Trigonometrische Funktionen Parameter

In der Mathematik brauchst du oftmals nicht nur die reinen Sinus- und Kosinusfunktionen, sondern auch die Darstellung mit den Parametern. 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Bevor du hier richtig loslegen kannst, können dir die Artikel Sinusfunktion und Kosinusfunktion helfen, da diese Themen für diesen Artikel bekannt sein müssen.

    Trigonometrische Funktionen Parameter – Übersicht

    In der folgenden Tabelle findest du die reinen trigonometrischen und die erweiterten trigonometrischen Funktionen.

    SinusCosinus
    Reine Funktionf(x)=sin(x)f(x)=cos(x)
    Erweiterte Funktionf(x)=a·sin(b·(x-c))+df(x)=a·cos(b·(x-c))+d

    Die Parameter a, b, c und d sind reelle Zahlen. Allerdings dürfen a und b nicht null werden, da ansonsten keine trigonometrischen Funktionen mehr vorliegen würden.

    Um aus den erweiterten Funktionen die reinen Funktionen zu erhalten, musst du für die Parameter folgende Werte einsetzen:

    a=1b=1c=0d=0

    Der Parameter a ist auch als Amplitude bekannt.

    Auffällig ist, dass hier der Tangens fehlt. Dies hat der Tangens seiner Kuriosität zu verdanken. Eine Parameterbetrachtung beim Tangens würde an dieser Stelle zu weit führen.

    Um nachvollziehen zu können, weshalb der Tangens schwierig zu betrachten ist, schau dir die Definition des Tangens' an:

    f(x)=tan(x)=sin(x)cos(x)

    Da der Kosinus im Nenner steht, ist der Tangens an jeder Nullstelle vom Kosinus nicht definiert, da sonst durch null geteilt wird. Dementsprechend hat der Tangens mehrere Definitionslücken.

    Zur Veranschaulichung kannst du dir noch folgende Funktion anschauen:

    Trigonometrische Funktionen Parameter Schaubild Tangens StudySmarterAbbildung 1: Schaubild der Tangensfunktion

    Trigonometrische Funktionen – Einfluss der Parameter

    Da die Parameter a, b, c und d umfassenden Einfluss und Auswirkungen auf die reinen trigonometrischen Funktionen haben, ist es hilfreich, die Eigenschaften der Parameter zu kennen.

    Hierzu kannst du dir unseren Artikel "Parameter" anschauen.

    Falls du noch gar nichts mit den Parametern a, b, c und d zu tun hattest, helfen dir bestimmt die Beispiele zu trigonometrischen Funktionen im Parameter-Artikel.

    Zur Erinnerung:

    ParameterAuswirkung
    aStreckung in y-Richtung mit dem Faktor aWenn a<0: Der Graph wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
    bStreckung in x-Richtung mit dem Faktor 1bWenn b<0: Der Graph wird zusätzlich an der y-Achse gespiegelt.
    cVerschiebung in x-Richtung um c-Einheiten
    dVerschiebung in y-Richtung um d-Einheiten

    Wenn du beschreiben sollst, wie aus einer reinen Funktion eine erweiterte Funktion entsteht, musst du auch die Reihenfolge der Auswirkungen betrachten. Das kannst du dir allerdings leicht merken, denn zuerst wird Parameter a, dann b, dann c und als letztes d ausgeführt.

    Aufgabe 1

    Gegeben ist die Funktion f(x) mit f(x)=2·sin(4·(x-3))-1.

    Erläutere in Worten, wie die Funktion f(x) aus der Funktion g(x)=sin(x) entsteht.

    Lösung

    Zuerst musst du die Parameter identifizieren:

    a=2b=4c=3d=-1

    Nun kannst du angeben, in welcher Reihenfolge welche Transformation passiert:

    1. Streckung in y-Richtung um den Faktor 2 – das bewirkt eine Verdopplung der Amplitude.
    2. Streckung in x-Richtung um den Faktor 14 – das bewirkt eine Stauchung.
    3. Verschiebung in x-Richtung um 3 Einheiten – das bewirkt eine Verschiebung nach rechts.
    4. Verschiebung in y-Richtung um -1 Einheiten bzw. 1 Einheit – das bewirkt eine Verschiebung nach unten.

    Trigonometrische Funktionen Parameter – Wertebereich

    Als Nächstes kannst du den Wertebereich für die trigonometrischen Funktionen mit Parameter untersuchen.

    Zur Erinnerung:

    • Ein WertebereichWf betrachtet die maximalen und die minimalen y-Werte einer Funktionf(x).
    • Der niedrigste y-Wert ist dabei die untere, der größte y-Wert die obere Grenze.
    • Damit lautet der WertebereichWf wie folgt: Wf=[ymin,ymax].

    Falls du noch einmal Details nachlesen willst, lies dir unseren Artikel zum Wertebereich durch.

    Dazu betrachtest du die Sinusfunktion mit f(x)=a·sin(b·(x-c))+d. Da es sich beim Wertebereich ausschließlich um die y-Koordinate handelt, müssen lediglich die Parameter a und d berücksichtigt werden.

    Schau dir zunächst den Parameter a an – die Streckung in y-Richtung:

    Trigonometrische Funktionen ParameterWertebereich Parameter a StudySmarterAbbildung 2: Wertebereich der Sinusfunktion mit dem Parameter a

    Hier verändert sich der Wertebereich exakt um die Multiplikation mit dem Parameter a. Es wirkt sich dann wie folgt auf den Wertebereich aus:

    Wf=[-1·a,1·a]=[-a,a]

    Als Nächstes kannst du dir die Auswirkung des Parameters d anschauen:

    Trigonometrische Funktionen Parameter Wertebereich Parameter d StudySmarterAbbildung 3: Wertebereich der Sinusfunktion mit dem Parameter d

    Hier verschiebt sich die Sinusfunktion um den Parameter d. Auf den Wertebereich wirkt sich das wie folgt aus:

    Wf=[-1+d,1+d]

    Betrachtest du nun die gesamte Veränderung des Wertebereichs, wird zuerst die Streckung um a und dann die Verschiebung um d angewandt. Der Wertebereich sieht dann so aus:

    Wf=[-a+d,a+d]

    Die Kosinusfunktion entsteht lediglich durch eine Verschiebung der Sinusfunktion. Dementsprechend wirken sich dort die Parameter genauso wie bei der Sinusfunktion auf den Wertebereich aus:

    SinusfunktionKosinusfunktion
    WertebereichWf=[-a+d,a+d]

    Den Wertebereich der Trigonometrischen Funktionen mit Parametern kennst du nun. Folgendes Beispiel veranschaulicht dies:

    Aufgabe 2

    Gib den Wertebereich für die Funktion f(x) mit f(x)=3·sin(-4·(x-2))+2an.

    Lösung

    Zuerst musst du die Parameter a und d identifizieren:

    a=3 und d=2

    Als Nächstes kannst du alles einsetzen:

    Wf=[-3+2,3+2]=[-1,5]

    Also hat die Funktion f(x) mit f(x)=3·sin(-4·(x-2))+2 den Wertebereich Wf=[-1,5].

    Die Periode der trigonometrischen Funktionen mit Parametern

    Da es sich bei den trigonometrischen Funktionen um periodische Funktionen handelt, kannst du auch die Periode pbestimmen. Eine periodische Funktion hat die Eigenschaft, dass sich nach der Periode p dasselbe wiederholt.

    Mehr dazu kannst du auch im Artikel Periodizität nachlesen.

    Dazu schaust du dir die Sinusfunktion mit f(x)=a·sin(b·(x-c))+d an. Da es sich bei der Periode pausschließlich um die x-Koordinatehandelt, musst du lediglich die Parameter b und c berücksichtigen.

    Allerdings wirkt sich der Parameter c nicht auf die Periode p aus, da es sich dabei lediglich um eine Verschiebung der Funktion in x-Richtunghandelt und sich dadurch die Periode p nicht verändert:

    Trigonometrische Funktionen ParameterPeriode Parameter c StudySmarterAbbildung 4: Periode der Sinusfunktion mit dem Parameter c

    Du kannst in der Abbildung sehen, dass sich die Periode p trotz Verschiebung in x-Richtung nicht verändert.

    Das bedeutet, dass sich auf die Periode p lediglich der Parameter b auswirkt. Der Parameter b ist die Streckung in x-Richtung um den Faktor 1b. Also wirkt sich der Parameter wie folgt auf die Periode aus:

    p=2πb

    Bei einer gegebenen Periode ober bei einem Schaubild, bei dem du die Periode ablesen kannst, kannst du mithilfe dieser Formel auch den Parameter b berechnen.

    Die Auswirkung des Parameters b kannst du dir im folgenden Schaubild noch einmal verdeutlichen:

    Trigonometrische Funktionen Parameter Periode Parameter b StudySmarterAbbildung 5: Periode der Sinusfunktion mit dem Parameter b

    Die Kosinusfunktion entsteht lediglich durch eine Verschiebung der Sinusfunktion. Dementsprechend wirken sich dort die Parameter genauso wie bei der Sinusfunktion auf die Periode p aus:

    SinusfunktionKosinusfunktion
    Periodep=2πb

    Die Periode p der Tangensfunktion beträgt p=π.

    Zur Übung kannst du dir noch folgende Aufgabe anschauen:

    Aufgabe 3

    Berechne die Periode für die Funktion f(x) mit f(x)=1·cos(-2·(x+3))-9.

    Lösung

    Zuerst musst du den Parameter b identifizieren:

    b=-2

    Als Nächstes kannst du den Parameter b einsetzen:

    p=2π-2=2π2=π

    Also hat die Funktion f(x) mit f(x)=1·cos(-2·(x+3))-9 eine Periode von p=π.

    Nullstellen der trigonometrischen Funktionen mit Parametern

    Da es sich um periodische Funktionen handelt, wiederholen sich die Nullstellen in regelmäßigen Abständen.

    Innerhalb einer Periode p gibt es genau zwei Nullstellen. Das bedeutet aber nicht, dass sich die Nullstellen nach jeweils einer halben Periode p2 wiederholen.

    Um noch einmal nachzulesen, wie Nullstellen bestimmt werden, schau dir unseren Artikel Nullstellen berechnen an.

    Um die Nullstellen zu berechnen, musst du die Funktionf(x) gleich null setzen.

    Für den Fall d=0 wiederholen sich die Nullstellen tatsächlich nach einer halben Periode p2. Sollte allerdings d0 sein, ist dies nicht der Fall. Dies kannst du dir in Abbildung 6 verdeutlichen:

    Trigonometrische Funktionen Parameter Nullstellen StudySmarterAbbildung 6: Nullstellen einer Sinusfunktion mit d=1

    Es kann sogar sein, dass die Funktion f(x) keine Nullstellen besitzt, wie zum Beispiel in Abbildung 7. Bevor du also die Nullstellen einer trigonometrischen Funktion berechnest, solltest du zuerst schauen, ob die Funktion überhaupt Nullstellen hat. Da du bereits gelernt hast, wie du den Wertebereich Wf berechnest, ist es am einfachsten, du überprüfst diesen. Wenn die Zahl Null innerhalb des Wertebereichs Wf liegt, besitzt die Funktion Nullstellen.

    Trigonometrische Funktionen Parameter keine Nullstellen StudySmarterAbbildung 7: Sinusfunktion ohne Nullstellen

    Die Funktion f(x)in der Abbildung 7 hat einen Wertebereich Wf=[1,5]. Demzufolge liegt die Null nicht im Wertebereich Wf und die Funktion f(x) besitzt auch keine Nullstellen.

    Wichtig ist noch einmal zu erwähnen, dass Folgendes für die Parameter a und b gilt:

    a0 und b0

    Trigonometrische Funktionen: Nullstellen der erweiterten Sinusfunktion

    Wir betrachten hier die Nullstellen einer Sinusfunktion mit dem Parameter d=0.

    Wenn d=0 gilt, dann hast du Glück. Denn dann entsprechen die Nullstellen auch den Wendestellen.

    Um die Nullstellen herauszufinden, musst du die Funktion f(x) mit f(x)=a·sin(b·(x-c)) gleich null setzen:

    a·sin(b·(x-c))=0sin(b·(x-c))=0

    Da der Sinus genau dann null ist, wenn b·(x-c)=0 gilt, musst du folgende Gleichung nach x umformen:

    b·(x-c)=0x-c=0bx=c

    Also befinden sich innerhalb einer Periode p bei x0=c und x1=c+p2=c+πb eine Nullstelle.

    Da sich die Nullstellen bei d0 nicht nach einer halben Periode wiederholen, musst du für beide Nullstellen innerhalb einer Periode die Gleichung auflösen.

    Dazu musst du die Symmetrieeigenschaft des Sinus' betrachten:

    sin(x)=y sin(π-x)=y

    Wenn du nun die Funktion f(x) mit f(x)=a·sin(b·(x-c))+d gleich null setzt und die Symmetrieeigenschaften berücksichtigst, würden sich folgende zwei Nullstellen ergeben:

    x0=sin-1(-da)b+cx1=π-sin-1(-da)b+c

    Hierbei ist sin-1 NICHT 1sin(x), sondern es ist die Umkehrfunktion der Sinusfunktion, wie sie auf dem Taschenrechner zu finden ist.

    Diese Umkehrfunktion wird auch als Arcussinus beschrieben.

    Trigonometrische Funktionen: Nullstellen der erweiterten Kosinusfunktion

    Um die Nullstellen der Funktion f(x) mit f(x)=a·cos(b·(x-c)) zu berechnen, musst du genauso wie bei der erweiterten Sinusfunktion vorgehen.

    Dadurch erhältst du folgenden x0-Wert:

    x0=π2b+c

    Die zweite Nullstelle x1 innerhalb einer Periode p sieht dann wie folgt aus:

    x1=π2b+c+p2=π2b+c+πb=π2b+πb+c

    Da sich die Nullstellen bei d0 nicht nach einer halben Periode wiederholen, musst du für beide Nullstellen innerhalb einer Periode die Gleichung auflösen.

    Dazu musst du die Symmetrieeigenschaft des Kosinus' betrachten:

    cos(x)=y cos(-x)=y

    Wenn du nun die Funktion f(x) mit f(x)=a·cos(b·(x-c))+d gleich null setzt und die Symmetrieeigenschaften berücksichtigst, würden sich folgende zwei Nullstellen ergeben:

    x0=cos-1(-da)b+cx1=-cos-1(-da)b+c

    Hierbei ist cos-1 NICHT 1cos(x), sondern es ist die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion, wie sie auf dem Taschenrechner zu finden ist.

    Diese Umkehrfunktion wird auch als Arcuscosinus beschrieben.

    Zum Abschluss zu den Nullstellen findest du in der folgenden Tabelle eine Zusammenfassung:

    SinusfunktionKosinusfunktion
    Nullstellen der erweiterten Funktion, wenn d=0

    x0=c

    x0=π2b+c

    Nullstellen der erweiterten Funktion, wenn d0
    1. Wertebereich betrachten
    2. sin-1 und Symmetrieeigenschaften anwenden
    1. Wertebereich betrachten
    2. cos-1 und Symmetrieeigenschaften anwenden

    Alle weiteren Nullstellen bei d=0 kannst du bestimmen, indem du die halbe Periode p2=πb dazu addierst – immer und immer wieder.

    Wenn d0,musst du zwei Nullstellen bestimmen und dann jeweils die Periode p=2πb dazu addieren.

    Das folgende Beispiel veranschaulicht dies nochmal:

    Aufgabe 4

    Bestimme zwei aufeinanderfolgende Nullstellen der Funktion f(x) mit f(x)=3·cos(2·(x+4)).

    Lösung

    Zuerst solltest du wieder die Parameter identifizieren:

    a=3b=2c=-4d=0

    Der Parameter d ist gleich null. Also gibt es bei x0 eine Nullstelle:

    x0=π2·2+(-4)=π4-4-3,21

    Eine weitere Nullstelle gibt es also eine halbe Periode p2 später:

    x1=x0+p2=π4-4+π2=3π4-4-1,64

    Trigonometrische Funktionen Parameter – Das Wichtigste

    • Die Funktionsgleichung der Sinusfunktion: f(x)=a·sin(b·(x-c))+d.
    • Die Funktionsgleichung der Kosinusfunktion: f(x)=a·cos(b·(x-c))+d.
    • Die Auswirkung der Parameter:
      ParameterAuswirkung
      aStreckung in y-Richtung mit dem Faktor aWenn a<0: Der Graph wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
      bStreckung in x-Richtung mit dem Faktor 1bWenn b<0: Der Graph wird zusätzlich an der y-Achse gespiegelt.
      cVerschiebung in x-Richtungum c-Einheiten
      dVerschiebung in y-Richtung um d-Einheiten
    • Die Sinus- und die Kosinusfunktion haben folgenden Wertebereich, folgende Periode und Nullstellen:
      SinusfunktionKosinusfunktion
      WertebereichWf=[-a+d,a+d]
      Periodep=2πb
      NullstellenZuerst überprüfen, ob die Funktion Nullstellen besitzt.
      Für d=0x0=cx0=π2b+c
      Für d0
      1. Wertebereich betrachten
      2. sin-1 und Symmetrieeigenschaften anwenden
      1. Wertebereich betrachten
      2. cos-1 und Symmetrieeigenschaften anwenden
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrische Funktionen Parameter

    Was verändert die Amplitude?

    Die Amplitude a verändert sich, wenn sich der Parameter a verändert. Also eine Multiplikation mit der Sinusfunktion - eine Streckung in y-Richtung.

    Wie berechnet man den Parameter B?

    b=2π/p

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