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Schnittpunkt zweier Geraden

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Mathe

Schneiden sich zwei Geraden in einem Punkt, entsteht ein Schnittpunkt. Es gibt unterschiedliche Herangehensweisen diesen Schnittpunkt zu bestimmen. In diesem Artikel erfährst du alles darüber wie du einen Schnittpunkt berechnest und welche Sonderfälle es bei Schnittpunkten zweier Geraden gibt.


Hinweis: In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit dem Schnittpunkt zweier Geraden im zweidimensionalen Koordinatensystem. Möchtest du lernen, wie man den Schnittpunkt zweier Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem berechnet, dann findest du alle Informationen dazu im Abschnitt Analytische Geometrie im Bereich der Geometrie :)


Schnittpunkt zweier Geraden Grafik Buch StudySmarter



Wiederholung: Was ist ein Schnittpunkt?


Schauen wir uns zuerst einmal die Definition eines Schnittpunkts an.


Ein Schnittpunkt Schnittpunkt zweier Geraden Definition Schnittpunkt StudySmarter ist ein gemeinsamer Punkt zweier Funktionen f und g.


Der Schnittpunkt S liegt also sowohl auf der Funktion f, als auch auf der Funktion g. Also sind f und g im Punkt S gleich.



Schnittpunkt zweier Geraden Definition Schnittpunkt StudySmarterAbbildung 1: der Schnittpunkt


Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen


Um den Schnittpunkt zweier Geraden f und g zu bestimmen, gibt es zwei verschiedene Wege. Der einfachere ist die grafische oder zeichnerische Bestimmung. Dieses Vorgehen hat aber den Nachteil, dass du extrem sorgfältig zeichnen musst und manchmal der Schnittpunkt nur schlecht abgelesen werden kann. Aber keine Sorge, auch die Berechnung des Schnittpunkts, die genauer ist (vorausgesetzt du verrechnest dich nicht), ist nicht schwer.


Schnittpunkt zweier Geraden Grafik Schnittpunkt StudySmarter


Schauen wir uns diese beiden Methoden einmal genauer an.


So findest du den Schnittpunkt zeichnerisch


Das Vorgehen ist relativ simpel:


  1. Zunächst zeichnest du beide Funktionen in ein Koordinatensystem ein. Dafür kannst du zum Beispiel eine Wertetabelle anlegen und dann alle Wertepunkte in das Koordinatensystem eintragen.
  2. Danach liest du den Schnittpunkt S beider Gerade im Koordinatensystem ab und gibst ihn an.


Gegeben sind die beiden Funktionen Schnittpunkt zweier Geraden, Formel, StudySmarter und Schnittpunkt zweier Geraden, Formel, StudySmarter.


Werden sie in ein Koordinatensystem eingezeichnet, sollte das so aussehen: 


Schnittpunkt zweier Geraden Schnittpunkt ermitteln StudySmarterAbbildung 2: Geraden f und g im Koordinatensystem

 

Dann lesen wir den Schnittpunkt einfach ab.


Schnittpunkt zweier Geraden Schnittpunkt ablesen StudySmarterAbbildung 3: Schnittpunkt ablesen


In diesem Beispiel ist das Ablesen des Schnittpunkts sehr einfach, denn er liegt genau auf einem Gitterpunkt. Manchmal ist das aber nicht der Fall.


Schnittpunkt zweier Geraden Berechnung Schnittpunkt StudySmarterAbbildung 4: hier kann der Schnittpunkt nicht einfach abgelesen werden


Dann ist es besser, den Schnittpunkt auszurechnen.


So findest du den Schnittpunkt rechnerisch


Das Vorgehen zur Berechnung des Schnittpunkts besteht aus 4 Schritten:


  1. Als erstes werden die Funktionsgleichungen gleichgesetzt.
  2. Dann löst man die Gleichung nach x auf. So erhält man den x-Wert des Schnittpunkts.
  3. Den berechneten x-Wert setzt man in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und erhält so den y-Wert des Schnittpunkts.
  4. Zum überprüfen sollte man den x-Wert aus Schritt 2 auch in die zweite Funktionsgleichung einsetzen. Hier sollte derselbe y-Wert herauskommen. Alternativ kannst du auch den berechneten Schnittpunkt in die zweite Funktionsgleichung einsetzen und prüfen, ob eine gültige Gleichung herauskommt.


Um dieses Vorgehen einzuüben, schauen wir uns direkt ein Beispiel an.


Gegeben sind wieder die beiden Funktionen Schnittpunkt zweier Geraden, Formel, StudySmarter und Schnittpunkt zweier Geraden, Formel, StudySmarter. Wir überprüfen nun rechnerisch, ob der Schnittpunkt, den wir eben zeichnerisch ermittelt haben, richtig ist.


Schritt 1: Die Funktionsgleichungen werden gleichgesetzt.


Schnittpunkt zweier Geraden, Formel, StudySmarter 


Schritt 2: Wir lösen diese Gleichung nach x auf.


Schnittpunkt zweier Geraden, Formel, StudySmarter

Falls dir nicht ganz klar ist, wie man Gleichungen dieser Art auflöst, dann solltest du mal in den Artikel Lösen von Gleichungen schauen!


Schritt 3: Den berechneten x-Wert setzen wir jetzt in die Funktionsgleichung der Funktion f ein.


Schnittpunkt zweier Geraden, Funktionsgleichung, StudySmarter 


Unser berechneter Schnittpunkt hat also die y-Koordinate 2. Er ist also , so wie wir es zeichnerisch gesehen haben.


Schritt 4: Der Vollständigkeit halber überprüfen wir dieses Ergebnis. 


  • Methode 1: Der x-Wert 1 wird in die Funktionsgleichung der Funktion g eingesetzt:


Schnittpunkt zweier Geraden, Funktionsgleichung, StudySmarter (passt also)


  • Methode 2: Der Schnittpunkt wird in die Funktionsgleichung der Funktion g eingesetzt und es muss eine wahre Aussage herauskommen (das passt ebenfalls)


Schnittpunkt zweier Geraden, Funktionsgleichung, StudySmarter 



Sonderfälle beim Schnittpunkt zweier Geraden


Eben haben wir uns angeschaut, wie man einen Schnittpunkt zweier Geraden berechnet. 


Zwei Geraden schneiden sich aber nicht unbedingt in einem Punkt. Es gibt zwei Sonderfälle. Außerdem können sich zwei Geraden in einem besonderen Winkel schneiden. Diese drei Fälle schauen wir uns in den folgenden Abschnitten an.


Sonderfall 1: Es gibt keinen Schnittpunkt


Du weißt bestimmt schon, dass die allgemeine Funktionsgleichung von lineare Funktionen Schnittpunkt zweier Geraden, Funktion, StudySmarter lautet. Dabei ist m die Steigung der Funktion und t der y-Achsenabschnitt.


Haben zwei lineare Funktionen nun dieselbe Steigung m, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte, dann verlaufen ihre Graphen sie parallel.


Zwei Geraden sind parallel, genau dann wenn gilt: Schnittpunkt zweier Geraden, Gleichung, StudySmarter


Verlaufen zwei Geraden parallel, dann können sie sich aber niemals schneiden. 


Schnittpunkt zweier Geraden parallele Geraden StudySmarterAbbildung 5: parallele Geraden


Wenn du also bemerkst, dass die Steigung zweier linearer Funktionen gleich ist und ihr y-Achsenabschnitt unterschiedlich, so kannst du direkt folgern, dass die Geraden parallel sind und keinen Schnittpunkt haben können.


Aufgabe


Entscheide, ob die folgenden Geradenpaare einen Schnittpunkt haben.


  1. Schnittpunkt zweier Geraden, Funktion, StudySmarter
  2. Schnittpunkt zweier Geraden, Funktion, StudySmarter
  3. Schnittpunkt zweier Geraden, Funktion, StudySmarter


Lösung


  1. f und g haben dieselbe Steigung m=2, jedoch unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Sie sind also parallel und haben somit keinen Schnittpunkt.
  2. h und k haben auch dieselbe Steigung, denn es gilt: Schnittpunkt zweier Geraden, Gleichung, StudySmarter (der Bruch kann mit 3 gekürzt werden). Zudem sind die y-Achsenabschnitte unterschiedlich. Die Geraden sind also auch parallel und haben keinen Schnittpunkt.
  3. Die Steigung der Gerade s ist 2, die Steigung der Geraden t jedoch -2. Sie sind also unterschiedlich. Somit schneiden sich die Geraden in einem Punkt.



Falls du nicht direkt anhand der Steigung und des y-Achsenabschnitts siehst, dass zwei Geraden parallel verlaufen müssen, stolperst du meistens schon im 2. Schritt, aber spätestens im 3. Schritt deiner Berechnung darüber. Dort erhältst du dann eine falsche Gleichung und folgerst daraus, dass es keinen Schnittpunkt geben kann.


Gegeben seinen die Funktionen Schnittpunkt zweier Geraden, Funktion, StudySmarter und Schnittpunkt zweier Geraden, Funktion, StudySmarter. Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden.


Schritt 1: wir setzen die Funktionsgleichungen gleich:


 Schnittpunkt zweier Geraden, Funktionsgleichung, StudySmarter 


Schritt 2: wir lösen nach x auf.


Schnittpunkt zweier Geraden, Funktion auflösen, StudySmarter 


Die Aussage, dass 0=2 gilt, stimmt natürlich nicht. h und k haben also keinen gemeinsamen Punkt und verlaufen somit parallel.


Sonderfall 2: Es gibt unendlich viele Schnittpunkte


Wenn nicht nur die Steigung zweier Funktionen identisch ist, sondern auch der y-Achsenabschnitt t, dann sind beide Geraden deckungsgleich oder identisch. Sie haben also unendlich viele gemeinsame Punkte.


Zwei Geraden sind identisch, genau dann wenn gilt: Schnittpunkt zweier Geraden identische Geraden StudySmarter und Schnittpunkt zweier Geraden identische Geraden StudySmarter.


Schnittpunkt zweier Geraden identische Geraden StudySmarterAbbildung 6: identische Geraden


Auch hier gibt es zwei Möglichkeiten, diesen Fall nachzuweisen:

  1. Durch den Vergleich von Steigung und y-Achsenabschnitt: sind beide gleich, sind auch die Funktionen identisch. Ihre Graphen haben somit unendlich viele Schnittpunkte.
  2. Rechnerisch: Hier ergibt sich in Schritt 2 eine Gleichung, die immer richtig ist.


Den zweiten Fall schauen wir uns auch kurz an einem Beispiel an.


Überprüfe rechnerisch, ob die Graphen der Funktionen Schnittpunkt zweier Geraden, Funktion, StudySmarter und Schnittpunkt zweier Geraden, Funktion, StudySmarter einen Schnittpunkt haben.


Schritt 1: Gleichsetzen der Funktionsgleichungen.


Schnittpunkt zweier Geraden, Funktionsgleichung, StudySmarter 


Schritt 2: Auflösen nach x: da gilt Schnittpunkt zweier Geraden, Funktionsgleichung, StudySmarter, folgt


Schnittpunkt zweier Geraden, Funktionsgleichung, StudySmarter 


Die Aussage 2=2 stimmt. Daher sind die Funktionen s und t identisch und ihre Graphen haben unendlich viele Schnittpunkte.


Sonderfall 3: Die Geraden schneiden sich orthogonal


Ein weiterer Sonderfall bei Schnittpunkten ist, wenn sich beide Funktionen orthogonal schneiden.


Orthogonal bedeutet dasselbe wie rechtwinklig.


Im Koordinatensystem erkennst du dies also daran, dass zwischen beiden Geraden ein rechter Winkel (90°) vorliegt. Die Geraden stehen also senkrecht aufeinander.


Schnittpunkt zweier Geraden orthogonale Geraden StudySmarterAbbildung 7: zwei orthogonale Geraden



Rechnerisch kannst du die Orthogonalität durch die Steigungen der beiden Funktionen zeigen: 


Es gilt: stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander, dann gilt: Schnittpunkt zweier Geraden orthogonale Geraden StudySmarter


Es wird also das Produkt der beiden Steigungen gebildet. Ergibt es -1, so schneiden sich die Geraden orthogonal.


Wenn du allgemein den Schnittwinkel zweier Geraden berechnen möchtest, schau mal bei unserem Artikel Winkel zwischen Geraden vorbei!


Schauen wir uns auch das an einem Beispiel an.


Gesucht wird die Funktionsgleichung einer Geraden f, die orthogonal zu Schnittpunkt zweier Geraden, Funktion, StudySmarter steht und die y-Achse bei 5 schneidet.


Lösung


Es muss gelten: Schnittpunkt zweier Geraden, Funktionsgleichung, StudySmarter . Diese Gleichung kann nach der Steigung  aufgelöst werden:


Schnittpunkt zweier Geraden, Funktionsgleichung, StudySmarter


Der y-Achsenabschnitt t soll 5 sein. Damit sieht die Funktionsgleichung wie folgt aus:


Schnittpunkt zweier Geraden, Funktion, StudySmarter



Schnittpunkt zweier Geraden - Übungsaufgaben


Jetzt ist es Zeit, die Inhalte dieses Kapitels einzuüben. Dazu kannst du dir die folgenden zwei Aufgaben anschauen.


Aufgabe 1


Gesucht ist der Schnittpunkt P von folgenden Funktionen


Schnittpunkt zweier Geraden, Funktionen, StudySmarter

 

Lösung


Wir berechnen die Lösung. Dazu setzen wir die Funktionsgleichungen auf und lösen sie nach x auf.


Schnittpunkt zweier Geraden, Funktionsgleichung auflösen, StudySmarter


Nun setzen wir den x-Wert in g(x) ein, um den y-Wert des Schnittpunkts zu errechnen: 


Schnittpunkt zweier Geraden, Funktionsgleichung, StudySmarter   


Wir geben den Schnittpunkt an: Schnittpunkt zweier Geraden, Schnittpunkt, StudySmarter


Aufgabe 2


Gesucht wird eine zu Schnittpunkt zweier Geraden, Gleichung, StudySmarter parallele Gerade.


Lösung


Die Steigungen beider Funktionen müssen gleich sein. Jede Funktionsgleichung, bei der die Steigung m = 2 ist, ist eine richtige Lösung.

Zum Beispiel: Schnittpunkt zweier Geraden, Funktion, StudySmarter 


Schnittpunkt zweier Geraden Übungsaufgabe StudySmarterAbbildung 8: Die Geraden r und s


Schnittpunkt zweier Geraden - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Ein Schnittpunkt ist ein gemeinsamer Punkt zweier Funktionen.
  • Den Schnittpunkt zweier Geraden kann man zeichnerisch ermitteln oder berechnen
  • Um den Schnittpunkt zeichnerisch zu finden, müssen die gegebenen Funktionen in ein Koordinatensystem gezeichnet werden, und anschließend der Schnittpunkt abgelesen werden.
  • Um den Schnittpunkt zu berechnen, gehst du wie folgt vor:
    1. Funktionsgleichungen gleichsetzen
    2. Gleichung nach x auflösen
    3. x in eine Funktion einsetzen, um y herauszufinden
    4. Schnittpunkt S(x|y) angeben
  • Sind zwei Geraden parallel, so haben sie die gleiche Steigung und keinen Schnittpunkt.
  • Sind zwei Geraden identisch, so haben sie dieselbe Steigung und denselben y-Achsenabschnitt und unendlich viele Schnittpunkte.
  • Zwei Geraden stehen orthogonal zueinander, wenn das Produkt beider Steigungen -1 beträgt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Schnittpunkt zweier Geraden

  1. Funktionsgleichungen gleich setzen
  2. Gleichung nach x auflösen
  3. x in eine Funktion einsetzen um y herauszufinden
  4. Schnittpunkt S(x|y) angeben

Sofern die Steigungen beider Geraden nicht gleich sind, schneiden sich beide Geraden an einem Punkt.

Sofern zwei Geraden nicht parallel verlaufen, also ihre Steigungen unterschiedlich sind, haben zwei Geraden einen Schnittpunkt.

Der Schnittpunkt zweier Geraden bedeutet, dass beide Geraden an diesem Punkt den gleichen x- und y-Wert haben und sich demnach an diesem Punkt überschneiden.

Finales Schnittpunkt zweier Geraden Quiz

Frage

Erkläre das Vorgehen, wenn du den Schnittpunkt zweier Geraden zeichnerisch ermitteln möchtest.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Zunächst zeichnest du beide Funktionen in ein Koordinatensystem ein. Dafür kannst du zum Beispiel eine Wertetabelle anlegen und dann alle Wertepunkte in das Koordinatensystem eintragen.
  2. Danach liest du den Schnittpunkt S beider Gerade im Koordinatensystem ab und gibst ihn an.
Frage anzeigen

Frage

Erkläre das Vorgehen, wenn du den Schnittpunkt zweier Geraden rechnerisch ermitteln möchtest.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Als erstes werden die Funktionsgleichungen gleichgesetzt.
  2. Dann löst man die Gleichung nach x auf. So erhält man den x-Wert des Schnittpunkts.
  3. Den berechneten x-Wert setzt man in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und erhält so den y-Wert des Schnittpunkts.
  4. Zum überprüfen sollte man den x-Wert aus Schritt 2 auch in die zweite Funktionsgleichung einsetzen. Hier sollte derselbe y-Wert herauskommen. Alternativ kannst du auch den berechneten Schnittpunkt in die zweite Funktionsgleichung einsetzen und prüfen, ob eine gültige Gleichung herauskommt.
Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Geraden schneiden sich immer in einem Punkt. 

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wann zwei Geraden parallel sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wann zwei Geraden identisch sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Geraden sind identisch, wenn ihre Steigung und ihr y-Achsenabschnitt übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie du überprüfst, ob zwei Geraden parallel sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Methode 1: Du vergleichst die Steigung der Funktionen. Ist sie gleich, dann sind die Geraden parallel.


Methode 2: Du versuchst, einen Schnittpunkt zu berechnen, bekommst aber im Laufe deiner Rechnung eine falsche Aussage (beispielsweise 0=2), und folgerst daraus, dass die Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie du überprüfst, ob zwei Geraden identisch sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Methode 1: Du vergleichst die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Funktionen. Sind sie beide gleich, dann sind die Geraden identisch.


Methode 2: Du versuchst, einen Schnittpunkt zu berechnen, bekommst aber im Laufe deiner Rechnung eine wahre Aussage (beispielsweise 2=2), und folgerst daraus, dass die Geraden unendlich viele gemeinsame Punkte haben.

Frage anzeigen

Frage

Gib ein alternatives Wort für rechtwinklig an. 

Antwort anzeigen

Antwort

Zu rechtwinklig kann man auch orthogonal sagen.

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