Wichtige Stammfunktionen

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Stell Dir vor, ein Rollbrett (Board) soll designt und gefärbt werden. Die Entwickler nutzen dafür ein verkleinertes Modell, um die benötige Farbe für die türkise Fläche zu ermitteln. Wie hilft in diesem Fall die Mathematik weiter?

Wichtige Stammfunktionen Beispiel Rollbrett StudySmarter Abbildung 1: Beispiel Integralrechnung

Zur Ermittlung der Farbfläche werden unter anderem die Stammfunktionen der Funktion $f (x)$ benötigt. Dieses Thema behandelt die Integralrechnung. Was sind Stammfunktionen, wie können sie ermittelt werden und welche Stammfunktionen gibt es eigentlich?

Wichtige Stammfunktionen – Grundlagenwissen

In der Mathematik, besser gesagt in der Analysis, ist die Differenzialrechnung und die Integralrechnung essenziell. In Bezug auf eine Funktion $f (x)$ bedeutet dies, dass bei der Differentiation die Funktion $f (x)$ abgeleitet wird und Du eine Ableitungsfunktion $f' (x)$ erhältst.

Wichtige Stammfunktionen Integration und Differentiation StudySmarter Abbildung 2: Integration und Differentiation

Etwas anders verhält es sich bei der Integration. Sie kann als Umkehrung der Differentiation angesehen werden. Aus dem Integrieren einer Funktion $f (x)$ ergeben sich unendlich viele Stammfunktionen $F (x)$ , die sich nur anhand einer additiven Konstante C unterscheiden. Werden sämtliche Stammfunktionen wieder abgeleitet, so erhältst Du die ursprüngliche Funktion $f (x)$ .

Die Summe all dieser Stammfunktionen wird als unbestimmtes Integral bezeichnet.

Interessiert am Thema unbestimmtes Integral? Dann lies gerne direkt in dem entsprechenden Artikel unbestimmtes Integral nach.

Zusammenfassend kann definiert werden:

Eine Funktion $F (x)$ ist eine Stammfunktion einer Funktion $f (x)$ , wenn gilt:

$F' (x) = f (x)$

Das unbestimmte Integral entspricht der Menge aller Stammfunktionen $F (x)$ , die sich durch eine additive Konstante C unterscheiden.

$\int f (x) d x = F (x) + C$

Der Zusammenhang zwischen Integrieren und Ableiten findet sich im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Möchtest Du mehr darüber erfahren, so kannst Du gerne in dem Artikel nachlesen.

Stammfunktionen werden für viele verschiedene Anwendungen gebraucht, wie etwa für das Rollbrett-Beispiel aus der Einleitung. Aber wie kannst Du die Stammfunktionen einer Funktion $f (x)$ bestimmen?

Stammfunktionen einer Funktion berechnen

Um die Stammfunktionen einer Funktion $f (x)$ zu ermitteln, bedarf es einiger Hilfsmittel. In der Integralrechnung kannst Du, je nach Bedarf, die folgenden Mittel verwenden:

Grund- oder Stammintegrale
Integrationsregeln
Integrationsmethoden

Die Grund- oder Stammintegrale sind Funktionen, deren Stammfunktionen in tabellarischer Form aufgelistet sind und anhand ihrer Ableitung direkt bestimmt werden können. Mehr dazu findest Du weiter unten im Kapitel Grund- und Stammintegrale.

Integrationsregeln und -methoden sollen dazu dienen, die Funktion $f (x)$ zu vereinfachen bzw. im Idealfall sogar in eine Form der Grund- oder Stammintegrale zu überführen und somit zu integrieren.

Integrationsregeln und -methoden

Beispielhafte Hilfsmittel, die Du für die Integration einer Funktion $f (x)$ und die Bildung der Stammfunktionen benötigst, findest Du hier in einer kurzen Tabelle aufgelistet.

Integrationsregel	Integral
Potenzregel	$\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
Faktorregel	$\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x$
Summenregel	$\int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$
Differenzregel	$\int (f (x) - g (x)) d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$
Integrationsmethode	Integral
Partielle Integration	$\int f (x) \cdot g' (x) d x = f (x) \cdot g (x) - \int f' (x) \cdot g (x) d x$
Integration durch Substitution	$\int f (x) d x = \int f (φ (u)) \cdot φ' (u) d u$
Partialbruchzerlegung	$\int_{}^{} \frac{p (x)}{q (x)} d x$

In den Artikeln Stammfunktion bilden und Integralrechnung kannst Du noch einmal alle Grundlagen zur Integralrechnung, unbestimmten Integralen und der Bildung der Stammfunktion nachlesen.

Welche Funktionen bilden die Grund- oder Stammintegrale?

Wichtige Stammfunktionen – Tabelle mit Formeln

Als Grund- oder Stammintegrale werden die unbestimmten Integrale einiger Funktionen bezeichnet, die sich aus der Umkehrung der Ableitungsfunktion ergeben. Diese können ohne Beweise und Herleitung verwendet werden, um Funktionen zu integrieren.

Wie bereits gelernt gilt dabei:

$\int f (x) d x = F (x) + C$

In den nachfolgenden Tabellen findest Du einen Ausschnitt der Grund- oder Stammintegrale in drei Teilbereiche aufgeteilt.

Potenzfunktion und Wurzelfunktion
Exponential- und Logarithmusfunktionen
trigonometrische Funktionen

Grund- oder Stammintegrale von Potenz- und Wurzelfunktionen

$\int f (x)$	Stammfunktion $F (x)$ , $C \in ℝ$
$\int 0 d x$	C (beliebige Konstante)
$\int 1 d x$	$x + C$
$\int x d x$	$\frac{x^{2}}{2} + C$
$\int x^{n} d x$	$\begin{array}{rcl} \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C \end{array}$ $\begin{array}{rcl} (n \neq - 1) \end{array}$
$\int \sqrt{x} d x$	$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$
$\int \sqrt[n]{x} d x$	$\frac{n}{n + 1} \cdot \sqrt[n]{x^{n + 1}} + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$	$2 \sqrt{x} + C$

Grund- oder Stammintegrale von Exponential- und Logarithmusfunktionen

$\int f (x)$	Stammfunktion $F (x)$ , $C \in ℝ$
$\int \frac{1}{x} d x$	$\ln \|x\| + C$
$\int a^{x} d x$	$\frac{a^{x}}{\ln (a)} + C$
$\int a^{x} \cdot \ln (a) d x$ $(a > 0)$	$a^{x} + C$
$\int e^{x} d x$	$e^{x} + C$
$\int e^{a x} d x$	$\frac{1}{a} \cdot e^{a x} + C$
$\int \log_{a} (x) d x$	$\frac{x \cdot \ln (x) - x}{\ln (a)} + C$
$\int \ln (x) d x$	$x \cdot \ln (x) - x + C$

Grund- oder Stammintegrale von trigonometrischen Funktionen

$\int f (x)$	Stammfunktion $F (x)$ , $C \in ℝ$
$\int \sin (x) d x$	$- \cos (x) + C$
$\int \cos (x) d x$	$\sin (x) + C$
$\int \tan (x)$	$- \ln \|\cos (x)\| + C$
$\int_{}^{} \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$	$\tan (x) + C$
$\int_{}^{} \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$	$- c o t (x) + C$

Diese Grund- oder Stammintegrale kannst Du zusammen mit den Integrationsregeln als Hilfsmittel für die Berechnung der Stammfunktionen unterschiedlicher Funktionstypen verwenden. In den folgenden Kapiteln siehst Du verschiedene Funktionstypen und die Bildung derer Stammfunktionen.

Wichtige Stammfunktionen – Beispiele und Herleitung

Funktionen, die in der Integral- und Differenzialrechnung genutzt werden, können beispielsweise sein:

Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
Potenz- und Wurzelfunktionen
Gebrochenrationale Funktionen
Trigonometrische Funktionen
Exponentialfunktionen
Logarithmusfunktionen

Die Bildung der Stammfunktionen von Funktionen dieser Arten lernst Du in den folgenden Abschnitten kennen.

Nutze gerne die obigen Tabellen als kleine Formelsammlung und lege sie Dir bei den Übungsaufgaben daneben.

Stammfunktionen von ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen)

Ganzrationale Funktionen (sogenannte Polynomfunktionen) sind dadurch gekennzeichnet, dass sie Potenzen beinhalten. Sowohl konstante Funktionen, als auch zum Beispiel lineare und quadratische Funktionen sind diesem Funktionstyp zuzuordnen.

Ganzrationale Funktion $f (x)$ bzw. Polynomfunktion $f (x)$ mit reellen Koeffizienten $a_{0}, . . ., a_{n} (a_{n} \neq 0)$ :

$f (x) = a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + . . . + a_{0}$

Um Polynomfunktionen zu integrieren und damit die Stammfunktionen zu ermitteln, kann sowohl die Faktorregel als auch die Summenregel und die Potenzregel angewendet werden. Zeit für ein Beispiel.

Gesucht sind die Stammfunktionen folgender ganzrationaler Funktion $f (x)$ . Dies entspricht dem türkisen Graphen aus dem Einleitungsbeispiel.

$f (x) = - 0, 1 x^{2} + 2, 5$

Wichtige Stammfunktionen Polynomfunktion StudySmarter Abbildung 3: Polynomfunktion

Lösung

Zunächst kann die Funktion $f (x)$ aufgrund der Summenregel in zwei Teile aufgeteilt werden.

$F (x) = \int_{}^{} - 0, 1 x^{2} + 2, 5 d x = \int_{}^{} - 0, 1 x^{2} d x + \int_{}^{} 2, 5 d x$

Anschließend kann ebenfalls noch die Faktorregel beim ersten Integral angewandt werden, um Faktoren vor das Integral zu setzen.

$F (x) = \int_{}^{} - 0, 1 x^{2} d x + \int_{}^{} 2, 5 d x = - 0, 1 \int_{}^{} x^{2} d x + \int_{}^{} 2, 5 d x$

Nun muss lediglich noch eine Stammfunktion von $x^{2}$ gefunden werden und von $2, 5$ . Diese ergeben sich aus der Tabelle der Grund- oder Stammintegrale:

$F (x) = - 0, 1 \cdot \frac{1}{2 + 1} x^{2 + 1} + 2, 5 x + C F (x) = - \frac{1}{30} x^{3} + 2, 5 x + C$

Zusammen mit der additiven Konstante C ergibt sich die Menge aller Stammfunktionen dieser Funktion $f (x)$ .

Lust auf noch mehr Übungen zum Thema Polynomfunktionen? Dann sieh Dir den Artikel Integral der Polynomfunktion an.

In Polynomfunktionen sind, wie bereits erwähnt, Potenzen enthalten. Potenzfunktionen zählen demnach (mit ganzzahligen Exponenten) auch zu den Polynomfunktionen. Thematisch sind sie oft zusammen mit Wurzelfunktionen aufgelistet.

Stammfunktionen von Potenz- und Wurzelfunktionen

Potenzfunktionen mit einem ganzzahligen Exponent entsprechen einem Grund- oder Stammintegral. Daher kann dafür direkt die Tabelle genutzt werden, um Stammfunktionen zu ermitteln. Ist der Exponent jedoch eine rationale Zahl, so benötigst Du auch die Grund- und Stammintegrale von Wurzelfunktionen.

Potenzfunktion $f (x)$ mit ganzzahligem Exponent n:

$f (x) = x^{n}$

Potenzfunktion $f (x)$ mit rationalem Exponent $\frac{m}{n}$ :

$f (x) = x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$

Wurzelfunktion $f (x)$ mit $x \geq 0$ :

$f (x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Die Formel für diese Funktionstypen hast Du auch bereits schon in der Tabelle oben bei den Grund- und Stammintegralen kennengelernt. Nachfolgend findest Du wieder Beispiele für diese Funktionstypen.

Noch mehr Infos zu diesem Thema findest Du im Artikel Integral der Potenzfunktion, Wurzelfunktion und gebrochen rationaler Funktion.

Für die quadratische Potenzfunktion $f (x) = x^{2}$ sollen die Stammfunktionen ermittelt werden.

Lösung

Die Funktion $f (x)$ beinhaltet lediglich eine Potenz, die über die Grund- oder Stammintegrale integriert werden kann.

$F (x) = \int_{}^{} x^{2} d x = \frac{1}{2 + 1} x^{2 + 1} + C F (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Die additive Konstante C kann dabei unzählige Werte annehmen. Beispielhaft sind in Abbildung 4 drei verschiedene Stammfunktionen der Funktion $f (x)$ dargestellt für:

$C_{0} = 0 C_{1} = 1 C_{2} = - 1$

Wichtige Stammfunktionen Stammfunktion Potenzfunktion StudySmarter Abbildung 4: Stammfunktionen der Normalparabel

Auch Wurzelfunktionen lassen sich über die Grund- und Stammintegrale integrieren. Sieh Dir dazu das nachfolgende Beispiel an.

Gesucht sind die Stammfunktionen folgender Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ :

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \sqrt[3]{x} g (x) = x^{\frac{4}{7}} = \sqrt[7]{x^{4}} \end{array}$

Lösung

Die Wurzelfunktion $f (x)$ kann direkt über die Formel aus der Tabelle der Grund- oder Stammintegrale übernommen werden. Damit gilt:

$F (x) = \frac{3}{3 + 1} \cdot \sqrt[3]{x^{3 + 1}} + C F (x) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt[3]{x^{4}} + C$

Liegt keine Formel zur Hand, dann lassen sich die Stammfunktionen der Wurzelfunktion auch über eine Umformung ermitteln. Eine Wurzel kann auch als Exponent umgeschrieben werden.

$f (x) = \sqrt[n]{x} \to f (x) = x^{\frac{1}{n}}$

In diesem Beispiel wäre dies:

$f (x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$

Diese Form der Funktion kann als Potenzfunktion integriert werden und damit erhältst Du:

$F (x) = \int_{}^{} x^{\frac{1}{3}} d x = \frac{1}{\frac{1}{3} + 1} x^{\frac{1}{3} + 1} + C F (x) = \frac{3}{4} \cdot x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4} \cdot \sqrt[3]{x^{4}} + C$

Die zweite Funktion $g (x)$ lässt sich nach demselben Prinzip integrieren, als Potenzfunktion.

$G (x) = \int_{}^{} x^{\frac{4}{7}} d x = \frac{1}{\frac{4}{7} + 1} \cdot x^{\frac{4}{7} + 1} + C G (x) = \frac{7}{11} \cdot x^{\frac{11}{7}} + C = \frac{7}{11} \cdot \sqrt[7]{x^{11}} + C$

Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten gehören zu gebrochenrationalen Funktionen. Was zeichnet diesen Funktionstyp aus und wie lässt sich davon eine Stammfunktion ermitteln?

Stammfunktionen von gebrochenrationalen Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion ist als Quotient zweier Funktionen $p (x)$ und $q (x)$ darstellbar.

Gebrochenrationale Funktion $f (x)$ mit Teilfunktionen $p (x)$ und $q (x)$ :

$f (x) = \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{a_{m} x^{m} + a_{m - 1} x^{m - 1} + . . . + a_{0}}{b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + b_{0}}$

$n > m :$ echt gebrochenrationale Funktion

$n \leq m :$ unecht gebrochenrationale Funktion

Die Integration von echt gebrochenrationalen Funktionen funktioniert anhand der Partialbruchzerlegung. Ist die Funktion $f (x)$ unecht gebrochen, so muss sie zunächst durch Polynomdivision in einen ganzrationalen Teil und einen echt gebrochenrationalen Teil umgeformt werden.

Mehr zur Zerlegung von unecht gebrochenrationalen Funktionen und der Polynomdivision findest Du im entsprechenden Artikel.

Ziel der Partialbruchzerlegung ist es, die echt gebrochenrationale Funktion $f (x)$ in Partialbrüche (Teilbrüche) zu zerlegen, damit diese wiederum mit den Grund- oder Stammintegralen integriert werden können. Zeit für ein Beispiel.

Die Stammfunktionen der echt gebrochenrationale Funktion $f (x)$ sollen ermittelt werden.

$f (x) = \frac{5 x - 7}{x^{2} - 2 x - 3}$

Wichtige Stammfunktionen echt gebrochenrationale Funktion StudySmarter Abbildung 5: Echt gebrochenrationale Funktion

Lösung

Mithilfe der Partialbruchzerlegung wird die Funktion $f (x)$ umgeformt in:

$f (x) = \frac{5 x - 7}{x^{2} - 2 x - 3} = \frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 3}$

In der nachfolgenden Vertiefung findest Du die Herleitung dieser Umformung mittels Partialbruchzerlegung.

Zur Bestimmung der Stammfunktionen wird zunächst die Summenregel und die Faktorregel angewandt.

$F (x) = \int_{}^{} \frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 3} d x = \int_{}^{} \frac{3}{x + 1} d x + \int_{}^{} \frac{2}{x - 3} d x F (x) = 3 \cdot \int_{}^{} \frac{1}{x + 1} d x + 2 \cdot \int_{}^{} \frac{1}{x - 3} d x$

Mithilfe des Grundintegrals $\int_{}^{} \frac{1}{x} d x$ aus obiger Tabelle und Substitution ergibt sich für die Lösung:

$F (u, p) = 3 \cdot \int_{}^{} \frac{1}{u} d u + 2 \cdot \int_{}^{} \frac{1}{p} d p mit u = x + 1 und p = x - 3 F (u, p) = 3 \cdot \ln |u| + 2 \cdot \ln |p| + C F (x) = 3 \cdot \ln |x + 1| + 2 \cdot \ln |x - 3| + C$

Hast Du Interesse an der Umformung der Funktion $f (x)$ in Linearfaktoren? Dann sieh Dir gerne die Vertiefung an. Ansonsten überspringe diesen Teil und gehe direkt zum nächsten Kapitel.

Durch die Partialbruchzerlegung kann die Funktion $f (x)$ in Linearfaktoren zerlegt werden.

$f (x) = \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{5 x - 7}{x^{2} - 2 x - 3}$

Beim Nennerpolynom $q (x)$ werden zunächst die Nullstellen bestimmt und das Nennerpolynom als Produkt dargestellt.

$0 = x^{2} - 2 x - 3 \to x_{1} = - 1 und x_{2} = 3 q (x) = x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)$

Jetzt kannst Du die Funktion $f (x)$ als Partialbrüche wie folgt darstellen:

$f (x) = \frac{5 x - 7}{x^{2} - 2 x - 3} = \frac{A}{(x + 1)} + \frac{B}{(x - 3)}$

Zur Berechnung von A und B multiplizierst Du die obige Gleichung mit dem Term $(x + 1) (x - 3)$ , um alle Terme auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Nach Kürzen erhältst Du:

$\frac{5 x - 7 \cdot (x + 1) (x - 3)}{x^{2} - 2 x - 3} = \frac{A (x + 1) (x - 3)}{(x + 1)} + \frac{B (x + 1) (x - 3)}{(x - 3)} 5 x - 7 = A (x - 3) + B (x + 1)$

Wenn Du für x nacheinander die obigen Nullstellen einsetzt, entsteht ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen, das zu lösen ist:

Nullstelle	Gleichungen
$x = 3$	$8 = 4 B \Leftrightarrow B = 2$
$x = - 1$	$- 12 = - 4 A \Leftrightarrow A = 3$

Nun nur noch die Konstanten in die Ansatzfunktion einsetzen und Du hast die umgeformte Funktion $f (x)$ :

$f (x) = \frac{5 x - 7}{x^{2} - 2 x - 3} = \frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 3}$

Wenn Dich das Thema der Partialbruchzerlegung interessiert, kannst Du gerne im Artikel Partialbruchzerlegung genau nachlesen.

In den bisherigen Beispielfunktionen waren die Exponenten immer reelle Zahlenwerte. Sind die Exponenten jedoch Variablen, so handelt es sich um Exponentialfunktionen.

Stammfunktionen von Exponentialfunktionen

Das Integral der allgemeinen Exponentialfunktion ist ein Grundintegral und hast Du bereits in der Tabelle der Grund- und Stammintegrale kennengelernt.

Allgemeine Exponentialfunktion $f (x)$ mit Basis a für $a > 0 und a \neq 1$ :

$f (x) = a^{x}$

An einem Beispiel kannst Du direkt die Bildung der Stammfunktionen einer solchen Funktion sehen.

Für die Exponentialfunktion $f (x) = 3^{x}$ sollen die Stammfunktionen ermittelt werden.

Lösung

Aus der Tabelle der Grund- oder Stammintegrale lassen sich die Stammfunktionen direkt ablesen.

$F (x) = \int_{}^{} 3^{x} d x = \frac{3^{x}}{\ln (3)} + C$

In der folgenden Abbildung 6 sind beispielhaft drei Stammfunktionen für $C_{1} = 1, C_{2} = 2, C_{3} = - 2$ dargestellt.

Wichtige Stammfunktionen Exponentialfunktion und Stammfunktionen StudySmarter Abbildung 6: Exponentialfunktion und Stammfunktionen

Ein Sonderfall der Exponentialfunktion ist die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt. Dort wird statt einer allgemeinen Basis a die Eulersche Zahl e als Basis genutzt.

Natürliche Exponentialfunktion $f (x)$ (e-Funktion) mit der Eulerschen Zahl e als Basis:

$f (x) = e^{x}$

Nach Integration der e-Funktion in der Grundform bleibt diese bestehen, es wird lediglich die additive Konstante C ergänzt. Sie ist ebenfalls ein Grundintegral.

Für die folgende Funktion $f (x)$ sollen die Stammfunktionen ermittelt werden.

$f (x) = e^{x} + 3$

Lösung

Da die Funktion $f (x)$ zwei Terme enthält, kann zunächst die Summenregel angewandt werden.

$F (x) = \int_{}^{} e^{x} + 3 d x = \int_{}^{} e^{x} d x + \int_{}^{} 3 d x$

Aus der Tabelle der Grund- oder Stammintegrale kannst Du die Stammfunktionen bestimmen.

$F (x) = e^{x} + 3 x + C$

E-Funktionen mit mehreren Koeffizienten und zusätzliche Übungsaufgaben findest Du im Artikel Integral der e-Funktion / natürlichen Exponentialfunktion.

Als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion existiert die Logarithmusfunktion. Wie lässt sich für diesen Funktionstyp das unbestimmte Integral und damit die Stammfunktionen ermitteln?

Stammfunktionen von Logarithmusfunktionen

Die Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion gehört ebenfalls zu den Grund- und Stammintegralen.

Allgemeine Logarithmusfunktion $f (x)$ mit Basis a für $a > 0 und a \neq 1$ :

$f (x) = \log_{a} (x)$

Einen Spezialfall der Logarithmusfunktion stellt die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion (e-Funktion) dar. Die sogenannte ln-Funktion.

Natürliche Logarithmusfunktion $f (x)$ mit Basis e für $x > 0$ :

$f (x) = \log_{e} (x) = \ln (x)$

Zeit für ein Beispiel? Dann sieh Dir gerne die nachfolgende Aufgabe an. Im Artikel Integral der allgemeinen Logarithmusfunktion und Integral der ln-Funktion / natürlichen Logarithmusfunktion findest Du noch detailliertere Übungsaufgaben und Erklärungen.

Zu ermitteln sind die Stammfunktionen der folgenden Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ .

$f (x) = \log_{3} (x)$ und $g (x) = \ln (x)$

Lösung

Zunächst zu den Stammfunktionen der Funktion $g (x)$ . Die Integration einer ln-Funktion gehört ebenfalls zu den Grund- oder Stammintegralen, weshalb direkt die Stammfunktionen gebildet werden können.

$G (x) = \int_{}^{} \ln (x) d x = x \cdot \ln (x) - x + C$

Die ln-Funktion kann über partielle Integration integriert werden. Damit erhältst Du die Lösung und das Grund- oder Stammintegral.

Eine Logarithmusfunktion $f (x)$ lässt sich immer in eine alternative Darstellung mit der ln-Funktion überführen.

$f (x) = \log_{3} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

Wird diese Funktion integriert, so kann zunächst die Faktorregel angewandt werden.

$F (x) = \int_{}^{} \frac{\ln (x)}{\ln (3)} d x = \frac{1}{\ln (3)} \cdot \int_{}^{} \ln (x) d x$

Übrig bleibt damit das Integral der ln-Funktion. Dies kann von oben übernommen werden und somit gilt für die Stammfunktionen:

$F (x) = \frac{1}{\ln (3)} \cdot (x \cdot \ln (x) - x) + C = \frac{x \cdot \ln (x) - x}{\ln (3)} + C$

Alternativ kannst Du natürlich auch gerne direkt die Stammfunktionen durch die Grund- oder Stammintegral-Tabelle ermitteln.

Zuletzt kannst Du Dir noch die Stammfunktionen von trigonometrischen Funktionen ansehen.

Stammfunktionen von trigonometrischen Funktionen

Die Stammfunktionen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens gehören zu den Grundintegralen.

Trigonometrische Funktionen $f (x)$ Sinus, Kosinus und Tangens:

$f (x) = \sin (x) f (x) = \cos (x) f (x) = \tan (x)$

Werden diese Grundformen integriert, so kannst Du direkt in der Tabelle der Grund- oder Stammintegralen nachschlagen.

Die Grundfunktionen der Kosinus- und Tangensfunktion aus der Definition sollen integriert und damit die Stammfunktionen ermittelt werden.

$f (x) = \cos (x) und g (x) = \tan (x)$

Lösung

Die Kosinusfunktion $f (x)$ wird durch die Integration zur Sinusfunktion.

$F (x) = \int_{}^{} \cos (x) d x = \sin (x) + C$

Mit verschiedenen Konstanten C können zwei Stammfunktionen beispielsweise wie in Abbildung 7 aussehen.

Wichtige Stammfunktionen Stammfunktion Cosinus StudySmarter Abbildung 7: Kosinusfunktion und mögliche Stammfunktionen

Bei der Tangensfunktion $g (x)$ kannst Du die Stammfunktionen ebenfalls aus der Tabelle der Grund- oder Stammintegrale ablesen.

$G (x) = \int_{}^{} \tan (x) d x = - \ln |\cos (x)| + C$

Wie entsteht diese Lösung? Die Tangensfunktion kann als Quotient von Sinus und Kosinus betrachtet werden.

$G (x) = \int_{}^{} \tan (x) d x = \int_{}^{} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Über Substitution und das Grundintegral der ln-Funktion kann dieses Integral gelöst werden und ergibt dann die Form aus der Tabelle der Grund- oder Stammintegrale.

Mehr dazu findest Du im Artikel Integral der Sinus-, Kosinus und Tangensfunktion / trigonometrischen Funktionen.

Für $C = 0$ als additive Konstante ergibt sich folgender Graph, wie in Abbildung 8.

Wichtige Stammfunktionen Stammfunktion Tangens StudySmarter Abbildung 8: Tangensfunktion und mögliche Stammfunktion

Die Integration der aufgeführten Funktionstypen kannst Du gerne alle in den entsprechenden Artikeln noch einmal nachlesen. Möchtest Du direkt noch ein paar Übungsaufgaben lösen? Dann bist Du jetzt an der Reihe.

Wichtige Stammfunktionen – Übungsaufgaben

Lege Dir gerne eine kleine Formelsammlung zur Übung auf die Seite. Frage bei Deinem Lehrer oder Deiner Lehrerin nach, welche Formelsammlung Du in der Schule benutzen darfst.

Aufgabe 1

Gesucht sind die Stammfunktionen der folgenden Funktion $f (x)$ :

$f (x) = 2 x^{3} + x$

Lösung

Die Funktion $f (x)$ kannst Du zunächst durch die Summenregel unterteilen.

$F (x) = \int_{}^{} 2 x^{3} + x d x = \int_{}^{} 2 x^{3} d x + \int_{}^{} x d x$

Aufgrund der Faktorregel lässt sich der erste Teil der Funktion noch weiter vereinfachen, indem der Faktor vor das Integral geschrieben wird.

$F (x) = \int 2 x^{3} d x + \int_{}^{} x d x = 2 \int x^{3} d x + \int_{}^{} x d x$

Für die Lösung der Integrale kann das Grundintegral der Potenzfunktion angewendet werden. Die Integration der beiden Glieder ergibt demnach:

$F (x) = 2 \int x^{3} d x + \int_{}^{} x d x F (x) = 2 \cdot \frac{1}{3 + 1} x^{3 + 1} + \frac{1}{1 + 1} x^{1 + 1} + C F (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Aufgabe 2

Ermittle die Stammfunktionen der Funktion $f (x)$ :

$f (x) = {(x + 5)}^{3}$

Lösung

Hierbei handelt es sich um eine verkettete Polynomfunktion mit zwei Gliedern. Bei der Bildung der Stammfunktionen wird zunächst substituiert und über ein Grund- oder Stammintegral integriert und zurück substituiert.

$F (x) = \int_{}^{} {(x + 5)}^{3} d x F (u) = \int_{}^{} u^{3} d u mit u = x + 5$

Die substituierte Funktion wird mit der Potenzregel in der Tabelle der Grund- oder Stammintegrale integriert.

$F (u) = \int_{}^{} u^{3} d u = \frac{1}{3 + 1} u^{3 + 1} + C F (u) = \frac{1}{4} u^{4} + C$

Anschließend musst Du die Substitution noch zurücknehmen, indem der Ausdruck für u wieder eingesetzt wird. Damit ergeben sich die Stammfunktionen:

$F (x) = \frac{1}{4} {(x + 5)}^{4} + C$

Aufgabe 3

Gesucht sind die Stammfunktionen der folgenden Funktion $f (x)$ :

$f (x) = 3^{x} \cdot \ln (3)$

Lösung

Für die Lösung des Integrals von $f (x)$ betrachtest Du zunächst den Faktor $\ln (3)$ . Dort ist kein x enthalten und damit handelt es sich um einen konstanten Faktor, der mit der Faktorregel vor das Integral gezogen werden kann.

$\begin{array}{rcl} F (x) & = & \int_{}^{} \ln (3) \cdot 3^{x} d x = \ln (3) \cdot \int 3^{x} d x \end{array}$

Durch Anwendung des Grund- oder Stammintegrals für allgemeine Exponentialfunktionen ergibt sich für die Stammfunktionen der Funktion $f (x)$ :

$F (x) = \ln (3) \cdot \frac{3^{x}}{\ln (3)} + C F (x) = 3^{x} + C$

Weitere Übungsaufgaben zu wichtigen Stammfunktionen findest Du in den jeweiligen Artikeln und zusätzlich in den Karteikarten auf StudySmarter.

Wichtige Stammfunktionen – Das Wichtigste

Die Funktion $F (x)$ ist eine Stammfunktion der Funktion $f (x)$ , wenn gilt: $F' (x) = f (x)$
Als unbestimmtes Integral wird die Menge aller Stammfunktionen F(x) einer Funktion f(x)angesehen.
- $\int_{}^{} f (x) d x = F (x) + C$
Die Grund- oder Stammintegrale, Integrationsregeln und Integrationstechniken helfen bei der Bildung der Stammfunktionen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Wichtige Stammfunktionen

Aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung besteht zwischen einer (differenzierbaren) Funktion f(x) und ihrer Ableitung f'(x) folgender Zusammenhang:

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Integrale, die sich durch diesen Zusammenhang ermitteln lassen, werden als Grund- oder Stammintegrale bezeichnet.

Die Menge aller Stammfunktionen entspricht dem unbestimmten Integral einer Funktion f(x).

∫ f(x) dx = F(x) + C

Um die Stammfunktionen zu ermitteln, muss das unbestimmte Integral gelöst werden. Als Hilfsmittel dienen Grund- oder Stammintegrale, Integrationsregeln und Integrationstechniken.

Stammfunktionen einer Funktion f(x) werden beispielsweise benötigt, um die eingeschlossen Fläche eines Funktionsgraphen mit der x-Achse zu berechnen. Dies erfolgt über ein bestimmtes Integral, dessen Lösung mittels Stammfunktionen ermittelt wird.

Eine Funktion f(x) wird anhand verschiedener Hilfsmittel integriert. Dazu zählen die Grund- oder Stammintegrale sowie Integrationsregeln und Integrationstechniken.

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Welche Integrationsregeln und -techniken gibt es?

Potenzregel
Faktorregel
Summenregel
Differenzregel
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Partialbruchzerlegung

Wie lassen sich gebrochenrationale Funktionen integrieren?

Echt gebrochenrationale Funktionen können durch die Partialbruchzerlegung in Teilbrüche zerlegt werden, die anschließend über die Grund- oder Stammintegrale integriert werden können.

Handelt es sich um unecht gebrochenrationale Funktionen, so müssen sie zunächst durch Polynomdivision in eine echt gebrochenrationale Funktion überführt werden.

Was sind Grund- oder Stammintegrale?

Als Grund- oder Stammintegrale werden die unbestimmten Integrale von Funktionen bezeichnet, die durch die Umkehrung der Ableitung wieder auf die ursprüngliche Funktion zurückzuführen sind.

Wozu wird das Integrieren der ln-Funktion benötigt?

Das Integrieren der ln-Funktion wird benötigt, um beispielsweise bestimmte Integrale zu lösen.

Wozu wird das Integrieren der allgemeinen Logarithmusfunktion benötigt?

Das Integrieren der allgemeinen Logarithmusfunktion wird benötigt, um bestimmte Integrale zu lösen und damit beispielsweise die eingeschlossene Fläche des Graphen mit der x-Achse in einem bestimmten Intervall zu berechnen.

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Was sagen uns Stammfunktionen?

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