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Wertebereich

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Wertebereich

Vielleicht hast Du Dich schon mal mit den Pegelständen an Flüssen beschäftigt. Oft ist davon die Rede, wenn es mehrere Tage oder Wochen geregnet hat und die Pegelstände anschwellen. Dabei kann der Pegelstand eines Flusses nicht negativ, sondern der Fluss nur ausgetrocknet sein.

Schon befindest Du Dich in der Frage, was das mit dem sogenannten Wertebereich einer Funktion zu tun hat. Dieses Teilgebiet aus der Analysis und der Kurvendiskussion wird Dir in dieser Erklärung näher erläutert. Viel Spaß!

Wertebereich – Wiederholung Kurvendiskussion und Zahlenmengen

Die Bestimmung des Wertebereichs ist oftmals eine Teilaufgabe aus dem Gebiet der Kurvendiskussion. Dabei können unterschiedlichste Fragen gestellt sein, unter anderem die Wertemenge.

Kurvendiskussion

Bei der Kurvendiskussion wird oftmals zu Beginn der Definitionsbereich einer Funktion ermittelt. Dabei handelt es sich um die x-Werte, welche eine Funktion annehmen darf, da unter anderem Definitionslücken bei einer Funktion entstehen können.

Wichtige Informationen dazu, wie Du den maximalen Definitionsbereich ermittelst, findest Du unter Definitionsbereich bestimmen.

Im Zuge dessen, wird oftmals der Wertebereich bestimmt, der Teil dieser Erklärung ist. Zusätzlich kann das Monotonieverhalten einer Funktion ermittelt werden und wie sich die Funktion im Unendlichen verhält.

Während eine quadratische Funktion immer entweder nach \(+ \infty\) oder \(- \infty\) verläuft, ist dies bei Funktionen ungeraden Grads nicht der Fall. Mehr dazu findest Du in den Erklärungen Monotonieverhalten, Stetigkeit und

Verhalten im Unendlichen - Grenzwerte.

Viele Funktionen besitzen nun verschiedene Hoch- oder Tiefpunkte, bei der die Steigung \(0\) beträgt. Diese Extrema sind auch interessant für die Extremwertbestimmung.

Schaue dazu gerne bei den folgenden Erklärungen vorbei:

Zahlenmengen

Ein weiteres wichtiges Konzept für den Wertebereich aus der Kurvendiskussion, ist die Unterscheidung von Zahlenmengen. Je nachdem welche Werte die Zahlen besitzen, unterscheidest Du die Menge der natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen.

ZahlenmengeAngabeBeispiel
Natürliche Zahlen\( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}\)

\(1, 2, 6, ...\)

Ganze Zahlen\( \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}\)

\(-20, 0, 30\)

Rationale Zahlen\( \mathbb{Q} = \{\frac{m}{n} | n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\}\)

\( \frac{3}{2}, \frac{3}{8}\)

Reelle Zahlen\( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \)

\( \sqrt{7}, 3 \cdot \sqrt{5}\)

Dabei beinhalten die ganzen Zahlen die natürlichen Zahlen, genauso wie die rationalen die ganzen und die reellen die rationalen Zahlen. Das bedeutet, diese sind alle Teilmenge der reellen Zahlen.

Wertebereich Wertebereich Zahlenmengen StudySmarterAbb. 1: Wertebereich Zahlenmengen

Schaue dazu gerne bei den folgenden Erklärungen vorbei:

Wertebereich Definition und Intervallschreibweise

Den Wertebereich einer Funktion betrachtest Du bereits indirekt, wenn Du eine Funktion zeichnest.

Wertebereich – Definition

Der Wertebereich kann auch Wertemenge genannt werden.

Der Wertebereich \( \pmb{ \mathbb{W_f}} \) einer Funktion \(f\) beschreibt, welche y-Werte eine Funktion annehmen kann und ist neben der Bestimmung der Definitionsmenge einer der ersten Teile der Kurvendiskussion. Dabei wird über die Funktion \(f\) eine Abbildung beschrieben \(f: \mathbb{D} \longrightarrow \mathbb{W} \).

Die Unterscheidung zum Definitionsbereich ist, dass dabei die Werte betrachtet werden, die die x-Koordinaten der Punkte annehmen können. Das bedeutet, der Wertebereich \( \mathbb{W}\) ist abhängig von seinem Definitionsbereich \( \mathbb{D}\).

Wertebereich Unterschied Definitionsbereich und Wertebereich StudySmarterAbb. 2: Unterschied Definitionsbereich und Wertebereich

Der Definitionsbereich legt die Grenzen des Intervalls fest, in dem die Funktion definiert ist, in diesem Fall

\[ [a, b] \]

oder

\[ ]a, b[ \]

während der Wertebereich die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion in dem Intervall betrachtet.

Wertebereich – Intervallschreibweise

Der Wertebereich wird ebenso wie der Definitionsbereich oftmals in der Intervallschreibweise angegeben. Dabei können alle Zahlen innerhalb von Grenzen verwendet werden. Diese Grenzen können Teil des Intervalls sein, was zum Beispiel hierbei der Fall ist.

\[2 \leq x \leq 6\]

Dabei entspricht dies folgendem Ausdruck: "Der Wert von x ist größer oder gleich 2 und kleiner oder gleich 6."

Dies lässt sich auch in der Intervallschreibweise angeben, wobei der Startwert eingeschlossen ist, genauso wie der Endwert. Das wird mit einer zu der jeweiligen Zahl zeigende eckige Klammer dargestellt.

\[ x \in [2; 6] \]

Die Schreibweise entspricht dabei: "x ist Element in dem Intervall von (inklusive) 2 bis (einschließlich der Zahl) 6."

Anders würde dieses Intervall geschrieben sein, wenn die Werte der Grenzen nicht mehr enthalten sind. Somit wirst Du im Folgenden eine Intervallschreibweise für diesen Zusammenhang sehen.

\[2 < x < 6 \text{ } \widehat{=} \text{ } x \in ]2; 6[ \]

Du kannst dazu sagen: "x ist Element des Intervalls von (ausgeschlossen) 2 bis (ausgeschlossen) 6."

Die Intervallschreibweise wird also verwendet, wenn alle Zahlen innerhalb eines Bereiches verwendet werden dürfen.

Dazu kannst Du gerne bei der Erklärung Intervalle vorbeisehen.

Wertebereich bestimmen und angeben

Die Einschränkung des Definitionsbereiches hat dabei oftmals Auswirkungen auf den Wertebereich.

Wertebereich bestimmen

Ist die Funktion \(f(x)\) in einem bestimmen Intervall \([a, b]\) definiert, so kann der Wertemenge nur die Werte zugeordnet werden, die die y-Werte in diesem Intervall annehmen kann.

Hast Du bereits die Werte des Definitionsbereiches gegeben, so betrachtest Du das Intervall zwischen \(a\) und \(b\) und dessen Funktionswerte \(f(a)\) und \(f(b)\) und gleichzeitig die Extremstellen in dem Intervall. Somit erhältst Du die Grenzen der Wertemenge.

Anders funktioniert dies, wenn das Intervall offen ist, es also gilt \( ]a; b[\).

Geschlossenes Intervall Offenes Intervall
Definitionsbereich: \([a; b]\) Definitionsbereich: \(]a; b[\)
  • Bestimme \(f(a) \text{ und } f(b) \).
  • Bestimme die Extrema in dem Intervall.
  • Führe eine Grenzwertbetrachtung durch.
  • Bestimme die Extrema in dem Intervall.

Wertebereich berechnen

Dieses Beispiel wird bereits für eine quadratische Funktion herangezogen. Dabei soll ein Definitionsbereich verwendet werden, der nur einzelne Zahlen zulässt.

Es sei die Funktion \(f(x) = x^2\) gegeben.

Für den Definitionsbereich gilt: \( \mathbb{D}_f = \{1, 2, 3, 4, 5\}\).

Hierbei soll die Wertemenge bestimmt werden.

Das bedeutet also Du betrachtest eine standardmäßige Parabel, von der grundsätzlich bekannt ist, dass sie bei \( (0|0)\) ihren Scheitelpunkt besitzt und nach \(+ \infty\) reicht.

Der Definitionsbereich ist eingeschränkt. Nur die Werte der Funktion dürfen verwendet werden, wo die x-Werte definiert sind. Das bedeutet für \(f(x)\) können nur diese Werte eingesetzt werden.

Es gilt:

  • \(f(1) = 1^2 = \pmb{1}\)
  • \(f(2) = 2^2 = \pmb{4}\)
  • \(f(3) = 3^2 = \pmb{9}\)
  • \(f(4) = 4^2 = \pmb{16}\)
  • \(f(5) = 5^2 = \pmb{25}\)

Die fett markierten Zahlen sind die Werte für den Wertebereich. Demnach gilt für den Wertebereich:

\[ \mathbb{W}_f = \{1, 4, 9, 16, 25\}\]

Wertebereich lineare Funktion

Wie Du eventuell bereits weißt, werden lineare Funktionen in ganz \( \mathbb{R} \) definiert, da eine lineare Funktion von \( - \infty\) bis \( + \infty\) für den Definitionsbereich und den Wertebereich reicht.

Falls Dir das nicht ganz bekannt ist, kannst Du gerne auch bei Definitionsbereich bestimmen vorbei sehen.

Dabei entspricht eine lineare Funktion der Form...

\[f(x) = m \cdot x + t\]

mit Steigung \(m\) und y-Achsenabschnitt \(t\).

Der Wertebereich einer linearen Funktion entspricht den reellen Zahlen: \( \mathbb{W}_f = \mathbb{R}\). Für jedes \(x\) einer linearen Funktion kannst Du jede reelle Zahl einsetzen. Das führt dazu, dass bei linearen Funktionen jeder y-Wert angenommen wird.

Dies gilt jedoch nicht für die konstanten Funktionen, bei der die Steigung \(0\) beträgt. Sie werden in folgender Form angegeben:

\[f(x) = c \]

Dabei nimmt die Funktion lediglich den Wert \(c\) für die Wertemenge an.

Eine Funktion lautet \(f(x) = 4\).

Da alle y-Werte denselben Wert entsprechen, besitzt die Funktion den Wert \(4\).

Damit gilt:

\begin{align} \mathbb{D}_f &= \mathbb{R} \\ \mathbb{W}_f &= \mathbb{4}\end{align}

Dabei gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten bei linearen Funktionen den Wertebereich \( \mathbb{W}\) anzugeben:

Definitionsbereich nicht eingeschränkt

Definitionsbereich eingeschränkt

Verläuft von \( - \infty\) bis \(+ \infty\)

Verläuft von \(a\) bis \(b\).

\( \mathbb{W}_f = \mathbb{R} \)

\( \mathbb{W}_f = [f(a); f(b)] \)

Eine lineare Funktion ist dabei streng monoton steigend, oder fallend, deshalb sind die Grenzen des Definitionsbereiches die größten und kleinsten Werte innerhalb des Intervalls.

Aufgabe 1

Dir ist folgende Funktion gegeben:

\[f(x) = 3x + 2\]

Gebe den Wertebereich an, wenn

a) der Definitionsbereich nicht eingeschränkt ist.

b) der Definitionsbereich lautet \( \mathbb{D}_f = [1; 5] \).

Aufgabe 2

a) Da der Definitionsbereich nicht eingeschränkt ist, verläuft die Funktion ins negative und positive Unendliche. Es gilt also:

\[ \mathbb{W}_f = \mathbb{R}\]

b) Da der Definitionsbereich durch die Grenzen \(1\) und \(5\) beschränkt ist, kann die Wertemenge nur zwischen den beiden y-Werten dieser Grenzen verlaufen.

  • \(f(1) = 3 \cdot 1 + 2 = 5\)
  • \(f(5) = 3 \cdot 5 + 2 = 17 \)

Damit gilt für die Wertemenge in diesem Fall:

\[ \mathbb{W}_f = [5; 17] \]

Wertebereich Wertebereich lineare Funktion StudySmarterAbb. 3: Wertebereich lineare Funktion

Wertebereich quadratische Funktionen

Für die Definitionsmenge \( \mathbb{D}\) einer Funktion \(f(x)\) können grundsätzlich alle x-Werte angenommen werden und damit ist diese auf ganz \( \mathbb{R}\) definiert. Für den Wertebereich quadratischer Funktionen ist dies nicht der Fall.

Dabei wird eine quadratische Funktion in dieser Form angegeben:

\[f(x) = a \cdot x^2 + b\]

Der Wertebereich \( \pmb{ \mathbb{W}}\) einer quadratischen Funktion \( \pmb{f(x)}\) ist durch den y-Wert ihres Scheitelpunkts begrenzt. Dabei gilt:

  • für \(a > 0\): \( \mathbb{W}_f = [y_s; \infty[\)
  • für \(a < 0\): \( \mathbb{W}_f = ]- \infty; y_s]\)

Dabei entspricht \(y_s\) der y-Koordinate des Scheitelpunkts \(S(x_s|y_s)\).

Um den Wertebereich einer Funktion \(f(x)\) zu bestimmen, benötigst Du das Wissen über die Normalform einer Parabel den Scheitelpunkt zu berechnen. Für eine Scheitelform kannst Du die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt ablesen, da dieser in folgender Form gegeben ist:

\[f(x) = a \cdot (x - x_s)^2 + y_s\]

Bei der allgemeinen Form jedoch hast Du zwei Möglichkeiten, auf den Scheitelpunkt oder zumindest auf den x-Wert zu schließen:

Um das Wissen über die Umwandlung von der Normalen- zur Scheitelpunktform zu wiederholen, kannst Du gerne bei Quadratische Ergänzung vorbeisehen. Mehr zu Ableitungen allgemein findest Du unter:

Das bedeutet, das allgemeine Vorgehen lautet wie folgt:

Die Wertemenge einer quadratischen Funktion wird wie folgt bestimmt:

  1. Vorzeichen von x² ablesen

  2. Scheitelpunkt berechnen (Quadratische Ergänzung, Ableitung)

  3. Wertebereich bestimmen

Das soll hierbei am besten geübt werden. In diesem Fall wird mit den Ableitungsregeln gearbeitet.

Es sei der Graph der Funktion \(f(x) = x^2 - 8x + 15\) gegeben. Für den Definitionsbereich gilt: \( \mathbb{D}_f = \mathbb{R}\).

Bestimme den Wertebereich \( \mathbb{W}_f\).

Schritt 1:

Das Vorzeichen ist \(+\), da gilt: \(a = 1\). Damit ist die Parabel nach oben geöffnet und läuft gegen\(+ \infty\).

Schritt 2:

In diesem Fall wird die Ableitung verwendet. Dazu nutzt Du die Ableitungsregeln.

\[f'(x) = 2\cdot x - 8\]

Da die Steigung, die über die 1. Ableitung bestimmt wird, am Scheitelpunkt \(0\) ergibt, wird die 1. Ableitung gleich 0 gesetzt.

\begin{align} f'(x) &= 0 \\ 2 \cdot x - 8 &= 0 &&| + 8 \\ 2x &= 8 &&| : 2 \\ x &= 4 \end{align}

Damit steht der x-Wert des Scheitelpunkts fest: \(4\).

Setze diesen Wert nun in die Ausgangsfunktion \(f(x)\) und Du erhältst für den y-Wert:

\[y_s = f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 15 = -1 \]

Schritt 3:

Für den Wertebereich gilt also:

\[ \mathbb{W}_f = [-1; + \infty[ \]

Wertebereich Wertebereich quadratische Funktion StudySmarterAbb. 4: Wertebereich quadratische Funktion

Wertebereich Sinusfunktion

Betrachtest Du lediglich die Funktionen \( \sin{(x)} \) oder auch \( \cos{(x)}\), so ist die Wertemenge jeweils immer gleich. Es kann jedoch sein, dass es zu einer Streckung oder Stauchung in y-Richtung kommt oder auch zu einer Verschiebung. In diesen Fällen ist es nicht mehr sehr klar.

Der Wertebereich der Funktionen \( \sin{(x)}\) und \( \cos{(x)} \) ist dabei \( \mathbb{W} = [-1; 1]\), da die Funktionen periodisch zwischen diesen y-Werten oszillieren. Bei einer Verschiebung in y-Richtung oder bei einer Änderung der Amplitude ändert sich der Wertebereich dementsprechend.

Die nachfolgenden Erläuterungen zum Wertebereich gelten ebenso für die cos-Funktion. In diesem Fall wird alles über den Sinus erläutert.

Die Sinusfunktion lässt sich allgemein definieren mit:

\[f(x) = a \cdot \sin{(b \cdot x + c)} + d\]

Dabei entsprechen die Buchstaben folgenden mathematischen Ausdrücken:

  • \(a\): Amplitude
  • \(b\): Streckung/Stauchung in x-Richtung
  • \(c\): Verschiebung in x-Richtung
  • \(d\): Verschiebung in y-Richtung

Für die Wertemenge sind dabei nur die Buchstaben \(a\) und \(b\) entscheidend, da diese die y-Werte verändern. Dabei gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten, wie Du die Grenzen der Wertemenge ermittelst:

Ohne Verschiebung in x-Richtung

Mit Verschiebung in x-Richtung

Lese direkt über den Wert für \(a\) ab, was der maximale positive Wert ist.

Addiere zu dem Wert für \(a\) die Verschiebung \(d\) dazu, da die y-Werte nun um diese Parallele zur x-Achse oszillieren.

\( \mathbb{W} = [-a; a]\)

\( \mathbb{W} = [d - a; d + a]\)

Dazu gibt es am besten wieder ein Beispiel, mit dem Du den Wertebereich einer Sinusfunktion bestimmst.

Aufgabe 2

Dir werden zwei Funktionen gegeben. Ermittle für jede den Wertebereich.

a) \(f(x) = 4 \cdot \sin{(x)}\)

b) \(g(x) = 2 \cdot \sin{(x)} + 3\)

Lösung

a) Für die erste Funktion kannst Du die Amplitude ablesen und das sogenannte additive Inverse (die negative Zahl) als untere Grenze der Wertemenge bestimmen.

\begin{align} \mathbb{W} &= [-a; a] \\ &= [-4; 4] \end{align}

b) Für die Grenzen kannst Du von \(d\) jeweils \(a\) addieren und subtrahieren.

\begin{align} \mathbb{W} &= [d - a; d + a] \\ &= [3 - 2; 3 + 2] \\ &= [1; 5] \end{align}

Wertebereich Wertebereich trigonometrische Funktion StudySmarterAbb. 5: Wertebereich trigonometrische Funktion

Wertebereich e-Funktion

Betrachtest Du den Wertebereich für eine e-Funktion und eine ln-Funktion, so lassen sich grundsätzlich auch gewisse Regeln festhalten.

Der Wertebereich einer e-Funktion \( \pmb{e^x}\) sind die positiven reellen Zahlen \( \mathbb{R}^+ \) ohne der Null, da die Exponentialfunktion gegen die x-Achse läuft. Die Definitionsmenge ist nicht eingeschränkt und entspricht ganz \( \mathbb{R}\).

Das Verhältnis zwischen der e-Funktion und der Logarithmusfunktion ist, dass die ln-Funktion die Umkehrung der e-Funktion ist. Es handelt sich also um die gespiegelte e-Funktion an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten. Dabei kehren sich die Definitionsmenge und die Wertemenge um.

Der Wertebereich der ln-Funktion entspricht dem Definitionsbereich der e-Funktion, also \( \mathbb{W} = \mathbb{R} \). Der Definitionsbereich ist wiederum \( \mathbb{D} = \mathbb{R}^+ \)

Diese Wertemengen sind bei einer Kurvendiskussion nicht mehr gültig, falls die e-Funktion an der x-Achse gespiegelt wird oder sie in y-Richtung verschoben wird.

Allgemein gilt für die Exponentialfunktion:

\[ f(x) = a \cdot b^{x + c} \]

Auch hierbei ist wieder entscheidend, um eine Verschiebung in y-Richtung stattfindet. Es wird dabei ausgegangen, dass die Funktion gespiegelt wird. Dabei ist nur das Vorzeichen von \(a\) entscheidend.

Positives a

Negatives a

Keine Verschiebung in y-Richtung \( \mathbb{W} = \mathbb{R}^+ \)

\( \mathbb{W} = \mathbb{R}^- \)

Verschiebung in y-Richtung um \(c\) \( \mathbb{W} = [c; + \infty[ \)

\( \mathbb{W} = ]- \infty; c] \)

Auch hierbei soll Dir eine Übung eine Hilfestellung sein, zwei dieser vier Fälle zu üben.

Aufgabe 3

Bestimme den Wertebereich für folgende zwei Funktionen:

a) \(f(x) = e^x + 2\)

b) \(g(x) = -e^x - 1\)

Lösung

a) Diese e-Funktion ist lediglich um 2 in positive y-Richtung verschoben, also gilt für den Wertebereich:

\[ \mathbb{W} = ]2; + \infty[ \]

b) Die zweite Funktion ist an der x-Achse gespiegelt und um eine Einheit nach unten verschoben. Damit gilt:

\[ \mathbb{W} = ] - \infty; -1[ \]

Wertebereich Wertebereich e-Funktion StudySmarterAbb. 6: Wertebereich e-Funktion

Wertebereich Aufgaben

Im Folgenden kannst Du Dich mit dem Wertebereich über verschiedene Übungen auseinandersetzen. Viel Spaß!

Aufgabe 4

Gegeben sei die Funktion \(h(x) = -3x^2 + 6x + 2\). Der Definitionsbereich der Funktion entspricht den ganzen reellen Zahlen \( \mathbb{D}_h = \mathbb{R} \).

Bestimme den Wertebereich.

Lösung

Schritt 1:

Das Vorzeichen ist dabei ein Minus, damit ist die Parabel nach unten geöffnet. Dementsprechend reichen die Werte bis \(- \infty\).

Schritt 2:

Auch hierbei kann die Ableitung verwendet werden oder die quadratische Ergänzung. Dieses Mal werden beide Fälle vorgestellt.

Ableitung:

Bestimme die erste Ableitung und setze diese gleich Null.

\begin{align} f'(x) &= 0 \\ -6x + 6 &= 0 &&| - 6 \\ -6x &= -6 &&| : (-6) \\ x &= 1 \end{align}

Dieses Ergebnis setzt Du in die ursprüngliche Gleichung ein, um \(y_s\) zu bestimmen.

\[f(1) = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 2 = 5 \]

Quadratische Ergänzung:

Dazu werden verschiedene Schritte erledigt. Schaue bei Fragen gerne bei der Erklärung vorbei.

Zuerst wird das \(a\) aus der Parabelgleichung ausgeklammert und schrittweise die Normalenform in die Scheitelpunktform umgewandelt.

\begin{align} -3x^2 + 6x + 2 &= -3 \cdot \left[x^2 - 2x - \frac{2}{3} \right] \\ &= -3 \cdot \left[x^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + 1^2 - 1^2 - \frac{2}{3} \right] \\ &= -3 \cdot \left[(x - 1)^2 - \frac{5}{3}\right] \\ &= -3 \cdot (x - 1)^2 + 5 \end{align}

Damit hast Du auch bereits \(y_s\) bestimmt.

Schritt 3:

Die Wertemenge entspricht also:

\[ \mathbb{W}_h = ]- \infty; 5]\]

Wertebereich Wertebereich quadratische Funktion Aufgabe StudySmarterAbb. 7: Wertebereich quadratische Funktion Aufgabe

Aufgabe 5

Bestimme die Wertemenge folgender zwei Funktionen. Angeben reicht dabei aus.

a) \(f(x) = 1,5 \cdot \sin{(2x)} + 5\)

b) \(g(x) = -2 \cdot e^{x-1} - 3\)

Lösung

a) Dabei sind nur die Werte für \(a\) und \(d\) entscheidend. Diese Funktion ist um \(5\) in positive y-Richtung verschoben und reicht davon jeweils \(1,5\) Einheiten weg.

\[ \mathbb{W}_f = [3,5; 6,5]\]

b) Die e-Funktion reicht ins negative Unendliche und ist um \(3 \text{ LE}\) nach unten verschoben.

\[ \mathbb{W}_g = ]- \infty; -3[ \]

Wertebereich - Das Wichtigste

  • Der Wertebereich \( \mathbb{W}\) zeigt Dir, welche möglichen y-Werte es für eine Funktion gibt.
  • Bei linearen Funktionen kommen alle reellen Zahlen als Wertebereich in Frage. Falls der Definitionsbereich \( \mathbb{D}\) eingeschränkt ist, entsprechen die Grenzen den Werten \(f(a)\) und \(f(b)\)
  • Der Definitionsbereich grenzt die x-Werte ein, die eingesetzt werden können.
  • Bei quadratischen Funktionen erkennst Du am Vorzeichen von x², besser gesagt dem Vorzeichen von \(a\) und der y-Koordinate des Scheitelpunktes, wie der Wertebereich aussieht.
  • Die sin- oder cos-Funktion reicht grundsätzlich von \(-1\) bis \(1\). Bei einer Verschiebung um \(d\) benötigst Du diese Grenzen: \( [d - a; d + a]\).
  • Die e-Funktion besitzt grundsätzlich den Definitionsbereich \( \mathbb{R}^+\). Bei einem negativen Vorzeichen ist es \( \mathbb{R}^-\). Ansonsten wird die Verschiebung um \(c\) noch berücksichtigt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Wertebereich

Den Wertebereich einer Funktion gibst Du über die jeweilige Zahlenmenge an. So entsprechen der Wertebereich einer linearen Funktion den Reellen Zahlen. Ansonsten kann dieser in der Intervallschreibweise angegeben werden.

Der Definitionsbereich einer Funktion sind alle x-Werte, die diese Funktion annehmen darf. Bei Definitionslücken beispielsweise ist dieser eingeschränkt, ansonsten gelten die Reellen Zahlen. Der Wertebereich einer Funktion sind die y-Werte, die die Funktion innerhalb des Definitionsbereiches besitzen kann. 

Die Definitionsmenge bestimmst Du, indem Du herausfindest, welche Werte bei einer Funktion nicht erlaubt sind. So darf bei einer gebrochen rationalen Funktion der Nenner niemals 0 werden. Die Wertemenge wird über die 1. Ableitung bestimmt, um die Extrema innerhalb der Definitionsmenge zu bestimmen. Diese entsprechen den Grenzen der Wertemenge.

Der Wertebereich einer Funktion f beschreibt, welche y-Werte eine Funktion annehmen kann und ist neben der Bestimmung der Definitionsmenge einer der ersten Teile der Kurvendiskussion.

Finales Wertebereich Quiz

Frage

Was ist nicht Teil einer Kurvendiskussion?

Antwort anzeigen

Antwort

Wahrscheinlichkeit eines Zufallsexperiments bestimmen

Frage anzeigen

Frage

Ist die Zahl \( \frac{2}{3}\) Teil der Ganzen Zahlen? Antworte am besten mit Ja/Nein.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein

Frage anzeigen

Frage

Ist die Zahl \( \frac{1}{2}\) Teil der Reellen Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, da diese Zahl Teil der Rationalen Zahlen ist. Da die Rationalen Zahlen eine Teilmenge der Reellen Zahlen sind, ist diese Zahl in den Reellen Zahlen enthalten.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Abbildung geschrieben, wie die Funktion \(f\) über die Definitionsmenge die Wertemenge bestimmt?

Antwort anzeigen

Antwort

\[f: \mathbb{D} \longrightarrow \mathbb{W}\]

Frage anzeigen

Frage

Gebe das Verhältnis an zwischen Definitionsbereich und Wertebereich.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Definitionsbereich gibt an, welche x-Werte die Funktion annehmen darf. Die Wertemenge beschreibt, welche y-Werte die Funktion innerhalb dieses Definitionsbereiches annimmt.

Frage anzeigen

Frage

Die Grenzen von \(a\) und \(b\) sind nicht enthalten. Gebe diese Information als Intervallschreibweise an.

Antwort anzeigen

Antwort

\[ ]a; b[\]

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Definitionsbereich einer linearen Funktion bestimmt?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Grenzen des Definitionsbereiches einer linearen Funktion gelten \(f(a)\) und \(f(b)\).

Frage anzeigen

Frage

Es gibt die lineare Funktion \(f(x) = 3x + 1\). Die Definitionsmenge entspricht \( \mathbb{D} = \{1, 2\}\). Gebe die Wertemenge an.

Antwort anzeigen

Antwort

\[ \mathbb{W} = \{4, 7\}\]

Frage anzeigen

Frage

Es gilt die Funktion \(g(x) = 2x - 2\). Ist für die x-Werte \(3\) und \(4\) diese Wertemenge korrekt?

\[ \mathbb{W} = \{5, 7\}\]

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, die Werte wurden falsch berechnet. Korrekt ist:


\[ \mathbb{W} = \{4, 6\}\]

Frage anzeigen

Frage

Gebe die Geradengleichung einer linearen Funktion an.

Antwort anzeigen

Antwort

\[ f(x) = m \cdot x + t \]

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Wertebereich einer konstanten Funktion mit \(f(x) = c\)? Gebe lediglich ein Wort oder Buchstabe an.

Antwort anzeigen

Antwort

\[c\]

Frage anzeigen

Frage

Die Funktion \(f(x) = 5x - 4\) soll von \(-1\) bis \(6\) reichen. Gib den Wertebereich dazu an.

Antwort anzeigen

Antwort

\[ \mathbb{W} = \{-9; 26\}\]

Frage anzeigen

Frage

Eine quadratische Funktion besitzt einen Scheitelpunkt mit den Koordinaten \(S(3|4)\). Sie ist nach unten geöffnet. Gebe den Wertebereich an.

Antwort anzeigen

Antwort

\[ \mathbb{W} = ] - \infty; 4]\]

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der Wertebereich einer cos-Funktion ohne einer Modifizierung?

Antwort anzeigen

Antwort

\[ \mathbb{W} = [-1; 1]\]

Frage anzeigen

Frage

Gebe den Wertebereich dieser cos-Funktion an.


\[f(x) = 3 \cdot \cos{(4x)} - 2\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[ \mathbb{W} = [-5; 1]\]

Frage anzeigen

Frage

Wie ermittelst Du allgemein den Wertebereich einer sin- oder cos-Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

\[ \mathbb{W} = [d - a; d + a]\]

Frage anzeigen

Frage

Was gilt allgemein für den Wertebereich einer e-Funktion? Wie ändert sich dieser, wenn die e-Funktion nach \( - \infty\) verläuft?

Antwort anzeigen

Antwort

\[ \mathbb{W} = \mathbb{R}^+\]


Für Funktion verläuft nach \(- \infty\):


\[ \mathbb{W} = \mathbb{R}^-\]

Frage anzeigen

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