StudySmarter: Besser Lernen
4.5 • +22k Bewertungen
Mehr als 22 Millionen Downloads
Kostenlos
Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken
Jetzt kostenlos anmeldenNie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.
Jetzt kostenlos anmeldenStell Dir vor, Du sitzt in der Schule und hast folgende Funktion \(f(x)\) gegeben:
\[f(x)=x^2+x\]
Diese Funktion \(f(x)\) sollst Du sowohl in y-Richtung als auch in x-Richtung verschieben. Aber wie funktioniert das?
Du kannst verschiedene Transformationen an einer Funktion \(f(x)\) und dem zugehörigen Graphen durchführen. Zur Transformation gehören:
Mehr zur Streckung und Spiegelung kannst Du in den Erklärungen „Funktion strecken“ und „Funktion spiegeln“ nachlesen.
Das Prinzip, das hinter dem Verschieben von Funktionsgraphen steckt, ist folgendes: Der Verlauf des Graphen der Funktion \(f(x)\) bleibt im Wesentlichen gleich, nur seine Position im Koordinatensystem verändert sich.
Das Verschieben einer Funktion \(f(x)\) ist sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung möglich.
Bei einer Verschiebung in y-Richtung wird der Graph der Funktion nach oben oder unten bewegt.
Bei einer Verschiebung in x-Richtung wird der Graph der Funktion nach links oder rechts bewegt.
Durch das Verschieben einer Funktion \(f(x)\) verändert sich nicht nur das Schaubild der Funktion, sondern auch der Funktionsterm.
Eine Funktion \(f(x)\) wird in x-Richtung verschoben, indem ein Parameter \(c\) von der Variablen \(x\) im Funktionsterm subtrahiert wird.
Wird eine Funktion \(f(x)\) um \(c\)-Einheiten in x-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\), die wie folgt aus der Funktion \(f(x)\) hervorgeht:
\[g(x)=f(x-c)\]
Je nachdem, ob der Parameter \(c\) positiv oder negativ ist, wird der Funktionsgraph in eine andere Richtung verschoben.
Parameter \(c\) | Verschiebung |
\(c>0\) | Verschiebung um \(c\)-Einheiten nach rechts |
\(c<0\) | Verschiebung um \(c\)-Einheiten nach links |
\(c=0\) | keine Verschiebung in x-Richtung |
Schau Dir jetzt die direkte Auswirkung dieser Verschiebung auf einen Graphen an einem Beispiel an.
Wenn \(c>0\) ist, wird der Graph einer Funktion nach rechts verschoben. Schau Dir die Verschiebung nach rechts an der Eingangsaufgabe für \(c=2\) an.
Möchtest Du nun die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(2\)-Einheiten nach rechts verschieben, ergeben sich folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Zusätzlich ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)\\&=f(x-2)\\&=(x-2)^2+x-2\\&=x^2-3x+2\end{align}
Wenn \(c<0\) ist, wird der Graph einer Funktion nach links verschoben. Du kannst Dir die Verschiebung nach links an der Eingangsaufgabe für \(c=-3\) anschauen.
Wenn Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(3\)-Einheiten nach links verschieben willst, bekommst Du folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Wendest Du die Verschiebung auf die Funktionsgleichung der Funktion \(f(x)\) an, erhältst Du folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)\\&=f(x-(-3))\\&=(x+3)^2+x+3\\&=x^2+7x+12\end{align}
Neben der Verschiebung in die x-Richtung gibt es noch die Verschiebung eines Graphen in die y-Richtung.
Eine Funktion \(f(x)\) wird in y-Richtung verschoben, indem ein Parameter \(d\) zum Funktionsterm der Funktion \(f(x)\) addiert wird.
Wird eine Funktion \(f(x)\) um \(d\)-Einheiten in y-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\), die wie folgt aus der Funktion \(f(x)\) hervorgeht:
\[g(x)=f(x)+d\]
Jetzt kannst Du Dir die direkte Auswirkung einer Verschiebung auf einen Graphen anschauen. Dabei wird unterschieden, ob ein Graph nach oben oder unten verschoben wird.
Wenn \(d>0\) ist, wird der Graph einer Funktion nach oben verschoben. Dies kannst Du Dir an Deiner Eingangsaufgabe verdeutlichen. Nutze dafür \(d=1\).
Möchtest Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(1\)-Einheit nach oben verschieben, erhältst Du folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Daraus resultierend, bekommst Du folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x)+d\\&=f(x)+1\\&=x^2+x+1\\\end{align}
Wenn \(d<0\) ist, wird der Graph einer Funktion \(f(x)\) nach unten verschoben. Schau Dir dazu Deine Eingangsaufgabe für \(d=-4\) an.
Verschiebst Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(4\)-Einheit nach unten, ergeben sich folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Wendest Du die Regeln nun auf die Funktionsgleichung der Funktion \(f(x)\) an, erhältst Du folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x)+d\\&=f(x)+(-4)\\&=x^2+x-4\\\end{align}
Du kannst die Verschiebungen eines Graphen in x- oder y-Richtung nicht nur einzeln durchführen, sondern auch kombinieren. Ein Graph kann auch gleichzeitig in x- und y-Richtung verschoben werden.
Wird nun eine Funktion \(f(x)\) in x- und y-Richtung verschoben, wird der Parameter \(c\) von der Variablen \(x\) im Funktionsterm subtrahiert und der Parameter \(d\) zum Funktionsterm der Funktion \(f(x)\) addiert.
Wird eine Funktion \(f(x)\) um \(c\)-Einheiten in x-Richtung und \(d\)-Einheiten in y-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\), die wie folgt aus der Funktion \(f(x)\) hervorgeht:
\[g(x)=f(x-c)+d\]
Wenn sowohl der Parameter \(c\) als auch der Parameter \(d\) eine Rolle spielen, dann wird der Graph einer Funktion \(f(x)\) in x- und y-Richtung verschoben. Um Dir das besser vorstellen zu können, betrachte \(c=2\) und \(d=-1\) für Dein Eingangsbeispiel.
Möchtest Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(2\)-Einheiten nach rechts und \(1\)-Einheit nach unten verschieben, erhältst Du folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Es ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)+d\\&=f(x-2)+(-1)\\&=(x-2)^2+x-2-1\\&=x^2-3x+1\end{align}
Hast Du Lust, direkt selbst noch ein paar Übungsaufgaben durchzuführen? Dann los!
Du kannst das Verschieben des Graphen an unterschiedlichen Funktionstypen ausprobieren. Die Formel bleibt dabei gleich.
Frag gerne Deinen Lehrer oder Deine Lehrerin, ob Du eine Formelsammlung benutzten darfst.
Aufgabe 1
Die Funktion \(g(x)\) geht aus der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=3x+1\) durch Verschiebung in x-Richtung um \(-3\)-Einheiten und in y-Richtung um \(2\)-Einheiten hervor. Bestimme die dazugehörige Funktionsgleichung \(g(x)\) und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).
Lösung
Die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=3x+1\) wird um \(3\)-Einheiten nach links und \(2\)-Einheiten nach oben verschoben. Damit sind folgende Parameter gegeben.
\begin{align}c&=-3\\d&=2\end{align}
Damit ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)+d\\&=f(x-(-3))+2\\&=3 \cdot (x+3)+1+2\\&=3x+12\end{align}
Werden die Graphen der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) gezeichnet, ergibt sich folgendes Schaubild.
e-Funktionen müssen nicht in ihrer reinen Form \(f(x)=e^x\) sein, sondern können auch in der erweiterten Form vorliegen. So kannst Du diese Funktionen ebenfalls verschieben.
Aufgabe 2
Die Funktion \(g(x)\) geht aus der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=e^x\) durch Verschiebung in x-Richtung um \(2\)-Einheiten und in y-Richtung um \(-3\)-Einheiten hervor. Bestimme die dazugehörige Funktionsgleichung \(g(x)\) und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).
Lösung
Die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=e^x\) wird um \(2\)-Einheiten nach rechts und \(3\)-Einheiten nach unten verschoben. Damit ergeben sich folgende Parameter.
\begin{align}c&=2\\d&=-3\end{align}
Damit bekommst Du folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)+d\\&=f(x-2)+(-3)\\&=e^{x-2}-3\end{align}
Jetzt kannst Du die Graphen der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) zeichnen.
Auch die Sinus- und die Kosinusfunktion liegen nicht immer in ihrer reinen Form \(f(x)=\sin(x)\) bzw. \(f(x)=\cos(x)\) vor. Schau Dir deshalb auch hierbei die Verschiebung an.
Aufgabe 3
Die Funktion \(g(x)= \sin(x+3)+1\) geht aus der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)= \sin(x)\) hervor. Erläutere die einzelnen Schritte, die zu dieser Transformation führen und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).
Lösung
Schau Dir zuerst die Entstehung der neuen Funktionsgleichung \(g(x)\) an.
\begin{align}g(x)&=\sin(x+3)+1 \\&=\sin(x-(-3))+1 \\&=f(x-(-3)+1\\&=f(x-c)+d\end{align}
Damit ergeben sich folgende Parameter \(c\) und \(d\).
\begin{align}c&=-3\\d&=1\end{align}
Folgende Schritte wurden vorgenommen, um die Funktion \(g(x)\) aus der Funktion \(f(x)\) zu erhalten.
Zeichne zum Schluss noch die Graphen der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).
Parameter | Auswirkung | Funktionsgleichung \(g(x)\) |
\(c\) | Verschiebung in x-Richtung um c-Einheiten | \(g(x)=f(x-c)\) |
\(d\) | Verschiebung in y-Richtung um d-Einheiten | \(g(x)=f(x)+d\) |
\(c\), \(d\) | Verschiebung in x- und y-Richtung | \(g(x)=f(x-c)+d\) |
Graphen können sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben werden. Dazu werden zwei Parameter benötigt. Der Parameter c bezeichnet im Folgenden die Verschiebung in x-Richtung, der Parameter d die Verschiebung in y-Richtung.
Wird eine Funktion f(x) um d-Einheiten in y-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion g(x), die wie folgt aus der Funktion f(x) hervorgeht:
Damit diese Funktion f(x) nach unten verschoben wird, muss d<0 gelten.
Wird eine Funktion f(x) um d-Einheiten in y-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion g(x), die wie folgt aus der Funktion f(x) hervorgeht:
Damit diese Funktion f(x) nach oben verschoben wird, muss d>0 gelten.
Wird eine lineare Funktion f(x) = mx + b um c-Einheiten in x-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion g(x), die wie folgt aus der Funktion f(x) hervorgeht:
Damit diese Funktion f(x) nach rechts verschoben wird, muss c>0 gelten.
Gib die Richtungen an, in die sich Graphen verschieben lassen.
Ein Graph kann in x- und y-Richtung verschoben werden.
Gib die Richtungen an, in die ein Graph bewegt werden kann, wenn er in y-Richtung verschoben wird?
Oben und unten
Gib die Richtungen an, in die ein Graph bewegt werden kann, wenn er in x-Richtung verschoben wird?
Links und rechts
Nenne die neue Funktionsgleichung \(g(x)\), die sich aus der Funktionsgleichung \(f(x)\) ergibt, wenn diese Funktion um c-Einheiten in x-Richtung verschoben wird.
Es ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\):
\[g(x)=f(x-c)\]
Nenne die neue Funktionsgleichung \(g(x)\), die sich aus der Funktionsgleichung \(f(x)\) ergibt, wenn diese Funktion um d-Einheiten in y-Richtung verschoben wird.
Es ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\):
\[g(x)=f(x)+d\]
Eine Funktion \(f(x)\) wird in y-Richtung um d-Einheiten verschoben und damit ergibt sich eine neue Funktionsgleichung \(g(x)=f(x)+d\). Identifiziere die dazugehörige richtige Aussagen.
Wenn \(d>0\), dann gilt: Graph wird nach oben verschoben.
Du hast bereits ein Konto? Anmelden
Open in AppDie erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.
Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.
Speichere Erklärungen in deinem persönlichen Bereich und greife jederzeit und überall auf sie zu!
Mit E-Mail registrieren Mit Apple registrierenDurch deine Registrierung stimmst du den AGBs und der Datenschutzerklärung von StudySmarter zu.
Du hast schon einen Account? Anmelden