Vielleicht hast Du Dich schon mal mit den Pegelständen an Flüssen beschäftigt. Oft ist davon die Rede, wenn es mehrere Tage oder Wochen geregnet hat und die Pegelstände anschwellen. Allerdings kann der Pegelstand eines Flusses niemals negativ, sondern der Fluss nur ausgetrocknet sein.
Den Verlauf der Pegelstände kannst Du als Funktion darstellen und die einzelnen Pegelstände sind die Werte. Es gibt also einen Wertebereich. Wie Du den Wertebereich angeben und bestimmen kannst, wird Dir als Teilgebiet aus der Analysis und der Kurvendiskussion in dieser Erklärung näher erläutert. Dabei wirst Du den Wertebereich mit vielen unterschiedlichen Funktionen üben können, unter anderem den Wertebereich einer Sinusfunktion, den Wertebereich einer e-Funktion oder auch den Wertebereich einer quadratischen Funktion. Viel Spaß!
Wertebereich – Grundlagen
Die Bestimmung des Wertebereichs ist oftmals eine Teilaufgabe aus dem Gebiet der Kurvendiskussion. Zur Kurvendiskussion gehören:
Ein weiteres Konzept für den Wertebereich aus der Kurvendiskussion ist die Unterscheidung von Zahlenmengen. Dabei kannst Du verschiedene unterscheiden:
| Zahlenmenge | Definition | Beispiel |
| Natürliche Zahlen | \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}\) | \(1, 2, 6, ...\) |
| Ganze Zahlen | \( \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}\) | \(-20, 0, 30\) |
| Rationale Zahlen | \( \mathbb{Q} = \{\frac{m}{n} | n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\}\) | \( \frac{3}{2}, \frac{3}{8}\) |
| Reelle Zahlen | \( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \) | \( \sqrt{7}, 3 \cdot \sqrt{5}\) |
Wertebereich – Definition und Intervallschreibweise
Den Wertebereich einer Funktion betrachtest Du bereits indirekt, wenn Du eine Funktion zeichnest. Der Wertebereich kann auch Wertemenge genannt werden.
Der Wertebereich \( \mathbb{W_f} \) einer Funktion \(f\) beschreibt, welche \(y\)-Werte eine Funktion annehmen kann und ist neben der Bestimmung der Definitionsmenge einer der ersten Teile der Kurvendiskussion. Dabei wird über die Funktion \(f\) eine Abbildung beschrieben \(f: \mathbb{D} \longrightarrow \mathbb{W} \).
Die Unterscheidung zum Definitionsbereich ist, dass dabei die Werte betrachtet werden, die die \(x\)-Koordinaten der Punkte annehmen können. Das bedeutet, der Wertebereich \( \mathbb{W}\) ist abhängig von seinem Definitionsbereich \( \mathbb{D}\).
Abb. 2 – Unterschied Definitionsbereich und Wertebereich
Der Definitionsbereich legt die Grenzen des Intervalls fest, in dem die Funktion definiert ist. In diesem Fall
\[ [a, b] \]
oder
\[ ]a, b[ \]
während der Wertebereich die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion in dem Intervall betrachtet.
Mehr zur Intervallschreibweise findest Du im Artikel "Intervalle".
Wertebereich – bestimmen und angeben
Die Einschränkung des Definitionsbereiches hat dabei oftmals Auswirkungen auf den Wertebereich.
Wertebereich bestimmen
Ist die Funktion \(f(x)\) in einem bestimmten Intervall \([a, b]\) definiert, so kannst Du der Wertemenge nur die Werte zuordnen, die die \(y\)-Werte in diesem Intervall annehmen können.
Hast Du bereits die Werte des Definitionsbereiches gegeben, so betrachtest Du das Intervall zwischen \(a\) und \(b\) und dessen Funktionswerte \(f(a)\) und \(f(b)\) und gleichzeitig die Extremstellen in dem Intervall. Somit erhältst Du die Grenzen der Wertemenge.
Anders funktioniert dies, wenn das Intervall offen ist, es gilt also \( ]a; b[\).
| Geschlossenes Intervall | Offenes Intervall |
| Definitionsbereich: \([a; b]\) | Definitionsbereich: \(]a; b[\) |
- Bestimme \(f(a)\) und \(f(b) \).
- Bestimme die Extrema in dem Intervall.
| - Führe eine Grenzwertbetrachtung durch.
- Bestimme die Extrema in dem Intervall.
|
Wertebereich berechnen
Dieses Beispiel wird bereits für eine quadratische Funktion herangezogen. Dabei soll ein Definitionsbereich verwendet werden, der nur einzelne Zahlen zulässt.
Es sei die Funktion \(f(x) = x^2\) gegeben.
Für den Definitionsbereich gilt: \( \mathbb{D}_f = \{1, 2, 3, 4, 5\}\).
Hierbei soll die Wertemenge bestimmt werden.
Das bedeutet also, Du betrachtest eine standardmäßige Parabel, von der grundsätzlich bekannt ist, dass sie bei \( (0|0)\) ihren Scheitelpunkt besitzt und nach \(+ \infty\) reicht.
Der Definitionsbereich ist eingeschränkt. Nur die Werte der Funktion dürfen verwendet werden, bei denen die \(x\)-Werte definiert sind. Das bedeutet, für \(f(x)\) können nur diese Werte eingesetzt werden.
Es gilt:
- \(f(1) = 1^2 = \pmb{1}\)
- \(f(2) = 2^2 = \pmb{4}\)
- \(f(3) = 3^2 = \pmb{9}\)
- \(f(4) = 4^2 = \pmb{16}\)
- \(f(5) = 5^2 = \pmb{25}\)
Die fett markierten Zahlen sind die Werte für den Wertebereich. Demnach gilt für den Wertebereich:
\[ \mathbb{W}_f = \{1, 4, 9, 16, 25\}\]
Wertebereich – lineare Funktion
Wie Du vielleicht schon weißt, werden lineare Funktionen in ganz \( \mathbb{R} \) definiert, da eine lineare Funktion von \( - \infty\) bis \( + \infty\) für den Definitionsbereich und den Wertebereich reicht.
Dabei hat eine lineare Funktion die Form:
\[f(x) = m \cdot x + t\]
mit Steigung \(m\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(t\).
Der Wertebereich einer linearen Funktion entspricht den reellen Zahlen: \( \mathbb{W}_f = \mathbb{R}\). Für jedes \(x\) einer linearen Funktion kannst Du jede reelle Zahl einsetzen. Das führt dazu, dass bei linearen Funktionen jeder \(y\)-Wert angenommen wird.
Dies gilt jedoch nicht für die konstante Funktion, bei der die Steigung \(0\) beträgt. Dabei nimmt die Funktion lediglich den Wert \(c\) für die Wertemenge an.
Eine Funktion lautet \(f(x) = 4\).
Da alle \(y\)-Werte denselben Wert entsprechen, besitzt die Funktion den Wert \(4\).
Damit gilt:
\begin{align} \mathbb{D}_f &= \mathbb{R} \\ \mathbb{W}_f &= 4 \end{align}
Dabei gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten, bei linearen Funktionen den Wertebereich \( \mathbb{W}\) anzugeben:
Definitionsbereich nicht eingeschränkt | Definitionsbereich eingeschränkt |
Verläuft von \( - \infty\) bis \(+ \infty\) | Verläuft von \(a\) bis \(b\). |
| \( \mathbb{W}_f = \mathbb{R} \) | \( \mathbb{W}_f = [f(a); f(b)] \) |
Eine lineare Funktion ist dabei streng monoton steigend oder fallend, deshalb sind die Grenzen des Definitionsbereiches die größten und kleinsten Werte innerhalb des Intervalls.
Aufgabe 1
Dir ist folgende Funktion gegeben:
\[f(x) = 3x + 2\]
Gib den Wertebereich an, wenn
- der Definitionsbereich nicht eingeschränkt ist.
- der Definitionsbereich lautet \( \mathbb{D}_f = [1; 5] \).
Aufgabe 2
- Da der Definitionsbereich nicht eingeschränkt ist, verläuft die Funktion ins negativ und positiv Unendliche. Es gilt also:\[ \mathbb{W}_f = \mathbb{R}\]
- Da der Definitionsbereich durch die Grenzen \(1\) und \(5\) beschränkt ist, kann die Wertemenge nur zwischen den beiden \(y\)-Werten dieser Grenzen verlaufen.
- \(f(1) = 3 \cdot 1 + 2 = 5\)
- \(f(5) = 3 \cdot 5 + 2 = 17 \)Damit gilt für die Wertemenge in diesem Fall:\[ \mathbb{W}_f = [5; 17] \]
Abb. 3 – Wertebereich lineare Funktion
Wertebereich – quadratische Funktionen
Für die Definitionsmenge \( \mathbb{D}\) einer Funktion \(f(x)\) können grundsätzlich alle \(x\)-Werte angenommen werden und damit ist diese auf ganz \( \mathbb{R}\) definiert. Für den Wertebereich quadratischer Funktionen ist das aber nicht der Fall.
Dabei wird eine quadratische Funktion in dieser Form angegeben:
\[f(x) = a \cdot x^2 + b\]
Der Wertebereich \( \pmb{ \mathbb{W}}\) einer quadratischen Funktion \( \pmb{f(x)}\) ist durch den \(y\)-Wert ihres Scheitelpunkts begrenzt. Dabei gilt:
- für \(a > 0\): \( \mathbb{W}_f = [y_s; \infty[\)
- für \(a < 0\): \( \mathbb{W}_f = ]- \infty; y_s]\)
Dabei entspricht \(y_s\) der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(S(x_s|y_s)\).
Um den Wertebereich einer Funktion \(f(x)\) zu bestimmen, benötigst Du das Wissen über die Normalform einer Parabel, um den Scheitelpunkt zu berechnen. Für eine Scheitelform kannst Du die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt ablesen, da dieser in folgender Form gegeben ist:
\[f(x) = a \cdot (x - x_s)^2 + y_s\]
Bei der allgemeinen Form jedoch hast Du zwei Möglichkeiten, auf den Scheitelpunkt oder zumindest auf den \(x\)-Wert zu schließen:
Um das Wissen über die Umwandlung von der Normalen- zur Scheitelpunktform zu wiederholen, kannst Du gerne bei Quadratische Ergänzung vorbeisehen. Mehr zu Ableitungen allgemein findest Du unter:
Das bedeutet, das allgemeine Vorgehen lautet wie folgt:
Die Wertemenge einer quadratischen Funktion wird wie folgt bestimmt:
Vorzeichen von \(x^2\) ablesen
Scheitelpunkt berechnen (Quadratische Ergänzung, Ableitung)
Wertebereich bestimmen
Das soll hierbei am besten geübt werden. In diesem Fall wird mit den Ableitungsregeln gearbeitet.
Es sei der Graph der Funktion \(f(x) = x^2 - 8x + 15\) gegeben. Für den Definitionsbereich gilt: \( \mathbb{D}_f = \mathbb{R}\).
Bestimme den Wertebereich \( \mathbb{W}_f\).
Schritt 1:
Das Vorzeichen ist \(+\), weil \(a = 1\). Damit ist die Parabel nach oben geöffnet und läuft gegen \(+ \infty\).
Schritt 2:
In diesem Fall wird die Ableitung verwendet. Dazu nutzt Du die Ableitungsregeln.
\[f'(x) = 2\cdot x - 8\]
Da die Steigung, die über die 1. Ableitung bestimmt wird, am Scheitelpunkt \(0\) ergibt, wird die 1. Ableitung gleich \(0\) gesetzt, um den Scheitelpunkt zu finden.
\begin{align} f'(x) &= 0 \\ 2 \cdot x - 8 &= 0 &&| + 8 \\ 2x &= 8 &&| : 2 \\ x &= 4 \end{align}
Damit steht der \(x\)-Wert des Scheitelpunkts fest: \(4\).
Setze diesen Wert nun in die Ausgangsfunktion \(f(x)\) und Du erhältst für den \(y\)-Wert:
\[y_s = f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 15 = -1 \]
Schritt 3:
Für den Wertebereich gilt also:
\[ \mathbb{W}_f = [-1; + \infty[ \]
Abb. 4 – Wertebereich quadratische Funktion
Wertebereich – Sinusfunktion
Betrachtest Du lediglich die Funktionen \( \sin{(x)} \) oder auch \( \cos{(x)}\), so ist die Wertemenge jeweils immer gleich. Es kann jedoch sein, dass es zu einer Streckung oder Stauchung in y-Richtung kommt oder auch zu einer Verschiebung.
Der Wertebereich der Funktionen \( \sin{(x)}\) und \( \cos{(x)} \) ist dabei \( \mathbb{W} = [-1; 1]\), da die Funktionen periodisch zwischen diesen \(y\)-Werten oszillieren. Bei einer Verschiebung in \(y\)-Richtung oder bei einer Änderung der Amplitude ändert sich der Wertebereich dementsprechend.
Die nachfolgenden Erläuterungen zum Wertebereich gelten ebenso für die Kosinusfunktion. In diesem Fall wird alles über den Sinus erläutert.
Eine Sinusfunktion lautet allgemein wie folgt:
\[f(x) = a \cdot \sin{(b \cdot x + c)} + d\]
Schaue dazu gerne bei der Erklärung Sinusfunktion vorbei.
Für die Wertemenge sind dabei nur die Buchstaben \(a\) und \(b\) entscheidend, da diese die \(y\)-Werte verändern. Dabei gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten, wie Du die Grenzen der Wertemenge ermittelst:
| Ohne Verschiebung in x-Richtung | Mit Verschiebung in x-Richtung |
| Lese direkt über den Wert für \(a\) ab, was der maximale positive Wert ist. | Addiere zum Wert für \(a\) die Verschiebung \(d\) dazu, da die \(y\)-Werte nun um diese Parallele zur \(x\)-Achse oszillieren. |
| \( \mathbb{W} = [-a; a]\) | \( \mathbb{W} = [d - a; d + a]\) |
Dazu gibt es am besten wieder ein Beispiel, mit dem Du den Wertebereich einer Sinusfunktion bestimmst.
Aufgabe 2
Dir werden zwei Funktionen gegeben. Ermittle für jede den Wertebereich.
- \(f(x) = 4 \cdot \sin{(x)}\)
- \(g(x) = 2 \cdot \sin{(x)} + 3\)
Lösung
- Für die erste Funktion kannst Du die Amplitude ablesen und das sogenannte additive Inverse (die negative Zahl) als untere Grenze der Wertemenge bestimmen.\begin{align} \mathbb{W} &= [-a; a] \\ &= [-4; 4] \end{align}
- Für die Grenzen kannst Du von \(d\) jeweils \(a\) addieren und subtrahieren.\begin{align} \mathbb{W} &= [d - a; d + a] \\ &= [3 - 2; 3 + 2] \\ &= [1; 5] \end{align}
Abb. 5 – Wertebereich trigonometrische Funktion
Wertebereich – e-Funktion
Betrachtest Du den Wertebereich für eine e-Funktion und eine ln-Funktion, so lassen sich grundsätzlich auch gewisse Regeln festhalten.
Der Wertebereich einer e-Funktion \( \pmb{e^x}\) sind die positiven reellen Zahlen \( \mathbb{R}^+ \) ohne Null, da die Exponentialfunktion gegen die \(x\)-Achse läuft. Die Definitionsmenge ist nicht eingeschränkt und entspricht ganz \( \mathbb{R}\).
Das Verhältnis zwischen der e-Funktion und der Logarithmusfunktion ist, dass die ln-Funktion die Umkehrung der e-Funktion ist. Es handelt sich also um die gespiegelte e-Funktion an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten. Dabei kehren sich die Definitionsmenge und die Wertemenge um.
Der Wertebereich der ln-Funktion entspricht dem Definitionsbereich der e-Funktion, also \( \mathbb{W} = \mathbb{R} \). Der Definitionsbereich ist wiederum \( \mathbb{D} = \mathbb{R}^+ \)
Diese Wertemengen sind bei einer Kurvendiskussion nicht mehr gültig, falls die e-Funktion an der \(x\)-Achse gespiegelt oder sie in \(y\)-Richtung verschoben wird.
Allgemein gilt für die Exponentialfunktion:
\[ f(x) = a \cdot b^{x + c} \]
Auch hierbei ist wieder entscheidend, ob eine Verschiebung in y-Richtung stattfindet. Die Funktion kann unter anderem auch gespiegelt werden. Dabei ist das Vorzeichen von \(a\) entscheidend.
| Positives a | Negatives a |
| Keine Verschiebung in y-Richtung | \( \mathbb{W} = \mathbb{R}^+ \) | \( \mathbb{W} = \mathbb{R}^- \) |
| Verschiebung in y-Richtung um \(c\) | \( \mathbb{W} = [c; + \infty[ \) | \( \mathbb{W} = ]- \infty; c] \) |
Auch hierbei soll Dir eine Übung eine Hilfestellung sein, zwei dieser vier Fälle zu üben.
Aufgabe 3
Bestimme den Wertebereich für folgende zwei Funktionen:
- \(f(x) = e^x + 2\)
- \(g(x) = -e^x - 1\)
Lösung
- Diese e-Funktion ist lediglich um 2 in positive y-Richtung verschoben, also gilt für den Wertebereich:\[ \mathbb{W} = ]2; + \infty[ \]
- Die zweite Funktion ist an der x-Achse gespiegelt und um eine Einheit nach unten verschoben. Damit gilt:\[ \mathbb{W} = ] - \infty; -1[ \]
Abb. 6 – Wertebereich e-Funktion
Wertebereich – Aufgaben
Im Folgenden kannst Du Dich mit dem Wertebereich über verschiedene Übungen auseinandersetzen. Viel Spaß!
Aufgabe 4
Gegeben sei die Funktion \(h(x) = -3x^2 + 6x + 2\). Der Definitionsbereich der Funktion entspricht den ganzen reellen Zahlen \( \mathbb{D}_h = \mathbb{R} \).
Bestimme den Wertebereich.
Lösung
Schritt 1:
Das Vorzeichen ist dabei ein Minus, damit ist die Parabel nach unten geöffnet. Dementsprechend reichen die Werte bis \(- \infty\).
Schritt 2:
Auch hierbei kann die Ableitung verwendet werden oder die quadratische Ergänzung. Dieses Mal werden beide Fälle vorgestellt.
Ableitung:
Bestimme die erste Ableitung und setze diese gleich null.
\begin{align} f'(x) &= 0 \\ -6x + 6 &= 0 &&| - 6 \\ -6x &= -6 &&| : (-6) \\ x &= 1 \end{align}
Dieses Ergebnis setzt Du in die ursprüngliche Gleichung ein, um \(y_s\) zu bestimmen.
\[f(1) = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 2 = 5 \]
Quadratische Ergänzung:
Dazu werden verschiedene Schritte erledigt. Schaue bei Fragen gerne bei der Erklärung vorbei.
Zuerst wird das \(a\) aus der Parabelgleichung ausgeklammert und schrittweise die Normalenform in die Scheitelpunktform umgewandelt.
\begin{align} -3x^2 + 6x + 2 &= -3 \cdot \left[x^2 - 2x - \frac{2}{3} \right] \\ &= -3 \cdot \left[x^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + 1^2 - 1^2 - \frac{2}{3} \right] \\ &= -3 \cdot \left[(x - 1)^2 - \frac{5}{3}\right] \\ &= -3 \cdot (x - 1)^2 + 5 \end{align}
Damit hast Du auch bereits \(y_s\) bestimmt.
Schritt 3:
Die Wertemenge entspricht also:
\[ \mathbb{W}_h = ]- \infty; 5]\]
Abb. 7 – Wertebereich quadratische Funktion Aufgabe
Aufgabe 5
Bestimme die Wertemenge folgender zwei Funktionen. Angeben reicht dabei aus.
- \(f(x) = 1,5 \cdot \sin{(2x)} + 5\)
- \(g(x) = -2 \cdot e^{x-1} - 3\)
Lösung
- Dabei sind nur die Werte für \(a\) und \(d\) entscheidend. Diese Funktion ist um \(5\) in positive y-Richtung verschoben und reicht davon jeweils \(1,5\) Einheiten weg.\[ \mathbb{W}_f = [3,5; 6,5]\]
- Die e-Funktion reicht ins negativ Unendliche und ist um \(3 \text{ LE}\) nach unten verschoben.\[ \mathbb{W}_g = ]- \infty; -3[ \]
Wertebereich – Das Wichtigste
- Der Wertebereich \( \mathbb{W}\) zeigt Dir, welche möglichen y-Werte es für eine Funktion gibt.
- Bei linearen Funktionen kommen alle reellen Zahlen als Wertebereich infrage. Falls der Definitionsbereich \( \mathbb{D}\) eingeschränkt ist, entsprechen die Grenzen den Werten \(f(a)\) und \(f(b)\)
- Der Definitionsbereich grenzt die x-Werte ein, die eingesetzt werden können.
- Bei quadratischen Funktionen erkennst Du am Vorzeichen von x², besser gesagt dem Vorzeichen von \(a\) und der y-Koordinate des Scheitelpunkts, wie der Wertebereich aussieht.
- Die sin- oder cos-Funktion reicht grundsätzlich von \(-1\) bis \(1\). Bei einer Verschiebung um \(d\) benötigst Du diese Grenzen: \( [d - a; d + a]\).
- Die e-Funktion besitzt grundsätzlich den Definitionsbereich \( \mathbb{R}^+\). Bei einem negativen Vorzeichen ist es \( \mathbb{R}^-\). Ansonsten wird die Verschiebung um \(c\) noch berücksichtigt.
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