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In der Mathematik brauchst du oftmals nicht nur die reinen Sinus- und Kosinusfunktionen, sondern auch die Darstellung mit den Parametern.
Bevor du hier richtig loslegen kannst, können dir die Artikel Sinusfunktion und Kosinusfunktion helfen, da diese Themen für diesen Artikel bekannt sein müssen.
In der folgenden Tabelle findest du die reinen trigonometrischen und die erweiterten trigonometrischen Funktionen.
Sinus | Cosinus | |
| Reine Funktion |  |  |
| Erweiterte Funktion |  |  |
Die Parameter 
, 
, 
und 
sind reelle Zahlen. Allerdings dürfen 
und 
nicht null werden, da ansonsten keine trigonometrischen Funktionen mehr vorliegen würden.
Um aus den erweiterten Funktionen die reinen Funktionen zu erhalten, musst du für die Parameter folgende Werte einsetzen:
Der Parameter 
ist auch als Amplitude bekannt.
Auffällig ist, dass hier der Tangens fehlt. Dies hat der Tangens seiner Kuriosität zu verdanken. Eine Parameterbetrachtung beim Tangens würde an dieser Stelle zu weit führen.
Um nachvollziehen zu können, weshalb der Tangens schwierig zu betrachten ist, schau dir die Definition des Tangens' an:
Da der Kosinus im Nenner steht, ist der Tangens an jeder Nullstelle vom Kosinus nicht definiert, da sonst durch null geteilt wird. Dementsprechend hat der Tangens mehrere Definitionslücken.
Zur Veranschaulichung kannst du dir noch folgende Funktion anschauen:
Abbildung 1: Schaubild der Tangensfunktion
Da die Parameter 
, 
, 
und 
umfassende Auswirkungen auf die reinen trigonometrischen Funktionen haben, ist es hilfreich, die Eigenschaften der Parameter zu kennen.
Hierzu kannst du dir unseren Artikel "Parameter" anschauen.
Falls du noch gar nichts mit den Parametern 
, 
, 
und 
zu tun hattest, helfen dir bestimmt die Beispiele zu trigonometrischen Funktionen im Parameter-Artikel.
Zur Erinnerung:
| Parameter | Auswirkung |
| a | Streckung in  mit dem Faktor  Wenn  : Der Graph wird zusätzlich an der  gespiegelt. |
| b | Streckung in  mit dem Faktor  Wenn  : Der Graph wird zusätzlich an der  gespiegelt. |
| c | Verschiebung in  um  |
| d | Verschiebung in  um  |
Wenn du beschreiben sollst, wie aus einer reinen Funktion eine erweiterte Funktion entsteht, musst du auch die Reihenfolge der Auswirkungen betrachten. Das kannst du dir allerdings leicht merken, denn zuerst wird Parameter 
, dann 
, dann 
und als letztes 
ausgeführt.
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion 
mit 
.
Erläutere in Worten, wie die Funktion 
aus der Funktion 
entsteht.
Lösung
Zuerst musst du die Parameter identifizieren:
Nun kannst du angeben, in welcher Reihenfolge welche Transformation passiert:
um den Faktor 
– das bewirkt eine Verdopplung der Amplitude.
um den Faktor 
– das bewirkt eine Stauchung.
um 
Einheiten – das bewirkt eine Verschiebung nach rechts.
um 
Einheiten bzw. 
Einheit – das bewirkt eine Verschiebung nach unten.Als Nächstes kannst du den Wertebereich für die trigonometrischen Funktionen mit Parameter untersuchen.
Zur Erinnerung:
betrachtet die maximalen und die minimalen 
einer Funktion
.
ist dabei die untere, der größte 
die obere Grenze.
wie folgt: 
.Falls du noch einmal Details nachlesen willst, lies dir unseren Artikel zum Wertebereich durch.
Dazu betrachtest du die Sinusfunktion mit 
. Da es sich beim Wertebereich ausschließlich um die 
handelt, müssen lediglich die Parameter 
und 
berücksichtigt werden.
Schau dir zunächst den Parameter 
an – die Streckung in 
:
Abbildung 2: Wertebereich der Sinusfunktion mit dem Parameter a
Hier verändert sich der Wertebereich exakt um die Multiplikation mit dem Parameter 
. Es wirkt sich dann wie folgt auf den Wertebereich aus:
Als Nächstes kannst du dir die Auswirkung des Parameters 
anschauen:
Abbildung 3: Wertebereich der Sinusfunktion mit dem Parameter d
Hier verschiebt sich die Sinusfunktion um den Parameter 
. Auf den Wertebereich wirkt sich das wie folgt aus:
Betrachtest du nun die gesamte Veränderung des Wertebereichs, wird zuerst die Streckung um 
und dann die Verschiebung um 
angewandt. Der Wertebereich sieht dann so aus:
Die Kosinusfunktion entsteht lediglich durch eine Verschiebung der Sinusfunktion. Dementsprechend wirken sich dort die Parameter genauso wie bei der Sinusfunktion auf den Wertebereich aus:
| Sinusfunktion | Kosinusfunktion | |
| Wertebereich |  | |
Den Wertebereich der Trigonometrischen Funktionen mit Parametern kennst du nun. Folgendes Beispiel veranschaulicht dies:
Aufgabe 2
Gib den Wertebereich für die Funktion 
mit 
an.
Lösung
Zuerst musst du die Parameter 
und 
identifizieren:
und 
Als Nächstes kannst du alles einsetzen:
Also hat die Funktion 
mit 
den Wertebereich 
.
Da es sich bei den trigonometrischen Funktionen um periodische Funktionen handelt, kannst du auch die Periode 
bestimmen. Eine periodische Funktion hat die Eigenschaft, dass sich nach der Periode 
dasselbe wiederholt.
Mehr dazu kannst du auch im Artikel Periodizität nachlesen.
Dazu schaust du dir die Sinusfunktion mit 
an. Da es sich bei der Periode 
ausschließlich um die 
handelt, musst du lediglich die Parameter 
und 
berücksichtigen.
Allerdings wirkt sich der Parameter 
nicht auf die Periode 
aus, da es sich dabei lediglich um eine Verschiebung der Funktion in 
handelt und sich dadurch die Periode 
nicht verändert:
Abbildung 4: Periode der Sinusfunktion mit dem Parameter c
Du kannst in der Abbildung sehen, dass sich die Periode 
trotz Verschiebung in 
nicht verändert.
Das bedeutet, dass sich auf die Periode 
lediglich der Parameter 
auswirkt. Der Parameter 
ist die Streckung in 
um den Faktor 
. Also wirkt sich der Parameter wie folgt auf die Periode aus:
Bei einer gegebenen Periode ober bei einem Schaubild, bei dem du die Periode ablesen kannst, kannst du mithilfe dieser Formel auch den Parameter 
berechnen.
Die Auswirkung des Parameters 
kannst du dir im folgenden Schaubild noch einmal verdeutlichen:
Abbildung 5: Periode der Sinusfunktion mit dem Parameter b
Die Kosinusfunktion entsteht lediglich durch eine Verschiebung der Sinusfunktion. Dementsprechend wirken sich dort die Parameter genauso wie bei der Sinusfunktion auf die Periode 
aus:
| Sinusfunktion | Kosinusfunktion | |
| Periode |  | |
Die Periode 
der Tangensfunktion beträgt 
.
Zur Übung kannst du dir noch folgende Aufgabe anschauen:
Da es sich um periodische Funktionen handelt, wiederholen sich die Nullstellen in regelmäßigen Abständen.
Innerhalb einer Periode 
gibt es genau zwei Nullstellen. Das bedeutet aber nicht, dass sich die Nullstellen nach jeweils einer halben Periode 
wiederholen.
Um noch einmal nachzulesen, wie Nullstellen bestimmt werden, schau dir unseren Artikel Nullstellen berechnen an.
Um die Nullstellen zu berechnen, musst du die Funktion
gleich null setzen.
Für den Fall 
wiederholen sich die Nullstellen tatsächlich nach einer halben Periode 
. Sollte allerdings 
sein, ist dies nicht der Fall. Dies kannst du dir in Abbildung 
verdeutlichen:
Abbildung 6: Nullstellen einer Sinusfunktion mit d=1
Es kann sogar sein, dass die Funktion 
keine Nullstellen besitzt, wie zum Beispiel in Abbildung 
. Bevor du also die Nullstellen einer trigonometrischen Funktion berechnest, solltest du zuerst schauen, ob die Funktion überhaupt Nullstellen hat. Da du bereits gelernt hast, wie du den Wertebereich 
berechnest, ist es am einfachsten, du überprüfst diesen. Wenn die Zahl Null innerhalb des Wertebereichs 
liegt, besitzt die Funktion Nullstellen.
Abbildung 7: Sinusfunktion ohne Nullstellen
Die Funktion 
in der Abbildung 
hat einen Wertebereich 
. Demzufolge liegt die Null nicht im Wertebereich 
und die Funktion 
besitzt auch keine Nullstellen.
Wichtig ist noch einmal zu erwähnen, dass Folgendes für die Parameter 
und 
gilt:
und 
Wir betrachten hier die Nullstellen einer Sinusfunktion mit dem Parameter 
.
Wenn 
gilt, dann hast du Glück. Denn dann entsprechen die Nullstellen auch den Wendestellen.
Um die Nullstellen herauszufinden, musst du die Funktion 
mit 
gleich null setzen:
Da der Sinus genau dann null ist, wenn 
gilt, musst du folgende Gleichung nach 
umformen:
Also befinden sich innerhalb einer Periode 
bei 
und 
eine Nullstelle.
Da sich die Nullstellen bei 
nicht nach einer halben Periode wiederholen, musst du für beide Nullstellen innerhalb einer Periode die Gleichung auflösen.
Dazu musst du die Symmetrieeigenschaft des Sinus' betrachten:
Wenn du nun die Funktion 
mit 
gleich null setzt und die Symmetrieeigenschaften berücksichtigst, würden sich folgende zwei Nullstellen ergeben:
Hierbei ist 
NICHT 
, sondern es ist die Umkehrfunktion der Sinusfunktion, wie sie auf dem Taschenrechner zu finden ist.
Diese Umkehrfunktion wird auch als Arcussinus beschrieben.
Um die Nullstellen der Funktion 
mit 
zu berechnen, musst du genauso wie bei der erweiterten Sinusfunktion vorgehen.
Dadurch erhältst du folgenden 
:
Die zweite Nullstelle 
innerhalb einer Periode 
sieht dann wie folgt aus:
Da sich die Nullstellen bei nicht nach einer halben Periode wiederholen, musst du für beide Nullstellen innerhalb einer Periode die Gleichung auflösen.
Dazu musst du die Symmetrieeigenschaft des Kosinus' betrachten:
Wenn du nun die Funktion mit 
gleich null setzt und die Symmetrieeigenschaften berücksichtigst, würden sich folgende zwei Nullstellen ergeben:
Hierbei ist 
NICHT 
, sondern es ist die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion, wie sie auf dem Taschenrechner zu finden ist.
Diese Umkehrfunktion wird auch als Arcuscosinus beschrieben.
Zum Abschluss zu den Nullstellen findest du in der folgenden Tabelle eine Zusammenfassung:
| Sinusfunktion | Kosinusfunktion | |
Nullstellen der erweiterten Funktion, wenn  |
|
|
Nullstellen der erweiterten Funktion, wenn  |
|
|
Alle weiteren Nullstellen bei 
kannst du bestimmen, indem du die halbe Periode 
dazu addierst – immer und immer wieder.
Wenn 
,musst du zwei Nullstellen bestimmen und dann jeweils die Periode 
dazu addieren.
Das folgende Beispiel veranschaulicht dies nochmal:
.
.| Parameter | Auswirkung |
| a | Streckung in mit dem Faktor Wenn : Der Graph wird zusätzlich an der gespiegelt. |
| b | Streckung in mit dem Faktor Wenn : Der Graph wird zusätzlich an der gespiegelt. |
| c | Verschiebung in um  |
| d | Verschiebung in um  |
| Sinusfunktion | Kosinusfunktion | |
| Wertebereich |  | |
| Periode |  | |
| Nullstellen | Zuerst überprüfen, ob die Funktion Nullstellen besitzt. | |
Für  |  |  |
Für  |
|
|
Die Amplitude a verändert sich, wenn sich der Parameter a verändert. Also eine Multiplikation mit der Sinusfunktion - eine Streckung in y-Richtung.
b=2π/p
60%
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mit 
.
identifizieren:
einsetzen:
mit 
eine Periode von 
.
und Symmetrieeigenschaften anwenden
und Symmetrieeigenschaften anwenden
mit 
.
ist gleich null. Also gibt es bei 
eine Nullstelle:
später:
und Symmetrieeigenschaften anwenden
und Symmetrieeigenschaften anwenden
