = \log (x)$

Eigenschaften der Logarithmusfunktion:

	Logarithmusfunktion
Funktionsgleichung	$f (x) = \log_{b} (x)$
Definitionsmenge	$D_{f} = ℝ^{+}$
Wertebereich	$W_{f} = ℝ$
Nullstelle	$x = 1$
Monotonie	Für $b > 1$ : Streng monoton wachsend Für $b < 1$ : Streng monoton fallend
Ableitung	$f' (x) = \frac{1}{\ln (b) \cdot x}$
Umkehrfunktion	$f^{- 1} (x) = a^{x}$

Die Ableitung $f' (x)$ der natürlichen Logarithmusfunktion lautet: $f' (x) = \frac{1}{x}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Allgemeine Logarithmusfunktion

Die ln-Funktion ist eine besondere Logarithmusfunktion. Nämlich die zur Basis e (Eulersche Zahl). Dementsprechend kannst du sie auch wie folgt schreiben:
f(x)=log_e(x)=ln(x)

Du nimmst also immer dann die ln-Funktion, wenn du mit der Eulerschen Zahl arbeitest.

Die Logarithmusfunktion f(x)=log_b(x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x)=a^x.

Wenn es die Gleichung f(x)=y=log_b(x) gibt, dann ist y diejenige Zahl, die dann folgende Gleichung löst: b^y=x.

Es klärt also, mit welcher Zahl y man b potenzieren muss, um x als Lösung zu erhalten.

Mathematisch gesehen nicht, weil die Funktion weder nach oben noch nach unten eine Schranke (einen Wert, den die Funktion nicht über- oder unterschreitet) hat.
Aber sowohl die Basis b als auch die Variable x dürfen nur positive reelle Zahlen sein.

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