Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Wertebereich

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Mathe

In diesem Artikel wollen wir dir alles über den Wertebereich erklären und dir alle Fragen dazu beantworten. Der Wertebereich ist ein Thema der Kurvendiskussion und wird im Fach Mathematik unterrichtet.

Wertebereich Definition

Der Wertebereich kann auch Wertemenge genannt werden. Mit dem Wertebereich kannst du bestimmen, welche y-Werte eine Funktion annimmt. Der Wertebereich einer Funktion f(x) wird auch mit gekennzeichnet.

! Der Wertebereich beantwortet die Frage: “Welche y-Werte nimmt die Funktion f an?” !

Allgemeines Beispiel zum Wertebereich

Als Beispiel untersuchen wir die Funktion f(x) = x². Der Definitionsbereich sei vorgegeben und beinhaltet = {1,2,3,4,5}. Das heißt, der Definitionsbereich gibt dir vor, dass du nur die Werte 1, 2, 3, 4 und 5 in die Funktion f(x) = x² einsetzen darfst. Der Wertebereich entspricht somit der Menge von y-Werten, die du erhältst, nachdem du jedes x aus dem Definitionsbereich in die Funktion einsetzt.

Setzen wir die Werte aus dem Definitionsbereich einmal ein:

f(1) = 1² = 1

f(2) = 2² = 4

f(3) = 3² = 9

f(4) = 4² = 16

f(5) = 5² = 25

Die fett markierten Zahlen sind die Werte für den Wertebereich. Demnach gilt für den Wertebereich: ={1,4,9,16,25}.

Wertebereich lineare Funktion Bestimmen und angeben

Wie du bereits wissen solltest, werden lineare Funktionen in ganz R definiert. Das heißt, für jedes x einer linearen Funktion kannst du jede reelle Zahl einsetzen. Das führt dazu, dass bei linearen Funktionen jeder y-Wert angenommen wird. Somit gilt für den Wertebereich: = R.

Um es besser zu verstehen haben wir dir ein Beispiel vorbereitet.

Beispiel 1: Wertebereich lineare Funktion

Gegeben sei der Graph der Funktion f(x)= x+2.

Der Definitionsbereich der Funktion ist wie folgt: = R

Der Wertebereich der Funktion ist: = R

Quelle: mathebibel.de

In der Aufgabenstellung kann der Definitionsbereich einer Funktion beliebig eingeschränkt werden. Wenn wir uns jetzt das obige Beispiel anschauen: f(x) = x+2, nehmen wir mal an, dass der Definitionsbereich beschränkt ist auf = {0;2}.

Wie berechnest du jetzt den Wertebereich?

Ganz einfach: Zunächst setzt du die untere Grenze des Intervalls (0) in die Funktion ein, um den kleinsten y-Wert herauszufinden. Dann setzt du die obere Grenze des Intervalls (2) in die Funktion ein, um den größten y-Wert zu bekommen:

f(0) = 0+2 = 2

f(2) = 2+2 = 4

Der kleinste y-Wert (2) und der größte y-Wert (4) sind die Grenzen des gesuchten Wertebereichs. Somit gilt: = {2,4}

Graphisch betrachtet entspricht der Definitionsbereich (alle erlaubten x-Werte) der x-Achse und der Wertebereich (alle möglichen y-Werte) lässt sich dagegen an der y-Achse ablesen.

Wertebereich quadratische Funktionen

Wie du bereits wissen solltest, werden quadratische Funktionen in ganz R definiert. Das heißt, für jedes x einer linearen Funktion kannst du jede reelle Zahl einsetzen. Aber im Gegensatz zu linearen Funktionen nehmen quadratische Funktionen grundsätzlich nicht jeden y-Wert an.

Für den Wertebereich einer quadratischen Funktion gilt daher:

  • , wenn das Vorzeichen von x² positiv ist
  • , wenn das Vorzeichen von x² negativ ist

Dabei ist die Koordinate des Scheitelpunkts .

Im nächsten Beispiel solltest du bereits wissen, wie man Scheitelpunkt berechnet

Wir bestimmen die Wertemenge mit den folgenden Rechenschritten:

  1. Vorzeichen von x² ablesen
  2. Scheitelpunkt berechnen
  3. Wertebereich bestimmen

Beispiel 1: Wertebereich quadratische Funktionen

Es sei der Graph der Funktion f(x) = x²-6x+10 gegeben.

Der Definitionsbereich der Funktion ist = R.

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S (3 |1).

Für den Wertebereich gilt = [1; ∞].

Quelle: mathebibel.de

Beispiel 2: Wertebereich quadratische Funktionen

Gegeben sei der Graph der Funktion f(x) = -x² +8x -14.

Der Definitionsbereich der Funktion ist .

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S (4 |2).

Für den Wertebereich gilt = [- ∞; 2].

Quelle: mathebibel.de

Die Grenzen für den Wertebereich von quadratischen Funktionen hängen von zwei Faktoren ab:

  • y - Koordinate des Scheitelpunktes
  • Vorzeichen von x²

Warum?

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Und der Scheitelpunkt der Parabel ist der Punkt, wo der Graph der Funktion den höchsten y-Wert (= Hochpunkt HP) oder den niedrigsten y-Wert (=Tiefpunkt TP) annimmt. Um herauszufinden, ob es ein HP oder TP ist, musst du dir einfach das Vorzeichen von x² der Funktion anschauen. Daran wirst du es erkennen.

Wertebereich besonderer Funktionen

Damit du den Wertebereich einer Funktion bestimmen kannst, musst du in den meisten Fällen auch die Extrempunkte, also Hochpunkte und Tiefpunkte, berechnen und eine Grenzwertbetrachtung durchführen. Daher gehört die Bestimmung des Wertebereichs oft zur Kurvendiskussion.

Mehr zur Kurvendiskussion besonderer Funktionen, erhältst du bei unseren Artikeln zum Thema Kurvendiskussion. Viel Spaß beim durchlesen!

Wertebereich Alles Wichtige auf einen Blick

Zusammengefasst kann man sagen:

  • Der Wertebereich zeigt dir, welche möglichen y-Werte es für eine Funktion gibt.
  • Bei linearen Funktionen kommen alle reellen Zahlen als Wertebereich in Frage.
  • Der Definitionsbereich grenzt die x-Werte ein, die eingesetzt werden können.
  • Bei quadratischen Funktionen erkennst du am Vorzeichen von x² und der y-Koordinate des Scheitelpunktes, wie der Wertebereich aussieht.

Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun alles über den Wertebereich wissen. :) Weiter so!

60%

der Nutzer schaffen das Wertebereich Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.