Eigenschaften des Integrals

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Die Integration ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis und ist mit der Differentialrechnung eng verknüpft. Mithilfe der Integralrechnung kannst Du den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse berechnen.

Grundlagenwissen Integral

Man unterscheidet zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen.

Unter unbestimmten Integralen versteht man die Gesamtheit der Stammfunktionen.

$\int f (x) d x$

Dabei wird die Stammfunktion von $f (x)$ berechnet und die Konstante c addiert.

Ein unbestimmtes Integral hat keine Ober- und Untergrenzen. Deshalb hat das unbestimmte Integral keinen Wert und als Lösung kommt eine Funktion heraus.

Bei bestimmten Integralen berechnet man die Fläche einer Funktion $f (x)$ bis zur x-Achse in einem bestimmten Intervall $[a, b]$ . Dabei stellt b die Obergrenze und a die Untergrenze dar.

$\int_{a}^{b} f (x) d x$

Dies verdeutlicht den Unterschied zwischen einem unbestimmten und bestimmten Integral:

Bei einem bestimmten Integral gibt es Integrationsgrenzen, die es ermöglichen, einen klaren Wert als Lösung zu erhalten. Damit kannst Du den Flächeninhalt einer Funktion in den Intervallgrenzen ermitteln.

Das bestimmte Integral berechnest Du, indem Du zunächst die Stammfunktion bildest und anschließend die obere und danach die untere Integrationsgrenze in die Funktion einsetzt. Der nächste Schritt besteht darin, die Stammfunktion mit der oberen Integrationsgrenze $F (b)$ und mit der unteren $F (a)$ zu subtrahieren.

Festgehalten wird diese Rechnung im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI):

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lautet:

Ist $f : [a, b] \to ℝ$ eine stetige Funktion mit Stammfunktion $F : [a, b] \to ℝ$ , dann gilt:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F {(x)}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ .

Weitere wichtige Infos zum HDI findest Du im Artikel "Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung".

Eigenschaften des bestimmten Integrals – Definition

Ein Integral besitzt verschiedene wichtige Eigenschaften, die Dir bei der Bearbeitung von Aufgaben nützlich sein können. Nun wirst Du die Eigenschaften eines bestimmten Integrals kennenlernen, die ein Integral mit Intervallgrenzen betreffen.

Wenn die Integralfunktion

$f (x) = \int_{a}^{b} g (x) d x$

gegeben ist, dann gelten die folgenden Eigenschaften:

Die untere Grenze a eines Integrals ist eine Nullstelle der Funktion $f (x)$ . Es gilt also: $f (a) = 0$ .
Die innere Funktion stellt die Ableitung von der Funktion $f (x)$ dar. Es gilt also: $f' (x) = g (x)$ .

Mithilfe der unteren Grenze des Integrals kannst Du die Nullstelle der Funktion ablesen. Die innere Funktion besteht immer aus der Ableitung. Das ist auch ein Weg, wie Du die Ableitung für andere Aufgaben schnell herausfinden kannst.

Erste Eigenschaft des Integrals: Additivität

Die Additivität ist eine Eigenschaft des Integrals. Sie sagt aus, dass Du unter gewissen Bedingungen zwei bestimmte Integrale zusammenführen oder eines auseinanderziehen kannst.

Wenn zwei bestimmte Integrale mit derselben Funktion, aber unterschiedlichen Intervallgrenzen additiv miteinander verknüpft sind, dann kann man diese in einem bestimmten Intervall zusammenfassen.

$\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x$

Diese wichtigen Eigenschaften sind in den folgenden beiden Abbildungen verdeutlicht:

Eigenschaften des Integrals bestimmtes Integral StudySmarter Abbildung 1: bestimmtes Integral (zusammengefasste Fläche)

Eigenschaften des Integrals bestimmtes Integral StudySmarter Abbildung 2: bestimmtes Integral (zwei Flächenintervalle)

Hier siehst Du eine Integration von zwei bestimmten Integralen, die additiv verknüpft sind:

$\int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{2}^{3} x^{2} d x$

Zunächst integrierst Du, ohne die Additivitätseigenschaft zu nutzen. Als Erstes bildest Du die Stammfunktion $F (x)$ :

$F (x) = \frac{1}{3} x^{3}$

Nun schreibst Du wie gewohnt die Stammfunktion in eckige Klammern und setzt die Integrationsgrenzen dahinter:

$\int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{2}^{3} x^{2} d x = {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{2} + {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{2}^{3} = [(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3})] + [(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3})] = 9$

Die folgende Abbildung stellt das Integral mit der Obergrenze 2 und der Untergrenze 0 dar.

Eigenschaften des Integrals bestimmtes Integral StudySmarter Abbildung 3: bestimmtes Integral

Die folgende Abbildung stellt das Integral mit der Obergrenze 3 und der Untergrenze 2 dar.

Eigenschaften des Integrals bestimmtes Integral StudySmarter Abbildung 4: bestimmtes Integral

Wenn die beiden Integrale zusammengefasst werden, kommt der Wert 9 heraus.

Wenn Du die Additivitätseigenschaft berücksichtigst, kannst Du eine schnellere Methode verwenden:

$\int_{0}^{3} x^{2} d x$

Stammfunktion $F (x)$ bilden:

$F (x) = \frac{1}{3} x^{3}$

Integrationsgrenzen einsetzen und Stammfunktion in eckige Klammer schreiben:

$\int_{0}^{3} x^{2} d x = {[\frac{1}{3} x^{2}]}_{0}^{3} = (\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - (\frac{1}{3} 0^{3}) = 9$

Eigenschaften des Integrals bestimmtes Integral StudySmarter Abbildung 5: bestimmtes Integral

Durch die Additivitätseigenschaft erhältst Du das gleiche Ergebnis wie oben, nur zusammengefasst.

Zweite Eigenschaft des Integrals: Linearität

Unter Linearität versteht man, dass eine bestimmte Funktion auf die Änderung eines Parameters mit einer direkt proportionalen Änderung eines anderen Parameters reagiert.

Direkt proportional bedeutet, dass sich der y-Wert um den gleichen Wert vervielfacht, wenn der x-Wert vervielfacht wird. Wird der x-Wert z. B. verdoppelt, so verdoppelt sich auch der y-Wert. Dadurch bleibt der Quotient $\frac{x}{y}$ immer gleich.

Bei der Faktorregel trifft dies zu, da man die Funktion einfach ändern kann, indem man einen Faktor nach vorne zieht, und trotzdem das gleiche Ergebnis erhält.

Faktorregel – die erste Linearitätseigenschaft

Nun wirst Du die Faktorregel kennenlernen, die Dir ermöglicht, Deine Integration zu vereinfachen.

Die Faktorregel besagt, dass alle konstanten Faktoren bei der Integration erhalten bleiben. Daher kann man diese konstanten Faktoren auch vor das Integral ziehen:

$\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x$

Die Faktorregel ist sowohl bei unbestimmten als auch bei bestimmten Integralen anwendbar und sagt aus, dass Du Konstanten vor das Integral ziehen und so die Stammfunktion schneller bilden kannst.

Aufgabe 1

Integriere folgende Funktion

$f (x) = 2 x$ .

Lösung 1

Da Du hier keine Intervallgrenzen gegeben hast, handelt es sich um ein unbestimmtes Integral.

$\int 2 \cdot x d x$

Die 2 stellt in diesem Fall den konstanten Faktor dar und kann vor das Integral gezogen werden.

$\begin{array}{rcl} = & 2 \cdot \int x d x = 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} + C \end{array}$

Additivität – die zweite Linearitätseigenschaft

Durch die Additivität kannst Du Integrale auseinanderziehen und wesentlich einfacher integrieren.

Unter der Additivität versteht man, dass eine Summe innerhalb des Integrals integriert wird, indem die Summanden einzeln integriert und anschließend summiert werden.

$\int (f (x) \pm g (x)) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$

Die zweite Linearitätseigenschaft, nämlich die Additivität, ist sowohl bei der Addition als auch bei der Subtraktion anwendbar, auch wenn sie in den Schulbüchern manchmal nur für die Addition angegeben ist. Das kannst Du in diesem Beispiel sehen:

$\int_{1}^{4} (x - 1) d x = {[\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2}]}_{1}^{4} = \frac{1}{2} \cdot {(4 - 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(1 - 1)}^{2} = 4, 5$

$\int_{1}^{4} x d x - \int_{1}^{4} 1 d x = {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{4} - {[x]}_{1}^{4} = [(\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2})] - [4 - 1] = 4, 5$

Mithilfe der Additivität kannst Du einfacher integrieren, indem Du die Summanden auseinanderziehst.

Hier siehst Du eine Integration von einer Differenz innerhalb eines Integrals:

$\int_{1}^{2} (x - 1) d x = {[\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2}]}_{1}^{2} = \frac{1}{2}$

Nun siehst Du die Integration mithilfe der zweiten Linearitätseigenschaft:

$\int_{1}^{2} x d x - \int_{1}^{2} 1 d x = {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{2} - {[x]}_{1}^{2} = \frac{1}{2}$

Dritte Eigenschaft des Integrals: Intervallgrenzen

Der Austausch von Intervallgrenzen kann hilfreich sein, um bestimmte Integrale zu berechnen.

Die Intervallgrenzen eines Integrals können vertauscht werden, indem man vor das Integral ein Minus setzt.

$\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$

Durch den Austausch kannst Du dein Ergebnis nochmal kontrollieren, da beide Rechenwege auf dasselbe Ergebnis kommen.

Hier siehst Du eine Integration vor dem Austausch der Intervallgrenzen:

$\int_{1}^{2} x d x = {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{2} = [\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}] = 1, 5$

Eigenschaften des Integrals Austausch von Intervallgrenzen StudySmarter Abbildung 6: Austausch von Intervallgrenzen

Nun siehst Du die Integration nach dem Austausch der Intervallgrenzen:

$- \int_{2}^{1} x d x = - {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{2}^{1} = - [\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}] = 1, 5$

Eigenschaften des Integrals Austausch von Intervallgrenzen StudySmarter Abbildung 7: Austausch von Intervallgrenzen

Vierte Eigenschaft des Integrals: Symmetrie

Bei der Symmetrie von Integralen unterscheidet man zwischen der Punktsymmetrie und der Achsensymmetrie. Es ist hilfreich, diese Symmetrieeigenschaften zu kennen. Dann weißt du nämlich, mit welchem Ergebnis Du rechnen kannst und wie das Integral graphisch aussehen muss.

Punktsymmetrische Funktionen – Erklärung

Wenn eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist und die Grenzen so gewählt sind, dass sie gleich weit vom Symmetriepunkt entfernt sind, dann ergibt die Integration dieser Funktion 0.

$\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$

Damit dies gilt, müssen die Grenzen Gegenzahlen sein, zum Beispiel a und -a in der Definition. Sie haben also denselben Betrag.

Ein wichtiger Begriff bei punktsymmetrischen Integralen ist die Flächenbilanz, also die Differenz zwischen der Fläche oberhalb und der Fläche unterhalb der x-Achse. Hast Du nun eine punktsymmetrische Funktion und sind die Grenzen so gewählt, dass sie gleich weit vom Symmetriepunkt entfernt sind, dann ist die Fläche oberhalb der x-Achse genauso groß wie die Fläche unterhalb der x-Achse. Das liegt an der Punktsymmetrie. Die einzelnen Flächen heben sich in der Flächenbilanz gegenseitig auf. Deshalb kommt bei der Integration 0 heraus.

Einige punktsymmetrische Funktionen sind zum Beispiel die Sinusfunktion, lineare Funktionen, die durch den Ursprung verlaufen, oder Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten wie $x^{3}$ oder $x^{5}$ .

Aufgabe 2

Integriere die punktsymmetrische Funktion $f (x) = x$ im Intervall $[- 2; 2]$ .

Lösung 2

$\int_{- 2}^{2} x d x = {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{- 2}^{2} = [\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2}] = 0$

Eigenschaften des Integrals punktsymmetrische Funktion StudySmarter Abbildung 8: punktsymmetrische Funktion

Da die Funktion punktsymmetrisch ist, ist das Ergebnis der Integration gleich Null.

Achsensymmetrische Funktionen – Erklärung

Nun wirst Du noch eine Eigenschaft für das Integral von achsensymmetrischen Funktionen kennenlernen.

Wenn eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, gilt für die Integration:

$\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \cdot \int_{0}^{a} f (x) d x$

Das heißt, Du kannst die Intervallgrenzen und somit die Rechnung vereinfachen, indem Du die untere Intervallgrenze zu 0 änderst und die Integration mit 2 multiplizierst.

Du kannst die Hälfte des Integrals berechnen und den errechneten Teil einfach verdoppeln, um den Flächeninhalt des Integrals zu erhalten. Dies funktioniert, da die Funktion sich an der y-Achse spiegelt, wenn sie achsensymmetrisch zur y-Achse ist, wie Du in der folgenden Abbildung siehst.

Eigenschaften des Integrals Achsensymmetrie Funktion StudySmarter Abbildung 9: achsensymmetrische Funktion

In dieser Abbildung kannst Du erkennen, dass die orange schraffierte Fläche -a bis 0 mit der blauen Fläche 0 bis a übereinstimmt. Das heißt, es genügt, wenn Du die Fläche 0 bis a berechnest und diese anschließend mit 2 multiplizierst.

Aufgabe 3

Integriere die achsensymmetrische Funktion $f (x) = x^{2}$ im Intervall $[- 2, 2]$ .

Lösung 3

$\int_{- 2}^{2} x^{2} d x = {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{- 2}^{2} = [\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3}] = 5, 3$

$2 \cdot \int_{0}^{2} x^{2} d x = 2 \cdot {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{2} = 2 \cdot (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) = 5, 3$

Eigenschaften des Integrals achsensymmetrische Funktion StudySmarter Abbildung 10: achsensymmetrische Funktion

Wenn Du mehr über die Symmetrie von Funktionen erfahren möchtest, kannst Du Dir den dazugehörigen Artikel anschauen!

Eine weitere Eigenschaft des Integrals ist die Monotonieeigenschaft.

Die Monotonie beschreibt, wie eine Funktion verläuft, also ob sie steigt, fällt oder konstant bleibt.

Die Monotonieeigenschaft besagt, dass das Integral der Funktion auch immer größer ist, wenn eine Funktion $g (x)$ immer größer ist als eine Funktion $f (x)$ . Dadurch lässt sich sagen, dass die Fläche unter dem Graphen von f kleiner ist als die Fläche unter dem Graphen von g, da der Graph der Funktion $g (x)$ weiter entfernt von der x-Achse liegt als der Graph der Funktion $f (x)$ .

Mathematisch formulieren kann man das so:

Monotonieeigenschaft:

$x \in [a, b] : f (x) \leq g (x) \to \int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x$

Durch die Monotonieeigenschaft kannst Du sehen, welche Funktion eine größere Fläche besitzt.

Ein Beispiel für die Monotonieeigenschaft:

$\int_{1}^{2} x^{2} d x = {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{1}^{2} = \frac{7}{3} \leq \int_{1}^{2} x^{3} d x = {[\frac{1}{4} x^{4}]}_{1}^{2} = 3, 75$

Eigenschaften des Integrals Monotonieeigenschaft StudySmarter Abbildung 11: Monotonieeigenschaft

Liste der wichtigsten Integrale im Überblick

Allgemein	$\int f' (x) d x$	$f (x)$
Exponentialfunktion	$\int e^{x} d x$	$e^{x}$
Potenz	$\int x^{n} d x$	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$
Trigonometrische Funktion	$\int \sin x d x$ $\int \cos x d x$ $\int \tan x d x$	$- \cos x$ $\sin x$ $- \ln \|\cos x\|$
Logarithmische Funktion	$\int \ln x d x$ $\int \frac{d x}{x}$	$x \cdot \ln x - x$ $\ln \|x\|$
Irrationale Funktion	$\int \sqrt{a x + b} d x$	$\frac{2}{3 a} \sqrt{{(a x + b)}^{3}}$

Eigenschaften des Integrals – Das Wichtigste

Mithilfe eines Integrals lässt sich der Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnen.
Man unterscheidet allgemein zwischen einem unbestimmten und bestimmten Integral.
Die untere Grenze eines bestimmten Integrals ist eine Nullstelle der Funktion.
Es gibt verschiedene Eigenschaften, die die Integration vereinfachen:
Additivität $\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x$
Faktorregel $\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x$
Monotonieeigenschaft $\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x$
Austausch von Intervallgrenzen $\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$
Punktsymmetrie $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$
Achsensymmetrie $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \cdot \int_{0}^{a} f (x) d x$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Eigenschaften des Integrals

Integrale benötigt man um den Flächeninhalt zwischen eines Graphen einer Funktion und der x-Achse zu berechnen.

Ein Integral lässt sich in ein bestimmtes und unbestimmtes Integral aufteilen. Bei der Berechnung eines bestimmten Integrals berücksichtigst du Intervallgrenzen und erhälst einen Zahlenwert als Ergebnis. Bei der Berechnung des unbestimmten Integrals hast du keine Intervallgrenzen und erhälst einen formellen Ausdruck mit einer Konstanten C.

Integrale werden benötigt, um die Flächeninhalte zwischen eines Graphen und der x-Achse zu berechnen. Sie sind ein wichtiger Bestandteil der Analysis und sind eng verbunden mit der Differentialrechnung.

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Was bedeutet der Begriff Flächenbilanz?

Flächenbilanz bedeutet, bei punktsymmetrischen Funktionen die Differenz zwischen der Fläche oberhalb und der Fläche unterhalb der x-Achse. Hast du nun eine punktsymmetrische Funktion, und die Grenzen sind wie eben gewählt, dann ist logischerweise - wegen der Punktsymmetrie - die Fläche oberhalb der x-Achse gleich groß wie die Fläche unterhalb der x-Achse. Die einzelnen Flächen heben sich in der Flächenbilanz gegenseitig auf. Deshalb kommt bei der Integration 0 heraus

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