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\[f(x)=x^2+x\]
Diese Funktion \(f(x)\) sollst Du sowohl in y-Richtung als auch in x-Richtung verschieben. Aber wie funktioniert das?
Graphen verschieben Erklärung
Du kannst verschiedene Transformationen an einer Funktion \(f(x)\) und dem zugehörigen Graphen durchführen. Zur Transformation gehören:
- Funktion strecken
- Funktion spiegeln
- Graphen verschieben
Mehr zur Streckung und Spiegelung kannst Du in den Erklärungen „Funktion strecken“ und „Funktion spiegeln“ nachlesen.
Das Prinzip, das hinter dem Verschieben von Funktionsgraphen steckt, ist folgendes: Der Verlauf des Graphen der Funktion \(f(x)\) bleibt im Wesentlichen gleich, nur seine Position im Koordinatensystem verändert sich.
Das Verschieben einer Funktion \(f(x)\) ist sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung möglich.
Bei einer Verschiebung in y-Richtung wird der Graph der Funktion nach oben oder unten bewegt.
Bei einer Verschiebung in x-Richtung wird der Graph der Funktion nach links oder rechts bewegt.
Durch das Verschieben einer Funktion \(f(x)\) verändert sich nicht nur das Schaubild der Funktion, sondern auch der Funktionsterm.
Graphen verschieben in x-Richtung
Eine Funktion \(f(x)\) wird in x-Richtung verschoben, indem ein Parameter \(c\) von der Variablen \(x\) im Funktionsterm subtrahiert wird.
Wird eine Funktion \(f(x)\) um \(c\)-Einheiten in x-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\), die wie folgt aus der Funktion \(f(x)\) hervorgeht:
\[g(x)=f(x-c)\]
Je nachdem, ob der Parameter \(c\) positiv oder negativ ist, wird der Funktionsgraph in eine andere Richtung verschoben.
| Parameter \(c\) | Verschiebung |
| \(c>0\) | Verschiebung um \(c\)-Einheiten nach rechts |
| \(c<0\) | Verschiebung um \(c\)-Einheiten nach links |
| \(c=0\) | keine Verschiebung in x-Richtung |
Schau Dir jetzt die direkte Auswirkung dieser Verschiebung auf einen Graphen an einem Beispiel an.
Graphen nach rechts verschieben – Beispiel
Wenn \(c>0\) ist, wird der Graph einer Funktion nach rechts verschoben. Schau Dir die Verschiebung nach rechts an der Eingangsaufgabe für \(c=2\) an.
Möchtest Du nun die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(2\)-Einheiten nach rechts verschieben, ergeben sich folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Abbildung 1: Schaubild eines nach rechts verschobenen Graphen
Zusätzlich ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)\\&=f(x-2)\\&=(x-2)^2+x-2\\&=x^2-3x+2\end{align}
Graphen nach links verschieben – Beispiel
Wenn \(c<0\) ist, wird der Graph einer Funktion nach links verschoben. Du kannst Dir die Verschiebung nach links an der Eingangsaufgabe für \(c=-3\) anschauen.
Wenn Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(3\)-Einheiten nach links verschieben willst, bekommst Du folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Abbildung 2: Schaubild eines nach links verschobenen Graphen
Wendest Du die Verschiebung auf die Funktionsgleichung der Funktion \(f(x)\) an, erhältst Du folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)\\&=f(x-(-3))\\&=(x+3)^2+x+3\\&=x^2+7x+12\end{align}
Neben der Verschiebung in die x-Richtung gibt es noch die Verschiebung eines Graphen in die y-Richtung.
Verschiebung in y-Richtung
Eine Funktion \(f(x)\) wird in y-Richtung verschoben, indem ein Parameter \(d\) zum Funktionsterm der Funktion \(f(x)\) addiert wird.
Wird eine Funktion \(f(x)\) um \(d\)-Einheiten in y-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\), die wie folgt aus der Funktion \(f(x)\) hervorgeht:
\[g(x)=f(x)+d\]
Jetzt kannst Du Dir die direkte Auswirkung einer Verschiebung auf einen Graphen anschauen. Dabei wird unterschieden, ob ein Graph nach oben oder unten verschoben wird.
Graphen nach oben verschieben – Beispiel
Wenn \(d>0\) ist, wird der Graph einer Funktion nach oben verschoben. Dies kannst Du Dir an Deiner Eingangsaufgabe verdeutlichen. Nutze dafür \(d=1\).
Möchtest Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(1\)-Einheit nach oben verschieben, erhältst Du folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Abbildung 3: Schaubild eines nach oben verschobenen Graphen
Daraus resultierend, bekommst Du folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x)+d\\&=f(x)+1\\&=x^2+x+1\\\end{align}
Graphen nach unten verschieben – Beispiel
Wenn \(d<0\) ist, wird der Graph einer Funktion \(f(x)\) nach unten verschoben. Schau Dir dazu Deine Eingangsaufgabe für \(d=-4\) an.
Verschiebst Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(4\)-Einheit nach unten, ergeben sich folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Abbildung 4: Schaubild eines nach unten verschobenen Graphen
Wendest Du die Regeln nun auf die Funktionsgleichung der Funktion \(f(x)\) an, erhältst Du folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x)+d\\&=f(x)+(-4)\\&=x^2+x-4\\\end{align}
Du kannst die Verschiebungen eines Graphen in x- oder y-Richtung nicht nur einzeln durchführen, sondern auch kombinieren. Ein Graph kann auch gleichzeitig in x- und y-Richtung verschoben werden.
Graphen in x- und y-Richtung verschieben
Wird nun eine Funktion \(f(x)\) in x- und y-Richtung verschoben, wird der Parameter \(c\) von der Variablen \(x\) im Funktionsterm subtrahiert und der Parameter \(d\) zum Funktionsterm der Funktion \(f(x)\) addiert.
Wird eine Funktion \(f(x)\) um \(c\)-Einheiten in x-Richtung und \(d\)-Einheiten in y-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\), die wie folgt aus der Funktion \(f(x)\) hervorgeht:
\[g(x)=f(x-c)+d\]
Wenn sowohl der Parameter \(c\) als auch der Parameter \(d\) eine Rolle spielen, dann wird der Graph einer Funktion \(f(x)\) in x- und y-Richtung verschoben. Um Dir das besser vorstellen zu können, betrachte \(c=2\) und \(d=-1\) für Dein Eingangsbeispiel.
Möchtest Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(2\)-Einheiten nach rechts und \(1\)-Einheit nach unten verschieben, erhältst Du folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Abbildung 5: Schaubild eines nach rechts und unten verschobenen Graphen
Es ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)+d\\&=f(x-2)+(-1)\\&=(x-2)^2+x-2-1\\&=x^2-3x+1\end{align}
Hast Du Lust, direkt selbst noch ein paar Übungsaufgaben durchzuführen? Dann los!
Graphen verschieben Aufgaben
Du kannst das Verschieben des Graphen an unterschiedlichen Funktionstypen ausprobieren. Die Formel bleibt dabei gleich.
Frag gerne Deinen Lehrer oder Deine Lehrerin, ob Du eine Formelsammlung benutzten darfst.
Lineare Funktion verschieben – Aufgabe
Aufgabe 1
Die Funktion \(g(x)\) geht aus der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=3x+1\) durch Verschiebung in x-Richtung um \(-3\)-Einheiten und in y-Richtung um \(2\)-Einheiten hervor. Bestimme die dazugehörige Funktionsgleichung \(g(x)\) und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).
Lösung
Die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=3x+1\) wird um \(3\)-Einheiten nach links und \(2\)-Einheiten nach oben verschoben. Damit sind folgende Parameter gegeben.
\begin{align}c&=-3\\d&=2\end{align}
Damit ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)+d\\&=f(x-(-3))+2\\&=3 \cdot (x+3)+1+2\\&=3x+12\end{align}
Werden die Graphen der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) gezeichnet, ergibt sich folgendes Schaubild.
Abbildung 6: Schaubild zur Aufgabe 1
Exponentialfunktion verschieben – Aufgabe
e-Funktionen müssen nicht in ihrer reinen Form \(f(x)=e^x\) sein, sondern können auch in der erweiterten Form vorliegen. So kannst Du diese Funktionen ebenfalls verschieben.
Aufgabe 2
Die Funktion \(g(x)\) geht aus der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=e^x\) durch Verschiebung in x-Richtung um \(2\)-Einheiten und in y-Richtung um \(-3\)-Einheiten hervor. Bestimme die dazugehörige Funktionsgleichung \(g(x)\) und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).
Lösung
Die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=e^x\) wird um \(2\)-Einheiten nach rechts und \(3\)-Einheiten nach unten verschoben. Damit ergeben sich folgende Parameter.
\begin{align}c&=2\\d&=-3\end{align}
Damit bekommst Du folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)+d\\&=f(x-2)+(-3)\\&=e^{x-2}-3\end{align}
Jetzt kannst Du die Graphen der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) zeichnen.
Abbildung 7: Schaubild zur Aufgabe 2
Trigonometrische Funktion verschieben – Aufgabe
Auch die Sinus- und die Kosinusfunktion liegen nicht immer in ihrer reinen Form \(f(x)=\sin(x)\) bzw. \(f(x)=\cos(x)\) vor. Schau Dir deshalb auch hierbei die Verschiebung an.
Aufgabe 3
Die Funktion \(g(x)= \sin(x+3)+1\) geht aus der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)= \sin(x)\) hervor. Erläutere die einzelnen Schritte, die zu dieser Transformation führen und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).
Lösung
Schau Dir zuerst die Entstehung der neuen Funktionsgleichung \(g(x)\) an.
\begin{align}g(x)&=\sin(x+3)+1 \\&=\sin(x-(-3))+1 \\&=f(x-(-3)+1\\&=f(x-c)+d\end{align}
Damit ergeben sich folgende Parameter \(c\) und \(d\).
\begin{align}c&=-3\\d&=1\end{align}
Folgende Schritte wurden vorgenommen, um die Funktion \(g(x)\) aus der Funktion \(f(x)\) zu erhalten.
- Verschiebung des Graphen der Funktion \(f(x)\) um \(3\)-Einheiten nach links.
- Verschiebung des Graphen der Funktion \(f(x)\) um \(1\)-Einheit nach oben.
Zeichne zum Schluss noch die Graphen der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).
Abbildung 8: Schaubild zur Aufgabe 3
Graphen verschieben – Das Wichtigste
- Transformationen einer Funktion \(f(x)\):
Parameter Auswirkung Funktionsgleichung \(g(x)\) \(c\) Verschiebung in x-Richtung um c-Einheiten \(g(x)=f(x-c)\) \(d\) Verschiebung in y-Richtung um d-Einheiten \(g(x)=f(x)+d\) \(c\), \(d\) Verschiebung in x- und y-Richtung \(g(x)=f(x-c)+d\)
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Graphen verschieben
Wie werden Graphen verschoben?
Graphen können sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben werden. Dazu werden zwei Parameter benötigt. Der Parameter c bezeichnet im Folgenden die Verschiebung in x-Richtung, der Parameter d die Verschiebung in y-Richtung.
- Verschiebung um c-Einheiten in x-Richtung:
- g(x) = f(x-c)
- Verschiebung um d-Einheiten in y-Richtung:
- g(x) = f(x) + d
- Verschiebung um c-Einheiten in x-Richtung und d-Einheiten in y-Richtung:
- g(x) = f(x-c) + d
Wie wird ein Graph nach unten verschoben?
Wird eine Funktion f(x) um d-Einheiten in y-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion g(x), die wie folgt aus der Funktion f(x) hervorgeht:
- g(x) = f(x) + d
Damit diese Funktion f(x) nach unten verschoben wird, muss d<0 gelten.
Wie wird ein Graph nach oben verschoben?
Wird eine Funktion f(x) um d-Einheiten in y-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion g(x), die wie folgt aus der Funktion f(x) hervorgeht:
- g(x) = f(x) + d
Damit diese Funktion f(x) nach oben verschoben wird, muss d>0 gelten.
Wie wird eine lineare Funktion nach rechts verschoben?
Wird eine lineare Funktion f(x) = mx + b um c-Einheiten in x-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion g(x), die wie folgt aus der Funktion f(x) hervorgeht:
- g(x) = f(x-c) = m(x-c) + b
Damit diese Funktion f(x) nach rechts verschoben wird, muss c>0 gelten.
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