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Trigonometrische Funktionen Parameter

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Mathe

In der Mathematik brauchst du oftmals nicht nur die reinen Sinus- und Kosinusfunktionen, sondern auch die Darstellung mit den Parametern.

Bevor du hier richtig loslegen kannst, können dir die Artikel Sinusfunktion und Kosinusfunktion helfen, da diese Themen für diesen Artikel bekannt sein müssen.

Allgemeines zu den trigonometrischen Funktionen und Parametern

In der folgenden Tabelle findest du die reinen trigonometrischen und die erweiterten trigonometrischen Funktionen.

Sinus
Cosinus
Reine Funktion
Erweiterte Funktion

Die Parameter , , und sind reelle Zahlen. Allerdings dürfen und nicht null werden, da ansonsten keine trigonometrischen Funktionen mehr vorliegen würden.

Um aus den erweiterten Funktionen die reinen Funktionen zu erhalten, musst du für die Parameter folgende Werte einsetzen:

Der Parameter ist auch als Amplitude bekannt.

Auffällig ist, dass hier der Tangens fehlt. Dies hat der Tangens seiner Kuriosität zu verdanken. Eine Parameterbetrachtung beim Tangens würde an dieser Stelle zu weit führen.

Um nachvollziehen zu können, weshalb der Tangens schwierig zu betrachten ist, schau dir die Definition des Tangens' an:

Da der Kosinus im Nenner steht, ist der Tangens an jeder Nullstelle vom Kosinus nicht definiert, da sonst durch null geteilt wird. Dementsprechend hat der Tangens mehrere Definitionslücken.

Zur Veranschaulichung kannst du dir noch folgende Funktion anschauen:

Trigonometrische Funktionen Parameter Schaubild Tangens StudySmarterAbbildung 1: Schaubild der Tangensfunktion

Die Auswirkungen der Parameter auf trigonometrische Funktionen

Da die Parameter , , und umfassende Auswirkungen auf die reinen trigonometrischen Funktionen haben, ist es hilfreich, die Eigenschaften der Parameter zu kennen.

Hierzu kannst du dir unseren Artikel "Parameter" anschauen.

Falls du noch gar nichts mit den Parametern , , und zu tun hattest, helfen dir bestimmt die Beispiele zu trigonometrischen Funktionen im Parameter-Artikel.

Zur Erinnerung:

ParameterAuswirkung
aStreckung in mit dem Faktor Wenn : Der Graph wird zusätzlich an der gespiegelt.
bStreckung in mit dem Faktor Wenn : Der Graph wird zusätzlich an der gespiegelt.
cVerschiebung in um
dVerschiebung in um

Wenn du beschreiben sollst, wie aus einer reinen Funktion eine erweiterte Funktion entsteht, musst du auch die Reihenfolge der Auswirkungen betrachten. Das kannst du dir allerdings leicht merken, denn zuerst wird Parameter , dann , dann und als letztes ausgeführt.

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion mit .

Erläutere in Worten, wie die Funktion aus der Funktion entsteht.

Lösung

Zuerst musst du die Parameter identifizieren:

Nun kannst du angeben, in welcher Reihenfolge welche Transformation passiert:

  1. Streckung in um den Faktor – das bewirkt eine Verdopplung der Amplitude.
  2. Streckung in um den Faktor – das bewirkt eine Stauchung.
  3. Verschiebung in um Einheiten – das bewirkt eine Verschiebung nach rechts.
  4. Verschiebung in um Einheiten bzw. Einheit – das bewirkt eine Verschiebung nach unten.

Der Wertebereich der trigonometrischen Funktionen mit Parametern

Als Nächstes kannst du den Wertebereich für die trigonometrischen Funktionen mit Parameter untersuchen.

Zur Erinnerung:

  • Ein Wertebereich betrachtet die maximalen und die minimalen einer Funktion.
  • Der niedrigste ist dabei die untere, der größte die obere Grenze.
  • Damit lautet der Wertebereich wie folgt: .

Falls du noch einmal Details nachlesen willst, lies dir unseren Artikel zum Wertebereich durch.

Dazu betrachtest du die Sinusfunktion mit . Da es sich beim Wertebereich ausschließlich um die handelt, müssen lediglich die Parameter und berücksichtigt werden.

Schau dir zunächst den Parameter an – die Streckung in :

Trigonometrische Funktionen ParameterWertebereich Parameter a StudySmarterAbbildung 2: Wertebereich der Sinusfunktion mit dem Parameter a

Hier verändert sich der Wertebereich exakt um die Multiplikation mit dem Parameter . Es wirkt sich dann wie folgt auf den Wertebereich aus:

Als Nächstes kannst du dir die Auswirkung des Parameters anschauen:

Trigonometrische Funktionen ParameterWertebereich Parameter d StudySmarterAbbildung 3: Wertebereich der Sinusfunktion mit dem Parameter d

Hier verschiebt sich die Sinusfunktion um den Parameter . Auf den Wertebereich wirkt sich das wie folgt aus:

Betrachtest du nun die gesamte Veränderung des Wertebereichs, wird zuerst die Streckung um und dann die Verschiebung um angewandt. Der Wertebereich sieht dann so aus:

Die Kosinusfunktion entsteht lediglich durch eine Verschiebung der Sinusfunktion. Dementsprechend wirken sich dort die Parameter genauso wie bei der Sinusfunktion auf den Wertebereich aus:

SinusfunktionKosinusfunktion
Wertebereich

Den Wertebereich der Trigonometrischen Funktionen mit Parametern kennst du nun. Folgendes Beispiel veranschaulicht dies:

Aufgabe 2

Gib den Wertebereich für die Funktion mit an.

Lösung

Zuerst musst du die Parameter und identifizieren:

und

Als Nächstes kannst du alles einsetzen:

Also hat die Funktion mit den Wertebereich .

Die Periode der trigonometrischen Funktionen mit Parametern

Da es sich bei den trigonometrischen Funktionen um periodische Funktionen handelt, kannst du auch die Periode bestimmen. Eine periodische Funktion hat die Eigenschaft, dass sich nach der Periode dasselbe wiederholt.

Mehr dazu kannst du auch im Artikel Periodizität nachlesen.

Dazu schaust du dir die Sinusfunktion mit an. Da es sich bei der Periode ausschließlich um die handelt, musst du lediglich die Parameter und berücksichtigen.

Allerdings wirkt sich der Parameter nicht auf die Periode aus, da es sich dabei lediglich um eine Verschiebung der Funktion in handelt und sich dadurch die Periode nicht verändert:

Trigonometrische Funktionen ParameterPeriode Parameter c StudySmarterAbbildung 4: Periode der Sinusfunktion mit dem Parameter c

Du kannst in der Abbildung sehen, dass sich die Periode trotz Verschiebung in nicht verändert.

Das bedeutet, dass sich auf die Periode lediglich der Parameter auswirkt. Der Parameter ist die Streckung in um den Faktor . Also wirkt sich der Parameter wie folgt auf die Periode aus:

Bei einer gegebenen Periode ober bei einem Schaubild, bei dem du die Periode ablesen kannst, kannst du mithilfe dieser Formel auch den Parameter berechnen.

Die Auswirkung des Parameters kannst du dir im folgenden Schaubild noch einmal verdeutlichen:

Trigonometrische Funktionen Parameter Periode Parameter b StudySmarterAbbildung 5: Periode der Sinusfunktion mit dem Parameter b

Die Kosinusfunktion entsteht lediglich durch eine Verschiebung der Sinusfunktion. Dementsprechend wirken sich dort die Parameter genauso wie bei der Sinusfunktion auf die Periode aus:

SinusfunktionKosinusfunktion
Periode

Die Periode der Tangensfunktion beträgt .

Zur Übung kannst du dir noch folgende Aufgabe anschauen:

Aufgabe 3

Berechne die Periode für die Funktion mit .

Lösung

Zuerst musst du den Parameter identifizieren:

Als Nächstes kannst du den Parameter einsetzen:

Also hat die Funktion mit eine Periode von .

Nullstellen der trigonometrischen Funktionen mit Parametern

Da es sich um periodische Funktionen handelt, wiederholen sich die Nullstellen in regelmäßigen Abständen.

Innerhalb einer Periode gibt es genau zwei Nullstellen. Das bedeutet aber nicht, dass sich die Nullstellen nach jeweils einer halben Periode wiederholen.

Um noch einmal nachzulesen, wie Nullstellen bestimmt werden, schau dir unseren Artikel Nullstellen berechnen an.

Um die Nullstellen zu berechnen, musst du die Funktion gleich null setzen.

Für den Fall wiederholen sich die Nullstellen tatsächlich nach einer halben Periode . Sollte allerdings sein, ist dies nicht der Fall. Dies kannst du dir in Abbildung verdeutlichen:

Trigonometrische Funktionen Parameter Nullstellen StudySmarterAbbildung 6: Nullstellen einer Sinusfunktion mit d=1

Es kann sogar sein, dass die Funktion keine Nullstellen besitzt, wie zum Beispiel in Abbildung . Bevor du also die Nullstellen einer trigonometrischen Funktion berechnest, solltest du zuerst schauen, ob die Funktion überhaupt Nullstellen hat. Da du bereits gelernt hast, wie du den Wertebereich berechnest, ist es am einfachsten, du überprüfst diesen. Wenn die Zahl Null innerhalb des Wertebereichs liegt, besitzt die Funktion Nullstellen.

Trigonometrische Funktionen Parameter keine Nullstellen StudySmarterAbbildung 7: Sinusfunktion ohne Nullstellen

Die Funktion in der Abbildung hat einen Wertebereich . Demzufolge liegt die Null nicht im Wertebereich und die Funktion besitzt auch keine Nullstellen.

Wichtig ist noch einmal zu erwähnen, dass Folgendes für die Parameter und gilt:

und

Trigonometrische Funktionen: Nullstellen der erweiterten Sinusfunktion

Wir betrachten hier die Nullstellen einer Sinusfunktion mit dem Parameter .

Wenn gilt, dann hast du Glück. Denn dann entsprechen die Nullstellen auch den Wendestellen.

Um die Nullstellen herauszufinden, musst du die Funktion mit gleich null setzen:

Da der Sinus genau dann null ist, wenn gilt, musst du folgende Gleichung nach umformen:

Also befinden sich innerhalb einer Periode bei und eine Nullstelle.

Da sich die Nullstellen bei nicht nach einer halben Periode wiederholen, musst du für beide Nullstellen innerhalb einer Periode die Gleichung auflösen.

Dazu musst du die Symmetrieeigenschaft des Sinus' betrachten:

Wenn du nun die Funktion mit gleich null setzt und die Symmetrieeigenschaften berücksichtigst, würden sich folgende zwei Nullstellen ergeben:

Hierbei ist NICHT , sondern es ist die Umkehrfunktion der Sinusfunktion, wie sie auf dem Taschenrechner zu finden ist.

Diese Umkehrfunktion wird auch als Arcussinus beschrieben.

Trigonometrische Funktionen: Nullstellen der erweiterten Kosinusfunktion

Um die Nullstellen der Funktion mit zu berechnen, musst du genauso wie bei der erweiterten Sinusfunktion vorgehen.

Dadurch erhältst du folgenden :

Die zweite Nullstelle innerhalb einer Periode sieht dann wie folgt aus:

Da sich die Nullstellen bei nicht nach einer halben Periode wiederholen, musst du für beide Nullstellen innerhalb einer Periode die Gleichung auflösen.

Dazu musst du die Symmetrieeigenschaft des Kosinus' betrachten:

Wenn du nun die Funktion mit gleich null setzt und die Symmetrieeigenschaften berücksichtigst, würden sich folgende zwei Nullstellen ergeben:

Hierbei ist NICHT , sondern es ist die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion, wie sie auf dem Taschenrechner zu finden ist.

Diese Umkehrfunktion wird auch als Arcuscosinus beschrieben.

Zum Abschluss zu den Nullstellen findest du in der folgenden Tabelle eine Zusammenfassung:

SinusfunktionKosinusfunktion
Nullstellen der erweiterten Funktion, wenn

Nullstellen der erweiterten Funktion, wenn
  1. Wertebereich betrachten
  2. und Symmetrieeigenschaften anwenden
  1. Wertebereich betrachten
  2. und Symmetrieeigenschaften anwenden

Alle weiteren Nullstellen bei kannst du bestimmen, indem du die halbe Periode dazu addierst – immer und immer wieder.

Wenn ,musst du zwei Nullstellen bestimmen und dann jeweils die Periode dazu addieren.

Das folgende Beispiel veranschaulicht dies nochmal:

Aufgabe 4

Bestimme zwei aufeinanderfolgende Nullstellen der Funktion mit .

Lösung

Zuerst solltest du wieder die Parameter identifizieren:

Der Parameter ist gleich null. Also gibt es bei eine Nullstelle:

Eine weitere Nullstelle gibt es also eine halbe Periode später:

Trigonometrische Funktionen Parameter - Das Wichtigste

Trigonometrische Funktionen Parameter

Die Amplitude a verändert sich, wenn sich der Parameter a verändert. Also eine Multiplikation mit der Sinusfunktion - eine Streckung in y-Richtung.

b=2π/p

Finales Trigonometrische Funktionen Parameter Quiz

Frage

Welcher Parameter ist die Amplitude?

Antwort anzeigen

Antwort

a

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussage ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Alle Parameter sind reelle Zahlen.

Frage anzeigen

Frage

Welche Auswirkung hat der Parameter c auf die erweiterten trigonometrischen Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Verschiebung in x-Richtung um c-Einheiten

Frage anzeigen

Frage

Welche Auswirkung hat der Parameter d auf die erweiterten trigonometrischen Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Verschiebung in y-Richtung um d-Einheiten.

Frage anzeigen

Frage

Welche Besonderheit haben trigonometrische Funktionen, wenn der Parameter d gleich 0 ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Dann entsprechen die Nullstellen den Wendestellen.

Frage anzeigen

Frage

Wieso wird keine erweiterte Tangensfunktion betrachtet?

Antwort anzeigen

Antwort

Weil die Tangensfunktion Definitionslücken besitzt, ist eine Betrachtung mit Parametern in diesem Kontext zu aufwändig.

Frage anzeigen
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