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Ableitungsregeln

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Mathe

Das rechnerische Ableiten (Differenzieren) einer Funktion ist ein zentraler Bestandteil der Differentialrechnung. Um die Ableitung einer Funktion korrekt zu berechnen, musst du einige Ableitungsregeln kennen. In diesem Artikel stellen wir dir die wichtigsten Ableitungsregeln vor.

Grundlagen zum Ableiten

Wie stark sich der Luftdruck ändert, wie schnell chemische Stoffe reagieren, wie viel extra-Gewinn eine Firma machen kann: die erste Ableitung f'(x) hat viele anschauliche Bedeutungen.

Beispielsweise kannst du durch die Ableitung einer Funktion, die einen Weg beschreibt, die Geschwindigkeit berechnen.

Die erste Ableitung gibt für jede Funktion f(x) die Steigung (Anstieg) des Graphen an. Mit ihrer Hilfe kann man für jede Stelle x die Steigung des Graphen in dem Punkt berechnen. Man setzt also den x-Wert in die erste Ableitung ein und berechnet, wie groß der Anstieg der Funktion in dem entsprechenden Punkt ist.

Oft wird statt auch , seltener auch geschrieben. Alle drei Schreibweisen meinen dasselbe.

Achte beim Ableiten immer darauf, nach welcher Funktionsvariable du ableitest!

Zum Beispiel bei . Hier lautet die Ableitung einfach , da du nach x ableitest.

Konstantenregel

Konstante Summanden ("ohne x") fallen beim Ableiten weg!

  • Die Ableitung einer konstanten Zahl ist 0.
  • Die Ableitung f'(x) einer konstanten Funktion ist null, weil auch die Steigung der konstanten Funktion null ist . Der Graph jeder konstanten Funktion f(x) verläuft horizontal.

Der Summand 1 ist laut der Konstantenregel weggefallen.

Die Faktorregel wendest du immer dann an, wenn ein konstanter Faktor c vor unserem x steht.

Diese Regel hast du bestimmt schon einige Male angewendet und vielleicht war dir gar nicht bewusst, dass es sich dabei um die Faktorregel handelt.

Die Regel besagt, dass konstante Faktoren (ohne die Funktionsvariable x) beim Ableiten einer Funktion erhalten bleiben!

Du hast einen konstanten Faktor c vor einer Funktion stehen. Dieser Faktor c bleibt beim ableiten erhalten. Du leitest die Funktion ab, c bleibt dabei unverändert.

Abgeleitet bleibt die Konstante einfach bestehen. Hier wäre das dann .

Merke: konstante Faktoren, die mit einem Term multipliziert werden, der x enthält, bleiben beim Ableiten erhalten.

Potenzregel

Wenn du Potenzfunktionen ableiten möchtest, also das x eine Hochzahl (Potenz) besitzt, musst du die

Potenzregel anwenden.

Auch wenn es dir bisher nicht bewusst war, aber diese Regel verwendet man beim Ableiten immer - ganz egal, wie die Funktion aussieht. Die Potenzregel dient als Basis.

Für Potenzfunktionen gilt:

,

Die Potenzregel wird auch "Hut-ab-Regel" genannt.

Du hast r als Exponenten, der bei x hochgestellt ist. Beim Ableiten nach der Potenzregel musst du nun den Exponenten (mit samt seinem Vorzeichen) als Faktor vor das x ziehen. Der Exponent vermindert sich um 1, daher steht im Exponenten jetzt r-1.

Merksatz: "Exponent runter, Exponent minus 1, Innere Ableitung"

Merke dir:

  1. Schreibe das, was im Exponent steht, als Faktor vor die Funktion.
  2. Subtrahiere 1 vom Exponenten.
  3. Tipp: x kannst du schreiben als .

Ausnahmen:

  • selbst und seine Ableitung sind nicht definiert.
  • hoch etwas Negatives und seine Ableitungen sind nicht definiert.

Summenregel/Differenzregel

Mit der Summenregel kannst du die Ableitung einer Funktion finden, die aus der Summe oder Differenz von zwei Funktionen g(x) und h(x) besteht.

Die Teilfunktionen können dann einzeln abgeleitet werden.

Du leistest beide Funktionen einzeln ab. Einen Summenterm leitet man ab, indem man jedes einzelne Glied (jeden Summanden) für sich alleine ableitet.

Ist ein Funktionsterm eine Summe, kannst du jeden Summanden einzeln ableiten.

Analog funktioniert das mit der Differenzregel bei Differenzen.

Kettenregel

Die Kettenregel wird für Wurzeln, e-Funktionen, Logarithmusfunktionen und andere verkettete Funktionen verwendet.

Verkettete Funktionen treten allgemein in dieser Form auf: .

Merke: "innere mal äußere Ableitung"

Verkettung von Funktionen bedeutet, eine Funktion ist mit einer anderen Funktion zusammengesetzt.

oder oder auch sind typische verkettete Funktionen: Du hast eine innere Funktion, deren Funktionswert sozusagen als Funktionsargument in die äußere Funktion eingesetzt wird. Die Ableitung solcher Funktionen ist vergleichsweise einfach.

Vorgehensweise:

  1. Die äußere und innere Funktion identifizieren.
  2. Die Ableitungen der beiden Funktionen bilden.
  3. Die Funktionen und ihre Ableitungen in die Formel einsetzen.

Als äußere Ableitung wird in diesem Fall g'(x) der äußeren Funktion g(x) bezeichnet.

Unsere innere Ableitung hier ist h'(x) mit der zugehörigen inneren Funktion h(x).

Am besten ist es, wenn du dir die Funktionen, sowie ihre Ableitung zunächst einzeln aufschreibst und anschließend in die Formel einsetzt. So kommst du nicht so leicht durcheinander.

Übrigens: Das Multiplizieren mit wird auch als Nachdifferenzieren bezeichnet.

Produktregel

Die Produktregel dient dazu, Funktionen abzuleiten, welche in der Form vorliegen. Dazu musst du und auch erkennen und ableiten.

Steht das x auf zwei Seiten eines Malzeichens, ist das ein eindeutiges Indiz dafür, dass du die Produktregel verwenden musst:

Kurzfassung: f'(x) = links abgeleitet mal rechts + links mal rechts abgeleitet.

Produkt heißt: eine Malkette. Die linke Seite der Malkette wird genannt und die rechte Seite .

Vorgehensweise:

  1. Die beiden Teilfunktionen und identifizieren.
  2. Die Funktionen getrennt ableiten.
  3. Die Funktionen und die Ableitungen in die Formel einsetzen.


Am besten ist es, wenn du dir die Funktionen, sowie ihre Ableitung zunächst einzeln aufschreibst und anschließend in die Formel einsetzt. So kommst du nicht so leicht durcheinander.

Quotientenregel

Die Quotientenregel ist quasi das Pendant zur Produktregel. Sie wird angewendet, wenn du eine Funktion in Form eines Bruchs ableiten sollst, in welchem sowohl im Nenner, als auch im Zähler ein x steht. Anders gesagt: Man braucht die Quotientenregel beim Differenzieren von gebrochen-rationalen Funktionen. Die Quotienten leitest du einzeln ab.

Beachte: , da es in der Mathematik unzulässig ist, durch Null zu teilen.

Schritt für Schritt bedeutet das:

  1. Zuerst leitest du den Zähler ab und multiplizierst ihn mit dem Nenner:
  2. Dann subtrahierst du den Zähler multipliziert mit der Ableitung des Nenners:
  3. Das Ganze teilst du durch den Nenner im Quadrat:

Es werden zunächst wieder die zwei Funktionen identifiziert und getrennt abgeleitet. Danach werden die Teilfunktionen und deren Ableitungen in die Formel eingesetzt. Schauen wir uns ein Beispiel an:

Ableitungsregeln für Exponentialfunktionen

Das Ableiten von Funktionen der allgemeinen Form wird Exponentialfunktion zur Basis a genannt - das x steht hierbei im Exponent. Zum Differenzieren musst du den natürlichen Logarithmus (ln) benutzen.Folgende Regel gilt beim Ableiten von Exponentialfunktionen:

Bei der Exponentialfunktion zur beliebigen Basis a, kommt bei der Ableitung zur Funktion selbst noch der Faktor ln a dazu.

Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion (e-Funktion)

Endlich wieder eine einfache Formel! Ihre Ableitung ist eine dankbare Aufgabe, da sie unverändert bleibt.

Die e-Funktion ist eine besondere und wichtige Exponentialfunktion, sie wird auch als natürliche

Exponentialfunktion bezeichnet.

Bei der Exponentialfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um die einzige Funktion f(x), die mit Ihrer eigenen Ableitung f'(x) identisch ist.

Summen - und Faktorregel gelten weiterhin!

Wenn du die e-Funktion ableiten möchtest, musst du dir folgendes merken:

  1. Falls im Exponent nur ein x steht, bleibt die e-Funktion beim Differenzieren gleich:
  2. Falls jedoch im Exponent ein umfangreicherer Term steht, musst du zusätzlich die Kettenregel anwenden!

Ableitung des natürlichen Logarithmusfunktion (ln)

Beim Ableiten des ln ist folgendes Hintergrundwissen nützlich: die natürliche Logarithmusfunktion enthält als Basis die Euler'sche Zahl e. Beim Differenzieren heben die ln-Funktion und die e Funktion sich jeweils auf.

Wie die beiden Funktionen grafisch miteinander zusammenhängen, siehst du in der untenstehenden Grafik:

Analysis Zusammenhang natürlicher Logarithmus und e-Funktion StudySmarterAbbildung 1:
Zusammenhang zwischen der natürlichen Logarithmusfunktion und der e-Funktion

Die allgemeine Ableitungsregel für die ln-Funktion lautet:

Logarithmusfunktionen werden mit der Kettenregel abgeleitet. Dazu unterteilst du f(x) in eine innere und äußere Funktion und leitest beide jeweils ab.

Die innere Funktion ist hier und die äußere der ln von irgendetwas.

Ableitung Logarithmus

Wenn du Logarithmusfunktionen ableiten willst, gilt allgemein folgende Ableitungsregel:

Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Die Ableitung von Sinus, Kosinus und Tangens ist im Grunde ganz simpel - du musst dir lediglich ein paar Dinge auswendig merken und das Differenzieren von trigonometrischen Funktionen wird zum Kinderspiel. Die Besonderheit ist, dass sin, cos und tan auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar sind, d.h. man kann jede trigonometrische Funktion uneingeschränkt ableiten.

Wie du Sinus- und Cosinusfunktion ableitest, kannst du anhand folgender Merkhilfe verinnerlichen:

Analysis Ableitungskreis Sinus- u. Kosinusfunktion StudySmarterAbbildung 2: Ableitungskreis Sinus- und Cosinusfunktion

Die Ableitung der Tangensfunktion hingegen ist etwas komplizierter.

Da tan x gleich ist mit (sin x dividiert durch cos x), kannst du dessen Ableitung durch Einsatz der Quotientenregel zu (1 dividiert durch ) errechnen.

Die zugehörige Formal lautet:

An sich ist die Ableitung vom Tangens relativ einfach, solange nur ein x als Argument in der Tangensfunktion steht. Ansonsten musst du die Kettenregel verwenden.

Ableitungsregel Übersicht

Um dir den Umgang mit den Ableitungsregeln zu erleichtern, hast du alle nochmals übersichtlich aufgeführt. Damit klingt das Ableiten ganz sicher !

AbleitungsregelFunktionAbleitung
Faktorregel
Potenzregel
Summenregel
Differenzregel
Kettenregel
Produktregel
Quotientenregel

Spezielle Ableitungsregeln

Ableitung Wurzel

Wurzeln können nur abgeleitet werden, wenn du sie umformst. Bei Wurzelfunktionen bietet es sich an, den Wurzelausdruck zunächst in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Ableitungsfunktion f'(x) zu bilden.

Jede Wurzel kann auch als Exponent geschrieben werden:

Quadratwurzel

n-te Wurzel

Zusammenhang zwischen Differenzialquotient und Differenzenquotient

Vielleicht hast du dich auch schonmal gefragt, wo eigentlich der Unterschied zwischen dem Differenzialquotienten und dem Differenzenquotient liegt - schließlich klingen die Begriffe sehr ähnlich.Die Unterscheidung ist eigentlich recht simpel: Den Differenzialquotient berechnen wir auf Grundlage des Differenzenquotienten.

Der Differenzenquotient

Mit dem Differenzenquotienten ist die durchschnittliche Steigung in einem Bereich gemeint. Wenn wir beispielsweise in einem Wertebereich mehrere unterschiedliche Steigungen haben, gibt uns der Differenzenquotient den Durschnitt aller an, v.a. bei der Betrachtung von Parabeln und ihren Tangenten ist dies von Relevanz.

Formel zur Berechnung des Differenzenquotient:

vereinfachte Form:

Wie du in der folgenden Grafik sehen kannst, haben wir beispielsweise im Fall der Normalparabel mehrere unterschiedliche Steigungen, je nachdem in welchem Punkt wir die Funktion betrachten. Im Grunde berechnen wir also den Differenzenquotient aus der Differenz von zwei y-Werten, geteilt durch die Differenz der zugehörigen x-Werte.

Analysis Grafik zum Differenzialquotient StudySmarterAbbildung 3:
Grafik zum Differenzialquotient

Berechnung des Differenzialquotienten

Auf Grundlage des Differenzenquotienten können wir den Differenzialquotient ermitteln.

Der Differenzialquotient entspricht der Steigung im Punkt . Wir ermitteln ihn, indem wir den Grenzwert, also den Limes, des Differenzenquotienten berechnen.

Formel zur Berechnung des Differenzialquotienten:

Insider Tipp fürs Ableiten

Häufig triffst du beim Ableiten auf Funktionen, bei denen es nicht ausreicht lediglich eine Formel anzuwenden. Das bedeutet, dass du oftmals mehrere Ableitungsregeln auf eine einzige Ableitung anwenden musst. In so einem Fall ist es ratsam, mehrere Rechenschritte durchzuführen und Nebenrechnungen anzufertigen, damit du nicht so leicht durcheinander kommst.

Ableiten erfordert regelmäßiges Training durch Üben, damit es reibungslos funktionieren kann - am besten geht das mit den Übungsaufgaben in der StudySmarter Lernapp. Hier findest du sogar die offiziellen Lerninhalte von STARK für eine optimale Prüfungsvorbereitung!

Übungsaufgaben Ableiten

Damit sich die Ableitungsregeln auch festigen, die du gerade kennengelernt hast, kannst du nun noch einige Übungsaufgaben bearbeiten.

Aufgaben

Lösungen

Ableitungsregeln - Das Wichtigste

  • Notwendigkeit der Ableitung: Die erste Ableitung ist zum Beispiel ein notweniges Kriterium zum Vorliegen von Extremwerten.
  • Die rechnerische Ableitung dient dazu, mit Rechenregeln das Steigungsverhalten einer ganzen Funktion zu bestimmen.
  • Alle Ableitungsregeln:
  • Die Ableitung einer e-Funktion bleibt immer gleich! Beachte jedoch die anderen Ableitungsregeln im Umgang mit der e-Funktion, falls diese nicht normal () aussieht.
  • Trigonometrische Funktionen lassen sich ableiten, indem der Ableitungskreis für Sinus und Cosinus Funktionen beachtet wird. Merke dir bei Tangens am Besten die Ableitung.

Finales Ableitungsregeln Quiz

Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = sin(x³)

b) f(x) = (4x² + 7)³

c) f(x) = 2⋅cos(3x²)

Antwort anzeigen

Antwort

a) f'(x) = 3x²⋅cos(x³)

b) f'(x) = 24x⋅(4x² + 7)²

c) f'(x) = -12x⋅sin (3x²)

Frage anzeigen

Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = 2⋅cos(3x²)

b) f(x) = (2x² + 3x)²

c) f(x) = 3⋅cos(2x³)


Antwort anzeigen

Antwort

a) f'(x) = -12x⋅sin(3x²)

b) f'(x) = 16x³+36x² +18x 

c) f'(x) = -18x²⋅sin(2x³) 

Frage anzeigen

Frage


Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = sin(4x³)

b) f(x) = (x + x²)³

c) f(x) = -3⋅cos(x²)

Antwort anzeigen

Antwort

a) f'(x) = 12x²⋅cos(4x³)

b) f'(x) = (3 + 6x)⋅(x + x²)²

c) f'(x) = 6x⋅sin (x²)

Frage anzeigen

Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = -2⋅sin(x²)

b) f(x) = (x² + 2)²

c) f(x) = -2⋅cos(5x²+3)

Antwort anzeigen

Antwort

a) f'(x) = -4x⋅cos(x²)

b) f'(x) = 4x³ + 8x 

c) f'(x) = 20x⋅sin(5x² + 3)

Frage anzeigen

Frage

Beschreiben Sie was man unter dem Term verkettete Funktion versteht!

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Funktionen g(x) und h(x) können zu einer neuen Funktion f(x) zusammengesetzt werden, indem man sie verkettet. Der Term der einen Funktion wird dabei in die Variable der anderen Funktion eingesetzt. Aufgrund der Verknüpfungsreihenfolge spricht man von einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion. Bei der mathematischen Schreibweise f = g ° h (lies: f ist die Verkettung von g mit h) ist die Reihenfolge wichtig, da die an zweiter Stelle stehende Funktion immer die einzusetzende (innere) Funktion ist.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Merkregel zur Kettenregel?

Antwort anzeigen

Antwort

Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit Ableitung der inneren Funktion (oder kurz: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“).

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, auf welche Funktionen die Summenregel angewandt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Anwendung: Die Summenregel wird immer dann verwendet, wenn eine Summe von differenzierbaren Funktionen abgeleitet werden muss.

Frage anzeigen

Frage

 Auf welche Funktionen kannst du die Potenzregel anwenden?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Potenzregel kannst du bei Potenzfunktionen verwenden oder wenn du eine Wurzelfunktion gegeben hast, die du in eine Potenzdarstellung überführst.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die Potenzregel in eigenen Worten!

Antwort anzeigen

Antwort

Du schreibst den Exponenten als Multiplikation vor das x und ziehst vom Exponenten 1 ab.

Frage anzeigen

Frage

Kannst du Wurzeln als Potenz schreiben?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen
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