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Graphen verschieben

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Mathe

Du möchtest wissen, wie das Verschieben von Graphen funktioniert? Dann bist du hier genau richtig!

In diesem Artikel erfährst du alles, was du zum Thema "Graphen verschieben" wissen musst. Das Verschieben von Graphen ist inhaltlich der Transformation von Funktionen im Fach Mathematik zuzuordnen.

Graphen verschieben - Erklärung

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Funktion zu transformieren. 

Transformieren bedeutet, die ursprüngliche Funktion f(x) zu verändern.

Eine Möglichkeit eine Funktion zu transformieren ist es, sie zu verschieben. Weitere Transformationsmöglichkeiten sind das Strecken bzw. Stauchen und das Spiegeln der Funktion.


Das Prinzip, das hinter dem Verschieben von Funktionen steckt, ist relativ einfach zu verstehen: Der Verlauf des Graphen der Funktion bleibt im Großen und Ganzen gleich, nur seine Position im Koordinatensystem verändert sich. 


Das Verschieben einer Funktion ist sowohl in Richtung der x-Achse als auch in Richtung der y-Achse möglich. 

Bei einer Verschiebung in y-Richtung wird der Graph der Funktion nach oben oder unten bewegt.

Bei einer Verschiebung in x-Richtung wird der Graph der Funktion nach links oder rechts bewegt. 


Durch das Verschieben einer Funktion verändert sich nicht nur der Funktionsgraph der Funktion, sondern auch ihr Funktionsterm. Wie sich der Funktionsterm durch die Verschiebung ändert, hängt davon ab, ob die Funktion in x-Richtung oder in y-Richtung verschoben wird. 

Graphen in y-Richtung verschieben

Zuerst lernst du, wie du den Graphen einer Funktion um den Wert c in y-Richtung verschieben kannst. 


Eine Funktion f(x) wird in y-Richtung verschoben, indem die Konstante c zur Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion f(x) addiert wird. Für die Funktionsgleichung der in y-Richtung verschobenen Funktion g(x) gilt also:


Ob der Graph der Funktion nach oben oder unten verschoben wird, hängt davon ab, ob die Konstante c positiv oder negativ ist:

Ist die Konstante c positiv, dann handelt es sich um eine Verschiebung nach oben.

Ist die Konstante c negativ, dann handelt es sich um eine Verschiebung nach unten. 

Wenn c=0 beträgt, kommt es zu keiner Verschiebung der Funktion. 

Graphen nach oben verschieben

Der Graph der Funktion f(x) mit dem Funktionsterm soll um zwei Einheiten nach oben verschoben werden. Daher gilt für die Konstante c: .

Der Funktionsterm für die um zwei Einheiten nach oben verschobene Funktion g(x) lautet deshalb:


Die Graphen für die Ausgangsfunktion f(x) und die verschobene Funktion g(x) sehen so aus:



Wie du sehen kannst, haben die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) im Prinzip den gleichen Verlauf. Der einzige Unterschied liegt darin, dass der Graph der Funktion g(x) an jeder Stelle von x genau zwei Einheiten über dem Graphen der Funktion f(x) liegt. Das liegt daran, dass die Konstante c den Wert 2 hat. 

Graphen nach unten verschieben

Nun soll der Graph der Funktion  um drei Einheiten nach unten verschoben werden.

Da es sich hier um eine Verschiebung der Funktion nach unten handelt, ist der Wert der Konstante c negativ. Die Konstante c hat demnach den Wert -3. 


Die Funktionsgleichung für die um drei Einheiten nach unten verschobene Funktion g(x) lautet:


Die Graphen für die Ausgangsfunktion f(x) und die verschobene Funktion g(x) sehen so aus:


Auch hier haben die Graphen von f(x) und g(x) prinzipiell den gleichen Verlauf. In diesem Fall liegt der Graph der Funktion g(x) wegen der Verschiebung um c=-3 an jeder Stelle x genau drei Einheiten unter dem Graphen der Ausgangsfunktion f(x). 

Graphen in x-Richtung verschieben

Nachdem du nun gelernt hast, wie Funktionen in y-Richtung verschoben werden, erfährst du in diesem Abschnitt wie das Verschieben in x-Richtung funktioniert. 


Eine Funktion f(x) wird in x-Richtung verschoben, indem die Konstante c zur Variablen x im Funktionsterm addiert wird. Für den Funktionsterm der in x-Richtung verschobenen Funktion g(x) gilt:


Ob der Graph der Funktion nach links oder rechts verschoben wird, hängt davon ab, ob die Konstante c positiv oder negativ ist:

Ist die Konstante c positiv, dann handelt es sich um eine Verschiebung nach links. 

Ist die Konstante c negativ, dann handelt es sich um eine Verschiebung nach rechts. 

Wenn c=0 beträgt, kommt es zu keiner Verschiebung der Funktion

Graphen nach links verschieben

Als nächstes soll die Funktion um zwei Einheiten nach links verschoben werden. Daher gilt für die Konstante c: .


Der Funktionsterm für die um zwei Einheiten nach links verschobene Funktion g(x) lautet:


Die Graphen für die Ausgangsfunktion f(x) und die verschobene Funktion g(x) sehen so aus:



Auch bei einer Verschiebung in x-Richtung haben die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) im Prinzip den gleichen Verlauf. Wie du in der Grafik erkennen kannst, liegt der einzige Unterschied bei einer Verschiebung um c=2 darin, dass der Graph der verschobenen Funktion g(x) an jeder Stelle von y genau zwei Einheiten links vom Graphen der ursprünglichen Funktion f(x) liegt. 

Graphen nach rechts verschieben

Abschließend soll die Funktion  um vier Einheiten nach rechts verschoben werden. Da es sich hier um eine Verschiebung nach rechts handelt, ist der Wert der Konstanten c negativ. Die Konstante c hat deshalb den Wert -4.


Der Funktionsterm für die um vier Einheiten nach rechts verschobene Funktion g(x) lautet: 


Die Graphen für die Ausgangsfunktion f(x) und die verschobene Funktion g(x) sehen so aus:


Auch hier haben die Graphen von f(x) und g(x) prinzipiell den gleichen Verlauf. In diesem Fall liegt der Graph der Funktion g(x) wegen der Verschiebung um c=-4 an jeder Stelle y genau vier Einheiten rechts vom Funktionsgraphen f(x).

Graphen verschieben - alles Wichtige auf einen Blick!

In diesem Artikel hast du eine Menge zum Thema "Funktion verschieben" gelernt. Hier findest du eine Zusammenfassung der Punkte, die du dir unbedingt merken solltest:

  • Eine Möglichkeit eine Funktion zu transformieren ist es, sie zu verschieben.
  • Der Graph einer Funktion kann in y-Richtung und in x-Richtung verschoben werden. Auch eine gleichzeitige Verschiebung in y-Richtung und in x-Richtung ist möglich. 
  • Bei Verschiebung der Funktion um den Wert c in y-Richtung wird der Graph der Funktion nach oben bzw. unten verschoben. Die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion g(x) lautet dann:
  • Bei Verschiebung der Funktion um den Wert c in x--Richtung wird der Graph der Funktion nach links bzw. rechts verschoben.  Die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion g(x) lautet dann  

julia.ross@studysmarter.de

FAQ

1. Wie verschiebt man einen Graphen nach oben?

Man verschiebt den Graphen einer Funktion nach oben, indem man zum Funktionsterm der Ausgangsfunktion f(x) eine positive Konstante c addiert. Die Konstante gibt an, um wie viele Einheiten die Funktion nach oben verschoben werden soll. Wenn du die Funktion um zwei Einheiten nach oben verschieben möchtest, beträgt c=2. 

Für den Funktionsterm der verschobenen Funktion g(x) gilt:


2. Wie verschiebt man einen Graphen nach unten?

Man verschiebt den Graphen einer Funktion nach unten, indem man zum Funktionsterm der Ausgangsfunktion f(x) eine negative Konstante c addiert. Die Konstante gibt an, um wie viele Einheiten die Funktion nach unten verschoben werden soll. Wenn du die Funktion um zwei Einheiten nach unten verschieben möchtest, beträgt c=-2. 

Für den Funktionsterm der verschobenen Funktion g(x) gilt:


3. Wie verschiebt man Parabeln?

Parabeln können in y-Richtung und in x-Richtung verschoben werden. Für die Verschiebung der Parabel um c Einheiten nach oben bzw. unten gilt:

Für die Verschiebung der Parabel um c Einheiten nach links bzw. rechts gilt:


4. Was bedeutet in y-Richtung verschoben?

Eine Funktion in y-Richtung zu verschieben, bedeutet sie nach oben bzw. unten zu bewegen. Der Verlauf des Funktionsgraphen bleibt prinzipiell gleich, nur die Position des Graphen im Koordinatensystem wird nach oben bzw. unten verändert. 

Um eine Funktion in y-Richtung zu verschieben, addiert man die Konstante c zum Funktionsterm der Ursprungsfunktion f(x):

Die Konstante c gibt an, um wie viele Einheiten die Funktion nach oben bzw. unten verschoben wird. 

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