Trigonometrische Funktionen Parameter

Q: Was verändert die Amplitude?

Die Amplitude a verändert sich, wenn sich der Parameter a verändert. Also eine Multiplikation mit der Sinusfunktion - eine Streckung in y-Richtung.

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In der Mathematik brauchst du oftmals nicht nur die reinen Sinus- und Kosinusfunktionen, sondern auch die Darstellung mit den Parametern.

Bevor du hier richtig loslegen kannst, können dir die Artikel Sinusfunktion und Kosinusfunktion helfen, da diese Themen für diesen Artikel bekannt sein müssen.

Trigonometrische Funktionen Parameter – Übersicht

In der folgenden Tabelle findest du die reinen trigonometrischen und die erweiterten trigonometrischen Funktionen.

	Sinus	Cosinus
Reine Funktion	$f (x) = \sin (x)$	$f (x) = \cos (x)$
Erweiterte Funktion	$f (x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) + d$	$f (x) = a \cdot \cos (b \cdot (x - c)) + d$

Die Parameter $a$ , $b$ , $c$ und $d$ sind reelle Zahlen. Allerdings dürfen $a$ und $b$ nicht null werden, da ansonsten keine trigonometrischen Funktionen mehr vorliegen würden.

Um aus den erweiterten Funktionen die reinen Funktionen zu erhalten, musst du für die Parameter folgende Werte einsetzen:

$\begin{array}{rcl} a & = & 1 \\ b & = & 1 \\ c & = & 0 \\ d & = & 0 \end{array}$

Der Parameter $a$ ist auch als Amplitude bekannt.

Auffällig ist, dass hier der Tangens fehlt. Dies hat der Tangens seiner Kuriosität zu verdanken. Eine Parameterbetrachtung beim Tangens würde an dieser Stelle zu weit führen.

Um nachvollziehen zu können, weshalb der Tangens schwierig zu betrachten ist, schau dir die Definition des Tangens' an:

$f (x) = \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Da der Kosinus im Nenner steht, ist der Tangens an jeder Nullstelle vom Kosinus nicht definiert, da sonst durch null geteilt wird. Dementsprechend hat der Tangens mehrere Definitionslücken.

Zur Veranschaulichung kannst du dir noch folgende Funktion anschauen:

Trigonometrische Funktionen Parameter Schaubild Tangens StudySmarter Abbildung 1: Schaubild der Tangensfunktion

Trigonometrische Funktionen – Einfluss der Parameter

Da die Parameter $a$ , $b$ , $c$ und $d$ umfassenden Einfluss und Auswirkungen auf die reinen trigonometrischen Funktionen haben, ist es hilfreich, die Eigenschaften der Parameter zu kennen.

Hierzu kannst du dir unseren Artikel "Parameter" anschauen.

Falls du noch gar nichts mit den Parametern $a$ , $b$ , $c$ und $d$ zu tun hattest, helfen dir bestimmt die Beispiele zu trigonometrischen Funktionen im Parameter-Artikel.

Zur Erinnerung:

Parameter	Auswirkung
a	Streckung in $y - Richtung$ mit dem Faktor $\|a\|$ Wenn $a < 0$ : Der Graph wird zusätzlich an der $x - Achse$ gespiegelt.
b	Streckung in $x - Richtung$ mit dem Faktor $\|\frac{1}{b}\|$ Wenn $b < 0$ : Der Graph wird zusätzlich an der $y - Achse$ gespiegelt.
c	Verschiebung in $x - Richtung$ um $c - Einheiten$
d	Verschiebung in $y - Richtung$ um $d - Einheiten$

Wenn du beschreiben sollst, wie aus einer reinen Funktion eine erweiterte Funktion entsteht, musst du auch die Reihenfolge der Auswirkungen betrachten. Das kannst du dir allerdings leicht merken, denn zuerst wird Parameter $a$ , dann $b$ , dann $c$ und als letztes $d$ ausgeführt.

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 2 \cdot \sin (4 \cdot (x - 3)) - 1$ .

Erläutere in Worten, wie die Funktion $f (x)$ aus der Funktion $g (x) = \sin (x)$ entsteht.

Lösung

Zuerst musst du die Parameter identifizieren:

$\begin{array}{rcl} a & = & 2 \\ b & = & 4 \\ c & = & 3 \\ d & = & - 1 \end{array}$

Nun kannst du angeben, in welcher Reihenfolge welche Transformation passiert:

Streckung in $y - Richtung$ um den Faktor $2$ – das bewirkt eine Verdopplung der Amplitude.
Streckung in $x - Richtung$ um den Faktor $\frac{1}{4}$ – das bewirkt eine Stauchung.
Verschiebung in $x - Richtung$ um $3$ Einheiten – das bewirkt eine Verschiebung nach rechts.
Verschiebung in $y - Richtung$ um $- 1$ Einheiten bzw. $1$ Einheit – das bewirkt eine Verschiebung nach unten.

Trigonometrische Funktionen Parameter – Wertebereich

Als Nächstes kannst du den Wertebereich für die trigonometrischen Funktionen mit Parameter untersuchen.

Zur Erinnerung:

Ein Wertebereich $W_{f}$ betrachtet die maximalen und die minimalen $y - Werte$ einer Funktion $f (x)$ .
Der niedrigste $y - Wert$ ist dabei die untere, der größte $y - Wert$ die obere Grenze.
Damit lautet der Wertebereich $W_{f}$ wie folgt: $W_{f} = [y_{m i n}, y_{m a x}]$ .

Falls du noch einmal Details nachlesen willst, lies dir unseren Artikel zum Wertebereich durch.

Dazu betrachtest du die Sinusfunktion mit $f (x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) + d$ . Da es sich beim Wertebereich ausschließlich um die $y - Koordinate$ handelt, müssen lediglich die Parameter $a$ und $d$ berücksichtigt werden.

Schau dir zunächst den Parameter $a$ an – die Streckung in $y - Richtung$ :

Trigonometrische Funktionen ParameterWertebereich Parameter a StudySmarter Abbildung 2: Wertebereich der Sinusfunktion mit dem Parameter a

Hier verändert sich der Wertebereich exakt um die Multiplikation mit dem Parameter $a$ . Es wirkt sich dann wie folgt auf den Wertebereich aus:

$W_{f} = [- 1 \cdot |a|, 1 \cdot |a|] = [- |a|, |a|]$

Als Nächstes kannst du dir die Auswirkung des Parameters $d$ anschauen:

Trigonometrische Funktionen Parameter Wertebereich Parameter d StudySmarter Abbildung 3: Wertebereich der Sinusfunktion mit dem Parameter d

Hier verschiebt sich die Sinusfunktion um den Parameter $d$ . Auf den Wertebereich wirkt sich das wie folgt aus:

$W_{f} = [- 1 + d, 1 + d]$

Betrachtest du nun die gesamte Veränderung des Wertebereichs, wird zuerst die Streckung um $|a|$ und dann die Verschiebung um $d$ angewandt. Der Wertebereich sieht dann so aus:

$W_{f} = [- |a| + d, |a| + d]$

Die Kosinusfunktion entsteht lediglich durch eine Verschiebung der Sinusfunktion. Dementsprechend wirken sich dort die Parameter genauso wie bei der Sinusfunktion auf den Wertebereich aus:

	Sinusfunktion	Kosinusfunktion
Wertebereich	$W_{f} = [- \|a\| + d, \|a\| + d]$

Den Wertebereich der Trigonometrischen Funktionen mit Parametern kennst du nun. Folgendes Beispiel veranschaulicht dies:

Aufgabe 2

Gib den Wertebereich für die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 3 \cdot \sin (- 4 \cdot (x - 2)) + 2$ an.

Lösung

Zuerst musst du die Parameter $a$ und $d$ identifizieren:

$a = 3$ und $d = 2$

Als Nächstes kannst du alles einsetzen:

$W_{f} = [- |3| + 2, |3| + 2] = [- 1, 5]$

Also hat die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 3 \cdot \sin (- 4 \cdot (x - 2)) + 2$ den Wertebereich $W_{f} = [- 1, 5]$ .

Die Periode der trigonometrischen Funktionen mit Parametern

Da es sich bei den trigonometrischen Funktionen um periodische Funktionen handelt, kannst du auch die Periode $p$ bestimmen. Eine periodische Funktion hat die Eigenschaft, dass sich nach der Periode $p$ dasselbe wiederholt.

Mehr dazu kannst du auch im Artikel Periodizität nachlesen.

Dazu schaust du dir die Sinusfunktion mit $f (x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) + d$ an. Da es sich bei der Periode $p$ ausschließlich um die $x - Koordinate$ handelt, musst du lediglich die Parameter $b$ und $c$ berücksichtigen.

Allerdings wirkt sich der Parameter $c$ nicht auf die Periode $p$ aus, da es sich dabei lediglich um eine Verschiebung der Funktion in $x - Richtung$ handelt und sich dadurch die Periode $p$ nicht verändert:

Trigonometrische Funktionen ParameterPeriode Parameter c StudySmarter Abbildung 4: Periode der Sinusfunktion mit dem Parameter c

Du kannst in der Abbildung sehen, dass sich die Periode $p$ trotz Verschiebung in $x - Richtung$ nicht verändert.

Das bedeutet, dass sich auf die Periode $p$ lediglich der Parameter $b$ auswirkt. Der Parameter $b$ ist die Streckung in $x - Richtung$ um den Faktor $|\frac{1}{b}|$ . Also wirkt sich der Parameter wie folgt auf die Periode aus:

$p = \frac{2 π}{|b|}$

Bei einer gegebenen Periode ober bei einem Schaubild, bei dem du die Periode ablesen kannst, kannst du mithilfe dieser Formel auch den Parameter $b$ berechnen.

Die Auswirkung des Parameters $b$ kannst du dir im folgenden Schaubild noch einmal verdeutlichen:

Trigonometrische Funktionen Parameter Periode Parameter b StudySmarter Abbildung 5: Periode der Sinusfunktion mit dem Parameter b

Die Kosinusfunktion entsteht lediglich durch eine Verschiebung der Sinusfunktion. Dementsprechend wirken sich dort die Parameter genauso wie bei der Sinusfunktion auf die Periode $p$ aus:

	Sinusfunktion	Kosinusfunktion
Periode	$p = \frac{2 π}{\|b\|}$

Die Periode $p$ der Tangensfunktion beträgt $p = π$ .

Zur Übung kannst du dir noch folgende Aufgabe anschauen:

Aufgabe 3

Berechne die Periode für die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 1 \cdot \cos (- 2 \cdot (x + 3)) - 9$ .

Lösung

Zuerst musst du den Parameter $b$ identifizieren:

$b = - 2$

Als Nächstes kannst du den Parameter $b$ einsetzen:

$p = \frac{2 π}{|- 2|} = \frac{2 π}{2} = π$

Also hat die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 1 \cdot \cos (- 2 \cdot (x + 3)) - 9$ eine Periode von $p = π$ .

Nullstellen der trigonometrischen Funktionen mit Parametern

Da es sich um periodische Funktionen handelt, wiederholen sich die Nullstellen in regelmäßigen Abständen.

Innerhalb einer Periode $p$ gibt es genau zwei Nullstellen. Das bedeutet aber nicht, dass sich die Nullstellen nach jeweils einer halben Periode $\frac{p}{2}$ wiederholen.

Um noch einmal nachzulesen, wie Nullstellen bestimmt werden, schau dir unseren Artikel Nullstellen berechnen an.

Um die Nullstellen zu berechnen, musst du die Funktion $f (x)$ gleich null setzen.

Für den Fall $d = 0$ wiederholen sich die Nullstellen tatsächlich nach einer halben Periode $\frac{p}{2}$ . Sollte allerdings $d \neq 0$ sein, ist dies nicht der Fall. Dies kannst du dir in Abbildung $6$ verdeutlichen:

Trigonometrische Funktionen Parameter Nullstellen StudySmarter Abbildung 6: Nullstellen einer Sinusfunktion mit d=1

Es kann sogar sein, dass die Funktion $f (x)$ keine Nullstellen besitzt, wie zum Beispiel in Abbildung $7$ . Bevor du also die Nullstellen einer trigonometrischen Funktion berechnest, solltest du zuerst schauen, ob die Funktion überhaupt Nullstellen hat. Da du bereits gelernt hast, wie du den Wertebereich $W_{f}$ berechnest, ist es am einfachsten, du überprüfst diesen. Wenn die Zahl Null innerhalb des Wertebereichs $W_{f}$ liegt, besitzt die Funktion Nullstellen.

Trigonometrische Funktionen Parameter keine Nullstellen StudySmarter Abbildung 7: Sinusfunktion ohne Nullstellen

Die Funktion $f (x)$ in der Abbildung $7$ hat einen Wertebereich $W_{f} = [1, 5]$ . Demzufolge liegt die Null nicht im Wertebereich $W_{f}$ und die Funktion $f (x)$ besitzt auch keine Nullstellen.

Wichtig ist noch einmal zu erwähnen, dass Folgendes für die Parameter $a$ und $b$ gilt:

$a \neq 0$ und $b \neq 0$

Trigonometrische Funktionen: Nullstellen der erweiterten Sinusfunktion

Wir betrachten hier die Nullstellen einer Sinusfunktion mit dem Parameter $d = 0$ .

Wenn $d = 0$ gilt, dann hast du Glück. Denn dann entsprechen die Nullstellen auch den Wendestellen.

Um die Nullstellen herauszufinden, musst du die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c))$ gleich null setzen:

$\begin{array}{rcl} a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) & = & 0 \\ \sin (b \cdot (x - c)) & = & 0 \end{array}$

Da der Sinus genau dann null ist, wenn $b \cdot (x - c) = 0$ gilt, musst du folgende Gleichung nach $x$ umformen:

$\begin{array}{rcl} b \cdot (x - c) & = & 0 \\ x - c & = & \frac{0}{b} \\ x & = & c \end{array}$

Also befinden sich innerhalb einer Periode $p$ bei $x_{0} = c$ und $x_{1} = c + \frac{p}{2} = c + \frac{π}{|b|}$ eine Nullstelle.

Da sich die Nullstellen bei $d \neq 0$ nicht nach einer halben Periode wiederholen, musst du für beide Nullstellen innerhalb einer Periode die Gleichung auflösen.

Dazu musst du die Symmetrieeigenschaft des Sinus' betrachten:

$\sin (x) = y \Leftrightarrow \sin (π - x) = y$

Wenn du nun die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) + d$ gleich null setzt und die Symmetrieeigenschaften berücksichtigst, würden sich folgende zwei Nullstellen ergeben:

$\begin{array}{rcl} x_{0} & = & \frac{\sin^{- 1} (\frac{- d}{a})}{b} + c \\ x_{1} & = & \frac{π - \sin^{- 1} (\frac{- d}{a})}{b} + c \end{array}$

Hierbei ist $\sin^{- 1}$ NICHT $\frac{1}{\sin (x)}$ , sondern es ist die Umkehrfunktion der Sinusfunktion, wie sie auf dem Taschenrechner zu finden ist.

Diese Umkehrfunktion wird auch als Arcussinus beschrieben.

Trigonometrische Funktionen: Nullstellen der erweiterten Kosinusfunktion

Um die Nullstellen der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = a \cdot \cos (b \cdot (x - c))$ zu berechnen, musst du genauso wie bei der erweiterten Sinusfunktion vorgehen.

Dadurch erhältst du folgenden $x_{0} - Wert$ :

$x_{0} = \begin{array}{rcl} \frac{π}{2 b} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} c \end{array}$

Die zweite Nullstelle $x_{1}$ innerhalb einer Periode $p$ sieht dann wie folgt aus:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{π}{2 b} + c + \frac{p}{2} \\ = & \frac{π}{2 b} + c + \frac{π}{|b|} \\ = & \frac{π}{2 b} + \frac{π}{|b|} + c \end{array}$

Da sich die Nullstellen bei $d \neq 0$ nicht nach einer halben Periode wiederholen, musst du für beide Nullstellen innerhalb einer Periode die Gleichung auflösen.

Dazu musst du die Symmetrieeigenschaft des Kosinus' betrachten:

$\cos (x) = y \Leftrightarrow \cos (- x) = y$

Wenn du nun die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = a \cdot \cos (b \cdot (x - c)) + d$ gleich null setzt und die Symmetrieeigenschaften berücksichtigst, würden sich folgende zwei Nullstellen ergeben:

$\begin{array}{rcl} x_{0} & = & \frac{\cos^{- 1} (- \frac{d}{a})}{b} + c \\ x_{1} & = & \frac{- \cos^{- 1} (- \frac{d}{a})}{b} + c \end{array}$

Hierbei ist $\cos^{- 1}$ NICHT $\frac{1}{\cos (x)}$ , sondern es ist die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion, wie sie auf dem Taschenrechner zu finden ist.

Diese Umkehrfunktion wird auch als Arcuscosinus beschrieben.

Zum Abschluss zu den Nullstellen findest du in der folgenden Tabelle eine Zusammenfassung:

	Sinusfunktion	Kosinusfunktion
Nullstellen der erweiterten Funktion, wenn $d = 0$	$x_{0} = c$	$x_{0} = \begin{array}{rcl} \frac{π}{2 b} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} c \end{array}$
Nullstellen der erweiterten Funktion, wenn $d \neq 0$	Wertebereich betrachten $\sin^{- 1}$ und Symmetrieeigenschaften anwenden	Wertebereich betrachten $\cos^{- 1}$ und Symmetrieeigenschaften anwenden

Alle weiteren Nullstellen bei $d = 0$ kannst du bestimmen, indem du die halbe Periode $\frac{p}{2} = \frac{π}{|b|}$ dazu addierst – immer und immer wieder.

Wenn $d \neq 0$ ,musst du zwei Nullstellen bestimmen und dann jeweils die Periode $p = \frac{2 π}{|b|}$ dazu addieren.

Das folgende Beispiel veranschaulicht dies nochmal:

Aufgabe 4

Bestimme zwei aufeinanderfolgende Nullstellen der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 3 \cdot \cos (2 \cdot (x + 4))$ .

Lösung

Zuerst solltest du wieder die Parameter identifizieren:

$a = 3 b = 2 c = - 4 d = 0$

Der Parameter $d$ ist gleich null. Also gibt es bei $x_{0}$ eine Nullstelle:

$\begin{array}{rcl} x_{0} & = & \frac{π}{2 \cdot 2} + (- 4) \\ = & \frac{π}{4} - 4 \approx - 3, 21 \end{array}$

Eine weitere Nullstelle gibt es also eine halbe Periode $\frac{p}{2}$ später:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & x_{0} + \frac{p}{2} \\ = & \frac{π}{4} - 4 + \frac{π}{2} \\ = & \frac{3 π}{4} - 4 \approx - 1, 64 \end{array}$

Trigonometrische Funktionen Parameter – Das Wichtigste

Die Funktionsgleichung der Sinusfunktion: $f (x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) + d$ .
Die Funktionsgleichung der Kosinusfunktion: $f (x) = a \cdot \cos (b \cdot (x - c)) + d$ .

Die Auswirkung der Parameter:

Parameter	Auswirkung
a	Streckung in $y - Richtung$ mit dem Faktor $\|a\|$ Wenn $a < 0$ : Der Graph wird zusätzlich an der $x - Achse$ gespiegelt.
b	Streckung in $x - Richtung$ mit dem Faktor $\|\frac{1}{b}\|$ Wenn $b < 0$ : Der Graph wird zusätzlich an der $y - Achse$ gespiegelt.
c	Verschiebung in $x - Richtung$ um $c - Einheiten$
d	Verschiebung in $y - Richtung$ um $d - Einheiten$

Die Sinus- und die Kosinusfunktion haben folgenden Wertebereich, folgende Periode und Nullstellen:

	Sinusfunktion	Kosinusfunktion
Wertebereich	$W_{f} = [- \|a\| + d, \|a\| + d]$
Periode	$p = \frac{2 π}{\|b\|}$
Nullstellen	Zuerst überprüfen, ob die Funktion Nullstellen besitzt.
Für $d = 0$	$x_{0} = \begin{array}{rcl} c \end{array}$	$x_{0} = \begin{array}{rcl} \frac{π}{2 b} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} c \end{array}$
Für $d \neq 0$	Wertebereich betrachten $\sin^{- 1}$ und Symmetrieeigenschaften anwenden	Wertebereich betrachten $\cos^{- 1}$ und Symmetrieeigenschaften anwenden

Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrische Funktionen Parameter

Die Amplitude a verändert sich, wenn sich der Parameter a verändert. Also eine Multiplikation mit der Sinusfunktion - eine Streckung in y-Richtung.

b=2π/p

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Weil die Tangensfunktion Definitionslücken besitzt, ist eine Betrachtung mit Parametern in diesem Kontext zu aufwändig.

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Dann entsprechen die Nullstellen den Wendestellen.

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