Dein Hund hat Deine Hausaufgaben gefressen.
Ok, hat er nicht. Jeder weiß, dass das nur eine Ausrede ist. Aber gehe mal davon aus, er hat es wirklich getan und Du möchtest das nicht in der Schule erzählen müssen, weil Dir sowieso keiner glauben würde. Du hast nun von einer Aufgabe, in der Du einen Graphen zeichnen solltest, nur noch das halbe Ergebnis, nämlich die Punkte übrig und Du weißt noch, dass der Graph linear war. Die Aufgabe war allerdings ziemlich kompliziert und Du fragst Dich, ob es einen Weg gibt, den Graphen anhand der Punkte zu rekonstruieren, damit Du die ganze Aufgabe nicht noch einmal ausrechnen musst.
Lineare Funktionen – Grundlagen
Gute Neuigkeiten, das geht wirklich. Die allgemeine Darstellung einer linearen Funktion hat das Prinzip \(y=mx+t\). Dabei ist \(m\) die Steigung und \(t\) der y-Achsenabschnitt, also der Punkt, in dem der Graph die y-Achse schneidet.
Manchmal wird statt dem \(t\) auch ein \(b\) oder ein anderer Buchstabe verwendet.
Die Steigung \(m\) einer linearen Funktion ermittelst Du, indem Du Dir 2 Punkte \(P\,(x|y)\) und \(Q\,(x|y)\) auf dem Funktionsgraphen \(f(x)\) suchst und diese entweder voneinander abziehst, \[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}\] oder die Steigung \(m\) aus dem Graphen abliest.
Du kannst die Punkte natürlich auch anders benennen.
Dazu zeichnest Du Dir ein Steigungsdreieck ein. Ob das Steigungsdreieck über oder unter dem Graphen liegt, ist egal. Du kannst also von einem der beiden Punkte eine waagrechte Linie in Richtung des anderen Punktes ziehen und vom anderen Punkt aus eine senkrechte Linie, also ein Lot in Richtung des ersten Punktes. Dort, wo sich die Linien schneiden, entsteht somit ein rechter Winkel und Du hast ein Steigungsdreieck gezeichnet.
Abbildung 1: Steigungsdreick
Um die Steigung zu ermitteln, folgst Du nun den Linien und schreibst Dir die Abstände, also \(\Delta x\) und \(\Delta y\), als Bruch auf. Es gilt: \[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
Dabei ist es egal, bei welchem Punkt Du beginnst. Wichtig ist: folgst Du der Linie in positive x oder y-Richtung, schreibst Du einen positiven Wert in den Bruch. Folgst Du der Linie in negativer Richtung, so resultiert ein negativer Wert. Zum Schluss kannst Du den Bruch noch kürzen. Dann hast Du die Steigung gefunden.
Bei Werten, die zu groß sind, um sie abzulesen, rechnest Du den x-Wert der Stelle, an der sich Deine Linien treffen, minus dem x-Wert des Punktes. Dasselbe gilt auch für y. Auf diese Art und Weise erhältst Du auch gleich das richtige Vorzeichen.
Funktionsgleichung aus 2 Punkten bestimmen
Wenn Du 2 Punkte gegeben hast und eine lineare Funktion zeichnen sollst, ist das schnell erledigt, indem Du die Punkte mit einer Geraden verbindest. Dann fehlt Dir allerdings noch die Funktionsgleichung.
Gleichung einer Geraden bestimmen aus 2 Punkten
Um die gesuchte lineare Funktion aufstellen zu können, benötigst Du diese Formel: \[y=mx+t\]Das ist die allgemeine Form einer linearen Gleichung.
Bei zwei gegebenen Punkten gibt es zwei Möglichkeiten, die Funktionsgleichung zu erhalten:
Steigung und y-Achsenabschnitt berechnen
Die Steigung \(m\) kannst Du berechnen, indem Du die beiden gegebenen Punkte (beispielsweise \(P\,(x|y)\) und \(Q\,(x|y)\)) voneinander abziehst.
\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}\]
Die Punkte, die von Deiner Hausaufgabe, die am Anfang des Artikels angesprochen wurde, noch übrig geblieben sind, lauten \(E\,(1|2)\) und \(F\,(3|3)\). Diese setzt Du jetzt in die Formel für die Steigung \(m\) ein:
\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3-2}{3-1}=\frac{1}{2}\]
Die Steigung ist also \(m=\frac{1}{2}\).
Nun fehlt noch der y-Achsenabschnitt \(t\). Den erhältst Du, indem Du die Steigung \(m\) und einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung \(y=mx+t\) einsetzt und dann nach \(t\) auflöst.
Setze nun die eben errechnete Steigung \(m\) und einen der Punkte in die Formel \(y=mx+t\) ein und löse nach \(t\) auf. Beispielhaft wird hier der Punkt \(E\,(1|2)\) verwendet.
\begin{align}2&=\frac{1}{2}\cdot 1+t=\frac{1}{2}+t&&\left\vert-\frac{1}{2}\right.\\\\1,5&=t\end{align}
Die Funktionsgleichung lautet also \(f(x)=0,5x+1,5\) und Deine Hausaufgaben sind gerettet!
Lineares Gleichungssystem aufstellen
Die zweite Möglichkeit besteht darin, beide Punkte jeweils in die Formel \(y=mx+t\) einzusetzen und somit ein lineares Gleichungssystem zu erstellen.
Zur Erinnerung: Die Punkte lauten \(E\,(1|2)\) und \(F\,(3|3)\). Damit ergibt sich die 1. Gleichung zu
\begin{align}2&=m\cdot1+t\\\tag{I}2&=m+t\\\end{align}
und die 2. Gleichung ist:
\begin{align}3&=m\cdot3+t\\\tag{II}3&=3m+t\\\end{align}
Zur Lösung von linearen Gleichungssystemen gibt es mehrere Möglichkeiten. Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an. Dazu stellst Du eine der beiden Gleichungen nach einer Unbekannten um und setzt sie in die andere Gleichung ein.
\begin{align}\tag{I}2&=m+t&&\vert-t\\\tag{I*}2-t&=m\\\\\tag{I* in II}3&=3(2-t)+t=6-2t&&\vert-6\\-3&=-2t&&\vert:(-2)\\1,5&=t\\\\\tag{t in I*}m&=2-1,5\\m&=0,5\\\end{align}
Auch hier bekommst Du das Ergebnis, dass die Steigung \(0,5\) ist und der y-Achsenabschnitt \(1,5\) beträgt.
Mehr zu Lösungsverfahren für lineare Gleichungssystemen findest Du unter:
Es gibt allerdings noch viele weitere Möglichkeiten, um Funktionsgleichungen anhand von gegebenen Kriterien aufzustellen.
Funktionsgleichung ablesen graphisch
Du hättest beispielsweise auch zuerst den Graphen anhand Deiner Punkte zeichnen und danach die Funktionsgleichung ablesen können. Wie das geht, wurde weiter oben bei den Grundlagen schon angesprochen.
Zeichne die Punkte \(P\,(1|2)\) und \(Q\,(3|3)\) in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie mit einer Geraden.
Abbildung 2: Steigung und y-Achsenabschnitt
Nun kannst Du die Steigung und den y-Achsenabschnitt ablesen.
Die Steigung lautet \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{2}\) und der y-Achsenabschnitt ist \(t=1,5\).
Lineare Funktionsgleichung mit Punkt und y-Achsenabschnitt oder Punkt und Steigung ermitteln
Hast Du einen Punkt und den y-Achsenabschnitt \(t\) gegeben, brauchst Du nur noch die Steigung \(m\) zu berechnen, damit Du alle nötigen Werte für die Formel \(y=mx+t\) hast. Dazu hast Du wieder 2 Möglichkeiten. Das gleiche Prinzip gilt auch für den Fall, dass Du einen Punkt und die Steigung gegeben hast.
Steigung mit Formel berechnen
\(t\) ist nicht nur der Schnittpunkt mit der y-Achse, sondern kann auch als normaler Punkt mit \(x=0\) angesehen werden, also \(t\,(y|0)\). Somit kannst Du mit \(t\) und dem gegebenen Punkt \(P\,(x|y)\) die Steigung \(m\) berechnen.
\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
Steigung mittels Gleichung berechnen
Die andere Möglichkeit ist, dass Du \(t\) und den gegebenen Punkt in die Funktionsgleichung \(y=mx+t\) einsetzt und nach \(m\) auflöst. Somit hast Du \(t\) und \(m\) gefunden.
Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aus 2 Punkten bestimmen
Eine Exponentialfunktion kannst Du auch anhand von 2 Punkten finden. Da die Steigung variabel ist, also sich im Verlauf des Graphen ändert, ist das allerdings auch die einzige Möglichkeit, die Funktionsgleichung zu bestimmen.
Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion lautet \(y=a\cdot b^x\).
Um eine Exponentialfunktion anhand von zwei Punkten zu finden, brauchst Du ein Gleichungssystem. Dazu nimmst Du die allgemeine Form der Exponentialfunktion, setzt jeweils einen Punkt ein und hast somit 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die Du auflösen kannst.
Du hast die Punkte \(A\,(2|2)\) und \(B\,(4|8)\) gegeben. Damit kannst Du ein Gleichungssystem aufstellen und lösen.
\begin{align}\tag{I}2&=a\cdot b^2\\\tag{II}8&=a\cdot b^4\\\\\tag{I}2&=a\cdot b^2&&|:b^2\\\tag{I*}\frac{2}{b^2}&=a\\\\\tag{I* in II}8&=\frac{2}{b^2}\cdot b^4\\8&=2b^2&&|:2&|\sqrt{\quad}\\2&=b\\\\\tag{b in I*}\frac{8}{2^4}&=a\\\frac{1}{2}&=a\end{align}
Die Funktionsgleichung lautet also \(f(x)=\frac{1}{2}\cdot2^x\) und sieht folgendermaßen aus:
Abbildung 3: Exponentialfunktion
Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion bestimmen
Bei quadratischen Funktionen gibt es verschiedene Möglichkeiten, was gegeben sein kann.
- 3 Punkte
- ein Punkt und der Scheitelpunkt
- ein Punkt und zwei Nullstellen
Für diese 3 Möglichkeiten gibt es auch unterschiedliche Formeln, die Du nutzen kannst.
Die allgemeine Form einer Parabel ist: \[y=ax^2+bx+c\]
Daneben gibt es noch die Scheitelpunktform mit dem Scheitelpunkt \(S\,(x_{s}|y_{s})\) \[y=a(x-x_{s})^2+y_{s}\]
Oft wird der Scheitelpunkt mit \(S\,(d|e)\) bezeichnet und die Formel lautet folglich \(y=a(x-e)^2+d\).
und die faktorisierte Form für die Nullstellen \(x_{1}\) und \(x_{2}\).\[y=a(x-x_{1})(x-x_{2})\]
Die Wahl der Formel ist also entscheidend, je nachdem, was Du gegeben hast.
Quadratische Funktionsgleichung aus 3 Punkten bestimmen
Wenn Du drei Punkte gegeben hast, erstellst Du Dir mit der allgemeinen Form der Parabel ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen. Wenn Du dieses auflöst, erhältst Du als Ergebnis die Funktionsgleichung der gesuchten Parabel.
Dir sind die Punkte \(A\,(-2|1)\), \(B\,(-1|4)\) und \(C\,(\sqrt{3}|2)\) gegeben. Um die Funktionsgleichung der Parabel zu berechnen, kannst Du die Formel \(y=ax^2+bx+c\) verwenden. Indem Du jeweils einen Punkt einsetzt, erhältst Du das folgende Gleichungssystem, das Du lösen kannst.
Zuerst setzt Du jeden Punkt in die allgemeine Formel der Parabel ein und erhältst jeweils eine Gleichung für Dein Gleichungssystem. 2 der 3 Gleichungen kannst Du auch gleich nach einer Variablen auflösen, damit Du sie danach in die anderen Gleichungen einsetzen kannst.
\begin{align}1&=a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c\\\tag{I}1&=4a-2b+c&&|-4a+2b\\\tag{I*}1-4a+2b&=c\\\\4&=a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c\\\tag{II}4&=a-b+c&&|+b-4\\\tag{II*}b&=a+c-4\\\\2&=a\cdot \sqrt{3}^2+b\cdot \sqrt{3}+v\\\tag{III}2&=3a+\sqrt{3}b+c\end{align}
Jetzt kannst Du die Gleichungen ineinander einsetzen und erhältst so nach und nach die Werte der einzelnen Variablen. Schau auf die Nummerierungen an der rechten Seite, um nachzuvollziehen, welcher Rechenweg hier gegangen wurde.
\begin{align}\tag{II* in I*}1-4a+2(a+c-4)&=c\\-2a+2c-7&=c&&|-2c\quad|\cdot(-1)\\\tag{I**}7+2a&=c\\\\\tag{I** in II*}b&=a+7+2a-4\\\tag{II**}b&=3a+3\\\\\tag{I** und II** in III}2&=3a+\sqrt{3}(3a+3)+7+2a\\2&=\left(5+3\sqrt{3}\right)a+3\sqrt{3}+7&&\left\vert-3\sqrt{3}-7\right.\\-5-3\sqrt{3}&=\left(5+3\sqrt{3}\right)a&&\left\vert:\left(5+3\sqrt{3}\right)\right.\\\frac{-5-3\sqrt{3}}{5+3\sqrt{3}}&=a\\-1&=a\\\\\tag{a in II**}b&=-1+7+2\cdot(-1)-4\\b&=0\\\\\tag{a in I**}7\cdot 2\cdot(-1)&=c\\5&=c\end{align}
Du hast nun alle Werte herausgefunden und kannst sie in die Formel \(y=ax^2+bx+c\) einsetzen.\[f(x)=-x^2+5\]
Abbildung 4: Parabel
Wenn Du mehr über die Punkte weißt, die Du gegeben hast, dann geht diese Rechnung allerdings schneller.
In den folgenden Methoden wird bewusst die gleiche Parabel verwendet, damit Du siehst, dass alle Methoden zum selben Ergebnis führen.
Quadratische Funktionsgleichung mit Punkt und Scheitel bestimmen
Für den Fall, dass Du einen Punkt und den Scheitelpunkt \(S\,(x_{s}|y_{s})\) gegeben hast, verwendest Du die Scheitelpunktform.\[y=a(x-x_{s})^2+y_{s}\]. Damit kannst Du dann \(a\) berechnen und die Funktionsgleichung aufstellen.
Gegeben sind der Punkt \(A\,(-2|1)\) und der Scheitelpunkt \(S\,(0|5)\).
Diese Punkte kannst Du in die Scheitelpunktform \(y=a(x-x_{s})^2+y_{s}\) einsetzen und somit \(a\) berechnen.
\begin{align}1&=a(-2-0)^2+5\\1&=4a+5&&|-5\quad|:4\\-1&=a\end{align}
Nun kannst Du \(a\) und den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen und ausmultiplizieren.
\[y=-1(x-0)^2+5=-x^2+5\]
Die zugehörige Funktion lautet also \(f(x)=-x^2+5\).
Quadratische Funktionsgleichung mit Punkt und Nullstellen bestimmen
Eine weitere Möglichkeit ist, dass ein Punkt und die Nullstellen gegeben sind. Hier kommt die faktorisierte Form für die Nullstellen \(y=a(x-x_{1})(x-x_{2})\) ins Spiel. Auch hier setzt Du wieder alle gegebenen Punkte ein und löst nach \(a\) auf.
Gegeben sind die Nullstellen \(x_{1}=-\sqrt{5}\) und \(x_{2}=\sqrt{5}\), sowie der Punkt \(A\,(-1|4)\). Einsetzen in die faktorisierte Form liefert:
\begin{align}4&=a(-1-(-\sqrt{5}))(-1-\sqrt{5})\\4&=-4a&&|:(-4)\\-1&=a\end{align}
Erneutes Einsetzen in die faktorisierte Form liefert:
\[y=-1(x-(-\sqrt{5}))(x-\sqrt{5})=-x^2+5\]
Und somit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=-x^2+5\)
Quadratische Funktionsgleichung am Graphen aufstellen
Zu guter Letzt kannst Du eine Funktionsgleichung auch aufstellen, wenn Du nur den Graphen gegeben hast. Welche der 3 eben genannten Methoden Du dabei verwendest, ist Dir überlassen. Die benötigten Punkte dafür kannst Du Dir selbst aussuchen, indem Du sie vom Funktionsgraphen abliest. Dabei empfehlen sich ganzzahlige Koordinaten. Die 3 Möglichkeiten sind:
- Berechnung mit der allgemeinen Form einer Parabel (3 Punkte und Gleichungssystem)
- Berechnung mit der Scheitelpunktform (1 Punkt und der Scheitelpunkt)
- Berechnung mit der faktorisierten Form (Nullstellen)
Funktionsgleichungen höheren Grades bestimmen
Die bisherige Vorgehensweise kannst Du auch auf Funktionen höheren Grades übertragen. Grundsätzlich gilt: Du benötigst genauso viele Informationen, wie Du Unbekannte hast. Unter "Informationen" kannst Du aber nicht nur Punkte verstehen, sondern auch gewisse Eigenschaften, die die Funktion erfüllen soll.
Um eine Funktion beliebigen Grades zu finden, benötigst Du folgende Formel:\[y=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{2}x^2+a_{1}x+c\]
Anstelle von \(a_{1}\), \(a_{2}\) usw. kannst Du auch die Buchstaben des Alphabets verwenden.
Mit dieser Formel kannst Du Dir ein Gleichungssystem aufstellen. Je nachdem, welcher Grad gesucht ist, brauchst Du so viele x, wie der Grad hoch ist.Beachte beim Aufstellen des Gleichungssystems, dass zum Beispiel ein Extrempunkt nicht nur die Information enthält, dass der Graph durch diesen Punkt geht, sondern auch, dass eine Ableitung (je nach Art des Extrempunktes) an dieser Stelle 0 ist. Somit hast Du eine weitere Gleichung für das Gleichungssystem. Dieses löst Du dann noch auf und hast damit die Funktionsgleichung gefunden.In der Praxis kann die Rechnung unter Umständen ziemlich lang werden, aber sie führt zum Ziel.
Funktionsgleichung aus Punkten bestimmen – Aufgaben
Das waren jetzt ziemlich viele verschiedene Fälle. Versuche Dich doch mal an ein paar Übungen.
Aufgabe 1
Den Anfang macht eine lineare Funktion. Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen erst graphisch und überprüfe dann anhand der gefundenen Steigung und einem Punkt, ob Du richtig abgelesen hast.
Abbildung 5: Lineare Funktion bestimmen
Lösung
1. Graphische Lösung
Hierfür suchst Du Dir zwei beliebige Punkte auf dem Graphen aus (vorzugsweise Punkte mit ganzen Zahlen) und zeichnest ein Steigungsdreieck.
Abbildung 6: Lineare Funktion mit Steigungsdreieck
Damit kannst Du die Steigung \(m=\frac{1}{3}\) ablesen. Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei \(y=3\). Diese Werte kannst Du in die allgemeine Form einer linearen Funktion einsetzen und erhältst \(f(x)=\frac{1}{3}x+3\).
2. Bestimmung anhand von 2 Punkten
Ob Du die Steigung richtig abgelesen hast, kannst Du mit einer anderen Variante überprüfen. Beispielsweise, indem Du 2 Punkte einsetzt. Hier ist der Punkt \(A\) sogar der Schnittpunkt mit der y-Achse, sodass Du nur noch \(B\) einsetzen musst und nach \(m\) auflösen kannst.\begin{align}y&=mx+t\\4&=m\cdot3+3&&|-3\quad|:3\\\frac{1}{3}&=m\end{align}
Somit lautet die Funktion tatsächlich \(f(x)=\frac{1}{3}x+3\).
Aufgabe 2
Bestimme die Funktionsgleichung.
Abbildung 7: Exponentialfunktion bestimmen
Lösung
Hier handelt es sich um eine Exponentialfunktion. Die allgemeine Form lautet \(y=a\cdot b^x\). Suche Dir zwei geeignete Punkte auf dem Graphen, die Du in diese Form einsetzen kannst. Hier bieten sich \(A\,(0|-3)\) und \(B\,(-1|-6)\) an.
Abbildung 8: Exponentialfunktion mit Punkten
Damit kannst Du nun ein lineares Gleichungssystem erstellen und lösen:
\begin{align}\tag{I}-3&=a\cdot b^0\\-3&=a\\\\-6&=a\cdot b^{-1}\tag{II}-6&=\frac{a}{b}\\\\\tag{a in II}-6&=\frac{-3}{b}&&|\cdot\frac{b}{-6}\\b&=\frac{1}{2}\end{align}
Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x)=-3\cdot\frac{1}{2}^x\).
Aufgabe 3
Bestimmte die quadratische Funktion mit dem Scheitelpunkt \(S\,(2|-3)\) und dem Punkt \(P\,(4|-1)\).
Lösung
Da Du den Scheitelpunkt gegeben hast, benötigst Du für die Lösung dieser Aufgabe die Scheitelpunktform \(y=a(x-x_{s})^2+y_{s}\). Einsetzen liefert:
\begin{align}-1&=a(x-2)^2-3\\-1&=4a-3&&|+3&&|:4\\\frac{1}{2}&=a\end{align}
Das Ergebnis für \(a\) und den Scheitelpunkt kannst Du nun erneut in die Scheitelpunktform einsetzen und kürzen.
\begin{align}y&=\frac{1}{2}(x-2)^2-3\\y&=\frac{1}{2}x^2-2x-1\end{align}
Die Funktionsgleichung lautet also \(f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x-1\).
Abbildung 9: Quadratische Funktion mit Scheitelpunkt
Funktionsgleichung aus Punkten bestimmen – Das Wichtigste
Welche Funktionsart ist gesucht? Diese Frage ist entscheidend für die Wahl der Formel. Grundsätzlich gilt: Du brauchst genauso viele Punkte wie Unbekannte.
lineare Funktion: \(y=mx+t\)
Exponentialfunktion: \(y=a^x+c\)
quadratische Funktion:
allgemeine Form: \(y=ax^2+bx+c\)
Scheitelpunktform \(y=a(x-x_{s})^2+y_{s}\)
faktorisierte Form: \(y=a(x-x_{1})(x-x_{2})\)
Erstelle Dir ein Gleichungssystem, indem Du alle Punkte jeweils in die gewählte Formel einsetzt und löse es auf. Bei linearen Funktionen kannst Du Zeit sparen, indem Du die Steigung mit \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}\) berechnest oder sie mithilfe des Steigungsdreiecks aus dem Graphen abliest.
Setze die berechneten Unbekannten ohne die Punkte in die Formel ein und multipliziere aus. Nun hast Du die Funktionsgleichung gefunden.
Nachweise
- Bednarski, Dario (2019), Mathe für Antimathematiker - Analysis, RIVA VERLAG
- Partoll, Heinz & Wagner, Irmgard (2010), Mathe macchiato Analysis, 2. aktualisierte Auflage, Pearson Studium
Erklärungen 
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