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Wie stark sich der Luftdruck ändert, wie schnell chemische Stoffe reagieren, wie viel Extra-Gewinn eine Firma machen kann: Die erste Ableitung 
hat viele anschauliche Bedeutungen. Um eine Funktion 
nun ableiten zu können, benötigst Du Ableitungsregeln.
Die Ableitung 
einer Funktion 
ist der Grundbaustein der Differenzialrechnung.
Die Ableitung 
einer Funktion 
an einer Stelle 
gibt die Steigung der Tangente im Punkt 
an den Graphen der Funktion 
an.
Schau Dir einmal ein Schaubild der Ableitung einer konkreten Funktion an.
Das Schaubild der Funktion 
mit 
ist in der nachfolgenden Abbildung 1 dargestellt.
Nun soll bei einem beliebigen Punkt 
, mit einem Wert von 
, die Tangente 
bzw. ihre Steigung an dieser Stelle 
bestimmt werden. Dazu wird die Ableitungsfunktion 
gebildet.
Wie Du die Funktion 
ableiten kannst und welche Ableitungsregeln Du benötigst, lernst Du in den nächsten Kapiteln! Dieses Beispiel zeigt Dir lediglich eine Anwendung der Ableitungsfunktion.
Abbildung 1: Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x
Um die Tangentensteigung an der Stelle 
zu berechnen, musst Du diese Stelle 
lediglich in die Ableitungsfunktion 
einsetzen:
Die Steigung der Tangente ist hier 
.
Mithilfe der ersten Ableitungsfunktion 
kann die Steigung des Graphen einer Funktion 
für alle Stellen 
berechnet werden, wenn die Stellen zum Definitionsbereich gehören und die Funktion 
an der Stelle 
differenzierbar ist.
Mehr zum Thema Ableitung kannst Du in den Artikeln „Differentialrechnung“ und „Differenzierbarkeit“ nachlesen.
Was eine Ableitung ist, weißt Du nun. Aber wie lässt sich eine Funktion 
überhaupt ableiten? Dazu benötigst Du verschiedene Hilfsmittel: die sogenannten Ableitungsregeln.
Es gibt verschiedene Regeln, um Funktionen abzuleiten. Damit lassen sich sowohl einzelne Komponenten einer Funktion 
ableiten, als auch verknüpfte Funktionen. Wie genau das aussieht, siehst Du in den einzelnen Abschnitten.
Eine konstante Funktion ist eine Funktion 
mit der Funktionsgleichung 
, also einer reellen Konstante c. Der Verlauf des Funktionsgraphen ist dabei parallel zur horizontalen Achse eines Koordinatensystems. Wird so eine Funktion 
abgeleitet, dann ergibt diese einen Wert von null, denn der Funktionsgraph besitzt nirgends eine Steigung.
Eine konstante Funktion 
mit 
besitzt die Ableitung 
:
Konstanten, also reelle Parameter, fallen beim Ableiten weg.
Eine Funktion 
kann sowohl konstant sein, also nur einen reellen Wert besitzen, wie 
. Funktionen können aber auch zusätzlich Konstanten beinhalten, wie beispielsweise 
. Wie Du mit so einer Funktion bei der Ableitung umgehen sollst, lernst Du im Kapitel Summenregel.
Um Dir die Ableitung einer Konstanten besser vorstellen zu können, schau Dir ein Beispiel einer solchen Ableitung an.
Aufgabe 1
Bilde die Ableitung 
der Funktion
.
Lösung 1
Wie Du in der Abbildung 2 sehen kannst, ist der Funktionsgraph lediglich eine waagrechte Gerade am y-Wert 5.
Leitest Du jetzt die Funktion 
ab, dann ergibt sich für die Ableitungsfunktion 
:
Abbildung 2: Konstante Funktion
Ohne Steigung kann die Ableitungsfunktion 
auch keinen anderen Wert als Null annehmen.
Auf diese Weise kannst Du alle konstanten Funktionen ableiten. Wie sieht jetzt die Ableitung einer Funktion aus, welche beispielsweise eine Potenz beinhaltet?
Eine Potenzfunktion
ist eine Funktion mit einem Funktionsterm der Form
. Die Variable x steht also in der Basis einer Potenz. Zum Ableiten einer Potenzfunktion wird die Potenzregel angewandt.
Die Ableitung einer Potenzfunktion 
ergibt nach der Potenzregel:
, 
Die Potenzregel wird auch „Hut-ab-Regel“ genannt.
Du hast die Variable n als Exponenten, die bei x hochgestellt ist. Beim Ableiten nach der Potenzregel musst Du nun den Exponenten (mit seinem Vorzeichen) als Faktor vor das x ziehen. Der Exponent vermindert sich um 1, daher steht im Exponenten jetzt 
.
Merksatz: „Exponent runter, Exponent minus 1, Multiplikation mit dem alten Exponenten“
Die Regel gilt für alle Exponenten (negative, gebrochene und rationale)! Darunter fallen beispielsweise auch Wurzeln. Sieh Dir dazu gleich ein Beispiel an.
Aufgabe 2
Bestimme jeweils die Ableitungen 
und 
der Funktionen 
und 
.
Lösung 2
1. Ziehe den Exponenten der Funktion 
vor die Potenz 
und verringere den Exponenten um eins.
In der Ableitungsfunktion 
steht der ursprüngliche Exponent 4 als Faktor vor der Potenz und in der Potenz wurde von dem Exponenten die Zahl 1 abgezogen. Daraus ergibt sich der neue Exponent 3 der Ableitungsfunktion 
.
2. Um die Potenzregel anwenden zu können, forme zunächst die Funktion 
um und leite anschließend ab. Schreibe also die Wurzel in die Potenzschreibweise um.
Jetzt kannst Du entsprechend der Potenzregel wieder den Exponenten als Faktor vor die Potenz setzen und vom Exponenten 1 abziehen.
Umgeschrieben in die Wurzelschreibweise lautet die Ableitungsfunktion 
:
Möchtest Du noch mehr über die Potenzregel erfahren und weitere Beispiele sehen? Dann sieh Dir gerne den Artikel „Potenzregel“ an.
Wenn bereits ein Faktor vor der Potenz steht, musst Du zusätzlich zur Potenzregel die Faktorregel anwenden, um eine Funktion 
ableiten zu können.
Die Faktorregel wendest Du an, wenn ein konstanter Faktor c mit einer Funktion 
multipliziert wird. Dieser mit dem restlichen Term verknüpfte konstante Faktor c bleibt bei der Ableitung einer Funktion 
erhalten.
Die Ableitung einer Funktion 
mit dem konstanten Faktor 
ergibt anhand der Faktorregel:
Wie sieht das bei einem konkreten Beispiel aus?
Aufgabe 3
Bestimme die Ableitung der Funktion 
:
Lösung 3
In der vorliegenden Funktion steht ein Faktor vor einer Potenz (Stichwort Potenzregel). Das bedeutet, ein konstanter Faktor 
wird mit einer Funktion 
multipliziert.
Also musst Du die Faktor- und Potenzregel anwenden. Die Ableitung von 
nach der Potenzregel lautet:
Laut Definition der Faktorregel bleibt der Vorfaktor 8 einfach bestehen. Der konstante Faktor wird mit der abgeleiteten Funktion 
multipliziert. Die Lösung lautet:
Merke: Konstante Faktoren, die mit einem Term multipliziert werden, der mindestens ein „x“ enthält, bleiben beim Ableiten erhalten.
Bei der Anwendung der Faktorregel ist die Verbindung mit anderen Ableitungsregeln zu beachten. Alles rund um diese Ableitungsregel findest Du in der Erklärung „Faktorregel“.
Mit der Summenregel und Differenzregel kannst Du die Ableitung einer Funktion 
finden, die aus der Summe oder Differenz von zwei Funktionen 
und 
besteht. Die Teilfunktionen werden anschließend einzeln abgeleitet.
Eine Funktion 
der Form 
mit den Teilfunktionen 
und 
wird durch die Summenregel/Differenzregel wie folgt abgeleitet:
Eine Summe wird abgeleitet, indem jeder Summand für sich abgeleitet und die Ableitung addiert wird. Gleiches gilt auch für die Differenz, bei dem die abgeleiteten Teilfunktionen subtrahiert werden.
Ist ein Funktionsterm eine Summe, kannst Du jeden Summanden einzeln ableiten.
Zeit für ein Beispiel.
Aufgabe 4
Leite die Funktion 
mit der Summenregel ab.
Lösung
Die Summenregel besagt, dass Du die Summanden einzeln ableiten kannst. Du betrachtest also
als einzelne Summanden und leitest sie separat nacheinander ab. In diesem Schritt kommt die Summenregel aber nicht allein zum Einsatz. Zusätzlich musst Du die Faktorregel und die Potenzregel anwenden.
Bei beiden Teilfunktionen besagt die Faktorregel, dass ein konstanter Faktor beim Ableiten erhalten bleibt. Hier sind die konstanten Faktoren jeweils 
und 
. Diese Konstanten kannst Du also einfach stehen lassen.
Da in beiden Teilfunktionen eine Potenz vorkommt, wendest Du hier auch noch die Potenzregel an. Verringere dazu in 
und 
den Exponenten um 1 und ziehe den ursprünglichen Exponenten vor die Potenz.
Für 
lautet die Ableitung mit der Potenzregel:
Für 
lautet die Ableitung mit der Potenzregel:
Vergiss nicht, die konstante Zahl mit dem ursprünglichen Exponenten zu multiplizieren.
Also lautet die Ableitungsfunktion 
der Funktion 
:
Im Artikel zur Summenregel findest Du weitere Beispiele und Übungsaufgaben!
Analog funktioniert das mit der Differenzregel bei Differenzen, was Du in der Erklärung „Differenzregel“ nachlesen kannst.
Gibt es noch weitere Ableitungsregeln, die Du zum Ermitteln der Ableitungsfunktion benötigst? Ja, denn eine Funktion kann auch zwei durch Multiplikation, Division oder Verkettung miteinander verbundene Teilfunktionen enthalten. In diesen Fällen greifen die bisherigen Regeln nicht mehr und Du benötigst weitere Regeln.
Die Produktregel dient dazu, Funktionen abzuleiten, welche in der Form 
vorliegen. Dazu musst Du 
und
erkennen und ableiten.
Steht das x auf zwei Seiten eines Malzeichens, ist das ein eindeutiges Indiz dafür, dass Du die Produktregel verwenden kannst, denn dann hast Du ein Produkt aus zwei Teilfunktionen.
Die Produktregel wird verwendet, um eine Funktion 
mit den Teilfunktionen 
und 
abzuleiten.
Um die Produktregel anzuwenden, kannst Du Dich an folgender Vorgehensweise orientieren:
und 
identifizieren.Aufgabe 6
Leite die Funktion 
mit der Produktregel ab.
Lösung
Identifiziere die beiden Teilfunktionen und leite jede Funktion einzeln nacheinander ab.
Die einzelnen Ableitungen der Teilfunktionen 
werden nun gebildet.
Bei der Ableitung von 
kommen die Faktorregel und die Potenzregel zum Einsatz.
Da der Faktor 
vor dem „x“ ein konstanter Faktor ist, bleibt er beim Ableiten erhalten. Das x, wird anhand der Potenzregel abgeleitet, da gilt: 
.
Zur Erinnerung: Für den Ausdruck 
gilt: 
.
Bei der zweiten Teilfunktion 
müssen sogar drei Ableitungsregeln beachtet werden: die Faktorregel, die Potenzregel und die Summenregel.
Werden die Summanden getrennt voneinander abgeleitet und die jeweiligen Ableitungsregeln berücksichtigt, so erhältst Du:
Da nun beide Teilfunktionen 
und 
abgleitet wurden, kannst Du alles in die Formel der Produktregel einsetzen:
Zur Erinnerung: Produktregeln beim Differenzieren: 
mit:
Ausmultipliziert und vereinfacht ergibt sich demnach:
Zum tieferen Verständnis sieh Dir die Erklärung zur „Produktregel“ an.
Teilfunktionen können nicht nur durch Multiplikation miteinander verbunden sein, sondern auch durch eine Division.
Die Quotientenregel ist sozusagen das Gegenstück zur Produktregel. Sie wird angewandt, wenn Du eine Funktion in Form eines Bruchs ableiten sollst, in welchem sowohl im Nenner, als auch im Zähler ein x steht.
Die Quotientenregel wird also beispielsweise beim Differenzieren von gebrochen-rationalen Funktionen der Form 
verwendet.
Eine Funktion der Form 
mit den Teilfunktionen 
und 
wird mit der folgenden Formel der Quotientenregel abgeleitet:
Es werden zunächst wieder die zwei Funktionen identifiziert und getrennt abgeleitet. Danach werden die Teilfunktionen und deren Ableitungen in die Formel eingesetzt. Schau Dir das am besten am folgenden Beispiel an:
Aufgabe 7
Bilde die Ableitung der Funktion 
mithilfe der Quotientenregel.
Lösung
Bestimme die einzelnen Teilfunktionen 
und 
. Leite diese dann jeweils mit der Konstantenregel, der Faktorregel und der Potenzregel ab.
Zur Erinnerung: Reelle Konstanten fallen beim Ableiten weg.
Setze nun die einzelnen Terme in die Formel ein:
Zur Erinnerung: Formel der Quotientenregel: 
Nach Einsetzen der einzelnen Teilfunktionen erhältst Du:
Falls gewünscht, kann die Funktion 
noch weiter ausmultipliziert werden:
Im Artikel „Quotientenregel“ findest Du noch einmal alles rund um das Thema dieser Ableitungsregel.
Die bisherigen Ableitungsregeln beschränken sich auf Funktionen, die lediglich eine Variable x enthalten. Was aber, wenn Du Funktionen mit zwei Variablen ableiten musst? Dann kommt die partielle Ableitung ins Spiel. Interessiert an der Anwendung dieser Regel? Dann sieh Dir gerne die nachfolgende Vertiefung an.
Die partielle Ableitung wird auch teilweise Ableitung genannt. Sie wird benutzt, wenn Du eine Funktion mit zwei Veränderlichen ableiten musst.
Die partielle Ableitung ist die Ableitung einer Funktion 
mit mehreren Argumenten/Variablen x und y nach einem dieser Argumente. Es wird also nur ein Teil der Funktion abgeleitet.
Die Grundlagen, die Du dafür benötigst, sind die zuvor eingeführten Ableitungsregeln und das Ableiten mit Parametern.
Die Funktion 
hat zwei Argumente: x und y.
Nun kannst Du nach x oder y partiell ableiten.
Nach welcher Variablen nun abgeleitet wird, bekommt nun eine sehr große Bedeutung. Die andere Variable ist zu behandeln wie eine Zahl bzw. eine Konstante. Du leitest partiell ab, einmal nach x und danach nach y, jeweils ist dann die andere Variable als Konstante zu sehen.
Zur Erinnerung: Die Ableitung einer Konstanten ist Null.
Beispiel gefällig? Dann los!
Aufgabe 8
Leite die Funktion 
mit 
partiell ab.
Lösung
Zunächst wird nach dem Argument x abgeleitet. Für diese Ableitung ist indessen y als Konstante bzw. Zahl zu sehen.
Deshalb ist 
zu behandeln wie eine Konstante.
Tipp: Setze für das Argument, nach dem nicht abgeleitet wird, einen konkreten Wert ein, um es für Dich anschaulicher zu machen.
Also leite die Funktion nach dem Argument x ab, mit Anwendung der Potenzregel.
Wie Du siehst, fällt 
einfach weg, da es sich um eine Konstante handelt. Nun hast Du nach dem Argument x abgeleitet. Jetzt wird das für das Argument y gemacht.
Betrachte nun y als Argument und x als Konstante. Das bedeutet wieder: Konstanten, die allein stehen und mit einem Plus verbunden sind, fallen weg. Leite nach dem Argument y ab.
Wenn Du einen tieferen Einblick benötigst, kannst Du Dir die Erklärung „Partielle Ableitung“ anschauen.
Die Kettenregel wird für manche Wurzeln, e-Funktionen, Logarithmusfunktionen und andere verkettete Funktionen verwendet.
Verkettete Funktionen treten allgemein in dieser Form auf: 
. Wenn Du die Verkettung von Funktionen weiter vertiefen möchtest, schau in der Erklärung „Verketten von Funktionen“ vorbei.
Die Kettenregel wird verwendet, wenn eine verkettete Funktion 
aus einer äußeren Funktion 
und einer inneren Funktion 
besteht:
Merke: „Äußere mal innere Ableitung.“
Verkettung von Funktionen bedeutet, eine Funktion ist mit einer anderen Funktion zusammengesetzt. Grundlage dieser Regel ist es, die vorliegende verkettete Funktion so umzuformen (durch Substitution), dass andere Ableitungsregeln wieder greifen. Wie gehst Du nun bei der Ableitung so einer Funktion vor?
Vorgehensweise:
und innere Funktion
identifizieren.
und 
der beiden Funktionen bilden.Zeit für ein Beispiel!
Aufgabe 9
Leite die Funktion 
mit der Kettenregel ab:
Lösung
Identifiziere zunächst die Teilfunktionen 
und 
. Leite die jeweils die Teilfunktionen einzeln ab.
Daraus ergibt sich folgende Ableitungsfunktion 
:
Zur Erinnerung: Kettenregel: 
Übrigens: Das Multiplizieren mit 
wird auch als Nachdifferenzieren bezeichnet.
Wenn Du auch hier noch mehr über das Thema erfahren willst und weitere Beispiele betrachten möchtest, schau Dir die Erklärung „Kettenregel“ an.
Im nachfolgenden Abschnitt findest Du alle Ableitungsregeln dieses Artikels noch einmal kurz zusammengefasst.
Um Dir den Umgang mit den Ableitungsregeln zu erleichtern, hast Du hier alle übersichtlich aufgeführt.
| Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
| Faktorregel |  |  |
| Potenzregel |  |  |
| Summenregel |  |  |
| Differenzregel |  |  |
| Kettenregel |  |  |
| Produktregel |  |  |
| Quotientenregel |  |  |
Kleiner Tipp:
Lege Dir die Ableitungstabelle beim Bearbeiten von Übungsaufgaben am Anfang daneben, um alles auf einem Blick parat zu haben! Gerne kannst Du auch Deine eigene Formelsammlung benutzen.
Jetzt ist es an der Zeit, das Thema noch etwas zu verinnerlichen.
Aufgabe 10
Betrachtet wird die folgende Funktion 
mit 
. Bilde die erste Ableitung 
der Funktion 
.
Lösung
Auf den ersten Blick fällt auf, dass es sich um einen Quotienten handelt, es muss also die Quotientenregel verwendet werden. Aber auch hier wird die Quotientenregel nicht allein angewandt. In diesem Fall wird zusätzlich noch die Konstanten-, Potenz-, Faktor-, Summen- und Differenzregel benötigt.
Identifiziere zunächst die einzelnen Teilfunktionen 
und 
und leite diese dann einzeln ab.
Erste Teilfunktion: 
Hier musst Du zu den bereits angeführten Ableitungsregeln noch die Kettenregel aufgrund der Hochzahl 3 anwenden. Also identifiziere hier auch wieder die äußere und innere Funktion und leite einzeln ab.
Die äußere Funktion wird hier als 
bezeichnet, die innere Funktion als 
, um Verwechselungen auszuschließen.
Innere Funktion: 
Hier bleibt der Faktor 
aufgrund der Faktorregel bestehen. Die reelle Konstante fällt aufgrund der Konstantenregel weg. Laut der Potenzregel wird x um eins verringert, weshalb x ebenso wegfällt.
Äußere Funktion: 
Bei der äußeren Funktion wird 
nicht betrachtet und nur die Potenzregel angewandt. Ziehe also den ursprünglichen Exponenten nach vorne und verringere den Exponenten um eins.
Eingesetzt in die Formel der Kettenregel 
lautet die erste Teilfunktion:
Zweite Teilfunktion: 
Die reelle Konstante 7 fällt wieder weg und der konstante Faktor 
bleibt erhalten. Aufgrund der Potenzregel fällt x weg:
Nachdem beide Teilfunktionen abgeleitet wurde, musst Du diese Teilfunktionen in die Formel der Quotientenregel einsetzen:
Zur Erinnerung: Formel der Quotientenregel: 
Für den Überblick sind alle benötigten Teilfunktionen noch einmal aufgeführt:
In der Formel eingesetzt:
Anschließend kann der Bruch noch weiter umgeformt werden.
Frage einfach Deine Lehrerin oder Deinen Lehrer, wie weit der Bruch vereinfacht werden soll.
In den jeweiligen Artikeln kannst Du Dir noch einmal alle Ableitungsregeln im Detail ansehen. Folgende Zusammenfassung gibt Dir einen allgemeinen Überblick über die Regeln des Artikels.
| Regel | Funktionsform | Formel | Anwendung |
| Ableitung einer Konstanten |  |  | Bei separaten Konstanten |
| Potenzregel |  |  | Bei Potenzen (auch als Wurzel) |
| Faktorregel |  |  | Bei Vorfaktoren |
| Summen-/Differenzregel |  |  | Bei Summen/Differenzen |
| Produktregel |  |  | Bei Produkttermen |
| Quotientenregel |  |  | Bei Quotiententermen |
| Kettenregel |  |  | Bei Verkettung |
Ableitungsregeln sind Hilfsmittel, die bei der Ermittlung der Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) verwendet werden.
Unter die Ableitungsregeln fallen unter anderem die Ableitung einer Konstanten, die Potenzregel, die Faktorregel, die Summen-/Differenzregel, die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel.
Wird beispielsweise eine Funktion f(x) = x² abgeleitet, so kann die Potenzregel verwendet werden, um die Ableitung f'(x) = 2x zu erhalten.
Frage
Erläutere, wie die Ableitung einer Funktion
definiert ist und wie diese berechnet wird.
Antwort
Die Ableitung einer Funktion
an einer Stelle
gibt die Steigung der Tangente in einem Punkt an. Die Ableitung lässt sich mit den passenden Ableitungsregeln bilden.
Frage
Zeige auf, wie eine konstante Funktion abgeleitet werden kann.
Antwort
Die Ableitung einer konstanten Funktion lautet:
Konstanten fallen beim Ableiten weg.
Frage
Gib an, wie die Ableitung einer Potenzfunktion
gebildet wird.
Antwort
Die Potenzregel wird auch "Hut-ab-Regel" genannt. Das kommt daher, dass der Exponent der Potenz vor die Basis gezogen wird und die Zahl im Exponenten um eins verringert wird:
Frage
Erläutere, was unter der Faktorregel zu verstehen ist.
Antwort
Die Faktorregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion lautet:
Die Faktorregel wird bei Funktionen angewandt, wenn ein konstanter Faktor c mit einer Funktion multipliziert wird.
Frage
Gib an, welche Kriterien hinsichtlich der Verwendung der Summenregel/Differenzregel gelten und was diese Regel besagt.
Antwort
Um die Summenregel/Differenzregel anwenden zu können, muss eine Funktion vorliegen, die aus der Summe oder Differenz von zwei Funktionen besteht:
Die zugehörige Ableitung lautet:
Frage
Zeige auf, wie Ableitung einer Funktion der Form gebildet wird.
Antwort
Die Funktion ist ein Produkt zweier Funktionen. Hier wird die Produktregel angewandt. Um die Funktion mit den Teilfunktionen
und
abzuleiten, wird die folgende Regel verwendet:
Frage
Wende die Quotientenregel zur Ableitung der Funktion an.
Antwort
Die Quotientenregel lautet allgemein:
Die Ableitung der Funktion wird demnach gebildet, indem die beiden Teilfunktionen
und
getrennt abgeleitet werden:
In die Formel eingesetzt, ergibt sich:
Frage
Erläutere, wie eine Funktion aussehen muss, um die Kettenregel anwenden zu können.
Antwort
Die Kettenregel wird für manche Wurzeln, e-Funktionen, Logarithmusfunktionen und andere verkettete Funktionen verwendet, die die Form haben.
Die Ableitung einer verketteten Funktion wird gebildet, indem die äußere mal die innere Ableitung gesetzt wird:
Frage
Beschreibe, wie die Tangentensteigung an einer bestimmten Stelle berechnet werden kann.
Antwort
Frage
Gib an, in welchem Punkt sich die partielle Ableitung von den anderen Ableitungsregeln unterscheidet und wie diese gebildet wird.
Antwort
Die partielle Ableitung ist die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten/Variablen x und y nach einem dieser Argumente. Es wird also nur ein Teil der Funktion abgeleitet. Bei den anderen Ableitungsregeln gab es nur ein konkretes Argument, nach dem abgeleitet wurde. Eine der Argumente wird dabei immer als Konstante betrachtet.
Frage
Beschreibe, wie Du bei der Ableitung einer verketteten Funktion (Kettenregel) vorgehen musst.
Antwort
Frage
Erläutere die Vorgehensweise bei der Anwendung der Quotientenregel.
Antwort
Frage
Überprüfe die vier möglichen Antworten und entscheide, welche der zur Wahl stehenden Ausdrücke die 1. Ableitung der Funktion von darstellt.
Antwort
Frage
Berechne die Steigung der Funktion
an der Stelle
in Abhängigkeit von t.
Antwort
1. Bilden der ersten Ableitung :
2. Einsetzen der Stelle in mt:
Frage
Bilde die erste Ableitung folgender Funktion
und vereinfache den Funktionsterm der Ableitung so weit wie möglich:
Antwort
Die Funktion g lässt sich in Kenntnis der Produktregel, der Ableitung einer Potenzfunktion, der Summenregel und der Faktorregel ableiten.
Frage
Erläutere, welche Bedeutung es für das Schaubild von hat, wenn folgende Informationen bekannt sind:
und
Antwort
Frage
Bilde die 1. und 2. Ableitung der folgenden Funktion :
Antwort
Bilde zunächst die 1. Ableitung :
Bilde jetzt noch die zweite Ableitung durch erneutes Ableiten:
Frage
Entscheide begründet, ob es sich bei der folgenden Funktion um eine Verkettung von Funktionen handelt und somit die Kettenregel angewendet werden kann:
Antwort
Ja, es handelt sich um eine Verkettung von Funktionen. Die äußere Funktion ist durch den Exponenten der Klammer gekennzeichnet. Die innere Funktion steht innerhalb der Klammer. Es gilt also:
Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.
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